Doç. Dr. A. Kürflat ERBAfi

Transkript

1 Nesibe AYDIN Doç. Dr. A. Kürflt EBAfi Bu kitp, Milli E itim Bkl, Tlim ve Terbiye Kurulu Bflkl..9 trih ve 8 sy l Kurul krr yl, - ö retim y l d itibre (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir. AYDIN YAYINCILIK VE E T M H ZMETLE Nfi. T C VE AN. A. fi. Hym Yolu. km. Krfl yk Mh. 77. k. Nu.: Gölbfl / ANKAA tlf.:. 8 belgeç: ertifik Nu.: 67

2 Bu kitb her hkk skl d r ve AYDIN YAYINCILIK ANON M fi KET NE ittir. Kitb düzei, meti, soru ve flekilleri k sme de ols hiçbir flekilde l p yy mlmz. IBN ED TÖ Betül B BEO LU POGAM GEL fit ME UZMANI Burcu A CA D L UZMANI uz Gülgü TÜK GÖEL TAAIM UZMANI Bor ENGE ÖLÇME DE ELEND ME UZMANI Hüseyi fi N EHBEL K VE P KOLOJ K DANIfiMANLIK UZMANI Hk GÜLLE BAKI YE VE YILI Akr, BAKI, C LT Özgü Mtbc l k. ve Tic. A.fi. Akr-Poltl Devlet Kryolu. km. Özgü Grup sitesi, Temelli Beldesi/Poltl -ANKAA Tel: () 6 9 (Pb) Belgeç: () II

3 T KLÂL MAfiI Korkm, sömez bu flfklrd yüze l sck; ömede yurdumu üstüde tüte e so ock. O beim milletimi y ld z d r, prlyck; O beimdir, o beim milletimidir ck. Çtm, kurb oly m, çehrei ey zl hilâl! Khrm rk m bir gül! Ne bu fliddet, bu celâl? olmz döküle klr m z sor helâl... Hkk d r, Hkk' tp, milletimi istiklâl! Be ezelde beridir hür yfld m, hür yflr m. Hgi ç lg b zicir vurckm fl? fiflr m! Kükremifl sel gibiyim, bedimi çi er, flr m. Y rtr m d lr, egilere s mm, tflr m. Grb âfâk srm fls çelik z rhl duvr, Beim im dolu gö süm gibi serhddim vr. Ulusu, korkm! Ns l böyle bir im bo r, Medeiyet! dedi i tek difli klm fl cvr? Arkdfl! Yurdum lçklr u rtm, sk. iper et gövdei, dursu bu hyâs zc k. Do ckt r s v'detti i güler Hkk'... Kim bilir, belki yr, belki yr d d yk. Bst yerleri toprk! diyerek geçme, t : Düflü lt dki bilerce kefesiz yt. e flehit o lusu, icitme, yz kt r, t : Verme, düylr ls d, bu ceet vt. Kim bu ceet vt u ru olmz ki fedâ? fiühedâ f flk rck topr s ks, flühedâ! Câ, cââ, bütü vr m ls d Hud, Etmesi tek vt md bei düyd cüdâ. uhumu sede, lâhi, fludur ck emeli: De mesi mbedimi gö süe âmhrem eli. Bu ezlr -ki flehdetleri dii temeli- Ebedî yurdumu üstüde beim ilemeli. O zm vecd ile bi secde eder -vrs- tfl m, Her cerîhmd, lâhi, bofl p kl yfl m, F flk r r ruh- mücerred gibi yerde â'fl m; O zm yükselerek rfl de er belki bfl m. Dlgl se de flfklr gibi ey fll hilâl! Olsu rt k döküle klr m hepsi helâl. Ebediye s yok, rk m yok izmihlâl: Hkk d r, hür yflm fl, byr m hürriyet; Hkk d r, Hkk' tp, milletimi istiklâl! Mehmet Âkif EOY III

4 ATATÜK'ÜN GENÇL E H TABE Ey Türk geçli i! Birici vzife, Türk istiklâlii, Türk cumhuriyetii, ilelebet, muhfz ve müdf etmektir. Mevcudiyetii ve istikblii yegâe temeli budur. Bu temel, sei, e k ymetli hziedir. stikblde dhi, sei, bu hziede, mhrum etmek isteyecek, dhilî ve hricî, bedhhlr olckt r. Bir gü, istiklâl ve cumhuriyeti müdf mecburiyetie düflerse, vzifeye t lmk içi, içide buluc vziyeti imkâ ve fleritii düflümeyeceksi! Bu imkâ ve flerit, çok âmüsit bir mhiyette tezhür edebilir. stiklâl ve cumhuriyetie kstedecek düflmlr, bütü düyd emsli görülmemifl bir glibiyeti mümessili olbilirler. Cebre ve hile ile ziz vt, bütü kleleri zpt edilmifl, bütü terselerie girilmifl, bütü ordulr d t lm fl ve memleketi her köflesi bilfiil iflgl edilmifl olbilir. Bütü bu fleritte dh elîm ve dh vhim olmk üzere, memleketi dhilide, iktidr ship ollr gflet ve dlâlet ve httâ h yet içide bulubilirler. Httâ bu iktidr shipleri flhsî meftlerii, müstevlileri siysî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fkr u zruret içide hrp ve bîtp düflmüfl olbilir. Ey Türk istikblii evlâd! flte, bu hvl ve flerit içide dhi, vzife; Türk istiklâl ve cumhuriyetii kurtrmkt r! Muhtç oldu u kudret, dmrlr dki sîl kd, mevcuttur! IV

5 Mustf Keml ATATÜK V

6 Ç NDEK LE. BÖLÜM KAMAfiIK AYILA Proje KAMAfiIK AYILA Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Krmfl k y lr Kümesi ki Krmfl k y Eflitli i Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi Bir Krmfl k y Efllei i Krmfl k y Modülü Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri.... Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri..... Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Krmfl k y lrd Çrpm fllemii Özellikleri Krmfl k y lrd Bölme fllemi Eflleik ile lgili Özellikler Modül ile lgili Özellikler kici Derecede Bir Bilimeyeli Deklemleri Krmfl k y Kökleri ki Krmfl k y Ars dki Uzkl k Al flt rmlr KAMAfiIK AYILAIN KUTUPAL B Ç M Kutupsl Koorditlr Krtezye Koorditlr ile Kutupsl Koorditlr Ars dki B t lr Krmfl k y lr Kutupsl Gösterimi Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Çrpm ve Bölme fllemleri Bir Krmfl k y Oriji Etrf d Pozitif Yöde α Aç s Kdr Dödürülmesi Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lr Kuvvetii Alm Bir Krmfl k y Kökleri Bir Krmfl k y Krekökleri Bir Krmfl k y Küp Kökleri Bir Krmfl k y. Derecede Kökleri Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM LOGA TMA Proje ÜTEL FONK YON VE LOGA TMA FONK YONU Üstel Foksiyo Logritm Foksiyou Üstel ve Logritmik Foksiyolr Grfikleri f : +, f() Foksiyouu Grfi i f : +, f() log Foksiyouu Grfi i Oluk Logritm Foksiyou Do l Logritm Foksiyou Logritm Foksiyouu Özellikleri Tb De ifltirme Oluk Logritmyl lgili Bz Özellikler Al flt rmlr ÜLÜ VE LOGA TMALI DENKLEMLE VE Efi T ZL KLE Üslü Deklemler Logritml Deklemler Üslü Eflitsizlikler Logritml Eflitsizlikler Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME O Tb Göre Logritm Cetveli BÖLÜM PEMÜTAYON, KOMB NAYON, OLAILIK VE TAT T K Proje PEMÜTAYON ym Yötemleri Fktöriyel Permütsyo Eleml Bir Kümei r li Permütsyolr Döel (Diresel Permütsyo) Tekrrl Permütsyo Al flt rmlr KOMB NAYON Eleml Bir Kümei r li Kombisyolr Al flt rmlr B NOM AÇILIMI Al flt rmlr OLAILIK Deey, Ç kt, Öreklem Nokt ve Öreklem Uzy.... Oly, mkâs z Oly ve Kesi Oly Ayr k Oly Ols l k Foksiyou Efl Ols l (Olumlu) Öreklem Uzy Koflullu Ols l k B ms z ve B ml Olylr Al flt rmlr VI

7 TAT T K erpilme Grfi i Kutu Grfi i Verileri Grfiksel Gösterimi Merkezî E ilim ve Yy l m Ölçüleri tdrt Pu Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM TÜMEVAIM VE D Z LE Proje TÜMEVAIM Al flt rmlr TOPLAM VE ÇAPIM EMBOLÜ Toplm (Σ) embolü Toplm embolüü Kull m ile lgili Özellikler Çrp m (Π) embolü Çrp m embolüü Kull m ile lgili Özellikler Al flt rmlr D Z LE olu Dizi bit Dizi ki Dizii Eflitli i Dizilerde fllemler Art ve Azl Diziler Al flt rmlr A TMET K VE GEOMET K D Z LE Aritmetik Dizi Aritmetik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Frk Türüde Bulm Aritmetik Dizii Özellikleri Geometrik Dizi Geometrik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Çrp Türüde Bulm Geometrik Dizii Özellikleri Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME BÖLÜM MAT, DETEM NANT VE DO UAL DENKLEM TEMLE Proje MAT LE Mtris Mtris Çeflitleri ki Mtrisi Eflitli i Mtrislerde Toplm ve Ç krm fllemi Mtrislerde Toplm fllemii Özellikleri Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Özellikleri Mtrislerde Çrpm fllemi Mtrislerde Çrpm fllemii Özellikleri Kre Mtrisleri Kuvvetleri Bir Mtrisi Çrpm fllemie Göre Tersi Mtrisleri Çrpm fllemie Göre Terslerii Özellikleri Mtrislerde Devrik (Trspoz) fllemi Mtrislerde Devrik (Trspoz) fllemii Özellikleri Al flt rmlr DO UAL DENKLEM TEMLE Do rusl (Lieer) Deklem istemleri Bir Do rusl Deklem istemii Mtrisle Gösterimi Al flt rmlr DETEM NANTLA ve Türüdeki Mtrisleri Determit....6 Miör ve Kofktör Kvrmlr Türüdeki Bir Mtrisi Determit Determit Özellikleri rrus (rus) Yötemi Ek (Adjoit) Mtris Al flt rmlr DO UAL DENKLEM TEMLE Do rusl Deklem istemlerii Ters Mtris Kullrk Çözme Crmer (K rmer) Kurl Al flt rmlr ÇÖZÜMLÜ TET DE ELEND ME DE ELEND ME CEVAP ANAHTAI ÖZLÜK KAYNAKÇA Mtemtik Dersie Krfl Tutum Ölçe i Proje De erledirme Formu Öz De erledirme Formu VII

8 C Gerçek sy lr Krmfl k sy lr i l birim (i ) z z krmfl k sy s efllei i z cisα α β θ z krmfl k sy s modülü cosα + isiα Alf iflreti Bet iflreti Tet Yklfl k olrk eflit ~ Bezerlik iflreti º Yklfl kl k iflreti log l e tbl logritm foksiyou e tbl logritm foksiyou Euler (Oyl) sy s! fktöriyel P(, r) C(, r) E A i r li permütsyou i r li kombisyou E öreklem uzy tüm lt kümelerii kümesi EMBOLLE P(A B) z T A B koflullu ols l z pu T pu Aritmetik ortlm Σ Toplm sembolü Π Çrp m sembolü ( ) ( ) dizisi [ ij ] m m türüde bir mtris O m I A T, A d A [A B] m türüde s f r mtrisi. derecede birim mtris A mtrisii devri i (trspozu) A mtrisii tersi Bir do rusl deklem sistemii geiflletilmifl mtrisi A A mtrisii determit Bir mtristeki ij. elem miörü M ij A ij Ek(A) K TABIMIZI TANIYALIM Bir mtristeki ij. elem kofktörü A mtrisii ek mtrisi Ç NDEK LE. BÖLÜM Üstel Foksiyo KAMAfiIK AYILA Logritm Foksiyou Proje Üstel ve Logritmik Foksiyolr Grfikleri KAMAfiIK AYILA f : +, f() Foksiyouu Grfi i Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? f : +, f() log Foksiyouu Grfi i l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Oluk Logritm Foksiyou Krmfl k y lr Kümesi Do l Logritm Foksiyou ki Krmfl k y Eflitli i Logritm Foksiyouu Özellikleri Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi Tb De ifltirme Bir Krmfl k y Efllei i Oluk Logritmyl lgili Bz Özellikler Al flt rmlr Krmfl k y Modülü ÜLÜ VE LOGA TMALI DENKLEMLE VE Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri.... Efi T ZL KLE Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri..... Üslü Deklemler Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Logritml Deklemler Krmfl k y lrd Çrpm fllemii Özellikleri Üslü Eflitsizlikler Krmfl k y lrd Bölme fllemi Logritml Eflitsizlikler Eflleik ile lgili Özellikler Al flt rmlr Modül ile lgili Özellikler ÇÖZÜMLÜ TET kici Derecede Bir Bilimeyeli Deklemleri DE ELEND ME Krmfl k y Kökleri DE ELEND ME ki Krmfl k y Ars dki Uzkl k O Tb Göre Logritm Cetveli Al flt rmlr KAMAfiIK AYILAIN KUTUPAL B Ç M BÖLÜM Kutupsl Koorditlr PEMÜTAYON, KOMB NAYON, OLAILIK VE Krtezye Koorditlr ile Kutupsl Koorditlr TAT T K Ars dki B t lr Proje Krmfl k y lr Kutupsl Gösterimi PEMÜTAYON Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd ym Yötemleri Toplm ve Ç krm fllemleri Fktöriyel Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Permütsyo Çrpm ve Bölme fllemleri Eleml Bir Kümei r li Permütsyolr Bir Krmfl k y Oriji Etrf d Pozitif Yöde Döel (Diresel Permütsyo) α Aç s Kdr Dödürülmesi Tekrrl Permütsyo Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lr Al flt rmlr Kuvvetii Alm KOMB NAYON Bir Krmfl k y Kökleri Eleml Bir Kümei r li Kombisyolr Bir Krmfl k y Krekökleri Al flt rmlr Bir Krmfl k y Küp Kökleri B NOM AÇILIMI Bir Krmfl k y. Derecede Kökleri Al flt rmlr Al flt rmlr OLAILIK ÇÖZÜMLÜ TET Deey, Ç kt, Öreklem Nokt ve Öreklem Uzy.... DE ELEND ME Oly, mkâs z Oly ve Kesi Oly DE ELEND ME Ayr k Oly BÖLÜM Ols l k Foksiyou LOGA TMA Efl Ols l (Olumlu) Öreklem Uzy Proje Koflullu Ols l k ÜTEL FONK YON VE LOGA TMA B ms z ve B ml Olylr FONK YONU Al flt rmlr VI Bir müzik grubuu mejeri, geçmifl koserleri gelirlerie dyrk bir koserde elde edilecek thmiî geliri, bir bileti st fl fiyt TL olmk üzere G() foksiyou ile modelleyebilece ii keflfetmifl. Bu göre;. Bir koserde elde edilecek geliri 6 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? b. Bir koserde elde edilebilecek gelir e çok kç TL olbilir? c. Bir koserde elde edilecek geliri 8 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? ç. ve c seçeekleride krfl lflt z durumlr elerdir? ki durum rs dki frk edeii ç kly z. l Birim ve l Birimi Kuvvetleri Gerçek sy lrd kökü olmy ikici derecede deklemlere örek veriiz. Bu deklemleri köklerii gerçek sy lrd ede olmd l birim (i sy s ) ç kly z. Ns l bir sy kümesi t mlm fl olsyd bu tür deklemleri kökleri l birimi kuvvetleri bulubilirdi? Aç kly z. i Afl d yp l ifllemleri iceleyiiz.. -.( - ) b. ] g ] g c. ç. ] g ve -6 sy lr içi yp z.,, Yukr dki ifllemleri bezerlerii - yerie i yzrk ilk iki d md verile sy lr i ciside yz z. Afl dki eflitlikleri s l yz ld iceleyiiz. ^ h i i. i i - -. dir. b. i i. ] g - - dir. Yukr dkie bezer flekilde i sy s fl dki kuvvetlerii hesplyrk Tblo. i dolduruuz. Tblo. i i i i i i i 6 i 7 i 8 i 9 i i i... i Tblo. de ç krd z gözlem ve souçlr ç kly z. Örek + deklemii köklerii bull m: - i diyelim i buluur. bu sy y - sy s, sl (imjier) sy birimi diyece iz ve - i fleklide ifde edece iz.. Bölüm Krmflık yılr i Bu göre z ( + i) ifdesii e büyük de eri, z okts çembere z + i C(, ) e uzu uzkl d r. z okts çembere e uzu uzkl AC oldu ud, AC AO + OC r + z buluur. Peki, çember üzerideki hgi okt z okts e yk uzkl ktd r? B Bu göre siz de z içi z ( + i) ifdesii e küçük de erii buluuz. O A. Krmfl k düzlemde z i ve z i krmfl k sy lr rs dki uzkl k kç birimdir? - -. z + iy olmk üzere fl dki kümeleri ifde ede grfikleri krmfl k düzlemde çiziiz.. {z : e(z), z C} b. {z : m(z) <, z C} c. {z : e(z) + m(z), z C} ç. {z : z, z C} d. {z : z i, z C} e. {z : z + <, z C} f. {z : z + i, z C} g. {z : z + i, z C}. {z : < z, z C}. P() poliomu veriliyor. Bu göre P( i) fl dkilerde hgisidir? A) i B) + i C) i D) E) 9. i + i + i i 8 toplm kçt r? ( pucu: i + i + i + i oldu uu gösteriiz.). Afl dki krmfl k sy lr her birii + bi fleklide yz z.. i + i i 7 + i b. i + i i c. i + i 7 + i i 6 ç. i. ( i ) + i. ( + i + i ). Üç bileflei oldu u prlel b l bir AC devreside empedslr + i ohm, + i ohm ve + i ohm ise efl de er empeds edir?. Afl dki eflitlikleri gerçekleye z krmfl k sy lr buluuz.. z + iz i b. z z + i c. i z z i 6. Afl d kökleride biri verile ikici derecede gerçek kt sy l deklemleri buluuz.. i b. + i c. i ç. + i 7. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. kici derecede gerçek kt sy l bir deklemi kökleride biri i ise di eri... dir. b., y,, y, r içi + yi ( + y i) r eflitli i... ol bir... belirtir. c. kici derecede bir bilimeyeli bir deklem içi Δ < ise bu deklemi... kümeside kökü yokke... kümeside kökü vrd r. 8. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. + (i ) i b. + ( i) i 9. z + ise e _ z -i kçt r? ] - i g ] + i g. z z ve z ( + i) ise z krmfl k sy s buluuz. ] + ig^ + i 6h. eflitli ii s ly + sy s buluuz. - i. Afl dki kümelere krfl l k gele bölgeleri, krmfl k düzlemde gösteriiz.. {z : z i, z C} b. {z : z + i, z C} c. {z : < z <, z C} c. {z : z < ve m(z), z C} ç. {z : z < ve e(z), z C}. z+i eflitli ii s ly krmfl k sy lrd modülü e küçük ve e büyük ollr buluuz. 8. Bölüm Krmflık yılr Ortö retim Mtemtik. f Progrm hftl k stlik ve stlik dersler içi yr yr hz rlm flt r. Bu kitpt hftl k stlik progrm koulr içere bfll klr Ç NDEK LE k sm d ve üsh içideki bfll klrd rekli fo ile, syf ylr d d y rek fleritlerle belirtilmifltir. Ayr c stlik progrm koulr yl ilgili sorulr Al flt rm, Çözümlü Test ve De erledirme bölümleride de rekli fol gösterilmifltir. VIII

9 lgili koud eler ö reece iizi gösterir. lgili koud kull lck sembolleri gösterir. fllee kouyl ilgili trihsel bilgileri içerir. fllee kouyl ilgili, merk z uyd rck, zm zm rflt rm ypm z gerektirecek bilgileri içerir. Birlikte çözece imiz, kouyu pekifltirecek sorulr içerir. Kou soud ö redikleriizi pekifltirmeizi s lyck sorulr içerir. Kouyl ilgili ö redikleriizi uygulybilece iiz sorulr içerir. Düşüce Kutusu fllee kouyl ilgili rkdfllr zl trt - flrk cevplm z gerektirecek düflüdürücü sorulr içerir. Kouyl ilgili ö redikleriizi pekifltirece iiz, cevpld kt sor çözümlerie bkrk kediizi de erledirebilece iiz sorulr içerir. Zm do ru kullm z, ö redikleriizi ve mtemtiksel becerileriizi s m z s lyck bölüm sou çl flmlr içerir. Kou iflleiflide dikkt çeke souçlr içerir. Verile kouyl ilgili rflt rmlr z ve çl flmlr z somutlflt rrk subilece- iiz projeleri içerir. Ypt z her projede sor,. syfdki Proje De erledirme Formu u doldurmy uutmy z. Tek bfl z vey grup hâlide çl flrk ypbilece iiz, keflferedek ö remeizi s lyck etkilikleri içerir. Kou iflleiflide sizde yp lms isteeleri gösterir. Kou iflleiflideki yei kvrm, t m, sembol ve htr bilgilerle dikkt edilmesi gereke ç klmlr içerir. flleecek kouy merk z rt rck bilgi ve sorulr içerir. Tekoloji imgeleri Kitpt, zm zm tekoloji simgeleri ile krfl lflcks z. Bu simgeleri gördü üüz yerlerde fl d belirtile tekolojik rç ve/ vey yz l mlr kullm z öerilmektedir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir bilimsel hesp mkiesi kullm z öerilmektedir. Bilimsel hesp mkieleri, sy sl hesplr yp lms yrd m ede tfl bilir cihzlr verile geel isimdir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir grfiksel hesp mkiesi kullm z öerilmektedir. Grfiksel hesp mkieleri, mtemtiksel foksiyolr grfiklerii çizme ve liz etme kpsitesie ship özel bilimsel hesp mkielerie verile geel isimdir. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir elektroik tblo ( hesp çizelgesi) yz l m kullm z öerilmektedir. Elektroik tblo yz l mlr, sy sl verileri st r ve sütulr hâlide ( tblo formt d) girilmesii; tblou gözelerii toplm, ç krm, çrpm, bölme ifllemleri ve di er birçok mtemtiksel formüller ve foksiyolr kull lrk iliflkiledirilmesii s lr. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir dimik geometri yz l m kullm z öerilmektedir. Dimik geometri yz l mlr, geometrik flekil ve cisimleri oluflturm y s r, litik geometri ile iliflkili koulrd d ( öre- i, foksiyolr grfiklerii çizmede) kull lmktd r.. Bu simgeyi gördü üüz yerlerde, bir Bilgisyr Cebir istemleri (BC) yz l m kullm z öerilmektedir. BC; sy sl ifllemleri y s r poliomlr çrp m, sdelefltirilmesi, deklem çözümleri gibi sembolik mtemtiksel ifllemleri ypbile yz l mlr verile geel isimdir. Not:. bölümü bfl d ve. bölümü soud, 8. syfdki Mtemtik Dersie Krfl Tutum Ölçe i i, her bölüm içi verile projeyi ypt kt sor syf 8 deki Proje De erledirme Formu u ve her bölümü soud, 9. syfdki Öz De- erledirme Formu u doldurmy uutmy z. IX

10 De erli ö reciler ve ö retmeler, Bu kitp, yei ortö retim progrm do rultusud yp ld rmc ö reme yklfl m uygu olrk hz rlm flt r. Klsik ö reme yklfl m d ö retim, ilgili mtemtiksel kvrm t m verilmesi, kvrml ilgili teoremleri suulms ve isptlms, rd d d bu teoremlerle ilgili uygulmlr yp lms ve testleri çözülmesi fleklide yp lmktyd. Ö retmei merkeze l bu yklfl m, ö recileri belli kurllr ezberleyerek bu kurllr dyl sembollerle ifllem ypmy tercih etmesie sebep olmktyd. Bu durum ise ezberci ve s k c bir ö retime ve ezberlee bilgileri kl c olmms ede olmktyd. Yp ld rmc ö reme yklfl m d ise ö reme sürecii merkezide ö reci buluur. Ö recileri ö reme sürecie ktif olrk kt lmlr bekleir. Bu yklfl md, ö reci vr ol bir problem üzerideki mtemtiksel kvrmlr keflfederek ö reir ve keflfetti i souçlr do rultusud hipotez kurup iceleme ve rflt rm flmlr soucud hipotezii do rulyrk geelleme ypr. Ard d d kz mlr mtemtikteki di er koulrl, bflk derslerle ve gülük hytl iliflkiledirir. Bu süreçte, ö reci keflfederek lg - ld bilgiyi zihide yp ld r r ve bu d ö reileleri kl c olms s lr. E itimde kull l çeflitli yötemler; lt m, soru cevp, bulufl yoluyl ö reme, gezi-gözlem-iceleme, gösterip ypt rm, örek oly iceleme, problem çözme, proje çl flms, rol oym, ifl birli ie dyl ö reme vb.dir. Kitpt, bu vb. yötem ve tekikler kull lrk ö recileri somut model ve eselerle, grup çl flmlr içide rkdfllr yl ve çevreleriyle etkileflim içide kedi fikirlerii oluflturmlr hedeflemifltir. Bu flekilde ö recileri derse krfl motivsyolr d rtc düflüülmüfltür. Bu kitpt, yp ld rmc ö reme yklfl m uygu olrk klsik ö reme yklfl m d oldu u gibi ö recileri ifllemsel becerilerii gelifltirilmeside çok mtemtiksel kvrmlr ve bulr iliflkiledirilmesii gelifltirilmesi mçlm flt r. oyut itelikli ol mtemtiksel kou ve kvrmlr ö reciler trf d lg lms kolylflt r lms içi somut hyt modelleri kull lm fl ve ö recileri soyutlm ypbilmelerie yrd mc olums mçlm flt r. Kitpt; ö recileri problem çözme, iletiflim kurm, k l yürütme ve iliflkiledirme gibi becerilerii geliflmesie yöelik etkilikler bulumktd r. Bu etkiliklerle ö recileri sdece mtemtiksel kvrm ve biliflsel dvr fllr geliflimie de il y zmd duyuflsl ve psikomotor dvr fllr geliflimie de öem verilmifltir. Bu do rultud ö recileri mtemtik dersie krfl olumlu tutum gelifltirmeleri, mtemtikte kedie yetme becerisi ve öz güvei kzmlr, mtemtik dersiyle ilgili kyg düzeylerii e z idirmeleri ve bu mçl olr yrd mc olums hedeflemifltir. Ö recileri psikomotor dvr fllr geliflimii s lmk içi ise hesp mkiesi ve bilgisyr yz l mlr kull m teflvik edilerek tekolojii etki kull lms mçlm flt r. Proje çl flmlr, ö recileri kedi ö remeleride sorumlu olmlr s lr ve olr ifl birli i içeriside çl flmy motive eder. Buu gerçeklefltirilmesi mc yl ö recileri grup hâlide çl flcklr projelere yer verilmifltir. Ölçme ve de erledirme; e itim sürecii yr lmz ve tmmly c bir prçs d r. Bu kitpt kulld m z ölçme rçlr, klsik ö reme yklfl m d ö recii dh çok ifllem becerisii öe ç kr ölçme rçlr d oldukç frkl d r. Bu mçl kitpt kolyd zor, bsitte krmfl, biliede bilimeyee ve somutt soyut ilkeleriyle hz rlm fl efllefltirme, boflluk doldurm, do ru-yl fl, çokt seçmeli, ç k uçlu sorulr gibi frkl ölçme rçlr yer verilmifltir. Bu ölçme rçlr de erledirilmesii de yie klsik de erledirme yötemleride frkl olrk Proje De erledirme Formu ve Öz De erledirme Formu gibi formlrl yp lms öerilmektedir. Bu kitb, ö recilerimizi özverileriyle, ö retmelerimizi de bilgi, deeyim ve düflüceleriyle birleflerek ülkemiz içi çok öemli bir e itim rc ve ky olc düflücesideyiz. YAZALA X

11 8 li y llrd Hitli mtemtikçi Mhvir; egtif bir sy, herhgi bir sy kresi olmd ve bu edele de kreköküü olmyc söylemifltir. izce Mhvir hkl m yd? Nede? Krmfl k sy lr e tür sy lr olbilir? - ifdesii i ile gösterirsek egtif sy lr krekökleri bulubilir mi? Ns l? Krmfl k sy lr tekik llrd pek çok prtik uygulms vrd r: Fizikte elektromyetik llr kousud yp l çl flmlrd krmfl k sy lr kull l r. Bir elektromyetik ld, elektrik ve myetik bilefleler vrd r. Bu yüzde biri elektrik l yo ulu u, di eri ise myetik l yo ulu u olmk üzere iki yr ölçüm gerekir. Krmfl k sy lr, l yo ulu uu t mlmk içi kull l r. Elektrik mühedisleri, elektrik k m ölçmek ve elektrik devrelerii dvr fllr ç klmk içi krmfl k sy lr kull rlr. Mkie mühedisleri, bilrdki ve köprülerdeki kiriflleri üzerie bie gerilimleri ölçmek içi krmfl k sy lr kull rlr. Vektör mtemti iyle birlefltirildi ide kuvvet ve hreketi modellemek içi de krmfl k sy - lr kull l r. Güefl, y ve y ld zlr gibi uzydki cisimleri hreketlerii ç klmk y d thmi etmek; su vey hv gibi k flklr, hreket ede bir cismi üzerideki (öre i, uç kd dki) k fl liz etmek içi krmfl k sy lr kull l r. Kutum meki ide geifl bir kull m l ship ol ols l k gelikleri ise sl d krmfl k sy lrd bflk bir fley de ildir. Yukr d belirtile mesleklerdeki kiflilerle röportj yp z. Bu kiflileri meslekleride krmfl k sy lr erelerde ve s l kulld klr ç kly bir rpor hz rly z. Hz rld z rporu rkdfllr z suuuz.. Bölüm

12 Projei Adı: Frktllr ve Krmfl k y lr Projei Amçlrı. Frktl kvrm ç klmk. Mdelbrot (Mdelb root) ve Juli (Yuly) Kümeleri gibi frktllrd krmfl k sy lr s l kull ld klr icelemek Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci. Frktl kvrm rflt r z.. tersyou ( tekrrlm) e oldu uu rflt r z.. Beoit Mdelbrot (Beu Mdelb root) u hyt ve elerle u rflt rflt r z.. teret ortm d ücretsiz eriflebilece iiz iterktif uygulmlr bulrk Mdelbrot ve Juli Kümeleri Frktllr ve bulr de iflik özelliklerii rflt r z.. Doudy (Dudi) i Tvfl Frktl, Mrco (e Mrko) Frktl, Detrit (Detrit) Frktl ve iegel (Ziyg l) Disk Frktl gibi özel frktllr ve bulr özelliklerii rflt r z. Projei İçeriği. Frktl e oldu uu t mly z. Frktllr erelerde ve s l kull ld öreklerle ç kly z.. tersyo ile frktllr s l elde edildi ii öreklerle ç kly - z.. Mdelbrot ve Juli Kümeleri Frktllr oluflturmk içi krmfl k sy lr ve itersyou s l kull ld ve bu frktllr özelliklerii ç kly z.. Doudy i Tvfl Frktl, Mrco Frktl, Detrit Frktl ve iegel Disk Frktl hgi özel durumlrd elde edildi ii ç kly z. Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr, ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z.. Bölüm Proje

13 Gerçek y lr Kümesii Nede Geiflletmeliyiz? Gerçek sy lr kümesii geiflletmei gereklili i m/s. h zl yerde hvy dikey olrk f rlt l bir cismi t siye sor yerde yüksekli ii [h(metre)] bulmk içi h(t) t + t foksiyouu kullbiliriz. Bu foksiyod h(t) yerie yzc z hgi gerçek sy lr içi t olur? Yukr d t mld m z h(t) t + t foksiyouu grfi i yd verilmifltir. h(t) t + t foksiyoud h(t) yzrk elde etti iiz deklemi diskrimit ve vrs köklerii buluuz. h(t) t + t foksiyoud h(t) yzrk elde etti iiz deklemi diskrimit ve vrs köklerii buluuz. Üstteki ilk iki d md elde etti iiz deklemlerde gerçek sy lrd çözüm kümesi olmy belirleyiiz. Yol (m) Grfi i iceleyerek cismi ç kbilece i mksimum yüksekli i söyleyiiz. Bu göre, m/s. h zl yerde hvy dikey olrk f rlt l bir cismi metre yüksekli e ç k p ç kmyc trt fl z. Bezer flekilde cisim metre yüksekli e ç kbilir mi, edeleriyle trt fl z. Gerçek sy lr kümesii geiflleterek, gerçek sy lr kümeside çözümü olmy deklemleri köklerii oldu u yei bir sy kümesi t mlmk mümkü müdür? Aç kly z. y Örek y Afl dki ifdeleri iceleyelim: + biçimideki bir deklemi çözmek içi do l sy lr kümesii ( N) geiflleterek tm sy lr kümesii ( Z) t mlm flt k. biçimideki bir deklemi çözmek içi tm sy lr kümesi yetersiz kl c rsyoel sy lr kümesii ( Q) t mlm flt k. deklemii rsyoel sy lrd çözümüü olmd Pisgor (MÖ 8-) göstermifltir. Ydki grfikle de gösterildi i gibi irrsyoel sy lr t mlms yl bu deklemi köklerii ve - oldu u bulumufltur. Böylece, biçimideki deklemleri çözmek içi rsyoel sy lr kümesi ile irrsyoel sy lr kümesii birlefltirerek gerçek sy lr kümesii ( ) t mlm flt k. y Ydki grfikte de görüldü ü gibi + deklemii gerçek sy lr kümesideki çözüm kümesi dir. Bu bölümde bu tür deklemleri çözüm kümesii bulmk içi krmfl k sy lr d verece imiz yei bir sy kümesi t mlyc z. h(t) t + t Zm (s.) y + Krmflık yılr. Bölüm

14 Bir müzik grubuu mejeri, geçmifl koserleri gelirlerie dyrk bir koserde elde edilecek thmiî geliri, bir bileti st fl fiyt TL olmk üzere G() foksiyou ile modelleyebilece ii keflfetmifl. Bu göre;. Bir koserde elde edilecek geliri 6 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? b. Bir koserde elde edilebilecek gelir e çok kç TL olbilir? c. Bir koserde elde edilecek geliri 8 TL olms içi bir bileti fiyt kç TL olml d r? ç. ve c seçeekleride krfl lflt z durumlr elerdir? ki durum rs dki frk edeii ç kly z. l Birim ve l Birimi Kuvvetleri l birim (i sy s ) l birimi kuvvetleri Gerçek sy lrd kökü olmy ikici derecede deklemlere örek veriiz. Bu deklemleri köklerii gerçek sy lrd ede olmd ç kly z. Ns l bir sy kümesi t mlm fl olsyd bu tür deklemleri kökleri bulubilirdi? Aç kly z. i Afl d yp l ifllemleri iceleyiiz.. -.( - ) b. c. -. ]- g. - ç. -. ]- g ]- g. - - Yukr dki ifllemleri bezerlerii -8, -9, - ve -6 sy lr içi yp z. - yerie i yzrk ilk iki d md verile sy lr i ciside yz z. Afl dki eflitlikleri s l yz ld iceleyiiz.. i ^ - h - dir. b. i i. i i. ]- g -i dir. Yukr dkie bezer flekilde i sy s fl dki kuvvetlerii hesplyrk Tblo. i dolduruuz. Tblo. i i i i i i i 6 i 7 i 8 i 9 i i i... i Tblo. de ç krd z gözlem ve souçlr ç kly z. Örek + deklemii köklerii bull m: - i diyelim i buluur. - sy s, sl (imjier) sy birimi diyece iz ve bu sy y i - fleklide ifde edece iz.. Bölüm Krmflık yılr

15 Afl dki sy lr sl sy birimiyle s l yz ld iceleyelim:. -.]- g. - 6 i b ( - ) i dir. Düşüce Kutusu 77 y l d ülü mtemtikçi Euler (Oyl r), - - ifllemii soucuu 6 oldu uu svuuyordu. Euler i bu iddis do ru olup olmd s ftki rkdfllr zl trt flrk krr veriiz. Elektrikte i sembolü geellikle k m lm d kull ld içi elektrik mühedisli ide krmfl k sy lrdki i yerie j kull l r. N olmk üzere, i i i 8... i i i i 9... i + i i i 6 i... i + i i 7 i... i + i vey N içi i {i,, i, } oldu u dikkt ediiz.. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. i i.6+ (i ) 6.i 6. buluur. b. i i.+ i i buluur. c. i i.6+ i i buluur. Z ], k ] ] i, k + i k [ ] -, k + ] -i, k + \ dir. kez Leohrd Euler (Liohrt Oyl r) (77 78) Euler, 78 y l d ilk - yerie i hrfii kullm flt r. * i 76 + i. ifdesii e sde biçimde yzl m: 7 68 i + i i i + i + i i i + i + i ^i h. i + ^ i h. i i + i - + i -- ] i + g - i. i i ^ h + ^ h i + - i + - i olur.. Afl dki sy lr sl birimi kullrk yz z.. - b. - c. -8 ç. - d. -. Afl dki sl birimi kuvvetlerii e sde biçimde yz z.. i 9 b. i c. i ç. i d. i e. i 99. i - ve Z + olmk üzere fl dki ifdeleri e sde biçimde yz z. i + i + i + i + i 6. b. c. (i 7 ) 7 ç. [(i 9 ) ] i 8 i Krmflık yılr. Bölüm

16 Krmfl k y lr Kümesi Krmfl k sy lr Krmfl k sy lr stdrt gösterimi Bir krmfl k sy gerçek ve sl k sm ki krmfl k sy eflitli i C + bi + 7i ifdeside ve 7i s l sy lrd r? Bu terimler bezer terimler midir? Bu terimleri toplm tek bir terim fleklide yzmk mümkü müdür? Nede? A #, -, -, B # -, - -9, -- olmk üzere A ve B kümelerii elemlr rs dki frk ç kly z. A ve B kümeleride birer elem seçip bu elemlr rs + sembolüü koyrk elde etti iiz ifdeyi yz z. Yukr dki d m befl kez tekrrlyrk befl frkl ifde elde ediiz. Elde etti iiz ifdeleri her biride - yerie i yzrk bu ifdeleri, b olmk üzere + bi fleklide yz z. + bi ifdeside sl birim içere terim edir? + bi ifdeside sl birim içermeye terim edir? ve b + olmk üzere + -b ifdesii i ciside s l yz lbilece ii ç kly z. Örek + i ifdesii terimlerii iceleyelim: + i ifdesii terimleri ve i dir. Bu terimlerde sl birim içermez; di eri içerir., b ve i - olmk üzere + bi biçimideki sy lr krmfl k sy lr, tüm krmfl k sy - lr oluflturdu u kümeye de krmfl k sy lr kümesi diyece iz. Krmfl k sy lr kümesii C ile gösterece iz. C { + bi :, b } z C ve z + bi olmk üzere, z krmfl k sy s gerçek k sm ol y e(z), sl (imjier) k sm ol b yi m(z) b fleklide gösterece iz. z + bi gösterimie bu krmfl k sy stdrt biçimi diyece iz. Crl Friedrich Guss (Kâl Fridr ks Gus) Afl d bz krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr s l buludu uu iceleyelim:. z + i e(z) ve m(z) tir. b. z - i e( z) ve m(z) - tür. c. z i z + i oldu ud e(z) ve m(z) tür. ç. z z + i oldu ud e(z) ve m(z) d r. (777 88) Crl Gus, 8 y l d krmfl k sy lr ilk kez + bi fleklide göstermifltir. * Ktz Victor J., A History of Mthemtics: A Itroductio, Hrper Collig College Publishers, New York, Bölüm Krmflık yılr

17 eé Descrtes ( e Dekrt) ki Krmfl k y Eflitli i (96 6) eé Descrtes 67 y l d egtif bir sy kreköküü, imjier (sl) olrk dld rm flt r. O zmd beri krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlrd olufltu u söyleegelmifltir. * Tblo. (, y) z + + y i z + + ( y + ) i (, ) z + +. i + i (, ) (, ) (, ) z. + + (. + ) i + i z + + yi ve z + + (y + )i olmk üzere ve y i frkl de erleri içi Tblo. yi örekteki gibi dolduruuz. Tblou her st r d elde etti iiz z ve z krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr krfl - lflt r z. ve y i hgi de eri içi z ve z krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr s rs yl birbirie eflit olur? Aç kly z. Gerçek ve sl k s mlr s rs yl birbirie eflit ol krmfl k sy lr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z., b, c ve d gerçek sy lr, z + bi ve z c + di olmk üzere, + bi c + di c ve b d vey z z e(z ) e(z ) ve m(z ) m(z ) dir. z + yi, z + + yi + 6i ve z z oldu u göre ve y de erlerii bull m: z z e(z ) e(z ) ve m(z ) m(z ) dir. e(z ), m(z ) y ve e(z ) +, m(z ) y + 6 olur. e(z ) e(z ) + 6 olur. m(z ) m(z ) y y + 6 y 6 buluur.. Afl dki krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr buluuz z b. z - - c. z i ç. z - + i d. z 7. Afl d verile eflitlikleri s ly (, b) ikililerii buluuz (, b ). + b - b b. bi + b + i b. ( i) + b bi + 6 c. + i - - i Krmflık yılr. Bölüm 7

18 Krmfl k y lr Geometrik Gösterimi sviçreli bir muhsebeci ol Je obert Argd [ J b rt Argt (768-8)], 86 y l d krmfl k sy lr litik düzleme bezer bir yp yl göste- Krmfl k düzlem Verile bir krmfl k sy krmfl k rilebilece ii öe sürmüfltür. Ydki flekli iceleyiiz. izce düzlemde gösterilmesi krmfl k sy lr litik düzlemde s l gösterilebilir? DEUTCHE BUNDEPOT II (-+6i) - + III (- 7 -i) +y -y (+i) (7-πi) CALE GAU I IV (, ), (,), (, ) oktlr ydki litik düzlemde gösteriiz. Bu litik düzlemi ekseii gerçek ekse, y ekseii de sl ekse olrk düflüüüz. Bu durumd bu düzleme e d verebilirsiiz? Gerçek k s mlr (, ), (, ), (, ) oktlr psisleri, sl k - s mlr d bu oktlr orditlr ol krmfl k sy lr yz z. Yzd z krmfl k sy lr ile litik düzlemde gösterdi iiz oktlr efllefltiriiz. Alitik düzlemde ekseii gerçek ekse, y ekseii de sl ekse olrk kbul edersek krmfl k sy lr litik düzlemde s l gösterilebilece ii ç kly z. y Örek Afl d yp llr iceleyelim: > ve y > olmk üzere z + yi krmfl k sy s krfl l k gele okt (, y) dir. O hâlde z + yi krmfl k sy s krmfl k düzlemde ydki gibi gösterilir. y y O(, ) + y i Krmfl k sy lr ile litik düzlemi oktlr rs d bire bir ve örte bir eflleme yp lbilir. Bu efllemede z + ib krmfl k sy s (, b) okts krfl l k gelir. Bu flekilde bir eflleme ile oluflturul düzleme krmfl k düzlem deir. Krmfl k düzlemde; ekseie gerçek ekse, y ekseie de sl ekse d verilir. Afl dki krmfl k sy lr, krmfl k düzlemde gösterelim:. z + i b. z + i c. z i ç. z i d. z e. z 6 i Yukr d verile krmfl k sy lrl, bu sy lr krfl l k gele oktlr fl d efllefltirilmifltir. celeyiiz. z + i (,) z + i (,) z i (, ) z i (, ) z (,) z 6 i (, ) Bu oktlr ydki krmfl k düzlemde s l gösterildiklerii ç kly z. z + i y z + i z z i z 6 z i Lord illim Hmilto (Lord Vily m Hem lt ) (8 86) Lord illim Hmilto, krmfl k sy lr geometrik gösterimie ltertif olrk 8 y l d + yi fleklideki bir krmfl k sy soyut gösterimi ol (, y) yi öermifltir. * 8. Bölüm Krmflık yılr

19 y Afl d isteeleri yp z. i. Ydki krmfl k düzlemde verile oktlr + b i fleklide yz z. ii. Afl dki krmfl k sy lr, ydki krmfl k düzlemde gösteriiz.. b. i c. ç. + i d. i e. i f. i g. + i z z 7 z z 8 z 6 z z z Bir Krmfl k y Efllei i Alitik düzlemde, (, ) ve (, ) oktlr rs dki iliflkiyi ç kly z. Bezer bir iliflki z + i ve z i krmfl k sy lr rs d vr m d r? Ns l? Bir krmfl k sy efllei i Bir krmfl k sy modülü Örek z z Tblo. ü iceleyerek tblou ilk üç st r d verile krmfl k sy lr gerçek ve sl k s mlr krfl lflt r z. Elde etti iiz souc göre tblou so üç st - r dki oktl yerleri dolduruuz. Tblo. Afl d yp llr iceleyelim: z + i ve z i krmfl k sy lr krfl l k gele oktlr, ydki krmfl k düzlemde gösterilmifltir. Bu oktlr gerçek eksee göre simetrik oldu u dikkt ediiz. + i i i + i i i + i... i... i... Tblou her bir st r d verile krmfl k sy çiftlerii krmfl k düzlemde göstererek görütülerii krfl lflt r z., b olmk üzere z + bi ve z bi krmfl k sy lr ve bu sy lr krmfl k düzlemdeki görütüleri rs dki iliflkiyi ç kly z. + bi ve bi krmfl k sy lr d birie di erii efllei i diyece iz ve z krmfl k sy s efllei ii z ile gösterece iz. z + bi + ]- bgi -bi i O z + i z i Afl dki krmfl k sy lr eflleiklerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim: i. z + i b. z i c. z ç. z i. z + i i efllei i z + i i dir. b. z i i efllei i z i- - + i i dir. c. z ü efllei i z + i i tür. ç. z i i efllei i z i + i i i dir. z z z z z z O z z Bir krmfl k sy ( z) krmfl k düzlemdeki görütüsü ile efllei ii ( z ) krmfl k düzlemdeki görütüsü gerçek eksee göre simetriktir. Krmflık yılr. Bölüm 9

20 Krmfl k y Modülü Herhgi bir z + bi krmfl k sy s lrk (öre i, z + i) krmfl k düzlemde gösteriiz. Ald z krmfl k sy y krfl l k gele okty, krmfl k düzlem üzeride iflretleyiiz. Bu okt litik düzlemde bfllg ç okts ol uzkl buluuz., b olmk üzere krmfl k düzlemde bir z + bi krmfl k sy s krfl l k gele okt bfllg ç okts (oriji) ol uzkl s l bulubilir? Aç kly z. Örek z 6 8i krmfl k sy s krfl l k gele okty belirtelim ve bu okt orijie ol uzkl bull m: z 6 8i sy s krfl l k gele okt (6, 8) dir. Pisgor B t s yrd m yl, (6, 8) okts orijie ol uzkl z 6 + ]- 8g 6+ 6 olrk buluur. i Krmfl k düzlemde, bir z krmfl k sy s krfl l k gele okt bfllg ç okts ol uzkl bu krmfl k sy modülü diyece iz ve z krmfl k sy - b z + bi b s modülüü z ile gösterece iz. z + bi z + bi + b dir. O Bir gerçek sy mutlk de eri, sy bfllg ç okts ( orijie) ol uzkl - gösterdi i gibi; bir krmfl k sy modülü de o krmfl k sy orijie ol uzkl belirtir. z Afl dki krmfl k sy lr ve eflleiklerii modüllerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim:. z + i b. z i c. z i. z b. z i + i z + tür. z - i - i z + ]- g tür. c. z -- i z ]- g + ]- g tir. + i z + tir. z - + i z ]- g + z - i z + ]- g tir. i tir. z z z z z z O z z z z z z Bir krmfl k sy ile efllei ii modülleri birbirie eflittir. Yi z z dir.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri y dki kutulr D, yl fls Y yz z bi+ bi- d r b. ] i+ g ]--ig dir. 98 c. b < içi + bi -bi dir. ç. ^i+ i + i i h i+ dir... Tblo. teki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. b. Tblodki krmfl k sy lr, bu sy lr eflleiklerii ve modüllerii krmfl k düzlemde gösteriiz. Tblo. Krmfl k y (z) i i cos +isi... Gerçek K sm (e(z)) l K sm ( m(z)) Modülü ( z ) Efllei i ( z) Bölüm Krmflık yılr

21 Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri Krmfl k sy lrd toplm ve ç krm ifllemleri ve bu ifllemleri geometrik yorumlr Krmfl k sy lrd toplm ifllemii özellikleri Bir ltertif k m (AC) devreside bobi, kodstör, direç gibi elemlr çeflitli flekillerde b lms soucud ltertif k m krfl gösterile efl de er direce empeds d verilir. eri b l bir AC devreside toplm empeds bulmk içi her bir bileflei empeds topl r. z z z toplm z + z Yd verile Tblo. seri b l bir AC devresideki iki bileflii empedslr ile toplm empeds dir verileri içermektedir. Bu göre tblod? iflretli hücrelere yz lms gereke de erler eler olml d r? Tblo.. Bileflei Empeds (ohm) 7 + i. Bileflei Empeds (ohm) Toplm Empeds 8 + i? + i? 7 + i Afl dki toplm ve ç krm ifllemlerii yp z.. ( ) + ( + )... b. ( ) ( + )... Bir öceki d md ypt z bezer flekilde fl d verile iki krmfl k sy toplm ve frk buluuz.. ( i) + ( + i)... b. ( i) ( + i)... Bu göre iki krmfl k sy toplm ve frk s l buluuyor olbilir? Aç kly z. Herhgi iki krmfl k sy seçerek bu krmfl k sy lr krmfl k düzlemde gösteriiz. Yukr d seçti iiz bu krmfl k sy lr toplm ve frk buluuz. Buldu uuz toplm ve frk y krmfl k düzlemde gösteriiz. Yukr d seçti iiz krmfl k sy lr orijie ol uzkl ile toplm ve frklr orijie ol uzkl klr krfl lflt r z. Örek z i ve z + i olsu. z + z ve z z krmfl k sy lr bull m: z + z ( i) + ( + i) ( + ) + ( + )i i dir. z z ( i) ( + i) ( ) + ( )i i dir. z + bi ve z c + di olmk üzere bu krmfl k sy lr toplm, z + z ( + c) + (b + d)i ve frk z z ( c) + (b d)i olur. z + i ve z i olmk üzere fl dki ifllemleri iceleyelim:. z + z + i + i + + ( )i i olur. b. z z + i ( i) + ( + )i 7+i olur. c. z z i ( + i) + + ( )i 7 i olur. Krmflık yılr. Bölüm

22 Toplm fllemii Geometrik Yorumu Afl dki ifllemleri iceleyerek iki krmfl k sy toplm - geometrik olrk s l ifde edildi ii trt fl z. z + bi ve z c + di krmfl k sy lr krmfl k düzlemdeki görütülerie s rs yl A ve B diyelim. AOBC prlelker çizelim. & & OEB ADC oldu ud BE CD d ve OE AD c dir. Bu durumd C okts koorditlr ( + c, b + d) olur. C okts koorditlr ile z + z ( + c) + (b + d)i sy s krmfl k düzlemde krfl l k gele okt koorditlr rs d s l bir iliflki vrd r? i b+d L d B z b A z D b E F K O c +c c C(+c, b+d) z +z d z + z krmfl k sy s görütüsü, AOBC prlelker dördücü köflesi ol C okts d r. Ç krm fllemii Geometrik Yorumu Afl dki ifllemleri iceleyerek iki krmfl k sy frk geometrik olrk s l ifde edildi ii trt fl z. z + bi, z c + di ve z c di krmfl k sy lr krmfl k düzlemdeki görütülerie s rs yl A, B ve D diyelim. AODC prlelker çizelim. & & OED AFC oldu ud OE AF c ve ED CF d dir. Bu durumd C okts koorditlr ( c, b d) olur. i B d z b F A z c O E c C( c, b d) z z D d z C okts koorditlr ile z z ( c) + (b d)i sy s krmfl k düzlemde krfl l k gele okt koorditlr rs d s l bir iliflki vrd r? z z krmfl k sy s görütüsü, AODC prlelker dördücü köflesi ol C okts d r. z + i, z + i olmk üzere z + z ve z z krmfl k sy lr bulup y krmfl k düzlemde gösterelim: z + z ( + i) + ( + i) ( + ) + ( + )i 6 + i buluur. z z ( + i) ( + i) ( ) + ( )i i buluur. z + i, z + i ve z i krmfl k sy lr ydki krmfl k düzlemde görüyorsuuz. fiekildeki C okts z + z krmfl k sy s, E okts ise z z krmfl k sy s görütüsüdür. i z z O 6 z E z z C z + z. Bölüm Krmflık yılr

23 Krmfl k y lrd Toplm fllemii Özellikleri z + i, z + i ve z i krmfl k sy lr içi; z + z yi buluuz. ouç yie bir krmfl k sy m d r? Bu durumu seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk herhgi iki krmfl k sy toplm her zm krmfl k sy lr kümesii bir elem olup olmyc trt fl z. (z + z ) + z ve z + (z + z ) ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu iflleme seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümesii toplm ifllemii birleflme özelli ii olup olmd trt fl z. z + z ve z + z ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu iflleme seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümesii toplm ifllemie göre de iflme özelli ii olup olmd trt fl z. z + z z + z z, z + z z + z z ve z + z z + z z koflullr s ly bir z krmfl k sy s buluuz. Bu göre krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemie göre etkisiz (birim) elem e oldu uu trt fl z. z + ( z ), ( z ) + z ve z + ( z ) ifllemlerii yprk buldu uuz souçlr krfl lflt r z. Bu ifllemi seçece iiz frkl krmfl k sy lr içi de tekrrlyrk krmfl k sy lr kümeside herhgi bir krmfl k sy toplm ifllemie göre tersii e oldu uu trt fl z. Krmfl k sy lrd toplm ifllemii özelliklerii gösterelim. Örek z i ve z + i krmfl k sy lr toplyl m: z ( i) + ( + i) ( ) + ( + )i i olup souç bir krmfl k sy d r. Kpl l k Özelli i z, z C olmk üzere z + bi, z c + di içi z + z ( + bi) + (c + di) ( + c) + (b + d)i olur., b, c, d ise ( + c) ve (b + d) oldu ud z + z ( + c) + (b + d) i C olur. Örek z, z C içi (z + z ) C oldu ud krmfl k sy lr kümesi toplm ifllemie göre kpl d r. z + i ve z i krmfl k sy lr içi z + z ile z + z toplmlr rs dki iliflkiyi bull m: z + z ( + i) + ( i) + i... ( I) ve z + z ( i) + ( + i) + i... ( II ) olur. I ve II eflit oldu ud z + z ile z + z birbirie eflittir. De iflme Özelli i z, z C ve z + bi, z c + di olsu. z + z ( + bi) + (c + di) ( + c) + (b + d)i... ( I) dir. z + z (c + di) + ( + bi) (c + ) + (d + b)i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. z, z C içi z + z z + z oldu ud krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemii de iflme özelli i vrd r. Örek z i, z + i ve z i içi (z + z ) + z ve z + (z + z ) toplmlr bull m: (z + z ) + z [( i) + ( + i)] + ( i) + ( i) i... ( I) dir. z + (z + z ) ( i) + [( + i) + ( i)] ( i) + [ i] i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. Krmflık yılr. Bölüm

24 Birleflme Özelli i z, z, z C ve z + bi, z c + di, z e + fi olsu. (z +z )+z [(+bi) + (c + di)] + (e + fi) [( + c) + (b + d)i] + (e + fi) +c+e+[b+d+f]i... ( I) dir. z +(z + z ) (+bi)+(c+di)+(e+fi)] (+bi) + [(c + e) + (d + f)i] + c + e + [b + d + f]i... ( II ) dir. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. z, z, z C içi (z +z ) + z z + (z + z ) oldu ud krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemii birleflme özelli i vrd r. Örek z i ve z + bi krmfl k sy lr içi z + z z z + z z deklemlerii s ly z sy s bull m: z + z z ( i) + ( + bi) i ( + ) + ( + b)i i + Bezer flekilde z + z z O hâlde z + bi + i d r. Etkisiz ( Birim) Elem Özelli i z C, C ve z + bi, + i olsu. + b b d r. ve deklemi çözülürse ve b buluur. z + ( + bi) + ( + i) ( + ) + (b + )i + bi z dir. + z ( + i) + ( + bi) ( + ) + ( + b)i + bi z dir. z C içi z + ( + i) ( + i) + z z oldu ud + i sy s, krmfl k sy lr kümeside toplm ifllemie göre etkisiz ( birim) elemd r. Örek z i ve z + bi içi z +z ve z +z deklemlerii s ly z z + z ( i) + ( + bi) + i ( + ) + ( + b)i + i + + b b dir. Bezer flekilde z + z deklemi çözülürse ve b buluur. O hâlde z + bi + i z Ters Elem Özelli i dir. z C ve z + bi ise z bi olsu. z + ( z) ( + bi) + ( bi) ( ) + (b b)i + i d r. z + z ( bi) + ( + bi) ( + ) + (b b)i + i d r. fel Bombelli ( f el Bombelli) (6 7) Krmfl k düzlemi orty t lms d iki yüz y l kdr öce, fel Bombelli 7 y l d L Algebr (Cebir) dl eseride krmfl k sy lr toplm ve çrp m sembolik olrk göstermifltir. * sy s bull m: z C içi z + ( z) z + z oldu ud krmfl k sy lr kümeside, toplm ifllemie göre her elem tersi vrd r. z + bi sy s toplm ifllemie göre tersi z bi dir. Tblo.6 z z z + z z z z z. Tblo.6 dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. + i 6 8i i + 6 bi 8 + mi + i i i i 6 i.... Bölüm Krmflık yılr

25 . z b- i+, z - + i ve z -bi ise fl d istee krmfl k sy lr buluuz.. z + z + z b. z + z c. z + z. z z i ve z z i ise m(z + z ) kçt r?. z + i ve z i krmfl k sy lr içi fl d ilk st rd verile ifllemleri souçlr ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz. z + z z z z z z + iz + 6i 8 + i 7 + i 7 + i Krmfl k y lrd Çrpm fllemi Krmfl k sy lrd çrpm ve bölme ifllemleri Krmfl k sy lrd çrpm ifllemii özellikleri Bir ltertif k m ( AC) devreside gerilim (V), k m (I) ve empeds (Z) rs dki iliflki V I.Z fleklidedir. Bu göre k m + i mper ve empeds + i ohm oldu- u bir devredeki gerilimi de eri s l bulubilir? Çok terimli iki ifde içere fl dki çrpm ifllemii yp z. ( + ). ( )... z Bir öceki d md ypt z bezer flekilde fl d verile iki krmfl k sy y çrp z. Elde etti iiz souçt i li bir terim vrs i yerie yz z. ( + i). ( i)... Bu göre gerçek sy lrd çok terimli ifdeleri çrp m ile krmfl k sy lr çrp m rs dki bezerlik ve frkl l klr elerdir? Aç kly z. Örek ( + i). ( + i) ifllemii ypl m: ( + i) ( + i). +.i + i. + i.i + i + 6i + 8i + i 8 + i olur. z, z C, z + bi ve z c + di olmk üzere bu krmfl k sy lr çrp m, z.z ( + bi).(c + di) (c + di) + bi(c + di) c + di + bci + bdi dir. i yzrsk z.z (c bd) + (d + bc)i olur.. z + i ve z + i içi fl dki ifllemleri ypl m:..z b. i.z c. z.z ç. z Afl dki ifllemleri iceleyiiz. Her d md yp l ifllemleri ç kly z...z.( + i) 6 + 9i dir. b. i.z i.( + i) i i i.( ) i dir. c. z.z ( + i).( + i) + i + i + 6i + 7i + 6.( ) + 7i dir. ç. z ( + i) + i + 9i + i + 9.( ) + i buluur. Krmflık yılr. Bölüm

26 . z + i krmfl k sy s içi z sy s bull m: ( + i) [( + i) ] ( + i + i ) ( + i ) (i).i i dir.. z krmfl k sy s içi z.( + i) z + + i eflitli i s ld göre z krmfl k sy s bull m: z + bi ll m. Bu durumd z bi olur. Bu de erleri verile deklemde yerie yzl m: ( + bi)( + i) bi + + i + i + bi b ( + ) + i( b + ) ( b) + i( + b) ( + ) + i( b + ) elde edilir. ki krmfl k sy eflitli ide b + b ve + b b + + b olml d r. - b ise ve b - olur. O hâlde z + bi - i buluur. + b Krmfl k y lrd Çrpm fllemii Özellikleri Örek z + i ve z i krmfl k sy lr çrpl m: z.z ( + i) ( i) ( + ) + ( + )i + i olup souç bir krmfl k sy d r. Kpl l k Özelli i z, z C olmk üzere z + bi, z c + di ise z.z ( + bi).(c + di) (c bd) + (d + bc)i olur. (c bd) ve (d + bc) gerçek sy oldu ud z.z (c bd) + (d + bc)i C dir. z, z C içi (z.z ) C oldu ud krmfl k sy lr kümesi çrpm ifllemie göre kpl d r. Örek z i ve z + i krmfl k sy lr içi z.z ve z.z rs dki iliflkiyi bull m: z.z ( i). ( + i) ( + ) + ( + )i i... ( I) z.z ( + i).( i) ( + ) + ( ) i i... ( II ) olur. I ve II birbirie eflit oldu ud z.z ile z.z birbirie eflittir. De iflme Özelli i z, z C ve z + bi, z c + di olsu. z.z ( + bi).(c + di) (c bd) + (d + bc)i z.z (c + di).( + bi) (c db) + (cb + d)i olur. z, z C içi z.z z.z özelli i vrd r. oldu ud krmfl k sy lr kümeside çrpm ifllemii de iflme Örek z + i, z i ve z i krmfl k sy lr içi (z.z ).z ve z.(z.z ) çrp mlr - bull m: (z.z ).z [( + i). ( i)]. ( i) [( + ) + ( )i].( i) ( + i). ( i) (6 + ) + ( + )i 7 i... ( I) z.(z.z ) ( + i). [( i). ( i)] ( + i).[( ) + ( )i] ( + i).( i) ( + 6) + ( )i 7 i... ( II ) olur. I ve II i eflit oldu u dikkt ediiz. 6. Bölüm Krmflık yılr

27 Birleflme Özelli i z, z, z C ve z + bi, z c + di, z e + fi olsu. (z.z ).z [( + bi).(c + di)].(e + fi) [(c bd) + (d + bc)i].(e + fi) (ce bde df bcf) + (cf bdf + de + bce)i dir. z.(z.z ) çrp m d siz hesply z. Ay soucu bulduuz mu? z, z, z C içi (z.z ).z z.(z.z ) oldu ud krmfl k sy lr kümeside çrpm ifllemii birleflme özelli i vrd r. Örek z i ve z krmfl k sy lr içi z.z ve z.z çrp mlr bull m: z.z ( i).( + i) ( + ) + ( + )i i z z.z ( + i). ( i) ( + ) + ( )i i z olup z i çrpm ifllemide çrp ld sy y etki etmedi i görülür. Etkisiz ( Birim) Elem Özelli i z C, C ve z + bi, + i olsu. z. ( + bi).( + i) (. b.) + (. + b.)i + bi z buluur. iz de.z z oldu uu gösteriiz. z C içi.z z. oldu ud krmfl k sy lr kümesii çrpm ifllemie göre birim (etkisiz) elem + i dir. Örek z i krmfl k sy s içi z. z deklemii s ly z + bi krmfl k sy s bull m: ( i). ( + bi) + bi olur. Eflitli i s dki ifdeyi pyd efllei i ol + i - i ile geiflletelim: + i i i + bi + bi + + bi + buluur fiimdi de z. z oldu uu gösterelim: i d +.] - ig d + + d- + i + i olur. Ters Elem Özelli i z C krmfl k sy s çrpm ifllemie göre tersi z olsu. Krmfl k sy lr kümeside çrpm ifllemie göre birim elem oldu ud z.z dir. Bu eflitli i s ly z sy s bull m: z + bi ise z z dir. (Py ve pydy, z i efllei i ol bi ile çrpl m.) z + bi. ] - big - bi z z ] + big] - big z + b b z - i olur. z + b + b (z C dir.) f r hriç, krmfl k sy lr kümeside çrpm ifllemie göre her elem tersi vrd r. Krmflık yılr. Bölüm 7

28 Örek z + i, z i ve z + i krmfl k sy lr içi (z + z ).z z.z + z.z eflitli ii do rulu uu gösterelim: z.z ( + i) ( + i) + i, z.z ( i) ( + i) i dir. (z + z ).z z.z + z.z [( + i) + ( i)]. ( + i) + i + i [ i].( + i) ( + ) + ( )i olup verile eflitlik do rudur. D lm Özelli i z, z, z C ve z + bi, z c + di, z e + fi olsu. z.(z + z ) ( + bi) [(c + di) + (e + fi)] ( + bi) [(c + e) + (d + f)i] (c + e bd bf) + (bc + be + d + f)i olur. z.z + z.z ( + bi)(c + di) + ( + bi)(e + fi) (c bd) + (d + bc)i + (e bf) + (f + be)i (c bd + e bf) + (d + bc + f + be)i olur. z, z, z C içi z.(z + z ) z.z + z.z oldu ud krmfl k sy lrd çrpm ifllemii toplm ifllemi üzerie sold d lm özelli i vrd r. [(z + z ).z z.z + z.z ] oldu uu bulrk s d d lm özelli ii vrl d siz gösteriiz. Krmfl k sy lr kümeside çrpm ifllemii toplm ifllemi üzerie d lm özelli i vrd r.. Afl d, birici st rdki ifllemleri souçlr ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz. ( + i).(i ) ^- -h ( + i).( + i). ^- -h i.( i) i 7-6 i --6 i 8 + i. Afl dki ifllemleri yp z.. ( i)( + i) b. i( i)( + i) c. ^ - + h^i - -h ç. i( + i).( i). Afl dki z krmfl k sy lr eflleiklerii ( z ) ve çrpm ifllemie göre terslerii (z ) buluuz.. z + i b. z + i c. z ç. z i d. z i - e. z -. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. z ( i) ( + i) 6 ise e(z )... b. ( z ) ( i) ( + i) eflitli ii s ly z krmfl k sy s.... Prlel b l bir ltertif k m ( AC) devreside toplm empeds bulmk içi her bir bileflei empeds çrpm ifllemie göre tersleri l p topl r. Elde edile soucu çrpm ifllemie göre tersi, toplm empeds verir. Bu göre prlel b l bir AC devresideki iki bileflei empedslr + i ohm ve + i ohm ise toplm empeds edir? z z + z z z i b deklemii kökleride biri + i ise (,b) ikilisi fl dkilerde hgisidir? A), B), C), D), E), d - d- d- d- - d 8. Bölüm Krmflık yılr

29 Krmfl k y lrd Bölme fllemi Bir ltertif k m ( AC) devreside gerilim ( V), k m ( I) ve empeds (Z) rs dki iliflkii V I.Z fleklide oldu uu söylemifltik. Bu göre gerilimi i volt, empeds + i ohm oldu u bir devredeki k m de eri s l bulubilir? Afl dki ifdeleri py ve pyds pyd efllei i ile çrprk pydlr rsyoel yp z.. + b. - c Bir öceki ypt z bezer bir yoll fl dki ifdeleri py ve pydlr pyd efllei i ile çrprk pydlr gerçek sy yp z. Elde etti iiz krmfl k sy lr stdrt biçimde yz z. + i - i - i. b. c. - i + i - 6i Bu göre köklü ifdelerle bölme ifllemi ile krmfl k sy lrd bölme ifllemi rs dki bezerlik ve frkl l klr elerdir? Aç kly z. ki krmfl k sy bölümü hgi durumd t ms z olur? Aç kly z. Örek z + i ve z i ise z /z krmfl k sy s bull m: z + i ] + ig] + ig + i+ i + i- i buluur. z i i i - ] - g] + g - i z + bi z, z C, z + bi, z c + di, z olsu. ifllemi yp l rke py ve pyd, pyd z c + di z ] + big] c-dig ] c + bdg+ ]- d + bcgi c + bd bc - d efllei i ile çrp l rs + i buluur. z c di c di ] + g] - g c + d c + d c + d Afl dki ifllemleri iceleyelim: i i] -ig i- i. + i b. + i ] + ig] - ig + - i ] - ig] + ig + i-i -i - i ] - ig] + ig i. Afl dki ifllemleri souçlr modülü büyük old küçük ol do ru s rly z. - i] + ig ] + ig. b. c. - + ç. ( i) d. e. ( + i) 6 + ( i) 6 -i + i i - i + i ] - ig. Frktllr, e bsit lm yl sosuz dek iç içe geçmifl birbirii tekrrly flekillerdir. Frktllr, krmfl k sy foksiyolr d sosuz ötelemelerle, yi belirledi imiz kurl sürekli tekrrlyrk oluflturulur. Bu göre, f(z) z + c foksiyoud z + i ve c + i lrk itersyo (tekrrlm) soucu olufl ilk krmfl k sy y buluuz. ( pucu: tersyo içi z + z + c ifdeside c + i ve z + i bfllg ç de eri içi z, z,..., z u bulml s z.) Krmflık yılr. Bölüm 9

30 Eflleik ile lgili Özellikler Eflleik ve modül ile ilgili özellikler Tblo.7 deki oktl yerleri verile krmfl k sy lr uygu flekilde dolduruuz. i Bir krmfl k sy (z) ile efllei ii efllei i `^zhj rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. + bi Bir krmfl k sy ile efllei ii çrp m ^z.zh, o krmfl k sy gerçek ve sl k s mlr ciside s l ifde edilebilir? Aç kly z. Tblo.8 deki oktl yerleri verile krmfl k sy lr uygu flekilde dolduruuz. ki krmfl k sy - Tblo.8 z i + i + bi z i i... c + di z + z z. z z : z toplm efllei i ile eflleiklerii toplmlr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. ki krmfl k sy çrp m efllei i ile eflleiklerii çrp mlr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. ki krmfl k sy bölümüü efllei i ile eflleiklerii bölümü rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Örek z z z i krmfl k sy s içi ] z g z ve z. z z oldu uu gösterelim: z i z - -i + i ^z h- + i i z dir. z i zz. ]--ig]- + ig i + i i... (I) dir. z ` ]- g + ]- g j Tblo.7 z + z ( II) dir. I ve II de z. z z buluur. z + i z i (z) + i z. z z z z : z z + bi olmk üzere; z C içi,. ^zh ^+ bih - bi + bi z ve b. z. z ] + big] - big - bi+ bi+ b + b z dir. Bir krmfl k sy efllei ii efllei i, o krmfl k sy kedisie eflittir. Bir krmfl k sy ile efllei ii çrp m, gerçek ve sl k s mlr kreleri toplm eflittir.. z i ve z i krmfl k sy s içi fl dki eflitlikleri do rulu uu gösterelim:. b. _ z + z i z + z 6 ] - ig + ] - - ig@ ] - ig + ] - - ig - i ] + ig + ] - + ig + i + i dir. _ z - z i z - z 6 ] - ig - ] - - ig@ ] - ig - ] - - ig 6 - i ] + ig - ] - + ig 6 + i 6 + i dir.. Bölüm Krmflık yılr

31 c. _ z. z i z. z 6 ] - ig. ] - - ig@ ] - ig. ] - - ig ] - + ig ] + ig. ] - + ig i i dir. ç. z f z z p z - i ] - ig ] -ig] - + ig i i i. i ] + g ]- - g d f p d - -i i i ]- - g i ]- + ig - - i i dir.. z, z C içi fl dki özellikleri do rulu uu gösterelim:. z + z z + z b. z - z z -z c. z. z z. z ç. z + bi ve z c + di olsu. Afl dki ifllemleri iceleyerek her d md eler yp ld lt z.. z +z (+bi) +(c+di) (+c)+(b+d)i (+c) (b+d)i ( bi) +(c di) b. z z (+bi) (c+di) ( c)+(b d)i ( c) (b d)i ( bi) (c di) c. z.z (+bi).(c+ di) ( c bd) + ( d + bc)i ( c bd) ( d + bc)i c bd di bci z +z dir. z z dir. (c di) bi(c di) ( bi).(c di) z + bi ] + big. ] c-dig ] c + bdg+ ] bc -dgi ] c + bdg ] bc - dgi ç. f p d e o f p -... ( I) dir. z c + di ] c+ dig] c-dig c + d c + d c + d z z z.z + bi - bi ] - big. ] c+ dig ] c + bdg ] bc - dgi -... ( II) dir. c di c di c di. c di + - ] - g ] + g c + d c + d z f z z p z dir., z I ve II i eflitli ide z z f p z z buluur. iz de z C içi fl dki eflitlikleri do rulu uu gösteriiz.. z+ z.e] zg b. z- z i. m(z). ^z. zh i ^z- zh oldu u göre e( z) ile m( z) rs dki iliflkiyi bull m: z+ z z + bi z -bi olur. ^zz. h z ^ + b h i^z- zh -i^z-zh - i. ] big ^ + b h b z+ z. e] zg. - b+ b ] - bg buluur. O hâlde b y d e(z) m(z) dir... z - ] -ig eflitli ii gerçekleye z krmfl k sy s içi z- z de erii bull m: z + bi olsu.. z- ] -ig. ] -big- -i bi i buluur. ki krmfl k sy eflitli ide ve b olml d r. O hâlde, ve z 6 b z i. m(z) i olur. Krmflık yılr. Bölüm

32 Modül ile lgili Özellikler Tblo.9 dki oktl yerleri uygu Tblo.9 flekilde dolduruuz. Bu göre z krmfl k sy s ile z i z + i z, z ve -z de erleri rs d i... s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. + bi... Tblo. dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. z + i... z... z... z Tblo. z z z.z z z z z z. z z. z z z z z + i 6 + i + bi + i + i c + di + i i Tblo. göre ç krbilece iiz souçlr trt flrk listeleyiiz Örek z i ise z z -z oldu uu gösterelim: _ z - i + ]- g 9b b z + i + 9` oldu ud b - z - + i ]- g + 9 b z z -z dir. z + bi olsu. Bu durumd, z + bi + b... ( I) dir. z - bi + ^- b h + b I, II ve III te z z -z buluur. bi ve z bi olur.... ( II ) dir. - z -- bi ]- g + ]- bg + b z... ( III ) dir. z z i b O z z z z b z Örek z i, z + i ise z z z.z z. z ve z z oldu uu gösterelim: _ z. z i. ] + ig i- + ]- g b ` oldu ud z.z z. z z. z i. + i. + b _ z i i+ b i + + z + i b b z z ] - ig ` oldu ud dir. z i z b z b z + i + b dir.. Bölüm Krmflık yılr

