ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUSAL KONGRESİ

ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUSAL KONGRESİ 11-17 Eylül 1995 BURSA I TMMOB I FXEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TÜBİTAK

ISBN : 975-395 -154 - X Baskı: K A R E A JANS & MATBAACILIK Litrosyolu, 2. Matbaacılar Sanayi Sitesi C Blok No : 4 NC 25 Topkapı - istanbul Tel: (0212) 544 09 79-544 92 85

O M S O Z TMMOB Elektrik Mühendisleri Odası, Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ve TÜBiTAK'ın işbirliği ile 11-17 Eylül 1995 tarihleri arasında düzenlenen Elektrik Mühendisliği 6. Ulusal Kongresine hoşgeldiniz. Hazırlık çalışmaları yaklaşık bir yıl önce başlayan Kongre'ye, Üniversitelerimiz, araştırma ve endüstri kurumlarında çalışan meslektaşlarımız büyük ilgi göstermiş ve toplam 450 civarında bildiri başvurusu olmuştur. Aydınlatma Tekniği, Ar-Ge ve Teknoloji Üretimi, Bilgisayar ve Kontrol, Devreler ve Sistemler, Elektronik, Elektromagnetik Alanlar ve Mikrodalga Tekniği, Elektrik Makinaları, Elektrik Enerji Üretimi ve Dağıtımı, Eğitim, Güç Elektroniği, Haberleşme Tekniği ve Sistemleri, Ölçme Tekniği, Tıp Elektroniği ve Yüksek Gerilim Tekniği konularına göre ayrılan bildiriler, yürütme kurulunca belirlenen değerlendirme kuralları çerçevesinde uzmanlarca değerlendirilerek, yaklaşık 300 kadarının oturumlarda sunulması uygun bulunmuştur. Üç Ayrı ciltte toplanan bildirilerin, Aydınlatma Tekniği, Enerji Üretim, İletim ve Dağıtımı,Yüksek Gerilim Tekniği, Güç Elektroniği, Elektrik Makinaları birinci ciltte, Elektronik, Elektromağnatik Alanlar ve Mikrodalga Tekniği, Haberleşme Tekniği ve Sistemleri, Ölçme Tekniği, Tıp Elektroniği ikinci ciltte, Bilgisayar ve Kontrol, Eğitim ve diğerleri üçüncü ciltte yer almıştır. EMO ve Üniversitelerin temsilcilerinin yanısıra kamu ve özel sektör temsilcilerinin de yer aldığı Kongre Danışma Kurulu'nca belirlenen görüşler çerçevesinde, Elektrik-Elektronik Mühendisliğini ilgilendiren çeşitli konularda paneller ve çağrılı bildiriler de düzenlenmiş bulunmaktadır. Türkiye'de Elektrik-Elektronik Sanayinin Konumu, AB İle Bütünleşmesi ve Perspektifler, Elektrik- Elektronik Mühendisliğinde Eğitim, Altyapı Hizmetleri Özelleştirme ve Düzenleyici Erk, Türkiye'nin Elektrik Enerji Sisteminde Yapısal Değişiklikler ve Politikalar konulu paneller ve Bilgi Çağının Anahtar Teknolojisi; Mikroelektronik, Mikrodalga Enerjisinin Endüstriyel Uygulamaları, Bilgi Toplumu ve Internet, Elektrik-Elektronik sanayinin Gelişiminde Ar-Ge'nin Önemi, Nükleer Güç Santrallerinin İşletmesindeki Teknik Sorunlar ve Çevre Konulu çağrılı bildirilerle konuların tartışılacağı, bilimsel yaklaşımlarla çözüm ve önerilen geliştirileceği, ilgili kurum ve kuruluşlara önemli katkılar sağlayacağı inancındayız. Kongrede çağrılı bildiri ve panellere katılarak değerli katkılarda bulunacak değerli bilim adamları ile özel ve kamu kuruluş yetkililerine sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum. Bugüne kadar iki yılda bir düzenli olarak yapılan, bilimsel niteliği ve katılımı giderek artan Elektrik Mühendisliği Ulusal Kongresi, Ülkemizde yapılan bilimsel ve teknolojik çalışmaların nitel ve nicel özelliklerini yansıtması bakımından önem arzetmektedir.' Kongrenin, izleyiciler ve delegeler için başarılı olmasını, ülkemizin bilimsel ve teknolojik çalışmalanna yön ve ivme vermesini diliyor, hazırlık çalışmalarımıza özenle katkı sağlayan değerli TMMOB Elektrik Mühendisleri Odası Yönetim Kuruluna, Elektrik Mühendisleri Odası Bursa Şubesi Yönetim Kuruluna ve Çalışanlarına, Bilim Kurulu, Danışma Kurulu, Yürütme Kurulu ve Sosyal İlişkiler Komisyonu üyeleri ile emeği geçen tüm arkadaşlarımıza destek ve katkıları için teşekkür ediyorum. Prof. Dr.Ali OKTAY Yürütme Kurulu Başkanı

ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUS AL KONGRESİ YÜRÜTME KURULU Prof. Dr.Ali OKTAY Prof.Dr.Ahmet DERVİŞOĞLU Prof.Dr.R.Nejat TUNCAY Teoman ALPTÜRK Faruk KOÇ Haluk ZONTUL Ömer ADIŞEN EmirBİRGÜN Sevim ÖZAK Yakup ÜNLER Osman AKIN H.İbrahim BAKAR (U.Ü. - Başkan) (İTÜ) (EMO Başkanı) (EMO Bursa Şube Başkanı) (EMO Yön.Kur. Üyesi) (UÜ.) (EMO-Bursa Şube Yön.Kur.Yazman Üyesi) (EMO-Bursa Şube Yön.Kur. Üyesi) (EMO-Bursa Şubesi) (EMO-Bursa Şubesi) (EMO-Bursa Şubesi) TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI BURSA ŞUBESİ YÖNETİM KURULU Başkan Başkan Yrd. Yazman Sayman Üye Üye Üye Faruk KOÇ İsmail Yalçın AKTAŞ Emir BİRGÜN Bahri KAVİLCİOĞLU Sevim ÖZAK Tuncay HIZLIOĞLU Cem ÖZKAN TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ÇDASI BURSA ŞUBE GÖREVLİLERİ Kemal ERTUĞRAN Kemal KARAKAŞ Raziye BEĞEN Meliha DEMİR Hüseyin GÖK : Kongre-Fuar Sorumlu Mühendisi : Proje Denetim ve Test Mühendisi : Sekreterya Sorumlusu : Muhasebe Görevlisi : Şube Görevlisi SOSYAL ETKİNLİKLER KOMİSYONU İnci BECEREN Sabiha CESUR Bekir DAĞLAROĞLU Gülsemin GÜNEŞ Muvaffak KARAHAN Önder SERHATLI - I -

