GM-220 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Bölüm 3 Merkezi Konum (Eğilim) Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 2 Giriş Veri kümesi Verileri betimlemenin ve özetlemenin bir diğer yolu da verilerin bir merkez etrafındaki konumlarını belirlemektir. Merkezi konum ölçüleri bir veri kümesindeki verilerin nerede yoğunlaştığını ve konumlandığını gösterir.konumlandığı merkez hakkında sayısal bilgiler verir. 3 4 Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Aritmetik ortalama Geometrik ortalama Harmonik ortalama Kareli ortalama Mod Medyan Ortalamalar iki grupta incelenir. A. Duyarlı olan ortalama B. Duyarlı olmayan ortalama 20.03.2015 5 6 1
A. Duyarlı ortalamalar: Serideki tüm gözlem değerlerinden etkilenen ortalamalardır. B. Duyarlı olmayan ortalamalar: Serideki tüm gözlem değerlerinden etkilenmeyen ortalamalardır. A. Duyarlı ortalamalar A.Aritmetik ortalama B.Geometrik ortalama C.Harmonik ortalama D.Kareli ortalama 7 8 20.03.2015 9 10 11 12 2
13 14 15 16 Sorular Çözüm-1 Çözümler Soru-1 Soru-2 Çözüm-2 17 18 3
19 20 O halde; Keyfi olarak farklı aralık değerlerine 0 (sıfır) vererek işlemi tekrarlayalım ve sistemin çalışıp çalışmadığını kontrol edelim Aritmetik ortalamanın özellikleri 1. Aritmetik ortalama duyarlı bir ortalamadır ve serideki değişimlerden doğrudan etkilenir. 21 22 Aritmetik ortalamanın özellikleri 2. Gözlem değerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının toplamı sıfıra eşittir. 23 24 4
Ortalamadan sapmaların sıfır olduğunu gösteriniz. Çözüm 25 26 Ağırlıklı ortalama 27 28 29 30 5
31 32 Aritmetik ortalamanın özellikleri 3. Veri kümesindeki verilerin her biri sabit bir sayı ile toplanır ya da sabit bir sayıdan çıkarılırsa, veri kümesinin aritmetik ortalaması da bu sayı kadar artar ya da azalır Xi + A= yi y = x + A n n n n n ( xi + A) xi + A xi A i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 y = = = + = x + A Xi A = yi y = x A n n n n n n n n n ( xi A) xi A xi A i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 y = = = = x A n n n n 33 Aritmetik ortalamanın özellikleri 4. Veri kümesindeki verilerin her biri sabit bir sayı ile çarpılır ya da sabit bir sayıya bölünürse, veri kümesinin aritmetik ortalaması da bu sayı ile çarpılmış ya da bölünmüş olur. X i. A = yi y = x. A y n n n ( xi. A) A. xi A. xi = = = = i i i = = = 1 1 1 X i / A = yi y = x / A y n n n x. A 1 1 ( xi / A ) xi xi A A x n n n A n n n i = 1 i = 1 i = 1 = = = = 34 Geometrik ortalama Gözlemlerin değerlerinin mertebelerinin birbirlerinden çok farklı olması durumunda ortalama en büyük değerden çok etkilenir. Bu durumda geometrik ortalama kullanılabilir. Örneğin gözlemlerimiz {15, 250, 4000} olsun. Aritmetik ortalama en büyük değerden çok etkilenir. Geometrik ortalama gözlem değerlerinin birbirleriyle çarpılıp gözlem sayısı kökünün alınmasıyla bulunur. 35 Geometrik ortalama Geometrik ortalama, veri serisindeki aşırı büyük ya da küçük (sapan) değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmez. Sebebi logaritmik dönüşüm. Bundan dolayı veri kümesinin dağılımı simetrik dağılıma yaklaşır. Geometrik ortalama daha çok bileşik indeks, faiz, nüfus, milli gelir vb. verilere uygulanır. 36 6
