FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü, İzmr emal: ozlem.gurulu@deu.edu.tr Alıış: 8 Ağustos 8, Kabul: Ekm 8 Özet: İstatstksel yötemler çersde yer ala regresyo çözümlemes e çok kullaıla yötemlerde brdr. Olası brçok regresyo yötemler dışıda, geellkle matematksel hesaplamalardak kolaylığıda dolayı, E Küçük Kareler yötem () e uygu tahm yötem olarak kullaılmaktadır. Ver aalz ve ekoometr uygulamalarıda kestrcler yaygı olarak terch edlmektedr. Buula brlkte kestrcler sapa değerlere karşı oldukça hassas olduğuda, ver kümes sapa değerler çermes durumuda verler hakkıda kestrcleryle yapılacak yorumlamalar geçersz ve yaıltıcı olablmektedr. Bu gb durumlarda sapa değerler ç öerle güçlü regresyo yötemler terch etmek, souçları güverllğ açısıda daha uygudur. İstatstksel çözümlemelerde kullaıla bu güçlü yötemlerde br de E Küçük Medya Kareler yötemdr (). Bu çalışmada, bezetm yoluyla oluşturula ver kümelerde yararlaılarak bast doğrusal regresyo model ç ve yötemlerde elde edle model kestrm değerler ( ˆβ, ˆβ, ˆσ, ) karşılaştırılmıştır. Aahtar kelmeler: E Küçük Kareler Yötem, E Küçük Medya Kareler Yötem, güçlü regresyo, sapa değer, bezetm çalışması THE COMPAISON OF LEAST SQUAES AND LEAST MEDIAN SQUAES ESTIMATION METHODS WHICH AE USED IN LINEA EGESSION ANALYSIS Abstract: egresso aalyss s oe of the most commoly used statstcal techques. Out of may possble regresso techques, the Least Squares Method (LSM) has bee geerally adopted because of tradto ad ease of computato. I data aalyss ad tred modellg applcatos the least squares (LS) estmator s wdely used ad LS regresso s, most cases, the method of choce. However, the crucal fact that the LS estmator s very sestve to outlyg observatos may lead to urelable results the regresso estmates ad, hece, to a msleadg terpretato of the data. To remedy ths problem, some statstcal techques have bee developed that are ot so easly affected by outlers. These are the robust methods, the results of whch rema trustworthy eve f a certa amout of data s outler. Oe of them s the least meda squares method whch s usg statstcal aalyss. I ths study, estmato of Least Square ad Least Meda Square has bee gve. LS ad LMS methods are appled ad compared o dfferret sample that ca be produced by smulato study. To fd whether there s mportat dfferece betwee methods are compared ther estmatos ( ˆβ, ˆβ, ˆσ, ). Key words: Least Squares, Least Meda of Squares, robust regresso, outler, smulato study 9
Ö. G. ALMA, Ö. VUPA GİİŞ regresyo yötem hata kareler toplamıı e küçük yapmayı amaçlaya statstksel br yötemdr. Bu yötem, gözlemlee verler ormallk, sabt varyaslılık, sapa değer çermeme gb bazı varsayımları sağladığı durumlarda güvelr tahmler elde edlmes sağlamaktadır (NETE vd. 996, FO 997). İstatstksel çözümlemelerde yötem, matematksel şlemlere e uygu tahm yötem olarak kullaılsa da varsayımları hlale karşı ola dayaıksızlığı edeyle eleştrlmekte ve alteratf olarak daha güçlü yötemler öerlmektedr (NETE vd. 996, WILCO 997, OTIZ vd. 6, MOHEBBI vd. 7). egreyo