33 z, z C içi fl dki özellikleri do rulu uu gösterelim: z z. z b. (z ). z z. z z z. z + bi, z c + di olsu. z.z (c bd) + (d + bc)i dir. Bu durumd, z. z ] c - bdg + ] d + bcg c - cbd + b d + d + dbc + b c c + b d + d + b c ^c + d h+ b ^c + d h b. z + bi ve z c + di olmk üzere, z z ^ + b h. ^c + d h + b. c + d z. z olur. + bi ] + big. ] c-dig c + di ] c+ dig. ] c-dig c + bd bc - d c + bd bc - d + e oi e o + e o c + d c + d c + d c + d ] cg + cbd + ] bdg + ] bcg - bcd + ] dg ^c + d h c ^ + b h+ d ^ + b h ^c + d h ^ + b h^c + d h ^c + d h c + b + d z z buluur. Örek z i krmfl k sy s içi z z oldu uu gösterelim: z ] - ig ] -ig] - ig ] -ig] - ig -- i ]- g + ]- g... ( I) dir. z - i ` + ]- g j ^ h... ( II) dir. I ve II de z z buluur.. z C ve N içi z z oldu uu gösterelim: z, z C olmk üzere z. z z. z oldu ud, z z. z. z. z..... z z. z. z. z..... z z. z. z. z..... z te te te h z. z. z..... z z buluur. te. Afl dki krmfl k sy lr modüllerii bull m: + i. z ] - ig^+ ih b. z c. z ^ -i h ç. + i z + i. z ] - ig^ + ih - i. + i + ]- g. + ^ h.. olur. i i b. z dir. + i + i + Krmflık yılr. Bölüm

34 c. z ^ -i h - i ^ h + ^- h k dir. ç. z i i _ + i 8 dir.. d, olmk üzere z + cos + isi ise z de erii bull m: e(z) + cos ve m(z) si tir. O hâlde, z π ] + cos g + ] si g + cos+ cos + si + cos (+ cos ) ^ + cos- h cos cos / buluur. cos. Afl dki eflitlikleri gerçekleye z krmfl k sy lr buluuz.. z+ z i b. ^z- zh + zi c. z- z z+ + i. m(z) > olmk üzere z 6 z eflitli ii s ly z krmfl k sy s buluuz.. Afl dki krmfl k sy lr modüllerii buluuz. + i - bi. z ( 8 6i). ( 7i) b. z c. z ç. - i b + i. z - z+ i eflitli ii s ly z krmfl k sy s buluuz. ^ - ih] + ig z + i kici Derecede Bir Bilimeyeli Deklemleri Krmfl k y Kökleri Krmfl k sy lr kümeside ikici derecede bir bilimeyeli dek lemleri çözümü kici derecede bir bilimeyeli bir deklemi gerçek sy lrdki çözüm kümesi ile diskrimit fl d belirtile durumlr rs dki iliflkiyi ç kly z.. Δ > b. Δ c. Δ < Ay iliflki deklemi krmfl k sy lrdki çözüm kümesi içi e olbilir? + 8 deklemii diskrimit buluuz. b T Buldu uuz de eri, - formülüde yerie koyrk deklemi köklerii buluuz. Deklemi kökleri hgi sy kümesii elemlr d r? Aç kly z. Deklemi kökleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Örek + deklemii köklerii bull m: Δ b c ( ).. tür. O hâlde kökler,, b T i - -- ] g -. dir.. Bölüm Krmflık yılr

35 , b, c ve kofluluyl, + b + c deklemii kökleride biri z k + pi ise di eri bu sy efllei i, yi z k-pi dir (k, p ).. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii bull m:. + 7 b " i buluur. O hâlde Ç #- i, i- dir i b. + ise Δ b c ( ).. ve, b " T " " i " i - -- ] g - ] g " i. olur. O hâlde Ç { i, + i} dir.. Kökleride biri + i ol gerçek kt sy l ikici derecede deklemi bull m: Deklemi kökleri ve olsu. + i -i olml d r. Çözüm kümesi {, } ol ikici derecede deklem ( + ) +. ( ).( ) d r. O hâlde istee ikici derecede deklem, 7- ^ + iha. 7-^ - iha d r.. + ( i) i deklemii köklerii bull m: Δ b c ( i). ( i) i i 8 olur. b " T i " 9 Deklemi kökleri ve ise, i- ve i+ olur... Afl dki deklemleri krmfl k sy lr kümesideki çözüm kümelerii buluuz.. + b. + 7 c. + 7 ç. + d. + e Afl d birici st rd verile deklemleri krmfl k sy lr kümesideki köklerii, ikici st rd verileler rs d bulup oklrl efllefltiriiz ( + i) + i i + i i + i i + i. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. Kökleride biri - -i ol gerçek kt sy l ikici derecede deklem... b. Kökler toplm, kökler çrp m ol ikici derecede deklemi kökleri... ve.... kici derecede bir deklemi kökleride biri gerçek sy, di eri krmfl k sy olbilir mi? Geel olrk, bir poliom deklemi kökleride bz lr gerçek sy bz lr d krmfl k sy olbilir mi? Aç kly z. Krmflık yılr. Bölüm

36 ki Krmfl k y Ars dki Uzkl k Krmfl k düzlemde iki krmfl k sy rs dki uzkl k Krmfl k sy ve çember iliflkisi Krmfl k düzlemdeki koumu z + i ol bir rflt rm deizlt s, uydu rc l yl koumu z 6 + i olrk belirlee bir bt rflt rmy gitmektedir. Deizlt ile bt k gemi rs dki e k s mesfe s l bulubilir? Aç kly z. i A z + i C B z 6 + i O 6 Yukr dki resimde deizlt ve gemii krmfl k düzlemdeki koumlr z ve z krmfl k sy lr ile ifde edilmifltir. Bu göre z z krmfl k sy s ve z - z de erii buluuz. z ve z krmfl k sy lr krmfl k düzlemde krfl l k gele A ve B oktlr koorditlr buluuz. A ve B oktlr rs dki uzkl, iki okt rs dki uzkl k formülüü kullrk buluuz. Ay uzkl, yukr dki resimde ABC üçgeii kullrk buluuz. z ve z krmfl k sy lr rs dki uzkl k ile z z krmfl k sy s modülü rs d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. Örek z i ve z + i krmfl k sy lr rs dki uzkl bull m: z i ve z + i sy lr krmfl k düzlemde krfl l k gele oktlr s rs yl A(, ) ve B(, ) dir. Bu oktlr rs dki uzkl k AB ] - g + ]-- g + 9 br dir. O hâlde z ve z krmfl k sy lr rs dki uzkl k br dir. z + iy ve z + iy iki krmfl k sy olsu. Bu sy lr rs dki uzkl k, krmfl k düzlemde, bu sy lr görütüleri rs dki uzkl eflittir. z + iy sy s krmfl k düzlemdeki görütüsü A(, y ) okts, z + iy sy s krmfl k düzlemdeki görütüsü B(, y ) okts ise z ile z rs dki uzkl k, i z -z AB _ - i + _ y -y z z r Eflitli ii ly z Krmfl k y lr Kümesii Bulums Yd merkezi z + i ve yr çp br ol bir çember verilmifltir. rs yl bu çemberi iç bölgeside, üzeride, d fl bölgeside olmk üzere herhgi z, z, z krmfl k sy lr l z. z z, z krmfl k sy s çemberi merkezie ol uzkl göstermek üzere z z, z z ve z z de erlerii hesply z. Afl dki oktl yerlere " <", " >" ve " " sembolleride uygu ol yz z.. z z... b. z z... c. z z... r + olmk üzere s rs yl z z r, z z < r, z z > r eflitlik vey eflitsizliklerii s ly z krmfl k sy lr merkezi z ve yr çp r ol çemberle iliflkisii trt fl z. dir. i z O 6. Bölüm Krmflık yılr

37 Örek z, z C, r + ve z + iy, z + iy olsu. Afl dki ifllemleri iceleyelim: z z r + iy ( + iy ) r ( ) + (y y )i r ( ) + (y y ) r buluur. Bulu deklem, merkezi (, y ) ve yr çp r ol çemberi deklemidir. _ - i + _ y- y i r z ( + iy ) r, merkezi (, y ) ve yr çp r ol çemberi üzerideki oktlr kümesii, z ( + iy ) < r, merkezi (, y ) ve yr çp r ol çemberi iç bölgesideki oktlr kümesii, z ( + iy ) > r, merkezi (, y ) ve yr çp r ol çemberi d fl bölgesideki oktlr kümesii gösterir.. Afl dki eflitlikleri s ly z krmfl k sy lr kümesii ifde ede çemberleri merkezlerii ve yr çplr bull m:. z + i b. z + i Afl dki çözümleri iceleyiiz. Her fl ktki eflitli i belirtti i çemberi çizerek eflitlikleri sdece bu çemberleri üzerideki oktlr s ld gözlemleyiiz.. z + i z ( i) olur. Bu eflitlik, merkezi (, ) okts ve yr çp birim ol çemberi gösterir. b. z + i z ( i) olur. Bu eflitlik, merkezi (, ) okts ve yr çp birim ol çemberi gösterir.. {z: z +i <, z C} kümesii krmfl k düzlemde gösterelim: z + i < ise z ( i) < olur. Bu eflitsizlik, (, ) merkezli ve birim yr çpl çemberi iç bölgesii ifde eder. Ydki flekli iceleyiiz.. {z : z + i, z C} kümesii krmfl k düzlemde gösterelim: z + i z ( + i) olur. Bu eflitsizlik (, ) merkezli, birim yr çpl çemberi ve bu çemberi d fl bölgesii ifde eder. Ydki flekli iceleyiiz.. {z : z, z C} kümesii krmfl k düzlemde gösterelim: z eflitsizli i (, ) merkezli, birim yr çpl çemberi ve bu çemberi iç bölgesii; z eflitsizli i de (, ) merkezli, birim yr çpl çemberi ve bu çemberi d fl bölgesii gösterir. z eflitsizli i ise bu iki çemberi ve çemberleri rs dki bölgeyi ifde eder. Ydki flekli iceleyiiz. i O M M i O i. z C olmk üzere z ise z i ifdesii e küçük ve e büyük de erlerii bull m: z eflitsizli i, birim çemberi ve bu çemberi iç bölgesii ifde eder. z i z ( + i) ifdesi ise birim çember üzerideki krmfl k sy lr ile z + i krmfl k sy s rs dki uzkl t mlr. z okts krmfl k düzlemde, C(, ) okts krfl l k gelir. O Krmflık yılr. Bölüm 7

38 i Bu göre z ( + i) ifdesii e büyük de eri, z okts çembere e uzu uzkl d r. z okts çembere e uzu uzkl AC oldu ud, AC AO + OC r + z buluur. Peki, çember üzerideki hgi okt z okts e yk uzkl ktd r? Bu göre siz de z içi z ( + i) ifdesii e küçük de erii buluuz.. Krmfl k düzlemde z i ve z i krmfl k sy lr rs dki uzkl k kç birimdir? - -. z + iy olmk üzere fl dki kümeleri ifde ede grfikleri krmfl k düzlemde çiziiz.. {z : e(z), z C} b. {z : m(z) <, z C} c. {z : e(z) + m(z), z C} ç. {z : z, z C} d. {z : z i, z C} e. {z : z + <, z C} f. {z : z + i, z C} g. {z : z + i, z C}. {z : < z, z C} O A z + i C(, ) B. P() poliomu veriliyor. Bu göre P( i) fl dkilerde hgisidir? A) i B) + i C) i D) E) 9. i + i + i i 8 toplm kçt r? ( pucu: i + i + i + i oldu uu gösteriiz.). Afl dki krmfl k sy lr her birii + b i fleklide yz z.. i + i i 7 + i b. i + i i c. i + i 7 + i i 6 ç. i. ( i ) + i. ( + i + i ). Üç bileflei oldu u prlel b l bir AC devreside empedslr + i ohm, + i ohm ve + i ohm ise efl de er empeds edir?. Afl dki eflitlikleri gerçekleye z krmfl k sy lr buluuz.. z + iz i b. z z + i c. i z z i 6. Afl d kökleride biri verile ikici derecede gerçek kt sy l deklemleri buluuz.. i b. + i c. i ç. + i 7. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. kici derecede gerçek kt sy l bir deklemi kökleride biri i ise di eri... dir. b., y,, y, r içi + yi ( + y i) r eflitli i... ol bir... belirtir. c. kici derecede bir bilimeyeli bir deklem içi Δ < ise bu deklemi... kümeside kökü yokke... kümeside kökü vrd r. 8. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. + (i ) i b. + ( i) i 9. z + ise e_ z - i kçt r? ] - i g ] + i g. z z ve z ( + i) ise z krmfl k sy s buluuz. ] + ig^ + i 6h. eflitli ii s ly + sy s buluuz. - i. Afl dki kümelere krfl l k gele bölgeleri, krmfl k düzlemde gösteriiz.. {z : z i, z C} b. {z : z + i, z C} c. {z : < z <, z C} c. {z : z < ve m(z), z C} ç. {z : z < ve e(z), z C}. z+i eflitli ii s ly krmfl k sy lrd modülü e küçük ve e büyük ollr buluuz. 8. Bölüm Krmflık yılr

39 Kutupsl Koorditlr Kutupsl koordit kvrm Bir okt krtezye koorditlr ve kutupsl koorditlr rs dki b t lr tdrt biçimde verile bir krmfl k sy kutupsl koorditlr belirlemesi ve krmfl k düzlemde gösterilmesi Bir mtemtikçi, hziesii ss z bir dy sklr. Bir hrit çizerek hziei yerii, orijii byrk ol ve kuzey-güey, do u-bt do rultulr d uz krmfl k düzlem üzeride bir okt olrk ifde eder. Mtemtikçi, hziei yerii göstere okt koorditlr hzieyi ele geçirmek isteye korslr hrity çlmd öce silmeyi bflr r fkt Hzie ile byrk rs dki mesfe birimdir. ifdesii silmeyi bflrmz. Korslr, sdece bu bilgiyi kullrk hziei yerii tm olrk tespit edebilirler mi? Cevb z hy r ise hziei yerii tm olrk tespit edilebilmesi içi bu bilgiyle birlikte bflk hgi bilgii de bilimesi gerekti ii ç kly z. P(r, α) rg(z) α cisα Yukr dki hikâyeye göre hziei düzlemdeki yeri P okts olsu. Byr krmfl k düzlemi orijiide ve byrk ile hzie rs dki uzkl birim oldu uu bildi imize göre; O P okts ydki krmfl k düzlemi ereside y d ereleride olbilece ie krr veriiz. Verile bilgileri P okts krmfl k düzlemdeki yerii tm olrk bulm z içi yeterli olup olmd trt fl z. Afl dki bilgilerde hgisi P okts orijide uzkl yl birlikte verilirse hziei yerii tm olrk tespit edilebilece ii trt fl z. P okts psisi, P okts ordit, P okts hgi bölgede oldu u, Nokty orijile birlefltire do ru prçs ekseiyle ypt pozitif yölü ç, yi e im ç s. P okts pozitif ekseiyle ypt ç olsu. Bu durumd krmfl k düzlemde hziei yerii tm olrk buluup bulumyc krr veriiz. E er bulubilece ii düflüüyors z P okts koorditlr buluuz. i Örek Krmfl k düzlemde bir P okts orijie ol uzkl br ve bu okt pozitif ekseiyle ypt ç ise P okts krmfl k düzlemde ydki gibi gösterilir. O i P Kutup (oriji) d verece imiz bir O okts ile kutupsl ekse d verece imiz O gibi bir ekse düflüelim. Düzlemdeki bir P okts O ile birlefltirip OP do ru prçs O eksei ile ypt ç y α ile gösterelim. IOP I r ise r ve α bu düzlemde P okts belirtir. r ile α y, P okts kutupsl koorditlr diyece iz ve buu P(r, α) ile gösterece iz. O α r P Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm 9

40 Krtezye Koorditlr ile Kutupsl Koorditlr Ars dki B t lr fiekil I de kutupsl koorditlr (, ) ol P okts gösterilmifltir. Krtezye koordit sistemii O eksei ile kutupsl eksei ve krtezye koordit sistemii orijii ile kutup okts çk flt rl m ( fiekil II). P okts krtezye koordit sistemideki bilefleleri P(, y) olsu. Bu göre; P okts psisii () ve ordit (y) fiekil II yi ve trigoometri bilgileriizi kullrk buluuz. r ve α olmk üzere ve y yi r ve α ciside yz z. O fiekil II Bir krmfl k sy kutupsl koorditlr kull lrk krtezye koorditlr s l bulubilir? O y fiekil I P P(, y) Krtezye koorditlr (, y) ve kutupsl koorditlr ( r, α) ol bir P okts içi fl dki eflitlikler s l r. y cos α rcos α siα y r siα r r y Y(, y) r α O r. cosα X(, ) P(, y) P(r, α) y r. siα iz de yukr dki iki eflitli i kullrk + y r eflitli ii do rulu uu gösteriiz.. Krtezye koordit sistemii elemlr yl + (y + ) fleklide ifde edile deklemi, kutupsl koorditlr kullrk yzl m: r.cosα ve y r.siα b t lr, + (y + ) deklemide yerie koyl m. (r.cosα) + (r.siα + ) r cos α + r si α + rsiα + r ( cos α+ si α) + rsiα r + rsiα r siα d r.. Kutupsl koorditlr kull lrk r si α fleklide yz l deklemi, krtezye koordit sistemii elemlr kullrk yzl m: r si α ifdeside eflitli i her iki trf r ile çrprsk, r.r.r.siα r rsiα + y y + y y buluur. Afl d sol sütud verile deklemleri kutupsl koorditlr kull lrk yz lm fl biçimlerii s sütudkiler rs d bulrk efllefltiriiz. y + r r(cosα siα) + ( ) + (y + ) r (cosα + siα) + y ( + y) rcos α cosα siα Hritlm ile ilgili pek çok co rfi veri, kutupsl koorditlr döüfltürülerek kutupsl hritlr üretilmektedir.. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

41 Krmfl k y lr Kutupsl Gösterimi Yd P okts krtezye koordit sistemi üzeride gösterilmifltir. Bu göre P okts krfl l k gele krmfl k sy y ( z + y i) yz z. P okts kutupsl koorditlr ( r, α) olsu. Bu göre O okts kutup, O ekseii de kutupsl ekse kbul ederek r ve α y flekil üzeride O gösteriiz. PAO dik üçgeide Pisgor Teoremi'i uygulyrk r OP u buluuz. % t α t( POA) ve α POA % de erii buluuz. r cos α ve y r si α eflitliklerii kullrk birici d md stdrt biçimde yzd z krmfl k sy y kutupsl koorditlr ciside yz z. Yukr dki d mlr uygulyrk z + i krmfl k sy s kutupsl koorditlr belirleyerek krmfl k düzlemde gösteriiz. Herhgi bir krmfl k sy krtezye koorditlr kullrk kutupsl koorditlr s l bulbilece imizi kedi cümleleriizle ç kly z. Örek y P, Mtemtikçii Hzie Ads dl hikâyeyi ht rlyl m. Hzieyi rmy koyul korslr koumlr, z + i krmfl k sy s krfl l k gele ve orijii byrk ol düzlemdeki okt oldu uu düflüelim. Bu okt kutupsl gösterimii bull m. Afl dki iki çözüm yoluu iceleyiiz. Çözümleri bezerlik ve frkl l klr ç kly z.. Yol: z i kutupsl koorditlr (r, α) olsu. r z + 8 dir. A z krmfl k sy s krfl l k gele okty oriji ile birlefltirdi imizde olufl do ru prçs pozitif gerçek eksele ypt ç α olsu. π cos α vey siα ise α buluur. π z + i i kutupsl koorditlr ^r, αh d, olur. π e ] zg. cos ve m(z) π.si O hâlde z + i i kutupsl biçimdeki gösterimi tür. π π z dcos + i si i r z z + i α O olur. i z + b i krmfl k sy s krmfl k düzlemde gösterelim: z Oz z r ve m_ % zoai b α olmk üzere zoa dik üçgeide; z.cos α ve b z.si α olur. b r si α ve b de erlerii, z + b i ifdeside yerie yzl m: z z.cosα + i. z.siα z.(cosα + isiα) buluur. α O z r yzrsk z r.(cos α + isi α) olur. r cos α A(,) z r Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

42 z krmfl k sy s z r.( cos α + isi α) fleklideki gösterimie, z krmfl k sy s kutupsl vey trigoometrik gösterimi diyece iz. cosα + isiα cis α dersek z r(cosα + isiα) yerie z rcis α gösterimii kullbiliriz. y π. Yol: z + yi + i sy s göre, tα dir. tα α vey π α olur. z + i rcosα + irsiα eflitli ie göre cosα > ve siα > oldu ud α π I. bölgededir. O hâlde α buluur. r z bulmufltuk. O hâlde z dcos π + i si π vey z cis π olur. Abrhm de Moivre (Ab hm dö Moev) b f rd frkl z + bi krmfl k sy s içi cos α, siα vey z z b tα eflitliklerii s ly α gerçek sy s, z i rgümeti diyece iz ve rg( z) α biçimide gösterece iz. (667 7) Abrhm de Moivre 77 de trigoometrik foksiyolr kullrk krmfl k sy lr, r(cosα + isiα) biçimide göstermifltir. * chlger N., Luer J., ciece d Its Times, Gle Group, Hmpshire,. Düşüce Kutusu z r.(cosα + isiα) krmfl k sy s rgümeti herhgi bir k Z içi α + k.π olsyd krmfl k düzlemdeki yeri de iflir miydi? Nede? Ölçüleri α + k. π ol ç lr, z i rgümetleri α < π ise α y z i ess rgümeti diyece iz. O i α + π α z krmfl k sy s rgümeti rdy ciside ise z α + bi r.(cosα + isiα) sy s, z r[cos( α + k. π) + isi( α + k. π)] (k Z) biçimide de gösterebiliriz.. z + i sy s kutupsl biçimde yzl m: Ydki z krmfl k sy s krmfl k düzlemde s l gösterildi ii ç kly z. π z ]- g + ^ h dir. tθ θ 6c tür. π π z i ess rgümeti α π- θ π- tür. O hâlde z r.(cosα + isiα). z - -i sy s kutupsl biçimde yzl m: buluur. π z ^ - h + ]-g tür. t θ θ c d r. 6 π 7π z i ess rgümeti α π+ θ π+ d r. 6 6 O hâlde z r.(cosα + isiα) π π z dcos + i si 7π 7π z dcos + i si 6 6 buluur. z + i z i z i α θ O i α θ O. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

43 Tblo. de grfikle gösterile krmfl k sy lr göre verile bilgileri do ruluklr kotrol ediiz. Tblodki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. Bir krmfl k sy modülü ve ess rgümeti bu sy stdrt ve kutupsl biçimi yz l rke s l kull l r? Aç kly z. Tblo. Düzlemde Gösterilmesi z z 6 i i O i z O O Modülü (r z ) Ess Argümeti (α) tdrt Biçimi Kutupsl Biçimi 6(cos + isi ) i... i. z i sy s kutupsl biçimde yzl m: π z + ]- g ve tθ dir. O hâlde θ tür. π 7π z i ess rgümeti α π- θ π- tür. O hâlde, 7π 7π z i kutupsl biçimi, z r.(cosα + isiα) z dcos + i si olur. α O θ z i. z + i krmfl k sy s kutupsl biçimde yzl m: r z + b tür. tα ise α rct olur. O hâlde, z r ] cos α+ isiαg z cosdrct + isidrct G dir. rct º 6, oldu ud z [ cos^6, h + i si^6, h ] buluur. π π. z 6dcos + i si sy s z + bi biçimide yzl m: π π π π π π cos cosdπ - cos ve si sidπ - - si - dir. Bu de erleri z de yerie yzrsk z 6> + i e- oh z - i buluur.. Afl dki krmfl k sy lr modül ve rgümetlerii bulrk bu sy lr kutupsl biçimde yz z. Her bir krmfl k sy y krmfl k düzlemde gösteriiz.. z b. z i c. z i ç. z + i d. z - i e. z -7-7i f. z i g. z - + i. z i h. z + i Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

44 . Kutupsl koorditlr _, ci ol krmfl k sy y + b i biçimide yz z.. Afl d kutupsl biçimde ifde edilmifl krmfl k sy lr z + b i biçimide yz z. π π π π 7π 7π. z cos + i si b. z dcos + i si c. z dcos + i si ç. z (cosπ + isiπ) d. z ] cos + i si g e. z (cos + i si ). Arzi ölçümü yp bir kifli, kutupsl koorditlr (, 7 ) ol okty s r iflreti koymk içi belirlemifltir. Bu okt krtezye koorditlr elerdir?. Afl d krmfl k düzlemde gösterile krmfl k sy lr kutupsl biçimlerii s trftki sütud buluuz. sütudki oktl yerlere ilgili gösterimi hrfii yzrk krmfl k düzlemde gösterile krmfl k sy lr ile bu sy lr kutupsl biçimlerii efllefltiriiz.. i b. O z ç. i d. i e. z O O i z O z c. i z 6 O z i O... ] cos + i si g π π... ccos + i si m 7π 7π... ccos + i si m π 67π... dcos + i si 6 6 π π... ccos + i si m 7π 7π... ccos + i si m 9 9 Kutupsl biçimde verile iki krmfl k sy toplm ve frk Kutupsl biçimde verile iki krmfl k sy çrp m ve bölümü Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Toplm ve Ç krm fllemleri eri b l bir ltertif k m (AC) devresideki iki bileflei empedslr s rs yl z (cos7 + isi7 ) ohm ve z (cos8 + isi8 ) ohm ise toplm empeds s l bulubilir? Aç kly z. Tblo. deki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. Tblo. z z z i tdrt Biçimi z i tdrt Biçimi z + z z z cis9 cis cis6 cis8 cis cis i + i i Tbloy göre kutupsl biçimde verilmifl iki krmfl k sy toplm ve frk s l bulubilece i ile ilgili ç krd z bir kurl vrs ç kly z. Tblod verile krmfl k sy lr rgümetleri trigoometrik orlr bildi imiz ç lr olmsyd bu sy lr toplm ve frk s l bulbilirdiiz? Aç kly z.. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

45 Örek π 7π z cis ve z cis olmk üzere z + z krmfl k sy s bull m: z z π π π cis dcos + isi e + ie- oo -i 7π 7π 7π cis dcos + isi e + ie- oo - i olur. O hâlde z + z - i + - i - _ + ii buluur.. z cis7 ve z cis8 olmk üzere z + z krmfl k sy s bull m: z+ z ] cos 7 + isi7 g+ ] cos8 + isi8 g [ cos 7 + cos 8 + i( si 7 + si 8 )]. cos. cos7. si. cos7.. cos 7 ] cos + i si g 6cos 7 e + i o cos 7 ] + ig buluur.. z cos + isi ve z cos + isi ise z z frk bull m: z z cos + isi (cos + isi ) cos cos + i(si si ) si si +icos si si ( si + icos ) si [si( ) + icos( )] si [cos(9 ( )) + isi(9 ( ))] si (cos + isi ) buluur. Kutupsl biçimde verile iki krmfl k sy topl rke vey ç kr l rke sy lr modülleri frkl ise bu sy lr öce stdrt biçime çevrilir, sor toplm vey ç krm ifllemi yp l r. Krmfl k sy lr modülleri y ise trigoometrik toplm ve frk formülleride fydlrk toplm vey ç krm ifllemleri yp l r.. z cis ve z cis olmk üzere z - z ifdesii de erii bull m: z cis cos + isi ve z cis cos + isi ise z - z ] cos - cos g + ] si -si g cos - cos. cos + cos + si - si. si + si ^ cos + si h + cos + si - ] cos. cos + si. si g cos + -. buluur.. ki bilefleli, seri b l bir ltertif k m (AC) devreside, bileflelerde birii empeds (cos6 + isi6 ) ohm ve devredeki toplm empeds (cos + isi ) ohm ise ikici bileflei empeds buluuz. pucu: eri b l AC devreleride toplm empeds buluurke bilefleleri empedslr topld ht rly z.. z cis ve z cis içi fl dki de erleri buluuz.. z + z b. z z Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

46 Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lrd Çrpm ve Bölme fllemleri Tblo. teki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. Tblo. z z z i tdrt Biçimi z i tdrt Biçimi z. z z z z. z i Kutupsl Biçimi z i z Kutupsl Biçimi cis9 cis i + i - + i + i cis cis cis cis cis6 cis z Tblodki z ve z i kutupsl biçimleri ile z.z ve i kutupsl biçimleri rs d s l z bir iliflki vrd r? Aç kly z. Kutupsl biçimde verilmifl iki krmfl k sy çrp m ve bölümü s l buluur? Aç kly z. z Bu kurl göre z cis8 ve z cis içi z.z ve krmfl k sy lr buluuz. z Örek z cis, z cis7 ise z.z ve z z krmfl k sy lr bull m: z.z [(cos + isi )].[(cos7 + isi7 )].[(cos cos7 si si7 ) + i(si7 cos + si cos7 )] 8.[cos( + 7 ) + isi( + 7 )] 8(cos9 + isi9 ) 8cis9 dir. z ] cos 7 + i si 7 g 6 ] cos 7. cos + si 7. si g@ + i] si 7. cos -cos 7. si g z cos i si ] + g cos + si ] cos isi g ] cos + i si g cis dir. z r (cosα + isiα) ve z r (cosβ + isiβ) krmfl k sy lr içi; z. z _ r. r i7cos^α+ βh+ i si^ α+ βha vey z z _ r. r icis^α+ βh d r. z r z cos i si vey r 7 ^ α - β h+ ^ α - β ha cis ^ α - β h d r. z r z r ki krmfl k sy çrp m rgümeti bu sy lr rgümetleri toplm, bölümüü rgümeti ise rgümetleri frk eflittir. z rg(z.z ) rg(z ) + rg(z ) rgf p rg_ z rg z z i- _ i z. z cis6, z cis7 ve z cis ise z.z ve krmfl k sy lr bull m: z z. z cis 6.cis7.cis ] g cis9 i olur. z cis6 i 6 cis ] 6 - g ] cos + i si g e + o + i olur. z cis 6. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

47 z. Ydki flekle göre z.z ve krmfl k sy lr bull m: z z, rg(z ), z ve rg(z ) 6 6 dir. O i 6 z O hâlde, ve z cis olur. Bu durumd, i z. z cis cis cis cis ^ h] g ] + g e - o olur. z cis cis] - g cis] - 7 g cis] 9 g i olur. z cis z cis z Düşüce Kutusu Leohrd Euler [Liohrt Oyl r (77-78)], i sl birim ve e Euler sy s (e,78) olmk üzere α içi, e i α cos α + isi α eflitli ii s ld bulmufltur. Bu eflitlik Euler Formülü olrk biliir. Bu göre;. z + bi krmfl k sy s içi rg(z) α olmk üzere fl dki eflitlikleri s l yz ld ç kly z. z + bi z (cosα + isiα) z e αi ve z bi z (cosα isiα) z [cos( α) + isi( α)] z e αi dir. b. Kutupsl flekilde verile krmfl k sy lr üstel yz l fl d fydlrk çrp m, bölümü ve kuvvetleri bulubilir mi? Cevb z öreklerle ç kly z.. Afl d. st rd verile z ve z krmfl k sy lr çrp mlr. st rd bulrk efllefltiriiz. z cis8, z cis z cis7, z 6cis7 z cis, z cis7 i 6 + 6i -6-6i z. Afl d verile krmfl k sy lr göre krmfl k sy lr buluuz. z. z 6cis7, z cis87 b. z cis7, z cis i z. Ydki grfikte verile z ve z krmfl k sy lr göre fl d isteeleri buluuz. z. z.z b. c. rg _ z. z i z z 7 O 7 8 Bir Krmfl k y Oriji Etrf d Pozitif Yöde α Aç s Kdr Dödürülmesi Bir krmfl k sy oriji etrf d pozitif yöde α ç s kdr dödürülmesi ile elde edile krmfl k sy bulums Dedektif krmfl k düzlemde _, i okts d bulumktd r. Dedektifi, suçluu buludu u okty gelebilmesi içi orijie ol uzkl de ifltirmede, oriji etrf d pozitif yöde 9 dömesi gerekiyor. Bu verileri kullrk suçluu buludu u okt koorditlr bulbilir miyiz? Ns l? Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm 7

48 Yukr dki hikâyeye göre dedektifi krmfl k düzlemde buludu u okty krfl l k gele krmfl k sy y (z) yz z. Bu krmfl k sy modülüü ^ z h ve ess rgümetii ( α) buluuz. Modülü z ve ess rgümeti α + 9 ol krmfl k sy y ( w) stdrt biçimde yz z. w krmfl k sy s krmfl k düzlemde kr fl l k gele okty yz z. Buldu uuz okt, dedektifi yei koumuu ( suçluu buludu u koumu) gösterir mi? Aç kly z. Örek z + i krmfl k sy s oriji etrf d pozitif yöde 6 dödürüldü üde elde edile krmfl k sy w ise bu sy y i bull m: z + ^ h tür. rg(z) α ise t α ol- w du ud α dir. O hâlde, w z rg(w) α olur. Bu durumd, w w cis7rg] wga cis 9 i buluur. ve O 6 z + i i z + iy r(cosθ + isiθ) krmfl k sy s oriji etrf d pozitif yöde α ç s kdr dödürülmesi ile elde edile krmfl k sy, z' ' + iy' r[cos( θ + α) + isi( θ + α)] r r O z'(', y') z(, y) α θ r rcis( θ + α) d r. r. z cis i pozitif yöde 9 dödürülmesiyle elde edile krmfl k sy y bull m: z rcisα cis sy s oriji etrf d pozitif yöde θ 9 dödürüldü üde elde edile sy w olsu. Bu durumd, w rcis(α + θ) cis( + 9 ) cis e - - io - - i buluur.. Krmfl k düzlemde, Pf p okts krfl l k gele sy oriji etrf d pozitif yöde dödürülmesiyle elde edile krmfl k sy y bull m: P okts krfl l k gele krmfl k sy z + bi + i dir. b z d + e o ve tθ : olur. Tjt ol ç lr 6 ve dir, - ck rg(z) 6 olml d r. O hâlde z z cis6 cos6 + isi6 olur. z krmfl k sy s oriji etrf d pozitif yöde dödürülmesiyle elde edile krmfl k sy z' ise, z' cos(6 + ) + isi(6 + ) (cos6.cos si6.si ) + i(si6.cos + si.cos6 ) e o e oi 7^ h ^ hi A buluur. 8. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

49 . - -i krmfl k sy s oriji etrf d pozitif yöde dödürülmesi ile elde edile krmfl k sy fl dkilerde hgisidir? A) - - i B) - - i C) i D) - -i E) --. Bir krmfl k sy oriji etrf d egtif yöde α ç s kdr dödürülmesi ile elde edile krmfl k sy s l buluur? i Kutupsl Biçimde fde Edilmifl Krmfl k y lr Kuvvetii Alm De Moivre Kurl Kutupsl koorditlrd verile bir krmfl k sy kuvvetleri ki krmfl k sy çrp m rgümeti edir? Bir krmfl k sy kresii bulurke modülleri ve rgümetleri y iki krmfl k sy y çrpm fl olur muyuz? Bir krmfl k sy kresii modülü ve rgümeti içi e söyleyebilirsiiz? Bezer flekilde düflüerek bir krmfl k sy küpüü modülü ve rgümetii e olbilece ii trt fl z. z r(cosα + isiα) olmk üzere fl d z ve z ü modül ve rgümetii buluuz. z [r(cosα + isiα)].[r(cosα + isiα)]... z z.z [r (cosα + isiα)].[r(cosα + isiα)]... Bezer flekilde z, z ve z 6 sy lr buluuz. Bu göre z krmfl k sy s bilidi ide z krmfl k sy s s l bulubilir? Aç kly z. z krmfl k sy s modülü ile z krmfl k sy s modülü rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. z krmfl k sy s rgümeti ile z krmfl k sy s rgümeti rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Örek z cis ise z ve z krmfl k sy lr bull m: z (cis ). (cis ) cis( + ) cis buluur. z (cis ). (cis ). (cis ) 8cis( + + ) 8cis6 dir. z r(cosα + isiα) ise N olmk üzere z r [cos(α) + isi(α)] vey z r cis(α) d r. Bu eflitlik De Moivre Kurl olrk biliir. π π. z dcos + i si ise z sy s bull m: 8 8 z cos π i si π cos π isi π d d + d d + - i dir. 8 8 Kpl herhgi bir flekli l hesplmk içi polr plimetre (l ölçer) d verile bir leti kull ld biliyor muyduuz? Bu leti hgi mesleklerde ve s l kull ld rflt r z.. z + i ve z - + i ise z. z sy s + b i biçimide yzl m: z ve z krmfl k sy lr kutupsl biçimde z cis6 ve z cis fleklide yz l r. O hâlde, z z z ] cis 6 g cis z ^ cis h cis 6cis( ) 6cis( ) 6cis( ) 6(cos + isi ) i buluur. Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm 9

50 . z krmfl k sy s içi rgz α ise fl dki eflitlikleri do rulu uu gösterelim: i. rg] zg π-α b. rg^z - h π-α. Ydki flekilde görüldü ü gibi z + bi krmfl k sy s I. bölgede yer l rs z -bi sy s IV. bölgede olur. O hâlde z, z i ekseie göre simetri idir. Bu durumd rg] zg α ise rg^zh π- α d r. π α b α α z + bi b. z + bi krmfl k sy s kutupsl biçimi z r(cosα + isiα) ise, z r [cos( α) + isi( α)] r [cos(π α) + isi(π α)] olur. b z bi Bu durumd rg] zg α ise rg^z h π- α d r.. rg z π ] g ise rge o de erii bull m: z rg(z π 8π ).rg(z) oldu ud rge o rg^ z h -. rg] zg - - z 8π π π - ç s ess rgümeti oldu ud rge o tir. z buluur.. rg(z ), rg(z ) ve rg(z.z.z ) ise rg(z ) de erii bull m: Afl dki ifllemleri iceleyiiz. Her bir d md eler yp ld ç kly z. rg(z.z.z ) rg(z ) + rg(z ) + rg(z ).rg(z )+.rg(z ) + rg(z ) Düşüce Kutusu Yd verile flekildeki z krmfl k sy s modülü ve rgümeti dir. fiekilde birim çemberi içi siyh, d fl gri rekle belirtilmifltir. z i birim çember içide kld dikkt ediiz. z i ilk lt kuvveti çizildi ide bulr bir spirl üzeride kld görülür. Bu spirle geometrik spirl vey üstel spirl d verilir. Herhgi bir krmfl k sy ve bu sy kuvvetleri böyle bir spirl oluflturur mu? Nede? 6. ( + i)( + i)( + i)( + i)( + i) ifllemii soucuu, Meteorolojide, kutupsl koorditlr kull lrk yty rüzgârlr düfley d l mlr göstere. Her bir terimi çrprk buluuz. b. De Moivre Kurl kullrk buluuz. grfiklere hodogrf deir. Bu grfikleri yorumlms ile f rt l- c. iz hgi metodu tercih edersiiz? Nede? r geliflimii izledi ii ve thmiler yp ld biliyor muydu-. Afl d isteeleri yp z. uz? Bir meteoroloji uzm ile. z cis ve z cis6 ise z 6.z krmfl k sy s buluuz. görüflerek hodo rflr oluflturulms d krmfl k sy lr oy- z b. z cis ve z cis ise krmfl k sy s buluuz. d rolü rflt r z. z. Afl dki ifllemleri yp z. i 6] cos + isi g@ ] cos 8 + isi8 g. 7 ] cos + i si ga b. c. cos + i si ] cos + i si g. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

51 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri y dki kutulr D, yl fls Y yz z. z. rg(z) α ise rg( z) π α d r. b. rg(z) α ise rg c m α d r. z π π 7π π c. rg(z ), rg(z ) ve rg(z.z.z ) ise rg(z ) tür. 6. Afl dki krmfl k sy lr + b i biçimide yz z. 8. ^ + i h 6 b. ^ - ih c. d- + i ç. ^- -ih Bir Krmfl k y Kökleri Bir Krmfl k y Krekökleri Bir krmfl k sy krekökleri Bir krmfl k sy küp kökleri Bir krmfl k sy. derecede kökleri Her krmfl k sy krekökü vr m d r? w z eflitli ii s ly her w sy s z i krekökü olup olmyc- trt fl z. Gerçek sy lrd krekök bulurke kulld m z yötemleri krmfl k sy lrd d kullbilir miyiz? Nede? z + i ve w + bi olmk üzere z w ( + bi) ifdesii ç l m buluuz. olsu. Buldu uuz ifdeyi z w eflitli ide yerie koyrk iki krmfl k sy eflitli ide ve b i lbilece i de erleri buluuz. Kç frkl w sy s bulduuz? z ile w rs dki iliflki edir? Aç kly z. z krmfl k sy s kutupsl biçimde verilseydi z w, z w y d N olmk üzere z w eflitliklerii s ly w sy lr s l bulurduuz? Aç kly z. Örek z + i krmfl k sy s kreköklerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim: z + i i krekökleride biri w + bi olsu. Bu durumd ( + bi) z olur. + i ( + bi) + bi b ise b ve b tür. b b Burd vey buluur. b b dir. b ve b de erlerii, w + bi de yerie yzrsk d r. Bu de eri b eflitli ide yerie yzrsk - c m ^ - h^ + h oldu ud b vey w + b i w + i ve w + b i w i buluur. Yd z + i krmfl k sy s krekökleri ol w + i ve w i krmfl k düzlemde gösterilmifltir. w ve w i orijie göre simetrik oldu u dikkt ediiz. elde edilir. O w i i w + i Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

52 w + bi krmfl k sy s z + yi krmfl k sy s krekökü ise, w + yi ( + bi) + yi b + bi + yi b z krmfl k sy s krekökleride biri w + bi ise di eri w w bi dir. z i kreköklerii krmfl k düzlemdeki görütüleri orijie göre simetriktir. ve y b olur. i b w O b w w Örek z ( cos + isi ) krmfl k sy s kreköklerii bulup krmfl k düzlemde gösterelim: w p.(cosθ + isiθ) ve w z olsu. O hâlde p (cosθ + isiθ) (cos + isi ) olur. Bu göre, + 6 p θ ve θ 9 olml d r. O hâlde z i krekökleri, w d cos + i si w ] cos + i si g 6 6 w < cosd + i si ise + d + F w ] cos9 + si9 g i buluur. Yd z krmfl k sy s krekökleri ol w ve w gösterilmifltir. w ve w i yr çpl çember üzeride ve orijie göre simetrik oldu u dikkt ediiz. i ve w 9 w z r[cos(α + k.π) + isi(α + k.π)] (k Z) olmk üzere z i krekökü w p.(cosθ + isiθ) krmfl k sy s ise w z [p.(cosθ + isiθ)] z p (cosθ + isiθ) r[cos(α + k.π) + isi(α + k.π)] olur. α Bu eflitlikte p r p r ve θ α + k.π θ + k π buluur. α α wk r cos d k. π i si k. π dir. + + d + G z krmfl k sy s w z kofluluu s ly frkl iki krekökü vrd r. Bulr, i k içi k içi α α w r d cos i si, + + π w r cos α i si α π π d + + d + G dir. α O α / w r z i krekökleri ol w ve w yr çp r ol çember üzeride w ve orijie göre simetriktir. w w dir.. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

53 . z i krmfl k sy s kreköklerii bull m: Öce z i krmfl k sy s kutupsl biçimde yzl m: z i z (cos9 + isi9 ) olur. Bu durumd w cos + isi cos isi 9 d 9 i i dir. ] + g e + o + w w oldu ud w i buluur. Yd z i krmfl k sy s krekökleri w ve w krmfl k düzlemde gösterilmifltir.. z + i deklemii köklerii bull m: z - + i z - i dir. dersek z w ol z krmfl k sy lr bulmm z gerekir. w -i O hâlde z - + i krmfl k sy s kutupsl biçimi, π π w dcos + i si d r. Bu sy krekökleri ise 6 6 z cos π i si π π π ve d z cos d π i si d +π dir. deklemii kökleri z ve z krmfl k sy lr d r. Ydki flekilde z ve z krmfl k sy lr krmfl k düzlemde gösterilmifltir. Bir Krmfl k y Küp Kökleri - i w G w i i O z π/ π/ i w + i z. z + i krmfl k sy s küp köklerii bull m: π r z 8 ve rg(z) α olmk üzere tα α olur. 6 Bu durumd z i kutupsl biçimi π π z 8dcos + i si 6 6 w p.(cosθ + isiθ) ve w z olsu. π π Bu durumd p.(cosθ + isiθ) 8dcos + i si olml d r. Bu göre, 6 6 π π π + π +. π 6 π 6 π 6 π p 8, θ, θ, 8 θ 8 8 O hâlde z + i krmfl k sy s küp kökleri ; d r. olml d r. i π π π w cisd, w cis ve w cis buluur. w π/8 w Yd z + i krmfl k sy s küp kökleri w, w ve krmfl k düzlemde gösterilmifltir. w, w, ve w i yr çp br ol çemberi üzeride oldu u ve w, w, ve w krmfl k sy lr krfl l k gele oktlr s rs yl bir çizgi ile birlefltirildi ide eflker üçge olufltu u dikkt ediiz. w O π/8 π/8 w Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

54 z r[cos(α + k.π) + isi(α + k.π)] (k Z) olmk üzere w p.(cosθ + isiθ) krmfl k sy s z i küp kökü ise w z [p.(cosθ + isiθ)] z Bu eflitlikte p r p.(cosθ + isiθ) r[cos(α + k.π) + isi(α + k.π)] olur. α k. π p r ve θ α+ k. π θ + buluur. w k α+ k. π α+ k. π r cosd + i sid G tür. z krmfl k sy s w z kofluluu s ly üç frkl küp kökü vrd r. Bulr, α α α π α π k içi w cos i si, k içi w r cos i si,, d + + d + F r d + Bu göre w, w, ve w k içi α π α π w r cosd + + isid + F krmfl k sy lr bir eflker üçgei tür. w i r köfleleridir. Bu sy lr, yr çp r ol çemberi üzeridedir. r w r z + -i deklemii köklerii bull m: w r z + - i z - + i tür. - + i w dersek z w ol z krmfl k sy lr bulml y z. w - + i krmfl k sy s kutupsl biçimi π w dcos + i π si tür. π O hâlde w krmfl k sy s küp kökleri z cisd, 9 i π π π z cis π π 8 d + cisd π, z cisd + cisd olur z, z ve z krmfl k sy lr z + - i deklemii kökleridir. Yd z, z ve z krmfl k sy lr krmfl k düzlemde gösterilmifltir. z π/ π/9 π/ π/ z Bir Krmfl k y. Derecede Kökleri w, z C içi z w ( + bi) ise w krmfl k sy s z krmfl k sy s. derecede bir köküdür. Bir krmfl k sy ve. derecede köklerii bulurke kulld m z yötemi,. derecede köklerii bulurke kullbiliriz. z z + i krmfl k sy s lt c derecede köklerii bull m: k. 6 w z 6] cos 6 + i si6 g w k 6 cis] 6 + k. 6 g wk 6 cisd 6 olur.. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

55 k içi w cis, k içi w cis7, k içi w cis, k içi w cis9, k içi w cis, k içi w cis dir. w i w 6 z Yd z i lt c derecede kökleri krmfl k düzlemde gösterilmifltir. Kökleri oriji merkezli birim yr çpl çemberi üzeride eflit rl klrl s rlm fl olduklr dikkt ediiz. Kökleri krmfl k düzlemdeki görütüleri, rl k merkezi oriji ol düzgü bir lt gei köflelerii belirtir. w w 6 O w w N + olmk üzere, z r(cosθ + isiθ) krmfl k sy s te kökü vrd r. Bu kökler, z θ+ k. π θ+ k. π r < cosc m+ i sic mf, k ",,,,..., -, dir. z deklemii köklerii kerl bir düzgü çokgei köflelerii oluflturdu uu ilk düflüe Leohrd Euler ( Liohrt Oyl r) olmufltur. * Afl dki krmfl k sy lr kreköklerii buluuz. π π. z (cosπ + isiπ) b. z - + i c. z cis ç. z 9dcos + i si d.. Afl dki krmfl k sy lr küp köklerii buluuz.. z 7(cos + isi ) b. z 8i c. z - i ç. z 7i d. z - i + i z - i. z C ise fl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. z + i b. z + - i c. z - + i ç. z + + i. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri y dki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu yz z. i. i krmfl k sy s dördücü derecede kökleride biri cos + i si dir. b. i lt c derecede kökleride biri i + dir. c. Ydki flekil, i krmfl k sy s. derecede köklerii göstermektedir Aysel, bir reklm flirketide çl flmktd r. Aysel i bir reklm filmide kullmk üzere köfleleri birim çember üzeride ol düzgü yedige fleklide bir logo çizmesi gerekmektedir. Bir düzgü yedigei köfleleri, 7 deklemii çözüm kümesii olufltur krmfl k sy lr krmfl k düzlemdeki görütüleri ile elde edilebildi ie göre logou köflelerii oluflturck krmfl k sy lr elerdir? Krmflık yılr Kutupsl Biçimi. Bölüm

56 . Afl dki krmfl k sy lr kutupsl biçimde yz z i b i c. i ç. d. i. Afl d kutupsl biçimde ifde edilmifl krmfl k sy lr + bi biçimide yz z.. (cos7 + isi7 ) b. (cos + isi ) c. (cos + isi ). z + cos 6 + isi 6 krmfl k sy s ess rgümeti fl dkilerde hgisidir? A) B) 8 C) 6 D) 8 E) π. rg( z) ve z z 9 ise z krmfl k sy s gerçek k sm edir?. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri y dki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edeleriyle ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu yz z.. z + cosθ + cosθ + isiθ krmfl k sy s ess rgümeti θ d r. π b. α dr ç olmk üzere z tα i krmfl k sy s ess rgümeti + α d r. c. z ifdesi, merkezi (, ) yr çp birim ol çemberi d fl bölgesii gösterir i krmfl k sy s oriji etrf d pozitif yöde 6 dödürülmesi ile elde edile okt koorditlr buluuz. 7. Bir ltertif k m (AC) devreside, empeds (Z) 9 + i ohm ve gerilim (V) 8 volt oldu u göre devredeki k m ( I) fliddeti kç mperdir? pucu: AC devreleride V I. Z eflitli ii s ld ht rly z. 8. Afl d birici sütud verile krmfl k sy lr e sde biçimlerii ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz. ( + i) ( + i) 6 ( + i) ( i) ^ + ih 7 ^ - i h i i i 6-8^ + ih 9. Afl dki krmfl k sy lr kreköklerii buluuz.. (cos + isi ) b. 6(cos6 + isi6 ) c. i ç.. Afl dki krmfl k sy lr küp köklerii buluuz.. - ^ + i h b. - ] - ig c. - i ç. 8i. z C ise fl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. i b. + c. 6 6i. Bir hrit mühedisi, iki s r tfl d biricisii koumuu ( ), ölçüm rc kulld oktd sol do ru lik ç ile metre uzkl kt; ikicisii koumuu ( ), s do ru 8 lik ç ile 9 metre uzkl kt olck flekilde hespl yor. ki s r tfl rs dki mesfe edir? pucu: r tfllr koumlr (, ) ve (9, 8 ) fleklide düflüüüz. - + i 6. Bölüm Krmflık yılr Kutupsl Biçimi

57 . z + z + i ise z krmfl k sy s fl- 8. Ydki grfikte, z krm- dkilerde hgisidir? A) - i B) + i C) - + i D) i E) - i. C C, f(z) z + i ve g(z) z+ z i foksiyolr veriliyor. Bu göre (gof)(i ) fl- dkilerde hgisidir? A) i B) + i C) i D) 6 E) 6i. m, olmk üzere + m + deklemii kökleride biri i ise m kçt r? A) B) 9 C) D) E). z ( cos + isi ) ise ^ h fl dkilerde hgisidir? A) 6(cos6 + isi6 ) B) 6(cos + isi ) C) 6(cos8 + isi8 ) D) 6(cos + isi ) E) 6(cos + isi ). z ve z krmfl k sy lr içi rg(z ) α, z + z ve rg(z ) + rg(z ) + rg _ z i ise α kç rdyd r? π π π π A) B) C) D) E) 6 + i 6. z e o krmfl k sy s krekökleri- - i de biri fl dkilerde hgisidir? A) - i B) + i C) D) - + i E) 7. Argümeti z + i ol krmfl k sy rgümetii iki kt ol krmfl k sy lrd biri fl dkilerde hgisidir? A) i B) 7 i C) 9 i - D) 6i E) i i z - - π 7π i fl k sy s ile bu krmfl k sy krekökleride biri ol w görütüsü b verilmifltir. Bu göre kçt r? A) B) C) D) E) 9. si + i si cos - i cos ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) + i B) - i C) D) - i E). z - i ve rg(z) ise z C fl- dkilerde hgisi olbilir? A) i B) + i C) D) + i E). z ise z i ifdesii e küçük de eri kçt r (z C)? A) B) C) D) E) 6. z + i ile ifde edile z krmfl k sy - lr d, ekseie e yk ol fl dkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). rg(z + ) ve rg(z 6) koflullr - s ly z krmfl k sy s fl dkilerde hgisidir? A) 8i B) i C) + i D) + i E) i. z+ - i kofluluu gerçekleye z krmfl k sy lr d e büyük rgümetli ol rgümeti kç derecedir? A) 9 B) C) D) E) 6 i z O i i b w + + i i Çözümlü Test. Bölüm 7

58 . z + bi ise z + z + i + bi + + bi + ve iki krmfl k sy eflitli ide, b ve + b + olur. ` + j ] -g buluur. O hâlde z + bi + i olur.. f(z) z + i, g(z) z+ z i ise (gof)(z) g(f(z)) CEVAP : B olur. z i içi, ^ gofh] i - g i- + i+ i- + i i CEVAP : E. + m + deklemii kökleride biri, i ise di eri + i dir. b m i+ + i - m 6 d r. c i i tir. ] - g] + g m ( 6) buluur. CEVAP : D. z (cos + isi ) ise rg z dir. rg] z g 6 - olur. rg] zg. rg] zg. Bu durumd, + b + z+ i+ z+ i i i- + i- i i -- i - i -6 i 6i dir. ] zg ] cos + i si g 6(cos + isi ) olur. + ^ h + dir. i + b + + bi + i CEVAP : E. z + z z z olur. 6. rg z α ise rg z rg( z ) π + α ve rg _ z i π α d r. z z O hâlde, 7π rg(z ) + rg(z ) + rg _ z ise, i 7π 7π α+ π+ α+ π- α α + π α π dir. CEVAP : E + i ] + ig i z d > H e + - o i i - i + z i z.(cos9 + isi9 ) olur. z i kreköklerii bull m: 9 9 w cos isi cos isi + + olur. Burd, w i ise w i olur CEVAP : C dir. 7. z + i ve rg(z) α ise tα - olur. d- t α tα - - t α 7 -d- dir. Argümetii tjt - 7 ol krmfl k sy lrd biri z 7 i dir. CEVAP : B i 8. Ydki krmfl k düzlemde, w + i ve z b z + bi bi dir. w, z i krekökleride biri ise w z olml d r. O w ( + i) bi + i bi i bi b b olur. CEVAP : D O i z 8. Bölüm Çözümler

59 9. si cos dir. si si(8 ) si dir. cos cos(6 ) cos dir. cos cos(8 8 ) cos8 si de erlerii verile ifdede yerie yzl m: si + i si cos + i si cos - i cos cos -i]-si g cos + i si cos + i si cos] - g+ i si ] - g cos + i si + i dir.. CEVAP : A. z + bi olsu. rg(z) ise b b t b olur. O hâlde z + bi z + i ve z i + ( )i ise z- i + ] - g olur. + ] - g ] + g] - g -. buluur. - b de b - ve z - - i, b de b ve z + i dir. CEVAP : D z-- i z- ] + ig i ifdesi, z ile + i z + i krmfl k sy lr rs dki uzkl gösterir. z ifdesi ise K merkezi oriji ve yr çp birim ol çember ile iç bölgesii gösterir. z ( + i) ifdesii O e küçük de eri z + i i görütüsüü çembere e k s uzkl, yi Kz d r. Kz z olur. CEVAP : C. z + i eflitli i, merkezi A(, ) ve yr - çp birim ol çemberi gösterir. fiekil dikktle iceleirse çemberi üzerideki oktlrd ekseie e yk ol okt B(, ) dir. CEVAP : C. z + bi l rs z bi ve z bi olur. b rg(z + ) ise t + b b +...( I ) olur. + b rg(z 6) ise t - 6 b 6 b...( II) olur I ve II eflitliklerii ortk çözümüde, ve b buluur. O hâlde z + bi + i buluur. CEVAP : C. z+ - i z-^- + ih olur. Bu eflitlik, merkezi _-, i ve yr çp r birim ol çemberi üzerideki krmfl k sy lr gösterir. i fiekildeki çemberi (, ) M üzeride bulu krmfl k sy lrd rgü- B A meti e büyük ol A α α okts krfl l k gele krmfl k sy d r. O C fiekilde, BOA ç s ç orty [OM] oldu- ud m_ % MOAi m_ % BOMi α d r. MBO dik üçgeide, MB tα α dir. OB Bu durumd A okts krfl l k gele z krmfl k sy s rgümeti, m_ % COAi 9 + α olur. i O B(, ) A CEVAP : D Çözümler. Bölüm 9

60 . Afl dki ifdeler do ruys ifdei y dki kutuy D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu yz z.. w ve z w+ ise z bir gerçek w sy d r. b. Her gerçek sy y zmd bir krmfl k sy d r. c. 8 deklemii kökleri,, i ve dir. ç. Bir krmfl k sy sl k sm gerçek k sm kt ise modülü, gerçek k sm - mutlk de erii kt d r.. Afl dki cümleleri do ru flekilde tmmly ifdeyi yuvrlk içie l z.. ki krmfl k sy birbirie eflit olms içi / gerçek / sl / gerçek ve sl k s mlr eflit olms gerekir. b. Bir krmfl k sy ile bu sy efllei ii çrp m / her zm gerçek sy d r. / bze gerçek sy d r. / hiçbir zm gerçek sy de ildir. c. ki krmfl k sy modülleri frk, bu sy - lr frk modülüe / eflittir. / modülüde büyüktür. / modülüde küçük vey modülüe eflittir.. t < olmk üzere z -t + t + - t + t krmfl k sy s gerçek k sm ile sl k sm toplm kçt r?. Afl d erht ile Nzl, 8 + deklemii köklerii, tm kreye tmmlm yötemi ile bulmy çl flm fllr. Kimi çözümü do rudur? Cevb z edeleriyle ç kly z. erht Nzl ( ) 6 ( ) ± 6 ±i ± - 6 ± i. Afl d isteeleri yp z. Her bir seçeekte isteelere birde fzl örek verip veremeyece iizi trt fl z.. Çrp mlr ol iki krmfl k sy buluuz. b. Toplmlr 6 ve çrp mlr ol iki krmfl k sy buluuz. i 6. Bir skerî birlik, belli II bir hedefe ulflmk içi emir lm flt r. Birlik, pusul yrd - 7 km I m yl merkezde s - r do rusuyl lik Merkez r do rusu ç ypck flekilde km (I) ilerleyerek hedefe ulflckt r. Yold pusullr bozul birli i uydud yp l gözlemlere göre rotlr d spt klr, s r do rusuyl lik ç ypck flekilde merkezde 7 km ( II) uzklflt klr sptm flt r. Bu göre birlik, hedefte kç km uzklflm flt r? 7. Bir okuld yp l oylm soucu göre okulu mtemtik kulübüü logosuu köfleleri + i krmfl k sy s kökleri ol bir düzgü dokuzgei içide olms krrlflt r lm flt r. Bu göre logou köflelerii oluflturck krmfl k sy lr bulrk krmfl k düzlemde gösteriiz. 8. Afl dki ifdeleri e sde hâllerii buluuz.. b. c. si - i cos - si + i si 6 - cos + i si 8 si 8 + i si 7 d π π cos i + si ç. cos π i si π 8 < d + F 9. Afl dkileri do rulu uu gösteriiz (k Z).. (cosθ + isiθ) cos(θ) isi(θ) kπ+ θ kπ+ θ b. ] cos θ+ isi θg ccos + isi m π. rg] zg oldu u göre fl dkileri her birii buluuz. z. rgd b. rge z ] g o z zz c. rgd ç. rgd z z km. Bölüm De erledirme

61 . sy s küp kökleride gerçek sy olmy herhgi ikisii w ve w ile gösterelim. w.w w ve w.w w oldu uu gösteriiz.. z + + ise e(z) edir? i - i + i A) - B) - C) D) E) 7., b + + bi ve z ise m(z ) b - i fl dkilerde hgisidir? A) B) i C) D) i E) 9 9. z + yi ve z + i ise z z eflitli ii s ly z oktlr geometrik yeri fl dkilerde hgisidir? A) E imi ol, orijide geçe do ru B) E imi ol, orijide geçe do ru C) Merkezi oriji, yr çp birim ol çember D) Merkezi oriji, yr çp birim ol çember E) Merkezi oriji, yr çp birim ol çember. A { z C : z + i < } kümesii krmfl k düzlemdeki görütüsü fl dkilerde hgisidir? i A) i i B) C). z z 6 z 7 ise z kçt r? A) B) C) D) 7 E) 8. z + iy olmk üzere e(z) Im(z) 6 eflitsizli ie krfl l k gele oktlr kümesi, fl- dkilerde hgisi ile ifde edilir? D) M O i E) M O i O M A) i O B) i O M O O M C) E) i O i O 6. z cos8 + isi8 ve z cos + isi ise z z ifdesii de eri kçt r? A) B) C) D) E) 7. z + bi içi z i < z + oldu u göre fl dkilerde hgisi do rudur? A) b < B) b < C) b > D) b > E) b > 8. z C ve z eflitsizli ii s ly oktlr krmfl k düzlemde oluflturdu u bölgei l kç birim kredir? A) B) 6 C) 8π D) π E) 6π D) i O. z ise z i küp kökleride biri fl dkilerde hgisidir? A) B) i C) + i D) - - i E) -. Krmfl k düzlemde z - + i sy s krfl l k gele okt, oriji etrf d pozitif yöde dödürülerek z' okts getiriliyor. Krmfl k düzlemde z' okts krfl l k gele krmfl k sy gerçek k sm fl dkilerde hgisidir? A) - B) - C) D) E). z oldu u göre z + i i e büyük de eri kçt r? A) B) C) D) 6 E) 7. z- + i kofluluu s ly z krmfl k sy lr d, rgümeti e büyük ol rgümeti kç derecedir? A) B) C) D) E) i De erledirme. Bölüm

62 . i i 8+ + i 6+ ifllemii soucu fl- dkilerde hgisidir? A) i B) C) + i D) ( + i) E) ( i ). z + i ise + z - z ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) + i B) i C) + i D) i E) i. ( + i ) 6 ( i) 8 ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) 7 B) 7 C) 6 i D) 7 i E) 7 i. i] + ig ] -ig ] - ig ] + ig ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). P() poliomu içi P() + b + ve P( + i ) ise 7 + b kçt r? A) B) C) D) E) 6. krmfl k sy s kutupsl biçimde - i gösterimi fl dkilerde hgisidir? A) (cos + isi ) B) (cos6 + isi6 ) C) (cos + isi ) D) (cos6 + isi6 ) E) (cos + isi ) i z z eflitli ii s ly z krmfl k z sy s fl dkilerde hgisi olbilir? A) i B) i C) i D) + i E) + i 8. z cos7 + isi7 ve z cos + isi ise z z edir? A) B) C) D) E) 9. z krmfl k sy s z z z + b t s s ld göre z fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). z - + i ise z 8 fl dkilerde hgisidir? A) ^- + ih B) ^- + ih C) 9 ^ - ih D) 8 ^ - ih E) 6 ^ - ih. i - krmfl k sy s krekökleride biri fl dkilerde hgisidir? A) - -i B) +i C) - + i D) - i E) - - i. si + i si cos - i cos 7 ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) - i B) - + i C) - + i D) + i E). z z ve rg(z) ise z fl dkilerde hgisidir? A) - i B) + i C) - -i D) - i E) + i. A { z z C ve z ( i) } ve B {z z C ve z + i > } kümeleri içi A B kümesi fl dkilerde hgisidir? i i A) B) C) E) M i O i O M O M M - i O D) i M M O M. Bölüm De erledirme

63 Gülük hyt m zd veriler üzerie yorum ypmk, verilerle ifllem ypmk gibi birçok edele ölçekleri kull r z. Bz ölçeklerde iki birim rs dki uzuluk, verileri yorumlmd kolyl k s ld d ritmetik ölçekteki y iki birim rs dki uzulukt frkl olur. Öre i logritmik ölçeklerde fiziksel bir iceli i ölçümüde, iceli i ritmetik uzulu u yerie logritms kull l r. izce logritmik ölçek ile ritmetik ölçek rs d e gibi frklr olbilir? Afl d, logritm gülük hytt erelerde kull ld örekler verilmektedir. Bulr iceleyerek fl d isteeleri yp z. flitme duyumuzu eflit orl frekslr, iki perde (rl k) rs dki eflit frklr olrk lg lms Depremleri ve yer kbu udki hreketleri fliddetii ölçülmesi Akustik gücü (gürültü) ve elektrik gücüü ölçülmesi Müzikte otlr göreceli perdelerii (rl klr ) ölçülmesi Astroomlr, düyy yk eseleri düyy çrpmlr durumud meyd getirecekleri potsiyel tehlikeyi de erledirmesi Bir mddei sit y d bz de erii belirlemesi Y ld zlr prlkl belirlemesi Bir medeiyeti tekolojik olrk e kdr geliflmifl oldu uu belirlemesi. Logritm yukr dki her bir durumd s l kull ld rflt r z. b. Yukr dki durumlr hgi mesleklerde gerçekleflebilir? Bu meslekleri ve bu mesleklerde mtemti i rolüü e oldu uu rflt r z.. Bölüm

64 Projei Adı: Üstel ve Logritm Foksiyolr ile Bu Foksiyolr Uygulmlr Projei Amcı: Popülsyo büyümelerii icelemeside üstel foksiyolr ve logritm s l kull ld ç klmk. Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci. Bkterileri s l ço ld rflt r z.. Bkterileri süper koloi oluflturms e demek oldu uu rflt r z.. E. koli (Escherichi coli) bkteri türüü ve bu bkteri türüü özelliklerii rflt r z.. E. koli bkterilerii islr s l zrrlr verebilece ii ve bulrd korumk içi eler yp lms gerekti ii rflt r z. Projei İçeriği. del flrtlr lt d bir E. koli bkteri popülsyou yklfl k dkik sor iki kt ç kr. Bu göre E. koli bkterisi ile bflly bir popülsyod stlik süre içi zm ve bkteri sy - s göstere bir tblo hz rly z.. Hz rld z tbloy göre bir elektroik tblo progrm kullrk zm göre bkteri sy s - göstere grfi i çiziiz. Elektroik tblo progrm d bulu e ilim çizgisi ekle (dd tredlie) foksiyoudki üstel (epoetil) seçee ii kullrk çizdi iiz grfi i deklemii buluuz.. N, E. koli sy s ; t(dkik), geçe zm göstermek üzere N t/ deklemi ile. mddede buldu uuz deklemi krfl lflt r z. ki deklem birbirii y s m? Frkl ise iki deklemi bezerlik ve frkl l klr ç kly z.. Thmilere göre bir E. koli popülsyou kere bölüdükte sor yei üreye bkterileri yklfl k %, i mutsyo u rmktd r.. mddede buldu uuz deklemi kullrk sti soud popülsyod kç bkterii mutsyo u rd - buluuz.. Projeiz, fl dki sorulr ve bu sorulr cevplr içermelidir.. Bir te E. koli bkterisii bölümesiyle bflly bir koloide bkteri olms içi idel flrtlr lt d e kdr zm geçmesi gerekir? b. Yerküremizi kütlesi,97. kilogrm, bir E. koli bkterisii kütlesi ise yklfl k grmd r. Bu göre bir bkterii bölümesiyle bflly ve idel flrtlr lt d üreye bir E. koli koloisii kütlesii düy kütlesie ulflms içi e kdr zm geçmelidir? c. Bkterileri üremesi s rs dki idel flrtlrd ks t edir? del flrtlr gerçekte s lbilir mi? Bu göre düym z, kotrolsüz büyüye bir bkteri koloisii istil etmesi mümkü müdür? ç. Bkterileri mutsyo u ryrk bütü tibiyotiklere krfl direçli süper koloiler oluflturms t p düys edifleledire bir durumdur. Atibiyotikleri yl fl kull m ölemek içi toplum s l biliçledirilmelidir? 6. E. koli popülsyouu büyümeside üstel foksiyou ve logritm s l kull ld ç kly z. Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr, ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z.. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

65 Üstel foksiyo Üstel foksiyou özellikleri Üstel foksiyou grfi i Üstel Foksiyo Bölüerek ço l bir bkteri türü, bir dkikd ikiye bölümektedir. Bu türde bir bkterii lbortuvr ortm d ço lms gözlemledi iizi düflüüüz. Bir süre sor ortmdki bkteri sy s s l bulbilirsiiz? Aç kly z. Örek f(), h() d ve k() _ i foksiyolr tb ve üslerii iceleyelim: Tblo. zm b l olrk ortmdki bkteri sy s göstermek üzere hz rlm flt r. Ortmdki her bir bkteri, bir dkikd ikiye bölümektedir. Bu göre geçe zm, y de. dkikdki bkteri sy s göstermek üzere (, y) ikilileri oluflturuuz. Bu göre tblodki oktl yerleri dolduruuz. Tbloyu doldururke bkteri sy s ( y) s l hespld z ç kly z. Tbloy yzd z s rl ikilileri koordit düzlemide gösteriiz. Koordit düzlemideki oktlr oluflturdu u örütü s l bir flekil gösteriyor? Noktlr birlefltirdi iizde bir do ru mu yoks e ri mi olufluyor? Aç kly z. Bkteri sy s (y), zm () b l olrk ifde ede foksiyo y fleklide yz lbilir mi? Aç kly z. Bkteri sy s göstere foksiyou 9 ve içi de erii buluuz. te bkteri y y ekleirse bu bkteriler yklfl k milimetre olur. Bu göre dkik soud olufl bkterileri uç uc ekleyebilseydik e kdr uzulukt olurdu? Bir st soud olufl bkterileri uç uc ekleyebilseydik bu bkteriler e kdr uzulukt olurdu? Cevb z metre olrk ifde ediiz. f: +, f() olmk üzere, içi f( ) f( ) ise ve rs dki iliflki edir? y, y, y, y ve y içi y kofluluu s ly de erlerii buluuz. Bu göre f : +, f() olmk üzere y + içi f() y kofluluu s ly de erii buluup bulumyc trt fl z. y foksiyouu grfi ii grfiksel hesp mkiesi vey bir bilgisyr yz l m kullrk çizdiriiz. Grfikte de erleri rtrke y de erleri s l de ifliyor? Aç kly z. Foksiyou t m ve görütü kümesi edir? Aç kly z. > olmk üzere, f() foksiyouu rt m yoks zl m oldu uu, bire bir ve örte olup olmd, t m ve görütü kümesii e oldu uu, grfi ii s l çizilebilece ii ç kly z. f(), h() d ve k() ^ h foksiyolr her biride tb pozitif gerçek sy, üs ise de iflke içerir. Tblo. Zm Bkteri [(dkik)] y s (y) (, y) (, ) (, ) Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm

66 + {} ve olmk üzere f : +, f() foksiyodur. foksiyou, tb ol üstel f() y üstel foksiyouu grfi ii çizip bu foksiyou özelliklerii rflt rl m: e bz de erler verip y de erlerii bull m ve elde edece imiz oktlr litik düzlemde gösterelim: y içi y dir. içi y f() dir. 9 içi y dir. içi y tür. Buldu umuz oktlr düzlemde iflretledik. Gerçek sy lr tümü yerie yz l p y de erleri hesplrk düzlemde iflretleirse ydki grfik elde edilir. Grfi i iceleyerek fl dki souçlr ulflbiliriz: Frkl de erlerii foksiyodki görütüleri de frkl d r. Di er bir deyiflle,, içi f( ) f( ) olur. O hâlde f() / /9 foksiyou bire birdir. y + içi y eflitli ii s ly bir de eri vrd r. O hâlde f() foksiyou örtedir. içi y > d r. de erleri büyüdükçe y de erlerii de büyüdü üe dikkt ediiz. Bu göre f() rt foksiyodur. Foksiyou grfi ii iceleyerek, de iflkeii tüm gerçek sy de erlerii lbildi ie, bu krfl, y de erlerii sdece pozitif gerçek sy lrd olufltu u dikkt ediiz. Di er bir deyiflle foksiyou t m kümesi gerçek sy lr (), de er kümesi pozitif gerçek sy lrd r ( + ). Kr c erüvei Bir kr c metre derili ideki bir kuyuy düfler. Kr c her gü, kuyud ç kbilmesi içi t rmms gereke mesfei ck yr s t rmbilmektedir. Bu durumd kr c kuyud d flr ç kbilir mi? Cevb z ç kly z. Tblo., zm b l olrk kr c t rmms gereke mesfeyi göstermektedir. Geçe gü sy s, gü sor kr c t rmms gereke mesfeyi de y ile gösterip (, y) ikililerii oluflturuuz. Bu göre tblodki oktl yerleri dolduruuz. Tbloyu doldururke kl mesfeyi ( y) s l hespld z ç kly z. Tbloy yzd z s rl ikilileri koordit düzlemide gösteriiz. Koordit düzlemideki oktlr oluflturdu u örütü, s l bir flekil gösteriyor? Noktlr birlefltirdi iizde bir do ru mu yoks e ri mi olufluyor? Tblo. Kr c t rmms gereke mesfeyi ( y), geçe gü sy s ( ) b l olrk ifde ede foksiyou yz z. Bu foksiyou grfi ii, grfiksel hesp mkiesi vey bir bilgisyr yz l m kullrk çiziiz. Grfikte de erleri rtrke y de erleri s l de iflmektedir? Aç kly z. < < olmk üzere, f() foksiyouu rt m yoks zl m oldu uu, bire bir ve örte olup olmd, t m ve görütü kümesii e oldu uu ve grfi ii s l çizilebilece ii ç kly z. Gü ().... Kl Mesfe [y(metre)] (, y) (, ), Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

67 Örek f( ) d foksiyouu grfi ii çizip bu foksiyou özelliklerii rflt rl m: e bz de erler verip y de erlerii bull m ve elde edece imiz oktlr f() litik düzlemde gösterelim: içi y d 9 dur. içi y d tür. içi y d dir. içi y d tir. Buldu umuz oktlr düzlemde iflretledik. Gerçek sy lr tümü yerie yz l p y de erleri hesplrk düzlemde iflretleirse ydki grfik elde edilir. Grfi i iceleyerek fl dki souçlr ulflbiliriz: f() d foksiyou bire bir ve örtedir. içi y d r. f() / d > d zl foksiyodur. Foksiyou grfi ii iceleyerek, de iflkeii tüm gerçek sy de erlerii lbildi ie, bu krfl, y de erlerii sdece pozitif gerçek sy lrd olufltu u dikkt ediiz. Di er bir deyiflle foksiyou t m kümesi gerçek sy lr (), de er kümesi pozitif gerçek sy lrd r ( + ). y 9 + {} olmk üzere f : +, f() üstel foksiyou; Bire bir ve örte, > içi rt, < < içi zl foksiyodur. Bir üstel foksiyou t m kümesi gerçek sy lr (), de er kümesi pozitif gerçek sy lrd r ( + ). Düşüce Kutusu Üslü sy lr özelliklerii ht rlyrk, b + {} ve, y olmk üzere fl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. Her bir eflitlik içi birer örek yz z. Üslü sy lr bu özellikleriyle üstel foksiyo rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z y b. (...) y y c. (b)....b ç.... d. e. y... e o f. e o g b b b... y.... h. y.... y... i. içi, b... f : + ve + {} içi f() üstel foksiyouu bire bir ve örte bir foksiyo oldu- uu gösterelim:.,, içi dir. O hâlde f( ) f( ) olur. Öyleyse üstel foksiyo bire bir foksiyodur. b. y + içi y eflitli ii s ly bir vrd r. Öyleyse üstel foksiyo örte foksiyodur. ve b de elde etti imiz souçlr göre f() bire bir ve örte bir foksiyodur. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 7