Uyarı Geometrik ortalama Veri serisinde negatif bir değer ya da sıfır var ise geometrik ortalama hesaplanamaz 37 38 Geometrik ortalama Soru: Soğan fiyatlarındaki aylık artışın %2, %4, %16 ve %32 olduğu bir durumda soğan fiyatlarındaki aylık artış ortalaması geometrik olarak nedir? 39 40 41 42 7
Harmonik ortalama Bir veri kümesindeki verilerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Seyrek kullanılan bir ölçüdür. Veriler dönüştürülerek daha simetrik bir biçime getirilir. Aritmetik ortalamaya göre sapan değerlerden daha az etkilenir. Uyarı Veri serisinde negatif bir değer olduğunda anlamsız çıkar.sıfır var ise harmonik ortalama hesaplanamaz. 43 44 45 46 Soru: 4 işçinin iş bitirme süreleri sırasıyla 20, 15, 25 ve 30 gündür. Harmonik olarak ortalama iş bitirme süresi nedir? 47 48 8
Kareli ortalama 49 50 51 52 Duyarlı olmayan ortalamalar Mod Medyan 53 54 9
Veriyi Tanımlama Mod Merkezi Eğilim Ortalama Medyan Mod En çok tekrarlayan değere mod denir. Uç değerlerden çok etkilenmez. Hiç mod olmayabileceği gibi birden çok mod da olabilir. x = n n x i i= 1 Aritmetik Ortalama Sıralı değerlerin ortası En sık gözlenen değer (varsa) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Mod = 9 0 1 2 3 4 5 6 Mod yok 55 56 Mod (Tepe Değer) Mod ya da tepe değer, bir puan dağılımında en çok tekrar eden, yani frekansı en fazla olan puan ya da ölçümdür. Örnek: 60,72,82,72,61,81,72 ise Mod=72 dir. Güvenirliğinin düşük olması nedeniyle nadiren kullanılır. Çünkü bazı durumlarda dağılımın çarpık olması nedeniyle birden fazla mod bulunabilir. 57 58 20.03.2015 57 Gruplandırılmış seride mod değeri 59 60 10
61 62 Tepe Değer (Mod) ile ilgili bazı önemli noktalar 1) Bir puan dağılımında puanların frekansı aynı ise dağılımın modu hesaplanamaz (mod yoktur). Örneğin; 1,1,1,5,5,5,7,7,7 puan dağılımının modu yoktur. 2) Bir dizi puan dağılımında ardı ardına gelen iki puanın frekansı birbirine eşitse bu durumda mod frekansı eşit olan puanların ortalamasıdır. Örneğin; 2,2,3,3,3,5,5,5,9,9 puan dağılımında 3 ve 5 puanlarının frekansları birbirine eşittir. Bu durumda mod (3+5)/2=4 olarak bulunur. Dizinin modu 4 tür. 3) Bir dizi puan dağılımında frekansı eşit fakat ardı ardına gelmeyen puanlar varsa, bu durumda dizinin iki modu olur. Örneğin; 2,3,3,3,4,5,6,6,6,7 puan dağılımının 3 ve 6 olmak üzere iki modu (bimodal) bulunmaktadır. 63 64 63 Medyan En ortadaki gözlemdir. Gözlemlerin %50si solunda %50si sağındadır. Uç değerlerden çok etkilenmez. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Medyan = 3 Medyan = 3 65 66 11
Medyan (Ortanca) Büyüklük sırasına göre dizilmiş puanlar dizisinin tam ortasına düşen puandır. n +1 'inci puan 2 Örnek: 95,88,73,67,59,46,35,26,23 Medyan: 59 Puanların sayısı çift ise: n n ile + 1 inci değerin ortalaması alınır 2 2 Örnek: 95,88,73,67,59,46,35,26,23,12 Medyan: 52.5 67 68 67 Medyan (Ortanca) Örnek: 4, 7, 8, 11, 12, 15, 19 ise Medyan=(n+1)/2=(7+1)/2=8/2=4. sıradaki 11 dir. Örnek: 3, 5, 7, 9 ise Medyan=n/2=4/2=2. sıradaki (5+7)/2=6 dır. 69 70 20.03.2015 69 71 72 12
Medyan (Ortanca) Medyan sıralamalı ölçeklerle elde edilen veriler için uygun bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Medyanda ölçümlerin her birinin puan değerinden çok dağılım içindeki sırası önemlidir. 73 20.03.2015 73 74 20.03.2015 74 75 13