çözümlemesde varsayımları sağlamadığı durumlarda br de ver kümes sapa değer çermesdr. Sapa değer, br ver kümesde gözlemler çoğuu sahp olduğu dağılıma veya modele uymaya gözlemler olarak fade edleblr (BANETT & LEWIS 994). Sapa değer çere ver kümesde varsayımları sağlaamamasıda dolayı kurula regresyo modelde alıa souçlarda yaıltıcı olmaktadır (GOODAL 983, YAN 997). Bu edele regresyo çözümlemesde ver aalz oldukça öeml br yer tutmaktadır. Sapa değerler ver kümesde çıkartılması regresyo deklem tamame veya kısme değştreblmektedr. Bu edele büyük artık değerlere sahp ola gözlemler, regresyo çözümlemesde oldukça etkldrler. Böyle durumlarda sapa değerler tespt ve souçları güverllğ ç güçlü regresyo yötemler terch etmek daha uygudur (OUSSEUW & LEOY 987). Bu güçlü yötemlerde br de yötemdr. Bu çalışmada, ve yötemler parametre kestrmler üzerdek etklğ celemştr. Bu doğrultuda, bast doğrusal regresyo modelde bağımlı değşke farklı oralarda sapa değerler çerdğ küçük öreklemler oluşturulmuştur. Bu öreklemlere at regresyo modelde elde edle parametre kestrm değerler karşılaştırılarak, ve yötemler etklğ araştırılmıştır. MATEYAL VE METOT egresyo çözümlemes, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler ya da kestrmler yapablmek amacıyla kullaıla statstksel br yötemdr. Bu çözümleme yötemde k veya daha fazla değşke arasıdak lşk açıklamak ç matematksel br model kurulur ve bu model regresyo model olarak adladırılır (BIKES & DODGE 993). İstatstksel açıda model kuruldukta sora o model geçerllğ araştırmak regresyo çözümlemes öeml br parçasıdır. Kestrle model gerçek modele e kadar yaklaştığıı belrleyeblmek ç, kullaıla yötem regresyo çözümlemes varsayımlarıı sağlayıp sağlamadığıı kotrolüü yapılması gerekmektedr. Eğer kurula regresyo model verye uygu değlse alıa souçlar da yaıltıcı olacaktır (WILCO 997). Y bağımlı değşke, bağımsız değşke, β bu değşke blmeye parametres ve ε gözleemeye hata termler göstermek üzere ktle ç bast doğrusal regresyo (BD) deklem
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 Y β + β + ε,,,..., () şeklde yazılır. BD çözümlemesde buluacak ola regresyo deklemler kestrm amaçlı kullaılablmes ç; hata termler ( ε Y - Ŷ ) rassal olup ormal dağılım göstermes, hataları beklee değer ve varyaslarıı da sabt olup σ e eşt olması, hataları brbrde bağımsız olması (cov( ε,ε j) ), hata termler le bağımlı değşke arasıda korelasyou olmaması gb bazı varsayımları sağlaması gerekmektedr (FO 997). Bu varsayımlarda brs sağlaamaması durumuda kestrcler, gözlemler ve ö kestrcler üzerdek kararlı ve küçük varyaslı olma özellğ kaybederek yalı, tutarsız veya etksz olacaktır. EN KÜÇÜK KAELE YÖNTEMİ Güümüzde β ve β parametreler tahm ç kullaıla e yaygı yötemlerde brs yötemdr. Ktle regresyo deklemde yer ala β ve β parametreler öreklemde elde edle kestrmler βˆ ve βˆ olarak ele alıdığıda, tek değşkel regresyo doğrusuu deklem Ŷ βˆ + βˆ,,,..., () bçmdedr. Deklemde yer ala βˆ ve βˆ termler değerler bulmak ç kullaıla yötem temel, toplam sapmaları kareler toplamıı e küçük yapacak