68 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç klyrk yl fl ifdeleri do rusuu yz z.. f() bir üstel foksiyodur. b. f() ve g() foksiyolr y foksiyolrd r. c. f() bir poliom foksiyoudur. ç. y foksiyouu t m kümesi gerçek sy lrd r.. de + y t ml f(), g(), h(), k(). ve m() foksiyolr veriliyor. Bu göre;. Her bir foksiyou {,,,,,, } içi lc de erleri (y) buluuz. b. (, y) ikililerii oluflturrk bu oktlr litik düzlemde iflretleyip çizgilerle birlefltiriiz. Neler gözlemliyorsuuz? c. Bu foksiyolr bire bir vey örte olup olmd klr trt fl z. Logritm Foksiyou Logritm foksiyou Logritm foksiyou ile ilgili uygulmlr Üssel ve logritm foksiyolr grfikleri Hgi tür ( vey özelliklere ship) foksiyolr tersi vrd r? Verdi iiz cevb göre üstel foksiyolr tersii olup olmd trt fl z. y foksiyouu tersii kurl flimdiye kdr edidi iiz bilgilerle bulbilir misiiz? Cevb z edeii ç kly z. log y f() foksiyouu ede bire bir ve örte oldu uu ç kly z. Bu göre foksiyou tersii kurl flimdiye kdr edidi iiz bilgilerle bulbilir misiiz? Aç kly z. Dh öce üstel foksiyolrl ilgili ö redi iiz bilgileri kullrk Tblo. Tblo. te bulu oktl yerleri uygu flekilde y f() f (y) y dolduruuz. y (, y) y (, y) Tblo. te elde etti iiz de erleri de kullrk y ve y foksiyolr grfiklerii y düzlem üzeride çizdiriiz. y ve y foksiyolr grfiklerii y do rusu göre simetriklerii buluuz. Bu göre y ve y foksiyolr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Ydki flemy iceleyiiz. Üstel Foksiyo + fiemd d lfl lc gibi bir üstel foksiyou tersi logritm foksiyou olrk dld r lmktd r. Üstel foksiyou tb ol sy s logritm foksiyouu y - f : lt idis olrk yzr z. f (y) y f() Üstel foksiyou, verile bir tb üs koym, logritm foksiyouu ise verile belli bir tb göre üs idirme ifllemi olrk düflüebilir miyiz? fiemy iceleyerek ç kly z. f : log Logritm Foksiyou y log y Öre i log ü de erii bulurke sy s hgi üssü (vey kuvveti) eder? vey log 8 i de eri sy s hgi üssü ( vey kuvveti) 8 eder? fleklide düflüebilir miyiz? Aç kly z , (...,...) (...,...) (...,...) (...,...) , (...,...) (...,...) (...,...) (...,...) 8. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

69 Bir öceki d md edidi iiz bilgiler fl d ydki Tblo. te bulu oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. Üstel foksiyol verile bir eflitlik, logritm foksiyou kull lrk s l yz l r? Aç kly z. Tblo. Üstel Gösterim Logritml Gösterim 6 log log log log... Örek Afl dki örekleri iceleyelim:. f() ise f () log tir. b. 8 oldu ud log 8 ifdesii de eri sy s hgi üssü 8 eder? fleklide düflüülerek olrk bulubilir. O hâlde log 8 tür. Joh Npier (C Npi r) + {} olmk üzere f : +, f() foksiyouu ters foksiyou tb göre logritm foksiyou diyece iz ve buu f : +, f () log fleklide gösterece iz. O hâlde y log y dir. y log foksiyouu, y eflittir tb göre logritm fleklide okuyc z. Bu foksiyod; i pozitif gerçek sy, de frkl pozitif gerçek sy, y i gerçek sy oldu uu uutmy z. ( 67) skoçyl bir mtemtikçi ol Joh Npier 6 y l d yzd Miifici Logritmorum Cosis Descripto (Logritm Kurllr T m ) dl kitb yl mtemti e logritm kvrm kzd rm flt r. * Joost Burgi (Yust Bugi) ( 6) sviçreli Joost Burgi çl flmlr d hbersiz oldu u Joh Npier (C Npi r) le y zmd logritm kvrm keflfetmifltir. Npier i yklfl m cebirsel, Burgi ü yklfl m ise geometriktir. log sembolüü trihte ilk kull ise Edmud Guter [Etm t Gt r ( 8-66)] olmufltur. * Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log dir. b. b b log d r. c. log tür. ç. d log d r Afl dki eflitliklerde de erlerii s l buludu uu iceleyelim:. log tür. b. log ^ h dir.. Afl dki eflitliklerde y de erlerii s l buludu uu iceleyelim:. y log y y y tir. y y b. y log ^ h y y tür. c. y log y y y dir.. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii bull m:. log (log ) b. log + 6. log (log ) log 9 buluur. O hâlde Ç {9} olur. b. log + 6 ( + ) 6 + m olur. Tb egtif olmyc d, 9 de erii lmz. O hâlde Ç { 7} olur. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 9

70 . + {} olmk üzere fl dki foksiyolr t m kümelerii bull m:. g() log ( + ) b. h() log ( ). g() log ( + ) foksiyouu t ml olms içi + > > olml d r. O hâlde g foksiyouu t m kümesi (, ) olur. b. h() log ( ) foksiyouu t ml olms içi > > olml d r. O hâlde h foksiyouu t m kümesi (, ) olur. 6. Afl dki foksiyolr ters foksiyolr bull m:. f : +, f() 7 b. f : +, f() c. f : (, ), f() log ( ) ç. f : (, ), f() log ( + ) + Verile foksiyolrd yerie y, y yerie yz p y yi yl z b rkrk foksiyolr terslerii bull m.. f() y 7 7 y y log 7 f () log 7 buluur. log + log b. f() y y y log f + y () olur. c. f() y log ( ) log (y ) y y + f () + buluur. ç. f() y log ( + ) + log (y + ) + log (y + ) y + y f () buluur. Joh llis (C Vol s). Afl dki ifdeleri logritm foksiyou fleklide oktl yerlere yz z.. b c... b. y... c.... ç.... d e.... f.,... g. 9 e o Afl dki oktl yerleri örektekie bezer flekilde dolduruuz. Örek: log 9 ; çükü 9 dur.. log 6 8 ; çükü... b. log ; çükü... c. log ; çükü.... Afl dki foksiyolr t m kümelerii buluuz.. f() log ( ) b. f() log (+) c. f()++ + log ( ) ç. f() log ( ) d. f() log e - o e. f()+log ( + ) + - (66 7) 68 y l d Joh llis, 69 y l d d Joh Beroulli (Y kop Beroli), logritm üs olrk t mlbilece ii frk ederek güümüz logritms ly fl orty koymufllrd r. Böylece frkl tblr içi logritmlr hesplms öcü olmufllrd r. * Afl d birici st rd verile eflitlikleri s ly de erlerii ikici st rd bulrk efllefltiriiz. log log log 9 log log Afl dki foksiyolr ters foksiyolr buluuz.. f : +, f() b. h : (, ), h() log ( ) log 6. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

71 Üstel ve Logritmik Foksiyolr Grfikleri Koler, koler mikrobuu ede oldu u mide ve b rsklr etkileye bir hstl kt r. Koler bkterileri bölümeyle ço l r. Bfllg çt (t ) te ol koler bkterilerii t st sorki sy s (),,86.t (t).e üstel foksiyou ile modelleebilir. Bu formüle göre zm ilerledikçe ortmdki bkteri sy s s l de iflir? f() foksiyouu s rs yl,, ve içi ld de erleri buluuz. f( ), f(), f() ve f() de erlerii küçükte büyü e do ru s rly z. Elde etti iiz souçlr göre fl dki oktl yeri uygu bir sembolle dolduruuz., içi > ise f( )... f( ) dir. Bu göre f() foksiyouu rt m yoks zl m oldu uu ç kly z. (, f( )), (, f()), (, f()) ve (, f()) oktlr koordit düzlemide gösteriiz. Bu oktlr birlefltirerek elde etti iiz grfik ile ilgili gözlemleriizi ç kly z. g() log foksiyouu s rs yl,, ve içi ld de erleri buluuz. gd, g(), g() ve g() de erlerii küçükte büyü e do ru s rly z. Elde etti iiz souçlr göre fl dki oktl yeri uygu bir sembolle dolduruuz., içi > ise g( )... g( ) dir. Bu göre g() log foksiyouu rt m yoks zl m oldu uu ç kly z. d,gd, (, g()), (, g()), (, g()) oktlr koordit düzlemide gösteriiz. Bu oktlr birlefltirerek elde etti iiz grfik ile ilgili gözlemleriizi ç kly z. f() ile g() log foksiyolr grfikleri rs dki iliflkiyi ç kly z. f() ve g() log foksiyolr rt y d zl olms d tb de eri ol i rolüü trt fl z. Örek f() foksiyouu,, ve teki de erlerii s rlyl m: < < < içi < < < tür. f:a B foksiyou verildi ide, A içi < rt foksiyodur. > olmk üzere f : +, f() log foksiyou rt foksiyodur. Krbo Bir cl öldükte sor orgizmdki rdyoktif bir izotop ol C (krbo-) düzeyii zlmy bflld biliyoruz. Cl öldü üde (t ) orgizms d M miligrm C buluuyors t y l sor orgizmdki C miktr (M),, M(t) M.e.t üstel foksiyou ile modellemektedir. Bu formüle göre zm ilerledikçe orgizmdki C miktr s l de iflir? Aç kly z. f( ) < f( ) oluyors f foksiyou Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 6

72 f ] g d foksiyouu s rs yl,, ve içi ld de erleri buluuz. f( ), f(), f() ve f() de erlerii küçükte büyü e do ru s rly z. Elde etti iiz souçlr göre fl dki oktl yeri uygu bir sembolle dolduruuz., içi > ise f( )... f( ) dir. Bu göre foksiyouu rt m yoks zl m oldu uu ç kly z. (, f( )), (, f()), (, f()), (, f()) oktlr koordit düzlemide gösteriiz. Bu oktlr birlefltirerek elde etti iiz grfik ile ilgili gözlemleriizi ç kly z. g() log foksiyouu s rs yl,, ve içi ld de erleri bulrk 8 küçükte büyü e do ru s rly z. Bu göre g( ) log foksiyouu rt m yoks zl - m oldu uu ç kly z. e, gd o, e, gd o, e, gd o, (, g( )) oktlr koordit düzlemide gösteriiz. Bu oktlr birlefltirerek elde etti iiz grfik ile ilgili gözlemleriizi 8 8 ç kly z. f ] g d f ] g d ve g() log foksiyolr zl y d rt olms ile tb de eri ol r- s d s l bir iliflki oldu uu trt fl z. Örek f ] g d foksiyouu,, ve teki de erlerii s rlyl m: < < < içi d > d > d > d tür. f:a B foksiyou verildi ide, A içi < f( ) > f( ) oluyors f foksiyou zl foksiyodur. < < olmk üzere f : +, f() log foksiyou zl foksiyodur. Afl dki foksiyolr rt m yoks zl m oldu uu bull m:. y π + b. y (,) c. y log ç. y log ] -g. π oldu ud y π + foksiyou rt foksiyodur. b., ve < < oldu ud y (,) foksiyou zl foksiyodur. c. log log olup tb (), de büyük oldu ud y log foksiyou rt foksiyodur. ç. < < oldu ud y log ] -g foksiyou zl foksiyodur. Log-periyodik (LP) teler, belli bir geometrik kt sy ile büyüye y d küçüle elemlr elektriksel olrk birlefltirilmesiyle oluflturulur. Bu teler, özel yp lr syeside geifl btlr içide heme heme frekst b ms z fl m özellikleri gösterebile telerdir. Bu teler ile logritm rs dki iliflkiyi rflt r z. Arflt rm souçlr z rpor fleklide rkdfllr z suuuz. 6. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

73 f : +, f() Foksiyouu Grfi i f : +, f() foksiyouu grfi ii çizelim: f : +, f() y foksiyoud,, (, + ) rl d her de eri l rke y ede dim pozitif olur? Aç kly z. Bu durumd grfik, koordit düzlemide hgi bölgelerde çizilmelidir? Aç kly z. Grfik y ekseii ede (, ) okts d keser? Aç kly z. f : +, f() foksiyou ede rt bir foksiyodur? Aç kly z. O hâlde, d + kdr rtrke y de d + kdr rtr, diyebilir miyiz? Aç kly z. Yukr dki bilgiler kull lrk Tblo. i s l düzeledi ii ve grfi i s l çizildi ii trt fl z. Tblo. y y y iz de fl dki Tblo.6 y tmmlyrk f : +, f( ) y d foksiyouu grfi ii fl dki gibi oldu uu gösteriiz. / Tblo y c m y c m y y ve y d foksiyolr grfikleri rs dki bezer- lik ve frkl l klr elerdir? Aç kly z. / f : +, f() > içi foksiyouu grfi i, > ve < < içi fl dki gibidir: < < içi + y + + y + y y ( > ) y ( < < ) y Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 6

74 f : +, f() log Foksiyouu Grfi i Dh öce grfi ii çizdi imiz f() y üstel foksiyouu y do rusu göre simetri ii l z. Neler gözlemledi iizi ç kly z. Elde etti iiz grfik f() foksiyouu tersi ol f () y log foksiyouu grfi i olbilir mi? Nede? fiimdi, f : +, f() log foksiyouu grfi ii çizelim: f : +, f() log foksiyoud, (, + ) rl d de erler l r. Nede? Bu durumd grfi i, koordit düzlemide i pozitif de erler ld ve. bölgelerde çizilece i söyleebilir mi? Grfik, ekseii ede (, ) okts d keser? Aç kly z. Grfik (, ) okts d geçer mi? Nede? f : +, f() log foksiyou ede rt foksiyodur? Aç kly z. Bu durumd, d + kdr rtrke y de d + kdr rtr, diyebilir miyiz? Aç kly z. Yukr dki bilgiler kull lrk Tblo.7 i s l oluflturuldu uu ve grfi i s l çizildi ii trt fl z. Tblo.7 y ylog y log f() foksiyou ile f () log foksiyouu grfikleri y do rusu göre simetriktir, deilebilir mi? Nede? iz de Tblo.7 ye bezer bir tblo yprk f : +, f( ) log foksiyouu grfi ii ydki gibi oldu uu gösteriiz. Ydki iki grfik rs dki bezerlik ve frkl l klr elerdir? Aç kly z. y y log / y log f() foksiyouu grfi i çizilirke, i. Foksiyou t m kümesi buluur. ii. y yi, f( ) deklemi çözülerek grfi i ekseii kesti i okt buluur. iii. y içi f() olc d (f (), ) okts buluur. iv. Tblo düzeleir. f : +, f() log foksiyou grfi i, > ve < < içi fl dki gibidir: > içi < < içi y y ( > ) ( < < ) y log 6. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

75 Düşüce Kutusu Afl d y ve y log foksiyolr grfikleri > ve < < içi y litik düzlemde gösterilmifltir. Bu foksiyolr grfikleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. > y y y y log < < y y y y log y ve y log foksiyolr grfikleri y do rusu göre simetriktir.. f : +, f() log foksiyouu grfi ii çizelim: Tb ve > oldu ud f rt foksiyodur. içi y log ve içi y log dir. O hâlde grfik (, ) ve (, ) oktlr d geçer. f i t ml olbilmesi içi > olml d r. y y log. f : +, f() ve g : +, g() log foksiyolr grfiklerii y litik düzlemde çizelim: f() ile g() log i birbirlerii ters foksiyolr oldu uu biliyoruz. (I) f() içi de iflim (II) g() log içi de iflim tblosu düzeleyelim: tblosu düzeleyelim: Tblo.8 I ve II deki de iflim tblolr d yrrlrk f() ile g() log foksiyolr grfiklerii y litik düzlemde çizelim. Yd gördü üüz gibi y ile y log foksiyolr grfikleri, y do rusu göre simetriktir.. f : +, f() d ile g : +, g() log foksiyolr grfiklerii y litik düzlemde çizelim: Ydki iki grfi i s l çizildi ii ç kly z. Tblo log + f() d ile g() log foksiyolr birbirii ters foksiyolr oldu ud bu foksiyolr grfikleri y do rusu göre simetriktir. y + ( ( y y y y y y log y log Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 6

76 . g( ) log ] g foksiyouu grfi ii çizelim: - Tb ve < < oldu ud g zl foksiyodur. y dir. içi Grfik, (, ) okts d geçer. - dir. içi y log ] - g d r. y log c - m dir. y log ( ) Grfik, d, okts d geçer. f i t ml olbilmesi içi > olml d r. Bu göre grfik, > ol bölgede, yi do rusuu s d çizilmelidir. Düşüce Kutusu Afl dki foksiyolr grfiklerii, grfik kâ d kullrk y litik düzlemde her seferide frkl rek klem kullrk s rs yl çiziiz. Çizdi iiz her grfikle ilk çizdi iiz grfik rs dki frk edir?. f() log b. g() + log c. h().log ç. m() log( + ) d. () log( ). Afl d verileleri her biride, y ve z rs dki s rlmy buluuz.. log, y log 7, z log b. log 7, y log 9, z log c. log 7, y log 9, z log ç. log, y log 7, z log Afl dki foksiyolr t m kümelerii bulrk grfiklerii çiziiz.. y log b. y log( + ) c. y + log( ) ç. y log ] -g d. y e. y + + y y yb y. Ydki flekilde y, y b, y log c ve y log d foksiyolr grfikleri verilmifltir. Bu göre, b, c ve d sy lr buluuz. ylog c ylog d 66. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

77 ÜZÜM KE Oluk Logritm Foksiyou Oluk logritm foksiyou Do l logritm foksiyou log l e Bir mddei ph de eri o mddei sit-bz derecesii gösterir. f suyu ph de eri 7 dir. f su ötr, yi e sidik e de bziktir. Bu de erde dh düflük bir ph de erie ship mddeler sidik, dh yüksek bir ph de erie ship mddeler ise bziktir. Bir mddei ph de eri ile o mddedeki hidroje yo ulu u rs d bir iliflki vrd r. [H + ] (mol/litre) mddedeki hidroje yo ulu u olmk üzere bu iliflki, ph log [H + ] log[h + ] biçimide modellemifltir. Bu modele göre bir mddei sidik mi yoks bzik mi oldu u s l belirleebilir? giliz mtemtikçi Hery Briggs (Heriy Brigs), de e kdr ol sy lr tb göre logritmlr, virgülde sor bsm kdr göstere bir logritm cetveli hz rlm flt r. Güümüzde sy lr logritmlr bulmk içi logritm cetvelii y s r hesp mkielerii de kull r z. Hesp mkielerii üzerideki "log" tuflu ekr girile sy tb göre logritm de erii hesplmk içi kull l r. Öre i, log 6 ifdesii de eri, 6,6 fleklide hespl r. Ack u kuvvetleri ol sy lr oluk logritmlr hesplmk içi logritm cetvelie y d hesp mkiesie ihtiyç duymy z. log t t oldu uu biliyoruz. Bu göre ortlm hidroje iyou yo ulu u 6, ve ol mddeleri ph de erlerii ph log [H + ] b t s yrd m yl hesp mkiesi kullmd buluuz. Tblo. d bz mddeler ve bu mddeleri ortlm hidroje iyou yo ulu u [H + ] verilmifltir. ph log [H + ] b t s ve hesp mkiesi kullrk bu mddeleri ph de erlerii buluuz. Buldu uuz ph de erlerie göre bu mddeleri sidik mi yoks bzik mi oldu u krr veriiz. u kuvveti ol ve olmy sy lr tb göre logritmlr s l hesplc kedi cümleleriiz ile ç kly z. Örek f(), +, log ise f(,) de erii bull m: f(,), +, log +,(,6),,, dir. Tblo. Mddei Hidroje Mdde you Yo ulu u [H + ] 9,.,9. 8,6. 7 Mddei ph De eri Tb ol logritm foksiyou oluk logritm foksiyou diyece iz ve buu f() log y d f() log biçimide gösterece iz.,......,,, eflitliklerii oluk logritm foksiyouu kullrk yzl m: log log log log log log log log Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 67

78 Do l Logritm Foksiyou Y ll k fiz or r (odl k kesir olrk), y ll k vde sy s (bk bir y ld ödeyece i fiz sy s ), fizi uygulc y l sy s t olmk üzere, t y l sor P TL i fiziyle birlikte e kdr olc, P( t) P c + r m t biçimide modellemektedir. % bileflik fizle y ll bky yt r l TL i Tblo. te belirtile frkl vde sy lr d ( ), y l soud fiziyle birlikte e kdr olc bulrk Tblo. deki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz. büyüdükçe c + m ifdesii de eri s l de ifliyor? Aç kly z. Bu ifde hgi sy y yklflmktd r? Aç kly z. Tblo. Y ll k ( ) Mevsimlik ( ) Ayl k ( ) Hftl k ( ) Gülük ( 6) tlik ( 876) Dkikl k ( 6). +,6..., de erleri büyüdükçe c + m ifdesi irrsyoel bir sy y yklflmktd r. Bu de ere e sy s diyece iz. e sy s de eri yklfl k olrk, dir. Euler sy s olrk d bilie e sy s mtemtik ve birçok bilim dl d s kç kull lmktd r. Bir Bulutuu Yfl Kozmik fl lrl bombrd m tutul tmosferde orty ç k ötrolr, itrojele reksiyo girerek rdyoktif bir izotop ol krbo- üretirler. Bitkiler trf d emile krbodioksit ve bu bitkileri tüketimi ile tüm cl lr dokulr gire krbo-, bitkiler vey hyvlr yfld müddetçe tüm cl orgizmlrd belli bir düzeyde bulumy devm edecektir. Cl lr öldükte sor bulr vücutlr yei krbo- girifli olmz. Öldükleri esd cl lr vücutlr d bulu krbo- yo ulu u zml zl r. ( Krbodioksit k sc CO ve krbo- k sc C biçimide gösterilir.) Arkeolojik kz lrd bulu ve krbo içere bir bulutuu güümüzde içerdi i C yo ulu u ölçülerek bu Oluk logritm foksiyou içi kull l log sembolü, ilk kez illim Oughtred [Vily m Autr t (7-66)] trf d kedisii bir kitb d kull lm flt r. Do l logritm içi kull l I sembolü ise ilk kez Irvig trigh [ Örvi trig (87-99)] trf d 89 te kull lm flt r. * Ktz Victor J., A History of Mthemtics: A Itroductio, Herper Collis College Publishers, New York, 99. cl yklfl k olrk kç y l öce öldü ü bulubilir. Cl öldü ü d güümüze kdr geçe süreye bulutuu yfl deir. Bulutuu yfl T, öldü ü zm A ve bugü ship oldu u C yo ulu u A ile gösterilirse bulutuu yfl fl dki flekilde buluur: A A T 867. log e o e 867. I e o A A Jcob Beroulli (Y kop Beroli) (6 7) e sy s ilk kull 68 y l d, Joh Npier (C Npi r) olmufltur. Jcob Beroulli ise de- erleri sosuz do ru büyüdükçe [ + (/)] ifdesii de erii bulmy çl fl rke e sy s keflfetmifl ve e sy s - mtemtiksel bir sbit oldu uu göstermifltir. * Tb e ol logritm foksiyou do l logritm foksiyou diyece iz ve bu foksiyou, f() log e vey f() I biçimide gösterece iz. 68. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

79 . Afl dki üstel ifdeleri her birii, do l logritm foksiyouu kullrk yzl m:. e b. e y 6 c. ç. y e. e log e I tür. b. e y 6 y log e 6 y I6 tir. e c. log e I tir. ç. y e log e y ly dür.. Afl dki eflitliklerde de erlerii s l buludu uu iceleyelim:. I e e dir. b. I e dir. c. I e e dir. e e e ç. I dir. d. I( ) e e. e + dir. Id + + e e dir.. f : +, f() l foksiyouu grfi ii çizelim: Tb e ve e > oldu ud f rt foksiyodur. içi f() l ve e içi f(e) le dir. O hâlde grfik (, ) ve (e, ) oktlr d geçer. f i t ml olbilmesi içi > olml d r. y f() l e Düşüce Kutusu Bir pleotolog, bir kz d bulu kemik prçs lbortuvrd icelemifl. Ypt ölçümlere göre kemikteki krbo- miktr bir cl kemik dokusudkii i kdr oldu uu sptm flt r. Diozorlr 6 milyo y l öce yeryüzüde yok olduklr bilidi ie göre bu kemi i bir diozor it olup olmd s l lrs z?. f : +, f() e ve g : +, g() l foksiyolr grfiklerii y düzlemde çizerek, rlr d s l bir iliflki oldu uu ç kly z.. y l( ) foksiyouu t m kümesii bulrk grfi ii çiziiz.. Afl dki logritml ifdeleri üstel biçimde yz l fllr buluuz.. log, b. logb c. I y ç. I - e. Afl dki foksiyolr t m kümelerii buluuz.. f().log( + ) b. f() + log( ) c. f() I( + ) + e ç. f() I( ). ihter ölçe ie göre fliddetide bir deprem soucud ç ç k eerji E (erg ciside), loge,8 +,. biçimide modellemifltir. 7 A ustos 999 d yfl Mrmr Depremi i fliddeti ihter ölçe ie göre 7, olrk belirlemifltir. Bu göre Mrmr Depremi s rs d yklfl k e kdr eerji ç ç km flt r? A),. 7 B),6. C),9. 9 D),. E) 7,9. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 69

80 Logritm Foksiyouu Özellikleri Bir ses ky, sesi yy lm do rultusu dik ol m lik bir yüzeyde siyede Logritm foksiyouu özellikleri Logritm foksiyou ile ilgili uygulmlr yyd eerjiye ses fliddeti deilmektedir. s kul duyrl oldu u e düflük ses fliddeti wtt/m ve is kul zrr görmede duybilece i Oluk logritmyl ilgili e yüksek ses fliddeti wtt/m olrk öl- özellikler çülmüfltür. Bu göre is kul zrr görmede Bir gerçek sy duybilece i e yüksek ses fliddeti, duyrl oldu u e logritms hgi iki düflük ses fliddetii kç kt d r? rd fl k tm sy rs d oldu uu bulums Bu soruy cevp verebilmek içi ritmetik bir ölçek yerie logritmik bir ölçe e ihtiyç duyulc söyleyebilir miyiz? Nede? Uluslrrs refers ses fliddeti I wtt/m kbul edilmifltir. es fliddeti I ol bir ses ky ses gücü düzeyi, L() I. log db olrk t mlm flt r. esleri dh iyi y rt edebilmek içi ses düzeyi desibel (db) ile ölçülür. Desibel, telefou mucidi ol Aleder Grhm Bell [Alekzed r G reyh m (87-9)] i soyd ve od bir lm gele desi ekii birlefltirilmesi ile oluflturulmufltur. esleri duyup duymd m z, sesi iflitme s l m z zrrl olup olmd vey bir rc gürültülü olup olmd ço u zm ses fliddetie de il, ses düzeyie bk lrk yoruml r. izce buu sebebi e olbilir? I I es fliddeti I. I ol bir ses ky yrtt ses düzeyii buluuz. es fliddeti I I ol bir ses ky yrtt ses düzeyii buluuz. lk iki d mdki ifllemleri yprke s rs yl log ve log de erleri yerie hgi sy lr yzd z ve buu edeii ç kly z. Tblo. Tblo. deki oktl yerleri verile örektekie be- Eflitlik i De eri ebebi Eflitlik i De eri ebebi log zer flekilde dolduruuz. log log log Tblod ç krd z souçlr ç kly z. log log Ie I Örek log, log, log, log, log, log de erlerii bull m: log, log, log, log, log, log d r. + {} içi ve oldu ud logritm foksiyouu t m göre;. log dir.. log d r. 7. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

81 Tblo. ü örektekie bezer flekilde dolduruuz. htiyç duyrs z bir hesp mkieside yrrlbilirsiiz. Tblo.. Eflitlik (A) log + log Eflitlik (B) log (.6) log 6 6 A ve B Eflitlikleri Ars dki liflki A B 6 log 9 + log 7 log (9.7)... log + log 6 log (.6)... log log log... log 8 log 9 8 log 9... log log log... Geelleme log (. y ) log + log y.... log log.... log 7 log l l... log log... log log... l log... Tblod ç krd z souçlr ç kly z Örek Norml sesle kouflm, is kul duyrl oldu u e düflük ses fliddetide 7, yüksek sesle kouflm ise 9 kt dh fliddetlidir. Biri orml, di eri yüksek sesle koufl iki kiflii ses düzeylerii toplm bull m: I orml 7.I ve I yüksek 9.I olc d,. I. I () L toplm L orml + L yüksek log + log I I 7 9 (log 7 + log 9 ) (7 + 9) 6 db olur. Afl dki ifllemleri iceleyiiz. fllemleri s l yp ld ç kly z. Bu ifllemlerle yukr dki ifllemler rs dki bezerlik ve frkl l klr ç kly z. 7 (b) L. I. I 7 9 log toplm logf p log ^. h I I 9 log db buluur. () ve (b) ifllemlerie göre log( 7. 9 ) log 7 + log 9 olur. ki vey dh fzl pozitif gerçek sy çrp m logritms, çrplr her birii logritmlr toplm eflittir. Yi,, y +, + {} içi log (.y) log + log y dir. illim Oughtred (Vily m Autr t) (7 66) illim Oughtred 8 y l d sürgülü hesp cetvelii ict ederek logritm hesplr çok dh çbuk yp lms mümkü k lm flt r. * Ktz Victor J., A History of Mthemtics: A itroducto, Hrper Collis College Publishers, New York, 99. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 7

82 Gözlem kutusud verile eflitli i do rulu uu gösterelim: log p ve log y q olsu. log p p...(i) ve log y q y q...(ii) olur. I ve II umrl eflitlikleri trf trf çrpl m:.y p. q.y p+q olur. Bu eflitli i her iki trf tb göre logritms ll m:.y p+q log (.y) log ( p+q ) p + q...( III ) olur. p log ve q log y de erleri III te yerie yz l rs log (.y) log + log y buluur.. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log 6 log (.) log + log + log tür. b. log log (.) log + log + log tir. c. log log(.) log + log + log dir. ç. Ie l(e.) le + I + I dir. d. log(.b.c) log(.b) + logc log + logb + logc dir.. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log + log y log (.y) dir. b. + log log + log log (.) log dir. c. + I Ie + I I(e. ) d r. ç. log + log + log log (.. ) log dir.. log, log y ve log7 z ise log de erii, y ve z ciside bull m: log log(..7) log + log + log7 + y + z buluur. Örek Bir svfl jetii klk flt yrtt ses, is kul duyrl oldu u e düflük fliddetli seste kt dh fliddetlidir. Bu göre svfl jetii klk flt yrtt ses düzeyii, svfl jetii yrtt d e kdr fzl oldu uu bull m: L ses düzeyi, I ses fliddeti ve I is kul duyrl oldu u e düflük ses fliddeti olmk üzere L. I log, I jet.i ve I jet..i oldu ud; I () L jet L jet buluur. Afl dki ifllemleri iceleyerek y souc s l ulflt m z ç kly z. (b) L jet L jet ^. h. I. I. log -. log _ log -log I I.( ) db I jet.. I. logf p. logf p. logf p.log() db buluur. I jet. I ürgülü hesp cetveli, hesp mkielerii ve bilgisyrlr yyg lflms r me toplm ve çrpm ifllemleri içi s kç kull l bir hesplm rc yd. ürgülü hesp cetvelleriyle ki sy çrp m logritms bu sy lr logritmlr toplm eflittir. ess dy lrk uzuluklr birbirie eklemesiyle hesp yp l yordu. i () ve (b) ifllemlerie göre logf p log - log olur. Pozitif iki gerçek sy bölümüü logritms, bölüei logritms d bölei logritms ç kr - lrk buluur. Yi, y +, + {} içi logd log log y dir. y - 7. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

83 Gözlem kutusud verile eflitli i do rulu uu gösterelim: log p ve log y q olsu. log p p...(i) ve log y q y q... (II) olur. I ve II umrl eflitlikleri trf trf bölelim: p p olur. Bu eflitli i her iki trf tb göre logritms ll m: y q y log ( p q log d ) log d p-q...(iii) olur. y y p log ve q log y de erleri III te yerie yz l rs logd log log y buluur. y -. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log d log log log log tür. b. log d log log log dir. c. log d log log() (log + log) log log tir.. Afl dki logritml ifdeleri tek bir logritm lt d s l yz ld iceleyelim:. log logy log dir. b. log log log log d tür. y. z c. log logy + logz logt (log + logz) (logy + logt) log(. z) log(y. t) log e o dir. y. t. log, log b ve log c ise log d de erii, b ve c ciside bull m: log d log log log log(.) log log log b c buluur. Örek Yo u bir cdde trfi ii yrtt ses, is kul duyrl oldu u e düflük fliddetli seste 7 kt dh fliddetlidir. Bu trfi i yrtt ses düzeyii bull m: L ses düzeyi, I cdde trfi ii yrtt ses fliddeti ve I is kul duyrl oldu u e düflük ses fliddeti olmk üzere I L log ve I I 7. I oldu ud 7. I 7 L log log( ) log(.... ) ( log log) I 7te 7te.(7.log).7. 7 db buluur. Yukr dki ifllemde log 7 7.log oldu u dikkt ediiz., + ve + {} içi, log (.... log ) log+ log log. log - te - te log.log tir. oldu ud Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 7

84 . Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log 7 log log. tür. b. Ie.Ie. tür. c. log log log. tür. ç. log(,) log( ) log. tür. y. log ifdesii, y, z ve t i logritmlr ciside yzl m: z. t..y log z. t log + logy logz logt olur.. log logy + logz logt ifdesii tek logritm lt d yzl m: log logy + logz logt log logy + log z logt (log + log z ) (logy + logt). z log(. z ) log(y.t) log olur. y. t. log log + eflitli ide de erii bull m: log log + log log + log log log (.) log log olur.. log ve log b ise log ifdesii ve b ciside yzl m: log log (.) log + log log + log + b buluur. Y Y 6. log ve log b ise log, ifdesii ve b ciside yzl m: log, log log log log(.) log log + log log log + log (log log oldu uu gösteriiz.) ( log) + log ( b) + b + olur. 7. Afl dki logritml ifdeleri her birii efliti ol sy lr bulumufltur. fllemleri iceleyerek ifllemleri s l yp ld klr ç kly z.. log 8 log log log dir. b. log log- log - log - log - - dir. log_. yi - log_ z. t i log + logy-logz -log t e c. I Ie - I e Ie - Ie - buluur. e b, p Z +, + ve + {} içi p log log log tir p p. 7. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

85 . Afl dkileri her birii, b, c ve d i logritmlr ciside yz z.. b c b.. log b. loge o c. log ç. log f c. d b d cd. b. Afl d sol sütud verile ifdeleri tek logritm lt d yz lm fl biçimlerii, s sütud bulrk efllefltiriiz. log logb + logc logd log. c b. d. c log- logb+ logc-logd log b. -log- logb+ logc. c log b. d c d p Elektrikle ilgili uygulmlrd kull l Bode Diygrmlr, log(.b) log + logb özelli ide fydl lrk oluflturulur. Bu diygrmlr e mçl kull ld ve logritmyl ol iliflkisii rflt r z.. Afl dki deklemleri s ly de erlerii buluuz.. log log c. log + log log ç. log log + log 6. Afl dkileri her birii efliti ol sy lr bulrk oktl yerlere yz z.. log... b. log... c. log,... ç. 8 log log ve log b ise fl dkileri her birii ve b ciside yz z.. log b. log,6 c. log ç. log d. log log, log b ve log8 c ise log ü, b ve c ciside de eri edir? A) + b + c B) c b C) c b D) + b + c E) c b 7. Bir çözeltii ph de eri 8, de 9,9 ç krt l rs hidroje iyolr yo ulu u kç kt rtr? pucu: [H + ], mddedeki hidroje iyolr yo ulu uu göstermek üzere bir mddei ph de erii, ph log[h + ] eflitli i ile buldu umuzu ht rly z. Tb De ifltirme N, öz-bezer prçlr sy s ;, büyütme çrp olmk üzere bir frktl boyutu D ile gösterilip D log N biçimide modellemektedir. Öre i, ierpiski ( iy rpiski) Üçgei Frktl, her birii büyütme çrp ol öz-bezer prçd oluflmktd r. O hâlde ierpiski Üçgei Frktl boyutu, D log tür. Klsik hesp mkieleride sy lr sdece tb dki logritmlr - (log) ve e tb dki logritmlr (I) hesplbildi ii biliyor muyduuz? Bu durumd ierpiski Üçgei Frktl boyutuu, yi log de erii hesp mkiesi yrd m yl s l bulbiliriz? Aç kly z. log ifdesie efl, e tb d vey tb d bir ifde yzl m: log...(i) ve log y...(ii) olsu. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 7

86 I ve II eflitliklerii, ve y olrk yzr z. eflitli ide yerie y yzrsk ( y ) y. ve log y....( III ) elde ederiz. I, II deki ve y de erlerii III de yerie yzrsk log log y. log log. log log buluur. log O hâlde ierpiski Üçgei Frktl boyutu log D log log iz de yukr d buldu umuz boyutu, bölüm soudki Tb Göre Logritm Cetveli i y d hesp mkiesii kullrk hesply z. olur. log, c olmk üzere, b, c + cb içi log b d r. log c Gözlem kutusud verile eflitli i do rulu uu gösterelim: log b ve log c y olsu. log b b...(i) ve log c y c y...(ii) olur. II. eflitlikteki de eri I. eflitlikte yerie yz l rs b b (c y ) b c y. olur. Bu eflitli i her iki trf c tb göre logritms l rs log c b log c c y. log c b y. log c c log c b y. logc b log c b log c. log b log b buluur. log logb Ib log b ifdesii, tb d log b ; e tb d log b biçimide yzbiliriz. log I c. log ise log 9 8 ifdesii ciside de erii bull m: H log 8 log. log log 8 9 log 9 log. log [ buluur.. log ise log 7 ifdesii ciside de erii bull m: F log 7 log ^. h log + log. log+ + log 7 log log. log log log ] g [ buluur.. log 9. log. log 6 ifdesii e sde hâlii bull m:.. log. log. log log log. log log9 log log log log log6 log6. log. log. log 6 log 6 log log log log d r. 76. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

87 , b, c olmk üzere, b, c, d + içi log b. log b c. log c d log d dir.. + ifdesii eflitii bull m: log log log log log + log log log log log log log log, b + bb {} içi log b ve log b. log dir. log b log. ifdesii e sde hâlii bull m: + log log6 tür. + log log log log. log 6 + ] g + log 6. log log eflitli ii s ly de erlerii bull m: log log log log log (.) log dir. log log log b b (log ) olur. Burd, log log - buluur. Ekoomide piys temposuu ölçmek, uzu vdeli lizler ypmk içi logritm kull ld biliyor muyduuz? Öre i, fiyt eksei (dikey ekse) oluflturulurke ritmetik ölçek kull lsyd ile rs dki mesfe ile ile 6 Aritmetik Logritimik Ölçek Ölçek rs dki mesfe y olurdu. Oyski de ye yükselifl % lük, te 6 y yükselifl ise % lik bir rt fl krfl l k gelir. Logritmik ölçekli ekselerde ise fiytlr rs dki mesfeler, eflit yüzde rt fllr d y d r. fiekilde de görüldü- ü gibi logritmik ölçekte ile rs dki mesfe, ile rs dki mesfeye eflittir log 8 8 ifdesii tb dki eflitii bull m: Afl dki ifllemleri iceleyerek ifllemleri s l yp ld klr ç kly z. log. log log 8 log log olur. 8 log. log, m olmk üzere, b + log b. log b log m b m log m. log ve m, içi m log b dir. 8. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log log log tür. b. log 6 log dir. 6 log c. tür. ç. log 9 log log log - log - tür. - 7 log Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 77

88 9. Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log tür. b. log log log log log tür. _ i c. log log log 8 dir. ç. log 7 log 7 log tür.. e IN ifdesii eflitii bull m: e IN... (I) olsu. Eflitli i her iki y e tb göre logritms ll m: log e e IN log e IN.log e e log e ln l N buluur. (I) eflitli ide N yz l rs e IN N buluur. ^ h Logritm ö redi iiz özelliklerii kullrk Tblo. ü tmmly z. olsu. Bu göre fl dki log oktl yerleri tmmly z. log log... log... log log.... log log... \... Tblo.. fde (A) log 9 7. fde (B) log 7 log 9 A ile B fdeleri Ars dki liflki A B log 6 log 6... log log log... log log... Geelleme log c b log b logc... log b ile b de eri rs dki iliflkiyi geelleyiiz. Tblod ç krd z souçlr ç kly z. olmk üzere, b + log içi b b dir. Gözlem kutusud elde etti imiz soucu do rulu uu gösterelim: log b...( I) olsu. Eflitli i her iki y tb göre logritms ll m: log b log log log b. log log log b log b olur. I eflitli ide b yz l rs log b b buluur. + log. 6 ise de erii bull m: + log log log log buluur.. log, b log, c log 8 6 veriliyor., b ve c rs dki s rlmy bull m: b log log log ve log 8 6 log 6 log 6 d r. f() log foksiyou rt foksiyo oldu ud rtrke log de erleri de rtckt r. O hâld log < log < log < b < c buluur. 78. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

89 . Afl dki logritml ifdeleri efliti ol sy lr buluuz.. log b. c. log _ i ç. log 6 log, 6 d. log. log9. log, e. f. 7 log 9. log 6. log log. log. log e. Afl dki ifllemleri yp z.. + b. + - c. + + log log log 6 log 6 log 6 log ] bcg log ] bcg log ] bcg. log log eflitli ii s ly de erlerii toplm fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) b c 9. Afl dki ifdeleri e sde flekilde yz z.. b. +log c. e (I) log ç. d. log 9 log e. 8 log 6. Afl d birici st rd verile ifdelerdeki de erlerii, ikici st rd bulrk oklrl efllefltiriiz. +log _ logi- 9 ] + g (,) [log( )] Oluk Logritmyl lgili Bz Özellikler [H + ], mddedeki hidroje iyolr yo ulu uu göstermek üzere bir mddei ph de erii, ph log[h + ] deklemi ile buldu umuzu ht rly z. Bu göre ph de eri 6 ile 7 rs d ol mddeleri hidroje iyo yo uluklr hgi de erler rs d olbilir? log y y oldu uu biliyoruz. Bu göre log ifdesii üstel biçimde yz z. < < b olck flekilde e büyük ve e küçük b tm sy lr buluuz. Bu göre log de erii hgi iki tm sy rs d olbilece ii trt fl z. Afl dki logritml ifdeleri hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu belirleyerek boflluklr dolduruuz..... < log7 <... b.... < log6 <... c.... < l <... ç.... < log, <... d.... < log,7 <... e.... < log <... de büyük bir gerçek sy logritms iflreti ile ilgili e söyleilebilir? Trt fl z. ile rs dki bir gerçek sy logritms iflreti ile ilgili e söyleilebilir? Trt fl z. Bir gerçek sy logritms hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu s l buluc trt fl z. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 79

90 Örek Afl dki ifllemleri iceleyelim:. log.log dir. b. log.log dir. c. log. log d r. ç. log. log dir. d. log.log dir. e. log.log tür. Yukr dki öreklerde u tm sy kuvveti ol sy lr oluk logritmlr tm sy, bu sy lrd de küçük ollr oluk logritmlr egtif, de büyük ollr oluk logritmlr pozitif oldu u dikkt ediiz. u tm sy kuvveti ol bir sy oluk logritms bir tm sy d r. Z ise log.log dir.. de büyük bir sy oluk logritms pozitif oldu uu gösterelim:, de büyük bir gerçek sy ve Z + olsu. < < ll m. Bu durumd buluur.. ile rs dki bir sy oluk logritms egtif oldu uu gösterelim:, de küçük pozitif bir gerçek sy ve Z + olsu. < < ll m. Bu durumd < < log< log <. log < log < X [ < < log e < log < log log < log < < log < d r. o - - de büyük bir sy oluk logritms pozitiftir ( > log > ). ile rs dki bir sy oluk logritms egtiftir. ( < < log < ). Depremi Büyüklü ü Chrles ichter ( Çrls iht r), 9 y l d bir depremi büyüklü üü ( B), I B log b t s yl bulubilece ii göstermifltir ( I, depremi fliddetii, ise stdrt bir depremi fliddetii gösteriyor.). Bu b t y göre stdrt bir depremi ihter ölçe ie göre büyüklü ü kçt r? ki yr bölgede biride fliddeti, stdrt bir depremi fliddetii kt ; di eride ise b kt ol birer deprem olmufltur. < b oldu u göre bu iki depremi büyüklüklerii krfl lflt rl m: ihter ölçe ie göre depremleri Tblo. teki gibi s fld r ld biliyor muyduuz? Tblo. f Büyük A Kuvvetli Ort fiiddetli Hfif Küçük Büyüklük 8 7 7,9 6 6,9,9,9,9 I. ve I b. oldu ud B I. I b. log log log ve B log log logb ve b p olsu (, p Z + ). log log ve b p logb log p logb p olur. < b < p log < log p.log < p.log < p buluur. log ve p logb oldu ud log < logb dir. Bu göre bir sy büyüdükçe sy oluk logritms s l de iflir? dir. 8. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

91 , b + içi < b log < logb dir.. tdrt bir depremi kt fliddetide ol bir depremi büyüklü üü bulup buldu umuz de- eri, hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu belirleyelim: I. I. oldu ud B log log log dir. Depremi büyüklü ü log dir. fiimdi log i hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu bull m: sy s, ve sy lr rs d buluur. < < < < log < log < log < log < dir. O hâlde log i de eri, ile rs dd r. Bir bsmkl sy lr oluk logritmlr, ile ( dâhil) rs dd r. < log log < log log < dir.. tdrt bir depremi kt fliddetide ol bir depremi büyüklü üü bulup buldu umuz de eri, hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu belirleyelim: I. I. oldu ud B log log log tir. Depremi büyüklü ü log tir. fiimdi, log i hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu bull m: sy s, ve sy lr rs d buluur. < < log < log <.log < log < dir. O hâlde log i de eri, ile rs dd r. ki bsmkl sy lr oluk logritmlr, ile ( dâhil) rs dd r. < log log < log log < dir.. u tm sy kuvveti olmy bir sy oluk logritms, rd fl k iki tm sy rs d oldu uu gösterelim: u tm sy kuvveti olmy bir sy olsu. Z olmk üzere sy s, ile + rs d bulusu. < < + log < log < log +. log < log < ( + ). log < log < + buluur. O hâlde log sy s, rd fl k iki tm sy rs dd r.. Afl dki logritml ifdeleri hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu bull m:. log 7 b. I. 7 sy s, 7 ve 8 sy lr rs dd r. O hâlde 7 < 7 < 8 log 7 < log 7 < log 8 7 < log 7 < 8 buluur. b., e ile e rs dd r. O hâlde e < < e Ie < I < Ie < I < buluur. Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 8

92 . Afl dki logritml ifdeleri hgi iki rd fl k tm sy rs d oldu uu bull m:. log b. log, c. log, Afl dki ifllemleri iceleyiiz. fllemleri s l yp ld klr ç kly z.. < < < < log < log < log b., <, <, <, < log < log, < log c., <, <, <, < log < log, < log < log < log,... \ te s f r bsmkl - < log, < - log, -,... - < log, < - log, -,... Z te s f r Bir sy s logritms tm k sm pozitif tm sy ise bu tm sy fzls, sy s tm k sm bsmk sy s verir. Logritms tm sy olmy bir sy s logritms tm k sm egtif tm sy ise bu tm sy mutlk de erii fzls, sy s odl k gösterimideki s f rd frkl ilk rkm soludki s f r sy s verir.. oldu u göre sy s kç bsmkl oldu uu bull m: log.log.log(.).(log + log). (. log+ log G ) 8.log 8.(,) + 6,68 buluur. sy s logritms tm k sm 6 oldu ud sy s, bsmkl d r.. ise log 7 ve log,7 de erlerii bull m: log7 log(,7. ) log,7 + buluur. log,7 log(,7. ) log,7 olur. Logritm Cetvelii Kull m Afl d syf 99 d yer l tb göre logritm cetvelii bir k sm verilmifltir. Cetvelde bir sy logritms buluurke sy birler ve od birler bsm ilk sütud, yüzde birler bsm ise ilk st rd seçilerek bu st r ve sütu kesifltirilir. Kesiflime dek gele sy isteile sy tb göre logritms yklfl k de erii verir. N ,,86,8,7,,,9,,7,,,,9,,69,67,6,68,79,7,,79,88,86,899,9,969,,8,7,6,,9,7,6,9,7,,,67,99,,,6,9,,,8,6,6,67,7,7,,76,79,88,87,87,9,9,99,987,,6,,68,9,,8,7,,7,,79 log, 8. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

93 Üite soud verile tb göre logritm cetvelii kullrk fl dki sy lr o tb göre logritmlr bull m:. log6 b. log c. l8 ç. log, d. log,7 Hery Briggs (Heriy Brigs). log6 ifdesii de erii bulmk içi öce ilk sütud 6 y dh sor d ilk st rd bulmm z gerekir. log6 de eri yklfl k olrk bu st r ve sütuu kesiflti i yerde bulu,778 dir. log log ^,. h log, + log b. log olur. log log log Logritm cetveli iceleirse ve oldu u görülür. O hâlde log, 6 buluur. log, + log, 7 +,, log 77, log8 log8 log8, + olur. loge log 7, log7, Logritm cetveli iceleirse ve oldu u log 8, + 798, + görülür. O hâlde l 8,,,,6 buluur. log 7,, 6 ç. log, ifdesii yklfl k de eri, logritm cetvelii ilk sütuud,; ilk st r d d seçilerek bu st r ve sütuu kesiflti i yerde bulu,8 tür. (6 6) giliz mtemtikçi ve stroom Hery Briggs, logritm bilim dmlr trf d kbul edilmeside rol oyy e öemli kiflidir. Briggs, logritm hesplm iflleride büyük kolyl klr s lybilece ii düflüüyordu. Bu mçl, de e kdr ol sy lr tb göre logritmlr, virgülde sor bsm kdr göstere bir logritm cetveli hz rlm flt r. * d. log,7 log(,7. ) log,7 olur. Logritm cetveli iceleirse oldu u görülür. O hâlde log,7 olur. Afl dki sorulr cevplr buldukt sor, cevplr do rulu uu hesp mkiesi kullrk kotrol edebilirsiiz.. log,7 ise fl d birici st rd verile sy lr yklfl k de erii, ikici st rd verile sy lr rs d bulrk oklrl efllefltiriiz. log log, log, log,,7,7,7,668. Afl dki sy lr o tb göre logritmlr tm k s mlr buluuz.. b. c. 7 ç., d., e., f.,8 g.,. Afl d verilelere göre, y ve z sy lr tm k s mlr kç bsmkl oldu uu buluuz. Ns l buldu uuzu ç kly z.. log, b. logy, c. logz,7. Afl dki sy lr o tb göre logritmlr, logritm cetvelii kullrk buluuz.. b. 8 c. 9 ç. 7 d., e. 6,8 f. 7,987 g. 7,. log, ve log,77 oldu u göre fl dkileri her birii eflitii bulrk oktl yerlere yz z.. log... b. log... c. log... ç. log,6... d. log... e. log, log 8,8 verildi ie göre log,8 ifdesii eflitii buluuz. 7. log, oldu u göre sy s kç bsmkl d r? Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou. Bölüm 8

94 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. Üstel foksiyou tersi, poliom foksiyodur. b. Do l logritm, tb e ol üstel foksiyou tersidir. c. dyoktif yr lmy modelleye foksiyo, üstel zlmy bir örektir. ç. Yo urt yp bkterileri üremesii modelleye foksiyo, üstel zlmy bir örektir.. y ve y log foksiyolr rs dki iliflkiyi ç kly z.. Grfi i (, ) okts d geçe bir üstel foksiyo yz z.. Grfi i (, ) okts d geçe bir logritm foksiyou yz z.. y f( ) log + foksiyou kç tm sy s içi t ml d r? 9 - A) B) C) D) E) 6. log ise log 6 8 ifdesii y b l de eri fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) f() e + ise t ml oldu u rl kt f foksiyouu kurl fl dkilerde hgisidir? + I - I + I - I A) B) C) D) E) I - 8. log7,8 oldu u göre 7 sy s kç bsmkl d r? 9. Afl dki foksiyolr t m kümelerii bulrk grfiklerii çiziiz.. y. b. y e c. y + e ç. y log d. y log ( ) e. y log( + ) +. ihter ölçe ie göre fliddetide bir deprem soucud ç ç k eerji E ( erg ciside) loge,8 +, eflitli i ile modellemektedir. 7 A ustos 999 d yfl Mrmr Depremi i fliddeti ihter ölçe ie göre 7, ; 8 Ekim trihide Pkist d yfl depremi fliddeti ise 7,6 olrk ölçülmüfltür. Bu göre Pksit dki depremde ç ç k eerji, Mrmr Depremi de ç ç k eerjide yklfl k kç kt fzld r?. Bir ortm ph de eri, mikroorgizmlr üremesii etkiler. Her bkterii üreyebildi i miimum ve mksimum ph de erleri vrd r. Geelde bkteriler ph de eri 6-8 rs d ol ortmd iyi ürer. Bkteriler içi e iyi üreme ise ph de eri 7,- 7, ol ortmlrd gerçekleflir. Bu göre bkterileri;. yi üredikleri ortm hidroje iyo yo ulu u hgi de erler rs dd r? b. E iyi üredikleri ortm hidroje iyo yo ulu u hgi de erler rs dd r? pucu: Ortm ph de eri ile hidroje yo ulu u ([H + ]) rs dki iliflkii ph log[ H + ] fleklide oldu uu ht rly z. 8. Bölüm Üstel Foksiyo ve Logritm Foksiyou

95 Üslü Deklemler Y ll k fiz or %8 ol ve bileflik fiz uyguly bir bky bir miktr pr (P ) yt rc m z Üslü deklemleri çözüm kümeleri Logritml deklemleri çözüm kümeleri Üslü eflitsizlikleri çözüm kümeleri Logritml eflitsizlikleri çözüm kümeleri düflüelim. Fiz hespl rke sürekli vde uyguls yi pr bkd kld her içi fiz ödese t y l kdr sor yt rc m z P TL i fiziyle birlikte e kdr olc, P(t) P.e,8.t foksiyou ile modelleebilir. Bu formüle göre bky yt r l bir miktr pr kç y l sor kt ç kc s l bulbilirsiiz? Aç kly z. Bir bky yt r l P TL i t y l sor fiziyle birlikte miktr P(t) P.e,8. t TL dir. Bky yt r l TL i iki y l sor kç TL olc hesply z. Bu bky y ll k %8 bileflik fizle yt r l TL i e kdr zm sor TL olc buluuz. A ve B bklr her ikisi de sürekli vdeyle bileflik fiz uygulmktd r. Y ll k % bileflik fizle A bks yt r l bir miktr pr y l sorki de eri, bileflik fizle B bks yt r l y miktrdki pr y l sorki de erie eflittir. Bu göre B bks y ll k % kç bileflik fiz uygulmktd r? Aç kly z. Yukr dki problemleri çözmek içi kurdu uuz deklemleri çözüm kümelerii bulurke kulld z strtejiler elerdir? Aç kly z. Örek Afl dki deklemleri çözüm kümelerii bull m:. 7 b Ç {} olur. b. + + log (log ) dir. O hâlde Ç {(log ) } buluur. olmk üzere üslü deklemler, f() g() biçimide ise f() g() deklemi çözülerek çözüm kümesi buluur. f() b biçimide ise logritmd yrrlrk f() log b eflitli ide çözüm kümesi buluur.. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii bull m:. b. c. +. buluur. O hâlde çözüm kümesi Ç {} dir. Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler. Bölüm 8

96 b. ise log olur. log log log log dir. Bölüm soudki tb göre logritm cetvelii kullrk i ykl- log log fl k de erii,8 oldu uu gösteriiz. O hâlde çözüm kümesi Ç * vey Ç {,8} buluur. log log 699, - - log c. + - log, + log,,,66 buluur. O hâlde çözüm kümesi Ç {,66} olur deklemii çözüm kümesii bull m: t olsu. Bu durumd 9 t olur t t + (t )(t ) t. t olur. t dir. t d r. O hâlde çözüm kümesi Ç {, } olur.. e + e deklemii çözüm kümesii bull m: e t olsu. Bu durumd e olur. t e + e t + t t + (t ) t buluur. t t e log e l buluur. O hâlde çözüm kümesi Ç {l} olur deklemii s ly de erii bull m: ( ) ( )..9 c m log olur.. f() e + oldu u göre f () de erii bull m: f () diyelim. O hâlde f() olur. f() e + e Ie I buluur. 6. y + + y + 8 deklem sistemii çözüm kümesii bull m: Verile deklemleri trf trf ç krl m: + + " " " 8 y y buluur.. deklemde yerie yzrsk + y + y y buluur. log ve y y log dir. O hâlde deklem sistemii çözüm kümesi Ç {(log, log )} olur. 86. Bölüm Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler

97 . Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz b. 9 7 c. 8 ç.. 9. d. 6 e f. + + g.. Afl dki deklem sistemlerii çözüm kümelerii buluuz. Çözüm kümelerii bulurke eler ypt z ç kly z.. y- + b. - y b. ki bilimeyeli iki üslü deklemde olufl bir sistem oluflturuuz. Bu deklem sistemii çözüm kümesii buluuz.. y l itibriyle Türkiye Cumhuriyeti i üfusu yklfl k 7, milyo ve ortlm y ll k üfus rt fl yklfl k %,9 olrk sptm flt r ( Kyk: Türkiye sttistik Kurumu, y _ + b ` - y+ Yukr dki flekil; Geliflme rml, Efl Aç l rml ve pir Mirbilis dlr yl bilie logritmik srml belirtir. Eperi örümce ii dim logritmik srml fleklide ördü üü biliyor muyduuz? Logritmik srml öemii ve gülük hytt erelerde krfl m z ç kt - rflt r z. Ay rt fl h z devm edece i kbul edilerek Türkiye i te y l sorki üfusu P ile gösterilerek P() 7,.e,9. (milyo kifli) biçimide modelleebilir ( ). Bu göre Türkiye i;. y l dki üfusuu yklfl k olrk buluuz. b. Nüfusu yklfl k kç y l sor.. olur? c. Nüfusu yklfl k olrk hgi y ld iki kt ç kckt r? Cevb s l buldu uuzu ç kly z. Logritml Deklemler ihter ölçe ie göre fliddetideki bir deprem ile ç ç k eerji E (erg ciside), loge,8 +,. fleklide modellemektedir. Bu göre fliddeti verile bir deprem soucud ç ç k eerjiyi s l bulbilirsiiz? Aç kly z. 7 A ustos 999 trihide yfl Mrmr Depremi i fliddeti ihter ölçe ie göre 7, olrk belirlemifltir. Bu göre Mrmr Depremi de e kdr eerji ç ç kt buluuz. ihter ölçe ie göre fliddeti + ol bir deprem soucud ç ç k eerjii fliddeti ol bir deprem soucud ç ç k eerjii kç kt olc buluuz. Yukr dki problemleri çözmek içi kurdu uuz deklemleri çözüm kümelerii bulurke kulld z strtejiler elerdir? Aç kly z. Örek Afl dki deklemleri s ly de erlerii bull m:. log( ) b. log ( + ) log ( + ). log( ) log( ) log 6 d r. b. log ( + ) log ( + ) + + dir. Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler. Bölüm 87

98 Logritml deklemler; log f() b biçimide ise f() b deklemi çözülür. log f() log g() biçimide ise f() g() deklemi çözülür [ f() >, g() > d r.].. log( ) log 9 deklemii çözüm kümesii bull m: log( ) log9 9 6 buluur. 6 içi ifdesi pozitif oldu ud 6 çözüm kümesie dhil edilir. O hâlde verile deklemi çözüm kümesi Ç { 6} buluur.. log( + ) deklemii çözüm kümesii bull m: log( + ) + 9 olur. O hâlde verile deklemi çözüm kümesi Ç { } buluur. Gelebevi smil Efedi (7 79) Gelebevi smil Efedi, logritm üzerie öemli çl flmlr ol bir Türk bilgiidir. Öemli bir mtemtikçi ol ve mt kl d u rfl bu büyük bilgii, Logritm islesi dl bir eseri vrd r. ki bölümde olufl bu eseri birici bölümüde logritm çizelgesi vrd r. Eseri ikici bölümüde ise logritm kull l fl lt lmktd r. * Düşüce Kutusu Afl d log ( ) + log ( ) ve log - log deklemleride birii çözümüde ht yp lm flt r. Htl çözümü bulrk do ru çözümü yp z. log ( ) + log ( ) log ( )( ) ( )( ) -. Ç (, - tür. log - log log t l rs, log ^ t h ] t+ g t - t+ (t ) t buluur. - log t - t t t+ t log ve Ç {} olur.. log + log deklemii çözüm kümesii bull m: log + log log+ log t + t - t+ t olur. Bu deklemi kökleri...(i) olur. I deki deklemde log t diyelim. t, t olur. t log ve t log olur. Buldu umuz her iki de er de verile deklemi s ld d Ç #, - buluur.. I e deklemii çözüm kümesii bull m: Verile deklemde, her iki trf do l logritms ll m. I I Ie I.I Ie + I (I) + I olur. I t olsu. O hâlde (I) + I t + t t t t, t buluur. t I e ve t I e olur. O hâlde Ç {e, e } olur. 88. Bölüm Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler

99 . log ( + 6) + deklemii çözüm kümesii bull m: log ( + 6) olur. t l rs t olur. Bu de erleri, + 6. deklemide yerie yzrsk t + 6 t t t + 6 (t )(t ) t. t tür. t log ve t log olur. O hâlde çözüm kümesi Ç {log, log } olur. y _ log - b. b ` deklem sistemii çözüm kümesii bull m: y b log b y log logy log logy log log y + log y log y log + log logy 6 logy 8 y 8 logy log deklemide logy yerie 8 yz l rs log ve O hâlde çözüm kümesi Ç {(, 8 )} dir. buluur.. Logritm kullrk çözebilece iiz bir üslü deklem yz z. Yzd z deklemi bir rkdfl zd çözmesii isteyiiz.. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz. log. 6 b. log ( + ) c. log( ) + log ç. log ( + ) log ( ) d. log -log ] - g e. log ( + 8) log ( ) f. log ( + ) + log ( ) g. log ( ) log ( ) + log ( + ). Afl dki deklem sistemlerii çözüm kümelerii buluuz. _ log y _ -8 log 7 b b. ` b. y ` log 8 y b log _. y i 6b. Yr lm süresi, bir rdyoktif izotopu miktr yr y imesi içi gereke zmd r. Her rdyoktif izotopu kedie özgü belirli bir yr lm süresi vrd r. Yr lm süresi geellikle t / ile gösterilir. Yr lm süresi mddei miktr d b ms z olup yl zc h z sbitie (λ) b l d r. Yr lm süresi (y l) I ve h z sbiti rs dki b t t / ise yr lm süresi y l ol sezyum λ (Cs) elemetii h z sbiti edir? Yr lm süresii tekolojide pek çok yrrl uygulms vrd r. Öre- i, mkie y lr etkili i, y rdyoktif izotop kt lrk lfl lbilir. Mkie bir süre çl flt kt sor y d örek l rk y e kdr mkie prçlr yy ld, y dki rdyoktif prçlr vrl d lfl l r.. I fl su yüzeyide d stimetre derilikteki fliddetii I ise fl tmosferdeki fliddetii göstersi. Birimi cdel (cd) ol I ve I rs d I I,. d fleklide bir b t vrd r. Bu göre fl su içideki fliddetii tmosferdeki fliddetie or e o hgi deriliklerde fl dkiler gibi I I olur? I. b. c. ç. e Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler. Bölüm 89

100 Üslü Eflitsizlikler Bir biyolog, tibiyotik yp m d kullmk üzere lbortuvr ortm d bkteri yetifltirmektedir. Yp l gözlemlere göre bu türde ol bir bkterii bölümesiyle iki bkteri oluflms içi st geçmesi gerekmektedir. Lbortuvr ortm d bu bkteri türüe it bkteri buluuyors bkterileri bölümesi soucud e z 96 bkteri oluflms içi e kdr zm geçmelidir? Aç kly z. y f() Ydki f() foksiyouu grfi ii iceleyiiz. < ike f( ) ve f( ) rs dki s rlm s l olc ç kly z. Grfi i iceleyerek < eflitsizli ii s lms içi i hgi de erleri lbilece ii ç kly z. Ydki g ] g d foksiyouu grfi ii iceleyiiz. < ike g( ) ve g( ) rs dki s rlm s l olc ç kly z. Grfi i iceleyerek d < d eflitsizli ii s lms içi i hgi de erleri lbilece ii ç kly z. Yukr d elde etti iiz souçlr göre fl dki oktl yerleri " <" ve " >" sembolleride uygu ol ile dolduruuz. > oldu ud < y... y dir. < < oldu ud < y... y dir. + Elde etti iiz souçlr göre + ve d d eflitsizliklerii çözüm kümelerii buluuz. Verile üslü bir eflitsizli i çözüm kümesii s l buluc trt fl z. Örek + eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: + + dir. O hâlde çözüm kümesi Ç [, + ) olur. y g() > içi > y > y ve < y < y dir. Örek d + + < d eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: d + + < d + > + > dir. O hâlde çözüm kümesi Ç (, + ) olur. < < içi > y < y ve < y > y dir. 9. Bölüm Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler

101 d < d eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: d < d d < e< F o d < d 7 - > 6- - > - < dir. O hâlde çözüm kümesi Ç, d- dir.. _ - -7i^ -h eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: Öce, eflitsizli i olufltur çrplr her birii köklerii bull m: dir. flret tblosu ypl m: Tblo.6 7 ( 7)( ) ÇÖZÜM ÇÖZÜM Tblo.6 y göre verile eflitsizli i çözüm kümesi, Ç {:,. } olur. Logritml Eflitsizlikler y f() log Ydki f() log foksiyouu grfi ii iceleyiiz. < ike f( ) ve f( ) rs dki s rlm s l olc ç kly z. Grfi i iceleyerek log < log eflitsizli ii s lms içi i hgi de erleri lbilece ii ç kly z. Ydki g ] g log foksiyouu grfi ii iceleyiiz. < ike g( ) ve g( ) rs dki s rlm s l olc ç kly z. Grfi i iceleyerek log < log eflitsizli ii s lms içi i hgi de erleri lbilece ii ç kly z. Yukr d elde etti iiz souçlr göre fl dki oktl yerleri " <" ve " >" sembolleride uygu ol ile dolduruuz. > oldu ud log < log y... y dir. < < oldu ud log < log y... y dir. Elde etti iiz souçlr göre log ( ) ve log ] + g eflitsizliklerii çözüm kümelerii buluuz. Verile logritml bir eflitsizli i çözüm kümesii s l buluc trt fl z. Örek log ( 6) < eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: 6 > >... (I) tür. log ( 6) < 6 < < 8 <... (II) tür. I ve II de çözüm kümesi Ç (, ) olur. y g() log Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler. Bölüm 9

102 f() log foksiyou > ise rt, < < ise zld r. Logritml eflitsizlikler çözülürke; > içi < f( ) < f( ) log f( ) < log f( ) log f() < b < f() < b log f() > b f() > b < < içi < f( ) < f( ) log f( ) > log f( ) log f() < b f() > b log f() > b f() < b b t lr kull l r. y > y < < y log y log. Afl dki eflitsizlikleri çözüm kümelerii bull m:. log ( ) b. log ] + g > - _. log ] -g -... ( I) b ` - > >... ( II) b I ve II de çözüm kümesi Ç [, ) buluur. olml d r. _ b. log ] + g > - + < d < 8... (I) b ` b + > > -... (II) I ve II de çözüm kümesi Ç (, 8) buluur. olml d r.. log( + ) + log < eflitsizli ii çözüm kümesii bull m: log] + g+log< log6 ] + g.@<log < < 6 + > > << 6 8 Ç, 8 6 olur.. Afl dki eflitsizlikleri çözüm kümelerii buluuz I < e b. - 9 < c. e e + 6 ç. log ( + ) > d. log ( ) e. log ] - g f. < log ( + ) < g. < log ] + g. Üslü vey logritml ifde içere bir eflitsizlik yz z. Arkdfl zd, yzd z eflitsizli i çözüm kümesii bulms isteyiiz. Arkdfl z buldu u çözüm kümesii do rulu uu kotrol ediiz.. r (odl k kesir olrk) y ll k bileflik fiz or ve y ld yl k vdelerle bky yt r l P TL i t y l sor fiziyle birlikte e kdr olc, (P), t r P P c foksiyou ile bulubilir. Bu göre yl k vdelerle y ll k % 7 bileflik fiz uyguly bir bky yt r l TL i e z iki kt olms içi e z + m e kdr süre geçmesi gerekir? 9. Bölüm Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler

103 . Afl dki cümleleri e do ru flekilde tmmly ifdeyi yuvrlk içie lrk edeii ç kly z. I log. ifdesi / bze do rudur. / her zm do rudur. / hiçbir zm do ru de ildir. Ib logb b. Üslü bir deklemi çözüm kümesi, gerçek sy lr kümesi () / olbilir. / olmz.. Afl dki deklemleri çözüm kümelerii buluuz.. I e b.. 9 c. ^ h ç. e.e d e.. + f. log 6log g. log ( ) log ( + ). log ( ) + log d h. log ( ) log ( ) + log ( + ). I[ + log (log ( ))] log[log (log 8)]. Afl d birici st rd verile deklem sistemlerii s ly (, y) ikililerii ikici st rd verileler rs d bulrk oklrl efllefltiriiz. + y y log + log y log 6 8 b b log ^ h 6 y ` - y ` 8 y 8 7b log y 8 logy b (, ) (, ) (, ) (, ) (, 7) (, ). Afl dki eflitsizlikleri çözüm kümelerii buluuz.. < b. e + e c. log ] + g > ç. + < log ] g -. ct olduklr d bu y bilgisyrlr ifllem ypbilme h zlr her üç y ld bir kt ç kt söylemektedir. Bu göre;. Güümüzde orml özelliklerde bir bilgisyr sy sl ifllem ypm h z h ile gösterirsek bud, 6, 9, ve y l sor efl de er bir bilgisyr h z göstere ifdeler buluuz. b. Dizüstü bilgisyr z ifllemci h z 6 meghertz (MHz) oldu uu ve sizi de 96 MHz h z d bir bilgisyr ihtiyc z oldu uu vrsyl m. Güümüzde bu h zd çl fl dizüstü bilgisyr yoks 96 MHz h z d bir bilgisyr lmk içi e kdr beklemeiz gerekir? 6. Gökyüzüe bkt zd bz y ld zlr di erlerie göre dh prlk görüür. Buu edei bu y ld zlr yerküremize dh yk olms d r. Astroomide, bir y ld z yerkürede uzkl prsek (yklfl k,6 fl k y l ) olms durumud e kdr prlk görüece i mutlk prlkl k de eri (M) ile ölçülmektedir. M de eri e kdr küçükse y ld z prlkl o kdr fzld r. Mutlk prlkl k de eri M m + logd eflitli i ile modellemektedir. Bu eflitlikte d (prsek), y ld z yerkürede uzkl ve m, y ld z görüürdeki prlkl d r. Bu göre Tblo.7 de görüürdeki prlkl klr ve mutlk prlkl klr verile y ld zlr düyy ol uzkl klr bulrk bu y ld zlr, yerkürede uzkl fzl old z ol do ru s rly z. Tblo.7 Y ld z Güefl irius ( riy s) Epsilo Eridi (Epsol Eridi) oss (s) 8 Görüürdeki Prlkl k (m) 6,7,,7, Mutlk Prlkl k (M),8, 6,, Üslü ve Logritml Deklemler ve Eflitsizlikler. Bölüm 9

104 . log ise log 8 fl dkilerde hgisidir? + + A) B) C) D) E) I, I y ise log 6 8 fl dkilerde hgisie eflittir? y A) B) y C).y D) + y E) y. Yd grfi i görüle logritm foksiyouu deklemi fl dkilerde hgisidir? A) y log ( ) B) y log ( + ) C) y log ] -g D) E) y log ( + ) y y log ] -g. log 7 8, b log9 ve c log 8 veriliyor. 9, b ve c rs dki s rlm fl dkilerde hgisidir? A) < b < c B) c < b < C) c < < b D) < c < b E) b < < c. log b ise log b b fl dkilerde hgisie eflittir? A) B) C) D) E) +. ^log8h + dlog ifllemii soucu fl - dkilerde hgisidir? + + A) log B) log C) log D) log E) log 6. f() ve g() log ise (f og)() fl- dkilerde hgisidir? A) B) C) log D) log E) log 7. log. log 9. log. log 9 log 9 ise 7 fl dkilerde hgisidir? A) B) 6 C) D) 6 E) 9 8. log.log ise kçt r? A) B) C) D) 9 E) 9. I[log(log (I))] ise fl dkilerde hgisidir? A) 9 B) 6 C) e 6 D) e 9 E) 6 e. f() log ( ) ve f () ise kçt r? A) B) C) D) 6 E) 7. log, ise kç bsmkl d r? A) B) C) 6 D) 7 E) 8. log e + I deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) {} B) {} C) {e} D) {,e} E) {,e} + I log. e ise log log e ifdesii soucu fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) log. 9 ise de erlerii çrp m kçt r? A) B) C) 6 D) 9 E) f ( ) log foksiyouu e geifl 7 e o - t m kümesi fl dkilerde hgisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) (, ) 7. log d > eflitsizli ii çözüm kümesi + fl dkilerde hgisidir? A) Ç { :, < < } B) Ç { :, <. > } C) Ç { :, <. > } D) Ç { :, <. < < } E) Ç { :, >. < < } 9. Bölüm Çözümlü Test

105 . + buluur (log ). + CEVAP : E. I ve I y oldu u göre,. Ayr c Bu durumd c < b < olur.. log b b tir.. CEVAP : A d r. CEVAP : B CEVAP : C 6. f() ise f () foksiyouu bull m: 7. log log log 8 log8 log log 8 e I. I log6 8 log 6 I. I log78 > log77 > b log 9 < log b< logb b log.. log log dir. + + CEVAP : E log8 log log ^ h + d _ i + _ log i ^6logh + ^-8logh 6^logh + 6^logh ^logh log olur. y c log 8 log 8 -log 8 < log log y log olur. Yi f () log tir. g() log g() e 9 (f og)() f [g()] f d ^. h ^. h + log log + log + log log + log log dir. log -log buluur. CEVAP : C log. log 9. log. log 9 log 9 7 / 7 log. log. log. log 7 log 9 y log. log. log. log 7 log 9 7 olur. b < olur.... log7. log7. log. log log 9.log log 9 log log log.log log.log.log.log log.log log.log log 9. log e [log (log (I))] olur. log ( log (I)) e log (I) log (I) log log log log log log e 9 e 9 CEVAP : A CEVAP : E buluur. CEVAP : D. Grfi i deklemi y log b fleklidedir. Grfik do rusuu s trf d ( > ) çizildi ide b dir. Bu durumd y log ( )...(I) yzbiliriz. Grfik d, okts d geçti ide bu okt I eflitli ii s lr. y log ( ) log d - log olur. O hâlde grfi i verile logritm foksiyou, y log ] - g dir. CEVAP : D. f() log ( ) ve f () verildi ie göre f () f()... (I) dir. f() log (. ) log... (II) olur. I ve II de log buluur. CEVAP : C buluur. Çözümler. Bölüm 9

