DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör. Dr. Cvit YEŞİLYURT Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültes Özet İşletmeler, optimizsyo problemlerii çözümüde çeşitli yötemler kullırlr. Bu yötemlerde e yygı kullıllrıd birisi de doğrusl progrmlm tekiğidir. Doğrusl progrmlm problemlerii çözümüde Excel çözücüsü, hem Excel i çok yygı olrk kullılmsı hem de çözümü koly ve lşılır olmsı edeiyle kullıcılr içi pek çok vtj sğlr. Ahtr Kelimeler: Doğrusl Progrmlm, Çözücü,Excel, Optimizsyo The Solutio of Lier Progrmmig Problems Through Excel Abstrct Busiesses use vrious methods i solvig optimistio problems. Oe of these methods used commoly is lier progrmmig method. Excel solver provides my dvtges for users becuse of both its usge i solvig lier progrmmig problems d its simplicity d uderstdbilty. Key Words: Lier Progrmmig, Solver, Excel, Optimiztio.DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İktist bilimi kısc sıırlı kyklrı yöetimi olrk biliir. İşletmeler çbuk ve isbetli krrlr lbilmeleri büyük ölçüde sistemtik yklşım gereksiim duyrlr (Yılmz,995:). Bilimsel krr lm süreci modellere dyır. Krr lmd kullılbilecek çok çeşitli modeller ve tekikler geliştirilmiştir. Bulr; doğrusl progrmlm, ulştırm modelleri, leotief modeli, şebeke lizi, stok modelleri, oyu kurmı, bekleme httı modelleri, dimik progrmlm, tm syılı progrmlm, Mrkov lizi, doğrusl olmy progrmlm vb.dir (Yeşilyurt,996:). İster syısl lizler, ister yöeylem rştırmsı dı ltıd olsu uygulmkt vey geliştirilmekte ol ve mtemtik model kull bütü yötemler, essıd işletme sorulrıı mtemtik olrk progrmlmsı ve çözümüde bşk bir şey değildir. İşletme problemlerii mtemtik

5 ALAN ve YEŞİLYURT modelleride yrrlrk çözümü süreci, bulu souçlrı gerçeğe uyguluk derecelerii rştırılmsı, gerekli kotrolleri ypılmsı ve strtejileri sptmsı ile tmmlır. İşte mtemtik modelleri kuruluşu, çözümü, kotrolü ve uygulmsı strtejilerii sptmsıd oluş bu süreç mtemtik progrmlmyı oluşturmktdır (Tuluy,987:IX-X). İşletme problemlerii, syısl verilerle e bsit şekilde ltımı doğrusl progrmlm (D.P.) ile olklıdır. D.P., belli doğrusl eşitlikleri vey eşitsizlikleri kısıtlyıcı koşullrı ltıd doğrusl bir mç foksiyouu optimumlştırmk biçimide tımlbilir. Optimumlştırmk, belli bir mc e z msrfl ulşmk y d belli kyklrl e çok ürüü sğlmk lmı gelir. (Esi,998:4) D.P. sürecide, öce gerekli bilgiler toplır, probleme it bir model kurulur ve dh sor bu modeli çözümleri bilgisyr destekli yzılım pketleri ile buluur. Bu çözümleri gerçek yşm problemlerie uygulbilirliği test edildikte sor yöeticilere suulur..d.p. NİN MATEMATİKSEL YAPISI D.P. i üç öemli bileşei vrdır:amç foksiyou, Kısıtlyıcı foksiyolr ve Pozitif kısıtlm (Besley, 003). Amç Foksiyou: D.P. modelide doğrusl biçimde ifde edile bir mç foksiyou vrdır. Amç foksiyou, kâr mksimizsyou y d mliyet miimizsyou şeklide olur. Amç foksiyou Z, kotrol edilebilir değişkeler X j (,,,) ve sbit ktsyılr (birim bşı kâr y d birim bşı mliyet ktsyılrı) c j (,,,) olmk üzere Z = c j x j biçimide ifde edilebilir. Bu mç foksiyou çık yzılımı ise şöyledir. Z = c x + c x +. + c x Kısıtlyıcı Foksiyolr: İşletmeler, fliyetlerii bir tkım kısıtlyıcı koşullr ltıd sürdürürler. Mkieleri kpsite kullımlrı, iş gücü, fism, zm sıırlılığı vb. gibi koşullr bu kısıtlyıcılr örek olrk verilebilir. Kısıtlyıcılr, tekoloji mtrisi ij, ihtiyç vektörü b i olmk üzere stdrt mksimizsyo problemide x ij b i, i=,,,m stdrt miimizsyo problemide ise,