değerler buluması oluşturmaktadır. Hata termler, gözlemlee Y değerler le beklee Ŷ değerler arasıdak farklar oluşturmaktadır (YAN 997). εˆ Y - Ŷ (3) 3. eştlkte verle fade le hesaplaa hata termler poztf, egatf veya sıfır değere sahp olurke bu farkları toplamı εˆ (Y - Ŷ ) olur. yötem, β ve β parametreler kestrmler ola ˆβ ve ˆβ ı farkıı e küçük yapacak bçmde aşağıdak gb belrler e kücük(y - Ŷ ) e kücük εˆ. (5) Burada regresyo katsayılarıı tahmler elde edeblmek ç 6. eştlkte βˆ ve βˆ ya göre kısm türevler alııp sıfıra eştledğde 7. ve 8. eştlklerdek gb I. ve II. ormal eştlkler elde edlr. Bu eştlkler üzerde gerekl çözümlemeler yapıldığıda (4)
Ö. G. ALMA, Ö. VUPA β ve β parametreler kestrmler ola ˆβ ve ˆβ değerler buluableceğ eştlkler 9 ve da k gb elde edlr. ( ( βˆ + βˆ ) Y L (6) Y βˆ + βˆ (7) Y βˆ + βˆ (8) βˆ, βˆ ve regresyo belrtme katsayısıı hesaplaması se aşağıdak gbdr. βˆ (9) ( ) βˆ o Y Y +βˆ Y Y βˆ ( ŷ - y) ( y - y) ( )(Y Y) () () EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMİ Varsayımları sağlamadığı durumlarda güçlü regresyo tahm edcler yöteme alteratf olarak kullaılablmektedr. Güçlü regresyo yötemler çersde e çok kullaıla tahm yötemlerde brdr (EICKSON vd. 6). ousseeuw 984 yılıda yapmış olduğu çalışmasıda brçok örekle gösterdğ gb, ver kümesde br tae sapa değer buluması durumuda ble bu sapa değer, dğer bütü verlerde elde edle blgye egel olmakta ve statstkler güvelmez yapmaya başlamaktadır. DAVIES & GATHE (993) tarafıda gelştrle, ortalama stadart sapma ve aşırı studet sapmaya bağlı ola Extreme Studetzed Devate test, ver kümesde sadece br tae sapa değer olduğu durumlarda kullaılır. Acak ver kümes brde fazla sapa değer çerdğ durumlarda bu değerler baze brbrler maskeleyeblmekte ve hatta bu değerler klask tahm yötemlerde güvelr verler ble sapa değer olarak görümese sebep olablmektedr. yötem ver kümes %5 ye kadar sapa değer çerdğ durumlarda da y tahm değerler vere güçlü br regresyo yötem olarak kullaılmaktadır (OUSSEUW & LEOY 987). Acak yötem artıkları medya değer e küçük yapmayı amaçlarke gerye
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 kala ( ) adet gözlem dkkate almaz. Buda dolayı öreklem büyüklüğü arttıkça regresyo katsayılarıı kestrmde yötem yötem kadar etkl olmamaya başlar (YAN 997). WALD (94), k değşkel br öreklem kümesde x gözlem değerler medyaıı temel alarak, bu gözlem değerler serpme dyagramıda ver set sol ve sağ bölge olmak üzere kye ayıra bast br yötem öermştr. Ayrıla her bölge x ve y gözlem değerler ortalaması (( xsag, ysag ),(xsol, ysol )) şeklde gösterlrke bu ortalamaları hesaplaması yalızca o bölgeye at x ve y gözlem değerler kullaılarak elde edlr. NAI & SHIVASTAVA (94) tarafıda öerle yötemde se lk olarak k değşkel ver setdek x ve y değşkeler ked çlerde sıralaır. Daha sora sıralaa bu değşkeler (x x x ), brbre yakı ola değerler ayı parçada olacak şeklde üç bölgeye ayrılır. So olarak WALD (94) yötemde olduğu gb ayrıla her bölge x ve y gözlem değerler ortalaması (( xsag, ysag ),(xsol, ysol )), yalızca o bölgeye at