106 . ( ) i logritms ll m: log log ( log) (log log log dir.).. (,),9 O hâlde sy s, + bsmkl d r. log CEVAP : B + I olur. I t l rs, I + t + t t t - t+ t ] t - g t buluur. I t I e e dir. O hâlde çözüm kümesi Ç {e} olur. + I log I log e e. e CEVAP : C log e. e.. e e olur log - loge log log buluur. e CEVAP : B log. 9 eflitli ide, her iki trf tb d logritms ll m: log. log. log. log. log _ logi log dir. log log 9 log log log e+ I + I log _ log 9 b ` log - b dir. 9 CEVAP : A f ( ) log foksiyou, 7 e o > içi t ml d r. O hâlde ifdesideki - çrplr köklerii bulup iflretii iceleyelim: +,, olur. e Tblo Tblo.8 de görüldü ü gibi - pozitif de erler ld rl klr, (, ) (, ) dir. ifdesii CEVAP : E 7. log e + ifdesii t ml olbilmesi içi o + > ÇÖZÜM olml d r. Bu eflitsizlikte + dim s f rd büyük oldu ud eflitsizlik > >... ( I) oldu ud s l r. < < ve log > oldu ud e + o + + < d < < < d r. Eflitsizli i py ve pyds dki çrplr köklerii bulup iflretii iceleyelim: + ( )( ) ve, buluur. Tblo ÇÖZÜM ÇÖZÜM ÇÖZÜM Tblo.9 d görüldü ü gibi - + ifdesi < vey < <...( II ) oldu ud egtif de erler l r. O hâlde I ve II i kesiflimide çözüm kümesi, Ç {:, < < } buluur. CEVAP : A 96. Bölüm Çözümler

107 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr - z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.., y, + ve olmk üzere, log ( + y) log + log y dir. b. f() log foksiyouu grfi i dim rtd r. c. f() log ( + ) foksiyou t ml olbilmesi içi +, ve > olml d r.. Afl d sol sütud verile foksiyolr t ml olduklr rl klrd terslerii bulrk oklrl efllefltiriiz. f() e f () e f() e f I + () f() I( ) f () I f() I( + ) + f () e +. Afl d yp l ifllemleri iceleyiiz. lk kez kç umrl bsmkt ht yp ld ç kly z. Hty düzelterek ifllemleri do rusuu yz z. I. > II.. log >. log III. logd > logd IV. d > d V. > VI. > 6 8. D fl yüzeyideki s ckl k C ol bir cisim so umy b rk l yor. t dkik sor cismi d fl yüzeyideki s ckl ( θ) derece selsiyus ciside, θ.e,.t formülü ile bulubilece i tespit edilmifltir. Bu göre fl d isteeleri yprk sorulr cevply z.. lk bir st içide cismi s ckl dki de iflimi göstere bir grfik çiziiz. b. dkik sor cismi s ckl yklfl k kç derece selsiyus olur? c. Cismi s ckl kç st sor yklfl k 9 C olur?. log ise log i de eri kçt r? A) 6 B) C) D) E) log7 - log8 6. ifllemii soucu kçt r? log - log A) 6 B) C) D) 6 E) 9 7. log, b log 6, c log 7 ise, b, c rs dki s rlm fl dkilerde hgisidir? A) < b < c B) < c < b C) b < c < D) c < b < E) b < < c 8. I y log y ise I ifdesii efliti fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) log + log + log c m ise fl dkilerde hgisie eflittir? A) 8 B) 7 C) 9 D) E). + f ( ) log d + ise f() + f() f(8) toplm kçt r? A) B) C) D) E). f() [log ( )] + ve f () ise kçt r? A) B) C) D) E). f ( ) log log - foksiyouu e geifl t m kümesi fl dkilerde hgisidir? A) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) log. log 8log ] + g B eflitsizli ii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) B) (, ) C) (, ] D) (, ] E) (, ) 9 De erledirme. Bölüm 97

108 - b. log d log + logb oldu u göre b i. log ise log 7 ifdesii efliti fl - dkilerde hgisidir? türüde efliti fl dkilerde hgisidir? A) B) C) A) B) C) D) E) + + D) E) + +. log + log + log ise kçt r?. log k ise log6 fl dkilerde hgisidir? A) k B) k C) k D) k E) + k. log toplm efliti + log + log, 8 7 fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). log 9 ise log ^, h fl dkilerde hgisie eflittir? A) + B) C) D) + E) + log. ifdesii efliti kçt r? A) 6 B) 9 C) D) 6 E) 8 6. log b ise log b fl dkilerde hgisie eflittir? A) B) C) D) E) 7. log, b log 6 7, c log ise, b, c rs dki s rlm fl dkilerde hgisidir? A) c < b < B) c < < b C) < b < c D) < c < b E) b < c < 8. log [log (log ( + ))] ise kçt r? A) B) C) D) E) 9. - ise fl dkilerde log e log e ] - g hgisie eflittir? A) B) C) D) E) 6 A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. log ( y) ve + y ise log ( 9y ) kçt r? A) B) C) D) E). log ve log b ise log fl dkilerde hgisie eflittir? A) B) C) + b + b b b D) E). log( + 9) log deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) { } B) {} C) {} D) {, } E) {, }. log log 8 ise fl dkilerde hgisidir? A) 9 B) 8 C) 9 D) E) 6. log,, logb, ve b + ise kçt r? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 log+ logy 7. ise + y fl dkilerde log - log y 9 + b hgisidir? A) B) C) 8 D) E) 7 8. f() log( + ) + ise f () kçt r? A) B) C) D) E) 9. e (e + ) e deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) {} B) {} C) {, } D) (- E) (-, 98. Bölüm De erledirme

109 Tb Göre Logritm Cetveli N ,,86,8,7,,,9,,7,,,,9,,69,67,6,68,79,7,,79,88,86,899,9,969,,8,7,6,,9,7,6,9,7,,,67,99,,,6,9,,,8,6,6,67,7,7,,76,79,88,87,87,9,9,99,987,,6,,68,9,,8,7,,7,,79,7,,,,8,,,,8,,9,8,,77,6,6,68,67,69,78,7,76,9,788,8,8,86,878,9,9,9,967,989,,,,7,96,8,9,6,8,,,,,6,8,,,,6,8,,,,,6,8,,,,6,79,98,,67,66,6,67,69,7,79,77,766,78,,8,8,88,86,87,89,99,97,9,96,,979,997,,,8,6,8,99,6,,6,,66,8,,6,,9,6,8,98,7,,,6,6,78,9,9,,,6,8,7,87,,8,,8,6,79,9,69,9,6,69,6,669,68,698,7,78,7,77,77,786,8,8,89,8,87,87,886,9,,9,98,9,9,969,98,997,,,8,,,6,79,9,,9,,,9,7,,8,98,,,7,,6,76,89,,,,8,,,66,78,9,,6,8,,,,6,78,9,,,7,9,,6,6,7,87,99,6,6,6,67,68,67,7,68,69,7,77,79,7,7,76,77,786,8,798,89,8,8,8,8,866,877,888,899,9,9,9,9,9,9,966,977,988,999,6,6,6,6,6,66,67,68,696,67,67,,68,68,69,66,67,68,69,6,6,6,,6,6,6,66,67,68,69,6,6,6,,6,6,6,66,67,68,69,6,6,6,,6,6,6,66,67,68,69,6,6,6,,6,6,6,66,67,68,69,699,669,668,6,668,667,666,666,666,667,668,669,67,67,7,67,67,679,679,678,6767,6776,678,679,68,8,68,68,68,689,688,687,6866,687,688,689,9,69,69,69,698,697,696,69,696,697,698,699,6998,77,76,7,7,7,7,79,767,,776,78,79,7,7,78,76,7,7,7,,76,768,777,78,79,7,7,78,76,7,,7,7,79,767,77,78,79,7,78,76,,7,7,7,78,76,76,77,78,788,796,,7,7,79,77,7,7,7,79,766,77,6,78,79,797,7,7,7,78,76,7,7,7,79,766,77,78,789,797,76,76,769,767,8,76,76,769,767,766,767,7679,7686,769,77,9,779,776,77,77,778,77,77,776,7767,777 6,778,7789,7796,78,78,788,78,78,789,786 6,,78,786,7868,787,788,7889,7896,79,79,797 6,,79,79,798,79,79,799,7966,797,798,7987 6,,799,8,87,8,8,88,8,8,88,8 6,,86,869,87,88,889,896,8,89,86,8 6,,89,86,8,89,86,86,869,876,88,889 6,6,89,8,89,8,8,88,8,8,88,8 6,7,86,867,87,88,887,89,899,86,8,89 6,8,8,8,88,8,8,87,86,87,876,88 6,9,888,89,8,87,8,8,86,8,89,8 7,8,87,86,87,876,88,888,89,8,86 7,,8,89,8,8,87,8,89,8,86,867 7,,87,879,88,89,897,86,869,86,86,867 7,,86,869,86,86,867,866,8669,867,868,8686 7,,869,8698,87,87,876,87,877,87,879,87 7,,87,876,876,8768,877,8779,878,879,8797,88 7,6,888,88,88,88,88,887,88,888,88,889 7,7,886,887,8876,888,8887,889,8899,89,89,89 7,8,89,897,89,898,89,899,89,896,896,897 7,9,8976,898,8987,899,8998,9,99,9,9,9 8,9,96,9,97,9,98,96,969,97,979 8,,98,99,996,9,96,9,97,9,98,9 8,,98,9,99,9,99,96,97,97,98,986 8,,99,996,9,96,9,97,9,97,9,98 8,,9,98,9,98,96,969,97,979,98,989 8,,99,999,9,99,9,9,9,9,9,9 8,6,9,9,9,96,96,97,97,98,98,99 8,7,99,9,9,9,9,9,9,9,9,9 8,8,9,9,9,96,96,969,97,979,98,989 8,9,99,999,9,99,9,98,9,98,9,98 9,9,97,9,97,96,966,97,976,98,986 9,,99,99,96,96,969,96,969,96,968,96 9,,968,96,967,96,967,966,9666,967,967,968 9,,968,9689,969,9699,97,978,97,977,97,977 9,,97,976,97,97,97,97,979,976,9768,977 9,,9777,978,9786,979,979,98,98,989,98,988 9,6,98,987,98,986,98,98,98,98,989,986 9,7,9868,987,9877,988,9886,989,989,9899,99,998 9,8,99,997,99,996,99,99,999,99,998,99 9,9,996,996,996,9969,997,9978,998,9987,999,9996 Tb Göre Logritm Cetveli. Bölüm 99

110 Yei ld z frkl kitb kütüpheizi rf kç frkl flekilde yerlefltirebilirsiiz? izce ols bütü s rl fllr yp lms e kdr zm z lbilir? Bu sürei yklfl k, milyo y l olc söylesek bu size e kdr id r c gelir? Nede? y sl loto, kt l mc lr trf d {,,,..., 9} sy kümesi içide çekiliflle belirleecek 6 sy (tm ikrmiye içi) do ru thmi edilmesie dy bir fls oyuudur. Tm ikrmiyeyi kzmk isteye birii kç frkl flekilde kupo doldurbilece ii trt fl z. Ols l k, ihtiml sözcükleri size eyi ifde ediyor? Öre i, mdeî bir pry hvy tt zd pr üst yüzüü yz y d tur gelme ols l edir? Millî piygo bileti l bir kiflii kzm fls ( ols l ) e oldu uu hiç düflüdüüz mü? fis oyulr d kzm ols l mtemtikle s l bir ilgisi olbilir? DNA k tlr ve ols l kullrk bir suçluyu yklmk mümkü müdür? Ns l? Ols l k, bir ilei bireyleride görülebile ve kl tsl yollrl geçe hstl klr esillerde görülme durumuu belirlemede s l kull lbilir? Ols l gülük hyt m zd ve pozitif bilimlerde s l kull ld rflt r z. vlrd ld m z souçlr yorumlrke dh yüksek ld m z s vd dh bflr l oldu- umuzu söyleyebilir miyiz? Öre i ortlms, stdrt spms ol birici mtemtik yz l s d 6; ortlms, stdrt spms ol ikici yz l d d 7 ls z, hgiside dh bflr l oldu uuzu düflüürsüüz, ede? sttistik sözcü ü sizi içi e ifde ediyor? sttisti i gülük hyt m zd ve pozitif bilimlerde s l kull ld rflt r z. Türkiye sttistik Kurumu (TÜ K) u web sitesii ( ziyret ederek e gibi isttistikleri topld rflt r z.. Bölüm

111 Projei Adı: Geetik ve Ols l k Projei Amcı: Ols l geetik bilimideki yerii ve öemii belirlemek Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci Ayfle H m ve Mehmet Bey çifti, çocuk shibi olmk istedikleri içi ile doktorlr bflvururlr. Ayfle H m, Mehmet Bey ise yfl dd r. Mehmet Bey i bbs Hutigto ( Htigt ) hstl d veft etmesi edeiyle Mehmet Bey ve Ayfle H m, çocuk shibi olm kousud edifle duymkt ve doktorlr d bilgi lmk istemektedirler ( Hutigto hstl, tfl y c s hstl kesi olrk ykld ve hstl k geii çocuklr geçirme ols l % oldu u domit geetik bir hstl kt r.).. Hutigto hstl ve geetik yoll bireyde bireye s l geçti ii rflt r z.. Geetik yollrl bulfl hstl klr ve bulr esiller rs d iletimiyle ilgili biyologlr ve geetik bilimcileri mtemti i s l kulld klr rflt r z. Projei İçeriği. Ailei ilk çocu uu Hutigto hstl yklm ols l kçt r?. Ayfle H m ve Mehmet Bey i üç çocuklr olsyd e z birii Hutigto hstl yklm ols l e olurdu?. Hutigto hstl tfl ylr %9, yfl gelee kdr hstl k belirtilerii göstermektedirler. Mehmet Bey yfl kdr hstl k belirtileri göstermezse Mehmet Bey i hstl tfl m yor olm ols l kçt r?. Ayfle H m ve Mehmet Bey see sor bir çocuk shibi olur ve o zm kdr Mehmet Bey Hutigto hstl belirtilerii göstermifl olurs do çocu u hstl k tfl m ols l kçt r?. Ayfle H m ve Mehmet Bey çiftie verilmek üzere rflt rmlr z soucud hz rlyc z rpor fl dki bilgileri içermelidir.. Hutigto hstl hkk d k s bilgi b. Ebevey gelerii çprzlms göstere flemlr c. Geetik bilimide ols l s l kull ld göstere somut örekler Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr, ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z. Permütsyo. Bölüm

112 ym Yötemleri Eflleme yoluyl sym Toplm yoluyl sym Çrpm yoluyl sym Yd görüldü ü gibi K frkl rekte ( k rm z, gri, yeflil) kz ve frkl rekte ( sr, mvi, khveregi) ptolou vrd r. K, kzk ve ptolou kç frkl biçimde giyebilir? Aç kly z. Ydki kriktürde uykuy dlmk içi Meltem'i koyu syms gösterilmektedir. Meltem'i e so kulld sy ile sy l toplm koyu sy s rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. ym sy lr ile efllefltirerek elem sy s bulbilece imiz (sybilece imiz) kümelere örekler veriiz. Ydki resimde, Meltem'i ship oldu u kurflu klem ve tükemez klem görülmektedir. Meltem'i toplm kç klemi vrd r? oucu s l buldu uuzu ç kly z. Yukr dki durumd Meltem i toplm klem sy s bulmk içi eflleme yötemi kullmy ede gerek yoktur? Aç kly z. Ö le yeme ide okul ktiide sdviç yemek isteye Meltem'i mlzeme olrk et döer, tvuk vey ci er, ekmek olrk d bu dy vey kepekli ekmek seçee i vrd r. Bir mlzeme ve ekmek çeflidide oluflmk kyd yl Meltem'i kç frkl sdviç yeme fls oldu uu s l bulbiliriz? Aç kly z. Ydki ç flems tmmlyrk Meltem'i toplm kç frkl sdviç yeme seçee i oldu uu buluuz. Bu soucu hgi ifllem(ler)i yprk buldu uuzu ç kly z. Örek. A ve B ülkeleri rs d frkl kr yolu, frkl demir yolu, frkl hv yolu vrd r. A ülkeside B ülkesie kç frkl yoll gidilebilece ii uygu sym yötemi ile bull m: A B A Mlzeme Ekmek çeflidi Ols seçeek... Et A ülkeside B ye frkl kr yolu, frkl demir yolu, frkl hv yolu vr ise toplm seçeek sy s ; dur. oucu toplm yötemiyle bulmk e uygu ol d r.... B... K EB Tblo. de bir m zd yer l ykkb çeflitleri verilmifltir. Bu m zd l flverifl ypck ol birisi içi kç frkl seçeek oldu uu bull m: M zd frkl rek, frkl ykkb çeflidi vrd r. Toplm seçeek sy s. 6 d r. oucu çrpm yötemiyle bulmk e uygu ol d r. Tblo. ek Çeflit por Klsik Bot iyh K B Khveregi K KK BK. Bölüm Permütsyo

113 y l eseleri, sym sy lr kümesii elemlr ile eflleme yoluyl sym ifllemie eflleme yoluyl sym diyece iz. A ve B solu ve yr k ifllemler olsu. A ifllemi, B ifllemi frkl flekilde gerçeklefliyors A vey B ifllemleri + frkl flekilde gerçekleflir. Toplm frkl ifllem sy - s bu flekilde bulm ifllemie toplm yoluyl sym deir. Birbiride yr k r te ifli gerçekleflmeside;. ifl içi frkl yol olsu. Bu ve birbirie b l olrk,. ifl içi frkl yol,. ifl içi frkl yol,..., r. ifl içi r frkl yol vrs r te ifli s rl bir biçimde gerçekleflmesi içi, r te yol vrd r. Bu flekilde yp l sym ifllemie çrpm yoluyl sym deir. Bu yötemle yp l sym sym temel ilkesi olrk d biliir. kiflilik bir s ft bir bflkl bir bflk yrd mc s kç frkl flekilde seçilebilece ii bull m: kiflide, bir bflk frkl flekilde seçilebilir. Kl 9 kiflide bflk yrd mc s ise 9 frkl flekilde seçilebilir. O hâlde bu seçim, 9 8 frkl flekilde yp lbilir.. Cebiizde birer te TL, TL ve TL lik bkotlr ve Kr luk bir mdeî pr olsu. Cebiizdeki toplm pr miktr edir? Cevb z hgi sym yötemiyle buldu uuzu ç kly z.. Akr d Burs y, Burs d Çkkle ye de iflik yol vrd r. Akr d Çkkle ye gitmek isteye birii Burs y d u rmk kofluluyl, Çkkle ye kç de iflik yold gidebilece i fl dki ifllemlerde hgisi ile bulubilir? A) B) 6 C) D) + 9 E). tleti kt ld bir koflud, tletler kç frkl biçimde birici, ikici ve üçücü olbilir?. Bir dodurmc d çeflit dodurm, frkl külh çeflidi ve frkl sos bulumktd r. Külht bir kepçe dodurm ve dodurm üzerie bir çeflit sos isteye bir müflteri içi kç frkl seçeek vrd r? Permütsyo Fktöriyel kvrm Permütsyo kvrm -eleml bir kümei r li permütsyolr ve permütsyolr sy s Fktöriyel sc Asimov (Ayz k Asimov), ilgiç bz gerçekleri topld Gerçekleri Kitb isimli eseride her s rlm bir dkik lc vrsyrk frkl kitb bir rf ols bütü s rl fllr içi yklfl k y l gerekti ii söylemektedir. izce bu do ru olbilir mi? Aç kly z? P(, r) Pe o! Tblo. r Kitp eçeek y s rl fl y s y s. s r. s r. s r. s r... Yd Tblo. de frkl sy dki kitplr ols tüm frkl s rl fllr sy s gösterilmektedir. Tbloyu iceleyerek siz de,,..., frkl kitp içi bezer flekilde seçeek sy lr ve ols tüm frkl M M M M M... M s rl fllr sy lr buluuz. Herhgi bir sy d frkl kitb ols tüm frkl s rl fllr sy s s l bulbilece imizi ç kly - z. rl fl sy s buluurke hgi sym yötemii kull ld ç kly z. rl fl sy s buluurke.,.. vb. çrp mlr dh öceki y llrd ö redi imiz fktöriyel sembolüü kullrk ifde ediiz. Permütsyo. Bölüm

114 Örek Afl dki ifllemleri s l yp ld iceleyelim:.! b.! c. 6! ! 6. 7! ( ) ( ) ( N + ) ifdesi de ye kdr ol sy lr çrp m göstermektedir. Bu çrp m, fktöriyel (çrpsl) deir ve! ile gösterilir.! ( ) ( ) dir. Özel olrk,! ve! dir. Yukr d verile öreklere göre fl dki eflitlikleri yzbiliriz.! ( )! (+)! (+) (-)!! ( fktöriyel) fleklideki fktöriyel sembolüü trihte ilk kez 88 y l d Frs z mtemtikçi Christi Krmp (Kristiy Krm) (76-86) kullm flt r. * Cjori, Flori, A History of Mthemticl Nottios ( volumes), The Ope Court Publishig Co., Lslle, Illiois, Afl dki ifllemleri s l yp ld iceleyelim: 6! 6!. 6. b.!!! +!!. +!! ] + g 6! -!!. -!! ] - g c. ç. 7.!- 6.! 6.!. 7-6.! 6! ]. 7- g 6!. 6!. 8.!- 7! 7.!. 8-7! 7! ]. 8- g 7!. 6!. 7. ] + g! ] - g!.. ] + g ] + g ] - g! ] - g! d. ] + g! -] + g! ] + g!.] + g- ] + g! ] + g! ] + -g!.] + g] + g. ] + g ] + g! +!!.] + g+!! ] + + g!.] + g ] + g] + g! + ] + g!. 8 ise i lbilece i de erleri bull m:! -] -g!! + ] + g!! +!.] + g!.] + + g ] - g!.. ] + g ! -] -g! ] -g!. -] -g! ] -g!.] -g ] -g!.] -g ] + g vey buluur.. Afl dki ifllemleri yp z. 9!!. 7!.! +! b. c. ç. (!)! d.!!! 7! 9!! + 6! 9! + 7! ]!! g 8.! + 7.! e. f. g.. h.! 9! - 7!! 9! + 8! ] - g! +! ] + g! -] + g! ] - g! -] -g!. i. j. k. ] + g!-! ] + g!-! ] - g! +! ] - g! + ] -g! ] g! + ] + g! ] + g! ] + g!. Bölüm Permütsyo

115 . Afl dki eflitlikleri her biride, i lbilece i de erleri bulrk lt st rd verilelerle efllefltiriiz. ] + g!! ] + g! ] + g! - - ( + )!.! 6.( )! ] - g! ] - g! ] - g! ] - g! 6 8. Betül hft sou filmi rk rky izlemek istiyor. Tblo. ü uygu flekilde doldurrk Betül ü bu befl filmi kç frkl flekilde izleyebilece ii buluuz. Tblo. Film eçeek y s Permütsyo A {,,, } kümesii elemlr ile dört bsmkl, rkmlr tekrrs z, frkl sy lr oluflturl m. Biler bsm Yüzler bsm Olr bsm Birler bsm y birler bsm kç frkl rkm yz lbilir? Aç kly z. Birler bsm bir rkm yz ld kt sor olr bsm kç frkl rkm yz lbilir? Bezer flekilde devm edilirse sy yüzler ve biler bsm kç frkl rkm yz lbilir? Aç kly z. Bu flekilde A kümesii elemlr kull lrk dört bsmkl rkmlr tekrrs z kç sy yz lbilir? ym temel ilkesii kullrk buluuz. Ypt z ifllemi fktöriyel ile ifde ediiz. eleml bir kümei elemlr frkl dizilifllerii sy s s l bulubilir? Trt fl z. Örek A {, b, c} kümesii elemlr frkl dizilifllerii sy s bull m: Kümei elemlr bc, cb, bc, bc, cb, cb fleklide 6 frkl biçimde s rlbilir. Buu fl- dki flekilde de bulbiliriz. Kümei elem oldu ud kutu ile elemlr yerii belirleyelim. ym temel ilkesi kull ld d toplm frkl dizilifl sy s,.. 6 olrk buluur. Ay soucu!.. 6 ifllemii yprk d elde edebiliriz.. kutu frkl elem gelebilir.. kutu frkl elem gelebilir.. kutu frkl elem gelebilir. eleml, solu bir A kümesii elemlr birbiride frkl her s rl fl ( s ryl diziliflie), A kümesii bir permütsyou deir. eleml bir kümei permütsyolr sy s, P, ^ h vey P f p fleklide gösterece iz. P^, h Pe o! dir.. PAT sözcü üdeki hrfleri kullrk lml y d lms z hrfli kç sözcük türetilebilece ii bull m: PAT sözcü ü birbiride frkl hrfte olufltu u içi elde edilecek sözcük sy s, eleml bir kümei frkl permütsyolr sy s d r. hrfli sözcü ü her bir hrfii bir kutu ile gösterelim: kutuy,. kutuy,. kutuy,. kutuy de iflik hrf yz lbilir.. kutuy ise hrf kl r. Yz lbilecek sözcük sy - s, dir. Bezer flekilde P(, )! elde edilir. Permütsyo. Bölüm

116 . Birbiride frkl mtemtik, fizik ve kimy kitb bir rf s rlckt r. Afl dki sorulr cevplr bull m:. Kitplr kç frkl flekilde s rlbilir? b. Mtemtik kitplr bir rd olmk kofluluyl kç frkl flekilde s rlbilir? c. Ay türde kitplr bir rd olmk kofluluyl kç frkl flekilde s rlbilir?. Herhgi bir koflul bulumd d kitb, P(9, 9) 9! frkl flekilde s rlybiliriz. b. Mtemtik kitplr bir rd olc d mtemtik kitb kitp gibi düflüebiliriz. Bu durumd, kitp sy s, olrk düflüürsek M M M M F F F K K 6 kitb, P( 6, 6) 6! frkl flekilde s rlybiliriz. Ayr c, mtemtik kitb kedi rlr d, P(, )! biçimde s rl r. O hâlde bu kitplr, mtemtik kitplr bir rd olmk kofluluyl, sym temel ilkesie göre, 6!! 78 frkl flekilde s rl r. c. Ay türde kitplr bir rd olc d mtemtik kitplr, fizik kitplr ve kimy kitplr kitp gibi düflüülebilir. Bu durumd kitp sy s, + + olrk düflüürsek M M M M F F F K K kitb s rl fl sy s, P(, )! olur. Ayr c, mtemtik kitb P(, )! ; fizik kitb P(, )! ve kimy kitb P(, )! frkl flekilde kedi rlr d s rl r. O hâlde s rl fllr sy s,!!!! 78 olur. Eleml Bir Kümei r li Permütsyolr tleti kt ld bir koflud ilk üçe lt, gümüfl ve broz mdly verilecektir. Mdlylr kç frkl biçimde d t lbilece i s l bulubilir? Aç kly z.... Alt mdly içi frkl seçeek oldu u düflüülürse gümüfl ve broz mdlylr içi kç frkl seçeek olur? Aç kly z. Mdlylr frkl biçimde d t lm sy lr, sym temel ilkesii kullrk buluuz.! Bir öceki bsmkt buldu umuz soucu de eri ile krfl lflt r z. ] - g! Yukr dki problem durumu, eleml bir kümede seçilecek elem frkl s rl fllr bulmkl ilgiliydi. Geel olrk eleml bir kümede seçilecek r elem frkl s rl fllr s l hesplbilir? Aç kly z. 6. Bölüm Permütsyo Alt... Gümüfl... Örek Bir süpermrketler ziciri, kurulufluu. y l döümü edeiyle müflterilerie çekiliflle Tblo. te verile hediyeleri d tckt r. Bu hediyeleri, çekilifle kt lmy hk kz müflteriler rs d seçile filiste kç frkl flekilde verilebilece ii bull m: Tblo. Birici kifliye kici kifliye Üçücü kifliye Dördücü kifliye Bir rb Bir hft tm psiyo ttil Plzm TV TL hediye çeki Her kz frkl bir hediye lc içi s rlm öemlidir. Biriciyi seçmek içi, ikiciyi seçmek içi, üçücüyü seçmek içi, dördücüyü seçmek içi de seçeek vrd r. O hâlde hediyeleri, 6 frkl flekilde vermek mümküdür. sy s! i ilk çrp çrp m oldu u dikkt ediiz. Bu çrp m,! ciside fl dki gibi ifde edebiliriz !! ! ] - g! is vey esei, birbiride frkl herhgi tesii s rlms, P(, ) frkl flekilde yp - lbilir. Di er bir deyiflle, filist rs d hediye P(, ) frkl flekilde d t lbilir. Broz

117 eleml bir A kümesii, birbiride frkl r te (r ) elem s rlms yl elde edile permütsyo, i r li bir permütsyou deir. eleml, solu bir kümei r li permütsyolr sy s, P(, r) vey Pe r o fleklide gösterilir. P,r P! ^ h e o r ] - r g! fleklide hespl r. elem r li permütsyou demek, r te yere, elem içide r tesii yerleflmesi demektir. Buu içi y y r te kutu çizelim:.... r.... (r ). kutuy te elemd herhgi biri gelebilir. O hâlde;. kutuy yz lbilecek elem türlü,. kutuy yz lbilecek elem türlü,. kutuy yz lbilecek elem türlü,... r. kutuy yz lbilecek elem (r ) türlü seçilebilir. Yerlefltirme ifllemlerii tümü y d yp ld d, sym çrpm kurl göre elem birbiride frkl r li s rl fllr sy s, P(, r).( ). ( )..... ( r + )! ] - r g! olur.. Bir tletizm turuvs d ö elemeleri geçe 9 kifli filde yr flmy hk kzm flt r. Alt, gümüfl ve broz mdlylr shiplerie kç frkl flekilde d t lbilece ii bull m: Dereceye gire her tlet, frkl bir mdly lc içi s rlm öemlidir. 9 kifli rs d her defs d frkl kiflii s rlm sy s, 9 u lü permütsyou ile bulubilir. 9! 9! ! tür. O hâlde filde yr flck 9 tlete lt, gümüfl ve broz ] 9- g! 6! 6! mdlylr frkl flekilde d t lbilir.. P( +, ) P(, ) ise N+ de erii bull m: P( +, ) P(, ) ] + g!! ] + g.!! ] + -g! ] - g! ] - g! ] -g. ] -g! N + olc d olur. ] + g. ] - g buluur.. A {,,,,, 6] kümesii elemlr kull lrk;. bsmkl kç sy yz lbilir? b. bsmkl, rkmlr frkl kç sy yz lbilir?. kmlr frkl olm koflulu bulumd d her bsmkt lt rkm d kullbiliriz. Çrpm temel ilkesie Biler 6 Yüzler 6 Olr 6 göre oluflturulck bsmkl sy lr, tedir. Birler b.. Yol: Oluflturulbilecek bsmkl ve rkmlr frkl sy lr, 6 eleml A kümesii elemlr d l dört rkm frkl s rl fllr yl elde edilebilir. O hâlde, P(6, ) 6 6 frkl sy yz l r. 6 Permütsyou syi, ulflt rm, özel dedektiflik gibi meslek llr d kull ld biliyor muyduuz? Permütsyou bu mesleklerde s l kull ld rflt r z. Permütsyo. Bölüm 7

118 . Yol: Ydki kutulr içie yz lm fl sy lr, o bsmkt kull lbilecek rkm sy s d r. Biler bsm d kull lbilecek rkm sy s, A kümesii elemlr hepsidir. Yi, 6 d r. Biler 6 Yüzler Olr Birler Biler bsm bir rkm seçtikte sor, yüzler bsm d geriye kl rkm, olr bsm d geriye kl rkm, birler bsm d ise kl rkm kull lbilir. Çrpm temel ilkesie göre yz lbilecek bsmkl sy lr, 6 6 te olur.. fil, bir otomobile s l bier? kisi öe, üçü rky! hepimizi bildi i bir espridir. Biz espriyi birz de- ifltirelim ve " kisi ö koltukt, kl üçü de rk koltukt oturmk kofluluyl fil bir otomobile kç de iflik flekilde biebilir?" bull m: fil rs d fili otomobili rks dki koltu, P(, ) kdr frkl flekilde s rlybiliriz. Di er fili otomobili öüdeki koltu, P(, ) kdr frkl flekilde s rlybilece imizde, çrpm temel ilkesie göre bu yerlefltirme, P(, ) P(, ) ( ) ( ) 6 frkl flekilde olur.. {,,,, } kümesii elemlr kull lrk bsmkl, rkmlr frkl kç çift sy yz - lbilece ii bull m: y çift olms içi birler bsm ;, vey olml d r. f r rkm, yüzler bsm d kull - lmyc d birler bsm (s f r) ollr yr, birler bsm vey ollr yr hesplyl m: Birler bsm (s f r) seçersek bu bsmkt kull l rkm sy - s olur. Kl rkm ü olr bsm d, geriye kl rkm d yüzler bsm d kull lckt r. Bu durumd, yz lck sy lr, te olur. Birler bsm vey yzrsk bu bsmkt kull lbilecek rkm sy s olur. Yüzler bsm yz lmyc d yüzler bsm rkm yz lbilir. eleml kümei elem birler ve yüzler Yüzler Yüzler Olr Olr Birler Birler bsm d kullm fl olduk. Bu durumd, olr bsm d kull lbilecek elem sy s olur. O hâlde, sou vey ile bite üç bsmkl sy lr, 8 te olur. {,,,, } kümesii elemlr kull lrk oluflturulbilecek bsmkl, rkmlr frkl, çift sy lr sy s, + 8 dur.. Bsmklr d s f r kull lmd, rkmlr frkl ve bsmkl kç do l sy vrd r?. P(, ) P( +, ) ise N + kçt r?. by ve by y y s rlckt r. Bu göre bu 9 kifli;. Kç frkl flekilde s rlbilir? b. Bylr y y gelmesi kofluluyl kç frkl flekilde s rlbilir? c. Bylr y y gelmemesi kofluluyl kç frkl flekilde s rlbilir? ç. Bu 9 kiflide belli iki kiflii y y gelmemesi kofluluyl kç de iflik biçimde s rlbilir? Döel (Diresel) Permütsyo Döel permütsyo kvrm ve uygulmlr Ae ve iki çocu u yuvrlk bir ms etrf kç de iflik flekilde oturbilir? Aç kly z. 8. Bölüm Permütsyo

119 , y ve z elemlr düzlemde bir çemberi etrf yerlefltirelim. Bu elemlr st yöüde, her bir elem bir y z sorkii yerie geçecek flekilde yer de ifltirdi imizde yei bir s rlm elde edilir mi? Aç kly z. z y Bu üç elemd i sbitleyerek di erlerii yerlerii de ifltiriiz. Frkl bir s rlm elde edilir mi? Aç kly z. elem bir çember üzeride kç frkl s rl fl vrd r? Aç kly z. Bezer ifllemleri elem içi yp z. elem bir çember üzeride kç frkl s rl fl vrd r? Buldu uuz sy lr fktöriyel ifllemi ile ifde ediiz. eleml bir kümei elemlr bir çember üzerideki frkl s rl fllr sy s s l bulubilir? Trt fl z. Örek frkl kiflii yuvrlk bir ms etrf d kç frkl flekilde s rlbilece ii bull m: Kifliler,,, olsu. 6 frkl s rlm vrd r. Bu soucu ( )!!.. 6 ifllemii yprk d bulbiliriz. eleml bir kümei elemlr, düzlemde bir çember üzerideki frkl s rl fllr her birie, bu kümei döel (diresel) permütsyou vey döel s rlms deir. eleml bir kümei döel (diresel) permütsyolr sy s, P(, ) ( )! dir. eleml bir kümei elemlr uzyd bir çember (öre i mskotsuz htrl k) üzeride frkl flekilde s rl r. eleml bir kümei elemlr uzyd üzeride sbit bir P okts ol bir çember (öre i mskotlu htrl k) üzeride frkl flekilde s rl r.! z y ] - g!. k z, erkek ö reci, yuvrlk bir ms etrf d;. Kç frkl flekilde oturbilir? b. Erkekleri bir rd olms kofluluyl kç frkl flekilde oturbilir?. k z ve erkek, yi 7 kiflii yuvrlk ms etrf dki frkl s rl fllr sy s, 7 eleml bir kümei döel permütsyolr sy s d r. O hâlde, k z ve erkek ö reci, yuvrlk bir ms etrf d (7 )! 6! 7 frkl flekilde oturbilir. b. Erkekler bir rd olc d erkek bir elem gibi düflüülebilir. Bu durumd, (7) () E () k zl berber elem oluflur. Bulr döel permütsyolr sy s, E E ( )!! olur. Ayr c, erkek kedi rlr d! kdr frkl flekilde s rlbilece ide çrpm kurl göre k z, erkek ö reci, yuvrlk bir ms etrf d (6) K K () erkekler bir rd olmk kofluluyl!! K K 6 frkl flekilde oturbilir.. k z ve erkek ö recii yuvrlk bir ms etrf, iki k z ö reci rs d bir erkek ö reci K olmk üzere kç frkl flekilde oturbileceklerii bull m: k z ö reci, yuvrlk ms etrf ( )!! frkl flekilde yerlefltirilebilir. Bu durumd iki k z ö reci rs d yer (flekilde iflretli ol E, E, E ve E ) oluflur. Bu yere, erkek ö reci! kdr frkl flekilde oturbilir. O hâlde bu 8 ö reci, iki k z ö reci rs d bir erkek ö reci olmk üzere!.! frkl flekilde oturbilir. K () E E E E K () K Permütsyo. Bölüm 9

120 . Dire fleklide bir ms etrf d, birer çocuklu evli çift oturckt r. Aile bireyleri yy bulumk kofluluyl bu kifliler kç de iflik biçimde oturbilirler?. Mtemtik kulübüü 7 kiflilik yöetim kurulu üyeleri dire fleklideki bir ms etrf d hftl k toplt lr ypcklrd r. Kulüp bflk Lâle i, bflk yrd mc s Murt ve kulübü muhsebecisi ol Neslih rs d oturms kofluluyl 7 üye kç frkl flekilde oturur?. evli çift yuvrlk ms etrf d, evli çiftler y y olmk kofluluyl kç frkl flekilde oturbilir? Tekrrl Permütsyo Tekrrl permütsyo kvrm ve uygulmlr GEOMET sözcü- üdeki hrfleri kullrk lml y d lms z 8 hrfli kç sözcük yz lbilir? Aç kly z. KALEM kelimesideki hrfleri kullrk yz lbilecek hrfli lml vey lms z kelimeleri sy s s l bulubilir? Aç kly z. INIF kelimesideki hrfleri kullrk yz lbilecek hrfli, lml vey lms z kelimeleri sy - s buluuz. I hrfii kedi rs d yer de ifltirmesi yei bir s rlm oluflturur mu? Bu göre üstte buldu uuz soucu tekrr de erlediriiz. sy s dki rkmlr kullrk bsmkl kç frkl sy yz lbilir? Verile sy d tekrr ede rkm olmsyd bsmkl kç sy yz lbilirdi? Aç kly z. eleml bir kümei elemlr d r tesi birbirii y ise bu kümei elemlr frkl s rl fllr sy s s l bulubilir? Aç kly z. Örek KELEBEK kelimesideki hrfler ile oluflturulbilecek, lml vey lms z 7 hrfli kelimeleri sy s bull m: KELEBEK kelimesideki 7 hrfi her biri birbiride frkl olsyd bu hrfleri kullrk P(7, 7) 7! frkl sözcük olbilirdi. KELEBEK kelimesideki E ve K hrflerii kedi rlr d yer de ifltirmesi yei bir s rlm olmyckt r. E ve K hrfleri frkl olsyd P(, ). P(, )!.! frkl flekilde s rlbilecekti. P^77, h 7! O hâlde KELEBEK kelimesideki 7 hrf ile frkl kelime yz lbilir. P^, h. P^, h!.! r, N + ve r < olmk üzere r tesi birbirii y, r tesi de birbiride frkl ol te elem birbiride frkl s rl fllr sy s buluurke birbirii y iki elem yer de ifltirmesi, yei bir s rlm olmyckt r. Birbirii y r te elem bir içi frkl kbul ederek,,,, r ile gösterelim. Birbiride frkl r te elem d b r +, b r +,, b ile gösterelim. y elemlr frkl elemlr Ydki elemlr tüm s rl fllr sy s!,,,, r EBBBBBBBBBB F EBBBBBBBBBBF,,,...,, b, b,..., b elemlr kedi rlr dki s rl fllr sy s r! dir. r r+ r+ te Ack bulr y elem oldu ud r! s rlm sl d tek bir s rlmd r. te elem birbiride! frkl s rl fl k dersek k olur. r! Bezer flekilde, te elem p tesi birbirii y, bulrd bflk q tesi de birbirii y ve r! tesi de birbirii y ise bu te elem s rl fl sy s, olur. p!. q!. r!. Bölüm Permütsyo

121 . MATEMAT K sözcü üdeki hrfleri kullrk lml y d lms z 9 hrfli kç frkl sözcük yz lbilece ii bull m: MATEMAT K sözcü üde 9 hrf oldu ud, 9 dur. Bu sözcükte te M oldu ud, p ; te A oldu ud, q ; te T oldu ud, r dir.! 9! O hâlde oluflck frkl sözcükleri sy s, 6 olur. p!. q!. r!!.!.!. EÇENEK sözcü üdeki hrfleri kullrk lml y d lms z, E ile bflly p Ç ile bite 7 hrfli kç frkl sözcük yz lbilece ii bull m: Yz lck sözcükler, E ile bflly p Ç ile bitece ide bu iki hrf s rlmy kt lmz. E E N E K Ç Geriye kl, E, N, E, K hrfleri ile lml y d lms z kç frkl sözcük yzbilece imizi bull m: {, E, N, E, K} kümesi eleml oldu ud tir. Bu sözcükte te E oldu ud, r dir.!!...! O hâlde {, E, N, E, K} hrfleri ile oluflck sözcük sy s, 6 olur. r!!! Doly s yl E Ç E N E K sözcü üdeki hrflerle E ile bflly p Ç ile bite 6 frkl sözcük yz lbilir.. fiekildeki çizgiler, bir keti dik kesifle sokklr göstermektedir. Bir tksi floförü A okts d ld bir müflteriyi B okts u ryrk C okts götürecektir. Bu tksi floförüü müflterisii A okts d C okts e k s yolu izleyerek kç frkl flekilde götürebilece ii bull m: A B Öce, A d B ye kç frkl flekilde gidilece ii bull m: C A d B ye gide k s yollr her birii, içide te ve te y ol li hrf dizisi ile gösterebiliriz. Bulrd biri flekilde görüldü ü gibi yyy dizisidir. O hâlde A d B ye, e k s yolu izleyerek frkl flekilde gidilebilir.!!.! ] + g! Bezer flekilde, B de C ye, e k s yolu izleyerek 6 frkl flekilde gidilebilir.!.! A d B ye, ; B de C ye, 6 frkl flekilde gidiliyors A d C ye, 6 6 frkl flekilde e k s yold gidilir. A y y B y y B y C. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. ANKAA sözcü üdeki hrfler kull lrk lml y d lms z 6 hrfli sözcük yz lbilir. b. sy s dki rkmlr kullrk birbiride frkl, 8 bsmkl sy yz lbilir. c. TEKETEK sözcü üdeki hrfleri kullrk T ile bflly ve K ile bitmeye, lml y d lms z, birbiride frkl sözcük yz lbilir.. PAAPOT sözcü üdeki hrfleri yerleri de ifltirilerek lml y d lms z;. 8 hrfli kç frkl sözcük yz lbilir? b. A ile bflly ve A ile bite 8 hrfli kç frkl sözcük yz lbilir? c. A ile bflly ve P ile bitmeye 8 hrfli kç frkl sözcük yz lbilir? Permütsyo. Bölüm

122 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutlr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. b. 7! 7 6! 6 6!!! c. 6 kifli, bir bk üzerie, y y 6! frkl flekilde oturbilir. ç. MAK NE sözcü üdeki hrflerle lml y d lms z, 6 hrfli, A hrfi ile bite! sözcük yz lbilir.. Afl d sol sütud verile sorulr cevplr s sütud bulrk bulr efllefltiriiz. P(, ) + P(6, ) ifllemii soucu kçt r? kifli, 6 koltu kç frkl flekilde oturbilir? P(, ) P(6, ) ise? P(, ) P( +, ) ise? 6 kmlr frkl, bsmklr d s f r kull lmd bsmkl kç do l sy yz lbilir?. Birbiride frkl, 6 mtemtik ve Türkçe kitb, Türkçe kitplr y y olmk koflulu ile bir rf kç frkl flekilde dizebiliriz? A)! B) 7! 6! C) 7!! D) 6!! E) 6! +!. {,,,,, } kümesii elemlr kull lrk bsmkl ;. Kç sy yz lbilir? b. kmlr frkl kç sy yz lbilir? c. kmlr frkl kç çift sy yz lbilir? ç. kmlr frkl ile bölüebile kç sy yz lbilir?. k z ve erkek ö reci bir s rd y y oturckt r. Bu göre;. Y y kç türlü oturbilirler? b. K z ö reciler hep y y olmk koflulu ile kç türlü oturbilirler? c. K z ö reciler birbiride, erkek ö reciler de birbiride yr lmmk koflulu ile kç türlü oturbilirler? ç. K z ö reciler, hiç y y gelmemek koflulu ile kç türlü oturbilirler? 6. sy s rkmlr yer de ifltirilerek 8 bsmkl, kç frkl sy yz lbilir? 7. Ae, bb ve çocukt olufl bir ile, bir yuvrlk ms etrf ;. Kç türlü oturbilir? b. Çocuklr bir rd olmk üzere kç türlü oturbilir? c. Ae ile bb, hep y y olmk üzere kç türlü oturbilir? 8. Çokt seçmeli sorud olufl bir s vd, her soru içi ö reciler A, B, C, D, E seçeekleride birii iflretleyebilirler. Bu göre bir ö reci tüm sorulr kç frkl flekilde cevplybilir? 9. Bir filmde rol l ktörü isimleri, film bfllrke t t lmktd r. Bflrol oyucusuu ismii ilk vey so s rd yz lms kofluluyl kç frkl flekilde t t m mümküdür?. Türk plk stdrtlr göre sivil plklr krkter sy s toplm 7 vey 8 olml d r. Hrf y Plklr. k sm plk ky tl oldu u ili koduu göstermektedir. Plkdki toplm krkter sy s, plk. k sm olufltur hrf sy s yl do rud iliflkilidir. kici k s m, vey hrfte 6 ABC oluflml d r.. k s md hrf vrs. k s md rkm, hrf vrs vey rkm, hrf vrs rkm olur. Öre i, Akr ilimiz içi düzelemifl bir sivil rç plks ydki gibidir. Bu göre, Akr içi kç de iflik sivil rç plks oluflturulbilir?. Bölüm Permütsyo

123 Eleml Bir Kümei r li Kombisyolr A {,,, } kümesii elemlr ile yz lbilecek rkmlr frkl iki bsmkl sy lr ve bu sy lr yzrke kull l rkmlr kümesii bull m: y lr (I) Kull l kmlr Kümesi (II) Kombisyo kvrm eleml bir kümei r li kombisyolr ve sy s Kombisyou özellikleri C(, r) e o r {, } {, } {, } {, } {, } {, } II. sütud, A kümesii iki eleml lt kümeleri bulumktd r. I. sütuu her st r d ise II. sütuu y st r d verile kümei elemlr frkl diziliflleri yer lmktd r. I. sütud sy yz lm flke II. sütud 6 küme yer lmktd r. Buu sebebi edir? Aç kly z. A {, b, c} kümesii eleml lt kümelerii ydki bölüme yz z. A kümesii li permütsyolr ydki bölüme yz z. Yzd z ikilileri bezerlik ve frkl l klr trt fl z. Yz z elemlr sy lr rs dki iliflki edir? Trt fl z.. Grup Eleml Alt Kümeleri. Grup li Permütsyolr Örek Burcu, Gizem ve Ecem de olufl kiflilik bir grupt;. Biri bflk, di eri bflk yrd mc s olmk üzere kifli kç türlü seçilebilir? b. Bir yr flmy göderilmek üzere kifli kç türlü seçilebilir?. A {Burcu, Gizem, Ecem} kümeside, biricisi bflk, ikicisi bflk yrd mc s olmk üzere s rl ikililer seçelim. Bu ikililer, A kümesii ikili permütsyolr d r. Bu s rl ikilileri sy s 6 d r. Buu, P(, ) 6 biçimide yzbiliriz. ( Burcu, Gizem) ve ( Gizem, Burcu) ikilileri frkl permütsyolrd r. b. A { Burcu, Gizem, Ecem} kümeside, bir yr flmy göderilmek üzere seçilecek kiflilik kümeler oluflturl m. Bu kümeler, A kümesii eleml lt kümeleridir. A kümesii eleml lt kümelerii sy s tür. Ayr c permütsyod ele l ikililerde { Burcu, Gizem} ve { Gizem, Burcu} ikilileri kombisyod y kümeyi belirtir. A Kümesii li Permütsyolr ( rl kililer) (Burcu, Gizem) (Gizem, Ecem) (Burcu, Ecem) (Ecem, Burcu) (Gizem, Burcu) (Ecem, Gizem) A Kümesii li Alt Kümeleri ( Kombisyolr ) {Burcu, Gizem} {Burcu, Ecem} {Gizem, Burcu} Kombisyo. Bölüm

124 A, eleml solu bir küme ve r olmk üzere A kümesii r eleml her lt kümesie, bu kümei r li kombisyou deir. C(, r) vey e o sembolleride biri ile gösterilir. r Permütsyod s r öemliyke kombisyod s r öemli de ildir.. A {, b, c} kümesii eleml lt kümelerii ve li permütsyolr yzl m: Yd gördü üüz gibi, eleml bir kümei; eleml lt kümelerii sy s, C(, ), li permütsyolr sy s, P(, ) 6 d r. Buu,!. C^, h P^, h biçimide ifde edebiliriz. Eleml Alt Kümeleri li Permütsyolr (Kombisyolr ) ( rl kililer) {, b} (, b) (b, ) {, c} (, c) (c, ) {b, c} (b, c) (c, b). A {, b, c, d} kümesii eleml lt kümelerii ve lü permütsyolr yzl m: Yd gördü üüz gibi, eleml bir kümei; eleml lt kümelerii sy s, C(, ), lü permütsyolr sy s, P(, ) tür. Buu, ifde edebiliriz. biçimide Ypt m z öreklere bezer flekilde devm edilirse, görülür.!. C^, h P^, h r!. C^, rh P^, rh oldu u Eleml Alt Kümeleri lü Permütsyolr (Kombisyolr ) ( rl Üçlüler) (, b, c), (, c, b), (b,, c) {, b, c} (b, c, ), (c,, b), (c, b, ) {, b, d} {, c, d} {b, c, d} (, b, d), (, d, b), (b,, d) (b, d, ), (d,, b), (d, b, ) (, c, d), (, d, c), (d, c, ) (d,, c), (c,, d), (c, d, ) (b, c, d), (b, d, c), (c, d, b) (c, b, d), (d, b, c), (d, c, b) eleml bir kümei, r eleml lt kümelerii sy s, C(, r) dir. Bu lt kümeleri her birideki elemlr tüm s rl fllr (permütsyolr ) sy s d r! oldu ud, r!.c(, r) P(, r) yzbiliriz. Burd,! P^,rh ] - r g!! C^,rh buluur. r! r! ] - r g!. r!. Bir bsketbol tk m koçuu, kiflilik bir tk m, tk md oyy bsketbolcu rs d seçerek kç frkl biçimde oluflturbilece ii bull m: kiflilik grupt kifli seçerke s r öemli de ildir. Öre i, bu tk m { Ali, C, eçki, ut, Ok} vey { C, eçki, Ok, Ali, ut} olms frkl seçim olmz. Bu edele, seçimi kombisyol ypr z. O hâlde oluflturulck kiflilik gruplr sy s, olur. P^, h C^, h!..... Bölüm Kombisyo

125 . C(, ) C(, ) ise de erii bull m:! ] g! C(, ) C(, ) ] - g!.! ] -g!.! ( ) ( ) v buluur. olmyc d tür.. ] -g. ] -g! ] g. ] - g! ] - g!. ] - g!. Kombisyo; turizm, futbol, müzik ve telekomüiksyo gibi birçok meslek grubud kull lmktd r. Kombisyou kull ld frkl meslekleri rflt r z.. Herhgi üç tesi do rusl olmy 6 oktd kç do ru geçece ii bull m: Bu oktlrd herhgi ikisi A, B ise {A, B} ile {B, A} seçimleri y do ruyu gösterir. Bu edele, 6 oktd seçilecek ol herhgi iki okt s rs öemli de ildir. O hâlde oluflck do ru sy s, 6 P^6, h 6. kombisyol bulbiliriz. 6 oktd, e o!. do ru geçer.. Herhgi üçü do rusl olmy 8 oktyl;. Kç üçge çizilebilir? b. Belli bir okt, bütü üçgeleri ortk köflesi olmk üzere kç üçge çizilebilir? c. Belli iki okt oluflturdu u do ru prçs, bütü üçgeleri ortk ker olmk üzere kç üçge çizilebilir?. {A, B, C} ile {B, A, C} seçimleri y üçgei gösterece ide seçilecek üç okt içi s r öemli de ildir. O hâlde oluflck üçge sy s kombisyol buluruz. Bu durumd, 8 okt, 8 P^8, h e o 6!.. üçge oluflturur. b. Belli bir okt, bütü üçgeleri ortk köflesi olc göre bu okt seçime dâhil edilmez. Geriye kl 7 oktd ikiflerli seçim yp lrk e o te do ru prçs çizilir. Bu do ru prçlr uç oktlr, belirledi imiz ortk okt ile birlefltirilirse birer köfleleri ortk ol te üçge çizilmifl olur. E F K c. Belli iki okt oluflturdu u do ru prçs, bütü üçgelerde buluc D L göre bu iki okt seçime dâhil edilmez. eçim, di er 6 oktd C birer te seçilerek yp l r. Bu durumd üçge sy s, 6 e o 6 olur. A B ( Belli iki okt A ve B dir. ). kerl koveks bir çokgei köflege sy s. ] - g oldu uu gösterelim: kerl bir çokgede te köfle vrd r. ki oktd bir do ru geçti ide bir öceki sorud ypt - m z gibi köflege sy s bulmk içi i li kombisyolr sy s bulml y z; ck komflu ol iki köflede köflege geçmez. C(, ) de, ker sy s ol ç kr lml d r. O hâlde kerl çokgei. ] - g. ] -g-. ] -- g. ] - g köflege sy s, C ^, h - -! buluur. 6. Afl dki eflitlikleri do rulu uu gösterelim:. C(, ) C(, ) b. C(, r) C(, r) c. C(, ) C(, ) ç. C(, r ) + C(, r) C( +, r)!! _. C^,h b ] - g!.!!. b ` C^, h C^, h dir.!!! C^, h b ] - g!.!!.!.! b Kombisyo. Bölüm

126 !!! b. C^, - rh C^, rh dir. 6 - ] - rg@!.] - rg! r!. ] - rg! ] - rg!. r! c. ç.! ] - g _!. C ^,h b ] - g!.! ] - g!. b `!! ] - g!. C ^, - h b 6 - ] - g@!.] - g!!. ] - g!. ] - g! b!!!! C^, r- h+ C^, rh 6 - ] r - g@!.] r - g! + ] - rg!. r! ] - r + g!. ] r - g! + ] - rg!. r. ] r - g!!! + ] - r + g. ] - rg!. ] r - g! ] - rg!. r. ] r - g!!! - r!. r -! - r+ + r + d ] g ] g ] -rg!. ] r-g! ] - r+ g. r ] + g! 67 8!. ] + g ] + g! ] - rg!. ] - r + g. ] r - g!. r ] - r + g!. r! ] r+ g! r! C ^, h C ^, - h dir. C^+, rh dir. Düşüce Kutusu Ydki Hyym Üçgei'i iceleyerek fl dki eflitli i do rulu uu trt - fl z. C(, ) + C(, ) C(, ) e o+ e o+ e o + e o toplm bull m: ! e o+ e o+ e o + e o e o+ e o + e o e o + e o e o 7!.] 8- g! c m d c m buluur. 8. A {, b, c, d, e, f} kümesii;. E z eleml lt kümelerii sy s, b. E çok eleml lt kümelerii sy s bull m.. A kümesii e z eleml lt kümelerii sy s demek, bu kümei, ve 6 eleml lt kümelerii sy lr toplm demektir. Bu durumd, e o + e o+ e o + 6+ dir b. A kümesii e çok eleml lt kümelerii sy s demek, bu kümei, ve eleml lt kümelerii sy lr toplm demektir. Bu durumd, e o+ e o+ e o + 6+ dir.. Afl d, birici st rd verile ifllemleri souçlr ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz e o+ e o+ e o e o+ e o+ e o e o+ e o+ e o+ e o Bölüm Kombisyo

127 . A {, y, z} kümesii birli permütsyolr ile birli kombisyolr yz p sy lr krfl lflt r z.. A {, y, z} kümesii ikili permütsyolr ile ikili kombisyolr yz p sy lr krfl lflt r z.. Afl dki ifdelerde do ru ollr bfl dki kutuy D, yl fl ollr bfl dki kutuy Y yz z.. P(, r) C(, r) eflitli i bze do rudur? b. Kombisyod s r öemliyke permütsyod s r öemli de ildir. c. Herhgi üçü do rusl olmy 8 oktd, P(8, ) 6 do ru geçer. ç. Herhgi üçü do rusl olmy okt ile P(, ) 7 üçge çizilebilir. d. te köflegei ol koveks çokgei 8 ker vrd r.. Afl d sol sütud verile durumlr kç frkl flekilde yp lbilece ii bulmk içi permütsyo vey kombisyod hgisii kull lms gerekti ii belirleyiiz. Cevplr s dki sütud bulrk efllefltiriiz. 9 frkl mlzemede üü seçerek pizz siprifl etmek Bir m zd ödeme ypmk içi kiflii s ry girmesi 98 TÜK YE sözcü üdeki hrfleri tümüü kullrk bir sözcük oluflturmk 8 Bir ifl yeride çl fl kifli rs d üü e itim içi yurt d fl gödermek. Ker sy s köflege sy s eflit ol koveks çokgei köflege sy s kçt r? 6. oucu, P(7, ) ve C(7, ) ol iki problem yz z. 7. Afl dki eflitlikleri her biride, i de erii buluuz.. C(, ) 8 b. c c. c m + c m ç. C(, ) + P(, ) - m k z, erkek rs d, ü k z, ü erkek ol 7 kiflilik kç de iflik grup oluflturulbilir? 9. 8 eleml lt küme sy s, eleml lt küme sy s eflit ol kümei eleml kç lt kümesi vrd r?. E çok eleml, 9 te lt kümesi ol bir küme, kç eleml d r?. kiflilik bir sporcu grubud 6 kiflilik bir tk m oluflturulckt r. Tk m girecek kifli belli oldu u göre kç de iflik tk m oluflturulbilir?. Herhgi üçü do rusl olmy 9 okt ile birer köfleleri ortk ol kç üçge çizilebilir?. kiflilik bir grupt, kiflilik bir temsilci grubu ve bu kifli içide bflk kç türlü seçilebilir?. Bir s vd sorul 8 soruu ilk üde e z üü cevplmk kofluluyl soru kç de iflik biçimde cevplbilir?. Bir çember üzerideki okt ile kç te dörtge çizilebilir? Kombisyo. Bölüm 7

128 Dört çocuklu bir ilei, iki k z ve iki erkek çocu uu do um s rs lt frkl flekilde olbilir. Bulr fl dki gibi gösterilebilir: Biom ç l m EEKK EKEK EKKE KEEK KEKE KKEE Blise Pscl (Blez Pskl ) (6 66) Ömer Hyym (8 ) Afl d E + K iki terimlisii d e kdr kuvveti l m flt r. (E + K) E K (E + K) E K + E K (E + K) E K + E K + E K (E + K) E K + E K + E K + E K (E + K) E K + E K + 6 E K + E K + E K Pskl Üçgei d kedisi trf d keflfedilmedi i hâlde Frs z mtemtikçi Blise Pscl d gelmektedir. Ülü flir, düflüür ve mtemtikçi Ömer Hyym, Pskl d lt yüz y l öce bu kou ile ilgili somut çl flmlr ypm flt r. * (E + K) ü ç l m dki E K terimii kt sy s ol 6 sy s, ikisi k z ikisi erkek ol dört çocuklu bir ilei çocuklr do um s rlr - sy s vermektedir. Bezer flekilde, E K terimii kt sy s ol sy s, üç erkek ve biri k z çocuk olck flekilde ols k z ve erkek çocuklr do um s rlr sy s vermektedir. Yukr dki ç l mlr iceleyiiz. Üç çocuklu bir ilede, k z ve erkek çocuk içi ols kç do um s rs oldu uu söyleyiiz. Yd verile ç l mlr iceleyiiz. ( + y) ( + y) ifdesii ç l m d yrrlrk ( + y) + y ( + y) ü ç l m y- z z. ( + y) + y + y ( + y) + y + y + y Bezer flekilde ( + y) i ç l m - yz z. ( + y)... Aç l mlr kt sy lr rs dki iliflki edir? Aç kly z. Kt sy lr oluflturdu u üçgei özelliklerii trt fl z ( + y) ( + y)... ^+ yh e o + e oy+ e oy ve ^+ yh e o + e o y+ e oy + e oy ifdeleride ç l mlr kt sy lr hesply z. Bu göre bezer flekilde ( + y) ve ( + y) ifdelerii ç l mlr dki kt sy lr kombisyo kullrk yz z. ( + y) ifdesii ç l m d kt sy lr s l hesplbilir? Aç kly z. 8. Bölüm Biom Aç l m

129 Örek Afl d, ( y) ü ç l m ve bu ç l m kt sy lr frkl gösterimleri verilmifltir. Aç l mdki ktsy - lr s l bulubilece ii iceleyelim: ( y).. y + 6. y. y +. y ( y).. y +.. y. y +. y Bu ç l md olufl kt sy lr Hyym ( Pskl) Üçgei i. st r d yer l sy lrd r. Hyym Üçgei'deki her bir sy kombisyo kull lrk yz lbilir. t r Hyym Üçgei O hâlde, ( y) y+ y y + y olur. 6 M M M ( + y) gibi herhgi iki terimlii. kuvvetii ç l m biom ç l m olrk biliir. Hyym Üçgei i. st r dki sy lr ( + y) ç l m kt sy lr d r. Bu göre; y eflitli i yz lbilir. y y... r r.y... r y ^ + h e o + e o + e o + + e o + + e o Düşüce Kutusu ( + y) ifdesii ç l m dki kt sy lr toplm, ( + ) dir. Nede? ( + y) ifdesii ç l m d bflt (r + ). terim e o dir. Nede? r - r y r ( Verile ifdeleri ç l mlr i zl kuvvetlerie göre düzeledi ii vrsy z.).. ( y) ifdesii ç l m bull m: y. y. y. y. y. y ^ - h e o ] g ^ - h + e o] g ^ - h + e o] g ^ - h + e o] g ^ - h + e o] g ^ - h () + () ( y) + 6() ( y) + ()( y) + ( y) 6 + (8 )( y) + 6( )(9y ) + ()( 7y ) + 8y 6 96 y + 6 y 6 y + 8y Biom Aç l m. Bölüm 9

130 . ( + y ) 6 ç l m d, kt sy lr toplm 6 ise lc de erleri bull m: ( + y ) 6 ifdeside, ve y l d d, ç k souç kt sy lr toplm olur. ( + ) 6 6 ( + ) olur. Bu durumd ve 6 d r.. ( b) 8 ç l m d;. Bflt. terimi bull m. b. Ortdki terimi bull m.. 8 ve r + r oldu u göre, e b ifdesi, bflt. terimi verir. o] g ]- g O hâlde bflt. terim, b... b b 876 e o] g ]- g ^- h tür. b. 8 ve r 8 : tür. Ortdki terim ise, e b tür. o] g ]- g O hâlde ortdki terim, b... b b 876 e o] g ]- g... olur.. ( y) ifdesii terimleride biri;. A y oldu u göre A de erii bull m. b. B y oldu u göre B de erii bull m.. A y, verile ifdei bflt. terimidir. O hâlde, -! A y e o. ^ y A - h e o!.! tir. b. B y, verile ifdei bflt. terimidir. O hâlde, B y - e o. ^ y A - h - e o - tir.. ( y) 7 ifdesii ç l m dki bir terim, y m dir. Bu göre m + toplm bull m: ( y) 7 ç l m d bflt r +. terim, 7 f p^ h 7. ^- yh f p. ^-yh r r 7 r r r r r 7 f p. ^-yh r r r olur. stee terimi elde etmek içi r l ml d r. r r tür. Bu durumd, f p^ h. ^- yh f p._- 8 y i y - 8 y O hâlde, m ve 8 ve m + 77 buluur. olur.. Bölüm Biom Aç l m

131 6. c - m ifdesii;. Bir terimi A ise A de erii bull m. b. bit terimii bull m. c - m ifdesii ç l mdki ( r + ) ici terimi, yi, terimii düflüelim: r r - r r r - + r r r r - e oc m. ^- h e o] - g. ^-h. ^ h e o] - g. ^ h. ^ h e o] -g ^ h dir. r r r r. li terimi kt sy s soruldu u göre r olml d r. Bu durumd, r r 6 r buluur. O hâlde li terim,! e o] - g. 7!.! tir. A b. bit terim soruldu u içi r olml d r. Bu durumd, r r c - m - r ifdesii ç l md sbit terim yoktur. r A buluur. buluur. - r e oc m. ^ - h r r. Yd Hyym Üçgei'de bir kesit verilmifltir. Verile sy lr kullrk boflluklr tmmly z Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. ( + y) ifdesii ç l m d... te terim vrd r. Her terimde ve y i üsleri toplm... b. ( + b) ç l m d, bflt. terim, 8 6 b ise... c. Hyym Üçgei'i 8. st r d... te terim vrd r.. Bir yr t uzulu u + birim ol küpü hcmii vere ifdei ç k hâlii yz z.. Afl d sol sütud verile ifdeleri eflitlerii s sütudkiler rs d bulrk efllefltiriiz ( Verile ifdeleri ç l mlr i zl kuvvetlerie göre düzeledi ii vrsy z.). ( y) 8 ifdesii ç l m dki bflt. terim y ( y) 6 ifdesii ç l m dki sod. terim 6 y _ y- i 6 ifdesii ç l m dki ortdki terimi 6 6 y. Terimleri p i zl kuvvetlerie göre s rld kbul edersek fp - ifdesii ç l m dki; p p. Bflt 7. terimi buluuz. b. Ort terimi buluuz. c. bit terimi buluuz. ç. od. terimi buluuz d + ifdesii ç l m d sbit terim fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 6 7. ( ) ifdesii ç l m d, kt sy lr toplm ise bflt ( + ). terimi kt sy s kçt r? 6 Biom Aç l m. Üite

132 Deey, Ç kt, Öreklem Nokt ve Öreklem Uzy Deey Ç kt Öreklem uzy Öreklem okt Oly Kesi oly mkâs z oly Ayr k olylr E s(e) Girolmo Crdo ( Cirolmo Krdo) ( 76) Girolmo Crdo trf d 6. yy. d yz l ck 66 te bs l Liber de Ludo Alee (fis Oyulr Üzerie Kitp) isimli kitp, ols l k üzerie yz l ilk kitp olrk kbul edilir. * Ols l k deice öcelikle kl m z fls oyulr gelir. Herkes Kzmk içi fls m e kdr? sorusuu cevb merk etmifltir. Bir mdeî pr t ld d pr üste gele yüzüü yz vey tur gelmesi, bir zr t ld d zr üste gele yüzüü umrl yüz olms gibi... Oys, güümüzde ols l birçok uygulm l vrd r. Bu llrd bz - lr ; fizik, kimy, biyoloji ve geetik gibi pozitif bilimlerdir. Ayr c stroomi, ekoomi, siyset ve spor llr d d ols l k kvrm s kç kull lmktd r. Aktüery bilimi, tmosfer bilimleri, biyoiformtik, biyomtemtik, epidemiyoloji ve t p; ols l k kvrm ve uygulmlr s kl kl kull ld llr rs dd r. iz de ols l kl ilgili terimleri gülük hyt m zd erelerde ve s l kull ld örekler veriiz. A ve B kiflileri rs d yp l bir strç oyuu düflüelim. Oyuu soucuu kesi olrk bilebilir miyiz? Nedeii gerekçeleriyle ç kly z. Oyu e flekilde souçlbilir? Ols durumlr ç kly z. Bir mdeî pr hvy t lms durumud ols souçlr elerdir? Aç kly z. tdrt lt yüzlü bir zr tt m zd üst yüze gelebilecek sy lr elerdir? Aç kly z. Örek Bir mdeî pr bir kez hvy t lms durumuyl ilgili fl dki gözlemleri iceleyelim: Pr bir kez hvy t ld d, soucuu e gelece ii bilemeyiz. Ack üste gele yüz, souçt tur (T) vey yz (Y) olml d r. O hâlde T ve Y elemlr d olufl küme { T, Y} bir mdeî pr bir kez hvy t lms durumuu ols tüm souçlr gösterir. oucu kesi olrk bilimeye olgulr iliflki gözlem ypm y d veri toplm sürecie deey, gelebilecek souçlr d deeyi ç kt lr deir. Bir deeyde elde edile ç kt lr her birie, öreklem okt; öreklem oktlr oluflturdu u kümeye de öreklem uzy deir. Öreklem uzy E ile gösterilir.. Bir mdeî pr rk rky iki kez (vey iki mdeî. t fl. t fl pr birlikte) t lms deeyide, öreklem uzy bull m: Y Pry kez tt m zd, üste gele yüzü yz ( Y) vey tur ( T) Y ( Y, Y), ( Y, T ) olc biliyoruz.. t flt üste gele yüz, yz ise. t flt üste gele yüz, yz vey turd r.. t flt üste gele yüz, tur ise. t flt T Y üste gele yüz, yz vey turd r. Bu durumu, ydki flem ile gösterebiliriz. T ( T, Y), ( T, T ) O hâlde iki t fl soud elde edile öreklem oktlr olufl- T turdu u, E { (Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T) } kümesi, öreklem uzyd r.. Üite Ols l k

133 . Bir zr msy t lms deeyide, öreklem oktlr ve öreklem uzy bull m: Zr bir kez msy t ld d, üste gelebilecek yüzler;,,,,, 6 umrl yüzlerdir. Bu sy lr, öreklem oktlrd r. Bu sy lr kümesi ol E {,,,,, 6} kümesi öreklem uzyd r.. Bir mdeî pr rk rky üç kez (vey üç mdeî pr birlikte) t lms deeyide, öreklem uzy bull m: Bu deey soucud gelebilecek ç kt lr, fl dki flem ile verilmifltir.. t fl. t fl. t fl Christi Huyges ( Kristi Hoigez) Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y T ( Y, Y, Y), ( Y, Y, T), ( Y, T, Y), ( Y, T, T) ( T, Y, Y), ( T, Y, T), ( T, T, Y), ( T, T, T) Bu deeye it öreklem uzy; E {(Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T), (T, Y, Y), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T)} olur. te mdeî pr hvy t lms deeyii öreklem uzy ile bir mdeî pr rk rky def hvy t lms deeyii öreklem uzy birbirii y s d r. (69-69) Blise Pscl ols l k l dki çl flmlr ö ree Huyges, 66 d fls oyulr yl ilgili problemler üzerie çl flmy bfllr ve uzu vdede bir fls oyuudki kzlr temsil ede mtemtiksel bekleti kvrm keflfeder. Bu fikir güümüzde ols l k teorisii temel tfllr d biridir. * Düşüce Kutusu Tblo. Ydki Tblo. te mdeî bir pr rt rd hvy t lms deeyide, t fl ve ç kt sy s gösterilmifltir. Tbloyu uygu flekilde dolduruuz. Bu göre; At fl sy s ile ç kt sy s rs d e gibi bir iliflki vrd r? t flt elde edile ç kt lr sy s kçt r? At fllr Ç kt y s. ki zr t ld d öreklem uzy elem sy s bull m: Tblo.6 d gördü üüz gibi iki zr t ld d elde edilebilecek ç kt lr sy s 6 d r. Öreklem uzy elem sy s içi k sc, s(e) 6 6 diyebiliriz. Bu deeyde (, ) ç kt s, (, ) ç kt s d frkl d r. (, ) birici zr üst yüzüü, ikicisii geldi ii; (, ) ise birici zr üst yüzüü, ikicisii geldi ii gösterir. Tblo.6. Zr. Zr (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 6) (6, ) (6, ) (6, ) (6, ) (6, ) (6, 6) Ols l k. Üite

134 Oly, mkâs z Oly ve Kesi Oly Üzeride de 6 y kdr rkmlr yz l oldu u iki zr bir ms üzerie t l yor. Bu deeyi öreklem uzy (E) yz z. Her iki zr üst yüzüdeki rkmlr y gelmesi durumu içi ols ç kt lr yz z. Her iki zr üst yüzüdeki rkmlr frkl gelmesi durumu içi ols ç kt lr yz z. Yzd z kümeleri öreklem uzy ile krfl lt rrk rlr d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. Bu deeye göre zrlr üst yüzlerideki sy lr toplm olm durumuu trt flrk, öreklem uzyl iliflkisii ç kly z. Bu deeye göre zrlr üst yüzlerideki sy lr toplm vey de küçük bir sy olm durumuu trt flrk öreklem uzyl iliflkisii ç kly z. Örek Bir zr msy t lms deeyide üste gele sy ;. Çift sy olms b. E z olms c. 7 olms ç. {,,,,, 6} kümesii elemlr d biri olm durumuu de erledirelim: Bir zr msy t lms deeyide, öreklem uzy, E {,,,,, 6} oldu uu biliyoruz.. Çift sy gelme durumu A olsu. E kümesii elemlr rs d, çift sy ollr, ve 6 d r. O hâlde A {,, 6} olur. b. E z gelme durumu B olsu. E kümesii elemlr rs d, ve te büyük sy lr l rsk B {,, 6} olur. c. 7 gelme durumu C olsu. E kümesii elemlr rs d 7 olmd d C durumuu olms imkâs zd r. O hâlde C olur. ç. Öreklem uzy E {,,,,, 6} oldu ud deeyi soucuu {,,,,, 6} elemlr d birisi olms kesidir. Öreklem uzy her bir lt kümesie oly deir. Bofl kümeyle gösterile oly imkâs z ( olks z) oly, E öreklem uzy ise kesi oly deir. Ayr k Oly Üzeride de 6 y kdr rkmlr yz l oldu u bir zr ms üzerie t l yor. Zr tm deeyii öreklem uzy yz z. Üst yüze te küçük rkm gelmesi oly kümesii yz z ( A kümesi olsu). Üst yüze te büyük rkm gelmesi oly kümesii yz z ( B kümesi olsu). A ve B kümelerii krfl lflt r z? A B kümesi edir? Bu göre A ve B olylr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z.. Örek Bir kvozd de 7 ye kdr umrlm fl y büyüklükte 7 bilye vrd r. Kvozd bir bilye çekersek tek umrl bilye gelme oly ve çift umrl bilye gelme oly yzl m: Kvozd bilye çekme deeyide öreklem uzy, E {,,,,, 6, 7} dir. Tek umrl bilye gelme oly A ise A {,,, 7} olur. Bezer flekilde, çift umrl bilye gelme oly B ise B {,, 6} olur. A ve B kümelerii ortk elem olmd d, A B Ø dir. E A 7 B 6. Üite Ols l k