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 53 x ij b i, i=,,,m biçimide ifde edilirler. Stdrt D.P. problemleride y d yı sır = işreti hem mksimizsyod hem de miimizsyo problemleride kullılbilir. Öreği mkieleri tm kpsite ile çlışmlrı durumud = lik kullılır. Stdrt olmy D.P. problemleride kısıtlyıcılrı sğıdki işretler, y d = işretleri krışık olrk t kullılbilmektedirler (Hcıslihoğlu, 99:38). Pozitif Kısıtlm: İşletme fliyetleri koordit düzlemii birici bölgeside meyd gelir. Yi, egtif üretim y d egtif mliyet olmycğıd krr değişkeleri X j leri egtif olmsı düşüülemez. Bu mtemtiksel olrk X j 0,,,, biçimide ifde edilir. Yukrıdki çıklmlr doğrultusud bir doğrusl progrmlm problemii geel ypısı;. Kâr mksimizsyoud; Amç foksiyou; Kısıtlyıcılr; = c X mx j j,,,, Z ij X j b i, i=,,,m,,,, Pozitif kısıtlm;.mliyet Miimizsyou; Amç foksiyou; X j 0,,,, Z mx = c j X j,,,, Kısıtlyıcılr;

54 ALAN ve YEŞİLYURT ij X j b i, i=,,,m,,,, Pozitif kısıtlm; X j 0,,,, biçimide verilir. Yukrıd geel mtemtiksel modeli verile doğrusl progrmlm modeli dh çık biçimde şğıdki gibi yzılbilir. Amç foksiyou: Kısıtlyıcılr: Z mx = c x + c x +. + c x Pozitif Kısıtlm: x + x + + x b x + x + + x =b M M M m x m + m x m + + m x m b m x 0, x 0,, 0 x Kâr mksimizsyou ol bu modelde kısıtlyıcı eşitsizlikleri sğ trfıdki işreti yerie işreti yzılırs mliyet miimizsyouu mtemtiksel modeli elde edilmiş olur. Bu model, mtris gösterimi ile de şğıdki gibi yzılbilir. ij ktsyılrıd oluş tekolojik mtris; ihtiyç vektörü; A = M m M m b b B = M b m L L M L M m

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 55 fiyt (y d mliyet) ktsyılrıd oluş vektörü de Krr değişkeleri vektörü ise şeklide verilirse, Amç foksiyou; Kısıtlyıcılr, Pozitif kısıtlm, Z M m C =[ c c L ] Mi / Mx = M m X = x x M x m c [ c c L c ] M L L L M m x x M x m X 0,,,, j x x M x b b M = b m şeklide olur. D.P. yötemii kullılışlığı, bilgisyr yzılımlrıdki gelişmeler ile dh d rtmıştır (Th,000:). Doğrusl progrmlm problemlerii bilgisyr ortmıd çözümü içi LINDO, QSB, DEAP, TORA gibi çeşitli progrmlr geliştirilmiştir. Bu progrmlrı yı sır herkesçe rhtlıkl elde edilebilecek ve kullımı koly ol Excel ile de bu problemleri çözmek olklıdır. Widows u çok yygılşmış olmsı, ofis uygulm progrmlrıı heme herkesçe kullılbilmesi, bu problemleri Excel de çözümüü öemli kılmktdır.