x ve y gözlem değerler x sol x + x +... + x y + y +... + y sol sol y sol () sol sol x sag x -sag+ + x sag +... + x y sag y -sag+ + y sag +... + y (3) fadeleryle hesaplaır. Eştlklerde, sol : lk gruba at gözlem sayılarıı, sag : kc gruba at gözlem sayılarıı göstermektedr. Gerye kala (- sol - sag ) adet gözlem ver kümesde atılır. Burada brc ve kc gruba at gözlem sayıları (/3) değere yaklaşacak şeklde br tamsayı değer olup her k gruptak gözlem sayıları da brbre eşttr. Bu eştlk sol sag olacak şeklde gösterlr. yötem uyguladığı bast doğrusal regresyoa at parametre kestrmler βˆ y - βˆ x y - βˆ (4) sol sol sag xsag ysag - ysol βˆ (5) x - x sag sol bçmde hesaplaır. OUSSEEUW (984) tahm 5. eştlkte verle amaç foksyouda Σ yere medya koymak olarak taımlar. e kücük medya[y - Ŷ ] βˆ Acak 6. eştlkte verle amaç foksyouda aaltk br çözüm elde etmek oldukça güç olduğuda, β parametre tahmler değerler blgsayar terasyoları le buluablr. (6) 3
Ö. G. ALMA, Ö. VUPA OUSSEEUW (984), OUSSEEUW & LEOY (987), EDELSBUNNE & SOUVAINE (99), OLSON (997), MOUNT vd. (7) parametre tahmler elde edlmes sağlaya terasyolar ç çeştl algortmalar öermşlerdr. Yaygı olarak kullaıla OUSSEEUW (984) algortmasıda, elemalı br ver kümes tüm mümkü p elemalı alt kümelere yötem uygulaır ve her br ç p artıkları medya değer hesaplaır. Bu medya değerler çersde e küçük medya değere sahp ola alt küme tahmler tahm olarak kabul edlr. Küçük ver kümeler ç tahmler kes değerler hesaplamak bu şeklde mümkü olsa da, büyük ver kümelerde mümkü ola tüm altkümeler taraması ve uygulaması şlem yükü açısıda oldukça zor olacaktır. Bu durumda ver çersde bazı altkümeler rastlatısal olarak çeklmes ve amaç foksyouu bu altkümelerde uygulaması düşüüleblr. OUSSEEUW & LEOY (987), belrl kısıtlar altıda verde rastlatısal olarak çeklecek e az br altküme stele soucu verme olasılığıı e yakı olduğuu spatlamıştır. Bua göre br ver kümesde p elemalı k tae altküme seçtğmzde p tae aşırı olmaya değer çere e az br altkümeye rastlama olasılığıı (/p) çok büyük değerler ç aşağıdak fadeye eşt olacağıı belrtmştr. P (7) p k sapadeger _cermeye -[- (- ε) ] 7. eştlkte ver kümes krllk oraı ε le gösterlmektedr. Bu fade yardımıyla krleme oraıı ε olduğu br verde p brmlk k tae alt kümeler çektğmzde bularda e az br sapa değer çermeye gözlemlerde oluşma olasılığı hesaplaır. Krleme oraıı ε %5 olduğu br verde 5 brmlk alt kümeler çektğmzde bularda e az br sapa değer çermeye gözlemlerde oluşma olasılığıı -[- (- ε ) p ] k.95 olması ç çekmemz gereke 5 brmlk alt kümeler sayısı.98 dr. yötem ç stadart sapma kestrm ve regresyo model açıklayıcılık katsayısı aşağıdak gb fade edleblr. s, gözlem sayısı ve açıklayıcı değşke sayısıa (: gözlem sayısı, m: açıklayıcı değşke sayısı) bağlı br düzeltme çarpaıyla çarpılmasıda elde edlr. s 5,486 + medσ (8) - m,..., s kestrmyle stadartlaştırılmış gözlem w ağırlığıı taımlamada kullaılır. r / s artıkları hesaplaır ve aşağıdak gb. w, r / s.5 (9), d. d regresyou ç stadart sapma kestrm o lu eştlkte verle fade le hesaplaır. 4