BİLİMSEL DEĞERLENDİRME KURULU - AKÇAKAYA Ergül, Prof.Dr.(İTÜ) - AKPINAR Sefa, Prof.Dr. (KTÜ) - ANDAY Fuat, Prof.Dr.(İTÜ) - ATAMAN Atilla, Prof. Dr. (YTÜ) - AYGÖLÜ Ümit, Prof.Dr.(İTÜ) - AŞKAR Murat, Prof. Dr. (ODTÜ) - BAYRAKÇI H.Ergün, Prof.Dr.(UÜ) - BURŞUK A.Fahri, Prof.Dr. (İÜ) -BİR Atilla, Prof. Dr. (İTÜ) - CANATAN Fatih, Prof. Dr.(ODTÜ) ÇERİ D Ömer, Prof. Dr. (BÜ) - ÇETİN İlhami, Prof.Dr.(İTÜ) ÇİFTÇİOĞLU Özer, Prof.Dr. (İTÜ) DALFEŞ Abdi, Prof.(İTÜ) - DEMİROREN Ayşen, Yrd.Doç.Dr.(İTÜ) DERVİŞOGLU Ahmet, Prof. Dr.(İTÜ) ERTAN H.Bülent, Prof.Dr.(ODTÜ) ERTAŞ Arif, Prof. Dr.(ODTÜ) ERİMEZ Enise, Prof.Dr. (İTÜ) FADIL Salih, Yrd.Doç.Dr.(OÜ) GÖKMEN Muhittin, Prof.Dr.(İTÜ) GÖNÜLEREN Ali Nur, Prof.Dr.(İTÜ) GÜLGÜN Remzi, Prof.Dr.(YTÜ) GÜNAN Hasan, Prof.Dr.(ODTÜ) GÜNEŞ Filiz, Prof.Dr.(YTÜ) GÜRLEYEN Fuat, Doç.Dr.(İTÜ) GÜVEN Nezih, Doç.Dr.(ODTÜ) GÜZELBEYOGLU Nurdan, Prof.Dr.(İTÜ) HARMANCI A.Emre, Prof.Dr. (İTÜ) İDEMEN Mithat, Prof.Dr.(İTÜ) İDER Y.Ziya, Prof.Dr. (ODTÜ) İNAN Kemal, Prof.Dr.(ODTÜ) KALENDERLİ Özcan, Yrd.Doç.Dr.(İTÜ) - KASAPOĞLU Asım, Prof. Dr.(YTÜ) - KAYPMAZ Adnan, Doç.Dr.(İTÜ) - KORÜREK Mehmet, Doç.Dr.(İTÜ) - KUNTMAN H.Hakan, Prof.Dr.(İTÜ) - LEBLEBİCİOĞLU Kemal, Prof.Dr.(ODTÜ) - MERGEN Faik, Prof.Dr.(İTÜ) - MORGÜL Avni, Prof.Dr.(BÜ) -OKTAYAli, Prof.Dr.(UÜ) - ONAYGİL Sermin, Doç.Dr.(İTÜ) - ÖNBİLGİN Güven, Prof.Dr.(19 MAYIS Ü) - ÖZAY Nevzat, Prof. Dr. (ODTÜ) - ÖZDEMİR Aydoğan, Doç. Dr.(İTÜ) - ÖZKAN Yılmaz, Prof.Dr.(İTÜ) - ÖZMEHMET Kemal, Prof.Dr.(9 EYLÜL Ü) - PANAYIRCI Erdal, Prof.Dr. (İTÜ) - RUMELİ Ahmet, Prof.Dr.(ODTÜ) - SANKUR Bülent, Prof.Dr.(BÜ) - SARIKAYALAR Şefik, Prof.(YTÜ) - SEVAİOĞLU Osman, Prof.Dr.(ODTÜ) - SEVERCAN Mete, Prof.Dr. (ODTÜ) - SOYSAL A.Oğuz, Prof.Dr.(İÜ) - ŞEKER Selim, Prof.Dr.(BÜ) - TACER Emin, Prof.Dr.(İTÜ) - TANIK Yalçın, Prof.Dr.(ODTÜ) - TARKAN Nesrin, Prof.Dr.(İTÜ) - TOPUZ Ercan, Prof.Dr.(İTÜ) - TUNCAY R.Nejat, Prof.Dr. (İTÜ) - TÜRELİ Ayhan, Prof.Dr.(ODTÜ) - ÜÇOLUK Metin, Prof.Dr.(İTÜ) - YAZGAN Erdem, Prof.Dr.(HÜ) - YÜCEL Metin, Prof. (YTÜ) - YÜKSEL Önder, Prof.Dr.(ODTÜ) - YÜKSELER Nusret, Prof.Dr.(İTÜ) - II -

DANIŞMA KURULU - AKÇAKAYA Ergül (Prof.Dr.-İTÜ) - AKKAŞLI Nevzat - ALADAĞLI Tunç (Nergis A.Ş.) - ALGÜADİŞ Selim (EKA) - ARABUL Hüseyin (EMSAD) - ARGUN Tanju (TESİD) - ATALI ibrahim (EMO Adana Şube) - ATEŞ Mustafa (TEDAŞ) - AVCI M.Naci (Organize Sanayi Bölgesi) - BAYKAL Faruk (Nilüfer Belediye Başkanı) - BERKOĞLU ismail (PTT Bölge Başmüdürü) - BOZKURT Yusuf (MEES) - BİRAND Tuncay (ODTÜ) - CAN ER Süleyman (Çanakkale Seramik) - CEYHAN Mümin - CEYLAN Arif - ÇALIM Yavuz (TEAŞ Müessese Müdürü) - DRAMA Mehmet (TEDAŞ) - DURGUT Metin (EMO Merkez) - GÖREN Sunay (Siemens) - HARMANCI Emre (Prof.Dr.-İTÜ) - ISPALAR Ayhan (EMKO) - KAYA Ersin (Kaynak Dergisi) - KAŞIKÇI İsmail (Almanya) - KIRBIYIK Mehmet (Prof.Dr.-U.Ü.Müh.Mim.Fak.Dekanı) - KUZUCU Mehmet (TOFAŞ Elk.Eln.Tesis Servis Şefi) - MUTAF M.Madt (EMO İzmir Şube) - OKAT ismail (TEDAŞ Bursa Müessese Müdürü) - OKUMUŞ Necati(TEDAŞ) - OKYAY Nursel (TEDAŞ) - ÖZMEHMET Kemal (Prof.Dr.-9 Eylül) - ÖNBİLGİN Güven (Prof.Dr.-19 Mayıs Ü.) - PUCULAOĞLU Mustafa (EMO Merkez) - RAŞİTOĞLU Mithat (TEDAŞ) - SÖNMEZ Ali Osman (Ticaret ve Sanayi Odası Başkanı) - TERZİOĞLU TosunfTÜBİTAK) - YAZICI Ali Nihat (EMO Merkez) - YEŞİL Hüseyin (EMO İstanbul Şube) - YÜCEL Behçet - YÜKSELER H.Nusret (Prof.Dr.-İTÜ) - YURTMAN Naşit (Oyak Renault Fab.Teknik Servis Bakım Müdürü) - YİĞİT Ali (EMO Ankara Şube) - ZÜMBÜL İsmail - III -