56 ALAN ve YEŞİLYURT 3. EXCEL VE ÇÖZÜCÜ Excel, Microsoft firmsı trfıd geliştirilmiş bir hesp tblosu progrmıdır. Widows ve Mcitosh ortmlrı içi hzırlmıştır ve şu d düyd e çok kullıl progrmlrd birisidir. Excel mühedislere, mimrlr, muhsebecilere ve bütü mesleklerdeki islrı hesplm gereksiimlerii gidermek içi kullılbilir. Bu gereksiimler bsit toplm işlemleri olbileceği gibi yüksek mtemtik problemlerii hızlı bir biçimde çözülmesie y d mimrlık hesplrıı ypılmsı d olbilir (http://www.gtep.edu.tr/~bidb/ ofisyrdimci/excel/e_bicim.htm.05.003). Çözücü, verile kısıtlr ltıd bir mç işlevi belirli değişkeler içi çözümüü sğlr (Yvuz, 999:54). Çözücü ile. derecede bir bilimeyeli deklem çözülebileceği gibi bilimeyeli m det deklem sistemii de çözmek olklıdır. Bu çlışmd, Ofis XP kullılrk, mtemtik progrmlm modelleride doğrusl progrmlm problemlerii Excel Çözücüsü yrdımıyl çözümü verilecektir. 4. ÇÖZÜCÜNÜN ETKİNLEŞTİRİLMESİ VE ÖRNEK UYGULAMA Bir D.P. problemii y d bir deklem sistemii çözümü içi öcelikle Excel i rçlr meüsüde çözücü işlevii olup olmdığı kotrol edilmelidir. Eğer çözücü yok ise izleye şekilde görüldüğü gibi Arçlr meüsüde Ekletilere gelierek çözücü ekletisi oylmlıdır. Şekil:. Excel Çözücüsüü Etkileştirilmesi Eğer Arçlr meüsüde çözücü işlevi vr ise D.P. problemlerii y d deklem sistemlerii çözmek olklı olcktır. İzleye öreklerde bir mksimizsyo, bir de miimizsyo problemii Excel de çözüm süreci dım dım çıklmıştır.

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 57 Amç Foksiyou: Kısıtlyıcılr: Pozitif Kısıtlm: Z mx = 5x + 8x 4x x 3x + 6x + x + 9x 4 8 36 x 0, x 0 Öcelikle Excel çlışm syfsıdki A ve B dreslerie X ve X girilmeli ve A ve B dreslerie 0 (sıfır) değeri yzılmlıdır (Şekil.). Sorki dımd uygu bir hücreye gelierek (Örekte D hücresi) bu hücreye mç foksiyou izleye biçimde yzılır: = 5*A+8*B Amç foksiyoud sor d kısıtlyıcılr bezer şekilde y hücrelere girilir. Örek uygulm içi kısıtlyıcı foksiyolrı yzılışı ve hücre dresleri izleye biçimdeki gibi girilmiştir: E Hücresie =4*A+6*B-4 F Hücresie =*A+B-8 G Hücresie =3*A+9*B-36 H Hücresie =A I Hücresie =B Bu deklemleri girilmeside sor, çözüm öcesi hücrelerde oluş durum izleye şekildeki gibidir: Şekil. Deklemleri Excel Hücrelerie Girilmesi Bu şmd sor ktif hücre olrk mç foksiyou buluduğu D hücresi seçilmeli ve rçlr meüsüde çözücü işlevi çlıştırılmlıdır. Çözümü ve gerekli prmetreleri tımlcğı çözücü prmetreleri peceresi çılcktır (Şekil 3).

58 ALAN ve YEŞİLYURT Şekil 3: Çözücü Prmetreleri Peceresi Bu peceredeki Hedef Hücre, mç foksiyou buluduğu hücredir. Çükü elde edile çözüm soucud e yüksek kâr y d e düşük mliyet (optimum souç) bu hücrede gerçekleşecektir. Eşittir: prmetreside ise eğer kâr mksimizsyou problemi çözülecekse E Büyük, mliyet miimizsyou çözülecekse E Küçük ltertifi oylmlıdır. Eğer ylızc deklem sistemi çözülecekse bu durumd Eşittir=0 prmetresi seçilmelidir. Değişe hücreler kısmı ise mksimizsyo y d miimizsyo problemii çözümü soucud elde edilecek X ve X değerleridir. Kısıtlmlr bölümü ise kısıtlyıcı foksiyolrı tımldığı bölümdür. Ekle düğmesi tıklrk kısıtlyıcı foksiyolr sırsıyl seçilmelidir. Şekil 4. te ekle düğmesii tıklmsı ve birici kısıtlyıcıı seçilmesi ile elde edilmiştir. Bezer şekilde diğer kısıtlyıcılrd tek tek girilmelidir. Şekil 4: Kısıtlyıcı Foksiyolrı Eklemesi Burd Tmm düğmesi oylrk y d tekrr Ekle düğmesi seçilerek dh sorki kısıtlyıcılrı girilmesi sğlbilir.bütü