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 wσ σ * () w m Burada σ *, %5 krllk oraıa sahp br ver kümes ç stadart sapma kestrm gösterr. regresyou ç bağımlı değşkedek değşm e kadarıı model tarafıda açıkladığıı taımlaya belrleyclk katsayısı se regresyo model sabt term çerdğ ve çermedğ duruma göre aşağıdak fadelerde hesaplamaktadır. Sabt Terml egresyo Model med r mad(y ) Sabt Term Olmaya egresyo Model med r med(y ) () Burada madmedyaı mutlak sapması (meda absolute devato) kısaltması olup mad(y ) y med(y ) BULGULA le hesaplaır. Bast doğrusal regresyo çözümlemesde, küçük öreklemler üzerde ve yötemler etklğ karşılaştırmak ç yapıla bezetm çalışmasıda kullaıla kestrcler elde edlmes bazı koşullar altıda gerçekleştrlmştr. Çalışmada, bast doğrusal regresyo model Y + + ε olarak seçlmş olup, bağımlı ve bağımsız değşke le hata termler bezetm çalışması yapılarak türetlmştr. Başlagıçta sapa değer çermeye bağımlı değşke Y değerler, bağımsız değke N~(7, ) parametrel ormal dağılıma, hata termler se stadart ormal dağılıma (ε ~ N(,)), sahp olacak şeklde, adet Mtab programı kullaılarak türetlmştr. Böylece sapa değer çermeye bağımlı değşke Y ormal dağılıma sahp olacak şeklde elde edlmştr (Y ~ N(3, 4 )). OUSSEEUW & LEOY (987) br ver kümes çermş olduğu sapa değer yüzdese bağlı olarak çeklecek ola öreklem büyüklüğüe göre seçlecek ola öreklem sayısıı belrlemş ve bu fade 7. eştlkte verlmşt. Bu eştlk dkkate alıarak ver kümes %5 ve %5 oraıda sapa değer çerdğ öreklem sayıları; 5, ve 5 brmlk öreklem büyüklüklere bağlı olarak belrlemş olup bu değerler Tablo de verlmştr. 5
Ö. G. ALMA, Ö. VUPA Tablo. %5 ve %5 lk sapa değer çere öreklemlerde brm sayısıa göre çeklecek öreklem sayısı ve bua bağlı olarak elde edle sapa değer sayıları Öreklem Brm Sayısı Sapa Değer Yüzdes %5 %5 Çeklecek Öreklem Sayısı Sapa Değer Sayısı Çeklecek Öreklem Sayısı Sapa Değer Sayısı 5 5 4 5 3 5 33 3 4 Tablo dek değerler dkkate alıarak her br öreklem çermes gereke sapa değer sayısıı belrlemes le bağımlı değşke, belrlee gözlem sayılarıa bağlı olarak krletlmştr. Krletme şlem ç türetlecek ola sapa değerler bağımlı değşke * ortalama değerde e az 3 σ uzaklıkta olacak şeklde oluşturulmuştur. Bu amaçla Y sapa değerler, U~(9,33) parametrel Tekdüze dağılımda gelecek şeklde türetlmştr. Bağımsız değşke, bağımlı değşke Y ve sapa değer çere Y * hstogramları Şekl de verlmştr. Şekl., Y ve Y * Değerler Hstogramları ve yötemler karşılaştırılması ç gerekl verler türetldkte sora, yötem Mtab programı, yötem se SYSTAT programı kullaılarak uygulamıştır. Her k yötem soucuda da elde edle parametre kestrmler ( ˆβ, ˆβ ), model varyası ( ˆ σ ) ve belrtme katsayısı değerler ( ) arasıda alamlı br farkı olup olmadığıı karşılaştırmak ç bağımlı t test yapılmıştır. Bu testlere at hpotezler Tablo de belrtldğ gbdr. Tablo. ve yötemler parametre kestrcler karşılaştırmak ç kurula hpotezler Hİpotezler H : β. β. H : β. β. H : β. β. H : β. β. H H : σ σ : σ σ H : H : 6