135 Bir öreklem uzy, iki yr oly kesiflimi bofl küme ise bu iki oly yr k olylr deir. Di er bir deyiflle y zmd gerçekleflmesi mümkü olmy olylr, yr k olylrd r.. Bir fbrikd üretile mpulleri tesi l yor. Bu mpulü, 8 i s lm si bozuk ç k yor. Bu göre fl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.!. Bu mpulde seçilecek herhgi mpul içi örek uzy, e o eleml d r.!.! b. Bir A oly, A { Çekile mpülde birii bozuk, di erlerii s lm olms } olsu. sa ] g 8 e o e o t r.. Üç zr t ld d;. Öreklem uzy elem sy s kçt r? b. A { Üst yüze gele sy lr toplm olms } oly elem sy s kçt r?. çeriside, mvi, k rm z ve siyh bilye bulu bir torbd rstgele üç bilye seçme deeyide öreklem uzy elem sy s kçt r?. Afl dki deeylere it öreklem uzylr ve bulr it olylr kümesii yz z.. Mdeî iki pr hvy t lms deeyide, e z bir yz gelmesi oly b. Bir zr msy t lms deeyide, üst yüze gele sy olms oly c. Bir zr msy t lms deeyide, üst yüze gele sy 8 olms oly ç. Bir zr msy t lms deeyide, üst yüze gele sy e z olms oly d. ki zr msy t lms deeyide, üst yüze gele sy e z birii çift olms oly Ols l k Foksiyou Ols l k kvrm Ols l k foksiyou Bir oly olm ols l Ols l k foksiyouu temel özellikleri Ols l k, soucu kesi olmy olylrl u rfl r. Öre i, bir zr t ld d, zr yere düflece i kesidir; fkt üst yüze hgi sy gelece i kesi de ildir. Ols l k hesplr kesi souçlr göstermese de gerçekleflme ols l çok düflük ol bz durumlrd ols l k hesplr öemi büyüktür. Öre i, DNA k tlr ve ols l kullrk suçlulr yklmk mümküdür. E A P(A), P(B) Tblo.7 Alt küme Ols l k Bir A deeyii öreklem uzy E {e, e, e } ve {e } {e } {e } Ø olsu. Ø... E kümesii bütü lt kümelerii ( olylr ) bulrk Tblo.7 de ilgili bölüme yz z {e }, {e i, j {,, } ve i j olmk üzere {e } oly olm ols l P({e }), {e, e } }, {e, e }, oly olm ols l P({e i, e j }) ile gösterelim. P({e }),, P({e }), ve P({e }), oldu u göre E öreklem uzy tüm lt kümelerii olm ols l klr hesplyrk buldu uuz souçlr Tblo.7 de ilgili bölüme yz z. Yzd z ols l k de erleri hgi sy lr rs dd r? Elde etti iiz souçlr yorumly z. Ols l k. Üite

136 Örek Bir oly ols l k de erii hgi iki sy rs d oldu uu fl dki durumu ve flemy iceleyerek belirleyelim: ki frkl kiflii belirlee bir bölgede DNA bilgilerii birbirie uym ihtimli, dir. DNA lr bölgede krfl lflt r rsk iki frkl kifli- i DNA lr bu bölgelerde birbirie uyms ihtimli vey di- er bir deyiflle o trilyod birdir. Bu de er ise s f r çok yk d r. Bu örekte de gördü ümüz gibi, ols l kt bhsederke ile kpl rl d bir de erde bhsediyoruz. mkâs z ( olks z) oly ols l (s f r) ve kesi oly ols l olrk ifde edilir. % vey % vey / Kesi Muhtemel Yr yr y Muhtemel olmy Bir E öreklem uzy tüm lt kümelerii kümesi, E A olsu. E A [, ] t ml ve fl dki ksiyomlr gerçekleye P foksiyou, ols l k foksiyou; P(A) de erie de A oly ols l % vey deir. mkâs z A E A içi, P(A) dir. P(E) dir. A E A, B E A, A B ise P(A B) P(A) + P(B) dir. A E A, B E A, A B ise P(A B) P(A) + P(B) P(A B) dir. Ols l k foksiyouu de er kümesi [, ] kpl rl oldu u göre bir oly ols l, s f rd küçük ve birde büyük olmz. Di er bir deyiflle her A oly içi, P(A) dir.. E {, y} öreklem uzy d, E A { Ø, {}, {y}, {, y} } dir. E A [, ] t ml, P(Ø), P( {} ) P( {y} ), P ( {, y } ) ise P foksiyouu bir ols l k foksiyou olup olmd rflt rl m: P foksiyouu verdi imiz ksiyomlr s ly p s lmd görelim: i. P( ), P({}), P({y}), P({, y}) de erleri, d küçük ve de büyük olmd d. ksiyom s l r. ii. P({, y}) P(E) oldu ud. ksiyom s l r. iii. {} {y} dir. P_! + " y, i P]! + g+ P_ " y, i? P _", y, i + oldu ud eflitlik s l r. Doly s yl. ksiyom d s lm fl olur. O hâlde P foksiyou, bir ols l k foksiyoudur. Bud sorki ifllemlerde, kolyl k olms bk m d P({ }) yerie, P( ) yzbiliriz.? Birçok is ge dizileri birbirie bezer; fkt DNA diziii bz kesimleri isd is yüksek ord frkl l k gösterir. Bu bölgelerdeki de iflimleri krfl lflt rrk frkl iki DNA öre ii y kifliye it olup olmd sorusu cevpld r lbilir. Bu flekilde pek çok suçu yd ltmk mümküdür. Bir dli DNA t mlm sistemi, geom üzeride belirlee frkl bölgeyi iceleyerek iki DNA öre ide, bu bölgelerdeki bilgileri hgi ord birbirie bezedi i ile ilgileir. ki DNA öre i pek çok bölgede birbiriyle tmme örtüflürse bu örekleri iki frkl kiflide gelme ols l heme heme (s f r) d r. Düşüce Kutusu Yukr dki örekte, P]! + g, P_ " y, i olur muydu? Nede? verilseydi P foksiyou ols l k foksiyou 6. Üite Ols l k

137 . A ve B bir E öreklem uzy d iki oly olsu. E de t ml P ols l k foksiyou içi fl d verile özellikleri do rulu uu gösterelim:. P( ) b. A B P(A) P(B) c. P(A') P(A) ç. P(A B) P(A) + P(B) P(A B). E E eflitli ii yzbiliriz. O hâlde, P(E) P( E) olur. E oldu ud, P(E)P( E) P( ) + P(E) yzbiliriz. Demek ki P(E) P( )+P(E) P( )+ P( ) d r. b. A B ise B A (B A) ve A (B A) dir. O hâlde, B A (B A) P(B) P(A (B A)) P(A) + P(B A) d r. P(B A) oldu ud, P(B) P(A) + P(B A) eflitli ie göre P(A) P(B) dir. A B A B c. A A' E ve A A' oldu ud, P(A A') P(A) + P(A') P(E) P(A) + P(A') P(A) + P(A') P(A') P(A) olur. A' A E ç. Ydki flekli iceledi imizde, A (A B) (A B), (A B) B, (A B) (A B) A, (A B) B A B oldu uu söyleyebiliriz. Bu durumd, (A B) B A B P(A B) + P(B) P(A B)... (I) ve (A B) (A B) A P(A B) + P(A B) P(A)... (II) olur. A B A B I ve II eflitlikleri trf trf ç kr l rs P(A B) P(A) + P(B) P(A B) buluur. B. E {e, e, e, e } öreklem uzy ve P ols l k foksiyoudur. P(e ),, P(e ),, P(e ), ve e, e, e, e yr k olylr oldu u göre A {e, e } oly olm ols l bull m: {e } {e } {e } {e } olur. O hâlde, P(e ) + P(e ) + P(e ) + P(e ) yz lbilir., +, +, + P(e ) P(e ), buluur. P(A) P( {e, e }) P({e } {e }) P({e }) + P({e }), +,, tir. E {, b, c} öreklem uzy veriliyor. Afl dki foksiyolrd hgileri, E de bir ols l k foksiyoudur?. b. P, Pb, P ] g Pb ] g Pc ] g ] g ] g Pc ] g c.,, ç. P, Pb, P ] g Pb ] g Pc ] g ] g ] g Pc ] g Efl Ols l (Olumlu) Öreklem Uzy 7. yüzy ld yflm fl ol Chevlier de Mèrè (fiövlye dö Mere) isimli bir Frs z, Efl ols l (olumlu) öreklem uzy bir zr dört kez rk rky trs 6 sy - s e z bir kere gelece ie dir bhse girer. De Mèrè ye göre bir t flt 6 gelme ols l, oldu u içi dört t flt lt 6 gelme ols l, dir. Bfllg çt oyulr kz de Mèrè, sorlr kzd d dh fzl kybetmeye bfllr. Kzm fls her iki oyu içi de yüksek oldu uu düflüürke büyük ky plr u r- 6 y de Mèrè, her iki durumdki ols l klr düflüüp ç klms içi mtemtikçi Blise Pscl [ Blez Pskl (6 66)] ile iletiflime geçer. Pscl yeride olsyd z de Mèrè' ye bu koud cevb z e olurdu? Ols l k. Üite 7

138 Pierre de Fermt (Piyer dö Ferm) (6 66) Pskl, mtemtikçi Pierre de Fermt ile 6 y l d iletiflime geçerek kedisie de Méré i sorulr mtemtiksel olrk çözmek içi yrd mc olms istemifltir. Pskl ve Fermt rs dki bu birliktelik, ols l k ile ilgili mtemtiksel çl flmlr bfllg c olmufltur. Üzeride de kdr rkmlr yz l oldu u efl büyüklükteki toplrd birii çekilmesi deeyii iceleyelim. Deeyi öreklem uzy yz z Üzeride yz l topu gelme ols l hesply z. Bu ols l k de erii yz l top gelmesi oly ols l ile krfl lflt r z. Çekile topu,,,,, 6, 7, 8, 9 ve olu toplrd herhgi birisii olm ols l klr eflit olup olmyc ç kly z. Örek Ydki gibi, üzeride de 6 y kdr rkmlr yz l oldu u bir zr, ms üzerie t l yor. Her bir rkm üst yüze gelme ols l bull m: Bu deey içi E {,,,,, 6} olur. P ] g, P ] g,..., P6 ] g d r Öreklem uzy E {e, e, e,..., e } ol bir P ols l k foksiyou içi P(e ) P(e ) P(e )... P(e ) ise E ye efl olumlu (efl ols l ) öreklem uzy deir. * E {, b, c, d} efl olumlu bir öreklem uzy ve P ] g ise A {b, c, d} oly olm ols l bull m: E, efl olumlu bir öreklem uzy ise, P() P(b) P(c) P(d) dir. O hâlde, P(A) P(b) + P(c) + P(d) + + buluur. A oly olm ols l, A kümesii elem sy s öreklem uzy elem sy s or d r. m N +, i N +, E {e, e, e,..., e m } efl olumlu öreklem uzy ve i m olmk üzere, A {e, e, e,..., e i } kümesi, E de bir oly ise A kümesideki her bir öreklem okt ols l y d r. r i olmk üzere, Pe _ r i dir. Bu durumd, m i sa ] g A elem sy s P(A) P(e )+P(e )+P(e ) P(e i ) d r. m m mm m se ] g E i elem sy s ite. Bir mdeî pry iki kez hvy tt m zd üste gele yüzlerii tur olm ols l bull m: Öreklem uzy, E {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)} ve iki kez tur gelme oly, A {(T, T)} oldu ud, sa ] g s(e), s(a) dir. A oly ols l ise, PA ] g olur. se ] g. Bir çift zr t ld d üste gele sy lr y olm ols l bull m: Bir çift zr t ld d, öreklem uzy 6 eleml oldu uu biliyoruz. Gele sy lr y olms oly, A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, 6)} d r. s(e) 6 ve s(a) 6 olur. A oly olm ols l 6 PA ] g d r Üite Ols l k

139 . Bir zr t ld d üste gele sy ;. 7 olms ols l, b. E z olms ols l bull m. E {,,,,, 6} oldu ud, s(e) 6 d r.. A, gele sy 7 olms oly olsu. Öreklem uzy d 7 bulumd d, A dir. ( A imkâs z sa ] g olyd r.) O hâlde, s( A) d r. Bu durumd, A oly ols l, PA ] g olur. se ] g 6 b. B, gele sy e z olms oly olsu. Bu durumd, B {,,,,, 6} ve s(b) 6 olur. B E oldu ud B kesi olyd r. O hâlde B oly ols l,. Bir torbd, y büyüklükte gri, k rm z bilye vrd r. Bu torbd l bilyei de k rm z olm ols l bull m: Torbd, + 7 bilye buludu ud ve bu bilyelerde te seçilece ide, bilyede bilyeyi, C( 7, ) frkl flekilde seçebiliriz. O hâlde, se ] g C7 ^, h dir. A, k rm z. bilyei l ms oly olsu. k rm z bilyede k rm z bilye, C(, ) kdr frkl flekilde l bilir.. sa ] g 6 Bu durumd, sa ] g C ^, h 6 olur. O hâlde A oly ols l, PA ] g olur.. se ] g 7 Yukr dki flemd y büyüklükte gri, k rm z bilyei oldu u bir torbd l bilye içi ols ç kt lr ve bulr ols l klr görülmektedir. Buldu umuz soucu bu modeli kullrk d d elde edebiliriz. 6. Bir torbd, y büyüklükte ol k rm z, yeflil top vrd r. Bu torbd rstgele l iki topu y rekte olm ols l bull m: Torbd, + 9 top vrd r. 9 topt top seçilece i içi öreklem uzy elem sy s, C(9, ) olur Bu durumd se ] g C9 ^, h 6. olur. d r. ki topu y rekte olm oly A dersek A, k rm z vey yeflil top olur. k rm z topt k rm z topu, C(, ) biçimide seçeriz. yeflil topt yeflil topu, C.. (, ) biçimide seçeriz. O hâlde A oly elem sy s, sa ] g e o+ e o sa ] g 6 buluur. A oly ols l ise PA ] g buluur. s] Eg 6 9 Yukr dki flemd y büyüklükte k rm z, yeflil topu oldu u bir torbd l top içi ols ç kt lr ve bulr ols l klr görülmektedir. Buldu umuz soucu bu modeli kullrk d elde edebiliriz. 7. tesi bozuk ol 9 mpul rs d rstgele seçile mpulde sii bozuk, ii s lm olm ols l bull m: Toplm 9 mpul oldu ud, 9 mpul rs d mpul, C(9, ) kdr frkl flekilde seçilebilir. O hâlde, s(e) C(9, ) 8 olur. A, bozuk, s lm mpul seçilmesi oly olsu. bozuk mpulde.. bozuk mpul, C(, ); s lm mpulde s lm mpul, C(, ) frkl flekilde seçilebilir. O hâlde bozuk ve s lm mpul rs d, bozuk ve s lm mpul, C(, ) C(, ) frkl flekilde seçilebilir. Bu durumd, sa ] g C ^, h. C ^, h ve PA ] g buluur.. sa ] g. se ] g 8 /7 /7 /9 /9 6 PB ] g 6 /7 /7 /9 /9 /6 /6 /6 /6 /8 /8 /8 /8 ouç Ols l k /7 /7 /7 ouç Ols l k /6 /9 /8 Ols l k. Üite 9

140 9. Bir torbd, y büyüklükte k rm z, mvi bilye vrd r. Torbd bilye l rs bilyelerde e z ikisii mvi olm ols l bull m: Torbd, + 8 bilye vrd r. 8 bilyede bilye seçece imizde, öreklem uzy elem sy s, C(8, ) olur se ] g C8 ^, h 6.. d r. bilyei e z ikisii mvi olms oly olsu. Çekilecek bilyede e z ikisii mvi olms oly iki frkl flekilde gerçekleflebilir: I. Bilyelerde ikisi mvi, biri k rm z olbilir c mc m II. Bilyelerde üçü de mvi olbilir c mc m O hâlde A oly elem sy s, sa ] g c m c m+ c m. c m. +. olur. sa ] g A oly olm ols l ise PA ] g buluur. se ] g 6 7. Bir E öreklem uzy d iki oly, A ve B dir. PA, 8 ] g P] B' g ve PA ] Bg ise 9 6 P(A B) yi bull m: 8 8 P] B' g P] Bg - P] B' g P(A B) P(A) + P(B) P(A B) olur P ] A Bg ] g ] g ] 6g buluur.. kiflilik bir s ftki ö recileri si erkektir. Bu s ftki erkekleri 6 s, k zlr ise ü gözlüklüdür. ft rstgele seçile bir ö recii erkek vey gözlüklü olm ols l bull m: Öreklem uzy s f mevcudu oldu ud, s(e) dir. A, erkek ö reci seçme oly olsu. ft erkek buludu ud, s(a) dir. s] Ag Bu durumd, P] Ag olur. se ] g B, gözlüklü ö reci seçme oly olsu. 6 s k z, ü erkek ol 9 gözlüklü ö reci buludu ud, sb ] g 9 s(b) 9 dur. Bu durumd, PB ] g olur. se ] g Erkek ö recileri 6 s gözlüklü oldu ud, s(a B) 6 d r. s] A Bg 6 Bu durumd, P] A Bg olur. O hâlde erkek vey gözlüklü ö reci seçme ols l, se ] g 9 6 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + - buluur. Düşüce Kutusu Alt ge kutulrd olufl bir fls mkieside, üstte t l her topu lt ge kutulr solud y d s d gitme ols l birbirie eflittir. Bu göre;. fis mkiesie t l bir topu,,, ve umrl deliklerde düflme ols l klr buluuz. b. Buldu uuz souçlrl Pskl Üçgei rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z.. Üite Ols l k

141 ir Frcis Glto ( ör F rsis Gelt ) (8 9) Öceki syfdki Düflüce Kutusu d bhsedile fls mkiesi, ols l k üzerie ypt deeysel çl flmlrl ülü ir Frcis Glto trf d gelifltirilmifltir. Bu edele, Glto Posu olrk d biliir. * E {m,, p} efl olumlu bir öreklem uzy ve P bu uzyd t ml ols l k foksiyoudur. Bu göre, P() + P(m) toplm buluuz.. Bir torbd, y büyüklükte beyz, sr ve mvi bilye vrd r. Bu torbd rstgele l bir bilyei sr olm ols l buluuz.. mtemtik ve Türkçe kitb d, kitp rstgele seçiliyor. eçile üç kitpt, e z ikisii mtemtik kitb olm ols l buluuz.. E öreklem uzy it iki oly, A ve B olmk üzere, PA, 7 ] g PB ] ' g 9 ve P(A B) ise P(A B) kçt r?. Ay büyüklükte ol k rm z, 6 beyz bilyei buludu u bir torbd, rstgele bilye çekiliyor. Çekile bilyeleri;. Üçüü de k rm z olm ols l, b. Üçüü de beyz olm ols l, c. kisii k rm z, birii beyz olm ols l buluuz Afl dki ifdelerde do ru ollr bfl dki kutuy D, yl fl ollr bfl dki kutuy Y yz z.. Bir zr msy t ld d, üste gele yüzüü e z 6 olm ols l dir. 6 b. Bir zr msy t ld d, üste gele yüzüü e çok olm ols l tir. 6 c. ki mdeî pr hvy t ld d, e çok bir tur gelme ols l dir. ç. Bir mdeî pr, rt rd üç kez hvy t l yor. Bu üç t fl soucud, kez yz, kez tur gelme ols l tür k z ve erkek ö reci, bir bk üzerie y y oturdu ud, k zlr hep y y oturm ols l kçt r? 8. {,,,, } kümesii elemlr ile bsmkl, rkmlr frkl sy lr yz l yor ve bulrd biri rstgele l yor. Al bu sy çift sy olm ols l kçt r? 9. kiflilik bir s ft bulu ö recileri 8 i erkektir. Erkekleri 8 i, k zlr ü yeflil gözlü oldu u göre s ft rstgele seçile bir ö recii, k z vey yeflil gözlü olm ols l buluuz. Koflullu Ols l k Bir zr t ld d üst yüze gele sy çift sy oldu u biliiyors bu sy olm ols l kçt r? Koflullu ols l k Zr üst yüzüe gele sy çift olms oly A, olms oly B dersek B oly olm ols l eye b l d r? Aç kly z. ki zr ms üzerie t l yor. Üst yüze gele sy lr toplm 8 oldu u biliiyor. Üst yüze gele sy lr eler olbilir? Aç kly z. Bu deeyi öreklem uzy elem sy s ve üst yüze gele sy 8 olms oly kümesii yz z. Üst yüze gele sy lrd toplmlr 8 ollr ikisii de sl sy olm ols l kçt r? Bu ols l k s l hesplbilir? Aç kly z. Ols l k. Üite

142 Örek Bir zr t ld d üst yüze gele sy te büyük oldu u biliiyor. Bu sy olm ols l bull m: Gele sy te büyük olms oly, A {,, 6} d r. E A B Gele sy olms oly, B {} tir. B A {} olur. A ] g Bu durumd PA ] g, PB ] + Ag olur. E ] g O hâlde B i A koflullu ols l dir. A B Efl olumlu E öreklem uzy herhgi iki oly, A ve B olsu. P(B)> ise B oly gerçekleflmesi hâlide, A oly olm ols l, A oly B ye b l koflullu ols l vey A B koflullu ols l deir ve P(A B) biçimide gösterilir. PA ] Bg PA ] Bg PB ] g vey sa ] Bg PA ] Bg sb ] g dir.. ki zr t ld d üst yüze gele sy lr toplm oldu u biliiyors ikisii de sl sy olms ols l bull m: ki zr t lms deeyide, s(e) 6 d r. A, gele sy lr toplm olms oly ise A {(, ), (, ), (, ), (, )} dir. B, gele sy lr ikisii de sl sy olms oly ise B A {(, ), (, )} olur. PB ] Ag, 6 PA ] g PB ] Ag d r. O hâlde B i A koflullu ols l, PB ] Ag olur. 6 6 PA ] g 6. 6 k z ve 8 erkek ö reci rs d, bir bflk bir de sekreter seçilecektir. eçilecek bflk ve sekreteri k z ö reci olm ols l bull m: Bu tür sorulr çözümüü, dh öce kombisyod yrrlrk ypt k. Bu yolu tekrr ht rlyl m.. Yol: ö reci rs d ö reci seçilece i içi s(e) C(, ) 9 dir. 6 k z rs d, k z ö recii seçilmesi oly K olsu. s(k) C(6, ) tir. O hâlde K oly olm s K ols l, PK ] ] g g buluur. se ] g 9. Yol: Bflk seçimi oly B, sekreter seçimi oly ile gösterirsek her ikisii de k z ö reci seçilme oly, B olur. 6 Öce, ö reci rs d bflk seçelim: Bflk k z ö reci olm ols l, PB ] g olur. Bflk, k z ö recilerde seçti imiz içi geriye k z ö reci ve doly s yl ö reci kld. fiimdi, ö reci rs d sekreteri seçelim: ekreteri k z ö reci olm ols l, tir. ekreteri seçilmesi, bflk seçilmesi koflulu b l oldu ud, P( B) olur. 6 ekreteri k z ö reci olm ols l, PB ] g PB ] g. P ] Bg olur. 9 P(A B) P(B). P(A B) eflitli ie, ols l kt çrpm kurl deir.. Üite Ols l k

143 . Bir torbd, y büyüklükte mvi, k rm z, siyh bilye vrd r. Torbd rk rky, torby geri t lmmk flrt ile üç bilye çekersek bilyei de siyh olm ols l bull m: Torbd, + + bilye vrd r.. bilyeyi siyh çekme ols l, ;. bilyeyi siyh çekme ols l, ;. bilyeyi siyh çekme ols l, olur. Çrpm kurl göre bilyei de siyh çekilmesi ols l, buluur.. Bir çift zr t ld d, zrlr üstüdeki sy lr ikisii de sl sy oldu u biliiyors ikisii de tek sy olms ols l kçt r? A) B) C) D) E) 9 9. kiflilik bir s ft bsketbol oyylr kifli, voleybol oyylr 8 kifli, her ikisii de oyylr kiflidir. Bu s ft rstgele belirlee bir kiflii bsketbol oyd bilidi ie göre bu kiflii voleybol d oyy biri olm ols l kçt r?. Bir çift zr t l yor. Zrlrd frkl sy lr geldi i bilidi ie göre toplmlr ;. Tek sy olm ols l kçt r? b. Çift sy olm ols l kçt r? B ms z ve B ml Olylr B ms z ve b ml olylr Pierre imo Lplce ( Piyer imo Lpls) Cisiyeti belirleye, erkekte gele kromozomdur. Çükü diflii kromozom yp s XX, erke i kromozom yp s ise XY fleklidedir. Bu kromozomlr rs dki çprzlmlr ise do ck çocu u cisiyetii belirler. Afl dki gösterimi iceleyiiz. Abrhm De Moivre (Abrm dö Muovr) (667 7) Abrhm de Moivre, 78 y l d yzd fislr Ö retisi isimli kitb d, Pskl ve Fermt' orty tt klsik yötemle ols l k hesb dh kull fll hâle getirmek içi çrpm kurl d dâhil olmk üzere birçok yötem gelifltirmifltir. * (79 87) 8. yüzy d itibre ols l k kvrm - uygulm l sdece fls oyulr olmkt ç krk do ck çocu u k z vey erkek olms gibi biyoloji ile ilgili bilimsel problemler de olmufltur. Pierre-imo Lplce, 8 y l d yzd Ols l Alitik Teorisi isimli kitb d, bilimsel uygulmlr ö pl ç krrk ols l mtemtiksel bir teorisii vermifltir. * Ae X X Bb X Y X X X Y X X X Y + + Çiftçilik, hyvc l k, de- irmecilik, grfikerlik ve kptl k gibi mesleklerde ols l kull ld - biliyor muyduuz? Bu mesleklerde ols l s l kull ld rflt - r z. fiekle göre do ck çocu u k z vey erkek olm ols l edir? Ols l k. Üite

144 Bir zr ve bir mdeî pr birlikte t l yor. Deeyi öreklem uzy fl dki kümei di er elemlr yzrk belirleyiiz. E {(, Y), (, T), (, Y), (, T),...} Öreklem uzy elem sy s kç olur? Aç kly z. Bu deeyde zr, pr yz gelmesi oly ols l kçt r? Aç kly z. Zr gelmesi ile pr yz gelmesi olylr rs d bir iliflki vr m d r? Aç kly z. Öreklem uzy bulumd bu ols l k s l hesplbilir? Trt fl z. Örek Ydki flemd A ve B b ms z olylr gösterilmifltir. P(A B) i s l hesplbilece ii bull m: A B fiemy göre A oly olms B oly d b ms zd r. O hâlde P(A) P(A B) olur. Bu durumd, P(A B) P(A).P(B) olur. PA ] Bg PA ] Bg PA ] g ve PB ] g B oly d A oly d b m s zd r. O hâlde P(B) P(B A) olur. Burd, ve P(A B) P(A).P(B) buluur. Öyleyse, P(A B) P(A).P(B) olur. PB ] Ag PB ] Ag PB ] g PA ] g E öreklem uzy d iki oly, A ve B olsu. P(A) > ve P(B) > olmk üzere B oly olm ols l, A oly olm ols l de ifltirmiyors A oly B oly d b ms zd r deir. Bu durum P(A) P(A B) biçimide gösterilir. ki oly b ms z de ilse bu olylr, b ml olylr deir. A oly, B oly b ml ise P(A) P(A B) dir. P(A B) P(A).P(B) ise A ve B olylr b ms zd r.. Bir zr ve bir mdeî pr birlikte t ld d pr tur ve zr tek sy gelmesi olylr yzl m. Bu olylr b ms z olylr olup olmd iceleyelim: Pr ve zr birlikte t lms deeyide, öreklem uzy, E {(Y, ), (Y, ), (Y, ), (Y, ), (Y, ), (Y, 6), (T, ), (T, ), (T, ), (T, ), (T, ), (T, 6)} d r. A, pr tur gelmesi; B, zr tek sy gelmesi oly ise, A {(T, ), (T, ), (T, ), (T, ), (T, ), (T, 6)} ve B {(Y, ), (Y, ), (Y, ), (T, ), (T, ), (T, )} olur. A B {(T, ), (T, ), (T, )} dir. Bu durumd, sa ] g 6 PA, sb ] g 6 sa ] Bg ] g PB ] g ve P] A Bg olur. Burd, se ] g se ] g se ] g PA ] g. PB ] g oldu ud, P(A) P(B)P(A B) dir. A ve B olylr b ms z olylrd r.. ki kvozd biride y büyüklükteki bilyelerde k rm z, mvi; di eride ise k rm z, mvi bilye vrd r. Kvozlrd birer bilye çekildi ide bu bilyeleri k rm z olm ols l bull m: I. kvozd, + 8 bilye oldu ud k rm z bilye çekme ols l, PK _ i tür. 8 II. kvozd, + 6 bilye oldu ud k rm z bilye çekme ols l, tür. Her iki 6 bilyei de k rm z olm ols l, PK _ K PK. PK i _ i _ i olur. 8 6 I. kvoz II. kvoz. Üite Ols l k

145 . ki kvozd biriciside k rm z, sr, ikiciside k rm z, sr top vrd r. Birici kvozd regie bk lmd rstgele bir top l rk ikici kvoz koyuluyor ve ikici kvozd bir top çekiliyor. Bu topu sr olm ols l bull m: I. Durum: I. kvozd sr top çekme ols l, tür. 7 r topu II. kvoz t p II. kvozd sr top çekme ols l tir. 7 I. kvoz II. kvoz II. Durum: I. kvozd k rm z top çekme ols l, tür. 7 K rm z topu II. kvoz t p II. kvozd sr top çekme ols l tür. Bu iki durum birlikte düflüüldü üde, II. torbd sr top çekme ols l, + olur Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. k z, erkek ö reci rs d iki ö reci seçersek ikisii de erkek ö reci olm ols l... olur. b. Bir torbd, y büyüklükte mvi, k rm z, 7 sr top vrd r. Torbd, geri t lmmk flrt ile rk rky üç top çekersek topu d k rm z olm ols l... olur. c. Bir torbd, y büyüklükte beyz, siyh, yeflil bilye vrd r. Torbd, geri t lmmk flrt ile rk rky bilye çekersek ilk ikisii beyz, üçücüsüü yeflil olm ols l... olur.. Bir mdeî pr ve bir zr, y d msy t l yor. Zr sl sy ve pr tur gelme ols l kçt r? A) B) C) D) E) 6. ki kutud biriciside y büyüklükte k rm z, beyz; ikiciside k rm z, beyz bilye vrd r. Kutulrd biri rstgele l p içide bir bilye seçilirse bu bilyei k rm z olm ols l kçt r?. Hftd televizyo ürete bir firm, bu televizyolr üü A, üü B, üü de C flehrideki fbriklr d ypt rmktd r. Eldeki ky tlr göre A, B ve C flehrideki fbriklrd üretile televizyolr s rs yl %7, % ve % ü bozuk ç kmktd r. Üç fbrikd üretile televizyolr yurt d fl ihrç edilmek üzere depod toplmktd r. Bu depod rstgele seçile bir televizyou;. Bozuk ç km ols l kçt r? b. lm ç km ols l kçt r? c. Bozuk ç kt ys B fbriks d üretilmifl olm ols l kçt r? ç. lm ç kt ys B fbriks d üretilmifl olm ols l kçt r?. Afl dki deeylere it öreklem uzylr ve bulr it olylr kümesii yz z.. Bir zr hvy t lms deeyide, üst yüze gele sy e z olms oly b. ki zr hvy t lms deeyide, üst yüze gele sy lrd e z birii çift sy olms oly c. ki zr hvy t lms deeyide, üst yüze gele sy lr toplm 9 olms. Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. Bir ols l lbilece i e küçük de er... ve e büyük de er... olbilir. b. Öreklem uzy iki lt kümesi ol A ve B olylr içi, P(A B) P(A) P(B) ise... c. Öreklem uzy iki lt kümesi ol A ve B olylr içi, P(A B) P(A) + P(B) ise... Ols l k. Üite

146 . lcivert, sr bilyei buludu u bir torbd, rstgele seçile bilyede, e z birii sr olm ols l fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 9. Bir mdeî pr, rt rd üç kez t ld d pr e z bir def tur gelmesi ols l buluuz. 9. fiekildeki O merkezli dire üzeride rstgele seçile bir okt boyl bölgede olm ols l r ve π ciside yz z. 6. Bir çift zr t ld d, üste gele sy lr ; O r. Birbiride frkl olm ols l buluuz. b. Toplmlr olms ols l buluuz. c. Birii tek, birii çift sy olm ols l buluuz. 7. Ay büyüklükte yeflil ve sr bilyei buludu u bir torbd, rstgele l iki bilyei;. Ay rekte olm ols l buluuz. b. Frkl rekte olm ols l buluuz. 8. Üç zr t ld d zrlr üstüdeki sy lr üçüü de sl sy oldu u biliiyors üçüü de tek sy olms ols l buluuz. 9. kiflilik bir s ft gilizce bileler, Frs zc bileler 7, her ikisii de bileler 8 kiflidir. Bu s ft rstgele seçile bir kifli Frs zc biliyors bu kiflii gilizce de bile biri olm ols l kçt r?. MKB de ifllem göre iki flirkette A flirketii hisselerii hft ilk güüde kp fl kdr de er kzm ols l,7; B flirketiiki ise, tir. Her iki flirketi hisselerii de er kzm ols l kçt r?. A millî bsketbol tk m m z bir trem d poty serbest t fl yp lmktd r. Oyuculrd Ahmet i ypt t fl isbetli olm ols l, Mehmet iki, erk ki ise tür. Bu göre fl dki sorulr cevply z.. Bir oyu s rs d verile bir serbest t fl hgi oyucuy kulld r rd z? Nede? b. Bu üç kifli birbirleride b ms z olrk rk rky t fl ypt klr d topu e z bir kez poty girme ols l kçt r? c. Üçüde yl z birisii isbetli t fl ypm ols l kçt r?. Bir ülkede yfly islr %, ide geetik bozuklu rstlmktd r. Bu bozuklu u olup olmd lmk içi gelifltirile yei bir testi güveilirli i flu flekildedir: Testi ypt r kifli bu geetik bozuklu shipse test % 9 or d pozitif ç krke bu bozuklu ship de ilse de test % or d pozitif ç kbilmektedir. Bu göre rstgele seçile bir kifli içi;. Testi soucuu pozitif ç kms ols l, b. Bu kiflide gerçekte bu geetik bozuklu u olms ve testi soucuu pozitif ç kms ols l, c. Testi soucu göre kiflide bu geetik bozuklu u vr olms ols l buluuz. 6. Üite Ols l k

147 erpilme Grfi i erpilme grfi i Kutu grfi i Grfikler e öemli isttistiksel temsil biçimleridedir. fiimdiye kdr hgi tür grfikleri ö rediiz? Aç kly z. Afl d Tblo.8 de Türkiye sttistik Kurumu ( TU K) trf d ç kl y l içi ylr göre ybc ziyretçileri kifli bfl ortlm hrcmlr gösterilmektedir. Bu bilgileri frkl grfiklerle gösterimi verilmifltir. Kifli Bfl Ortlm Hrcm ($) Kifli Bfl Ortlm Hrcm ($) Aylr Ock fiubt Mrt Nis My s Hzir Ock fiubt Mrt Nis My s Hzir Temmuz A ustos Eylül Ekim Ks m Arl k Aylr Temmuz A ustos Eylül Ekim Ks m Arl k Bulrd hgisi dire grfi i, hgisi çizgi grfi i ve hgisi de sütu grfi idir? Aç kly z. Tblo.8 Ock fiubt Mrt Nis My s Hzir Temmuz A ustos Eylül Ekim Ks m Arl k Arl k Ks m %8 %8 Ekim %9 Grfikleri iceleyerek s l çizildiklerii ç kly z. izce bu grfiklerde hgisi Tblo.8 deki verileri e iyi göstere bir isttistiksel temsil biçimidir? Aç kly z. Temmuz Grfikleri ölçekleri ile Tblo.8 deki veriler rs d s l bir iliflki %9 vrd r? Aç kly z. Grfiklerdeki ölçekler de ifltikçe grfi i görsel olrk lm s l de iflir? Aç kly z. Eylül %9 Aylr A ustos %9 Kifli Bfl Ortlm Hrcm ($) Ock %9 fiubt %9 Mrt %9 Nis %7 My s %7 Hzir %7 sttistik. Üite 7

148 Örek Afl dki cümlelerle iliflkili olrk yd verile grfikleri iceleyelim: s e kdr uzu olurs giydi- i ykkb umrs d o kdr büyük olur. Bu göre I. Grfikte de görüldü- ü gibi bir is ykkb umrs ile boyu rs d pozitif bir iliflki ( do ru ort ) vrd r. Uzuluk (cm) Yfl (y l) Okul Ol Uzkl k (km) Arb e kdr eski olurs fiyt o I. Grfik II. Grfik III. Grfik kdr düflür olur. Bu göre II. Grfikte de görüldü ü gibi bir rb yfl ile fiyt rs d egtif iliflki (ters ort ) vrd r. Okul e kdr uzkt oturdu u mtemtik derside e kdr bflr l olc etkiler. III. Grfikte görüldü ü gibi okul e kdr uzkt oturuldu u ile mtemtik derside e kdr bflr l olc rs d belli bir iliflki yoktur. Aykkb Numrs De er (TL) Mtemtik Kre Notu Afl d, bir çocuk doktoru gü içide muyee ol hstlr yfllr ve kilolr verilmifltir. yfl, kg yfl, 9 kg yfl, kg yfl, kg yfl, 6 kg yfl, kg 6 yfl, kg yfl, 7 kg 9 yfl, kg yfl, kg yfl, kg yfl, kg yfl, kg 7 yfl, kg 7 yfl, kg Ekselerde biri yfl di eri de kiloyu göstermek üzere her çocu u bilgisii bir okt ile temsil edecek flekilde bir grfik çizerek gösteriiz. Geel olrk grfi i fleklii ç kly z. Grfik üzeride verileri s l kümeledi ii ç kly z. Grfik üzeride kç frkl kümelemede bhsedilebilir? Aç kly z. Grfi i iceleyerek uç (di erlerie zr çok büyük vey küçük) de erleri olup olmd ç kly - z. Yfl ile kilo rs d s l bir iliflki gözlemliyorsuuz? Bu iliflki sizce e kdr kuvvetli bir iliflkidir? Aç kly z. Örek Afl dki Tblo.9 d bir futbol tk m oyuculr boy ve kütle bilgileri verilmifltir. Bu oyuculr boylr ve kütleleri rs dki iliflkiyi grfikle gösterelim: Boy de iflkeii de erlerii yty eksede l p dikey eksede kütle de iflkeii de erlerie krfl çizelim. Di er bir deyiflle, (Kütle (kg), Boy (cm)) s rl ikilileride olufl {(7, 7), (7, 69), (69, 7),..., (8, 87)} kümesii elemlr koordit sistemi üzeride gösterelim. Görüldü ü gibi geel olrk boy rtt kç kütlei de do rusl olrk rtt görülmektedir. Noktlr tm olrk bir do ru etrf d s rlmd ve rlr d ç kl klr buludu u düflüülürse boy ile kütle rs dki pozitif ck ort kuvvetli bir iliflki oldu u söyleebilir. Tblo.9 Kütle (kg) Boy (cm) Kütle Boy (kg) (cm) Kütle (kg) Boy (cm) 8. Üite sttistik

149 erpilme grfi i (vey serpilme diygrm ), iki frkl de iflke rs d e tür bir iliflki (korelsyo) oldu uu belirlemek içi kull l r. Buu içi de iflkelerde birii de eri (dikey eksede yer l), di- er de iflkei de erie (yty eksede yer l) krfl çizilir. Di er bir deyiflle, de iflkeler (, y) koorditlr gibi ele l r. Bu flekilde de iflkeleri rlr dki iliflkii sebebi görülemese de ilgili iki de- iflkei rs d direk olrk bir iliflki buluup bulumd ve bu iliflkii e derece güçlü oldu u belirleebilir. Arlr d do rusl bir iliflki bulu iki de iflkee krfl l k gele oktlr grfikte bir çizgi (do ru) boyuc uzckt r. Veri setie krfl l k gele oktlr bu çizgiye yklflt kç rlr dki iliflkii güçledi i lfl l r. De iflkeler rs dki iliflki her zm do rusl olmk zorud de ildir, dh krmfl k d olbilir. y y y y Kuvvetli Pozitif liflki 6 y Kuvvetli Negtif liflki 6 y Zy f Pozitif liflki Zy f Negtif liflki 6 liflki Yok 6 Krmfl k liflki Tblo.. Ydki Tblo. d bir grup ö recii mtemtik ve fizik dersleride Fizik Ö reciler ld klr yz l otlr görülmektedir. Bu Mtemtik göre ö recileri mtemtik ve fizik bflr lr rs d bir iliflki vr m d r? Aç kly z. A 6 6 B 68 7 C 7 7 D 7 77 E 7 78 F 7 7 G H 8 86 I Afl dki Tblo. de TU K verilerie göre - y llr rs d Türkiye de evlee ve bofl çiftleri sy lr verilmektedir. Tblo. Y llr Evleme Boflm * Bu göre;. Evlee çift sy s ile bofl çift sy s rs d s l bir iliflki vrd r? Grfik çizerek ç kly z. b. Y llr ile evlee çift sy s rs d s l bir iliflki vrd r? leriki y llr ( sors ) içi evlee çift sy s ile ilgili s l bir e ilim gözlemliyorsuuz? Grfik çizerek ç kly z. sttistik. Üite 9

150 c. Y llr ile bofl çift sy s rs d s l bir iliflki vrd r? leriki y llr ( sors ) içi evlee çift sy s ile ilgili s l bir e ilim gözlemliyorsuuz? Grfik çizerek ç kly z.. Afl d cümlelerde bofl b rk l yerleri uygu bir flekilde dolduruuz.. E er ve y de iflkeleri rs d pozitif bir iliflki vrs, rtrke... b. E er ve b de iflkeleri rs d egtif bir iliflki vrs, b rtrke... c. E er iki de iflke rs d bir iliflki yoks, serpilme grfi i üzeride oktlr... fleklide görülür. Kutu Grfi i Ald z ürüleri üzeride bze ortlm ( vsti) sy s vey rl y d ± XX gr gibi yz lr görmüflsüüzdür. Buu e lm geldi ii düflüdüüz mü? Bir ürüü her pketteki miktr y olmybiliyors, tüketiciler bu koud edifle duyml m d r? Nede? Bir tüketici sürekli ld kibrit pketlerii içide y sy d kibrit çöpü ç kmd frk eder ve sord ld 7 pketteki kibrit çöplerii sy s ot ederek Tblo. yi oluflturur. Tblo. Kutudki Kibrit y s Freks Veri setideki e küçük ve e büyük de eri bulrk bu de erleri e lm geldi ii ç kly z. Veri setii medy ( ortc) bulrk bu de eri e lm geldi ii ç kly z. Veri setii lt çeyrekli ii ve üst çeyrekli ii bulrk bu de erleri e lm geldi ii ç kly z. Veri setiyle ilgili yukr d buldu uuz de erleri göstere bir grfik oluflturmy çl fl z Örek, 6, 7, 8,,, 8, 7,,, 9,,,, 8,,, 6 Yukr dki veri seti içi e küçük de er, lt çeyrek, medy (ortc), üst çeyrek ve e büyük de eri bulrk bir grfikle gösterelim: Veri setideki 8 de eri büyükte küçü e do ru s rlyl m:,,,,,,, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9,,, Miimum de er, Mksimum de er 9. de er +. de er 6 7 Çift sy d veri oldu ud medy (ortc) + 6, Medy verile de erler rs d olmd içi veri setii iki prçy bölelim:,,,,,,, 6, 6 7, 7, 8, 8, 8, 9,,, Alt Üst Alt çeyrek, Üst çeyrek 8 Bu bilgileri fl dki gibi kutu fleklide bir grfikle gösterebiliriz Üite sttistik

151 Medy, küçükte büyü e do ru s rlm fl bir veri setii iki prçy böler. Medy solud kl verileri medy lt çeyrek (Q ), s d kl verileri medy ise üst çeyrek (Q ) deir. Alt çeyrek ve üst çeyrek de erlerii rs dki frk çeyrekler ç kl deir. Afl dki örekleri iceleyiiz: E Düflük De er Q Medy Q,,,,,,, 6, 6, 7, 7 Alt Üst Alt Çeyrek Q Medy Q Q, Medy Q 6, ,,,,,, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8 Alt Üst Bir veri setiyle ilgili e küçük de er, lt çeyrek (Q ), medy (ortc), üst çeyrek (Q ) ve e büyük de eri göstere grfi e kutu grfi i diyece iz. Kutu grfi ii olufltur bu befl sy, bir veri setii befl sy l özeti olrk d biliir. Üst Çeyrekler Q E Büyük De er Çeyrekler Aç kl , 76, 79, 76, 7, 7, 8, 7, 8, 79, 8 Yukr d veri setii kutu grfi i ile gösterelim: Kutu grfi ii çizebilmemiz içi veri setii e küçük de erii, lt çeyre ii (Q ), medy, üst çeyre ii (Q ) ve e büyük de erii bulmm z gerekir. Buu içi öcelikle verileri küçükte büyü e do ru s rlyl m Bu göre E küçük de er 7, E büyük de er 8 ve Aç kl k 8 7 tür. Yd gösterildi i gibi veri setii medy 79 dur. Bezer flekilde Q 7, Q 8 buluur. Bu göre, Çeyrekler ç kl Q Q dir. Bu de erleri gösterildi i kutu grfi i fl dki gibi olur. Q Q Q Medy Q 7, 7, 7, 76, 76, 79, 79, 8, 8, 8, 8 Alt Üst. Alttki kutu grfikleri, A ve B okuluu koflu tk m dki tletleri metreyi kç siyede kofltuklr göstermektedir. Bu göre;. Her bir tk m içi befl sy l özetii, b. Hgi tk m tletlerii di eridekilere göre dh h zl kofltu uu, c. Hgi tk m oyuculr it süreleri dh de iflke oldu uu bull m: A B Her iki tk m tletlerii metreyi koflm süreleri (siye olrk) ile ilgili e küçük de er, lt çeyrek, medy (ortc), üst çeyrek ve e büyük de er ydki gibidir. b. A tk m dki tletler geel olrk dh h zl koflmktd rlr. c. B tk mdki tletleri koflu süreleri dh de iflkedir. sttistik E düflük de er Alt çeyrek Medy Üst çeyrek E büyük de er Tk m A,6,6 Tk m B,,6,,8 sttistik. Üite

152 . Afl dki kutu grfikleride, A ve B s flr dki ö recileri yp l bir ortk s vd ld klr otlr verilmektedir. Bu göre;. Hgi s f ortc skoru dh yüksektir? b. Hgi s f skorlr medy skoru etrf d kümelemifltir? c. Hgi s f bu testte geel olrk dh iyi performs göstermifltir? Aç kly z. A fiubesi B fiubesi Ahmet, so 6 güdür sbh evde ç kt kt sor okul kç dkikd ulflt fl dki gibi ot etmifltir., 8,,, 9,,, 9,,, 7, 9,, 8,, Bu göre verilere it;. Medy lt ve üst çeyrekleri bulrk e lm geldi ii ç kly z. b. Ahmet i topld verileri göstere bir kutu grfi i çizerek grfi i yorumly z. Verileri Grfiksel Gösterimi Gülük hyt m zd bs l ve görsel medyd hgi tür grfikler krfl m z ç kmktd r? Bulr do ru ve yl fl kull mlr hkk d eler söyle- erpilme grfi i Kutu grfi i yebilirsiiz? Öre i; bors, döviz vb. ekoomik veriler hgi grfiklerle gösterilmektedir? Nede? Afl d verile bz gerçek yflm durumlr iceleyiiz. Bir e itim ö retim y l boyuc y s f seviyesideki iki flubei yz l pulr. Bir okulu, bütçesii s l hrcd. Bir hft boyuc, her gü içi, bir okulu spor slouu kull k z ve erkek ö recileri sy lr. Deiz suyudki kimysllr orlr. Atmosferdeki gzlr d l m. Bir mrkette gü boyuc her st dilimi içi l flverifl yp müflterileri sy lr. Verile durumlr ys tbilecek e uygu grfik türüü hgisi oldu u krr vererek, krr z edeleriyle ç kly z. eçti iiz grfik türüü kullrk durumu ys tbilecek örek bir grfik çiziiz. Çizdi iiz grfi i yorumly z. Geel olrk fl dki durumlr e iyi temsil ede grfik türlerii eler olbilece ii trt fl z. Bir de iflkei bir bütü içerisideki or, Bir de iflkei zm içerisideki de iflimi, Birde çok veri setideki sy sl de iflkeler rs dki iliflkiler, Verileri geiflli i, y l m.. Üite sttistik

153 Örek Afl d verile durumlr temsil etmek içi e uygu grfik türüü belirleyelim: y llr rs d Türkiye deki müzeleri ziyret ede toplm ziyretçi sy lr. b. kiflilik bir s ftki ö recileri e sevdikleri evcil hyvlr. c. Ö recileri IQ su ile ot ortlmlr rs dki iliflki. ç. Bir okuldki 9 ve. s f ö recilerii so bir hft içide ev ödevleri içi kç st hrcd klr. Milyo y llr rs d Türkiye deki müzeleri 6 ziyret ede toplm ziyretçi sy lr ile bir de iflkei belli rl klrl e ilimi yi zm içerisideki de iflimi göste- rilece i içi çizgi grfi i kullml y z. 8 b. kiflilik bir s ftki ö recileri e sevdikleri evcil 7 6 hyvlr ile bir krfl lflt rmy göstermek istedi imiz içi sütu grfi i kullml y z. E er mc m z s ftki ö recileri e sevdikleri evcil hyvlr sy lr de il de orlr krfl lflt rmk olsyd o zm dire grfi i kullmm z uygu olurdu. Freks Kedi Köpek Bl k Kufl Tvfl Kplumb Di er Evcil Hyv Ziyretçi y s Kplumb % 6 Tvfl % Kufl % 8 Di er % Kedi % 6 Bl k % 8 Y llr Köpek % 8 c. Ö recileri IQ su ile ot ortlmlr rs dki iliflki ile iki de iflke rs dki iliflki icelemek isteildi ide serpilme grfi i kullmm z uygu olur. ç. Bir okuldki 9 ve. s f ö recilerii so bir hft içide ev ödevleri içi kç st hrcd klr ile verileri geiflli i ve y l m icelemek isteildi ide kutu grfi i kullmk uygudur. 9. s f. s f Not Ortlms IQ skoru Zm içide gerçeklefle veri de iflikliklerii vey ö eler rs d yp l krfl lflt rmlr göstermek içi sütu grfi i; bir de iflkei bir bütü içerisideki or belirlemek içi dire grfi i; bir de iflkei belli rl klrl e ilimii yi zm içerisideki de iflimii icelemek içi çizgi grfi i; de iflkeler rs dki sy sl iliflkileri göstermek içi serpilme grfi i; verileri geiflli ii, y l m ö remek içi kutu grfi i e uygu grfik türüdür. erpilme Grfi i ütu Grfi i Dire Grfi i Çizgi Grfi i Kutu Grfi i 6 A B C D E sttistik. Üite

154 Afl dki durumlr her birii göstermek içi e tür bir grfi i kull m uygu oldu uu ç klyrk, durumu göstere uygu bir örek grfik çiziiz.. o y ld byrm ttili döüflleride trfik kzlr d öleleri sy s, b. K z ly frkl kmpylr soucu k b fl verileleride yol ç k lrk e çok e tür ( vey hgi) kmpylr bflr l oldu u, c. Frkl s f seviyeleride üiversiteli geçler rs d sigr kull m kousud yp l bir keti souçlr, ç. o y ldki iflsizlik orlr ve eflsyo orlr rs dki iliflki, d. Bir kredi krt ekstresideki hrcmlr d l m ( bezi / oto bk m, g d, giyim vb.), e. Arb kull rke cep telefou ile koufllr cil bir durumd reksiyo zmlr ile orml sürücüleri cil bir durumd reksiyo zmlr krfl lflt r lms. Merkezî E ilim ve Yy l m Ölçüleri Gerçek yflm durumlr d merkezî e ilim ve yy l m ölçülerii kull m Befl sorud olufl ve her soruu oru # üzeride de erledirildi- i bir s vd iki ö recii ld souçlr ydki gibidir. Her iki ö reci de s - Ö reci Ö reci vd di eride dh iyi bir souç ld iddi etmektedir. izce kimi s vdki performs dh iyidir? Aç kly z. Arçlr içi k fl lstikleri ürete iki firm y ölçülerdeki lstiklerii y rçt, y yol ve ortm flrtlr d deeyerek free ide ve tm bs ld kt sor durucy kdr geçe zm içide e kdr yol ld ölçe bir b ms z de erlediricii topld veriler Tblo. teki gibidir. Her iki mrk lstik içi e uzu ve e k s fre mesfesii hesply z. Her iki mrk lstik içi ortlm fre mesfesii hesply z. Her iki mrk lstik içi ortc fre mesfesii hesply z. Her iki mrk lstik içi fre mesfesii moduu hesply z. Her iki mrk lstik içi fre mesfesii rl hesply z. Tblo. Lstik Mrks Arc Durm Mesfesi (metre) A B Her iki mrk lstik içi fre mesfesii stdrt spms hesply z. Her bir mrk içi hgi merkezî e ilim ve yy l m ölçüsü fre mesfesii e iyi flekilde temsil etmektedir? Aç kly z. Arc z içi hgi mrk lsti i lmk isterdiiz, A m yoks B mi? Cevb z edeleriyle ç kly z. Örek,, 6,, 7, 8,, 9,,,, 9,,,,, 8,,,,,, 8 Yukr d, bir grup yetiflkii hftl k kç st televizyo seyretti i verisi suulmktd r. Bu verilere it e yüksek de er, e düflük de er, rl k, ritmetik ortlm, ortc (medy), mod (tepe de eri) ve stdrt spmy hesplyl m: Öce verileri küçükte büyü e do ru s rlyl m: Veri setideki e düflük de eri, e yüksek de eri oldu u görülmektedir.. Üite sttistik

155 Veri setii rl e yüksek ve e düflük de erleri frk yi dir. Bu durumd bu veri setideki bireyler hftd e z, e çok st televizyo seyretmektedir. Di er bir deyiflle hftl k televizyo seyretme zm ile st rs d de iflmektedir. Veri setide e çok tekrr ede de er (mod vey tepe de eri), ve dur. Di er bir deyiflle e fzl televizyo seyretme, ve sttir. Birde fzl mod de eri oldu u içi mod tek bfl verideki e ilimi göstermekte yetersizdir. Veri setideki de erleri ritmetik ortlms, veri setideki tüm de erleri toplm veri sy s bölümesi ile buluckt r: ] g 98 6 Di er bir deyiflle bu yetiflki grubudki bireyler hftd ortlm 6 st televizyo seyretmektedir. Veri setide yi tek sy d veri oldu u içi ortc (medy) tm ortdki yi s rlm fl veri setide. s rdki de er ol 8 dir. Bu göre veri setideki yetiflkileri % si 8 stte z, % si 8 stte fzl televizyo seyretmektedir. Veri setide çok büyük (öre i, ) ve çok küçük (öre i, ) de erler oldu ud, bu veri setii e ilimii belirlemede ortc (medy), ritmetik ortlmd dh s l kl bilgi vermektedir. Verileri stdrt spms veri setideki de erleri ritmetik ortlmd spmlr krelerii toplm veri sy s bir eksi ie or kreköküdür. Bu göre; ` - j + ` - j ` -j ] - 6g + ] 8-6g ] -6g, 9 dur. - Aritmetik ortlm 6 oldu u düflüülürse,9 luk bir stdrt spm de erii yüksek oldu u söyleebilir. Di er bir deyiflle veri setideki bireyleri hftl k televizyo seyretme stleri büyük bir de iflkelik göstermektedir. Bir veri setideki tüm verileri toplm veri sy s bölümesi soucu elde edile de er... e o ritmetik ortlmd r. Aritmetik ortlm, veri grubudki çok büyük ve çok düflük de erlere duyrl d r. Bu tür de erler olmd d ritmetik ortlm, vr ol durumu orty koymd vey gelecek ile ilgili thmi ypmd kull fll bir ortlm çeflididir. rl bir veri setide ortdki de er, ortc ( y d medy) de erdir. Büyükte küçü e do ru s - rlm fl -te veri içi medy, Z + d ]. terim tekise Medy [ d r. ] d ve d + terimleri ritmetik ortlms çiftise \ Veri grubud çok büyük ve çok düflük de erleri olms durumud ortc, ritmetik ortlmd dh s l kl bilgi verir. Bir veri grubud e çok tekrr ede veriye mod y d tepe de eri d verilir. Bir veri grubud tekrr ede veri yoks o veri grubuu tepe de eri yoktur. Ay sy d veri olms durumud ise tepe de eri birde fzl de er lbilir. Bir veri grubud e tipik özellik vey e tipik de er belirlemek isteiyors tepe de erie (mod) bk lml d r. Bir veri setideki e yüksek ve e düflük de er rs dki frk, ç kl k vey rl kt r. tdrt spm, veri grubudki d l m e yyg l kt oldu uu göstere bir ölçüdür. Bir veri grubudki verileri stdrt spms hesplmk içi verileri ritmetik ortlms buluur. Her bir veri ile ortlm rs dki frk buluur. Bulu frklr her birii kresi l r ve elde edile sy lr topl r. Bu toplm, veri sy s eksi ie bölüür ve bölümü krekökü buluur J N K ` K / i - j O O i. K O L - P Aritmetik ortlm, ortc (medy), mod ( tepe de eri) merkezî e ilim; ç kl k (vey rl k) ve stdrt spm ise merkezî yy lm ölçüleridir. sttistik. Üite

156 . Tblo. te iki jimstikçii so yr flt ld klr skorlr ( üzeride) gösterilmektedir. Bu göre süreç içeriside hgisii dh iyi bir performs sergiledi ii bull m: Tblo. Her bir jimstikçii verisi içi e yüksek de er, e düflük de er, rl k, ritmetik ortlm, ortc (medy), mod (tepe de eri) ve stdrt spmy hesplrsk fl dki de erleri elde ederiz.. Jimstikçi E Yüksek De er E Düflük De er Arl k (Aç kl k) Aritmetik Ortlm Mod Medy tdrt pm. Jimstikçi. Jimstikçi 9 6 6,9 6, ,,97 E büyük ve e küçük de erlere bk lrk iki jimstikçi rs d seçim ypmk yl fl olckt r. Çükü her iki de erde de biriiki di erie göre y frkl dh iyidir. Ack rl k (ç kl k) de erleri iceledi ide. jimstikçii. jimstikçiye göre skorlr rl dh düflük oldu u di er bir deyiflle e büyük ve e küçük de erleri rs d dh düflük bir frk; doly s yl d sporcuu dh z yy lm fl skorlr oldu u görülmektedir. Her iki jimstikçi içi ritmetik ortlmlr ve medy y d r. Doly s yl bulr bkrk d bir yrg y vrmk mümkü de ildir. Öte yd, her iki jimstikçi içi skorlr ritmetik ortlms y ike. jimstikçii skorlr stdrt spms dh düflüktür. Di er bir deyiflle. jimstikçii skorlr. jimstikçiikie göre dh çok ritmetik ortlm etrf d kümelemifltir. Bu edele. jimstikçii dh tutrl doly s yl bflr l oldu u söyleebilir Jimstikçi Tblo. çile su (brdk olrk) Toplm 6 kiflii çl flt bir iflyerie su sebili l ckt r. Bu iflleride su tüketimii ve gide- Freks ri pllms içi çl fllrl yp l bir kette, çl fllr gülük kç brdk su tükettikleri sorulmufltur. Aketi souçlr Tblo. te gösterildi i gibidir. Bu göre hgi merkezî e ilim ve yy l m ölçüsü, bu iflyeride çl fl bir is ortlm e kdr su tüketti ii e iyi göstergesidir?. E er ö retmeiiz yz l ve sözlü s v soucud olufl otlr zd döem sou kre otuuzu hesplmk içi istedi iiz merkezî e ilim ölçüsüü kullmkt serbest b rksyd hgisii seçerdiiz? Nede?. çide çok büyük y d çok küçük (s r d fl ) de erler bulu bir veri setii de erledirirke hgi merkezî e ilim ölçüsüü kullmk istersiiz? Nede? tdrt Pu tdrt pu z pu T pu z T vlrd ld m z souçlr yorumlrke, hgi s vd dh bflr l oldu umuz s l krr veririz? Öre i ortlms, stdrt spms ol birici mtemtik yz l s d 6; ortlms, stdrt spms ol ikici yz l d d 7 l bir ö recii, hgiside dh bflr l oldu uu düflüürsüüz? Cevb z edeleriyle ç kly z. 6. Üite sttistik

157 Ayfle, otlr ritmetik ortlms 68 ve stdrt spms, oldu u fizik yz l s d üzeride 7 ld. Notlr ritmetik ortlms 6 ve stdrt spms 6,8 oldu u kimy yz - l s d ise üzeride 66 ld. Fizik s v içi s f geel durumu ile Ayfle ikii krfl lflt r z. izce Ayfle i ld souç s ftki di er rkdfllr z göre s ld r? Aç kly z. Kimy s v içi s f geel durumu ile Ayfle ikii krfl lflt r z. izce Ayfle i ld souç s ftki di er rkdfllr göre s ld r? Aç kly z ve de erlerii Ayfle i s rs yl fizik ve kimy s v souçlr s f içideki yerii belirlemede e lm gelece ii, 68, trt fl z ve de erlerii buluuz., 68, Ayfle hgi dersi s v d dh iyi bir performs göstermifltir? Aç kly z. X, bir veri setideki bireysel bir veriyi;, veri setii ortlms ve de veri setii stdrt spms göstermek üzere geel olrk X- ifdesii e lm geldi i trt fl z. Örek eviye Belirleme v 8. f Türkçe testii ( soru) ortlms, ve stdrt spms 6,6 d r. Bu s vd Türkçe testide s rs yl 9 ve eti ol iki ö recii performslr ortlmd ol frk stdrt spm ciside bull m: Öğrecii Neti - ıv Ortlmsı 9 -,,,9 tdrt pm 66, Öğrecii Neti - ıv Ortlmsı -,, -, tdrt pm 66, Bu tür bir hesplmy s v gire di er ö reciler içi de ypt m z düflüürsek, buldu umuz souçlr ritmetik ortlms ve stdrt spms olur. Gözlee pulr ortlmd ol frklr stdrt spm ciside belirtilmesie stdrt pu diyece iz. Yp l ölçümlerde elde edile pulr ritmetik ortlms s f r (), stdrt spms bir () kbul edildi i stdrt pulr z pulr d r. z pu, bir pu ortlmd kç stdrt spm uzkt oldu uu gösterir ve Döüfltürülecek Pu - Aritmetik Ortlm X z - tdrt pm formülü ile buluur. Herhgi bir pu z pu döüfltürerek, verile bir pu stdrt spmy göre ortlm e kdr lt d vey üstüde kld belirleyebiliriz. z pulr egtif (-), s f r () vey odl k kesir olrk ç kms muhtemeldir. Bu edele z pu s l ki verile pulr ortlms, stdrt spms ol pulr döüfltürüyors, bir bflk stdrt pu ol T pu d verile pulr ortlms, stdrt spms ol pulr döüfltürürüz. z pulr d T pulr geçifl T z + formülü ile elde edilir. sttistik. Üite 7

158 Tblo.6. Afl d Tblo.6 d Bület, Ayfle ve Nermi i bir v I v II v III dersi üç s v d ld klr pulr ve bu s vlr içi s f ortlms ve stdrt spm verilmektedir. Tblod verile de erlere göre fl dki isteileleri bull m:. Bület hgi s vd dh bflr l d r? b. Bu üç ö recide hgisi dh bflr l d r? c. Bu üç ö recii z pulr T pu olrk edir? Aritmetik Ortlm tdrt pm Bület Ayfle Nermi ç. Bu üç s vdki z pulr s rs yl, ve, ol bir ö recii s vlrd ld gerçek pulr edir? d. Bu üç s vdki T pulr s rs yl, ve 6 ol bir ö recii s vlrd ld gerçek pulr edir?. Bület i üç s vd ld pulr stdrt pulr, z pulr döüfltürelim. z z ıv - ıv - X X X ,, ıv - - X ıv ıv ıv ıv ıv - v II içi ol z pu e büyük oldu u içi Bület i di erlerie göre e bflr l oldu u s v budur. b. Yukr d buldu umuz z pulr T z + b t s d yerie koyrk ilgili T pulr fl dki gibi hesplybiliriz. z pulr krfl lflt rd m zd v I de her üç ö reci de y performs gösterirke v II ve v III de Bület, Ayfle ve Nermi e göre dh iyi performs göstermifltir. Doly s yl bu üç ö reci rs d Bület i di erlerie göre bu s vlrdki bflr s dh iyidir. Bezer flekilde Ayfle i bflr s d Nermi e göre dh iyi oldu u gözleebilir. Bület Ayfle Nermi v I,,, z Pulr v II v III, c. Yukr d buldu umuz z pulr T Pulr T z + b t s d yerie koyrk ilgili T pulr ydki gibi hesplybiliriz. Bület ç. Yukr d buldu umuz z pulr Ayfle T z + b t s d yerie koyrk ilgili T pulr fl dki gibi Nermi hesplybiliriz. z ıv - X v I v II v III,. + 6,,. + 6,,. + 6, , X v I içi -, - 6 X,. + 6 X, buluur. X v II içi - X + X buluur. X v III içi - X. + X 7 buluur. ç. T z + oldu ud, v I içi T ve z + z, v II içi T ve z + z ve v III içi T 6 ve 6 z + z buluur. Bu z pulr, gerçek pu ortlmd kç stdrt spm fl d y d yukr d oldu uu belirtti ide ö recii ld - gerçek pulr s rs yl 6, ve 6 olrk buluur. X ıv ıv ıv - 8. Üite sttistik

159 . Ortlm 7 ve stdrt spm oldu u bir s - vd bz ö reciler içi Tblo.7 de verile bilgileri kullrk bofl b rk l yerleri dolduruuz.. Liss Yerlefltirme v d tüm dylr içi (66 76 kifli) kimy testii ( soru) ortlms, ve stdrt spms 8,6 olrk belirlemifltir. Ay s vd biyoloji testii ( soru) ortlms,7 ve stdrt spms 7, dir. Bu s vd kimyd ve biyolojide er et yp bir dy hgi testte dh bflr l sy lbilir? Aç kly z. Tblo.7 T Pu Z Pu vd Al Pu Leyl Mehmet evgi elim fiebem Okty K ,7... -, , Afl dki de iflkeler rs dki iliflkiyi göstere serpilme grfi ii lttkiler rs d bulup eflleyiiz. : y fl miktr : klp t fl h z : güdüz uzulu u y: bölgedeki brjlr doluluk miktr y: okum h z y: gece uzulu u y y y. Afl dki kutu grfi i bir s ftki ö recileri, pulms üzeride yp l bir s vd ld klr otlr göstermektedir. Bu göre fl dki boflluklr uygu bir flekilde dolduruuz Testteki e yüksek skor... b. Testteki e düflük skor... c. f yr s s vd... vey dh yukr ld. ç. f e yüksek % i s vd e z... d. f ort yr s... ile... rs d bir souç ld. e. v souçlr içi çeyrekler ç kl.... Bir rehber ö retme, sorumlu oldu u iki flubedeki ö recileri bir e itim-ö retim y l boyuc devms zl klr fl dki gibi ot etmifltir. A fiubesi,,,,,,,,, 6, 7, 7 7, 7, 7, 8, 8, 8,,,,,,, 7 B fiubesi,,,,,,,,,,,,,,, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9. Bu veri setii göstermek içi e tür bir grfik kullmk e uygu olur? Aç kly z. b. Üstte seçti iiz grfik türüü kullrk verileri grfikle gösteriiz. c. Her bir flubedeki ö recileri devms zl k verilerie iliflki e yüksek de er, e düflük de er, rl k, ritmetik ortlm, ortc (medy), mod (tepe de eri) ve stdrt spmy buluuz. ç. Her iki flubedeki ö recileri devms zl klr krfl lflt r rsk eler söyleyebiliriz? Bu veri setie göre dh çok hgi flubedeki ö recileri devms zl k ypt söyleyebiliriz? d. Her ö recii devms zl k verisi içi z ve T pulr hesply z.. Afl d bir s ftki ö recileri, pulms üzeride yp l bir s vd ld klr otlr görülmektedir. 9, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 78, 76, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 68, 68, 68, 68, 67, 6, 6, 7, 7, 7,, 8, 8, 8. Notlr d l m iceleyerek s f geel durumuu s l oldu u krr veriiz. Buu içi hgi merkezî d l m ve yy l m ölçülerii kull rs z? Nede? b. Notlr bir grfikle göstermeiz istese e tür bir grfik kull rs z? Nede? c. Üstte seçti iiz grfik türüü kullrk verileri grfikle gösteriiz. ç. Her ö recii z pu ve T pu buluuz. sttistik. Üite 9

160 ! +! + 6!.. kiflilik bir grupt, kiflilik bir grup ve bu ifllemii soucu kçt r? 6! + 7! + 8! grupt bir bflk, kç de iflik biçimde seçilebilir? A) B) C) D) E) 6 A) 76 B) 8 C) 8 D) 8 E) 9. ] + g! C ^, h+ P ^, h ] - g! eflitli ii s ly kçt r? A) B) C) D) 6 E) 7. D YALOG sözcü üdeki hrfleri kullrk D ile bflly, lml y d lms z 7 hrfli kç sözcük oluflturulbilir? A) B) C) D) E) 6. A {,,,, } kümesii elemlr kullrk rkmlr frkl, üç bsmkl, de küçük kç sy yz lbilir? A) 6 B) C) D) E) 8. 7 eleml bir kümei, e çok eleml lt küme sy s ; e z 6 eleml lt küme sy - s b ise + b kçt r? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. sy s rkmlr yer de ifltirilerek ile bflly p ile bite, 9 bsmkl kç de iflik sy yz lbilir? A) 8 B) C) D) E) 7. 8 erkek, k z rs d bir bflk, bir sekreter seçilecektir. ekreteri k z olms kofluluyl, kç de iflik seçim yp lbilir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 6 E) 6 8. fizik, kimy ve mtemtik kitb, y türde kitplr bir rd ve mtemtikler ortd olmk kofluluyl bir rf kç de iflik biçimde yerlefltirilebilir? A) 6 B) 69 C) 7 D) 7 E) Bir grup rkdfl, iki koltu, frkl flekilde oturbiliyor. Bu grup, koltu kç frkl biçimde oturbilir? A) B) 8 C) D) E). kiflilik bir grupt biri 6, di eri kiflilik grup oluflturulckt r. Bu iki grup kç frkl biçimde oluflturulbilir? A) 9 B) 9 C) D) E). {,,,, } kümesii eleml lt kümelerii kç teside buluur? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. k z, 6 erkek ö reci rs d, yl z k z ve yl z erkeklerde olufl ve kiflilik gruplr oluflturulckt r. Kç frkl grup oluflturulbilir? A) B) 6 C) 6 D) 6 E) 7. mdeî pr ile zr y d t l yor. Prlrd e z birii yz ve zrlr üstüdeki sy lr eflit olm ols l kçt r? 7 A) B) C) D) E) ö retme, 6 ö recii buludu u bir grupt, içide e z ö retme bulu kiflilik bir grup kç de iflik biçimde oluflturulbilir? A) 9 B) 9 C) D) E) 6. Bir torbd, y büyüklükte beyz, siyh, mvi bilye vrd r. Torbd, geri t lmmk koflulu ile rk rky bilye çekersek biricisii siyh, ikicisii mvi, üçücüsüü beyz olm ols l kçt r? A) B) C) D) E) 7. E öreklem uzy d iki oly, A ve B dir. P(A'), PA ] + Bg ve P(A' B') ise P(B) kçt r? 6 A) B) C) D) E) Ay büyüklükte k rm z, beyz bilyei buludu u bir torbd bilye l d d, bulr e z birii k rm z olm ols l kçt r? 7 9 A) B) C) D) E) 9. ki torbd biriciside sr ve k rm z, ikiciside sr ve k rm z top vrd r. Torblrd biri rstgele l p içide bir top seçilirse bu topu sr olm ols l kçt r? (Toplr y büyüklüktedir.) 9 A) B) C) D) E). Üite Çözümlü Test

161 .! +! + 6!! ] g 6! + 7! + 8! 6! ] g ] + g!. C ^, h+ P ^, h ise ] - g!. ] - g ] - g!.. ] + g +. ] - g. ] - g!. ] - g. ] + g + buluur. 6 olur. CEVAP : A CEVAP : C. özcükler D ile bfllyc d D ve hrfleri s rlmy dhil edilmez. Y, A, L, O, G hrflerii frkl s rl fllr sy s, istee sy d r. Bu durumd! sözcük oluflturulbilir. CEVAP : A. stee sy lr, Yüzler Olr Birler de küçük olc d yüzler b- sm d vey rkmlr kull lbilir. Yi, yüzler bsm d kull lbilecek rkm sy s dir. Yüzler bsm d bir rkm kull ld d olr bsm d, kl rkm, birler bsm d d kl rkm kull lbilir. Çrpm kurl göre istee sy lr sy s,.. olur. CEVAP : C. 7 eleml bir kümei e çok eleml lt kümelerii sy s eleml, eleml ve eleml lt küme sy lr toplm d r. Bu durumd; C(7, ) + C(7, ) + C(7, ) olur.. 7 eleml bir kümei e z 6 eleml lt kümelerii sy s 6 eleml ve 7 eleml lt kümelerii sy lr toplm d r. Bu durumd, b C(7, 6) + C(7, 7) olur. O hâlde, + b buluur. CEVAP : C 6. ile bflly p ile bitecek sy lr oluflturc- m zd ve s rlmy dâhil edilmez. Geriye kl,,,,,,, rkmlr d; te, te ve te oldu ud ile bflly p ile bite dokuz bsmkl sy - lr sy s ; 7!! buluur.!.!.!!.. CEVAP : C 7. k z rs d sekreter, C (, ) frkl flekilde seçilebilir. Kl kiflide bflk, C(, ) frkl flekilde seçilebilir. Çrpm kurl göre istee sy, C(, ) C(, ) 6 buluur. CEVAP : D 8. Fizik ve kimy kitplr, y türde ollr bir rd olmk üzere mtemtik kitplr s - ve solu! kdr frkl flekilde koyulbilir. Ayr c, fizik kitplr kedi rlr d!, kimy kitplr kedi rlr d! ve mtemtik kitplr kedi rlr d! kdr frkl flekilde s rlbilir. Çrpm kurl göre istee sy,!!!! 78 dir. CEVAP : E 9. Grupt kifli bulusu. kifli koltu oturc d s rlm öemlidir. Yi permütsyo kull l r. Bu durumd; P(, ) ( ) ( 7)( + 6) 7 olur. 7 kifli koltu, P( 7, ) frkl flekilde oturbilir. P(7, ) 7 6 buluur. CEVAP : C. kiflide 6 kifli, C(, 6) frkl flekilde seçilebilir. Geriye kl, 6 kiflide kifli C(, ) frkl flekilde seçilebilir. Çrpm kurl - göre, C^, 6h. C^, h buluur CEVAP : E. kiflilik bir grupt kiflilik bir grup, C(, ) frkl flekilde, bu kiflide bir bflk ise C(, ) frkl flekilde seçilebilir. Çrpm kurl göre, C^, h. C^, h 8 buluur.... CEVAP : D Çözümler. Üite