YAY-DİYAFRAM TİPİ İŞLETİCİLER İÇİN BİR DUYARLIK ÖLÇÜSÜ VE OPTİMUM PARAMETRE TOLERANSLARININ BULUNMASI CEVAT ERDAL İTÜ Elektrik-Elektronik Fakültesi ÖZET Bu bildiride, süreç kontrolunda kullanılan yay-diyafram tipi işleticilerin, transfer fonksiyonu modellerinden ve duyarlık tanımlarından yararlanarak, çalışma hatalarının en aza indirgenmesinde veya aynı modeli sağlayan farklı parametre değerlerine sahip cihazların karşılaştırılmalarında kullanılacak bir duyarlık ölçüsü tanımlanmış ve bu ölçü vasıtası ile, hata üst sınırını enaz yapan optimum parametre toleranslarının bulunuşu için bir yöntem önerilmiştir. 2. TEMEL KAVRAMLAR Kontrol basıncı 1. GİRİŞ Kontrol sistemlerinde işleticiler, bir sürece giren malzemeyi ya da enerji akışını ayarlamak ve kontrol vanasının konumunu değiştirmek amacıyla, kontrol ediciden gelen bir kontrol işaretini büyük bir kuvvet ya da momente dönüştürürler. İşleticiler çeşitli tiplerde olabilirlerse de, bunların içinde yay-diyafram tipi işleticilerin önemli bir yeri vardır. Bir süreç kontrol sistemi tasarımında, yay-diyafram tipi işletici ile birlikte bulunan kontrol vanası kullanılması düşünüldüğünde, böyle bir cihazın, kontrol çevriminin dinamik davranışı üzerindeki etkisinin giderilmesi veya enaza indirgenmesi gerekir [1-5]. Şekil 1. Yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanası Şekil l'deki gibi bir yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanasının davranışı aşağıdaki gibi bir diferansiyel denklemle ifade edilebilir [6,7]: Ap(t) =m d2 x dx, +kx (2.1) Burada * A: diyafram yüzeyi p(t): diyaframa uygulanan kontrol basıncı m: b: k: x(t): dır. hareketli parçaların kütlesi sürtüiune katsayısı yay sabiti vana göbeğinin konumu Yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanasının transfer fonksiyonu, (2.1) bağıntısından, ilk koşullar sıfır varsayılarak, aşağıdaki gibi bulunabilir: (2.2) - 973-

Diyaframa uygulanan sabit bir P basıncı için, vana göbeğinin konumu, (2.2) bağıntısından, aşağıdaki gibi bulunabilir: x(t)=[r ı +r 2.e pt +r 3 e*].p (2.3) dr. (2.9) Burada p(pp,p: dır. ma transfer fonksiyonunun kutuplan Parametre vektörü Y=[mbAk]' de oluşan. A T Am Ab AA Ak v m b A k (2.4) (2,5) değişmesi nedeni ile vana göbeğinin konumundaki sapma 4 Ay. i-1 ' y, (2.6) biçiminde yazılabilir [8,9]. Burada S büyüklüğü, x, konum fonksiyonunun Y parametre vektörüne ilişkin duyarlık vektörüdür ve aşağıdaki gibi tanımlanır: S=S(x,Y)=[S ı S 2 S i S 4 ] 1 (2.7) şeklinde tanımlanmışlardır. Yay-diyafram tipi işletici için (2.3) ve (2.8) bağıntıları kullanılarak aşağıdaki duyarlıklar elde edilmiştir. [(2b 4-6mkb 2 )sindt 2m 2 A bsj4mk-b 2 2b(2mk-b 2 ). ^sı c o s Q t.± s i n Q t ) ] }. p 2 m -TZ< ( cos9r+ sine?)]} P 2ms]Amk'2b 2 2m (2.10) 2m 'sindt}-p (2.7)'deki herbir 5 (.,/ = 1...4, için (2.3) bağıntısından, duyarlık tanımları kullanılarak i = 1,...4 biçiminde bulunabilirler. Burada (2.8) 2 b4amk-b 2 2kb sın0r Amk-b 1 k tcosdt]}-p J Amk-b 1 Burada Q_^Amk-b 2 2m olarak tanımlanmıştır. 2m - 974-