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 Karşılaştırma soucuda elde edle bağımlı t test souçları Tablo 3 de verlmştr. Tablo 3. ve yötemler parametre kestrmler karşılaştıra bağımlı t test souçları Sapa Değer Yüzdes Öreklem Brm Sayısı % 5 % 5 t p-değer t p-değer ˆβ 5 -,84,45,36,75,,65,7,7 5,,989,6,93 ˆβ 5,7,5 -,7,945 -,67,8 -,6,4 5,8,48 -,,9 ˆσ 5,58,95 3,4,3 8,79, 6,83, 5 8,66, 8,7, 5-8,7, -8,63, -,6, -4,84, 5-7,53, -,3, Tablo 3 de verle bağımlı t test souçlarıa göre, bağımlı değşke %5 ve %5 oraıda sapa değer çermes durumuda ve yötemler parametre kestrmler arasıda alamlı br fark buluamamıştır. Acak model stadart hatası le model açıklayıcılık yüzdeler arasıda alamlı br farkı olduğu test souçlarıda gözlemlemştr. TATIŞMA VE SONUÇ Parametre kestrm ç kullaıla yötem; hataları ormal dağılması, sabt varyaslılık, bağımsızlık varsayımları le değşkeler hatasız br şeklde ölçüldüğü varsayımlarıa dayamaktadır. Acak gerçek hayatta celeecek ola ver kümes ç bu varsayımları her zama sağlaması mümkü olmayablr. Özellkle de verler elde edlrke veya kaydedlrke meydaa gele hatalar, ver grş hatası, skorlama hatası gb edelerle ver kümelerde dğer verlerde farklı gözlem değerlere döüşür. Döüşe bu gözlemler lteratürde sapa değerler olarak adladırılır. Ver kümes sapa değer çermes durumuda uygulaacak ola yötem daha güvelr souçlar 7
Ö. G. ALMA, Ö. VUPA vermes ç bu verler etkler gderlmes gerekmektedr. yötem ver kümes sapa değer çermes durumuda yöteme göre daha güvelr souçlar vere güçlü br yötemdr. Bu çalışmada her k yötem etklğ araştırılması ç küçük öreklemler üzerde br bezetm çalışması yapılmıştır. Yapıla bezetm çalışmasıda bağımlı değşke %5 ve %5 oraıda sapa değer çerdğ durumlarda, kurula Y + + ε regresyo modelde ve yötemler parametre kestrmler karşılaştırılmıştır. α.5 alam düzeyde yapıla parametre kestrmler karşılaştırmalarıı bağımlı t test souçları Tablo 3 de verlmştr. Elde edle bu souçlara göre: βˆ : ç bağımlı değşke %5 oraıda sapa değer çerdğ durumda öreklem büyüklüğüü 5, ve 5 brm olduğu durumlarda her k yötem parametre kestrm değerler arasıda alamlı br fark görülmemştr. Bezer şeklde; bağımlı değşke %5 oraıda sapa değer çermes durumuda öreklem büyüklüğü 5 ve 5 ç her k yötem parametre kestrm değerler arasıda alamlı br fark görülmemştr. βˆ : ç bağımlı değşke sapa değer yüzdes ve öreklem büyüklüğüü parametre kestrmler üzerde her k yötem ç alamlı br fark oluşturmadığı görülmüştür. ˆσ : regresyo model varyas karşılaştırılmaları ç kurula H : σ ve H : σ hpotezlere göre bağımlı σ σ değşke %5 ve %5 oraıda sapa değer çermes durumuda öreklem büyüklüğü 5, ve 5 brm ç her k yötem arasıda varyas kestrm değerler arasıda alamlı br fark olup, geel olarak yötemde elde edle model varyas değer yötemde elde edle değere göre daha büyük olduğu görülmektedr. : belrtme katsayısı ç kurula H ve : H : hpotezlere göre bağımlı değşke %5 ve %5 oraıda sapa değer çerdğ durumda öreklem büyüklüğüü 5, ve 5 brm ç her k yötem arasıda belrtme katsayılarıı değerler arasıda alamlı br fark buluamamış olup, geel olarak yötemde elde edle model belrtme katsayısı değerler yöteme göre