162 . Oluflturulck eleml lt kümelerde rkm mutlk buluc d di er elem, {,,, } kümeside seçilmelidir. Bu seçim. ise, C^, h 6 frkl flekilde yp lbilir.. CEVAP : B. k z rs d k z, C(, ), 6 erkek rs d erkek, C( 6, ) frkl flekilde seçilebilece ide kiflilik k z ve kiflilik erkeklerde olufl gruplr sy s, C^, h. C^6, h (I) olur. 6 erkek rs d erkek, C( 6, ) kdr k z rs d k z, C(, ) kdr frkl flekilde seçilebilece ide erkek ve k zd olufl gruplr sy s, 6.. C ^ 6, h. C ^, h... (II) olur... stee cevp, I ve II souçlr toplm olc d, + buluur. CEVAP : A. mdeî pr t lms deeyide, s(e) 8 dir. A, prlrd e z birii yz gelmesi oly olsu. Bu durumd, A {YYY, YYT, YTY, YTT, TTY, TYY, TYT} ve sa ] g 7 s(a) 7 olur. Öyleyse, PA ] g olur. se ] g 8 zr t lms deeyide, s(e) 6 d r. B, zrlr üzerideki sy lr eflit gelmesi oly olsu. Bu durumd, B { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, 6) } ve s(b) 6 olur. sb ] g 6 Öyleyse, PB ] g buluur. se ] g 6 6 A ve B olylr b ms z olylr oldu ud, 7 7 PA ] + Bg PA ] g. PB ] g buluur CEVAP : B. + 6 kiflide, kifliyi, C(, ) kdr frkl flekilde seçebiliriz. Oluflturul kiflilik gruplr sy s d, içide hiç ö retme bulumy yi hepsi ö reci ol kiflilik gruplr sy s ç kr rsk elde edile sy, içide e z bir ö retme bulu, kiflilik gruplr sy s olur. 6 ö recide ö reciyi, C( 6, ) kdr frkl flekilde seçebiliriz. Bu durumd, istee sy, C^, h- C^6, h olur. CEVAP : B 6. Torbd, + + bilye vrd r. Çrpm kurl göre. i siyh,. i mvi,. ü beyz olm ols l, buluur. CEVAP : E 7. P(A') P(A) P(A') - olur A' B' (A B)' oldu ud; P(A' B') P(A B)' dir P(A B) P(A B)' - olur. 7 7 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) eflitli ide, PB ] g- PB ] g buluur. CEVAP : C bilyede bilye, C(9, ) kdr frkl flekilde seçilebilece ide, se ] g C^9, h 8 olur... A, e z bir bilyei k rm z olm oly olsu. Bu durumd, A', hiçbirii k rm z olmm oly olur. Yi, A', üü de beyz olm oly d r. beyz bilyede, beyz bilye, C(, ) kdr frkl flekilde seçilebilece ide,.. sa ] ' g C ^, h.. sa ] ' g PA ] ' g se ] g 8 II. torbd sr top çekme ols l, oldu ud istee souç, olur. O hâlde, olur. Bu durumd, 7 P(A) P(A') - buluur. CEVAP : A 9. Torblrd birii çekme ols l, ; I. torbd sr top çekme ols l, ; 6 dur. 7 CEVAP : A. Üite Çözümler

163 . Zehr ve Ykup, bir zr iki kez t ld d biriciside, ikiciside 6 gelme ols l hesplycklrd r. Hgisii ypt ifllem do rudur? Nede? Zehr Ykup Afl dki oktl yerleri uygu flekilde dolduruuz.. eleml, solu bir A kümesii elemlr frkl her s rl fl, A kümesii... b. eleml, solu bir A kümesii r eleml (r ) her lt kümesi bu kümei... c.... s r öemlidir,... s r öemli de ildir. ç. Öreklem uzy her bir lt kümesi..., bofl küme... oly, E öreklem uzy d... olyd r.. fiekildeki ABCD prlelker üzeride rstgele seçile bir okt boyl bölgede olm ols l kçt r? 6 8 D E C. _ - i ç l m d olufl rsyoel kt sy l terimleri kt sy lr toplm kçt r? A) 9 B) C) D) 8 E) 86. Bir torbd bir miktr mvi ve sr top vrd r. Bu torbd çekile toplr torby t lmmk koflulu ile rt rd iki top çekiliyor. Çekile toplrd biricisii sr, ikicisii mvi olm ols l ise bu torbd kç mvi top olbilir? 7 A) B) C) D) 6 E) 7 6. A {,,,, } kümesii elemlr kull lrk de büyük, bsmkl, rkmlr frkl kç sy yz lbilir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) çocuk ve 6 kd rs d, içide e çok çocuk bulu kiflilik bir grup, kç frkl flekilde seçilebilir? A) 686 B) 687 C) 688 D) 689 E) 69 A B 8. d ve d A B C D d do rulr üzerideki d 9 okt ile E F K L M oluflturulbile tüm üçgelerde si rstgele seçiliyor. Bulr ikisii de bir köflesii A olm ols l kçt r? A) B) C) D) E) Bir ö reci, ritmetik ortlms, ve stdrt spms,8 ol bir mtemtik s v d üzeride 6 lm flt r. Ay ö recii, ritmetik ortlms 8,7 ve stdrt spms 8,7 ol Türk Dili ve Edebiyt dersii s v d mtemtikte gösterdi i performs y s gösterdi i bilidi ie göre bu s vd kç lm fl olbilir?. Ayfle, bir ödev içi yflm bekletisi (düfley ekse) ve içile sigr sy s (yty ekse) krfl lflt r bir serpilme grfi i çizmek istiyor. Ayfle i çizece i serpilme grfi ideki oktlr s l bir e ilim göstermesi bekleir? A) Yty bir do ru boyuc yy lmlr B) Pozitif e imli bir do ru boyuc yy lmlr C) Negtif e imli bir do ru boyuc yy lmlr D) Dikey bir do ru boyuc yy lmlr E) Herhgi bir do ru boyuc yy lmmlr. Afl dki kutu grfi i, Düy dki bz flehirlerde gü içide kydedile hv s ckl ( C) göstermektedir. Bu göre kutu grfi ii çizmek içi kull l veri grfi i ile ilgili fl dkilerde hgisi do rudur? A) Üst çeyrek 6 C dir. B) Alt çeyrek C dir. C) Çeyrekler ç kl C dir. D) 6 C di er verilere k ysl yk r bir de erdir. E) Medy 6 C dir. De erledirme. Üite

164 . Afl dki ifdelerde do ru ollr bfl dki kutuy D, yl fl ollr bfl dki kutuy Y yz z.. 8 kifli, y y ol sdlyeye 6 frkl flekilde oturbilir. b. çleride belirli ü dim y y olmk flrt yl 7 kifli yuvrlk ms etrf d de iflik biçimde oturbilir. c. ö retme, ö reci bir yuvrlk ms etrf d oturdu ud ö retmeleri y y olm ols l dir. 6 ç. A {, b, c, d, e, f} kümesii lü permütsyolr 9 teside vey b de biri buluur.. kiflilik seyht grubudki k zlrd seçilecek ikiflerli gruplr sy s, erkekleri sy s eflittir. Bu grupt kç k z vrd r? A) B) C) D) 6 E) 7 7. _ + i ç l m d lü terim bflt kç c terimdir? A) B) C) D) 6 E) 7. Ydki gibi bir çrk üzeride oy çrk felek oyuud rekli bölgeleri her birii l eflittir. Bu göre;. Çrk bir kez dödürülürse oku k rm z bölgede durm ols l kçt r? b. Çrk bir kez dödürülürse oku sr bölgede durm ols l kçt r? c. Çrk rk rky iki kez dödürülürse oku her ikiside de sr bölgede durm ols l kçt r? ç. Çrk rk rky iki kez dödürülürse oku ilkide mvi, ikiciside sr bölgede durm ols l kçt r?. ki torbd biriciside sr, mvi; ikiciside sr, mvi bilye vrd r. stgele seçile bir torbd bir bilye l yor. Al bilyei mvi oldu u biliiyors buu. torbd l m fl olm ols l kçt r? A) B) C) D) E) Eyme i bz dersleri ilk yz l s vlr d ld otlr ( üzeride), s f ritmetik ortlms ve stdrt spms fl dki tblod gösterilmektedir. Bu göre,. Her bir ders içi Eyme i z pu hesply z. b. Eyme i bu s vlrdki performs e iyide e kötüye do ru s rly z. Dersler Mtemtik Fizik Kimy Biyoloji gilizce Not Aritmetik Ortlm tdrt pm, 9,6,6,9, 7. Türkiye de st l lkol ve tütü mmullerii vergi ky tlr iceleyerek Türkiye i her ili içi kifli bfl lkol tüketimi (-eksei) ile sigr tüketimii (y-eksei) bir serpilme grfi i ile gösterdi imizi ve iki de iflke rs d yüksek pozitif iliflki buldu umuzu vrsyl m. Bu göre fl dkilerde hgisi bu durum içi uygu bir ç kr md r? A) Çok sigr içilmesi dh fzl lkol tüketimie sebep olmktd r. B) Çok lkol tüketilmesi dh fzl sigr tüketimie sebep olmktd r. C) igrd l vergi e kdr yüksekse sigrd l vergide o kdr yüksek olmktd r. D) igr tüketimi ile lkol tüketimi rs d pozitif bir iliflki vrd r. E) Hiçbiri 8. Afl dki kutu grfi i, bir bölgede meteoroloji trf d kydedile e yüksek rüzgr h zlr göstermektedir. Bu göre kydedile rüzgâr h zlr yüzde kç km/s. ile 7 km/s. rs dd r? A) % B) % C) %7 D) % E) Hiçbiri. Üite De erledirme

165 Gülük hyt m zd, soucu belli durumlrd yol ç krk bz geellemeler ypr z ve bulrd çeflitli souçlr ç kr r z. Öre i, XX. yüzy l öde gele mtemtikçileride George Póly [ Corç Puly (887-98)], fl dki mt k yürütmeye göre Tüm tlr y rektedir. soucu ulflm flt r. izce Póly bu mt k yürütmede s l bir ht ypm flt r? E er sdece bir t vrs bu t regi tektir. te t oldu u herhgi bir t sürüsüde bütü tlr regii bhsetti imiz ilk t regiyle y oldu uu vrsyl m. fiimdi de ( + ) te t oldu u bir t sürüsü düflüelim ve tlr, de ( + ) e kdr umrld rl m. umrl t d flr y l rsk z öceki kbulümüzde doly kl te t y rekte olckt r. Ay ifllemi;,,..., + umrl tlr içi tekrrld m zd d y durum olckt r. Doly s yl tüm tlr y rektetir. Afl d, dizileri gülük hytt erelerde kull ld örekler verilmektedir. Her bir mddeyi iceleyerek dizileri bu durumlrd s l kull ld rflt r z. leriye döük mli ve ekoomik thmiler Çevresel modellemeler T bbi teflhisler Edüstride kull l teçhiztlr bk mlr ve r z tespitleri Yukr d bhsedile durumlr hgi mesleklerle ilgilidir? Bu meslekleri ve bu mesleklerde mtemti i rolüü rflt r z.. Bölüm

166 Projei Adı: Fibocci (Fiboççi) ve Lucs (Lük) y Dizileri Projei Amcı: Fibocci ve Lucs Dizileri yle oluflturulmufl bz öermeleri do rulu uu tümevr m yötemi ile göstermek Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci. Leordo Fibocci ( Leordo Fiboççi) ve Edourd Lucs ( Edurt Lük) hytlr ve elerle u rflt klr rflt r z.. Fibocci y lr edir? Arflt r z.. Fibocci y Dizisi i do d, is vücudud, mimride, stt ve dh bflk erelerde, s l krfl m z ç kt rflt r z.. Lucs y lr edir? Arflt r z. Projei İçeriği. Fibocci ve Lucs y Dizilerii t mly z. Bu dizileri erelerde ve s l kull ld öreklerle ç kly z.. Projeiz, fl dki sorulr ve bu sorulr cevplr içermelidir.. Dört y duvrlrl çevrili bir yere bir çift tvfl komufltur. Her çift tvfl bir y içide yei bir çift tvfl yvruld, her yei çifti de ergileflmesi içi bir y gerekti i ve tvfllr ölmedi i vrsy l rs; i. 8 y soud kç çift tvfl olur? ii. y soud kç çift tvfl olur? b. Ydki flekilde oldu u gibi s do ru uzy bir bl pete i üzeride bulu bir r, umrl gözee e ulflmk istemektedir ck r uyms gereke bir kurl vrd r: Ar gidece i yol boyuc büyük umrl gözeekte küçük umrl gözee e geçemeyecektir. pozitif tm sy olmk üzere r umrl gözee e ulflmk içi izleyebilece i yol sy s f( ) olsu. Bu göre; i. Ar umrl gözeekte umrl gözee e kç frkl flekilde gidebilir, yi f( ) kçt r? ii. Ar umrl gözeekte umrl gözee e kç frkl flekilde gidebilir, yi f() i efliti edir?. Fibocci ve Lucs Dizileri rs dki iliflkiyi ve bu dizileri lt or ile ol iliflkisii, bir elektroik tblo yz l m vey grfiksel hesp mkiesi kullrk gösteriiz.. f, f olmk üzere f f + f fleklide ifde edile (f ) Fibocci y Dizisi ve L, L olmk üzere L L + L fleklide ifde edile Lucs y Dizisi içi fl dki öermeleri do rulu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz. N + ve k içi,. f f f + f f, b. f f f + ]-g, c. f + f f f -, + k k + k / + ç. L, d., e. L L dir. - L L ] - g + - k LL - + e o + e o - + k Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr, ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z Bölüm Tümevr m

167 Tümevr m yötemi Tümevr m yötemi ile ilgili uygulmlr osuz sy d domio tfl rt rd dizildi- ii düflüüüz. lk domio tfl devrildikte sor bütü domio tfllr devrilmesi içi hgi koflulu s lms gerekir? Bbs, Ahmet i yei kumbrs Kr tm fl ve her gü bir öceki gü tt prd Kr dh P() fzl pr tc söz vermifltir. Tblo. deki oktl yerleri tmmlyrk ilk güde itibre Ahmet i kumbrs d birike pr miktr gözlemleyiiz. Tblo. Kumbrd Birike Pr (Kr) Gü () ( )... Tblou so st r dki eflitli i tmmlyrk. gü Ahmet i kumbrs d birike pry göstere P( ) ç k öermesii yz z. P() i içi do ru oldu uu gösteriiz. k içi P(k) yi yz z ve P(k) i do ru oldu uu vrsy z. k + içi P(k + ) i yz z. P( k + ) i do ru oldu uu P( k) yi kullrk ispt ediiz. Bu durumd, P( ) i do rulu u hkk d e söyleyebiliriz? Aç kly z. P() bir ç k öerme ve bu öermei do l sy lrdki do ruluk kümesi D olsu. D içi P( ) i do rulu uu s l isptlybiliriz? Aç kly z. 6. Örek P() ( + ) ç k öermesii do rulu uu görmek mc yl, ve de erleri içi P( ) i do rulu uu iceleyelim: P() :. ( + ) P() do rudur. P() : +. ( + ) 6 6 P() do rudur. P() : ( + ) P() do rudur. Yukr dki öreklere bkrk P() öermesii do ruluk kümesie D N + diyebiliriz. Ack birkç de er vererek bu tür öermeleri do rulu uu söylemek bze bizi y ltbilir. Yi yp l her geelleme do ru olmybilir. Öre i, N içi P() : + + bir sl sy d r. öermesii iceleyelim: P() + + olur ve sl sy d r. P() olur ve 7 sl sy d r. P() + + olur ve sl sy d r. P() olur ve 7 sl sy d r. P() + + olur ve sl sy de ildir. Yukr d d görüldü ü gibi do l sy lr kümesii ilk dört elem içi verile ç k öerme do ru ike P() yl flt r. O hâlde N içi P() öermesi do ru de ildir. Tümevr m. Bölüm 7

168 Tümevr m Yötemi P() bir ç k öerme, bu öermei do l sy lrdki do ruluk kümesi D ve bu öermeyi do ruly e küçük do l sy olsu. D içi P() i do ru oldu uu göstermek içi;. P() do ru oldu u gösterilir ( D dir.). b. k içi P(k) i do ru oldu u vrsy lrk (k D dir.) k + içi de P(k + ) i do ru oldu u gösterilir.. Bir hikâyeye göre ülü mtemtikçi Crl Friedrich Guss [ Krl Fridrik Gous (977 8)] üçücü s ftyke ö retmeleri bir gü olrd de e kdr ol tüm do l sy lr toplm bulmlr ister. Guss, beklemedik bir flekilde birkç dkik içide do ru souç ol yi bulur. Guss u çözümüe göre ] + g N + içi P() : olml d r. Guss u bu öermesii do ru oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk gösterelim:. içi. ] + g P() : do rudur. b. k (k N + ) içi P(k) : k k. ] k+ g... (I) eflitli i do ru olsu. Bud yrrlrk k + içi de öermei do ru olc yi, P(k + ) k + (k + ) gösterelim. Buu içi I eflitli ii her iki y k + i ekleyelim: k + (k + ) oldu uu elde edilir. O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly N + içi P( ) öermesi do rudur. k. k k. k ] + g ] + g ] + g 6 ] + g A oldu u göre A sy s bull m: B ve C olsu B 8 ve C olur. ] k+ g. 6 ] k+ k. ] k+ g k. ] k+ g+. ] k+ g + ] k + g A B C oldu ud A 8 79 buluur. Frcesco Murolico ( F rçeflko Moroliko) (9-7) Tümevr m bilie ilk t m 7 y l d Frcisco Murolico ypm flt r. Murolico, tümevr m yötemii kullrk tm sy lrl ilgili bz öermeleri isptlm flt r. Bulrd biri, Eski Yul filozof Pisgor d bu y bilie ( ) özdeflli idir. * Tümevr m yötemii, bilgisyr yz l mlr dki lgoritmlr dh h zl çl flms içi kull ld biliyor muyduuz? Bilgisyr progrmc l ve bu ld tümevr m yötemii s l kull ld ile ilgili bir rflt rm yprk edidi- iiz bilgileri rkdfllr - zl pylfl z. 8. Bölüm Tümevr m

169 . N + içi P() : ( + ) oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk gösterelim:. içi öermei do ru oldu uu gösteriiz. b. k (k N + ) içi P(k) : k k.(k + )... (I) eflitli i do ru olsu. k + içi de öermei do ru olc yi, P(k + ) : k + (k + ) (k + ).[(k + ) + ] oldu uu gösterelim. I eflitli ii her iki y (k + ) i ekleyelim: k + (k + ) k.(k + ) + (k + ) (k + ).(k + ) (k + ).[(k + ) + ] buluur. O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly P() öermesi N + içi do rudur.. A oldu u göre A sy s bull m: (+) ve 6 oldu ud A tür.. N + içi P() : ( ) oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk gösterelim:. içi P() :. do rudur. b. k içi P(k) : (k ) k eflitli ii do ru oldu uu vrsyl m. Bud yrrlrk k + içi de öermei do ru olc yi, P(k + ) : (k ) + (k + ) (k + ) oldu uu gösterelim. Buu içi (k ) k eflitli ii her iki y k + i ekleyelim: (k ) + (k + ) k + (k + ) (k + ) P(k + ) do rudur. ve b ye göre N + içi P() öermesi do ru olur. 6. A oldu u göre A sy s bull m: ( ) ve 7 9 oldu ud A dir. 7. N + içi P() : ] + g. ] + g 6 oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk gösterelim:. içi öermei do ru oldu uu gösteriiz. b. k içi P(k) : k k. ] k+ g. ] k+ g... (I) eflitli i 6 do ru olsu. k + içi de öermei do ru oldu uu gösterelim. b-i Yhy ( 8) El-Bhir dl eseride ( + )( + )/6 özdeflli ii do rulu uu tümevr m bezer bir yötemle göstermifltir. * history.mcs.st-d.c.uk Buu içi I eflitli ii her iki trf (k + ) yi ekleyelim. k. ] k+ g. ] k+ g k + k+ 6k k + ] k+ g + ] k + g ] k + g. e o 6 6 ] k. k. k k. k. k + g ] + g ] + g ] + g 6] + g 6 ] + g buluur. 6 6 O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly P() öermesi N + içi do rudur. Tümevr m. Bölüm 9

170 El-Krji (9 9) Krji, El-Fhri dl eseride biom ç l m, Hyym ( Pskl Üçgei) olrk bilie örütüyü ve ( ) özdeflli- ii tümevr m bezer bir k l yürütmeyle göstermifltir. * history.mcs.st-d.c.uk 8. N + içi P() : ] + g G oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk gösterelim:. içi öermei do ru oldu uu gösteriiz. k. ] k+ g b. k içi P(k) : k < F...(I) eflitli i do ru olsu. k + içi de öermei do ru olc gösteriiz. I eflitli ii her iki y (k + ) ekledi ide ] k+ g. ] k+ g k + (k + ) < F olur. O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly N + içi P() öermesi do rudur. Düşüce Kutusu Hoi Kuleleri bulmcs, Frs z mtemtikçi Edourd Lucs (Edvrt Luks) bir Hit efseside esileerek 88 y l d oluflturmufltur. Bulmcy göre üç kulede biride te disk vrd r. Diskler kuleye, e küçük e üstte olck flekilde büyükte küçü e do ru dizilmifltir. Yp lms gereke ise kuledeki tüm diskleri di er iki kulede birie fl dki iki kurl uyrk tfl mkt r:. Büyük disk, küçük diski üstüe gelmeyecek.. Bir seferde yl zc te ve e üstte ol disk tfl ckt r. Bu kurllr do rultusud oyuu oyyrk ( te diski tfl mk içi e z hmle yp lms gerekti ii isptlybilir misiiz? Efseye göre bu bulmc 6 içi çözüldü üde düy souu gelece ie i lmktd r. Bu efseye göre düy sou e zm gelecektir? - r 9. N +, r {} içi P() : + r + r r oldu uu tümevr m yötemide yrrlrk - r gösterelim:. içi öermei do ru oldu uu gösteriiz. b. k içi P(k) : + r + r r k - r...(i) eflitli i do ru olsu. - r k+ içi de öermei do rulu uu gösterelim. Buu içi I eflitli ii her iki y r k yi ekleyelim: k k - r k - r + r -r - r + r+ r r + r + r olur. - r - r - r O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly N + içi P() do rudur.. N + içi P() : oldu uu tümevr m yötemide... ] + g + yrrlrk gösterelim:. içi öermei do ru oldu uu gösteriiz. k k k k k+ k+ k b. k içi P(k) : ( I ) eflitli i do ru olsu. k + içi de... kk ] + g k + öermei do ru oldu uu gösterelim. Buu içi I eflitli ii her iki y, yi ekleyerek ] k+ g] k+g k oldu uu gösteriiz.... kk+ + k+ k+ + ] g ] g] g ] k + g+ O hâlde P(k + ) öermesi do rudur. ve b de doly N + içi P() do rudur. 6. Bölüm Tümevr m

171 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl olrk belirledi iiz ifdeleri do rusuu buluuz.. N +. ] - g. ] + g içi ( ) tür. b. P() : > + öermesii do ruluk kümesi D {,,, 6,...} dir. c. P() : 7 ç k öermesii do l sy lrdki do ruluk kümesi D {,,,, 6,... } dir. ç. N + içi P() : + bir sl sy d r.. N + içi fl dki öermeleri do ru oldu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz ( + ) b ] - g. ] + g + c ( + ).( + ) ç. si + si + si si() d..! +.! +.! ! ( + )!. P() : <! öermesii do ru yp e küçük sym sy s buluuz. Bu de er ise P() öermesii do ruluk kümesii D { : N +, } oldu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz.. D {,, 6,... } içi oldu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz.! <. N + içi P() : + ( + ) + ( + ) ifdesi 9 ile tm bölüür. ç k öermesii do ru-- lu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz.. ] + g. ] + g cos - cos d+ si. ] + g. ] + g. ] + g 6. N + ve i içi (cosθ + isiθ) cos(.θ) + isi(.θ) oldu uu tümevr m yötemi ile gösteriiz. 7. Bir dvete gele yei misfirlerde her biri dvete kedileride öce gelelerle toklflmktd r. Dvete toplm te misfir geldi ie göre ] - g dvetliler rs d toplm toklflm gerçekleflti ii gösteriiz. 8. Bir flirket, çl fllr ö le yeme i içi TL ve TL de eride yemek çekleri vermektedir. fiirket, bu çeklerde eflit sy d ve yeteri kdr kull lrk tutr 8 TL ve buu tm sy kt ol tüm yemek hesplr ödeebilece ii iddi etmektedir. izce bu flirketi iddis do ru mudur? Nede? 9. Tümevr m yötemi her türlü ispt ypmk içi yeterli midir? Afl d, buludu u trihle birlikte verile teorem ve hipotezi rflt rrk bulr tümevr m yötemi ile ispt edilip edilemeyeceklerii trt fl z.. Lgrge Dört Kre Teoremi (77) : Her tm sy, dört vey dh z sy d pozitif tm sy kreleri toplm fleklide yz lbilir. b. Goldbch Hipotezi ( 7) : Her çift sy iki sl sy toplm fleklide yz lbilir. Tümevr m. Bölüm 6

172 Toplm sembolü ve özellikleri Çrp m sembolü ve özellikleri Toplm ( / ) embolü Bir peyzj mimr, bir ker br ( N + ) ol kresel bölge biçimideki bir bhçeyi, flekildeki gibi bölgelere y rrk bu bölgeleri belirtile sy d sr ppty ve k rm z güllerle düzelemek istiyor. Bu göre peyzj mimr kullc toplm çiçek sy s s l bulubilir? fiekil Örek toplm sembolüü kullrk ifde edelim ve eflitii yzl m: k ( + ) dir. / k k m / % gösterimide; / k k tm sy s idis y d de iflke, m tm sy s lt s r, tm sy s d üst s r deir. Peyzj mimr yukr d belirtile bölgeler içi sol üst köflede bfllmk üzere kullc çiçek sy s s rs yl,,,... ve oldu uu gösteriiz. Peyzj mimr kullc toplm çiçek sy s, fiekil de belirtile her bölgedeki çiçek sy s rs rt iflreti koyrk toplm gösterecek flekilde ifde ediiz toplm k sc fleklide gösterildi ie göre k k olmk üzere bir öceki d md buldu uuz toplm / ( sigm) sembolüü kullrk ifde ediiz. / sembolü ile gösterdi iiz ifdei ye eflit oldu uu gösteriiz. / / k k / k k N + olmk üzere toplm k sc, biçimide ifde edip bu ifdeyi, k de ye kdr k sy lr toplm fleklide okuyc z.. N +. ] + g içi oldu uu geometrik yklfl ml göstererek toplm sembolü ile ifde edelim: Her ütudki K rm z Nokt y s fiekildeki gibi μ ( + ) boyutlr d bir dikdörtgesel bölge... düflüelim. Ydki flekli, mvi çizgilerle köflede iki prçy y r p bu bölgelere k rm z ve yeflil oktlr koyl m. Tüm flekilde ede toplm ( + ) te okt vrd r? K rm z ve yeflil oktlr toplm sy lr ede birbirie eflit ve ( ) tedir? Bu durumd.( ) ( + ). ] + g buluur.. ] + g Bu toplm, / k fleklide yzbiliriz. k 6. Bölüm Toplm ve Çrp m embolü Her t rdki Yeflil Nokt y s...

173 . N +. ] + g içi d oldu uu geometrik yklfl ml göstererek toplm sembolü ile ifde edelim: N M fiekildeki KLMN dikdörtgei A, A, A,..., A bölgeleride oluflmktd r. Bu göre A + A + A A A(KLMN) olml d r. fiekli iceleyerek ede A(KLMN) ( ) ve A + A + A A olms gerekti ii ç kly z. O hâlde ( ) olur. Burd, / k k. ] + g d buluur.. N + içi (r ve r ) - r + r + r r - r oldu uu gösterelim ve bu ifllemi toplm sembolü ile ifde edelim: T + r + r r olsu. Bu göre ede r.t r + r + r r olur? T ve r.t ifdelerii birbiride ç krtl m: T r.t + r + r r (r + r + r r ) T r.t r - r olur. T O hâlde + r + r r r - - r (r ve r ) buluur. - r Bu ifdeyi, / r k - r - r k (r ve r ) fleklide yzbiliriz.. K A A... A A... L Toplm embolüü Kull m ile lgili Özellikler Afl dki Tblo. i ve. sütulr d verile toplmlr ve ifllemleri hesply z. oucu eflit ollr örekteki gibi efllefltiriiz. Tblo. / k / k - /... k / k 7 ] k - g... / k- ] g... / k... / ] k + g... k 6 Efllefltirdi iiz toplmlrl ilgili olrk ç krd z souçlr vrs ç kly z. k 8 k k / k... / k + ] + + g k k k 8 /... / k + / k... k /... ( 8 + ). k 8 k / k k 7 k Toplm ve Çrp m embolü. Bölüm 6

174 Örek: / 7k ] g 7. / k k k A. c ve N + olmk üzere 7 / Örek:. 7. tür. b.. dir. c dir. k / k c. c. + c. + c c. / k k dir. c _ i c. olur. 8 / k / k k B. c ve N + olmk üzere / k c c+ c c. c olur. te Örek: / k ^ k + kh ^ + h+ ^ + h+ ^ + h + ^ + h ^ h + ] g / k + / k k k dir. C. N + olmk üzere / k _! b i _! b i+ _! b i _! b i k k _ i! _ b + b b i! b buluur. / k k / k k Örek: Ç. N +, < p < ve p Z olmk üzere Örek: + /6] k - /] k - g ] - g+ ] - g+ ] - g+ ] 6- g+ ] 7-g k + k I ve II de, / / / / D ( I ) olsu. k p r / k p r + r / k p+ r 7 / k k k p+ p+ + p k + p + / / k k k p / k / k + / k dir. ] k + g ] + g+ ] + g+ ] + g+ ] + g+ ] + g k k k k k p ( I ) dir. 7 k + / ] k+ g / 6 ] k- k k + k p p+ p ( II ) dir. buluur k+ r ^p rh+ r ^p r+ h+ r ^ p r+ h+ r ] rg+ r p p+ p k r ^p+ rh r ^p+ r+ h r ^ p+ r+ h r ] + rg r p p+ p+ I, II ve III te N +, p Z ve r Z olmk üzere buluur. p k p k r dir. + r / / / k k+ r k r k p r k p+ r Joseph-Louis Lgrge (Josef Lui Lgrj) (76 8) Yu lfbesideki büyük hrflerde biri ol (sigm) y, belli bir kurl göre topl terimleri toplm göstermek içi ilk kez 7 y l d Euler ( Oyl r) kullm flt r. Euler de sor ise Frs z mtemtikçi Joseph- Louis Lgrge kullm flt r. * ( II ) dir. ( III ) dir. 6. Bölüm Toplm ve Çrp m embolü

175 Tümevr m kousud ve toplm sembolüe giriflte iceledi imiz formüllerde lt s r oldu uu ht rly z. Bu formülleri kullbilmek içi yukr dki özelli i lt s r yprke kullc z. Düşüce Kutusu Nede / k k / k k dir? Bu durumd lt s r oldu ud toplm l ifdei sbit terimi yoks lt s r ypmy gerek vr m d r? Öre i 8 8 / / k k 6 k k oldu uu gösteriiz. Örek: / 8. dir. k k k 8 / / E. c, p Z ve p < olmk üzere c c+ c+ c c ^- p+ h. c dir. / k p ( - p+ )te Düşüce Kutusu c {} olmk üzere ede Düflüceleriizi öreklerle ç kly z. + / / / / / / c c, c c ve ] k+ cg ] k+ cg k k k k k k dir? k +. (- ).] k+ g toplm hesplyl m: k Z içi ( ) k+ dir. Nede?. /^k + 9k + 7k+ h toplm hesplyl m: /. cos] kcg toplm hesplyl m: 8 / k buluur. cos ] kcg cos + cos + cos cos cos78 + cos79 + cos8 cos + cos + cos cos ( cos ) + ( cos ) + ( cos ) cos9 buluur. k+. / log toplm hesplyl m: d k 8 / k k / k 7^ k + 9k + 7k+ 7h + A 7] k+ g + A 7] k- + g + A k k k + 8 / k 8 / k k + (- ).] k + g / (- ). ] k+ g / ]-k-g k k k +. / 6-] k / - k +? buluur. k / ^k + h d k k + 8 log log log... log log... 8 d d log 8. log tür. k 8 8 k + / / Toplm ve Çrp m embolü. Bölüm 6

176 . f(k) k, g(k) k + ise ^ fogh] kg toplm hesplyl m: (fog)(k) f(g(k)) f(k + ) (k + ) 6k dir. Bu göre / 8. 9 ^ fogh] kg /] 6k - g buluur. 6. /^k- ph toplm hesplyl m: Öce, Bu göre / 8 k p 8 / 8 8 / k k / ^k- ph p toplm bull m. Bu toplmd lt idis p oldu ud k yi sbit sy kbul ederiz. buluur. O hâlde, 6. ^k-ph / ] 8k- 6g olur. k p k / ^k- ph 8k- 8k-6 p 8 8 / k m m / / / f/ kp k p k p kp p dir. ( sigm) iç içe kull ld ifdelerde, içte d fl do ru ifllem yp l r. (sigm) d, lt idisi (de iflkei) d fl d verile hrfli ifdeler sbit kbul edilir. Düşüce Kutusu D E C Ydki flekilde ABCD bir kre, E ve F oktlr d it olduklr kerlr ort oktlr d r. K rm z bölgei l A br ise bu flekli kullrk / k k A d A+ A + Ad + Ad +... A oldu uu gösteriiz. A A br F B. Afl dki toplmlr göre sembolüdeki oktl yerleri uygu flekilde tmmly z b c Afl d birici st rd verile ifdeleri eflitlerii ikici st rdkilerde bulrk oklrl efllefltiriiz. 7 / / / k ]-g ] k + g k k... / k / 7 / 7 k k /]- g k +... / Afl dki toplmlr hesply z. /. b. 6 c. ç. k + d. k - 9 / / k e. /] k + 8g f. k g. ] k+ g] k-g. ]-g.] k+ g h. k / k k 9 / k- k / k k 6 / 7 / ] k+ g k- 8 /^k + h k 8. f(),, oldu u göre _ + i. f_ i toplm kçt r? i A) B) C) D) 7 E) 9 / i i 66. Bölüm Toplm ve Çrp m embolü

177 Çrp m ( ) embolü Bir ö reci, te ders kitb kitpl bir rf yerlefltirecektir. Her s rlm bir dkik lc vrsyrsk ö recii bu kitplr ols tüm s rl fllr deemesi e kdr zm l r? Aç kly z. Çrpm temel ilkesii ht rly z. Bu göre ö recii frkl kitb bir rf kç frkl fleklide dizebilece ii çrp m fleklide gösteriiz....( I) çrp m k sc fleklide gösterildi ie göre k k olmk üzere bir öceki d md buldu umuz çrp m sembolüü kullrk ifde ediiz. Permütsyo kvrm kullrk I de buldu uuz ifdei eflitii yz z. Bu göre Örek % % % k k sembolü ile gösterdi iiz ifde eye eflittir? Aç kly z çrp m sembolüü kullrk ifde edelim ve eflitii yzl m: k! dir. % k % % k k N + olmk üzere..... çrp m k sc, biçimide ifde edip bu ifdeyi, k de ye kdr k sy lr çrp m fleklide okuyc z. Afl d verile eflitlikleri iceleyelim: 7 %. k dir. b.... dır. c. k 6 % p p 6 % j ^ j- h..... ] -g dir. 8 % % ç. cos.cos...cos8 cos kc dir. d. log ] k+ g log. log. log..... log dir. k k Çrp m embolüü Kull m ile lgili Özellikler Ydki Tblo. ü ve. sütulr d verile çrp mlr hesplyrk, soucu eflit ollr örekteki gibi efllefltiriiz. Efllefltirdi iiz çrp mlr rs dki iliflkileri ç kly z. Tblo. % k ]. g. ].g. ].g. ].g.! % k : % k... k % k k.k... k %... k k k k %... 7 % k... k % k... k k k / k k... k k k %.% k... % k.! k 7 % k.% k... k k 7 % k- ] g... k Toplm ve Çrp m embolü. Bölüm 67

178 Örek: dir. A. c ve N + içi c ( ccc..... c) c dir. Örek: 8 % k % k B. c ve N + içi 8te k % k ]. g. ]. g. ]. g. ]. g. ]. g.! dir. % c. k _ c. i. _ c. i... _ c. i ] cc cg. _ i c. % k k te te k 8 te dir. Crl Friedrich Guss ( Kâl Fridr ks Gus) (777 8) Yu lfbesideki büyük hrflerde biri ol (pi) yi belli bir kurl göre çrp l terimleri çrp m göstermek içi ilk kez 8 y l d Guss kullm flt r. * Örek: % % % k k k. ^. h. ^. h. ^. h. ^. h ]... g. ^... h k. dir. k k k C. N + içi Örek: % k % % % _. b i _. b i. _. b i... _. b i _ i. _ b. b..... b i. b dir. k k k k k k k k k.... k % % k k k dir. Ç. N + ve b k içi % k _ k: b ki _ : bi. _ : bi... _ : b i _ i: _ b. b..... b i % :% b k k k k dir. Örek: % k / k k... D. N + / k içi c k c.... c. c..... c c k c dir. % k k dir. Örek: % k k 6 % k. % k dir. k k7 % % % E. N +, < p < ve p Z içi k p. p. p..... k. k dir. + + k k k p+ p Örek: 6 6 % k k... ( I) dir. ] k+ g ] k+ g... 6 k k % % ( II ) dir. I ve II de, 6 % k %] k+ g k k buluur. 68. Bölüm Toplm ve Çrp m embolü

179 % F ( I ) dir. k p r % k+ r k p r + r % k p+ r k p p+ p ^p rh+ r ^p r+ h+ r ^ p r+ h+ r ] rg+ r p p+ p k r ^p+ rh r ^p+ r+ h r ^ p+ r+ h r ] + rg r p p+ p+ I, II ve III teki souçlr y oldu u dikkt ediiz. I, II ve III te N +, p Z ve r Z olmk üzere dir. + r k k r k p k p+ r r % % % k+ r k p r ( II ) dir. ( III ) dir. Örek: % % % k k k 8 8 dir. - p+ G. c, p Z ve p < olmk üzere c ccc..... c c dir. % k p ^- p+ hte % k % k k k d r. Çükü % % k.....! ve k d r. k k 8 %. log ] k - g çrp m hesplyl m: k 8 % k 7 %. cos kc çrp m hesplyl m: k 7 %. kp. ifdesii de erii hesplyl m: k p Öce, / kp de erii hesplyl m: / kp. k. / p k k dir (Alt idis p oldu ud p p p k sbit kbul edilmifltir.). O hâlde. % % _ k.pi çrp m hesplyl m: k p % _ k.pi p % cos kc cos. c cos. c cos... c cos9... c cos7c \ k 9 % / log 9 log log log 8 log 9 log ] k k - g log9. log..... log88 log log log log 8. log 9 çrp m d lt idis p oldu ud k k k k k % % p p d r. sbit kbul edilir. O hâlde, _. pi ^ h. p.]... g. dir. Bu durumd % k 9 % / % % k p k k k.p k. k.!. 6 buluur. k k k 8 _.p i % ^. h.%. ^.. h. buluur. k p k k dir. Toplm ve Çrp m embolü. Bölüm 69

180 m m % % % f% kp k p k p kp p dir. i iç içe kull ld ifdelerde, içte d fl do ru ifllem yp l r. de, lt idisi ( de iflkei) d fl d verile hrfli ifdeler sbit kbul edilir.. Afl dki çrp mlr göre sembolüdeki oktl yerleri uygu flekilde tmmly z %... b %... c. % Afl dki ifdeleri de erlerii hesply z sikc. % b. % ^k + k + k+ h c. / % ç. % / ] k- i+ g cos] k - g k p k c k k i Afl dki sorulrd grfiksel hesp mkiesi vey bir bilgisyr yz l m kullrk cevplr z do rulu uu kotrol edebilirsiiz.. Afl dki toplmlr, sembolüü kullrk ifde ediiz b c.. Afl dki çrp mlr, sembolüü kullrk ifde ediiz.. (.).(.).(8.7).....(.) b c.. Afl dki toplm ve çrp mlr de erlerii hesply z.. / ^k - k+ h b. / ] k - g c. / i ç. k 7 k + k d. /]-g.] k-g e. / ] t - 9g f. % i g. %. k + k 9 k t. Afl dki ifdeleri de erlerii hesply z. 7 9 i i 8 / _ k-- k+ i k 8 k % k log ] k - g k / / ^k- p+ h b. / / / ^i+ j+ kh c. % / ç. k p i j k k kk ] + g 6 / i j / _ i - i. ji m k-. / ] k. + g 6 ve % d oldu u göre m. de eri kçt r? k k k / / k k 6. f ve g, N N fl dki biçimde t ml iki foksiyodur. f ] g k, g ] g ] k+ g oldu- u göre (fog)() ü de eri kçt r? 7. 7 ile 77 rs d ol ve 7 ile bölüdü üde kl vere sy lr toplm kçt r? 8. Bir tletizm turuvs d ö elemeleri geçe kifli filde yr flmy hk kzm flt r. Alt, gümüfl ve broz mdlylr kç frkl flekilde shiplerii bulbileceklerii, sembolüü kullrk yz z. 7. Bölüm Toplm ve Çrp m embolü

181 Bir bkteri türü stte ikiye bölüerek ço- lmktd r. Bfllg çt bir bkterii buludu u ortmd st sor kç bkteri buluur? Dizi olu dizi bit dizi Dizileri eflitli i Bir dizii grfi i f() ( ) Pizz Problemi Bir pizz düz bir flekilde bir ucud di er ucu def kesilmesiyle e fzl kç prçy bölüebilece ii rflt rl m. Pizzy bir dire, pizz kesilmesi soucu olufl çizgileri de do ru prçlr gibi düflüürsek direyi e fzl sy d bölgeye y rmk içi fl dki koflullr s lml d r. Nede?. Herhgi iki do ru prçs çk fl k olmml d r.. Herhgi iki do ru prçs prlel olmml d r.. Herhgi iki do ru prçs kesiflti i okt direi içide klml d r. Afl dki flekillerde bu koflullr s ly ilk dört durum verilmifltir. Pizz problemi ile ilgili olrk kesim sy s ve mksimum prç sy s göstere Tblo. ü iceleyiiz. Tblo. Kesim y s () Mksimum Prç y s ( ) ( + ) Tblo. teki kesim sy s göstere elemlr N + kümesii, mksimum prç sy s göstere elemlr d kümesii elem olrk l z. kesim sy s ve f() mksimum prç sy s olmk üzere N + d ye bir f foksiyou t mly z. f(), f(), f(),... ve f() olmk üzere f foksiyouu görütü kümesii elemlr ( ) (,,,...,,...) fleklide yz z. ( ) (,,,...,,...) ifdesii s rs yl birici, ikici, üçücü ve. elemlr belirleyiiz. f() olmk üzere her f : N + foksiyouu, ( ) (,,,...,,...) fleklide göstermek mümkü müdür? Aç kly z. Örek Afl d yp llr iceleyelim: Ad m Bocuk y s ( ) ?... Yukr dki sy örütüsü dikktlice iceleirse her d mdki bocuk sy s bir öceki d mdki bocuk sy s yl d m umrs toplm eflit oldu u görülür. Bu göre d m sy s, ise. d mdki bocuk sy s olmk üzere; Diziler. Bölüm 7

182 [. ] + g olur.. O hâlde ve + dir. Elde etti imiz, N + kümeside kümesie bir foksiyodur. ] + g kümeside kümesie t ml her f foksiyou, bir gerçek sy dizisi vey k sc dizi diyece iz. Bu göre f() olmk üzere f : N + flrt s ly her foksiyo bir N + gerçek sy dizisidir. Bir diziyi k sc, ( ) biçimide gösteririz. f() e, dizii birici terimi, f() e, dizii ikici terimi, f() e, dizii üçücü terimi,..., f() e de dizii. terimi y d geel terimi deriz. O hâlde ( ) (,,,...,,...) olur. T m kümesi N + ol her foksiyo bir dizidir. Bu foksiyou görütü kümesi reel (gerçek) sy lrd olufluyors reel (gerçek) sy dizisi, tmsy lrd olufluyors tmsy dizisi olrk dld r l r. y Her dizii bir foksiyo, her foksiyou bir dizi olmd - dikkt ediiz. Öre i, yd grfi i verile f ] g foksiyouu t m kümesi {} oldu- - ud bir dizi de ildir. Foksiyou t m kümesii do l sy lrl s rlsk bile N + t m kümeside olmyc d doly bu foksiyo yie bir dizi olmyckt r. Bocuk y s 6 Ad m y s f ] g Öte yd, bezer kurllr ship bir dizi ile foksiyo d birbiride frkl olbilir. Öre i, ydki grfikte de görülece i gibi dizisi ile f] g fok-.. ] + g ] + g siyouu de er kümesi ve t m kümesi birbiride frkl d r.. Afl dki foksiyolr N + içi bir gerçek sy dizisi olup olmd gösterelim. Dizi ollr ilk üç terimii bull m:. ] + g f ] g y ] + g. f ] g b. f ] g c. + - f ] g -. f ] g foksiyou, içi t ms zd r, yi de eri, pydy s f r ypt d + f( ) dir. Ack sy s, N + elem olmd d N + içi, f() dir. Bu durumd f ] g foksiyou bir gerçek sy dizisidir. Dizii ilk üç terimi; + f] g, f ] g, f ] g tür Bölüm Diziler

183 b. f ] g - foksiyou içi t ms zd r. f() ve N + oldu ud f ] g - foksiyou, bir gerçek sy dizisi de ildir. c. f ] g - foksiyoud, içi f() - dir. O hâlde f() bir gerçek sy dizisi de ildir. -. ( ) d dizisii kç c terimii ye eflit oldu uu bull m: buluur. Bu göre ( ) dizisii 9. terimi 7 tir. Jmes Joseph ylvester ( Ceyms Co z f ilvest r) ( 8 897) Dizi terimii mtemtiksel lmd ilk kez Jmes Joseph ylvester kullm flt r. ylvester diziyi, do- l sy lr belli bir düzede s rlms lm d kullm flt r. * Ktz Victor J., A History of Mthemtics: A Itroductio, Hrper Collis College Publishers, New York, _ i f dizisii; ] + 6g. ] -g p. Kç terimii egtif oldu uu bull m. b. Kç terimii s f r oldu uu bull m ifdesii iflret tblosu ] + 6g. ] - g Tblo. teki gibidir. Tblo N + oldu ud iflret tblosudki egtif ol rl klrd sdece d, rl icelememiz yeterlidir. Bu rl kt içi 8 - ve içi - dir. O hâlde ( ) dizisii egtif terimi 7 8 vrd r. Bulr, ve dir. - 9 b. - 9 olml d r. N + oldu ud olmz. ] + 6g. ] -g içi olur, yi dizii bir terimi s f rd r ] 7+ g. ]. 7+ g. _ dizisii yedici terimi, k t r. i f/ k p 7 f / p 6 k k. _ i c m dizisii grfi ii çizelim:,,,,... Bu göre foksiyo, f ( ^, h, ^, h, d,, d,,... olur. ( ) dizisii ilk elem ydki grfikle gösterilmifltir. Grfi e dizii di er elemlr d ekleice grfi i s l olc trt fl z. / / Diziler. Bölüm 7

184 6. Geel terimi ydki gibi ol ( ) diziside,, 6 ve terimlerii bull m: ª (mod), 6 ª (mod) ve ª (mod) olur. Bu göre buluurke geel terim olrk, 6 buluurke, buluurke seçilmelidir. Bu durumd ve 9 olur. 7. dizisii tm sy ol terimlerii bull m: + _ i d + O hâlde _ fleklide yzbiliriz. Bu göre i d + + i tm sy olbilmesi içi + sy s sy s tm bölmelidir. sy s böle pozitif tm sy lr,, 7 ve dir. Bu göre, 6 ve içi dizii terimleri tm sy olur. O hâlde 8, 6 ve buluur. ve Geel terimi ol dizii grfi ii [, ] rl d çizelim: + Dizii ilk terimi,,,, 6 tir. Bu göre _ i d + olur. olu Dizi -. -, 6 6 /6 / / / /,,, dizisii [, ] rl dki grfi i yukr dki gibi Ydki flekilde tu llrd yp lm fl bir yp görüyorsuuz. Tblo.6 dki oktl yerleri tmmlyrk bu Tblo.6 t r Numrs ( ) 6 7 yp her st r dki tu l sy s buluuz. Tu l y s ( ) A kümesii elemlr, st r umrlr ve B kümesii elemlr d st rlrdki tu llr sy lr olsu. Bu göre A ve B kümelerii liste biçimide yz z. A kümeside B kümesie, st r umrs () o st rdki tu l sy s eflleye bir f() foksiyou yz z. f() olmk üzere ( ) dizisii geel terimii yz z. ( ) (,,,,, 6, 7 ) dizisii yz z. dizisi solu mu sosuz mudur? Bu göre dizisi içi e söyleebilir? Aç kly z. Leordo Fibocci ( Leordo Fiboççi) (7 ) Leordo of Pis vey Leordo Piso isimleriyle de bilie Fibocci i, Liber Abci dl meflhur eserii üçücü bölümüde yer verdi i fl dki problem bugü, Edourd Lucs (8-89) trf d verile isimle, Fibocci sy lr y d Fibocci dizisii (,,,,, 8,, ) orty ç kms sebep olmufltur. Bu sy dizisi mtemtikte, do- d, tekolojide, stt, müzikte ve dh bir çok yerde s kç krfl lfl l özellikleri br d rmktd r. Bir dm, dört y duvrlrl çevrili bir yere bir çift tvfl koymufltur. Her çift tvfl bir y içide yei bir çift tvfl yvruld, her yei çifti de ergileflmesi içi bir y gerekti i ve tvfllr ölmedi i vrsy l rs, bir y l soud bu yerde kç çift tvfl olur? * 7. Bölüm Diziler

185 Örek {,,, } ve ( ) ( ) olmk üzere ( ) dizisii elemlr bull m: ( ) (,,, ) (,, 9, 6) d r. ( ) dizisii dört elem oldu ud ( ) solu bir dizidir. p ve p de küçük pozitif tm sy lr kümesi, A p {,,,..., p} N + olsu. A P t ml her diziye, p terimli solu dizi diyece iz. A, _ i d + dizisii terimlerii yzl m: A {,,,, } oldu u göre, +, +, +, + O hâlde ( ) solu dizisii terimleri, _,,,, i d olur. 6 bit Dizi, + 6 dir. Bir iflyeride yr zml çl fl persoele ödee stlik çl flm ücreti 7 TL dir; yi yr zml çl fl bir persoeli çl flt. st içi ld ücret 7 TL,. st içi 7 TL,...,. st içi de 7 TL dir. N + ve, yr zml çl fl bir persoeli çl flms krfl l d. st içi lc ücret olmk üzere ( ) dizisii yz z. ( ) dizisii elemlr rs d s l bir örütü oldu uu ç kly z. ( ) dizisii grfi ii çizerek, e tür bir foksiyou grfi ie bezedi ii trt fl z. Örek Afl dki dizileri iceleyelim: ( ) ( ) (,,,..., ) ve (b ) () (,,,..., ) dizilerii tüm elemlr birbirie eflit oldu ud ( ) ve (b ) dizileri sbit dizilerdir. (c ) (,,,..., ) dizisii tüm elemelr s f r oldu ud (c ) dizisi, s f r dizisidir. c olmk üzere N + içi c ise ( ) dizisie sbit dizi deir. Bu sbit dizi, (c) ile gösterilir. c ise () sbit dizisie de s f r dizisi deir. - _ i d + dizisi sbit dizi ise de erii bull m: ( ) sbit dizi ise c dir. Bu göre, - c c + c c ve c olur. + c eflitli ide c yerie yz l rs - - _ i d + diziside yerie - buluur. yzrsk ( ) ( ) buluur. Ekoomide s kç kull l Arz ve Tlep Kurl, serbest piys ekoomiside fiytlr belirlemeside kull l öemli mekizmlrd biridir. Dizileri, ekoomide fiytlrdki de iflimleri modellemek içi kull ld biliyor muyduuz? Ekoomide, dizileri s l kull ld rflt r z. Diziler. Bölüm 7

186 ki Dizii Eflitli i Ttile ç k bir ile komflulr küçük k z d, kedilerie bkms istemektedir. Bu sebeple küçük k z iki frkl flekilde hrçl k vermeyi öerirler. Birici öeriye göre ilk gü içi TL,. gü içi ( + ) TL,. gü içi ( + + ) TL, bezer flekilde. gü içi de ( ) TL vereceklerdir. kici öeriye göre gü sy s göstermek üzere. gü ödeecek miktr ] + g TL dir. lk öeriyi modelleye diziye ( ), ikici öeriyi modelleye diziye de (b ) diyelim. izce küçük k z bu öerilerde hgisii seçmelidir? Nede? Tblo.7 yi uygu flekilde dolduruuz. ( ) ve (b ) dizilerii terimlerii s rs yl krfl lflt r z. ( ) ve (b ) dizilerii geel terimleri elerdir? ( ) ve (b ) dizilerii terimleri ile ilgili olrk ulflt z Tblo.7 Gü (). Gü Ödeecek Miktr (TL) soucu ç kly z. Bu göre ( ) ve (b ) dizilerii s l isimledirilebilece ii ç kly z. ( ) ve (b ) dizileri birbirie eflit ise terimleri rs dki iliflkii e olbilece ii trt fl z. Örek Afl dki dizileri iceleyelim: ( ) (( ) ) (,,,,,,..., ( ),...) b (b ) (cos(π)) (,,,,,,..., cos(π),...) dizilerii elemlr krfl l kl olrk birbirie eflittir. O hâlde ( ) ve (b ) dizileri eflittir, yi ( ) (b ) dir. ( ) ve (b ) iki gerçek sy dizisi olsu. N + içi b oluyors ( ) dizisi ile (b ) dizisi birbirie eflittir, deir ve ( ) (b ) fleklide gösterilir. N + içi b ( ) (b ) dir. _ ve (b i c... ) (k p) dizileri eflit oldu u göre k + p de erii bull m: m. ] + g dir O hâlde _ olur. ( ) (b ) dir. Burd, i d b + k-p + k ve - p p - buluur. Bu durumd k+ p + d- olur.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. ( ) ( ) ise + 7. dir. b., 7 dizisii. terimidir. - _ i d + c. ( ) dsi d π dizisi (b ) (( ) ) dizisie eflittir. 76. Bölüm Diziler

187 . N + içi fl dki foksiyolr gerçek sy dizisi olup olmd buluuz. Z -, tek sy ise + - ]. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) ç. f ( ) [ ], çiftsy ise \ -. Geel terimi yd verile ( ) dizisii, ve. terimlerii buluuz.. - _ i d dizisii kç terimi egtiftir? + cos,,, ª ( mod ) ise ª ( mod ) ise ª ( mod ) ise. ( ) diziside, ve ise kçt r? Dizilerde fllemler Dizilerde toplm, ç krm, çrpm ve bölme ifllemleri Mert ve Züll s rs yl fl dki örütüleri oluflturuyorlr. fiekilleri, y d ypmy bfll yorlr., d m sy s olmk üzere Mert ve Züll i her d md kulld klr dü me sy s s rs yl ( ) ve (b ) dizilerii terimleri olsu. Mert Züll Ad m y s ().... Dü me y s ve 6. d mlrd Mert ve Züll i kçr dü me kullc buluuz. Mert ve Züll i her d md kulld klr toplm dü me sy lr göstere ( ) ve (b ) dizilerii geel terimlerii buluuz. lk lt d m içi Mert ve Züll i kulld klr toplm dü me sy lr hesplyrk buldu uuz geel terimleri do rulu uu gösteriiz. Mert ve Züll i her d md kulld klr dü me sy lr çrp m göstere diziyi buluuz. lk lt d m içi Mert ve Züll i kulld klr dü me sy lr çrp m bulrk elde etti iiz dizii do rulu uu gösteriiz. Züll i, Mert te her d md e kdr fzl dü me kulld göstere diziyi buluuz. lk lt d m içi Mert ve Züll i kulld dü me sy lr frk bulrk elde etti iiz dizii do rulu uu gösteriiz. Mert i her d md kulld dü me sy s iki kt göstere diziyi buluuz. lk lt d m içi Mert i kulld dü me sy s iki kt bulrk elde etti imiz dizii do rulu uu gösteriiz. Her d md Mert i kulld dü me sy s, Züll i kulld dü me sy s or göstere diziyi buluuz. lk lt d m içi Mert i kulld dü me sy s Züll i kulld dü me sy s or bulrk elde etti iiz dizii do rulu uu gösteriiz. Dizilerde toplm, ç krm, çrpm ve bölme ifllemlerii s l yp lc ç kly z. Diziler. Bölüm 77

188 Örek ( ) ( + ) ve (b ) ( ) dizileri içi ( ) + (b ), ( ) (b ), ( ).(b ) ve ( ):(b ) dizilerii bull m: ( ) + (b ) ( + ) + ( ) ( + + ) ( + ) olur. ( ) (b ) ( + ) ( ) ( + ( )) ( + + ) olur. ( ).(b ) ( + ). ( ) (( + ).( )) ( + 6 ) olur. ( ):(b ) ( + ):( ) olur. ( ) ve (b ) iki gerçek sy dizisi ve c olsu. ( ) + (b ) ( + b ) dir. ( ) (b ) ( ) + ( b ) ( b ) dir. _ i c.( ) (c. ) dir. ( ).(b ) (.b ) dir. f p dir ( N + içi b ). _ b i b Geel terimleri +, tek ise -, * ve b * +, çiftise +, ol iki dizi içi fl dki ifllemleri iceleyerek ifllemleri s l yp ld ç kly z. tekise çiftise, tekise, tekise. + b olur., çiftise + * * , çiftise.., tekise 7 8, tekise b... b ] + g- ] - g + - * olur.. ] + g-. ] + g, çiftise ) +, çiftise -. _ oldu u göre fl dki ifllemleri yp z. i d, _ bi d + +. ( ) + (b ) b..( ) (b ) c. ( ).(b ) ç. ( ) : (b ) -, ª ( mod ) ise. _ ve b i ^ ]- g h _ i f* p, ª ( mod ) ise oldu u göre fl dki dizileri buluuz. +. ( ) + (b ) b. ( ).(b ) c. (b ) : ( ). N + içi, b + olmk üzere ( ) ve (b ) dizileri veriliyor. ( ).(b ) ( ) ve (b ) : ( ) e oldu u göre ( ) ve (b ) dizilerii buluuz. ] + g o 78. Bölüm Diziler

189 Art ve Azl Diziler Art diziler Azl diziler Azlmy ve rtmy diziler Erc ilesi, birikimleri ol TL yi y ll k % 6 d bileflik fizle bir bky yt rm flt r. Bu ilei yt rd pr her y l fiziyle birlikte yklfl k e kdr olur?, Erc ilesii bky yt rd klr pr. y l soudki fiziyle birlikte lc de eri göstermek üzere ( ) dizisii ilk sekiz terimii buluuz. Dizii geel terimii buluuz. ( ) dizisi içi fl dki öermelerde hgisi do rudur? Cevb z edeleriyle ç kly z.. ( ) dizisii elemlr rs d < < <... < < + <... fleklide bir b t vrd r. b. ( ) dizisii elemlr rs d > > >... > > + >... fleklide bir b t vrd r. Erc ilesii TL yi bky fizsiz yt rd ve her y l bfl d TL çekerek ttile gitti ii vrsyl m. Her y l pr çekildikte sor bkd kl pry (b ) dizisi ile gösterelim. Bu göre; (b ) dizisii ilk sekiz terimii yz z. Ailei bu pryl kç y l ttil ypbilece ii buluuz. Dizii geel terimii buluuz. (b ) dizisi içi fl dki öermelerde hgisi do rudur? Cevb z edeleriyle ç kly z.. (b ) dizisii elemlr rs d b < b < b <... < b < b + <... fleklide bir b t vrd r. b. (b ) dizisii elemlr rs d b > b > b >... > b > b + >... fleklide bir b t vrd r. Erc ilesii TL yi bky fizsiz yt rd ve her iki yd bir y hesb TL dh yt rd düflüelim. Her y soud bk hesb d bulu pry (c ) dizisi ile gösterelim. Bu göre; (c ) dizisii ilk sekiz terimii yz z. Dizii geel terimii buluuz. (c ) dizisi içi fl dki öermelerde hgisi do rudur? Cevb z edeleriyle ç kly z.. (c ) dizisii elemlr rs d c < c < c <... < c < c + <... fleklide bir b t vrd r. b. (c ) dizisii elemlr rs d c c c... c c +... fleklide bir b t vrd r. Erc ilesii TL yi bky fizsiz yt rd ve her iki yd bir y hespt TL çekti ii düflüelim. Her y soud bk hesb d bulu pry (d ) dizisi ile gösterelim. Bu göre; (d ) dizisii ilk sekiz terimii yz z. Dizii geel terimii buluuz. (d ) dizisi içi fl dki öermelerde hgisi do rudur? Cevb z edeleriyle ç kly z.. (d ) dizisii elemlr rs d d >d >d >... > d >d + >... fleklide bir b t vrd r. b. (d ) dizisii elemlr rs d d d d... d d +... fleklide bir b t vrd r. Örek Afl dki dizileri iceleyelim:. ( ) () (,,,...,,...) dizisii elemlr rs d < < <... < < + <... fleklide bir b t vrd r. b. (b ) ( ) (,,,...,,...) dizisii elemlr rs d b > b > b >... > b > b + >... fleklide bir b t vrd r. N + içi + > ise ( ) dizisi rtd r. N + içi b + < b ise (b ) dizisi zld r. Diziler. Bölüm 79

190 ( ), rt bir dizi ise N + içi + > + > d r. + ( ), pozitif terimli rt bir dizi ise + > > dir. ( ), rt dizi ise bir sorki terim, bir öceki terimde büyüktür. < < <... < < + <... olur. (b ), zl bir dizi ise N + içi b + < b b + b < d r. b+ (b ), pozitif terimli zl bir dizi ise b + < b < dir. b (b ), zl dizi ise bir sorki terim, bir öceki terimde küçüktür. b > b > b >... > b > b + >... olur.. ( ) ( + ) ve (b ) ( ) dizilerii rt vey zl oldu uu bull m: ( ) ( + ) diziside ve 7 olur. Bu dizii ikici terimi, birici terimide büyük oldu u içi dizi rtd r. (b ) ( ) diziside b ve b olur. Bu dizii ikici terimi, birici terimide küçük oldu u içi dizi zld r. Düşüce Kutusu Art y d zl oldu u belirtilmeye bir dizii rt vey zl oldu uu yukr dki örekte oldu u gibi rflt r rsk ede y lbiliriz? Aç kly z.. ( ) ( ) dizisii rt vey zl oldu uu bull m:.,.,. tür. Bu dizide > oldu u hâlde < tür, yi bu dizi rt vey zl de ildir. Ydki grfi i iceleyerek dizii ede rt vey zl olmd ç kly - z.. _ i d dizisii rt vey zl oldu uu bull m: + ( ) dizisii zl vey rt oldu uu bulmk içi + frk bkl m:, + ve ] + g. ] + g olur. N + içi ( + ).( + ) > d r. Bu durumd N + içi + > olur. ] + g] +g O hâlde ( ) dizisi rtd r. iz de dizii grfi ii çizerek rt oldu uu gösteriiz. 8. Bölüm Diziler

191 . ( ) (( ).) dizisii rt vey zl dizi olup olmd bull m: ( ). ve + ( ) +.( + ) dir. + ( ) +.( + ) ( ). ( ).[ ( + ) ] ( ) ( ) olur. çift ise + < ve tek ise + + > olur. Bu durumd N + içi, + ifdesii iflretie pozitif vey egtif diyemeyiz. Bu edele ( ) dizisi rt vey zl de ildir. iz de dizii grfi ii çizerek rt vey zl olmd gösteriiz.. ( ) ( ) dizisii rt vey zl olup olmd iceleyelim: + ( + ) dir. O hâlde, + ( ) olur. + < oldu ud ( ) dizisi zld r. ( ) diziside N + içi, + ise ( ) dizisie rtmy dizi; + ise ( ) dizisie rtmy dizi; + ise ( ) dizisie sbit dizi deir. Azlmy y d rtmy dizilerle, sbit dizilere de mooto diziler deir. 6. Geel terimi yd verile ( ) dizisii mootoluk durumuu iceleyelim: içi,,,...(i) dir. > içi + < olur ] + g, ise, > ise O hâlde + < + <...(II) olur. I ve II de + olur. Demek ki ( ) dizisi mooto rtmyd r. Düşüce Kutusu Yd Türk Dil Kurumu c hhz rl Gücel Türkçe özlük te yer l t m yl, gülük hytt kulld m z mooto (tekdüze) terimi ile, mtemtiksel lmd kulld m z mooto terimleri rs d e gibi bezerlik ve frkl l klr vrd r? Aç kly z Bu b lmd, "mooto rt, mooto zl, rtmy, zlmy, sbit" terimleri gülük dilde e lmlr geldi ii trt flrk, mtemtiksel lmlr yl krfl lflt r z.. Afl dki dizileri rt, zl, rtmy ve zlmy olup olmd klr bulrk ylr d verile oktl yerlere yz z., tek sy ise!. b. c.... f* ç. _ i d..., çiftsy ise p + _ i d... _ i log... - k. Afl dki dizileri mooto olup olmd klr belirleyiiz. Cevplr z edeleriyle ç kly z.. ( ) (( ). ) b. (b ) (( ).( + )) c. (c ) (si()). ( ) dizisi mooto zl ise fl dkilerde hgisi olmz? + d + A) 7 B) 8 C) 9 D) E) Diziler. Bölüm 8

192 Afl dki sorulr içi grfiksel hesp mkiesi kullrk cevplr z do rulu uu kotrol edebilirsiiz.. Bir fbrik, bir müflterisi ile ypt kotrt gere i siprifli yetiflmemesi durumud ilk gü içi 7 TL, ikici gü içi TL, üçücü gü içi 7 TL vb. flekilde tzmit ödeyecektir. Fbrik, siprifli söz verdi i teslim trihide ck gü sor teslim edebildi ie göre;. Fbrik. gü içi ( {,,,..., }) ödedi i tzmit ciside buluuz. b. Fbrik. gü içi ödedi i tzmit e kdrd r? c. Fbrik ödedi i toplm tzmit e kdrd r?. Bir hipermrkette st l kutu kollr, ydki flekilde gösterildi i gibi her kttki kutu kollr bir düzgü lt ge oluflturck flekilde s rlm flt r. Bu flekilde üst üste kt oluflturulmufltur. E üstteki kt,. kt kbul edildi ie göre;. Herhgi bir kttki (. kt) kutu kol sy s ciside buluuz. b.. kt oluflturmk içi kç kutu kol kull lm flt r?. kt. kt. kt. kt.... Afl d birici st rd verile dizileri eflitlerii ikici st rdkiler rs d bulrk efllefltiriiz. + ( ) (cos(π)) (b ) (si(π)) (c ) dsi d π (d ) si ] πg e o + cos ] πg () (( ) ) (( ) ) ^t]πgh. ( ) diziside, ve > olmk üzere, + ise 9 kçt r? 6. ( ) e + - o dizisii terimleride kç tesi tm sy d r? 6. Geel terimleri yd verile ( ) ve (b ) dizileri içi fl d istee dizileri buluuz. +, < ise, < ise, ise ve b +, < 7 ise +, 7 ise. ( ) + (b ) b. ( ) (b ) c. ( ).(b ) ç. ( ) : (b ) 7. Afl dki dizileri rt, zl, rtmy ve zlmy olup olmd klr bulrk ylr d verile oktl yerlere yz z., ª ( mod ) ise. b. + _ i ^ --h... _ i f* p..., ª ( mod ) ise 8. ve ( > ), deklemii kökleri olmk üzere N + içi dizisi t ml yor. Bu göre; _ i f. +,., ve yi buluuz. b. N + içi, Z oldu uu gösteriiz. c. N + içi, oldu uu gösteriiz. - p 8. Bölüm Diziler

193 Aritmetik Dizi Aritmetik dizi Aritmetik dizii özellikleri Aritmetik dizii ilk terimii toplm lk gükü trem d 7 km kofl bir mrto koflucusu, her gü bir öceki gü kofltu u mesfede yr m kilometre fzl koflmktd r. Bu göre trem bflld güde itibre her gü koflucuu kç kilometre kofltu uu s l bulbiliriz? porcuu her gü kofltu u mesfeyi ( ) dizisi ile ifde edelim. Tblo.8 i doldurrk ( ) dizisii terimlerii buluuz. Tblo.8 Gü () Koflul Mesfe ( ) , ( ) dizisii geel terimii buluuz. ( ) dizisii rd fl k herhgi iki terimi rs dki frk edir? Aç kly z. ( ) dizisii s rs yl ilk, 6 ve 7 terimii toplm buluuz. ( ) dizisii ilk terimii toplm ciside s l ifde edilir? Aç kly z. Örek ( ) (, 7, 9,..., +,...) dizisii herhgi rd fl k iki terimi rs dki frk bull m: + + ( + ) + + tir. + + ( + ) oldu ud ( ) dizisii herhgi rd fl k iki terimi rs dki frk, yi sbit bir sy d r. ( ) diziside N + içi + r olck flekilde bir r vrs ( ) dizisie ritmetik dizi, r sbit sy s d bu ritmetik dizii ortk frk diyece iz. ( ) (,,,...,, +,...) bir ritmetik dizi ise... + r dir.. Afl d verile dizileri iceleyelim:. ( ) (, 7,,..., +,...) dizisi, ortk frk ol bir ritmetik dizidir. b. (b ) (,, 9,...,,...) dizisi, ortk frk ol bir ritmetik dizidir. c. (c ) (,,,...,,...) dizisi, ortk frk (s f r) ol bir ritmetik dizidir.. ( ) ( ) dizisii ritmetik dizi oldu uu gösterip ortk frk ve 8. terimii bull m: ( ) bir ritmetik dizi ise N + içi + frk sbit olml d r. Bu göre + [( + ) ] ( ) + + r (ortk frk) olur. O hâlde ( ) dizisi, bir ritmetik dizidir. ( ) dizisii 8. terimi ise 8. 8 tür. Diziler. Bölüm 8

194 Aritmetik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Frk Türüde Bulm Afl d verile ifllemleri iceleyiiz. Bir öceki syfd kouy giriflte bhsedile sporcuu trem herhgi bir. güüde kofltu u mesfei ( ) s l buludu uu ç kly z...., tir., +,, +, ( +,) +, +.(,), +, [ +.(,)] +, +.(,)., +, [ + ( ).,] +, + ( )., olur. 7 oldu ud 7 + ( )., buluur. Geel olrk ( ) bir ritmetik dizi ve r ise... r dir. r + r r + r ( + r) + r +r r + r ( + r) + r + r. r + r ( + ( )r) + r + r r + ( ).r buluur. lk terimi ve ortk frk r ol bir ritmetik dizii. terimi (geel terimi), + ( ).r dir. lk terimi, ortk frk ol bir ritmetik dizii kç c terimii oldu uu bull m:, r ol ritmetik dizii geel terimi, + ( ).r tür. + + Dizii. terimi ise buluur. Aritmetik Dizii Özellikleri. Ad m Tyfu defterie yd ilk üç d m gösterile bir süsleme ypm flt r. Tyfu u ypt süslemei her d m dki üçge sy s -. Ad m göstere solu dizi ( ) olsu.. Ad m ( ) dizisii ede ritmetik bir dizi oldu uu ç klyrk, geel terimii buluuz. üslemei so d m d 9 üçge oldu u göre ( ) dizisii kç terimi oldu uu buluuz. ( ) solu dizisii elemlr yz z. ( ) dizisii. terimii ve. terimleri ciside,. terimii ise ve 8. terimleri ciside yz z. ( ) solu dizisii bflt ve sod eflit uzkl kt bulu terimlerii toply p gözlemleriizi ç kly z. ( ) dizisii ilk terimi ve so terimi 9 dur. Bu iki terim rs d k te sy olsu. Bu göre ( ) dizisii ortk frk, ve k ciside yz z. ( ) dizisii 7. terimii,. terim ve ortk frk ciside yz z. ( ) dizisii ortk frk, 8 ve. terimleri ciside yz z. ( ) dizisii terimlerii toplm, dizii ilk ve so terimi ile terim sy s ciside yz z. Buldu uuz bu ifde ile dizii ilk terimide isteile bir terimie kdr ol terimleri toplm buluup bulumyc ç kly z. Elde etti iiz souçlr göre ritmetik dizileri özelliklerii geelleyiiz. 8. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

195 Örek lk terimi, so terimi ve ortk frk ol ritmetik dizii terim sy s bull m: ilk,. terim ve r ortk frk olmk üzere + ( ). r idi. o terim. terim olsu. + ( ).r + ( ). + olur. Bu göre dizii terimi vrd r. A. lk terimi, so terimi ve ortk frk r ol bir ritmetik dizi içi + ( )r olur. Bu - eflitlikte yi çekelim: + r r r + r + buluur. r olu bir ritmetik dizide ilk terim, so terim - + r ve ortk frk r ise dizii terim sy s, dir. Örek ile sy lr rs, bu sy lrl birlikte dizi oluflturck biçimde terim yerlefltirilirse bu dizii ortk frk kç olc bull m: ve sy lr rs terim ekleecekse oluflck dizi terimli olur. Bu durumd, ve dir. Ortk frk r ise + ( ). r oldu ud +( ).r + r r buluur. B., b ve < b olmk üzere ile b rs, bu sy lrl birlikte bir ritmetik dizi oluflturck flekilde k te sy yerlefltirelim. ve b sy lr rs bir ritmetik dizi oluflturck flekilde k te terim yerlefltirirsek bu dizii terim sy s ve b ile birlikte k + olur. - b- b- ( ) ritmetik dizi ise + ] - g. r r olur. - k + - k +, b ve < b olmk üzere ile b rs, bu sy lrl birlikte bir ritmetik dizi oluflturck flekilde b- k te sy yerlefltirirsek olufl bu dizii ortk frk, r olur. k + Örek Bir öceki örekte verile ritmetik dizii tüm terimlerii fl dki gibi gösterelim:, 7,,, 6, 9,,, 8,,, 7, Dizii terimlerii iceleyiiz. Bu dizii herhgi bir terimie, s d ve sold eflit uzkl kt bulu iki terimi ritmetik ortlms bu terime eflit oldu u dikkt ediiz. Öre i, terimie s d ve sold eflit uzkl kt bulu ve 8 içi dir. C. ( ) ritmetik diziside k N + ve < k < olmk üzere k + ( k ).r ve +k + ( + k ).r dir. Bu eflitlikleri trf trf toplrsk k + +k + r( k + + k ) ( + ( )r) buluur. k+ + k k + +k olur. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 8