3. DUYARLIK ÖLÇÜSÜ TANIMI VE OPTİMUM PARAMETRE TOLERANSLARININ BULUNMASI (2.6) ve (2.7) bağıntıları kullanılarak, üçgen eşitsizliği uyarınca [8,9], M-Pzt. (3.1) yazılabilir. Vana konumundaki sapmanın üst sınırı ya da bir başka deyişle toleransı için aşağıdaki bağıntı yazılabilir: o, ii. Devre parametrelerine ilişkin toleransların (3.2)'de tanımlanmış bulunan üst sınır t x "e katkılarının aynı olması istenirse, i 'inci parametreye ilişkin optimum tolerans f. 'nin değeri aşağıdaki sibi bulunabilir: t. ',= (3.6) Burada t^i'nci parametrenin toleransıdır ve f.> -^, i=l,...4 (3.3) olarak tanımlanmıştır. Duyarlık ölçüsü olarak Blostein'in tanımı aşağıdaki gibi bulunacaktır [10]: (3.4) 4. ÖRNEK Johnson Controls firmasının ürettiği VD-Serisi, PN16 ve PN40 tipi, yaydiyafram tipi işletici ile çalışan kontrol vanaları için (2.10) bağıntıları ile verilmiş bulunan duyarlıkların en üst değerleri aşağıdaki gibi bulunmuşlardır: 5j =0,645 S 2 =0,067 S 3 ~ =0,082 S 4 =9,87 (4.1) Vana göbeğinin konumundaki değişimin (3.1)'de tanımlanmış bulunan hata üst sınırından büyük olmaması için işletici parametrelerine ilişkin optimum tolerans değerleri (3.2) bağıntısından yararlanarak, aşağıdaki iki yol izlenerek, bulunabilirler: i. Devre parametrelerine ilişkin toleransların birbirlerine eşit olmaları istensin. Bu durumda i 'nci parametreye ilişkin optimum tolerans, f/nin değeri aşağıdaki gibi bulunabilir: (4. l)'deki duyarlıklar vasıtası ile (3.4)'de tanımlanmış bulunan duyarlık ölçüsü M =10,667 (4.2) olarak bulunmuştur. parametre değişimleri nedeni ile x(t), konum fonksiyonundaki değişimin en fazla t x =0,0l olması istenirse, optimum parametre toleranslarının almaları gereken değerler (3.5) ve (3.6) bağıntılarından aşağıdaki gibi bulunabilir: i. Toleransların eşit olmaları istenilirse: r.«%0,l, / =!,...4 (4.3) - 975-