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 59 kısıtlyıcılrı girilmesiyle elde edile çözücü prmetreleri peceresi Şekil:5 teki gibi elde edilecektir. Şekil 5:Çözücü Prmetrelerii Tımlmsı Bu şm ile bütü çözücü prmetreleri girilmesi tmmlmış olur. Çöz düğmesii tıklmsı ile D.P. problemi çözülür. Deklemi çözücü işlevi ile çözümüde elde edile Excel çlışm syfsı izleye biçimdeki gibidir (Şekil 6). Şekil 6:Souç Ekrı Çlışm syfsıd d görüldüğü gibi X=0, x=4 ve mç foksiyou Z mx =3 olrk bulumuştur. İzleye D.P. Problemide ise miimizsyo öreğii Excel çözücüsü ile çözümü verilmiştir. Amç Foksiyou: Kısıtlyıcılr: Pozitif Kısıtlm: Z 4 + x mi = x + 8x 36 4x 6x + x + x + 3x + 9x 3 3 5 8 3

60 ALAN ve YEŞİLYURT x 0, x 0, x3 0 Excel çlışm syfsıdki A, B ve C dreslerie X,X ve X3 girilmeli ve A, B ve C dreslerie 0 (sıfır) değeri yzılmlıdır. Sorki dımd uygu bir hücreye gelierek (Örekte E hücresi) bu hücreye mç foksiyou izleye biçimde yzılmlıdır: =4*A+8*B+36*C Amç foksiyoud sor d kısıtlyıcılr bezer şekilde y hücrelere girilmelidir. Kısıtlyıcı foksiyolrı yzılışı ve hücre dresleri izleye biçimdeki gibi girilmiştir: F Hücresie =4*A+*B+3*C-5 G Hücresie =6*A+B+9*C-8 H Hücresie =A I Hücresie =B J Hücresie =C Bu deklemleri girilmeside sor hücrelerde oluş durum izleye şekildeki gibidir (Şekil:7): Şekil 7: Deklemleri Excel hücrelerie Girilmesi Bu şmd sor ktif hücre olrk mç foksiyou buluduğu D hücresi seçilmeli ve rçlr meüsüde çözücü işlevi çlıştırılmlıdır. Çözücü prmetreleri örek probleme uygu olrk izleye biçimde tımlmıştır.

C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 6 Şekil:8. Çözücü Prmetrelerii Tımlmsı Bu prmetreleri tımlmsıd sor Çöz düğmesi tıklır ve optimum çözüm elde edilmiş olur. Çöz düğmesii tıklmsıd sor elde edile Excel çlışm syfsı izleye biçimde elde edilmiştir (Şekil:9). Şekil:9. Souç Ekrı Çlışm syfsıd d görüldüğü gibi X=,66667, x=0, x3=0, ve mç foksiyou Z mi =3 olrk bulumuştur. KAYNAKÇA Esi Alpteki, Yöeylem Arştırmsıd Yrrlıl Krr Yötemleri, Gzi Üiversitesi Yyı No:6, Akr 988. Hcıslihoğlu Hilmi ve Diğerleri, Geel Mtemtik, Adolu Üiversitesi Yyılrı, Yyı No:4, Eskişehir, 99. J E Besley, Lier progrmmig-formultio OR-Notes, http://www.ms.ic.c.uk/jeb/or/lp.html 06.06.003 Lier Progrmmig:Frequetly Asked Questio, Q. Wht is Lier rogrmmig? http://uix.mcs.l.gov/otc/guide/fq/lier-progrmmigfq.html, 06.06.003

6 ALAN ve YEŞİLYURT Spirodi (Spyros) Reveliotis, A Itroductio to Lier Progrmmig d the Simplex Algorithm http://www.isye.gtech.edu/ ~spyros/lp/lp.html, 06.0.6.003 Tuluy Yılmz, Mtemtik Progrmlm ve İşletme Uygulmlrı,Byrk Mtbcılık, İstbul 987. Yvuz Uğur, Excel 97, Attürk Üiversitesi Yyı No:4, Erzurum 999 Yeşilyurt Cvit, Nolieer Mtemtik Progrmlm Modelleride Kudrtik Progrmlm ve Sivs Ulş Süt Fbriksıd Bir Uygulm, Yyılmmış Y.Liss Tezi, Sivs 996. Yılmz Zekyi, Syısl Yötemler, Uludğ Üiversitesi, Burs 995 http://www.gtep.edu.tr/~bidb/ofisyrdimci/excel/e_bicim.htm 06.06.003