196 ( ) ritmetik diziside k N + ve < k < olmk üzere N + k+ + k içi dir. Di er bir deyiflle, bir ritmetik dizii herhgi bir terimi, bu terime s d ve sold eflit uzkl ktki iki terimi toplm yr s eflittir. Örek ( ) bir ritmetik dizi ve ise 7 terimii bull m: olc göre _ + 9i+ _ 6 + 8i ve 7 buluur. Ç. (,,,..., k, k+,..., k+,..., ), ortk frk r ol solu bir ritmetik dizi olsu. Bu dizide bflt k. terim k, sod k. terim ise k+ dir. Bu göre k + (k ).r ve k+ + ( k + ).r olur. Bu iki eflitli i trf trf toplrsk k + k+ + + ] -g. r k + k+ + olur. olu bir ritmetik dizide, bflt ve sod eflit uzkl kt bulu terimleri toplm, birbirie eflittir. Bu toplm, dizii. terimi ile so terimii toplm d r. (,,,..., k, k+,..., k+,..., ) solu ritmetik diziside, k + k olur. Örek Bir ritmetik dizide, r ise 9 terimii bull m: + ( ).r oldu ud r ve +. r olur. Bu iki eflitlik trf trf ç kr l rs 9 8r r 9 + r 9 +. buluur. D. lk terimi, ortk frk r ol terimli bir ritmetik dizii. terimi, + ( ).r ve < k < olmk üzere k. terimi, k + (k ).r dir. Bu iki eflitli i trf trf ç kr rsk; + ( ).r / k + (k ).r + k + ( ).r (k ).r k [( ) (k )].r k ( k).r buluur. ( ) ritmetik diziside < k <, k N + ve ortk frk r ise k + ( k).r dir. Örek Bir ritmetik dizii. terimi 99 ve 8. terimi ise bu dizii ortk frk ve. terimii bull m: k + ( k). r oldu ud 8 + ( 8). r r r 6 d r. Bu göre 8 + ( 8). r buluur. 86. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

197 E. lk terimi, ortk frk r ol bir ritmetik dizide p. terim p, k. terim k (p > k) ise p + (p ).r ve k + (k ).r dir. Bu iki eflitli i trf trf ç kr rsk; p- k p k (p ).r (k ).r r buluur. p- k Bir ritmetik dizide p. terim p, k. terim k (p > k) ise bu dizii ortk frk p- r p- k k dir. Örek Geel terimi ol ritmetik dizii ilk terimii toplm bull m: lk terimi toplm diyelim _ + i + _ + i _ + i dir d r. O hâlde buluur. F. ( ) ritmetik dizisii ilk terimii toplm olsu. Bu göre eflitliklerii trf trf toplrsk; ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) olur. Bu eflitlik. _ + i+ _ + i _ + i+ _ + i te( + ) fleklide yz lbilir. O hâlde..( + ) _ + i buluur. ( ) ritmetik dizisii ilk terimii toplm / ise dir. k _ + i Bu formülde + ( ).r yzrsk. r _ + ] - g i olur. k. Bir ritmetik dizide ve 8 ise bu dizii ilk terimii toplm bull m: r 8 ve tür. Dizii ilk terimii toplm,. r.... buluur. 7 + ] - g A 6 + ] - ] g. Bir ö reci, ilk gü bir kitpt syf okuyor. Di er güler ise bir öceki gü okudu ud syf fzl okuyor. Bu ö recii oucu gü soud kç syf kitp okudu uu bull m: Bu ö reci her gü, bir öceki güde syf fzl kitp okuyors bu ö recii her gü okudu u syf sy s, ortk frk r ol bir ritmetik dizii terimleridir. Bu göre. r.. olur. 7 + ] - g A 6 + ] - Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 87

198 . Bir ( ) diziside, ve N + içi + +, oldu u göre;. Dizii kç c terimi tür? b. Dizii ilk terimii toplm kçt r?., log, 8 sy lr bir ritmetik dizii rd fl k üç terimi ise kçt r?. 8 ile sy lr rs, bu sy lrl ritmetik dizi oluflturck flekilde 6 terim yerlefltirilirse bu dizii o dokuzucu terimi kç olur?. Bir koveks beflgei iç ç lr ölçüleri, bir ritmetik dizii rd fl k befl terimidir. Bu beflgei e küçük ç s ölçüsü 8 ise e büyük ç s ölçüsü kç derecedir?. Bir köylü, evii çt s ç kmk içi ydki resimde görüldü ü gibi bsmkl bir merdive ypm flt r. Merdivei e lttki bsm uzulu u 6 cm ve e üstteki bsm uzulu u cm olup bsmk uzuluklr kdemeli olrk zlmktd r. Bu göre;. Merdive bsmklr uzuluklr bir ritmetik dizi oluflturuyor ise dizii geel terimii buluuz. b. Merdivei ypmk içi 6,8 metre tht kulld göre merdivei eflit uzulukt ol iki y dire ii her birii uzulu uu buluuz. Geometrik Dizi Geometrik dizi Geometrik dizii özellikleri Geometrik dizii ilk terimii toplm 6 m yüksekli ideki bir yerde fl b rk l bir top yere her çrp fl d düfltü ü yüksekli i dörtte üçü kdr yerde yükselmektedir. Bu durumu, bir dizi ile s l gösterebilece iizi trt fl z. Yukr dki örekte, topu yere kç c kez çrpt göstermek üzere, topu yere her çrp fl d ulflt yüksekli i ( ) dizisi ile ifde edelim. Tblo.9 u doldurrk ( ) dizisii terimlerii ve geel terimii buluuz. Tblo.9 çrm y s ()... Yükseklik ( ) m... ( ) dizisii rd fl k herhgi iki terimii or r olsu. Bu göre r i de erii buluuz. ( ) dizisii s rs yl ilk, ve 6 terimii toplm buluuz. ( ) dizisii ilk terimii toplm ve r türüde s l ifde edersiiz? Aç kly z. Örek ( ) (,, 9, 7,...,,...) dizisii herhgi rd fl k iki terimii or bull m: + dir. + oldu ud ( ) dizisii herhgi rd fl k iki terimii or yi sbit bir sy d r. 88. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

199 ( ) diziside N + + içi r olck biçimde bir r vrs ( ) dizisie geometrik dizi, r sy s d bu geometrik dizii ortk or vey ortk çrp diyece iz. + ( ) (,,,...,, +,...) bir geometrik dizi ise... r dir.. Afl d verile dizileri iceleyelim:. ( ) (,,, 8,...,, ) dizisi ortk çrp ol bir geometrik dizidir. b. (b ),..., e8,,,,,... o dizisi ortk çrp ol bir geometrik dizidir. c. (c ) (,,,...,,...) dizisi ortk çrp ol bir geometrik dizidir.. ( ) ( + ) dizisi bir geometrik dizi midir? or bulrk iceleyelim: + ] + g or de ifltikçe de iflir. Bu durumd ( ) ( ) dizisi bir geometrik dizi olmz.. ( ) e dizisi bir geometrik dizi ise bu dizii ortk çrp ve. terimii bull m: o ( ) bir geometrik dizi ise N + + içi or sbit olml d r. Bu göre, + :, yi sbit oldu ud _ ortk or r ol i e o e o e o e o e o + + bir geometrik dizidir. Bu dizii. terimi olur. Geometrik Dizii Geel Terimii, lk Terimi ve Ortk Çrp Türüde Bulm + Geel olrk ( ) bir geometrik dizi ve r ise r dir. yerie,,,..., de erleri s ryl yz l rs r., r., r.,..., r. buluur. Bu eflitlikler trf trf çrp l rs..... r. r. r... r r buluur. ] g te lk terimi, ortk çrp r ol bir geometrik dizii geel terimi.r dir. lk terimi, ortk çrp ol geometrik dizii. terimii bull m:, r ve oldu ud,.r eflitli ide bulr yerie yzrsk; d d 9 8 buluur. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 89

200 Geometrik Dizii Özellikleri Bir hikâyeye göre strc ict ede ve yörei sult su kifliye, sult mükâft olrk diledi ice lt vermeyi teklif eder. Mucit ise frkl bir istekte buluur ve birici kreside, ikici kreside, üçücü kreside, dördücü kreside 8,... olck flekilde strç thts 6 kresie de bu dy koulrk kedisie verilmesii ister. ult ise buu çok küçük bir istek oldu uu düflüür. Peki, sizce bu küçük bir istek midir? Gerekçeleriyle ç kly z. trç thts krelerie kock bu dy telerii sy s göstere dizii ilk 6 terimide olufl solu dizi ( ) olsu. Bu göre ( ) dizisii bz elemlr fl d verile oktl yerlere yz z. ( ) (...,...,...,...,...,..., 6...) olur. ( ) dizisii geel terimii buluuz. ( ) dizisii ortk çrp buluuz. ( ) dizisii geel terimii dizii birici terimi ve ortk çrp ciside yz z. ( ) dizisii birici terimi ile 6. terimi rs d k te sy olsu. Bu göre ( ) dizisii ortk çrp, 6 ve k ciside yz z. ( ) dizisii. terimii ve. terimleri ciside,. terimii ise ve 8. terimleri ciside yz z. ( ) solu dizisii bflt ve sod eflit uzkl kt bulu terimlerii çrp p gözlemleriizi ç kly z. ( ) dizisii terimlerii çrp m, ilk ve so terimleri ciside ifde ediiz. ( ) dizisii. terimii,. terimi ve ortk çrp ciside yz z. ( ) dizisii ortk çrp 6 ve 9. terimleri ciside yz z. ( ) dizisii s rs yl ilk, 6 ve 7 terimii toplm buluuz. ( ) dizisii ilk terimii toplm ve r (ortk çrp) ciside ifde ediiz. Örek ile 8 sy lr rs, bu sy lrl birlikte geometrik dizi oluflturck biçimde terim yerlefltirilirse bu dizii ortk çrp kç olc bull m: ve 8 sy lr rs terim dh ekleirse oluflck dizi terimli olur. Bu durumd ve 8 dir. Ortk çrp r ise.r oldu ud.r 8. r r buluur. A., b, ve < b ise ile b rs, bu sy lrl birlikte bir geometrik dizi oluflturck flekilde k te sy yerlefltirelim. ve b sy lr rs bir geometrik dizi oluflturck flekilde k te terim yerlefltirirsek bu dizii terim sy s ve b ile birlikte k + olur. bir geometrik dizi ise.r r olur. Burd k +, b ve yz l rs k+ b r k+ b buluur., b, ve < b olmk üzere bu iki sy rs, bu sy lrl birlikte bir geometrik dizi oluflturck flekilde k te sy yerlefltirildi ide bu dizii ortk çrp r k+ b olur. 9. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

201 ile sy lr rs, bu sy lrl birlikte geometrik dizi oluflturck biçimde 7 terim yerlefltirilirse bu dizii 6. terimii kç olc 8 bull m: k+ b , b ve k 7 ise ortk çrp r. olur. 8 8 / Dizii 6. terimi 6.r 6 buluur Örek Bir öceki örekte verile geometrik dizii tüm terimlerii ydki gibi gösterelim: Dizii terimlerii iceleyiiz. Bu dizii herhgi bir terimie, s d ve sold eflit uzkl kt bulu iki terimi geometrik orts bu terime eflit oldu u dikkt ediiz. Öre i, 6 terimie s d ve sold eflit uzkl kt bulu ve 9 ise oldu uu gözlemleyiiz B. ( ) geometrik diziside k N + ve < k < olmk üzere N + içi k.r k ve +k.r +k terimleri de eflit uzkl ktd rlr. Bu iki terimi çrprsk k. +k.r k..r +k.r k ++k.r. r ( ) (.r ) buluur. 8,,,,,, 8, 6, O hâlde. vey. k + k k + k olur. Bir ( ) geometrik dizisii rd fl k üç terimi, b, c ise bu terimler rs d b.c vey b. c fleklide bir iliflki vrd r. b sy s, ( ) diziside ve c sy lr geometrik orts d r.. Bir geometrik dizide, 9 ise terimii bull m: + oldu ud terimi, ve terimlerie eflit uzkl ktd r. Bu göre olur.. Ard fl k üç terimi, +, + 6 ol pozitif terimli bir geometrik dizide ortk çrp bull m: ( + ).( + 6) olur. Burd ± buluur. içi dizii terimlerii pozitif olmd gösteriiz. içi dizii rd fl k üç terimi, 8, 6 olur oldu ud ortk çrp dir. Örek _ i d,,,y, 7 pozitif terimli solu geometrik diziside ve y i de erii bull m:, ve, ( ) dizisii rd fl k üç terimi oldu ud. dir., y ve, ( ) dizisii rd fl k üç terimi oldu ud y. y dir. _ i d,,,, 9 7 geometrik diziside bflt ve sod eflit uzkl kt bulu terimleri çrp - m birbirie eflit oldu u dikkt ediiz... d 7 9 oldu ud.. dir. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 9

202 C. (,,,..., k, k+,..., k+,..., ) ortk çrp r ol solu bir geometrik dizi olsu. Bu dizide bflt k. terim k, sod k. terim ise k+ dir. Bu göre k.r k ve k+.r k+ olur. Bu iki eflitli i trf trf çrprsk k. k+..r k + k.. r. \ buluur. olu bir geometrik dizide bflt ve sod eflit uzkl kt bulu terimleri çrp m birbirie eflittir. Bu çrp m, dizii. terimi ile so terimii çrp m d r. (,,..., k, k+,..., k+,..., ) solu geometrik diziside, k. k+.... olur. olur. ( ) bir geometrik dizi ve.... oldu u göre terimii bull m: Afl dki çözümü iceleyiiz. Çözümde her d m s l yp ld ç kly z... dir. Bu göre.... (. ).(. )... buluur. Örek (,,,..., 8, 9 ) solu geometrik diziside 6 ve 9 / ise bu dizii terimlerii çrp m bull m: tür. ( ) ( ).( ) (. 9 ).(. 8 ).(. 7 )..... ( 8. ).( 9. ) (. 9 ).(. 9 ).(. 9 )..... (. 9 ).(. 9 ) 9 te (. 9 ) 9 9 olur. ( ) buluur. Ç. ( ) (,,,...,,, ) solu bir geometrik dizi ise ( ) ( ).( ) (. ).(. ).....(. ).(. ) (. ).(. ).....(. ).(. ) (. ) olur. te ( ) (,,,...,,, ) solu bir geometrik dizi ise bu dizii terimleri çrp m, ( ) (. ) dir. Örek Bir geometrik dizii 8. terimi ve ortk çrp ise bu dizii 8. terimii bull m: 8.r 7 ve 8.r 7 dir. Bu eflitlikler trf trf bölüürse 8 8. r 7. r r 8. d buluur. 9 D. lk terimi, ortk çrp r ol bir geometrik dizide,.r ve k. terim ( < k < ) k.r k dir. k.r k k olur. k r k k i de eri geel terimde yerie yz l rs. r r. r buluur. k k r 9. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

203 k. terimi ( < k < ) k ol bir geometrik dizide k.r k dir. Örek Bir geometrik dizide ve 9 7 ise bu dizii ortk çrp bull m: 9.r 8 ve.r tür. Bu eflitlikler trf trf bölüürse 9. r 9 9 r r r. r 8 7 / r buluur. E. lk terimi, ortk çrp r ol bir geometrik dizide p. terim p, k. terim k (k < p) ise p.r p ve k.r k olur. Bu iki eflitli i trf trf bölersek p k p. r p r r k k. r r p k r p k p k olur. p Bir geometrik dizide p. terim p, k. terim k (k < p) ise dizii ortk çrp r p k dir. k Bir geometrik dizide, 6 ise terimii bull m: p k p r r 8 olur. / k p.r p.r buluur. Örek lk terimi, ortk çrp Bu dizii ilk terimii toplm, ol bir geometrik dizii ilk terimii toplm bull m: F. ( ) geometrik dizisii ilk terimii toplm olsu. Bu göre / k k r +.r r yz lbilir. Burd ( + r + r +r r ) - d r r - buluur. 9-8 buluur. - r ( ) geometrik dizisii ilk terimii toplm... ise k dir. / - r k Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 9

204 Bir geometrik dizide ise bu dizii. terimii bull m: ise 9 9 ve dir. 9 + oldu ud 9 ( 9 ) 9. 9 buluur.. Afl dki dizilerde hgisi y d hgileri geometrik dizidir?. ( ) ( ) b. ( ) ( ) c. ( ) ( ) ç. ( ) (( ) ) d. ( ) (( ) ). Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu yz z.. ( ) bir geometrik dizi ve, 9 8 ise çrp m 6 tür. 8 b. Bir geometrik dizide 9 6, 7 ise dir.. Bir geometrik dizide, 6 ise bu dizii ortk çrp ile. terimi kçt r?. lk terimii toplm 8. d -G ol geometrik dizii 6. terimi kçt r?. ( ) geometrik diziside, ise bu dizii geel terimii buluuz. 6. lk terimi, ortk çrp ve. terimi b ol bir geometrik dizii ilk terimii toplm fl dkilerde hgisie eflittir? A) b B) b C) b D) b E) ( b) 7. ierpiski (iy rpiski) Üçgei Frktl, eflker üçge biçimide rekli bir yüzey l rk ifl edilir. lk d md, bu üçgei kerlr ort oktlr bulurk bu oktlr birlefltirilir. Bu durumd üçge dört eflker üçgee yr l r. or ortdki üçge kld r l r. Bfllg ç. Ad m kici d md, kl üç üçgei her biri bezer flekilde dört eflker üçgee yr l r ve bu üçgeleri ortlr dki üçgeler kld r l r. Üçücü d md dokuz üçge kld r l r. E er süreç sosuz kdr devm ederse ierpiski Üçgei Frktl elde edilir. Bu göre;. Ad m. Ad m k. d md kld r l üçge sy s verecek bir ( k ) geometrik dizisi buluuz. b.. d md kld r l üçgeleri sy s buluuz. c. Bfllg çtki üçgei bir ker birim ise k. d md kld r l l verecek bir (b k ) geometrik dizisi buluuz. ç. Beflici d md kld r l üçgeleri toplm l edir? 9. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

205 Afl dki sorulr içi grfiksel hesp mkiesi kullrk cevplr z do rulu uu kotrol edebilirsiiz.. Ortk frk - ol bir ritmetik dizi ve ortk çrp - ol bir geometrik dizi yz z.. Aritmetik ve geometrik dizi rs dki frk ç kly z.. Bir ritmetik dizide 9. terim 7, 7. terim ise bu dizii ilk terimii toplm kçt r?. Bir geometrik dizii rd fl k terimi;,, b, c, 8 ise.b.c kçt r?., +, + 8 bir geometrik dizii rd fl k üç terimi ise kçt r? 6. Bir ritmetik dizide + 7, + ise 8 kçt r? 7. Birici terimi 8, ikici terimi ol bir ritmetik dizii ilk terimii toplm kçt r? 8. Bir geometrik dizii ilk 7 terimii çrp m ise bu dizii. terimi edir? 9. Geometrik dizileri kullrk P() poliomuu ede - ( ) fleklide - yz lbilece ii ç kly z.. Ydki flekilleri lt dki sy lr bu flekillerdeki toplm üçge sy s göstermektedir. Bu örütüye göre fl d isteeleri yp p sorulr cevply z. 9. y diziside sorki üç terimi bulmk içi bud sorki üç flekli çiziiz. b. Dizii geel terimii vere ifdeyi yz z.. Afl dki prgrft bofl b rk l yerleri uygu ifdelerle tmmly z. Kl l br ol bir kâ t prçs ikiye ktld d kâ d kl l... br, tekrr ikiye ktld d kl l... br, kere ktld d kl l... br, 8 kere ktld d kl l... br olur.,... temsil etmek üzere bu durumu ( ) (...) dizisi ile gösterebiliriz.. Ydki grfik, bir flirketi -8 y llr rs dki y ll k cirosuu göstermektedir., y l temsil etmek üzere flirketi y l dki cirosu, milyo TL dir. -8 y llr rs d flirketi y ll k cirosu her y l ortlm % 6, rtmktd r. Bu göre;. -8 y llr rs d flirketi y ll k cirosuu modelleye dizii geel terimii buluuz. b. ( ) d buldu uuz modeli kullrk flirketi -8 y llr rs dki toplm cirosuu buluuz. Ciro ( milyo TL ),7,, Y llr ( 8 ) Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 9

206 . / _ k+ - k-i toplm kçt r? k A) B) C) D) 6 E) 7 9. ( ) ( + + ) dizisii kç terimi pozitiftir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) toplm fl dkilerde hgisie eflittir? A) 8 B) 8 C) 8 D) 6 E) 6. f() + ve, içi, - i / i toplm kçt r? A) B) 7 C) D) E) 8 8 % k - k. ise kçt r? k f p. f_ ii A) B) 6 C) 86 D) 998 E). 9 sy s d küçük, ile tm bölüebile do l sy lr toplm kçt r? A) B) 8 C) 69 D) 87 E). f : N + olmk üzere f foksiyou içi, f( + ) f() + ve f() ise f() fl dkilerde hgisidir? 9 A) B) C) D) E) deklemii kökleri ve ise % _ - i k ifdesii de eri kçt r? A) 9 B) C) D) E) toplm fl dkilerde hgisie eflittir? A) 7 B) 9 C) 8 D) E) 7. Afl dkilerde hgisi, bir gerçek sy dizisii geel terimi olmz? + A) B) C) D) E)! k + +. Pozitif terimli bir geometrik dizii ilk lt terimii toplm, ilk üç terimii toplm 8 kt ise bu dizii ortk çrp fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E). k olmk üzere; ( ) (k + ) dizisii 7. terimi ile 8. terimleri birbirie eflit ise bu dizii. terimi kçt r? 8 7 A) - B) - C) - D) - E) _ dizisii. terimi i f / d - p k k + k fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 8. Bir üçgei iç ç lr ölçüleri, bir ritmetik dizii rd fl k üç terimidir. Bu üçgei e büyük ç s ölçüsü ise e küçük ç s ölçüsü, kç derecedir? A) B) C) D) E) 96. Bölüm Çözümlü Test

207 buluur. CEVAP : B toplm d her terim, rd fl k iki çift sy çrp m d r. Bu göre < F 8 buluur. 6 CEVAP : B. f() + f( ) ( ) ( ) + ve f() + tir. i.f( i ) i / _ k + - k - i. k. k - k k k k ( ) / ^k - kh % / k 9 / / 6 / ^k + k+ -k-8h k 6 / CEVAP : D / ^k - h - 6. dir. 6 k k. ] k+ g ] k+ g. 6] k+ ] k+ g. ] k+ g. ^k + 9k+ h k k buluur. 8 / k.f( ) 8 - { ^ k - kh / 7] k+ g -. ] k+ ga k f( ) { ( 7 deklemide. 7 ve + tür.) CEVAP : A / ] k - g dir. CEVAP : C 7. Verile ifde, N + içi gerçek sy oluyors bu ifde bir gerçek sy dizisii geel terimidir. A seçee ideki ifdeside, + - içi pyd s f r olur ve terimi bir gerçek sy olmz. O hâlde bu ifde, bir gerçek sy dizisii geel terimi de ildir. Di er seçeeklerdeki ifdelerde ise pydy s f r yp de erler, N + kümesii elem olmd - d her biri bir gerçek sy dizisii geel terimidir. CEVAP : A 8. _ dizisii. terimi, i f / d - p k k + k % k /] k- g /6] k+ g-@ k k / olur. k k. ] k+ g k. k+ ] g + / _ - i _ -i._ -i.. / ] k+ g +. 8 dir. k k. ( + ) buluur. k k+ -k / d - / k k + k. ] k + g k k oldu ud / k k. k+ + ] g k buluur. CEVAP : A CEVAP : D Çözümler. Bölüm 97

208 ( ) + + ( 8).( + ) 8 ve olur < < 8 içi, + + > d r. ( ) bir dizi oldu u göre içi < < 8 rl dki pozitif tm sy lr seçmeliyiz. O hâlde bu dizii ilk 7 terimi pozitiftir. CEVAP : B. 9 sy s d küçük ve ile tm bölüebile do l sy lr bir ritmetik dizi oluflturur. Bu dizii ilk terimi, ortk frk r ve so terimi, 9 t küçük ve ü kt ol e büyük do l sy d r. Bu sy 96 d r. + ( ).r ise olur. r O hâlde bu sy toplm, dir. CEVAP : D. f : N + foksiyou, f( + ) f() + fleklide t mld d bir ritmetik dizi oluflturur. Bu dizii ortk frk f( + ) f() ve. terimi, f() dir. fiimdi, dizii. terimii bull m: p + ( p).r + ( ) buluur. CEVAP : C r 6 8.( r ) + r 8 r 7 r buluur.. ( ) (k + ) diziside 7 9k + 9k ve 8 6k 6 + 6k tir k 6k 6k 9k buluur. ( ) d ise - + k CEVAP : E tür. CEVAP : D. ABC üçgeii ç lr ölçüleri rs dki b t, A < B < C olsu. A, B, C bir ritmetik dizi oluflturdu u göre, B A + r ve C A + r dir. A+B+C 8 A + (A + r) + (A + r) 8 A + r 8 A + r 6 olur. (I) C A + r dir. (II) I ile II yi ortk çözelim: A+ r c - / A+ r 6c A+ r c -A- r -c r r - 8 r r - A - c A c buluur. iki eflitli i trf trf toplrsk, O hâlde ABC üçgeii e küçük ç s ölçüsü dir. 6 CEVAP : B 98. Bölüm Çözümler

209 . N + içi sy s ile tm olrk bölüebilece ii tümevr m yötemi ile isptly z.. de ye kdr ol do l sy toplm üçgesel sy deir. Afl d ilk 6 üçgesel sy verilmifltir. 6. fiekilleri iceleyerek üçgesel sy lr ede böyle bir isim verilmifl olbilece ii ve bir sorki üçgesel sy y flekil çizerek buluuz. b. Üçgesel sy lr bir dizi fleklide ifde edip dizii geel terimii buluuz. c. Dizii, ve. terimlerii buluuz.. Nede, oldu uu ç kly z.. Bir hber, teret üzeride e-post rc l ile yy lmktd r. Pzr sbh kifliye göderile hberi l kifliler, pzrtesi sbh rkdfl - dh e-mil yoluyl hberi ulflt rd ve oly bu flekilde devm etti ie göre cumrtesi kflm kdr hberi kç kifli duymufl olur? ( Bir kiflii hberi yl z bir kez ld kbul edelim.). TL, y ll k % bsit fizle bky yt r ls. Y llr göre fizi (p ) dizisi ile gösterirsek (p ) dizisii geel terimi e olur? 6. te tk m kt ld bir spor turuvs kurllr göre her bir tk m di er tk mlrd her biriyle bir kez krfl lflms gerekmektedir. Bu turuvd toplm kç krfl lflm gerçekleflir? Nede? 7. Bir hvuzu doldurmk içi ilk gü bir musluk ç l yor. orki her gü türdefl bir musluk dh ç l yor. gü sor hvuzdki su miktr 6 m oldu u göre bir musluk bir güde kç m su k tm flt r? 8. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr - z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu yz z.. Bir dizi y ritmetik yd geometrik dizidir. b. Hem ritmetik hem geometrik ol bir dizi yoktur. 8 / 9. k ifdesii de eri kçt r? A) 96 B) 66 C) 999 D) 68 E) 86. f ( ) ] k- 7g, g ( ) ] k+ g ise (fog)() kçt r? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). Afl dkilerde hgisi, bir gerçek sy dizisii geel terimi olmz? A) B) t C) log + + D) E) +. dizisii sbit dizi olms içi + _ i d - bu dizi fl dkilerde hgisie eflit olml d r? A) - B) - C) - D) - E). Terimleride ikisi ve 96 ol bir ritmetik dizii ile 96 rs d 7 terimi vrs bu dizii ortk frk kçt r? A) B) C) D) E) _ i e o dizisii kç terimi tm sy d r? A) 8 B) 9 C) D) E). Bir geometrik dizii ilk terim toplm, - ise bu dizii. terimi fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) deklemii kökleri ve ise % k p % _ + i i / / k k i + çrp m soucu kçt r? - A) B) 7 C) D) E) 7 De erledirme. Bölüm 99

210 79. % ] cosk - sik g çrp m fl dkilerde k hgisie eflittir? A) B) C) D) E), ª (mod ) ise. Geel terimi +, ª (mod ) ise ] g., ª (mod ) ise ol dizide + + toplm fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) _ i d dizisii kç c terimi dir? - A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 8. Geel terimi ol bir ritmetik dizii ilk befl terimii toplm fl dkilerde + hgisidir? 9 7 A) B) C) D) 6 E) 7 7. Bir ritmetik dizide ise 8 + toplm kçt r? A) 8 B) C) 6 D) E) 8. lk terimi ve ortk çrp ol bir geometrik dizii 8. terimi fl dkilerde hgisi- 7 dir? 8 A) B) C) D) E) 6 9. f(), g() oldu u göre 9 / k eflittir? _ fog i] kg fl dkilerde hgisie A) 8 B) C) D) E) 6.. Geel terimi ol bir geometrik dizii ilk terimii çrp m fl dkilerde hgisidir? A) d. B). d C) D) E). 8. _ i f / kp ve _ b i f / k p ise f p b k k dizisii geel terimi fl dkilerde hgisidir? + A) B) C) + + D) E) Bir ritmetik dizii ve 8. terimlerii toplm + ise bu dizii, 6 ve 7. terim- lerii toplm edir? + + A) + B) C) + D) E) 6. f : N +, f foksiyou içi f().f( + ) ve f() 6 ise f() fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) k k+. / log d toplm, fl dkilerde h- k gisie eflittir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. Bölüm De erledirme

211 Bir bi ifls içi st l ck mlzemeleri miktrlr ve fiytlr, çl flt r lck kiflileri görevleri ve sy lr gibi bilgileri göstere bir tblo oluflturuuz. Oluflturdu uuz tblodki her bir st r ve sütu eleri ifde etmektedir? Bu tblo, sdece sy lrd oluflck flekilde düflüülebilir mi? Ns l? Afl d verile durumlr, mtrisleri gülük hytt erelerde kull ld öreklemektedir. Her bir durumu iceleyerek fl d isteeleri yp z. Ticret, fizik ve mühedislik gibi llrd deklem sistemlerii çözülmesi Bir firm kâr e uygu hâle getirmek içi do rusl ( lieer ) progrmlm kull lms fis oyulr d kzm ols l e yükse e ç krmk içi izlee strtejiler Nkliye kmyolr güzergâhlr belirlemesi Bilgisyr sistemlerii güveli ii s lms. Mtrisleri yukr dki her bir durumd s l kull ld rflt r z. b. Yukr dki durumlr hgi mesleklerde gerçekleflebilir? Bu meslekleri ve bu mesleklerde mtemti i rolüü e oldu uu rflt r z.. Bölüm

212 Projei Adı: Mtrisler ve Ekoomi Projei Amcı: Ekoomide mtrisleri s l kull ld ç klybilme Projei Aşmlrı Projei Hzırlık üreci. Mtris kvrm ve mtrislerle yp l temel cebirsel ifllemleri e oldu uu rflt r z.. Mtrisleri ekoomide erelerde ve s l kull ld rflt r z. Projei İçeriği Geçlere yöelik hobi deey setleri hz rly bir firm, frkl tedrikçi firmlrd hz r prçlr lmkt ve bulr pketleyerek üç frkl seviye içi kull m hz r elektroik deey setleri ypmktd r. Her bir set içi kull l temel prçlr sy s, birim mliyetleri ve seti st fl hz r hâle getirmek içi gerekli iflçilik zm Tblo. de verilmifltir. Tblo. Prçlr Mliyet (Adet) Kull l Prç y s Bfllg ç Ort leri A Krt Kodstör Direç Etegre Güç Ky flçilik ( dkik ), TL, TL, TL,9 TL, TL, TL Her bir seti st fl fiyt ve firm ld so siprifli bilgileri ydki tblolrd verilmifltir. Firm yetkilileri, bu tblolrd yer l bilgileri birer mtris fleklide ifde ederek sklmk ve bu mtrisleri kullrk fl d verile bilgileri bulmk istemektedir. Tblo. Deey eti Bfllg ç Ort leri t fl Fiyt,6 TL 6,8 TL 8, TL Tblo. Deey eti Bfllg ç Ort leri iprifl Adedi 8. iprifli krfl lybilmek içi gerekli evter ( prçlr ve iflçilik) b. iprifli krfl lybilmek içi gerekli mliyet ( prçlr ve iflçilik) c. ipriflte elde edilecek gelir ( st fl sors ) ç. t flt elde edilecek kâr. Tblo., Tblo. ve Tblo. teki bilgileri birer mtris fleklide ifde ediiz.. iprifl sors istee bilgileri bulmy yry mtris ifllemlerii yp z.. Firm siprifli tmmlyrk teslim etmeside bir süre sor, prç s ly firmlrd biri, deey setleride kull l krtlr ve etegreleri üretimde kld r ld bildirir. Firm stoklr d mevcut durumd krt ve etegre bulumktd r. Firm di er prçlrd istedi i kdr temi edebilece ii vrsyrk;. toklrdki krtlr ve etegrelerle her bir deey setide kç te üretilebilece ii buluuz. b. Üretile tüm deey setlerii st lms durumud firm elde edece i kâr buluuz. Projei uum üreci. Arflt rmlr z souçlr ilgili resim ve cld rmlrl zegilefltirip bir bilgisyr suumu hz rly z.. Arflt rmlr z soud topld z bilgilerle bir poster suumu hz rly z.. Bölüm Mtrisler

213 Mtris kvrm Verile bir mtrisi türü, st rlr, sütulr ve elemlr Mtris Bir ilç firms y flehirde d t m ypt iki ecze vrd r. Bu eczeleri stoklr d bulu ilçlr türleri ve kutu sy lr Tblo. te verilmifltir. Tblo. lç Türleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik I. Ecze 9 II. Ecze 8 Tblo. ile verile sy sl verileri tblo d fl d bir yötemle s l gösterebilirsiiz? Tblodki sy lr tümüü, birbirlerie göre yerlerii de ifltirmede köfleli bir prtez içide yzrsk bu flekli st r ve sütulr eyi ifde eder? ij Tblo. ü iceleyerek fl dki sorulr cevply z. [ ij ] mμ. Tblou. st r eyi göstermektedir? Aç kly z. b. Tblou. sütuu eyi göstermektedir? Aç kly z. c. Tblou. st r ve. sütuuu kesiflti i yerde bulu sy eyi ifde etmektedir? Aç kly z. ç. Tblo kç st r ve sütud oluflmktd r? 8 Tblo. ü st r ve sütu dlr ç krl m ve tblou di er st r ve sütulr A > 9 H fleklide gösterelim. Bu gösterime A tblosu diyelim. Afl d A tblosu ile ilgili yp llr iceleyerek sorulr cevply z. 8. st r A 9. st r. st r. A tblosuu kç st r ve sütuu vrd r? m, A tblosuu st r sy s, ise sütu sy s olmk üzere A tblosuu st r ve sütu sy s k sc m fleklide gösteriiz. b. A tblosuu. st r eyi göstermektedir? Aç kly z. c. A tblosuu. sütuu eyi göstermektedir? Aç kly z. ç. A tblosuu. st r ve. sütuuu kesiflti i yerde bulu sy eyi ifde etmektedir? Aç kly z. Örek Afl d verile A tblosu ile ilgili yp llr iceleyelim: A sütu st r. st r. sütu. sütu. sütu A tblosu st r ve sütud oluflmufltur. A tblosuu;. st r ve. sütuudki elem,. st r ve. sütuudki elem,. st r ve. sütuudki elem,. st r ve. sütuudki elem tür. y lr st r ve sütulr hâlide düzeleip köfleli prtez [ ] vey prtez ( ) içie yerlefltirilmesiyle olufl flekle mtris diyece iz. Mtrisleri geelde büyük hrflerle gösterece iz. m st r ve sütud olufl bir mtrise m türüde bir mtris diyece iz. Mtrisler. Bölüm

214 Bir mtrisi olufltur sy lr her biri bu mtrisi bir elem d r. i idisi, A mtriside bir elem st r umrs ; j idisi de bir elem sütu umrs belirtmek üzere A mtrisii, A [ ij ] biçimide if- m de ederiz. A ij 8 B T V X ij, m türüdeki A [ ij ] m mtrisii i. st r ile j. sütuuu kesiflti i yerdeki elem d r. ij yi, i. st r, j. sütudki elem vey (ij). terim (elem) biçimide ifde edece iz. m, N +, i {,,,..., m} ve j {,,,..., } olmk üzere Jmes J. ylvester ( Ceyms Cozef ilvest r). i. m. sütu A. i. m. sütu j j. ij. mj j. sütu i. m. sütu. st r. st r i. st r (ij ). terim m. st r biçimideki tblo, bir mtris belirtir. Burd m, mtrisi st r sy s, de mtrisi sütu sy s gösterir. t rlr, yukr d fl- y do ru, sütulr d sold s do ru umrld r ld dikkt ediiz. mtrisii türüü belirtip,, ve elemlr bull m: (8 897) Kelime olrk Ltice kökeli ol mtris, içeriside bir fleyi olufltu u, üredi i yer lm - gelmektedir. Mtris terimii mtemtiksel lmd kull ilk kifli Jmes Joseph ylvester olmufltur. > H * A mtrisi türüde bir mtristir. Bu göre A mtrisii toplm elem sy s 9 dur.. st r ve. sütudki elem,. st r ve. sütudki elem,. st r ve. sütudki elem,. st r ve. sütudki elem oldu ud,,, ve buluur.. Afl dki mtrisleri türlerii bulrk ylr d verile oktl yerlere yz z ] g b. > H c.? ] g ç. > H ] g - -7 ] g. Ydki A mtrisii türüü belirtip fl d isteeleri yp z. i. Afl dki elemlr de erlerii bulup oktl yerlere yz z..... b.... c.... ç.... d.... e.... f.... g A i T V π log cos log 8 Ie X ii ifdesii de erii buluuz.. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

215 . Tblo. te, bz sebzeleri besi de- erleri verilmifltir. Bu göre; Tblo. ebzeler Miktr Klori Besi De erleri i. Tblodki bilgileri bir B mtrisi fleklide ifde ederek mtrisi st r ve sütulr eyi ifde etti ii ve mtrisi türüü belirtiiz. ii. Afl dki terimleri bulrk terimleri her birii hgi sebze içi hgi besi de erii ifde etti ii ç kly z. Brokoli Domtes Hvuç Ispk Krbhr Mtr Demet Adet Adet Demet Adet Kse , 8, 9 8, 9,,. b... b. b... c. b... ç. b... Mtris Çeflitleri Y ( g ) Lif ( g ) Protei ( g ) Krbohidrt ( mg ), 6, Kre mtris f r mtrisi Birim mtris Köflege mtris Alt üçge mtris Üst üçge mtris ki mtrisi eflitli i O mμ I Tblo.6 lç Türü Atibiyotik A r Kesici Atilerjik 8 Eczeler A B C 7 Tblo.7 lç Türü Atibiyotik A r Kesici Atilerjik Eczeler A B C lç firms st fl ypt üç eczei bir gülük sipriflleri Tblo.6 d verilmifltir. ipriflleri sy s > H göstere mtrisii elemlr bulrk oktl yerlere yz z mtrisii st r ve sütu sy lr rs dki s l bir iliflki vrd r? Bu göre, mtrisii e çeflit bir mtris olrk dld rbiliriz? Eczeler trf d ilç firms göderile ilç stok durumu Tblo.7 de verilmifltir. Eczeleri stoklr dki ilç sy s göstere O mtrisii elemlr bulrk oktl yerlere yz z. Eczeleri stoklr d her bir ilç türüde kç kutu bulumktd r? O mtrisii elemlr rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Bu göre, O mtrisii e çeflit bir mtris olrk dld rbiliriz? Örek Afl dki mtrisleri iceleyelim: V - - A < B > -H C F - T X A, B ve C mtrislerii st r ve sütu sy lr eflittir. A mtrisii bütü elemlr s f rd r.... O > t r sy s sütu sy s eflit ol bir mtrise kre mtris diyece iz. t r sy s ol bir kre mtrisi türü dir H Ydki türüde kre mtriste,,..., ii,..., terimlerii buludu u köflegee sl köflege,, ( ),..., terimlerii buludu u köflegee. köflege diyece iz. Bu göre yukr dki C mtrisii sl köflegeii elemlr s rs yl,,, ve. köflegei elemlr s rs yl,,, dir... köflege sl köflege Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm

216 Bütü elemlr (s f r) ol mtrise s f r mtrisi diyece iz. m türüdeki s f r mtrisii, O [ ij ] m biçimide gösterece iz. Tblo.8 lç Türleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik Eczeler A B C Tblo.9 lç Türleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik Eczeler A B C 7 Tblo.8 ve Tblo.9 ilç firms st fl ypt üç eczei s rs yl pzrtesi ve sl gülerie it cil A > H B > H siprifllerii göstermektedir. rs yl pzrtesi ve sl gülerie it cil sipriflleri göstere A ve B mtrislerii elemlr bulrk oktl yerlere yz z. A mtrisii sl köflegeideki elemlr edir? A ve B mtrislerii sl köflegei d fl d kl elemlr edir? Bu göre, A ve B mtrislerii e çeflit mtrisler olrk dld rbiliriz? Aç kly z. Tblo. lç Türleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik Eczeler A B C 9 7 Tblo. lç Türleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik Eczeler A B C 9 7 Tblo. ve Tblo. ilç firms st fl ypt üç eczei s rs yl ve. hftlr it siprifllerii göstermektedir. rs yl ve. hftlr it sipriflleri göstere C ve D mtrislerii elemlr bulrk oktl yerlere yz z.... C > D > C mtrisi e tür bir mtristir? C mtrisii sl köflegeii üstüde kl elemlr elerdir? Bu göre, C mtrisii e çeflit bir mtris olrk dld rbiliriz? Aç kly z. D mtrisi e tür bir mtristir? D mtrisii sl köflegeii lt d kl elemlr elerdir? Bu göre, D mtrisii e çeflit bir mtris olrk dld rbiliriz? Aç kly z. Örek Afl dki mtrisleri iceleyelim: V - A < B > H C > H D F T X A, B, C ve D kre mtrislerii sl köflegeleri d fl d kl di er tüm elemlr (s f r) d r. A ve B kre mtrislerii sl köflegeleri üzerideki tüm elemlr dir., i j ise g türüde bir A [ ij ] kre mtrisi içi ij *, i j ise h I oluyors A mtrisie türüde birim mtris diyece iz ve bu h j mtrisi I ile gösterece iz. g H H türüde bir A [ ij ] kre mtriside i j içi ij ve i j içi ij ise A mtrisie köflege mtris diyece iz. A Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

217 Örek Ydki mtrisleri iceleyelim: A kre mtrisii sl köflegei üzeride kl tüm elemlr ( s f r) d r. B kre mtrisii ise sl köflegei lt d kl tüm elemlr ( s f r) d r. A > - H B T - 6 V 7 - X A [ ij ] kre mtriside i < j içi, ij ise A mtrisie lt üçge mtris diyece iz ( ). A [ ij ] kre mtriside i > j içi, ij ise A mtrisie üst üçge mtris diyece iz ( ). Afl d mtrisleri türlerii ve çeflitlerii belirtelim:. V - A > H b. O > H c. C > H ç. I > H d. D e. E 7 - T X T. A mtrisi türede kre mtristir. b. O mtrisi türüde s f r mtrisidir. c. C mtrisi türüde köflege mtristir. ç. I mtrisi türüde birim mtristir. d. D mtrisi türüde lt üçge mtristir. e. E mtrisi türüde üst üçge mtristir. V X ki Mtrisi Eflitli i Tblo. Pzrtesi l lç firms st fl ypt üç eczei pzrtesi lç Türleri Eczeler A B C A B C ve sl gükü sipriflleri Tblo. de görül- mektedir. ipriflleri sy s göstere mtrisler s rs yl P ve hrfleriyle gösterilsi. Eczeleri Atibiyotik A r Kesici Atilerjik sipriflleri her iki gü içi de y ise P ve mtrisleride oktl yerlere gelmesi gereke sy lr buluuz. P ve mtrislerii türleri edir? V V P , P ve mtrislerii y st r ve sütuud bulu elem lr içi e söyleyebilirsiiz? Aç kly z. T X T X Örek Ydki mtrisleri iceleyelim: A - ] B - g < F G - - ]-g ] ( ),, ve ( ) oldu ud B - g G < - F olur. - ]-g - A ve B mtrislerii elemlr iceleirse b, b, b ve b oldu u görülür. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 7

218 Ay türde A [ ij ] m ve B [b ij ] m mtrisleri verilmifl olsu. ij içi ij b ij oluyors A mtrisi B mtrisie eflittir, diyece iz ve buu A B biçimide gösterece iz. - log 8 > H > - y H eflitli ii s ly ve y de erlerii bull m: Mtrisleri krfl l kl elemlr birbirie eflit olml. O hâlde < olml d r. 9 tür. < oldu ud tür. y log 8 log y tür.. Tblo. teki mtris çeflitlerie birer örek veriiz. Her bir örek içi mtrisi türüü belirtiiz. Tblo. f r Mtris Köflege Mtris Alt Üçge Mtris Birim Mtris Örek Mtrisi Türü y eflitli ii s ly ve y de erleri rs dki b t fl dkilerde hgisi ile > H > - H - y ifde edilebilir? A) y B) y C) y D) y E) y Mtrislerde Toplm ve Ç krm fllemleri Mtrislerde toplm ifllemi Bir mtrisi toplm ifllemie göre tersi Mtrislerde toplm ifllemii özellikleri ki mtrisi frk Bl k etide büyütücü, gelifltirici, or - c besi (protei); heme heme tüm vitmiler, klsiyum, fosfor, iyot, klor, vb. gibi mdesel tuzlr bol miktrd bulumktd r. Bu edele çocuklr kemik ve zek geliflimide bl k etii büyük yrr görülür. Bir bl kç dki bl k çeflitleri ve miktrlr ( bl kç kpmd öceki) Tblo. te verilmifltir. Tblo. Bl kç Tblo. teki de erleri A mtrisi olrk yz z. Bl kç lr ertesi sbh, Tblo. te belirtile sy lrd bl k lm fllrd r. I II Tblo. teki de erleri B mtrisi olrk yz z. Tblo. o durumd her bir bl kç tezgh d toplm kç bl k oldu uu göstere bir tblo hz rly z. Bl kç I Hz rld z tblodki de erleri C mtrisi olrk yz z. II C mtrisi ile A ve B mtrisleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Plmut 6 Plmut 6 Bl k Çeflitleri Klk 7 Bl k Çeflitleri Klk 6 K l ç K l ç 8. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

219 Tblo.6 bl kç lr gü boyu stt klr bl k çeflitlerii ve miktrlr göstermektedir. Tblo.6 dki de- erleri D mtrisi olrk yz z. Güü soud her bir bl kç tezgh d toplm kç bl k oldu uu göstere bir tblo hz rly z. Tblo.6 Bl kç Bl k Çeflitleri Hz rld z tblodki de erleri E mtrisi olrk yz z. E mtrisi ile C ve D mtrisleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Elde etti iiz souçlr göre iki mtrisi toplm ve frk s l bulubilece ii ç kly z. I II Plmut Klk 8 K l ç Örek - A G ve B > H olmk üzere fl d yp llr iceleyelim: ki mtrisi krfl l kl elemlr toplyl m: - + ]-g + + A + B < F + < F G ]-g < F - 7 buluur. Toplm ifllemi yp l rke y idisli terimler topl r. Ay türde iki mtris A [ ij ] m B [b ij ] m olsu. A ile B mtrislerii toplm A + B [ ij +b ij ] m olur. ve A ve B mtrislerii krfl l kl elemlr frk bull m: - -]-g - - A B < F < F G < F ]- g - -7 buluur. ki mtrisi frk buluurke y idisli terimleri frk l r. Ay türde iki mtris A [ ij ] m B [b ij ] m olsu. A ile B mtrislerii frk, A B [ ij b ij ] m olur. ve Mtrislerde Toplm fllemii Özellikleri Afl dki mtrisleri kullrk etkilik d mlr gerçeklefltiriiz A < F B < F C < F D < F O < F - - A + B ve B + A mtrislerii buluuz. Elde etti iiz mtrisleri krfl lflt r z. ( A + B) + C mtrisii buluuz. Buldu uuz mtrisi d X olsu. A + ( B + C) mtrisii buluuz. Buldu uuz mtrisi d Y olsu. X ve Y mtrisleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. A + O ve O + A mtrislerii buluuz. Ns l bir souç elde ettiiz? O mtrisii mtrislerde toplm ifllemie etkisi edir? Aç kly z. A + D ve D + A mtrislerii bulrk, elde etti iiz souçlr rs d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. A ve D mtrisleri rs d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. Elde etti iiz souçlr göre mtrislerde toplm ifllemii de iflme, birleflme, etkisiz elem ve ters elem özellikleride hgilerii buludu uu edeleriyle ç kly z. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm 9

220 Örek A > H, B > H, C > H ve O > H -7 - olmk üzere;. A + B ve B + A mtrislerii bulup krfl lflt rl m. b. (A + B) + C ve A + (B + C) mtrislerii bulup krfl lflt rl m. c. A + O ve O + A mtrislerii bulup krfl lflt rl m.. _ A+ B b > H > H > H > H b ` B+ A > H+ > H > H b > H b A+ B B+ A d r. b. ] 6 7 A+ B g + C f> - H > - Hp + > H > - H - ve > H > H A+ ] B+ Cg > H f> H+ > Hp > H > H > H oldu ud (A + B) + C A + (B + C) dir. _ - - A+ O > H > H b > H -7 b c. ` A+ O O+ A A d r. - - O+ A > H + > H - 7 b > H -7 b Örek - ve B - - A G G olmk üzere A + B O oldu uu gösterelim: A+ B ]- g ]- g < F < F G < F O ]-g + ^- h + d r. A ve B mtrislerii y dl st r ve sütulr dki elemlr, birbirii toplm ifllemie göre tersidir. De iflme Özelli i A [ ij ] m ve B [b ij ] m olsu. A + B [ ij ] m + [b ij ] m [ ij + b ij ] m ve B + A [b ij ] m + [ ij ] m [b ij + ij ] m dir. ij +b ij b ij + ij oldu ud A + B B + A d r. Mtrislerde toplm ifllemii de iflme özelli i vrd r. Birleflme Özelli i A [ ij ] m, B [b ij ] m ve C [c ij ] m olsu. (A + B) + C [ ij + b ij ] m + [c ij ] m [ ij + b ij + c ij ] m ve A + (B + C) [ ij ] m + [b ij + c ij ] m [ ij + b ij + c ij ] m oldu ud (A + B) + C A + (B + C) dir. Mtrislerde toplm ifllemii birleflme özelli i vrd r.. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

221 Toplm fllemie Göre Birim ( Etkisiz) Elem A [ ij ] m ve O [ ij ] m mtrisleri içi fl dki ifllemleri iceleyiiz. A+ O ij + A m ij m ij+ ij m ij _ 8 B 8 B 8 B 8 B m b ` O A A A + O O + A + A 8 ijb m ijb 8 m ij ijb 8 m ijb m b olur. f r mtrisi, mtrislerde toplm ifllemie göre birim ( etkisiz) elemd r. Bir Mtrisi Toplm fllemie Göre Tersi A [ ij ] m, A [ ij ] m ve O [ ij ] m mtrisleri içi fl dki ifllemleri iceleyiiz. A+ ]-Ag ij + - m ij m ij+ - ij _ 8 B 8 B 8 _ ib 8 m ijb mb ` A+ ]-Ag]- Ag+ A O olur. ]- Ag+ A ijb 8 m ijb _ m 8 iji ijb 8 m ijb mb A mtrisii toplm ifllemie göre tersi, A mtrisidir. V V V - -. I oldu u göre + y + z + t ifdesii de eri kçt r? e + - z t - log ^y - h T T T X X X. Bir süpermrkette st fl suul bz koserve türlerii hft içi st fl detleri fl dki Tblo.7 de gösterilmifltir. Tblo.7 Güler Pzrtesi l Çrflmb Perflembe Cum Bezelye 7 Koserve Çeflitleri M s r 9 8 Y. Fsulye 6 9 Türlü Her bir koserve türüü st fl miktrlr sütu mtrisi fleklide ifde ediiz. Mtemtiksel fizi i bir lt kolu ol kutum meki ide, tomik yp lr t mlmk içi mtrisleri kull ld biliyor muyduuz? b. Hft içi st l toplm koserve dedii, ( ) seçee ide buldu uuz mtrisleri kullrk buluuz. c. Her bir koserve çeflidii ilk iki gü ve tkip ede üç gü içi toplm st fl miktr göstere iki mtris yz z. Bu mtrisleri frk buluuz. Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Ere (E) ve Nz m (N), Bir mtrisi bir gerçek üç frkl tipte (A, B ve C) sy ile çrp m çelik kp ürete bir imlâthei st fl temsilcileridir. Bir mtrisi bir gerçek sy ile çrp m özellikleri Ere ve Nz m hzir ve E 6, temmuz ylr dki st fllr d imlthei kzd pr yukr dki H ve T N, 9 H 7 7, 9,6 7 T mtrisleride gösterilmifltir. ( Mtrislerdeki her bir elem ile çrp m, TL ciside st fl fiytlr vermektedir.) Elemlr s rs yl H mtrisii elemlr iki kt ol mtris H ciside s l gösterilebilir? Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm

222 Ere ve Nz m, hzir ve temmuz ylr d ypt toplm st fllr... 9, 9... mtrisi ile gösterelim. Bu göre ydki mtrisii elemlr > H 8, bulrk oktl yerleri tmmly z. t fl temsilcileri gerçeklefltirdikleri st fllrd % prim ld klr göre Ere ve Nz m hzir y st fllr içi ld klr primleri buluuz. Bu primleri K mtrisi ile gösteriiz. ( K mtrisii sütulr s rs yl A, B ve C tipideki çelik kp lr st fl d l primleri, st rlr ise s rs yl Ere ve Nz m ld primleri göstermelidir.) Hzir y içi ypt z bezer flekilde Ere ve Nz m temmuz y st fllr içi ld klr primleri buluuz. Bu primleri M mtrisi ile gösteriiz. K + M mtrisii buluuz. Elde etti iiz souçlr göre K mtrisi ile H mtrisi ve K + M mtrisi ile mtrisi rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Örek Elemlr A > H B > H > mtrisii elemlr kt ol B mtrisii bull m: - H -8 olur. A [ ij ] m mtrisi ve bir k verilsi. k gerçek sy s ile A mtrisii çrp m, k.a k.[ ij ] m [k. ij ] m dir. Bir Mtrisi Bir Gerçek y ile Çrp m Özellikleri - A G ve B - 7 G - olmk üzere fl d isteeleri yp z. içi.(a + B) ve A + ( B) mtrislerii bulup krfl lflt r z., içi [ + ( )].A ve A + ( A) mtrislerii bulup krfl lflt r z., içi.(a) ve [.( )] A mtrislerii bulup krfl lflt r z. Etkili i her d m d elde etti iiz mtrisler rs d s l bir iliflki tespit ettiiz? Aç kly z. Örek 7 6 A > H,B > 8 9 H olmk üzere fl dki eflitlikleri do rulu uu gösterelim: ki boyutlu (D) ve üç boyutlu (D) çizim ve imsyolrd cisimleri küçültüp büyütmek içi mtrisleri bir gerçek sy ile çrp m kull ld biliyor muyduuz?.. (A + B) A + B b. ( + ). A A + A c..(.a) (.).A (A + B). f> H+ > Hp. > H > H... ( I) olur A +. B. > H+. > H > H+ > H > H... ( II ) olur I ve II de. (A + B) A + B buluur.. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

223 b. ( + )A 6A > H > H... ( I) olur A +. A. > H+. > H > H+ > H > H... ( II ) olur I ve II de ( + )A A + A buluur. c.. (. A) f > Hp > H > H... ( I) olur (.).A (.). > H 8. > H > H... ( II ) olur I ve II de. (. A) (. ). A buluur. A [ ij ] m, B [b ij ] m mtrisleri ve k, p içi bir mtrisi bir gerçek sy ile çrp m bz özelliklerii birlikte iceleyelim: k.(a + B) k.([ ij + b ij ] m ) [k.( ij + b ij )] m [k. ij + k.b ij ] m [k. ij ] m + [k.b ij ] m k.[ ij ] m + k.[b ij ] m k.a + k.b olur. O hâlde k.(a + B) k.a + k.b dir. (k + p).a (k + p).[ ij ] m [(k + p). ij ] m [k. ij + p. ij ] m [k. ij ] m + [p. ij ] m k.[ ij ] m + p.[ ij ] m k.a + p.a olur. O hâlde (k + p).a k.a + p.a d r. k.(p.a) k.(p.[ ij ] m ) k.[p. ij ] m [k.p. ij ] m (k.p).[ ij ] m (k.p).a olur. O hâlde k.(p.a) (k.p).a d r. A - G ve B - G mtrisleri veriliyor. A + C B eflitli ii s ly C mtrisii bull m: y C mtrisii türü olml d r. C > H olsu. z t - y A C B G + G G z t - 6 y y 8 + olur. 9 z t z + t - G G G G G 6 ki mtrisi eflitli ide, y, z ve t buluur. O hâlde y C G G z t - - olur A ve B mtrisleri içi A B > H ve A + B G ise A ve B mtrislerii buluuz A G ve B - - G mtrisleri veriliyor. A X B eflitli ii s ly X mtrisii buluuz. 9 Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm

224 Mtrislerde Çrpm fllemi Mtrislerde çrpm ifllemi Mtrislerde çrpm ifllemii özellikleri Ayfle, k rtsiyede tükemez klem, kurflu klem ve defter lm flt r. Ayfle i ld mlzemeleri sy s [ ] st r mtrisi ile gösterelim. Bu mtrisi her bir sütuu eyi temsil eder? Bir tükemez klemi fiyt, TL, bir kurflu klemi fiyt,7 TL ve bir defteri fiyt, TL olsu. Bu mlzemeleri fiytlr ydki sütu mtrisi ile gösterelim. Ayfle i st ld mlzemeler içi ödedi i toplm pry buluuz. Ayfle i ödedi i toplm pry bulurke ypt z ifllemlerle fl d mtrislerle yp l ifllemler rs d s l bir bezerlik oldu uu ç kly z. V,?., 7 6., +., (I), T X Ahmet ve Fud d Ayfle i l flverifl ypt k rtsiyeye gitmifltir. Ahmet tükemez klem, kurflu klem ve defter; Fud ise tükemez klem, kurflu klem ve defter lm flt r. Yukr d mtrislerle yp l iflleme bezer flekilde fl d b rk l oktl yerleri doldurrk Ahmet ve Fud ld mlzemeler içi ödedi i toplm pry buluuz. V V,,?., ?...?... (II)?., ?...?... (III),, T X T X I, II ve III te ypt z ifllemleri kullrk fl dki mtrislerle çrpm ifllemii tmmly z. Afl d belirtile A, B ve C mtrislerii eyi ifde etti ii ç kly z. T A V V V V, , , X T X T X T... X B... (IV) I, II, III ve IV teki çrpm ifllemleride çrp l ve elde edile mtrisleri türleri elerdir? Herhgi iki mtrisi çrp m ile çrp lck mtrisleri türleri rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Elde etti iiz souçlr göre iki mtrisi çrp m s l yp l r? Aç kly z. C V,,7, T X Örek - - A > H ve B - - T AB. b > H c d V X ise A. B mtrisii bull m: olsu., b, c, d sy lr s l buludu uu iceleyelim:. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

225 I. II... b.( ) +. + ( ).( ) + + tir. b ( ) dir. III.. c IV.. d c.( ) + ( ). +.( ) + 6 d r. d. + ( ) dir. O hâlde b AB. > H > c d H 8 buluur. iz de B. A ifllemii ede yp lmyc ç klyrk mtrislerde çrpm ifllemii de iflme özelli ii olmd gösteriiz. m türüdeki A [ ij ] m ile p türüdeki B [b jk ] p mtrisleri verilsi. A mtrisii i. st r ile B mtrisii k. sütuudki elemlr krfl l kl olrk çrp l p bu çrp mlr topl rs A.B mtrisii (ik). elem elde edilir. A.B [ ij ] m.[b jk ] p [c ik ] mp C olup bu mtrisi elemlr, c ik i.b k + i.b k i.b k. b fleklide buluur. A ile B mtrislerii çrp lbilmesi içi A mtrisii sütu sy s, B mtrisii st r sy s eflit olml d r. m türüde bir mtrisi p türüde bir mtrisle çrp m soucu, m p türüde bir mtris elde edilir. Öre i, ve türüde iki mtrisi çrp m türüde bir mtristir. / j ij jk Mtrislerde Çrpm fllemii Özellikleri V V 6, -,, A - B C D - - E ve I > H 7 T X T X mtrislerie göre fl d isteeleri yp z. B.I ve I. B mtrislerii bulup krfl lflt r z. A.(B.C) ve (A.B).C mtrislerii bulup krfl lflt r z. A.(C + E) ve A.C + A.E mtrislerii bulup krfl lflt r z. (A + D).B ve A.B + D.B mtrislerii bulup krfl lflt r z. türüde s f r mtrisi O olmk üzere B. O ve O. B mtrislerii bulup krfl lflt r z. Yukr d her bir d md buldu uuz mtris iliflkilerii düflüerek mtrislerde çrpm ifllemii özelliklerii ç kly z. Aritmetik ve Geometrik Diziler. Bölüm

226 Örek A < F ve I < F olmk üzere A. I ve I. A mtrislerii bull m:.... A.I. A + + < F < F < F < F I.A < F. < F < F < F A d r. d r. O hâlde A.I I.A A d r. Birim Elem Özelli i A [ ij ] ve I içi A.I [s ij ] ve I. A [r ij ] diyelim. Bu durumd s ij i j + i j i j ij olur. O hâlde A. I A...(I) olur. ik kj [ r ij i j + i j i j ij olur. O hâlde I.A A...(II) olur. I ve II de A.I I.A A buluur. Örek - A > H, B < F ve C < F - - olmk üzere (A. B). C ve A. (B. C) mtrislerii bull m: J N. ]- +. K - O g ] AB. g. C... ]- g+. K O - - L P -.]- g+. T ]-g V ]-g. +. > 6H dir.. +.]-g. +. T X ]-g A. ] B. Cg >. d<. < >. < ]-g ]- 9g+.. ]- g V > H. < F. ]- 9g+.. ]- g+. 6 > 6H ]- 9g+. -.]- g+. 6 T X O hâlde (A.B).C A.(B.C) dir. Birleflme Özelli i j k ik k j i \ k H F F H F A [ ij ] m, B [b jk ] p ve C [c kr ] pq olsu. A.B V [v ik ] mp ve B.C T [t jr ] q diyelim. O hâlde / v ik i.b k + i.b k i.b k. b ve t jr b j.c r + b j.c r b jp.c pr b. c buluur. j ij jk V X > H < F < F < F > H < F p / dir. k jk kr - V.C (A.B).C mtriside i. st r ve r. sütudki elem, v i.c r + v i.c r v ip.c pr k p / / / p v ik. c kr _ ij. bjk i. c k j kr... ( I) olur. 6. Bölüm Aritmetik ve Geometrik Diziler

227 Di er trft, A.T A.(B.C) mtriside i. st r ve r. sütudki elem, i.t r + i.t r i.t r / / / i... ( II) olur. I ve II souçlr birbirie eflit oldu ud A.(B.C) (A.B).C buluur.. t._ b. c ij jr ij jk kr j j k p Örek - - A > H, B < F, C < F - olmk üzere A. (B + C) ve A. B + A. C mtrislerii bull m: A. ] B+ Cg. d A. B+ A. C O hâlde A. (B + C) A. B + A. C dir > H < F < F > H < F > H tür > H < F > H < F > H > H > H tür. Toplm fllemi Üzerie old ve d D lm Özelli i A [ ij ] m, B [b jk ] p ve C [c jk ] p olsu. A.(B+C) [ ij ] m.([b jk ] p + [c jk ] p ) [ ij ] m.[b jk + c jk ] p [ ij.(b jk + c jk )] mp [( ij.b jk ) + ( ij.c jk )] mp [ ij.b jk ] mp + [ ij.c jk ] mp [ ij ] m.[b jk ] p + [ ij ] m.[c jk ] p A.B+A.C dir. O hâlde A.(B+ C) A.B+A.C buluur. Bezer flekilde, B [b jk ] m, C [c jk ] m ve A [ ki ] p olsu. (B+C).A ([b jk ] m + [c jk ] m ).[ ki ] p [b jk + c jk ] m.[ ki ] p [(b jk + c jk ). ki ] mp [(b jk. ki ) + (c jk. ki )] mp [b jk. ki ] mp + [c jk. ki ] mp [b jk ] m.[ ki ] p + [c jk ] m.[ ki ] p B.A+C.A d r. O hâlde (B+ C).A B.A+C.A buluur. Örek ve O A < F < F olmk üzere A. O ve O. A mtrislerii bull m: A.O < F. < F < F < F A.O < F. < F < F < F O hâlde A. O O. A O d r. Yut Elem Özelli i A [ ij ] mm ve O [ jk ] mm olmk üzere A.O Y [y ik ] mm diyelim. Bu durumd y ik i. k + i. k im. mk. A [ ij ] mm ve O [ jk ] mm olmk üzere A.O O d r. iz de O.A O oldu uu gösteriiz. m / i j j jk d r. d r. olur. O hâlde Mtrisler. Bölüm 7

228 A < F ve B < F olmk üzere A. B B. A oldu u göre i bull m: A. B < F. < F < F < F dir B. A < F. < F < F < F dir A. B B. A oldu ud < F < F + buluur. + Kre Mtrisleri Kuvvetleri Bir sy kuvvetii s l t mlr z? Öre i,,,,,..., ( N + ) e demektir? Bu göre A [ ij ] ve k N + içi A mtrisii kuvvetlerii fl dki gibi t mlybilir miyiz? A A, A A.A, A A.A, A A.A,..., A k A.A k dir. Herhgi bir sy. kuvveti ve ide çrpm ifllemie göre etkisiz elem oldu uu düflüürsek A [ ij ] içi A I ( türüde birim mtris) oldu uu söyleyebilir miyiz? Nede? Düşüce Kutusu Birim mtrisi tüm pozitif tm sy kuvvetleri ede kedisie eflittir? Aç kly z. I I... I k I d r.. A > H ve f() + ise f(a) mtrisii bull m: f(a) A A +.I olur. A > H. > H > H > H dir. fa ( ) A A I G- G+ G G+ G G G G buluur. Düşüce Kutusu deklemii gerçek sy lrdki çözümü edir? Bezer flekilde A, türüde mtris olmk üzere A I ise A mtrisi içi e söyleyebilirsiiz? Cevb z edeleriyle ç kly z. Afl d isteeleri yp z.. A > H içi A I oldu uu gösteriiz. - b. B < F içi B I oldu uu gösteriiz. - c. Tüm elemlr s f rd frkl ve kresi türüde birim mtris (I ) ol türüde bir mtris buluuz. Bu göre X I eflitli ii s ly kç X mtrisi bulbilirsiiz? Aç kly z. 8. Bölüm Mtrisler

229 . A > H ise A 7 mtrisii bull m: A. + + ; A A. A > H > H > H > H > H > H > H + + > H A A. A. + + > H > H > H + + > H ouçlr iceleyiiz. A mtrisii kuvvetleride sdece elem de iflti ii frk ettiiz mi? elem A mtriside, A mtriside, A mtriside tür. Bu flekilde devm etti imizde elem A 7 mtriside 7 olur. O hâlde A 7 > H dir. 7. A G ise A 997 mtrisii bull m: - A A G G G. I dir G A. A I.. I.. I. olur A G 7 A G G G m olmk üzere A [ ij ] m içi A bulubilir mi? Nede?. A > H mtrisi veriliyor. A mtrisii buluuz.. A > H mtrisi ve f() foksiyou veriliyor. f(a) mtrisii buluuz. V. A ve B > H mtrisleri içi A.B mtrisii buluuz. T X.. G > H G eflitli ii s ly ve y sy çifti fl dkilerde hgisidir? - y - A) ( 6/, /) B) (6/, /) C) (, ) D) ( /, 6/) E) (/, 6/) 6. Bir spor okulu ky t ypt r ö recileri sy lr Tblo.8 de gösterilmifltir. por okulu, yüzme içi TL, futbol içi 9 TL ve teis içi TL ky t ücreti lmktd r. Bu göre;. Yüzme, futbol ve teis kurslr ky t ypt r ö recileri sy s yfl gruplr göre göstere bir mtris yz z. b. por dllr göre ky t ücretlerii göstere bir sütu mtrisi yz z. c. Her bir yfl grubu içi ö recileri ödedikleri ky t ücretii mtris ifllemlerii kullrk buluuz. Tblo.8 Yfl Grubu Yüzme Futbol Teis ç. por okulu ky t ypt rlrd l toplm pr miktr mtris ifllemlerii kullrk buluuz Mtrisler. Bölüm 9

230 Bir Mtrisi Çrpm fllemie Göre Tersi Bir mtrisi çrpm ifllemie göre tersi Mtrisleri çrpm ifllemie göre terslerii özellikleri A teret rc l yl yp l l flverifl, elektroik bkc l k vb. ifllemleri yyg lflms berberide pekçok güvelik soruuu d güdeme getirmektedir. Kriptoloji (flifreleme bilimi), mesjlr içi yl zc tek bir htrl çözümleebilecek kodlr hz rlr. Afl - d kriptolojide kull l bsit bir flifreleme yötemi verilmifltir: Öce, lfbei her hrfi yerie kull lbilecek sy lr belirleir. fiifreleecek mesjdki her hrfe krfl l k gele sy yz l r. Bu sy lr mtrisle ifde edildikte sor uygu bir kre mtris, htr mtris olrk seçilir. Bu iki mtris çrp l r. Elde edile mtrisle, mesj rt k çözülemez durum gelir. fiifrei çözülebilmesi içi iki mtrisi çrp m yl elde edile mtris ile htr mtrisi çrpm ifllemie göre tersii çrp lms gerekir. bir gerçek sy, ise çrpm ifllemie göre tersi olmk üzere gerçek sy lrd. oldu uu biliyoruz. A, türüde bir mtris, A, A mtrisii tersi ve I mtrislerde çrpm ifllemii birim elem olmk üzere bezer bir eflitli i mtrislerde çrpm ifllemi içi yz z. A > H olmk üzere yzd z eflitli i ve iki mtrisi eflitli ii kullrk A mtrisii tersii bu- 7 luuz. Elde etti iiz souçlr göre türüdeki bir A mtrisii tersii s l buluc ç kly z. Örek - 7 A > H, B > - 7 A A, türüde bir kre mtris olsu. A.B B.A I eflitli ii s ly türüde bir B kre mtrisi vrs B ye A çrpm ifllemie göre tersi diyece iz ve buu B A fleklide gösterece iz, yi A.A A.A I dir. b A G c d b A > H c d mtrisleri içi A. B, B. A mtrislerii bull m ve A ile B rs dki iliflkiyi belirtelim: A.B > H. > H > H ve B.A > H. > H > H dir A.B B.A I H oldu ud A ile B mtrisleri çrpm ifllemie göre birbirii tersidir. Kre Mtrisii Çrpm fllemie Göre Tersii Kurl Bulm mtrisii çrpm ifllemie göre tersii bull m: y b y + bz y + bt G olsu. G. G G ve z t c d z t c + dz cy + dt yz l r.. Bölüm Mtrisler

231 oldu uu gös- d -b -c Bu deklem sistemlerii çözerek, y, z, t d - bc d - bc d - bc d - bc teriiz. V d -b y d bc d bc d b Bu durumd A < F. buluur. z t -c G d-bc -c d - bc d - bc T X b Bir A > H kre mtrisii, çrpm ifllemie göre tersi l rke ile d yer, b ile c de iflret dec d ifltirir ve her elem, (d bc) i çrpm ifllemie göre tersi ile çrp l r. Bud doly A kre mtrisii çrpm ifllemie göre tersii olbilmesi içi d cb olml d r. A c b G G d ise A d - bc d -c -b d r.. Afl dki mtrisleri vrs çrpm ifllemie göre terslerii bull m: 8. A G b. B > H - 6 y. I. Yol: A çrpm ifllemie göre tersi A < F olsu. z t. y G G G - z t + z y+ t > H > H olur. - z y- t ki mtrisi eflitli ie göre;,,, y z t olur T pt kull l rdyoüklid görütüleme, k klbe klede dmrlr çok küçük dozlrd rdyoktif mdde ejekte edilerek yp l bir görütüleme yötemidir. Bu yötemle elde edile görütüleri oluflturmk içi mtrisleri çrpm ifllemie göre terslerii kull ld biliyor muyduuz? II. Yol:, b, c ve d olsu. d bc.( ). 7 oldu u göre A mtrisii çrpm ifllemie göre tersi vrd r. A - - / 7 7 / G G G. ]-g / 7 -/ 7 buluur. b., b 8, c, d 6 olsu. d bc.6.8 oldu ud B mtrisii çrpm ifllemie göre tersi yoktur. -. A ise A. X B eflitli ii s ly X mtrisii bull m: 7 ve B > H > H - A. X B A.(A.X) A.B (A. A). X A.B I.X A.B X A. B dir. A ]-g.]-g > H > H ve 7 X A. B > H. > H > H 8 tür. Mtrisler. Bölüm

232 . A > H mtrisii çrpm ifllemie göre tersii olbilmesi içi i hgi de eri lmyc bull m: 9 A mtrisii çrpm ifllemie göre tersii olms içi 9.. olml d r. Bu göre A mtriside,.9. olurs A mtrisii çrpm ifllemie göre tersi bulumz. O hâlde olml d r. Mtrisleri Çrpm fllemie Göre Terslerii Özellikleri - A < F ve B < - F Öce A sor d (A ) mtrisii buluuz. olmk üzere fl d isteeleri yp z. (A ) mtrisi ile A mtrisii krfl lflt r z. Gözlemleriizi ç kly z. Öce A. B sor d (A. B)... ( I) mtrisii buluuz. fiimdi de öce A ve B mtrislerii sor d B.A... ( II ) mtrisii buluuz. I ve II de buldu uuz mtrisler rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z. Elde etti iiz souçlr göre bir mtrisi tersii tersi ve iki mtrisi çrp m tersi eye eflittir? Aç kly z. Örek A < - - F olmk üzere (A ) mtrisii bull m: A < - - F A < F / ise ise A - - dir < F < F - - < F ] g ] g / / - / A. - - ^ h < F - < F < F A d r O hâlde (A ) A d r. A. A. B B. A I ise A ile B mtrisleri birbirii tersidir. Yi A B ve B A d r. B A eflitli ide B yerie A yz l rs (A ) A buluur. O hâlde bir mtrisi tersii tersi kedisidir. Yi A mtrisii tersi vrs (A ) A d r. Örek A < - F, B < - F olmk üzere (A. B) ve B.A mtrislerii bull m: A. B < - F. < - F < F dir. - A. B < ise - F ] A. Bg - - /... ( I) dir.. -. ]-g < F < / / F A - A / / / B < - F B < F < - F dir. dir. / / B. A - - < F. < F < F... ( II ) dir. I ve II de (A.B) B.A / / / / buluur.. Bölüm Mtrisler