daha büyük olduğu görülmektedr. Küçük öreklemler ç ve yötemler karşılaştırmak amacıyla yapıla bu çalışmada geel olarak βˆ ve βˆ arasıda alamlı br fark buluamazke, regresyo modeller daha küçük varyasa sahp olduğu ve model açıklayıcılığıı göstere belrtme katsayısı değerlerde daha büyük olduğu görülmüştür. Belrtme katsayılarıda elde edle bu alamlı farklar edeyle ver kümes sapa değer çermes durumlarıda küçük öreklemler ç parametre kestrm değerler model daha y açıkladığı söyleeblr. Souç olarak hata termler ormal dağılmadığı veya bağımlı değşke sapa değer çermes durumlarıda küçük öreklemler ç regresyo modelde, yötem yöteme göre daha az etkledğ belrteblr ve parametre kestrm değerler regresyo model daha y açıkladığıı söyleyeblrz. 8
FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 KAYNAKLA BANETT V, LEWIS T, 994. Outlers Statstcal Data. Joh Wley Sos, Caada, pp.7 5. BAETO H,. A Itroducto to Least Meda of Squares, www.wabash.edu/ecoexcel BIKES D, DODGE Y, 993. Alteratve Methods of egresso. Joh Wley Sos, New York, pp.8 4. DAVIES PL, GATHE U, 993. The Idetfcato of Multple Outlers. Joural of Statstcal Plag ad Iferece,, 65 78. EDELSBUNNE H, SOUVANIE L, 99. Computg Least Meda of Squares egresso Les ad Guded Topologcal Sweep. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 85(49), 5 9. EICKSON J, HA-PELED S, MOUNT DM, 6. O the Least Meda Square Problem. Dscrete Comptutatoal Geometry. 36, 593 67. FO J, 997. Appled egresso Aalyss: Lear Models ad elated Methods. Sage Publcato, USA, pp.3 4. GOODAL C, 983. Examg esduals. I: HOAGLIN D & TUKEY J (Eds.) Uderstadg obust ad Exploratory Data Aalyss. Joh Wley Sos, Caada, pp. 4. KLEINBAUM, KUPPE, MULLE, ad NIZAM, 998. Appled egresso Aalyss ad Other Multvarate Methods. Duxbury, USA. MOHEBBI M, NOUIJELYANI K, ZEAATI H, 7. A Smulato Study o obust Alteratves of Least Squares egresso. Joural of Appled Sceces, 7(), 3469 3476. MONTGOMEY D, HINES W, 99. Probablty ad Statstcs Egeerg ad Maagemet Scece, Joh Wley Sos, Caada. MOUNT DM, NETANYAHU N, OMANIK K, SILVEMAN, WU AY, 7. A Pratcal Approxmato Algorthm for The LMS Le Estmator. Computatoal Statstcs ad Data Aalyss, 5, 46 486. NAI K, SHIVASTAVA MP, 94. O a Smple Method of Curve Fttg. Sakhaya, 6, 3. NETE J, KUTNE M, NACHTSHEIM C, ad WASSEMAN W, 996. Appled Leear egresso Models, Irw, USA. OLSON CF, 997. A Approxmato Algorthm for Least Meda of Squares egresso. Iformato Processg Letters, 63, 37 4. OTIZ M, SAABIA L, ad HEEO A, 6. obust egresso Techques: A Useful Alteratve for the Detecto Data Chemcal Aalyss. Talata, 7, 499 5. OUSSEEUW JP, 984. Least Meda of Squares egresso. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 79(388), 87 88. OUSSEEUW P, LEOY A, 987. obust egresso ad Outler Detecto. Joh Wley Sos, Caada, pp. 84 43. YAN TP, 997. Moder egresso Methods. Joh Wley Sos, New York. WALD A, 94. The Fttg of Straght Les f Both Varables are Subject to Error. Aals of Mathematcal Statstc,, 8 3. WILCO, 997. Itroducto to obust estmato ad Hypothess Testg. Academc Press. Sa Dego. 9