233 B. A ve B kre mtrislerii çrpm ifllemie göre terslerii oldu uu ve A.B ile B.A i t ml oldu uu vrsyl m. Bu göre (A.B) mtrisii A ve B türüde eflitii bull m: A.B mtrisii tersi (A.B) olsu. A < F - ve B < F mtrisleri veriliyor. A. C. B I oldu u göre C mtrisii bull m: - A.C.B I eflitli ii her iki trf öce A ile çrpl m: A.A.C.B A. I C. B A... ( I) olur. I I eflitli ii s d B ile çrpl m: C.B.B A. B C A.B (B.A) olur. I O hâlde / / C e< F. < Fo < F < F < - F - -. ]-g-.]-g - - / / olur.. Afl dki mtrisleri çrpm ifllemie göre terslerii olup olmd belirterek vrs terslerii buluuz < F b. > H c. ç. d. > H - > -8 - H > -6 7 H. Afl dki eflitlikleri s ly A ve B mtrislerii buluuz A. > H > H b. > H.B > H Bir gzete mfleti vey bir dergideki mkle bfll seçiiz. eçti iiz bu mfleti vey bfll, kedi üretti iiz sy tm (kodlm) tblosu ve seçti iiz bir htr mtris yrd m yl kodly z. Mesj z, kodlm fl hâlde sy tm tblosu ve htr mtrisle birlikte bir rkdfl z veriiz. Arkdfl zd mesj z çözmesii isteyiiz. Mtrislerde Devrik ( Trspoz) fllemi Bir mtrisi devri i ( trspozu) Mtrislerde devrik (trspoz) ifllemii özellikleri A T A d Tblo.9 d, Türkiye Cumhuriyeti millî sporculr geçmifl trihlerde yp lm fl bz olimpiytlrd ülkemizi temsil ederek kzd klr mdly sy lr görülmektedir. Tblodki veriler mtrislerle kç frkl flekilde gösterilebilir? Tblo.9 Trih Yer Ati idey 996 Atlt 99 Brselo 988 eul Alt * http// Gümüfl Broz Mtrisler. Bölüm

234 Tblo.9 dki kz l mdly sy lr A mtrisi ile gösterelim. Bu mtrisi... st rlr, olimpiytlr yp ld yer ve trihlerde kz l mdly sy lr, sütulr ise hgi türde kç mdly kz ld göstermektedir. A mtriside- A ki oktl yerleri uygu flekilde tmmly z. T Tblo.9 göre bu def d st rlr, hgi türde kç mdly kz ld ; sütulr d olimpiytlr yp ld yer ve trihlerde kz l... B... mdly sy lr göstermek üzere ydki B mtrisii yzl m. B mtrisideki oktl yerleri uygu flekilde tmmly z.... T B mtrisi ile A mtrisi rs d s l bir iliflki vrd r? Aç kly z V X... V... X Örek A < 7 F mtrisii y umrl st rlr sütu, sütulr d st r yp lm fl hâlii A T ile gösterirsek A T mtrisii bull m: T A < F ise A > H dir. 7 7 A [ ij ] m mtrisii, y umrl st rlr sütu ve sütulr d st r hâlie getirerek elde edile [ ji ] m mtrisie A mtrisii devri i (trspozu) diyece iz ve buu A T vey A d sembolleride biriyle gösterece iz. Afl dki mtrisleri devri ii ( trspozuu) bull m:. A > H b. - B - 6 > H 7 Eigm, II. Düy vfl s - rs d Almlr trf d kull l bir flifreleme mkiesie verile isimdir. Bu mkieyle oluflturul flifreleri çözülemeyece i düflüülürke müttefik kuvvetlerdeki bir grup Poloyl mtemtikçii, 9 y l d Eigm mkiesi ile üretile flifreleri çözmeyi bflrd - biliyor muyduuz? Eigm ve kull l flifreleme yötemleri hkk d bilgi toply z. - T T. A -? dir. b. B > 6H dir. 7 Mtrislerde Devrik ( Trspoz) fllemii Özellikleri Örek A ; 7 E ise (A T ) T mtrisii bull m ve A ile (A T ) T rs dki b t y belirtelim: T T A ; E A < F ^A h T ; E A d r. A [ ij ] m A T [ ji ] m ^A h [ ij ] m A d r. O hâlde bir mtrisi devri ii devri i, kedisidir; yi ^A h T T T T A d r.. Bölüm Mtrisler

235 Örek V V - - A, B - T X T X ise (A + B) T ve A T + B T mtrislerii bull m ve rlr dki b t y belirtelim: T T A > H ve B > - H - - dir. J V V T T - - N V _ K O b 6 T ] A+ Bg K + O 6 b > H b K O b T T T LT X T XP T X ` ] A+ Bg A + B b 6 T T A + B > H + > - b H - - > H - b dir. A [ ij ] m ve B [b ij ] m olsu. T T ] A+ Bg T `8ijB + 8b b b m ijb mj 8 ij+ ijb 8 m ji+ B ji m... ( I) dir. Üç boyutlu çizim ve i- A T B T T... ( II) dir. ij + T b b b m ij m ji + m ji m ji + msyolrd, cisimleri dödürmek içi mtrisleri çr- + 8 B 8 B 8 B 8 B 8 jib m p m ve devri ii kull ld biliyor muyduuz? I ve II de doly (A + B) T A T + B T olur. O hâlde y türde iki mtrisi toplm devri i bu mtrisleri devriklerii toplm eflittir. Üç boyutlu çizimlerde ve imsyolrd bu mtris Örek ifllemlerii s l kull ld ile ilgili bir rflt rm yprk edidi iiz bilgileri rk- A < F, B ; E ise (A. B) T ve B T.A T mtrislerii - dfllr zl pylfl z. bull m ve rlr dki b t y belirtelim: 8 - T T A < F A ; E ve B ; E B ; E dir T T _ T ] AB. g d< F. ; E < F < F b b T T T ` ] AB. g B. A dir. T T 8 - b B. A ; E. ; E < F b A [ ij ] m ve B [b jk ] p olsu. A.B [ ij ] m.[b jk ] p [ ij.b jk ] mp [c ik ] mp (A.B) T `7 A T c ik mpj [c ki ] pm... ( I) olur. olur. T T T T B. A 8bjkB. b. b. c p 8 ijb 8 m kjb 8 p jib 8 m kj jib 7 pm kiapm... ( II) olur. I ve II de doly (A.B) T B T.A T dir. O hâlde iki mtrisi çrp m devri i, ikici mtrisi devri i ile birici mtrisi devri ii çrp m eflittir. Mtrisler. Bölüm

236 Örek -, A > H ise (. A) T ve. A T mtrislerii bull m ve rlr dki b t y yzl m: A > H A T > H dir. - - T T _ b T ].Ag f. > Hp > H > Hb b T T ` ].A g.a dir b T.A. > H - > H b - b T T T..... T ijb ] k. Ag ` k. A. m ijb j m ijb m jib m jib m A 8 ve k olsu k 8 8k 8k k 8 dir O hâlde bir mtrisle bir gerçek sy çrp m devri i, mtrisi devri i ile bu gerçek sy çrp m eflittir, yi (k.a) T k.a T dir. Örek A > H ise (A ) T ve (A T ) mtrislerii bull m ve rlr dki b t y belirtelim: T T _ T ^A h b e Go G G b T T ` ^A h ^A h T - - b ^A h G G G b dir. b A > H içi A mtrisi t ml olsu. c d A -c G... ( II) olur. I ve II de doly ^ T A h ^A h dir. O hâlde bir mtrisi devri ii tersi, bu mtrisi tersii devri ie eflittir. d -b d G ^A h d - bc -c d - bc -b T T A T c T d -c G ^A h G... ( I) ve b d d - bc -b 9 6. A > H ise (A ) T mtrisii buluuz. 6. A > H ve B > - H mtrisleri veriliyor. A T + B T mtrisii buluuz. 9. A > - ise ^A T h mtrisii buluuz. - H. A > H ise A.A T mtrisii buluuz Bölüm Mtrisler

237 . Yd, Akr ilimize it bir hv thmi rporu verilmifltir.. pordki bilgileri bir mtrisle ifde ediiz. b. () seçee ide buldu uuz mtrisi devri ii bulrk st r ve sütulr eyi temsil etti ii belirtiiz.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. m türüdeki A, B, C mtrisleri içi A (B C) (A B) C dir. b. türüdeki A mtrisi içi B A T + A ise B T B dir. c. A ile B, türüde köflege mtrisler ise A.B B.A olur.. A. B B. A eflitli ii s ly A ve B mtrislerie birer örek veriiz.. Tersi kedisie eflit ol türüde bir mtris buluuz.. A, bir kre mtris olmk üzere f() ve fa ( ) > H ise A mtrisii buluuz. 6. Afl dki eflitlikleri gerçekleye A mtrislerii buluuz. V V V A + - b. -A c. -9 T X T X T X 7. A, 6 türüde bir mtris olmk üzere AB I ifllemii yp lbilmesi içi B hgi türde bir mtris olml d r? T 8. Bir A mtrisi ve B ^A h verildi ie göre B T fl dkilerde hgisie eflittir? A) A B) B C) A D) B E) A T V -A- - T 7 - X T 9. A > H ve B > H mtrisleri veriliyor. ^A + B h mtrisii buluuz. 6. Akr ve stbul d iki flube ç bir giyim m zs, m- z reklm el il d trk, ktlog gödererek ve cep telefolr mesj yollyrk üç frkl yoll ypckt r. Afl d, her bir reklm ulfl l kifli bfl ücreti ( TL) M mtrisi ile gösterilmifltir. A Akr ve stbul d bu yollrl reklm yp ld kifli sy s ise N mtrisi ile gösterilmifltir. Bu göre fl d isteeleri yp z.. M z, Akr d yp l reklm içi e kdr ödedi ii buluuz. M Birim Mliyet,,, El il Ktlog Mesj El il Ktlog Mesj N 8 7 Akr stbul b. M z, stbul d yp l reklm içi e kdr ödedi ii buluuz. c. Akr ve stbul d reklm içi toplm e kdr ödedi ii göstere mtrisi, mtrislerde çrpm ifllemi ile s l bulbilece iizi ç kly z. ç. N. M mtrisii buluuz. Bu mtrisi st r ve sütulr eleri temsil etti ii ç kly z. d. M. N mtrisii bulbilir misiiz? Cevb z edeii ç kly z. Mtrisler. Bölüm 7

238 Do rusl (lieer) deklem sistemleri Temel (elemeter) st r ifllemleri Do rusl ( Lieer) Deklem istemleri M.Ö. -M y llr rs d Çi de H Hedl döemide yz l Mtemtiksel t Dokuz Bölümü isimli meti, deklem sistemlerii mtrisler kull lrk çözülmesii bilie ilk öreklerii içermektedir. Afl d, bu kitpt yer l problemlerde biri verilmektedir: Üç çeflit th l, biricisii bir çuvl, ikicisii iki çuvl ve üçücüsüü de üç çuvl toplm 6 birim gelmektedir. Biricisii iki çuvl, ikicisii üç çuvl ve üçücüsüü de bir çuvl toplm birimdir. Biricisii üç çuvl, ikicisii iki çuvl ve üçücüsüü de bir çuvl ise 9 birimdir. Her bir th l cisii bir çuvl kç birimdir? Dh öceki bilgileriizi kullrk yukr dki problemde verileleri, üç bilimeyeli üç deklemde olufl do rusl deklem sistemi oluflturrk ifde ediiz. Bu do rusl deklem sistemii s l çözebilece iizi rkdfllr zl trt fl z. Bu bölümde ydki gibi üç bilimeye ve üç deklemde olufl do rusl deklem + y + z sistemlerii çözmeyi ö reece iz. Bu tür do rusl deklem sistemlerii çözerke her bir + y + z deklemi fl dki gibi isimledirip temel st r ifllemleri d verile bz ifllem d mlr + y + z tkip edece iz. Temel t r fllemleri. istemdeki iki deklemi yerleri de ifltirilebilir. : + y + z. istemdeki bir deklem s f rd frkl bir gerçek sy ile çrp lbilir....(i). istemdeki bir deklemi s f r olmy bir kt bflk bir dekleme ekleebilir. : +y+z Bu ifllemler fl dki Tblo. de öreklemifltir. : +y+z 678 Tblo. Temel t r fllemleri embolik Gösterim Deklem istemi ve. deklemleri yerlerii de ifltirelim.. deklemi çrpl m.. deklemi ile çrp p. dekleme ekleyelim ve buu. deklem yerie yzl m.. deklemi ile çrp p. dekleme ekleyelim ve buu. deklem yerie yzl m. ile : + y + z : + y + z : + y + z + y z : + + : + y + z : + y + z y z : + + : + y z : + y + z y z : : + y z : + + z... ( II ) Mtrisleri kökeii, do rusl deklem sistemleri kousudki çl flmlr oluflturur. MÖ -M y llr rs d H Hedl döemide Çi de yz l Mtemtiksel t Dokuz Bölümü dl eser, deklem sistemlerii mtrisler kull lrk çözülmesii bilie ilk öreklerii içerir. * Ypt m z temel st r ifllemleri soucud II deki deklem sistemii elde ettik. I ve II deki deklem sistemlerii çözüm kümeleri y d r. Bu göre I deki deklem sistemii mi yoks II deki deklem sistemii mi çözmeyi tercih edersiiz? Nede? 8. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

239 , y ve z s rs yl kouy giriflte verdi imiz problemdeki birici, ikici ve üçücü th l çeflitlerii bir çuvl birimii gösterdi ie göre, fl- dki deklem sistemideki boflluklr soruyu modelleyecek flekilde dolduruuz. : y + z 6 : y +...z... : +...y +...z... Deklem sistemide s rs yl.- i i,. -. i i ve - 8. i i 7 7 temel st r ifllemlerii uygulyrk, y ve z buluc gösteriiz. Frkl temel st r ifllemlerii uygulyrk y soucu bulmk mümkü müdür? Aç kly z. Ypt z ifllemlere göre üç bilimeye ve üç deklemde olufl bir do rusl deklem sistemii temel st r ifllemleri kull lrk s l çözülece ii ç kly z. Örek + y-z - _ b - y+ z ` + y-z b deklem sistemii çözelim: Do rusl deklem sistemii olufltur her bir deklemi, bir st r olrk düflüelim ve i idisi st r umrs göstermek üzere i fleklide gösterelim. Bu durumd deklem sistemi, ve st rlr d oluflur. yerie + yzl m: yerie + yzl m: : + y- z - : y z b _ i b _ : - y+ z : y ` + ` : + y- z b : + y- z b yerie + yzl m: : + y- z - _ b _ : + y ` : - y b 7 7 dir. + i + y. + y y dir. + y z. +. ( ) z z dir b b h b m m m m + + i _ b b ` b b _ : + y- z - b : + y ` : 7 7 b olur. _ : + y- z - b : + y ` : - y b fleklide, te bilimeye ve m te do rusl ( lieer) deklemde olufl sisteme, bir do rusl ( lieer) deklem sistemi diyece iz. Bu do rusl deklem sistemide,,..., m sy lr sistemi kt sy lr ; b, b,..., b m sy lr d sistemi sbitlerii oluflturur. Do rusl Deklem istemleri. Bölüm 9

240 k olmk üzere k. i, i deklemide eflitli i her iki trf k ile çrp lc gösterir. Temel st r ifllemleride; i. i j içi i ve j deklemlerii yerlerii de ifltirirsek buu i j biçimide gösteririz. ii. i deklemii k {} ile çrprsk buu k i i biçimide gösteririz. iii. i j ve k {} içi i deklemi yerie i + k. j deklemii l rsk buu i + k. j i biçimide gösteririz. Yukr d belirttii imiz ifllemlere temel ( elemeter) st r ifllemleri diyece iz. Bir do rusl deklem sistemi, bir bflk do rusl deklem sistemi üzeride yp l temel st r ifllemleri soucu elde edilebiliyor ise bu do rusl deklem sistemlerie dek sistemler diyece iz. - y -6. do rusl deklem sistemii çözümüü temel st r ifllemleri yprk bull m: - y 8. - y -6 - y -6 - y -6 - y 8 8 buluur. O hâlde ve y 6. y 6 y buluur. + y+ z _ b. - y+ z 8 ` do rusl deklem sistemii çözümüü temel st r ifllemleri yprk bull m: - y+ z 8b : + y+ z _ : y z : y z b + b _ + i b : - y+ z 8 ` : -y- z ` : - y- z ` olur. : - y+ z 8b : - y+ z 8b : -y- z 9b : + y+ z _ b : -y- z ` olur. b : st r d elde edile eflitli i yl fl oldu ud verile deklem sistemii çözüm kümesi, Ç dir _ b Ydki do rusl deklem sistemi üzeride yp l bz temel st r ifllemleri ve + - ` bu ifllemleri souçlr fl d verilmifltir. Noktl yerleri uygu flekilde tmmly z b + + _ + + _ b b ` ` b + + b. Afl dki deklem sistemlerii çözümlerii temel st r ifllemleri yprk buluuz. _ 7 _ - b+ c _ + y+ z _ + b y 7 y b b b. b. b ` c. ` ç. + b- c ` d. - y+ z -` -- y 9 - b 6 b - + b- 7c -8b -y- z 7b y b. Bir çemberi stdrt deklemi + y + A + By + C (A, B, C ) fleklidedir. (, ), (, ) ve (, ) oktlr d geçe çemberi deklemii buluuz.. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

241 Bir Do rusl Deklem istemii Mtrisle Gösterimi Bir do rusl deklem sistemii mtrislerle gösterilmesi Mtris gösterimi AX B ol do rusl deklem sistemii çözümüü [A B] geiflletilmifl mtrisi üzeride temel st r ifllemlerii uygulrk bulums AX B [A B] [A' B ' ] Bir okuld y l sou müsmeresi içi st fl suul tm biletleri fiyt 7, TL, idirimli biletleri fiyt ise TL dir. Müsmere içi toplm bilet st lrk, TL gelir elde edildi ie göre st l biletleri kç tm, kç idirimlidir? Müsmere içi st l tm biletleri sy s, idirimli biletleri sy s y diyelim. Bu göre yukr dki problemde verile durumu ydki gibi iki deklemde olufl lieer deklem sistemiyle modelleyebiliriz. 7, + y, + y Dh öce üç deklemde olufl deklem sistemii çözümüü temel st r ifllemlerii kullrk ypm flt k. fiimdi de bu deklem sistemlerii A. X B fleklie döüfltürüp [AIB] mtrisi üzeride temel st r ifllemlerii uygulyrk çözece iz. ([ A B] gösterimi A mtrisii so sütüuud sor B sütu mtrisii yz ld göstermektedir.) Yukr dki deklem sistemii fl d A. X B biçimide s l yz ld ve burd [ AIB] mtrisii s l elde edildi ii ç kly z. Deklem istemi A. X B [AIB] 7, + y, 7,, 7,, < F G < F G + y y [ A I B] mtrisie fl d belirtile temel st r ifllemii uygulyrk A mtrisii lt üçge mtrise çeviriiz....(i) 7,, G G Elde etti iiz mtrisi temsil ede deklem sistemii yzrk çözüüz. fiimdi de [ A B] mtrisie fl d belirtile temel st r ifllemlerii uygulyrk A mtrisii birim mtrise çeviriiz....(ii) 7,, , > H > H > H > H Elde etti iiz mtrisi temsil ede deklem sistemii yzrk çözüüz. Deklem sistemii çözmek içi I ve II de uyguld z iki frkl yötemi kedi cümleleriiz ile ç kly - z. ki yötem rs d s l bir frk vrd r? Verile bir deklem sistemi içi A. X B eflitli ii ve [ AIB] mtris gösterimii s l yz ld ç kly z. [ A I B] mtrisii kullrk A. X B deklem sistemii s l çözülece ii trt fl z. Örek + y lieer deklem sistemii çözelim: - y türüdeki G kt sy lr mtrisie. sütu olrk G sbitler mtrisii eklersek türüdeki G mtrisii elde ederiz. - - Do rusl Deklem istemleri. Bölüm

242 Bu mtriste + ifllemii uygulyl m: : + G : - G 9 buluur. + y Elde etti imiz so mtrisi gösterdi i sistem olur. 9 Bu durumd 9 ve + y + y y olur. Bir do rusl deklem sistemide A kt sy lr mtrisi, B sbitler mtrisi ve X bilimeyeler mtrisi olmk üzere AX B gösterimie do rusl ( lieer) deklem sistemii mtris ile gösterimi, [A B] gösterimie ise sistemi geiflletilmifl mtrisi diyece iz. AX B eflitli ii ifde etti i do rusl deklem sistemide; i. ki deklemi yerlerii de ifltirilmesi ( i j ), ii. Bir deklemi s f r olmy bir gerçek sy ile çrp lms (k. i i ), iii. Bir deklemi s f r olmy bir kt bir bflk dekleme eklemesi (k. j + i i ) ifllemleri uyguld d elde edile sistem A'X B' eflitli i ile gösterilsi. AX B sistemi ile A'X B' sistemii çözüm kümeleri y d r. lk sistemi geiflletilmifl mtrisi ol [A B] ile yei sistemi geiflletilmifl mtrisi ol [A' B'], dek mtrislerdir. Buu [A B] [A' B'] fleklide gösterece iz. V g b _ b g b b do rusl deklem sistemii, A, ` h h h h h b m m g m m b b T X m m m m V ve V b olmk üzere AX B fleklide gösterebiliriz. Bu gösterimde, A mtrisi sistemi kt sy lr mtrisi; B mtrisi sistemi sbitler mtrisi ve b X B h h b X mtrisi de sistemi bilimeyeler mtrisi olur. m m T X T X V g b b Bu göre AX B sistemii geiflletilmifl mtrisi, g A B? dir. h h h h h m m g b m m m] + g Örek T X + y - y do rusl deklem sistemii çözümüü temel st r ifllemleri uygulyrk bull m: Verile sistemi geiflletilmifl mtrisi dir. + G G G olur Elde edile geiflletilmifl mtrisi gösterdi i sistem, + y -y -8 dir. y 8 y olur. + y + buluur. Bu flekilde, bir do rusl deklem sistemii geiflletilmifl mtrisi üzeride temel st r ifllemleri uygulrk kt sy lr mtrisii sl köflegei birlerde olufl bir üst üçge mtris hâlie getirilmesi fleklide uygul çözüm yötemi Guss Yok Etme Yötemi olrk biliir.. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

243 Örek + y do rusl deklem sistemii çözümüü temel st r ifllemleri uygulyrk bull m: + y Verile sistemi geiflletilmifl mtrisi G dir > H > H > H > H Elde edile geiflletilmifl mtrisi gösterdi i sistem, tür. y olur. Bu flekilde, bir do rusl deklem sistemii geiflletilmifl mtrisi üzeride temel st r ifllemleri uygulrk kt sy lr mtrisii birim mtris hâlie getirilmesi fleklide uygul çözüm yötemi, Guss-Jord Yok Etme Yötemi olrk biliir. Crl Friedrich Guss (Krl Fredrih Gus). Bir flehri su ihtiyc, kpsiteleri m, (777 8) 6 m ve 6 m ol üç de iflik tipte toplm depo ile s lmktd r. Bu depolr tü- e büyük ikici steroit Güefl sistemimizdeki ol Plls yörügesii mü dolduruldu ud flehri gülük ihtiyc ol m bulmy çl fl Crl Friedrich Guss, 8-89 y l- su s lbilmektedir. fiehre su s ly bu üç tip depou her biride kçr te lr rs dki gözlemleride derledi i verileri lt oldu uu bull m:, y ve z s rs yl, 6 ve 6 m kpsiteli su depolr sy lr göstersi. Bu durumd problemi modelleye do rusl deklem sistemi fl- rusl deklem fleklie ge- bilimeye içere lt do - dki gibi olur: tirmifltir. Mtrisleri kullms d Guss u bu + y+ z + 6y+ 6z deklemleri çözmek içi kulld yötem, bugü Bu deklem sistemii mtrislerle gösterimi, V Guss Yok Etme Yötemi olrk l metottur. G. y fleklide ve geiflletilmifl mtris gösterimi ise G fleklide olur. Temel st r ifllemleri- 6 6 G * T z X 6 6 i geiflletilmifl mtris üzeride uygulyrk sistemi çözümüü Guss Yok Etme Yötemi ile bull m. Afl - d, her d md uygul temel st r ifllemlerii iceleyiiz. G d ~ G elde edilir. Burd, G_ -. + i~ 9 6 G elde edilir. Burd, - -9 G_ -. buluur. + i~ G 6 6 Bu geiflletilmifl mtrisi gösterdi i deklemler, z 9 z 9 ve y + 6z y 6z + olur. z t dersek t 9 ve y 6t + elde edilir. t 9 >, 6t + > ve t > d r. Do rusl Deklem istemleri. Bölüm

244 Bu üç eflitsizli i de s ly t de erleri 6, 7 ve 8 dir. t 6 ise t 9, y 6t + 7, z t 6 d r. t 7 ise t 9 6, y 6t +, z t 7 dir. t 8 ise t 9, y 6t +, z t 8 dir. ilhelm Jord (Vilhelm Cord ) - y+ z 6 _ b. + y+ z -7 ` do rusl deklem sistemii çözümüü bull m: - + y -b (8 899) - 6 Asle bir mühedis ol Verile do rusl deklem sistemii AX. B > H. > y H > -7 H ilhelm Jord jeodezi ydki gibi gösterebiliriz. - z - problemleride kulld Bu durumd sistemi geiflletilmifl mtrisi, V - 6 yok etme metodu ile Guss u kulld yok etme A B -7? olur. - - metoduu birlefltirilmesiyle, 8 lerde Guss- T X Geiflletilmifl mtris üzeride temel st r ifllemlerii uygulyrk sistemi çözümüü Guss-Jord Yok Etme Yötemi ile bull m: Jord Yok Etme Yötemi gelifltirilmifltir. V V * + _ i _ + i -7 ~ -9 _ + i _ + i T X T X V V - - e. _ + o i ~ -9 ~ - _. + i _. + i T X T X V V V _. + i _ i ~ - ~ - ~ - _. i T X T X T X buluur. Bu durumd 8, y ve z olur. iz de (, y, z) (8,, ) s rl üçlüsüü bfllg çt verile deklem sistemii s ld gösteriiz.. Afl d verile do rusl deklem sistemlerii AX B fleklide yz p bu deklem sistemlerii çözüm kümelerii, geiflletilmifl mtris üzeride temel st r ifllemleri yprk buluuz. + y+ z _ + y _ - y 6 + y- z b b. b. c. + y+ 8z ç. - y y+ ` ` - y+ z 6 + y+ 7z b + y 7b. Afl d verile geiflletilmifl mtrisleri temsil ettikleri do rusl deklem sistemlerii ve çözüm kümelerii buluuz. V V < F b. < F c. - ç T X T X. Afl dki problemleri do rusl deklemlerle modelleyiiz. Elde etti iiz deklem sistemlerii mtrislerle gösterip çözümlerii buluuz. Problem : %7 si sf sit ol bir çözelti ile % i sf sit ol bir çözelti kr flt r lrk % si sit ol litre çözelti elde ediliyor.bu göre kr flt r l çözeltileri miktrlr buluuz. Problem : Bir ö recii mtemtik derside yp l üç s vd ld otlr ortlms 8 tür. Bu ö recii ld e yüksek ot, di er iki otu ortlms d 8 pu yüksek; e düflük ot ise di er iki otu ortlms d pu düflüktür. Bu göre ö recii üç s vd ld otlr buluuz.. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

245 . Afl dki do rusl deklem sistemlerii çözüm kümelerii buluuz. + y- z _ + y - _ 8, +, y + b b. b. ` c. - y+ z 6 ` ç. 9+ 6y - y b -7y- z b + y+ z _ b - y+ z ` + y- z 7 b. Çözümü (, y, z) (,, ) ol bir do rusl deklem sistemi yz z.. Bir do rusl deklem sistemide, i + j j ifllemi soucud olufl j st r dki deklemi kt sy lr ( s f r) oluyors bu deklemi çözüm kümesi içi eler söyleebilir?. (, ), (, ) ve (, 6) oktlr d geçe prbolü deklemii buluuz.. Afl d verile geiflletilmifl mtrisleri temsil ettikleri do rusl deklem sistemlerii çözüm kümelerii buluuz. V V b c T X T X T V X 6. üzgâr krfl uç bir yolcu uç, rlr dki uçufl mesfesi 8 km ol bir flehirde di er bir flehre st 6 dkikd gitmektedir. Döüflte ise rüzgârl y yöde uçrk y mesfeyi stte lmktd r. Uç ve rüzgâr h z mtrisi ve mtris ifllemlerii kullrk buluuz. 7. Bir mrkette bblr yrd m ede üç krdefl toplm rl kg ol kg, kg ve kg l k fleker pketlerii tfl m fllrd r. Çocuklr tfl m fl oldu u te fleker pketide kg l k pketleri sy s kg l k pketlerde te fzld r. Bu göre, ve kg l k fleker pketleride s rs yl kçr te oldu uu buluuz. 8. Mehmet Bey i emeklilik ikrmiyesi ve di er birikimleriyle birlikte TL si bulumktd r. Mehmet Bey, prs üçe bölerek frkl risk ve getiri seviyelerie ship A, B ve C tipi folr yt r p de erledirmeye krr verir. Mehmet Bey i koufltu u bklrd biri A, B ve C tipi folr içi s rs yl %6, %7 ve %8 y ll k getiri ögörmektedir. Bu flekilde, Mehmet Bey i prs y l soudki getirisi TL olrk hesplmktd r. Bir bflk bk ise A, B ve C tipi folr içi s rs yl %, %6, ve %8 y ll k getiri ögörmektedir. Mehmet Bey i bir öceki bky yt rmy düflüdü ü miktrlr içi bu flekilde TL gelir elde edece i hesplm flt r. Bu göre Mehmet Bey i her bir fo tipie e kdr pr yt rmy düflüdü üü buluuz. Do rusl Deklem istemleri. Bölüm

246 ve Türüdeki Mtrisleri Determit Determit kvrm Miör ve kofktör kvrmlr,, türüdeki mtrisleri determitlr Determit özellikleri Ydki hritd köfle oktlr üç frkl flehir ol bir üçgesel bölge gösterilmifltir. Bu flehirleri koorditlr A(, b), B(c, d) ve C(e, f) olsu. Bu V b oktlr X c d mtrisi ile gösterelim. e f T X Köfle oktlr bilie üçgei l formülüde fydlrk ABC üçgeii l vere ifdeyi yz z. Elde etti iiz ifde ile X mtrisi rs d s l bir iliflki vrd r? Bir mtris ile bir sy y eflleye foksiyo t mlbilir mi? Ns l? A B C deta A M ij A ij A 7 A içi f(a) ve A [ ij ] içi f(a).. olsu. Bu göre fl d verile mtrisler içi f( A) y buluuz.. A [] b. A [ ] c. ç. A < d. A < F e. F - - A < - F - A < F - A 7 A ve A 8 mtrisleri ile f foksiyou rs d s l bir iliflki vrd r? ijb f foksiyouu görütü kümesi hgi sy kümesii elemlr d oluflmktd r? Aç kly z. Örek A G - ve f(a).. oldu u göre f(a) de erii bull m: f(a)... ( ). 6 buluur. Örek A > H fleklideki türüde bir mtris içi.. de erie A mtrisii determit diyece iz ve buu det A vey A biçimleride biriyle gösterece iz. A [ ] ve f(a) f( A) tir. oldu u göre f(a) de erii bull m: A [ ] fleklideki türüde bir mtrisi determit dir. Crl Friedrich Guss ( Krl Fredrik Gus) ( 777 8) Determit terimi ilk olrk Crl Friedrich Guss trf d Disquisitioes Arithmetice dl kitb d kull lm flt r. * 6. Bölüm Determitlr

247 A > H mtrisii determit bull m: 99 dersek, 99 +, ve olur. Bu de erler, determitt yerie yz l rs + det A + + Miör ve Kofktör Kvrmlr.( + ) ( + ).( + ) buluur. A < - F mtrisi içi elem buludu u st r ve sütu- u silimesi ile elde edile mtrisi determit bkl m ve bu determit M diyelim. M tür. iz de elem buludu u st r ve sütuu silimesi ile elde edilecek mtrisi determit hesplyrk M de erii hesply z. Bezer flekilde M ve M de erlerii buluuz. A [ ij ] kre mtrisii, bir ij terimii buludu u i. st r ve j. sütu t ld d geriye kl mtrisi determit ij terimii miörüü (M ij ) gösterir. A [ ij ] kre mtriside, ( ) i+j.m ij ifdesi, ij terimii kofktörüü (efl çrp ) gösterir ve A ij ile gösterilir. Augusti Louis Cuchy (Oguste Lui Kofli) (789 87) Determit kvrm ilk kulllrd biri de Augusti Louis Cuchy olmufltur. Cuchy miör ve kofktör kvrmlr ile ilgili kediside öce bulu souçlr tekrr isptlm fl ve kedi buldu u bz bflk souçlr sumufltur. Determitlr içi çrp m teoremii ilk kez isptly d yie odur. * T 6 V mtriside, terimii miörüü ve kofktörüü bull m: X mtriside, terimi tir. i buludu u st r ve sütuu trsk geriye mtrisi kl r. Bu mtrisi determit, terimii miörü olc d, - - G - 6 M ]- g. ]- g- buluur. - 6 terimii kofktörü ise A ( ) +.M ( ).( ) dir. iz de di er terimleri kofktörlerii buluuz. Determitlr. Bölüm 7

248 Türüdeki Bir Mtrisi Determit - A ij ( ) i+j M ij ifdesi ij terimii kofktörü olmk üzere A > H mtrisi içi A, A, A ve A, A, A kofktörlerii buluuz. - Buldu uuz kofktörleri kullrk fl dki ifllemleri souçlr hesply z...a +.A +.A b..a +.A +.A Yukr d ve b seçeekleride buldu uuz de erler rs d s l bir iliflki tespit ettiiz? seçee ide buldu uuz sy A mtrisii determit ise türüdeki bir mtrisi determit s l ve kç frkl flekilde bulubilece ii ç kly z. Türüdeki Bir Mtrisi Determit Bir t r Göre Hesplm Örek Bir kdstro tekisyei, ölçüm ypt cihz, bir koordit sistemii orijii kbul edip üçge fleklideki bir trl köflelerii koorditlr d (, ), (, ) ve (6, ) olrk belirlemifltir. Görevlii ölçmeye çl flt trl l kç birim kre oldu uu, determit kvrm kullrk bull m: Köflelerii koorditlr (, y ), (, y ) ve (, y ) ol bir üçgei l, y V ydki ifdei soucuu mutlk de eri ile bulubilmektedir. A det y Bu göre kdstro tekisyeii, trl l bulbilmesi içi y V T X - -. det. ifdesii de erii bulms ve mutlk de erii lms gerekir, diyebilir miyiz? Determit de erii,. st r göre çrk hesplyl m: T X. st r elemlr,, ve dir.. st rd bulu her elem, kofktörü ile çrp p bu çrp mlr toplyl m: buluur ] -g + ]-g + ] -g Bu souç, A mtrisii determit olur. O hâlde. st r göre A mtrisii determit deta.a +.A +.A fleklide yzbiliriz. iz de trl l kç birim kre oldu uu söyleyiiz. Türüdeki Bir Mtrisi Determit Bir ütuu Göre Hesplm Örek - determit de erii,. sütu göre çrk hesplyl m: 6 -. sütud bulu her elem, kofktörü ile çrp p bu çrp mlr toplyl m: ]-g.]-g ]-g ]-g +. 8 buluur. O hâlde, - -. sütuu göre A mtrisii determit, deta.a +.A +.A fleklide yzbiliriz. A mtrisii determit, ve. sütu göre hesplyrk y soucu elde edilece ii gösteriiz. 8. Bölüm Determitlr

249 V fleklideki türüde bir kre mtrisi determit bir st r (vey sütu) göre hesplrke o st rd ( vey sütud) bulu her elem, kofktörü ile çrp - A l r ve bu çrp mlr topl r. O hâlde A mtrisii determit fl dki flekillerde T X herhgi biri kull lrk bulubilir:. st r göre,. sütu göre, deta.a +.A +.A deta.a +.A +.A. st r göre,. sütu göre, deta.a +.A +.A deta.a +.A +.A. st r göre,. sütu göre, deta.a +.A +.A deta.a +.A +.A Determit Özellikleri A > H olmk üzere fl d isteeleri yp z. A mtrisii determit buluuz. A mtrisii birici ve üçücü st rlr yerlerii de ifltirerek B mtrisii, ikici ve üçücü sütulr - yerlerii de ifltirerek C mtrisii elde ediiz. B ve C mtrislerii determitlr bulrk krfl lflt r z. Bir mtrisi herhgi iki st r y d sütuuu yerleri de ifltirildi ide determit s l de iflece ii trt fl z. A mtrisii. st r ile çrprk D mtrisii,. sütuuu ile çrprk E mtrisii elde ediiz. D ve E mtrislerii determitlr buluuz. A, D ve E mtrislerii determitlr rs d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. Bir mtrisi bir st r (vey sütuu) bir gerçek sy ile çrp l rs determit s l de iflece ii trt fl z. A mtrisii üçücü st r ile çrp p birici st r ekleyerek F mtrisii elde ediiz. F mtrisii determit buluuz. A ve F mtrislerii determitlr krfl lflt r z. Bir mtrisi bir st r bir gerçek sy ile çrp l p bflk bir st r ekleirse determit s l de iflece ii trt fl z. Yukr d elde etti iiz souçlr göre determit özelliklerii geelleyiiz. Örek A - > H olmk üzere;. A mtrisii ve. st rlr yerlerii de ifltirerek B mtrisii elde edelim ve det B de erii hesplyl m: B > - H olur. B i determit. st r göre ç l rs + - B. ]-g... ]-. -. g -6 olur. A determit. st r göre ç l rs + A. ]-g ]- 6 - olur. A - B oldu u dikkt ediiz. Determitlr. Bölüm 9

250 Bir determit, herhgi iki st r y d iki sütuuu yerleri de ifltirilirse iflreti de iflir. b. A mtrisii. st r ile çrprk C mtrisii elde edelim ve det C de erii hesplyl m: C - 6 C. A > H olur. C i determit. st r göre ç l rs + 6 C. ]-g.. ]. -] - g. 6g 8 - oldu u dikkt ediiz. olur. Bir determit, herhgi bir st r y d bir sütuu bir k ile çrp l rs de eri de k sy s ile çrp lm fl olur: d g b e h c f t b c k. b c m ise k. d k. e k. f k. m vey k. d e f k. m dir. g h t k. g h t Tkkzu eki Kow (Tkkzu eki Kov) (6 78) Determit fikri Jpoy ve Avrup d heme heme y zmlrd orty ç kms r me, bu koudki çl flmlr ilk yy mly 68 y l d Jpo Tkkzu eki Kow olmufltur. eki, çl flmlr d determit vey bezeri hiçbir isimledirme ypmm fl fkt determit kvrm ve,, ve türüde determitlr hesplyrk bulr deklem çözümlerideki uygulmlr vermifltir. * c. A mtrisii. st r ile çrp p. st r ile toplyrk D mtrisii elde edelim ve det D de erii hesplyl m: A + > - H D > + D. ]- g... ]. -. g 6 H olur. D i determit. st r göre ç l rs olur. D A oldu u dikkt ediiz. Bir determit bir st r (vey sütuu) bir gerçek sy ile çrp l p bflk bir st r (vey sütu) ekleirse determit de eri de iflmez. Afl dki sorulr çözdükte sor cevplr z do rulu uu kotrol etmek içi bir grfiksel hesp mkiesi kullbilirsiiz.. Afl dki mtrisleri determitlr hesply z < - F b. G c. > 6 H ç. > -H d A > H içi det A ise i lbilece i de erler kümesii buluuz.. Köflelerii koorditlr (, ), (, ) ve (, ) ol üçgei l buluuz. -. deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) # - i, + i - B) {} C) {, } D) {, } E) > H. Bölüm Determitlr

251 rrus (rus) Yötemi Krl, ust bir okçu ol illim Tell (Vily m Tel) de yl zc bir ok t fl ile o luu rrus Yötemi yle bfl dki elmy ve o lu ile y boyd ol bir türüdeki mtrisleri determitlr bulums Bir koordit düzlemi çize krl, illim Tell i bflk çocu u bfl dki elmy vurms ister. o luu (, ), di er çocu u ise (/, ) okts yerlefltirir. Krl, illim Tell de, t fl ypms içi (, ) vey (, ) oktlr d birii seçmesii ister. izce illim Tell, hgi oktd t fl yprs kediside isteei gerçeklefltirebilir? Nede? / Düzlemdeki (, b), (c, d), (e, f) oktlr do rusl ise determit (s f r) eflittir. Bu göre illim Tell i o lu (, ), di er çocuk (/, ) okts dyke (, ) okts d t fl V ypmy krr verdi ii vrsyl m ve A / mtrisii determit hesplyl m. - T X fiimdiye kdr ö redi iiz yötemlerde biriyle A mtrisii determit hesply z.... ( I) Afl dki yöergeler rrus Yötemi d verile bir yötem ile A mtrisii determit bulm z s lyckt r. Bu göre fl d isteeleri yp z Determit ilk sütuuu, determit s y yz z. / d ve sold flekildeki gibi köflegeler çiziiz köflegeler üzeride bulu elemlr çrp p bu çrp mlr toply z ol köflegeler üzeride bulu elemlr çrp p bu çrp mlr toply z. / d md buldu uuz souçt. d md buldu uuz soucu ç kr z d md elde etti iiz souç ile I de buldu uuz souç rs d s l bir iliflki vr? Aç kly z Elde etti iiz souc göre illim Tell (, ) okts d t fl yprs o luu ve di er çocu u kflr dki elmlr vurbilir mi? Nede? Elde etti iiz souçlr göre türüdeki bir mtrisi determit flimdiye kdr ö redi iiz yötemlerde frkl bir yötemle s l bulubilece ii ç kly z. c e b d f Örek - 7 determit rrus Yötemi ile hesplyl m: ( ).. [. ( ) ] ( + + ) 6 6 dir. rrus Yötemi i, yl zc türüdeki mtrisleri determitlr hesplrke kullbiliriz. Determitlr. Bölüm

252 rrus Yötemi i fl dki gibi de gösterebiliriz: A deta ( ) y. (, y ) ve (, y ) oktlr d geçe do ruu deklemii y eflitli ide fydlrk bull m: y.y. + y.. +..y.y. y....y y. y. +.y.y.y +.y y. y. +.y.y.y.y +.y.y.(y y ).(y y ) y. ( ) y.( ) (y y )( ) ( )(y y ) y- y y - y - - y y y y y y Bu eflitlik, (, y ) ve (, y ) oktlr d geçe do ruu deklemidir.. ise de erii bull m: ( ) buluur.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z.. (, ), (/, ) ve (/, ) oktlr bir üçge oluflturur. b. (/, ), (, ) ve ( /, ) oktlr do rusld r. c. rrus Yötemi, türüdeki bir mtrisi determit hespl rke kull lbilir. -. A > 6 H mtrisii determit rrus Yötemi e göre hesply z.. Bölüm Determitlr

253 Ek (Adjoit) Mtris Ek (djoit) mtris, türüdeki mtrisleri çrpm ifllemie göre terslerii ek mtris yrd - m yl bulums A > H mtrisii tersi -. > H B fleklide buldu umuzu ht rly z. B mtrisii, A mtrisii kullrk s l elde edebilirsiiz? Aç kly z. A Ek( A) A - G mtrisii elemlr kofktörlerii buluuz. A mtrisii tersii (A ) buluuz. Elemlr krfl l kl olrk A mtrisii elemlr kofktörleri ol mtrisi ( B mtrisi) buluuz. B mtrisii trspozu ol mtrisi ( C mtrisi) buluuz. A ve C mtrislerii krfl lflt rrk rlr d s l bir iliflki oldu uu ç kly z. A mtrisii determit buluuz. A mtrisii determit çrpm ifllemie göre tersi ile C mtrisii çrp z. Elde etti iiz mtris ile A mtrisi rs d s l bir iliflki vr? Gözlem ve yorumlr z ç kly z. A kre mtrisii elemlr kofktörleride olufl kre mtrisi devri ie ( trspozu), A mtrisii ek mtrisi diyece iz ve ek mtrisi Ek(A) ile gösterece iz. Örek - A < F - mtrisii çrpm ifllemie göre tersii ve ek mtrisii bull m: - det A ]-g.]-g oldu ud / A G / 7 -/ 7 G...( I) dir. -/ 7 A ( ) +.( ), A ( ) +. A ( ) +., A ( ) +.( ) A A Ek] Ag > H > H > H A A T T tür. /7 /7 Ek A A Ek A ] g < F ] g < F < F -/7 -/7...( II ) dir. I ve II de A mtrisii tersii, determit çrpm ifllemie göre tersiyle ek mtrisii çrp m eflit oldu u görülür. Yi A. d r. A Ek ] A g - A ise Ek A ve A A Ek A - > H ] g > H ] g > H - A - dir. Determitlr. Bölüm

254 . Bölüm Determitlr mtrisii ek mtrisii ve çrpm ifllemie göre tersii bull m: A mtrisii elemlr her birii kofktörleride olufl mtrisi ve devri ii bull m: buluur.. / / / / / / / / A Ek A A ] g T T V X V X.... det olur A ] ] g g T T olur. Ek A ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] g g g g g g g g g g T T T V X V X V X A - - > H. Afl d, birici st rd verile mtrisleri ek mtrislerii ikici st rd bulrk efllefltiriiz.. Afl dki mtrisleri; i. Ek mtrislerii, ii. Determitlr, iii. Vrs çrpm ifllemie göre terslerii buluuz.. b. c. ç. d. e. 8 - T V X 6 - T V X T V X - G G - G T V X T V X T V X T V X - T V X T V X Mtrisleri öemli bir mtemtiksel teori olrk geliflmesie ktk d bulu e öemli isimleri bfl d, Olg Tussky Todd gelmektedir. Todd, II. Düy vfl s rs d, uçklrdki titreflimleri liz etmek içi mtrisleri kullmy bfllm fl ve mtris teorisii öde gele lideri olmufltur. Olg Tussky Todd (Olg Tuskiy Tot) (96 99) *

255 Afl dki sorulr çözdükte sor cevplr z do rulu uu kotrol etmek içi grfiksel hesp mkiesi kullbilirsiiz.. Afl dki prgrflrd verile oktl yerleri uygu ifdelerle tmmly z.. türüdeki bir mtrisi determit,... türüdeki bir mtrisi... de eri,... köflege üzerideki elemlr çrp m d, ikici köflege üzerideki elemlr çrp m... buluur. A [ ij ] kre mtriside; bir ij terimii buludu u,... st r ve... sütu t ld d, geriye kl mtrisi determit, ij terimii... deir ve... ile gösterilir. Ayr c, ( ) i+j.m ij ifdesie, ij terimii... deir ve... ile gösterilir. türüdeki bir mtrisi determit, bir... (vey sütu) göre hesplrke o... (vey...) bulu her elem,... ile... ve bu çrp mlr... b. A bir kre mtris olmk üzere A mtrisii elemlr kofktörleride olufl kre mtrisi... A mtrisii ek mtrisi deir ve ek mtris... ile gösterilir.. Afl dki mtrisleri determitlr buluuz. V. < siα cosα b. > H c. - 7 ç. -cosα siα F T X - T V 7 8 X. A ve B, türüde iki kre mtris ise det(ab) det(a).det(b) oldu uu gösteriiz. b. A > H mtrisi içi; c d. Ek] Ek] Agg A oldu uu gösteriiz. b. A ( + d)a A.I oldu uu gösteriiz deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? A) { } B) {} C) {, } D) {, } E) log - 6. A > H olmk üzere det A fl dkilerde hgisie eflittir? log 8 log A) B) C) D) E) 6 y do rusuu e imi fl dkilerde hgisidir? - A) B) C) D) E) 8. i -i olmk üzere krmfl k sy s ess rgümeti fl dkilerde hgisidir? i i π π π A) B) C) π D) E) π 6 Determitlr. Bölüm

256 Do rusl Deklem istemlerii Ters Mtris Kullrk Çözme Mtris gösterimi AX B ol do rusl deklem sistemii çözümüü X A.B yötemi ile bulums tte km, km ve 6 km h zl yürüye Asl, Hde ve Keml, st soud toplm 7 km yol kt etmifllerdir. Keml Hde'de dkik dh fzl yürümüfltür. Bu göre Asl, Hde ve Keml kçr dkik yürümüfltür? Yukr dki probleme uygu do rusl deklem sistemii yz z. A kt sy lr mtrisi, X ise bilimeyeler mtrisi olmk üzere yzd z do rusl deklem sistemii, A. X B fleklide ifde ediiz. X mtrisii, A mtrisii tersii (A ) ve B mtrisii kullrk s l bulbilirsiiz? Aç kly z. teret üzeride st fl yp bir flirket; müflterileride, kg ve kg lt d ol ürüler içi TL, kg d fzl fkt kg d z ol ürüler içi TL, kg ve kg üzeride ol ürüler içi de 8 TL krgo ücreti tlep etmektedir. det ürüü st ld bir gü, müflterilerde l toplm krgo ücreti TL olmufltur. Ürülerde kg ve kg lt d ollr sy s, kg ve kg üzeride ollr sy s kt ise her rl k ktegoriside kç ürü st lm flt r? Yukr dki problemde, st l ürülerde kg ve kg lt d ollr ; y kg d fzl fkt kg d z ollr ve z kg ve kg üzeride ollr sy s göstermek üzere yukr dki problemi modelleye ve üç do rusl deklemde olufl bir deklem sistemi yz z. Yzd z do rusl deklem sistemii; A kt sy lr mtrisi, X bilimeyeler mtrisi ve B de sbitler mtrisi olmk üzere A. X B...(I) fleklide yz z. A mtrisii tersii (A ) buluuz. I deki eflitli i her iki trf sold A mtrisi ile çrprk X mtrisii buluuz. Elde etti iiz X mtrisie göre, y ve z i de erii yz z. X mtrisi A ve B mtrisleri ciside s l yz l r? Aç kly z. Elde etti iiz souçlr göre mtris gösterimi AX B ol do rusl deklem sistemi s l çözülebilir? - y. do rusl deklem sistemii A. X B fleklide yzl m ve X A. B yötemi ile + y çözelim: -. > H > H > H \ V V A X B A. X B dir. 6. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

257 - / / A > H A > H > H > H olur.. -]-g / / / / A.X X A.B > H. > H > H dir. O hâlde ve y buluur. - / / - y+ z 6 _ b. + y+ z -7 ` do rusl deklem sistemii ters mtris yrd m yl çözelim: - + y -b V V V - 6. y -7 A. X B dir. - z - T X TV X T \ X A X A ]- g +. -6, A ]-g +. -, A ]-g +., A ]- g. 8, A ]-g., A ]-g. -, A ]-g. -, A ]- g. -, A ]-g. 7 dir. VT A A A VT V Ek] Ag A dir. A A A A A T X T X T X A.A +.A +.A. ( 6) + ( ). ( ) +. dir. V -6 / 8 / -/ Ek A A ] g A - / / - / dir. A / - / 7 / T X V V V -6 / 8 / -/ 6 8 X A. B X - / / - / tür. / - / 7 / - - T X T X T X O hlde 8, y, z buluur. B Afl dki deklem sistemlerii çözüm kümelerii, ters mtris yrd m yl buluuz. _ + y _ + z _ + b b b b. b. + y c. - y+ z ` ç. b ` ` b 6+ y+ z b b - b, _ b - b+ c ` b + c - Do rusl Deklem istemleri. Bölüm 7

258 Crmer ( K rmer) Kurl Bir do rusl deklem sistemii çözümüü, Crmer Kurl kullrk bulm Ayfle teyzei cüzd d Kr, Kr ve Kr lrd olufl, TL de eride, te metl pr vrd r. Kr lr sy s Kr lr sy s d fzl oldu u göre cüzdd kç te Kr oldu u s l bulubilir? Ayfle teyzei cüzd dki, ve Kr lr sy s s rs yl, y ve z olsu. Problemdeki verilere göre ydki deklem sistemii yzbiliriz. fiimdi de yukr dki deklem sistemii mtrisler yrd m yl A. X B fleklide yzl m: Mtrisle gösterimi A. X B ol yukr dki do rusl deklem sistemii flimdiye kdr ö redi iiz yötemlerde birii kullrk çözüp, y ve z yi buluuz. A mtrisii determit buluuz. Bu determit D olsu. A mtrisii. sütuudki elemlr yerie B mtrisii elemlr yzrk oluflturc z mtrisi determit buluuz. Bu determit D olsu. D D ifllemii yp z. Buldu uuz souçl. d md buldu uuz de eri rs d s l bir iliflki vr? A mtrisii. sütuudki elemlr yerie B mtrisii elemlr yzrk oluflturc z mtrisi determit buluuz. Bu determit D y olsu. D y ifllemii yp z. Buldu uuz souçl. d md buldu uuz y de eri rs d s l bir iliflki vr? D A mtrisii. sütuudki elemlr yerie B mtrisii elemlr yzrk oluflturc z mtrisi determit buluuz. Bu determit D z olsu. D z + y+ z _ b - + y ` + y+ z b V V V - y z TX TV X T \ X ifllemii yp z. Buldu uuz souçl. d md buldu uuz z de eri rs d s l bir iliflki vr? D Elde etti iiz souçlr göre üç bilimeye ve üç deklemde olufl bir do rusl deklem sistemii çözümüü flimdiye kdr ö redi iiz yötemlerde frkl bir yötemle s l bulbilece iizi ç kly z. A X B + by+ c z d _ b + b y+ c z d deklem sistemii Crmer Kurl ile çözümü; ` + b y+ c z d b b c d b c d c D b c ] D g, D d b c, Dy d c ve D z b c d b c d c b b b d d d olmk üzere D D D, y D ve D z D y z dir. D ike D, D y ve D z de e z biri s f rd frkl ise deklem sistemii çözümü yoktur. D D D y D z ise deklem sistemii sosuz çözümü vrd r. 8. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

259 _ 6- y b. deklem sistemii çözüm kümesii bull m: ` + y b D 6 / - / d- olur. D D - / 9/. -d-. 9/ 69 8 ve 6. D 6. - y / y D 9/ 9/ - 9 buluur. + b+ c _ b. - b+ c -` do rusl deklem sistemii Crmer Kurl yrd m yl çözelim: b + b + c D Det] Ag ].-. g dir. D D ]. -. g - - dir. Db b D ] - g dir. Dc c D ]. -. g dir. Afl dki deklem sistemlerii çözüm kümelerii Crmer Kurl kullrk buluuz. -+ 9y-z - _ b+ c _ - y y -+ b b. b. c. - y+ z ` ç. + b- c-` + y 7 y - 8 b -+ 8y- z b -b- c - Do rusl Deklem istemleri. Bölüm 9

260 Afl dki sorulr çözdükte sor cevplr z do rulu uu kotrol etmek içi grfiksel hesp mkiesi kullbilirsiiz.. Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. Bir mtrisi herhgi bir st r dki y d sütuudki elemlr hepsi ( s f r) ise determit de eri olur. b. Bir determit herhgi iki st r y d sütu elemlr krfl l kl olrk y ise de eri dir. c. A, türüde bir kre mtris ise, deta deta T dur. b. 7 ise fl dki determitlr de erlerii buluuz. c d b - b b b. b. c. ç. d c c- d d c d -c c+ -d d+ b. Afl dki do rusl deklem sistemlerii çözümlerii;. Ters mtris kullrk buluuz. b. Crmer Kurl kullrk buluuz. + y- z _ + y+ z _ 6- y _ b b b. ` b. - y+ z ` c. + y+ z ` y+ 7 b - + y+ z -b + z b. Afl d mtris gösterimi verile deklem sistemlerii çözümlerii;. Ters mtris kullrk buluuz. b. Crmer Kurl kullrk buluuz. - V V V V V V > H. > H > H b. -. y c. -. y y - - z - - z -6 T X T X T X T X T X T X. Y ll k getirileri s rs yl %6, %8 ve % ol A, B, C tipi üç fo yt r l TL i y l soudki getirisi 7 TL dir. A tipi fo, C tipi fod TL fzl pr yt r ld göre her bir fo kç TL pr yt r ld Crmer Kurl ' kullrk buluuz. 6. fiekilde I, I ve I devrei üç koludki k mlr (mper) ve V ile V de devreye güç s ly iki küü gerilimii (volt) göstermektedir. Kirflof Kuu göre bu devredeki k m ve gerilim de erleri ydki flekli lt d verile deklem sistemii s lmktd r. Afl dki seçeeklerde verile gerilim de erleri içi devrei kollr dki k mlr fliddetii buluuz.. V b. V c. V V V V ohm P I ohm ohm I I + + V volt Q V volt I- I+ I _ b I+ I -V` I+ I V b. Bölüm Do rusl Deklem istemleri

261 + y -. A > H, B > H mtrisleri 8. A < F ve A. B < F ise B mtrisi - y - içi A + B I ise kçt r? 7 A) - B) - C) - D) E) 9 7 fl dkilerde hgisidir? 9 - A) > H B) > H C) > H D) > H E) > H 6 9. Determit de eri 8 ol türüde bir mtrisi ikici sütuuu elemlr ile çrpt m zd olufl yei mtrisi determit de eri kç olur? A) 6 B) 8 C) 8 D) E) 7. > H. > H > H ise + b toplm kçt r? y b A) B) C) D) 9 E). A > H ise (A ) T fl dkilerde hgisidir? - - A) > H B) > H C) > H D) > H E) > H deklemii s ly de- - erlerii kümesi fl dkilerde hgisidir? A) (-, B) {, } C) {, } D) (-, E) 6. A > H ve B > H mtrisleri veriliyor. 9 A.X B ise X mtrisii terimleri toplm kçt r? A) 9 B) C) D) E) 7. 6 A) {,, } B) C) {,, } D) E) #-,, - (-, deklemii çözüm kümesi fl dkilerde hgisidir? #,, - #- 6,, A > H, B > H ve C > H mtrisleri içi.a + y.b C ise + y toplm kçt r? 9 A) B) C) D) E) deklemii s ly de- erlerii kümesi fl dkilerde hgisidir? A) {,, } B) {,, } C) {, } D) {, } E) {,, }. ise A 7 mtrisi fl dkilerde hgisie eflittir? cos -si cos -si A) > B) 7 7 H > H si cos si cos cos 7 -si7 C) > H D) E) 7 si7 cos 7. + y- z 8 _ deklem sistemii s ly b (, y, z) s rl üçlüsü - y+ z -8` -- y+ z -9b fl dkilerde hgisidir? A) (,, ) B) (,, ) C) (,, ) D) (,, ) E). cos -si A < F si cos 7 7 V - mtrisii tersi fl dkilerde hgisidir? - T X -6 / 8 / -/ V -6 - V A) - / / - / B) 8 - / - / 7 / T X T X - 6 / - / / V V C) 8 / / - / D) - - -/ - / 7 / - 7 T X T X E) Tersi yoktur. Çözümlü Test. Bölüm

262 . A + B I ise + y - > H + > H > H dir. - y - A ve B mtrislerii elemlr krfl l kl toplrsk > + + y olur. - y+ H > H ki mtrisi eflitlik kurl göre + + y yz l r. Bu deklem sistemii - y+ çözümüde 7-9 buluur. CEVAP : A. Bir determit, herhgi bir sütuuu vey st r bir k ile çrprsk bu determit de erii k ile çrpm fl oluruz. O hâlde determit de eri,. 8 olur. CEVAP : D. > H. > H > H eflitli ii sol trf - y b dki çrpm ifllemii yprsk > olur. H > H + y + y b ]- g CEVAP : D 6. A.X B A.A.X A.B X A.B dir. I A G A G dir. - - X A. B G. G G G olur X mtrisii terimlerii toplm, buluur. - G buluur. CEVAP : B ki determit eflitlik kurl göre +, 8 + 6, + y ( ) + y y, + y b.( ) +. b b buluur. O hâlde + b + ( ) olur. CEVAP : E b d -b. A G A. G d r. c d det A -c A A - G. G G olur. - A - G ^A h - G - - T olur. CEVAP : D ( + + ) 6 6 ( 6), 6, 6 buluur. A. B G A. A. B A. G B A. G olur. CEVAP : D B >. buluur. H > + H > + 8 H > H CEVAP : A. Bölüm Çözümler

263 9..A + y.b C ise ki mtrisi eflitlik kurl göre + y 6 yz l r. Bu eflitlikleri trf trf + + y toplrsk + y ( + y) CEVAP : D.. eflitli ii sol trf dki determitlr de erii bull m: ( ) ( ),, buluur. CEVAP : E cos -si cos -si A > H. > H si cos si cos cos - si > si. cos + cos. si cos > si 6. > H+ y. > H > H y 6 > H+ > H > H y + y 6 > H > + y A A. A cos. cos - si. si > si. cos + cos. si O hâlde -si H cos A 7 + y tir. cos -si cos -si > H. > H si cos si cos H -cos. si - si. cos - si + cos -cos. si - si. cos H - si. si + cos. cos cos] + g - si] + g cos -si > H > H si] + g cos] + g si cos A ve A souçlr dikkt ederseiz, N + içi cos si A - > H olckt r. si cos cos7 -si7 > H si7 cos7 olur. buluur. olur. H tir. CEVAP : C. V T X V " " T X V " " T X V " T X V " " - - T X V -. " + ) - T X O hâlde (, y, z) (,, ) dir. CEVAP : B VT Ek(A) T X VT V T X T X - A V A A Ek A ] g T X V buluur. 7 - T X CEVAP : A Çözümler. Bölüm

264 . Afl dki ifdeler do ruys ifdeleri öüdeki kutulr D, yl fls Y yz z. Cevplr - z edelerii ç kly p yl fl ifdeleri do rusuu buluuz.. m türüdeki A, B mtrisleri ve p türüdeki C mtrisi içi (A + B).C C.A + C.B dir. b. türüde hiçbir mtrisi tersi yoktur. c. A ile B, türüde köflege mtrislerse A + B de türüde köflege mtristir. ç. türüde A ile B mtrisleri içi A.B ise A vey B d r.. vey türüde bir lt üçge y d üst üçge mtrisi determit, köflege üzerideki elemlr çrp m eflit oldu uu gösteriiz.. A bir kre mtris olmk üzere fl dki ifdelerde hgilerii do ru oldu uu buluuz. I. A.A T mtriside her ij içi ij ji dir. II. A A T mtriside her ij içi ij ji dir. III. A + A T mtriside her ij içi, ij ji dir. IV. A A T mtrisi lt üçge mtristir. V. A.A T mtriside i j içi ij ve... dir. si cos π. deklemii <, F rl - -si cos dki çözüm kümesii buluuz. + b+ c _ b. - b+ c 7 ` deklem sistemii çözüm b + b- c -7 kümesii buluuz. b 6. A > H mtrisii her sütuudki terim- c d lerii toplm ise A.A T mtrisii terimleri toplm kçt r? A) B) C) D) E) 8 7. türüdeki A ve B mtrisleri içi A- B G ve A+ B G ise - A mtrisi fl dkilerde hgisidir? A) > H B) > H C) D) > H E) 7 8. A > H ve f() ise f(a) mtrisi fl dkilerde hgisidir? A) > H B) > H C) > H D) > 6-7 E) > H - 9 H A G ise A mtrisi fl dkilerde hgisidir? 8 A) B). > H -. > H C). > H D) 8 -. > H E) y. A > H ve B > H mtrisleri içi z t A + B A.B ise B mtrisii determit de- eri kçt r? A) B) C) D) E) si 8 cos 8. - eflitli ii s ly si cos de erlerii toplm kçt r? A) B) C) D) E). A G ve A. B G - 7 ise B mtrisi fl dkilerde hgisidir? - A) G B) G C) G D) G E) - - G 8. > H G - G -. Bölüm De erledirme

265 .. > H > H > H y ise fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) 9 7 E). > H. > H > H ise kçt r? 8 A) B) C) D) E). ise kçt r? - A) B) C) D) E) determit de eri kçt r? 999 A) 7998 B) 7999 C) 8 D) 8 E) 8. > H mtrisii elemlr üçer rtt r ld d 6. determit de eri de iflmedi ie göre kçt r? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 b c b+ c c+ + b determit soucu fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) b E) c 7. A > H mtrisi veriliyor. A.B A ise B mtrisii terimleri toplm kçt r? 9 A) B) C) D) E) A > H ve B > H mtrisleri veriliyor. A.X B ise X mtrisi fl dkilerde hgisidir? A) G B) > H C) G D) G E) > H T 9 9. V V - -. G y z T X T X ise + y + z kçt r? A) B) C) D) E). A, türüde bir mtris olmk üzere A. G G ve A. G - G ise A mtrisii terimleri toplm fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) eflitli ii s ly i pozitif de eri kçt r? 7 A) B) C) D) E) i i-. i ise i i+ determit fl- dkilerde hgisie eflittir? A) B) i C) i D) i E) i. A > H y mtrisi içi A.A ise + y kçt r? A) B) C) D) E). T 8 A G ve ] A. Bg - - G 9 ise B mtrisi fl dkilerde hgisidir? - - A) < F B) < F C) < D) < E) - F - < F. A G ve B G mtrisleri içi 7 - A. X B + X eflitli ii s ly X mtrisii elemlr toplm fl dkilerde hgisidir? A) B) C) D) E) De erledirme. Bölüm

266 . BÖLÜM DE ELEND ME.. D b. D c. Y ç. Y.. gerçek ve sl k s mlr b. her zm gerçek sy d r. c. modülüde küçük vey modülüe eflittir... Nzl.. birde fzl sy bulubilir. b. + i ile i 6. 7 km w. cis, w 8 8 w. cis8, w. cis. cis 8 8 w. cis6, w. cis 8 8 w6. cis, w7. cis8 8 w8. cis 8.. cis vey + i b. cis 7 vey i c. cis9 vey i ç. 6.cis vey 6.. π π b. c. ç.. E. A. D. A 6. B 7. D 8. D 9. E. C. C. E. D. C DE ELEND ME. D. B. D. C. D 6. E 7. D 8. B 9. B. A. E. D. B. D. BÖLÜM DE ELEND ME.. Y b. Y c. D. f ] g e f ] g l. II l + f ] g e f ] g f ] g l] - g f ] g e + f ] g l] + g+ f ] g e -. b. 7 C c.. A 6. A 7. A 8. B 9. E. E. C. E. D DE ELEND ME. D. D. A. E. E 6. B 7. B 8. A 9. E. C. B. D. A. B. C 6. C 7. D 8. A 9. A. BÖLÜM DE ELEND ME. Zehr ypt ifllem do rudur... permütsyodur. b. r li kombisyoudur. c. permütsyod, kombisyod ç. oly, imkâs z, kesi.. A. B 6. B 7. A 8. E 9. 6,6. C. E DE ELEND ME.. D b. Y c. Y ç. D. B. C.. b. c. ç.. D 6.. z Mtemtik,99, z Fizik,, z Kimy,, z Biyoloji,6, z gilizce,8 b. Mtemtik, gilizce, Fizik, Biyoloji, Kimy 7. D 8. C. BÖLÜM DE ELEND ME... 8 b. ] + g _ i e o c. 66, 66, ] - g.. (P ) m 8.. Y. ( ) ( ) ritmetik vey geometrik de ildir. b. Y. ( ) () hem ritmetik hem de geometriktir. 9. D. B. B. A. D. E. A 6. C DE ELEND ME. C. E. C. E. E 6. D 7. C 8. E 9. A. B. B. C. BÖLÜM DE ELEND ME.. D b. D c. D ç. Y π. I. II. ve III..., b, c 6. E 7. A 8. B 9. A. A. B. B DE ELEND ME. B. C. E. B. B 6. A 7. B 8. C 9. D. B. D. D. C. D. B 6 Cevp Ahtr

267 A B rgümet: Bir krmfl k sy ç sl bileflei (ç s ). yr k olylr: Kesiflimi bofl küme ol olylr. b ml olylr: ki oly b ms z de ilse bu olylr birbirie b ml d r. b ms z olylr: P(A B) P( A ).P(B) ise A ve B olylr b ms zd r. D De Moivre Formülü: Her do l sy s içi do ru ol (r.cisα) r.cis(α) eflitli i. deey: Bilimsel bir gerçe i bulmk, göstermek içi yp l deeme y d ifllem. determit: Kresel mtrisleri, gerçek sy lr döüfltüre özel bir foksiyo. dizi: N + kümeside, kümesie t ml her foksiyo. do l logritm foksiyou: Tb e,78... irrsyoel sy s ol logritm foksiyou. E G eflleik sy lr: ve b gerçek sy lr ise + bi ile bi krmfl k sy lr. efl olumlu öreklem uzy: Her bir ögei ç km ols l y ol öreklem uzyd r. gerçek k s m: ve b gerçek sy lr ise + bi krmfl k sy s dki. imjier: l birim, i sy s. imjier (sl) k s m: ve b gerçek sy lr ise + bi krmfl k sy s dki b. imkâs z oly: Hiç elem olmy oly, bofl küme. K krmfl k düzlem: Noktlr, krmfl k sy lrl efllee düzlem. krmfl k sy : ve b gerçek sy lr ve i ise + bi biçimideki sy. kesi oly: Öreklem uzy eflit ol oly. kombisyo : Gruplm, kümeleme, bir ry getirme. kutupsl koorditlr: Bir krmfl k sy modülü r ve rgümeti θ ise (r, θ) ikilisi. kutupsl yz l fl: Kutupsl koorditlr ( r, θ) ol krmfl k sy, r. cisθ biçimide yz lms. L M N logritm foksiyou: Üstel foksiyou ters foksiyou. mtris: Gerçek ve krmfl k sy lr dikdörtge biçimide, köfleli yrç içide yz ld tblo gösterimi. modül: Bir krmfl k sy orijie ol uzkl. i r li kombisyou: te frkl elemd, herhgi r tesii seçmek, gruplmk. i r li permütsyou: te frkl elemd, herhgi r tesii frkl s rl fllr d her biri. T sbit dizi: Bütü terimleri y sbit sy ol dizi. ters mtris: Çrp mlr birim mtrisi vere iki mtriste biri. trspoz: Bir mtrisi st rlr sütu yp lms ile elde edile mtris. tümevr m: Mtemtiksel bir öermei pozitif do l sy lr içi do rulu uu ispt etmeye yry yötem. Ü üs: m ifdesideki m. üstel deklem: Bilimeyei, deklemi üssüde ol deklem. üstel foksiyo:, de frkl pozitif sy ise +, kurl ile t ml foksiyo.. Brett, ymod vd., Preclculus: Fuctios d Grphs, McGrw-Hill, New York,.. Hese, obert vd., Mthemtics for Yer, Hese & Hrris Publictios,.. Hollidy, Berchie vd., Algebr, Glecoe McGrw-Hill, New York,.. Lych, Chich vd., Mthmtters, Glecoe/McGrw-Hill, New York, 6.. T.C. Millî E itim Bkl Tlim ve Terbiye Kurulu Bflkl Ortö retim Mtemtik (9,, ve. s flr) Dersi Ö retim Progrm, Akr,. 6. T.C. Millî E itim Bkl Tlim ve Terbiye Kurulu Bflkl lkö retim Mtemtik Dersi 6 8. flr Ö retim Progrm, Devlet Kitplr Müdürlü ü, Akr,. 7. TDK, Yz m K lvuzu, Türk Dil Kurumu Yy lr, Akr,. 8. TDK, Türkçe özlük, Türk Dil Kurumu Yy lr, Akr,. özlük Kykç 7

268 EK Mtemtik Dersie Krfl Tutum Ölçe i Aç klm: Bu form, sizi mtemtik dersie iliflki tutumuuzu belirlemek içi hz rlm flt r. Her bir ifdeyi dikktlice okuyrk Hiç Kt lm yorum., Kt lm yorum., Krrs z m., Kt l yorum., Tmme Kt l yorum. seçeekleride sizi içi uygu ol, X ile belirtiiz. Beceriler Hiç Kt lm yorum. Kt lm yorum. Krrs z m. Kt l yorum. Tmme Kt l yorum.. Mtemtik s vlr d fl r heyecl r m.. Mtemtik dersii severim.. Mtemtikle u rflmk b keyif verir.. Mtemtikte korkmm.. Mtemtik ile ilgili koulr trt flmkt hofll r m. 6. Mtemtik gerçek yflmd kull lmz. 7. Mtemtikle u rflmkt s k l r m. 8. Mtemti i ö reemem. 9. Mtemti i gülük yflm md s k s k kull r m.. Mtemti i düflümek bile bei ürkütür.. leride bir mtemtikçi olbilirim.. Mtemtikle ilgiledi im zm, zm s l geçti ii frk etmem. Proje De erledirme Formu Aç klm: Bu form, projeleriizi de erledirmeiz içi her proje soud kull lmk üzere hz rlm flt r. Her bir ifdeyi dikktlice okuyrk Çok yi, yi, Ort, Yetersiz seçeekleride sizi içi uygu ol, X ile belirtiiz. Geel Bilgiler Proje Ad Proje Grup Üyelerii Ad oyd Proje Çl flm Tkvimi Proje uum Trihi Projede Kull l Arç Gereç Beceriler Çok yi yi Ort Yetersiz A. Projeyi Hz rlm üreci. Projei kpsm uygu biçimde s rld rm düzeyimiz. Grup üyelerii görevlerii belirleme düzeyimiz. Projei hz rlms d özgü yklfl mlr kullm düzeyimiz. Birey y d tk m performs, tk m ifl birli i düzeyimiz B. Projei çeri i. Kulld m z rç gereci mc uyguluk düzeyi. Yrt c l k becerilerimizi kullm düzeyimiz. Elefltirel düflüme becerilerimizi kullm düzeyimiz. Ulflt m z bilgileri ve kyklr güveilirlik düzeyi. Proje souçlr rpor hâlie getirebilme düzeyimiz C. Projei uum üreci. uumumuzd Türkçeyi uygu biçimde kullbilme düzeyimiz. uumumuzu yz l ve görsel mteryllerle destekleme düzeyimiz. uum süresii uygu kullm düzeyimiz. orulr uygu, ç k y tlr verebilme düzeyimiz. Yorumlr m z gerçek hytt öreklerle destekleme düzeyi 8 Ek

269 EK Öz De erledirme Formu Aç klm: Bu form, her bölüm soud bz ölçütlere göre kediizi de erledirebilmeiz içi hz rlm flt r. Her bir ölçütü dikktlice okuyrk bu ölçütleri sizde bulum düzeylerii; Çok yi, yi, Ort ve Yetersiz seçeekleride birii iflretleyerek belirtiiz. Ort ve yetersiz olrk iflretledikleriizi s l gelifltirilmesi gerekti i kousud, ders ve rehber ö retmeiizde tvsiyeler lrk bu tvsiyelere uymy çl fl z.. Üite. Üite. Üite. Üite Çok yi yi Ort Yetersiz Çok yi yi Ort Yetersiz Çok yi yi Ort Yetersiz Çok yi yi Ort Yetersiz Öz De erledirme Ölçütleri. Zm m verimli kullbildim.. Derse lml ktk lr s lybildim.. orumluluklr m yerie getirdim.. Arkdfllr ml ifl birli i ypt m.. Ö retmeim ve rkdfllr ml olumlu iletiflim kurbildim. 6. Bflklr düflücelerie syg gösterdim. 7. Olumlu dvr fllr ml bflklr örek olbildim. 8. Okuldki sosyl, kültürel ve sportif etkiliklere kt ld m. 9. Bilgilerimi ve düflücelerimi rkdfllr ml pylflt m.. Grup çl flmlr kt ld m.. Ders rç gerecie öze gösterdim.. Her mtemtik dersi öceside derse hz rl k ypt m.. Mtemtik derside ö rediklerimi gülük hyt md uygulybildim.. Mtemtik derside ö rediklerimi di er derslerimle iliflkiledirebildim.. Mtemtik derside tekolojiyi etki kullbildim. Yorumlr m ve Eklemek stediklerim: Ek 9