ii. Toleransların, değişime katkılarının aynı olması istenilirse: 5. SONUÇ (4.4) (3.4)'de tanımlanmış bulunan duyarlık ölçüsü, yalnızca, vana göbeğinin konumunu belirleyen x(t) fonksiyonunun, işletici parametrelerine göre duyarlıkları cinsinden tanımlanmıştır. Bu duyarlıklar ise, (2.10) bağıntılarından görüldüğü gibi, işletici parametrelerinin fonksiyonudur. Bu nedenle x(t), konum fonksiyonunu gerçekleyen bir işleticinin duyarlığını iyileştirmede veya aynı x(t) fonksiyonunu gerçekleyen birden çok parametre vektörünün bulunması durumunda, bunlar içerisinde M,'yi en küçük yapan parametre değerleri seçilerek gerçekleme yapılır. Böylece, işleticinin ortam etkileri nedeni ile parametreleri değiştiğinde, oluşacak hatalar iyileştirilebilir. fi. KAYNAKLAR [1] HARRIOTT P., "Process Control", McGraw-Hill Book Conıp., 1964. [2] SILVA C.W., "Control Sensors and Actııators", Prentice-Hall Pub. Conıp., 1989. [3] CONSIDINE D.M., ROSS S.D., "Handbook of Applied Instrunıentation McGra\v-Hill Book Conıp., 1964. [4] CONSIDINE D.M., "Process Instruments and Controls Handbook", McGraw-Hill Book Comp., 1974. [5] SCHULER C.A., MCNAMEE W.L., "Industrial Electronics and Robotics", McGraw-HiIl Book Comp., 1988. [6] OGATA K., "Modern Control Engineering", Prentice-Hall International, Inc. USA., 1990. [7] BUCKLEY P.S., "Techniques of Process Control", John Wiley&Sons Inc., 1964. [8] ACAR C, "Duyarlık ve Tolerans Analizi" İ.T.Ü. Kütüphanesi, 1979. [9] ERDAL C, "Ölçme Düzenleri İçin Optimum Toleranslı Eleman Seçimi Sorunu ve Eleman Duyarlıklarının Bulunuşunda Bir Kolaylık", Doktora Tezi, İ.T.Ü., 1986. [10] BLOSTEINM.L./'SomeBoundOn Sensitivity in RLC Netvvorks", Proc. T' Allerton Conf. Circuit Syst. Theory, pp.488-501, 1963. ÖZGEÇMİŞ 19 4 8 yılında Bergama'da doğdu. itü'de 1973'de Yük.Müh. 1987'de Doktor, 1989'da Yrd.Doç. oldu. Ölçme, sensör tekniği. süreç kontrolü, enstrünıantasyon, ve sistem teorisi konularında çalışmaktadır. - 976-

KATI UZAYARAÇLARI İÇİN YÖNELİM DENETİMİ Yakup Ozkazanç Hacettepe Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Beytepe, 06532 Ankara Özet Bu çalışmada katı bir gövde olarak modellenebilecek uzayaraçlan için bir yönelim denetleci önerilmiştir. Uzayaracının yönelim kinematiği Euler parametreleri ile belirlenmiştir. Lyapunov kararlılık yöntemininden yararlanılarak uzayaracını verili bir yönelime iten bir denetleç geliştirilmiştir. Bu denetleç, açısal hız ve yönelim bilgilerini işleyen nonlinear, statik bir denetim kuralıdır ve uzayaracının geometrisinden bağımsız olarak tasarlanabilir. 1 GİRİŞ Uzayaraçlarının hareketleri iki temel hareketin bileşimi olarak düşünülebilir: uzayaracının yörüngesel hareketi ve uzayaracının kütle merkezine göre yönelimi (attitude). Uzayaraçlarının yörüngeleri, uzayaracının yakınındaki büyük göksel cisimlerin çekim etkisi göz önünde bulundurularak tasarlanmakta ve seyrek aralıklarla veya büyük yörüngesel sapmalar olduğunda, genellikle açık döngü yöntemlerle denetlenmektedir. Öte yandan, bir uzayaracının görevini eksiksiz yerine getirebilmesi için, genellikle yöneliminin de denetlenmesi gerekmektedir. Esnekliği ihmal edilebilir uzayaraçlan katı uzayaraçlan olarak anılmaktadır. Katı uzayaraçlarının yönelim dinamikleri ve yönelim denetimi çeşitli araştırmalara konu olmuşdur [2], [5], [6], [7]. Bu çalışma da yönelim denetimi problemine bir çözüm getirmektedir. Yer kısıtlaması nedeni ile, yaklaşımımızı diğerleri ile ayrıntılı olarak karşılaştırmadan, yalnızca önerilen yöntemin nasıl geliştirildiğini sunacağız. Bu bildiri şöyle yapılandırılmadır. 2. bölümde katı gövdelerin kinematiği Euler parametreleri ile tanımlanmış ve kinematik devinim denklemleri verilmişdir. Katı gövdelerin dinamiği kısaca 3. bölümde sunulmuştur. 4. bölümde yönelim denetimi problemi tanımlanmıştır. Bu problemin çözümünde sistemin enerjisi ile kinematik değişkenlerden oluşturulmuş özel bir Lyapunov fonksiyonu adayı kullanılmıştır. Bu fonksiyon 3x3 simetrik bir matris ve skaler bir katsayı ile parametrize edilmiştir. Asimptotik yönelim denetimi sağlayan denetim kuralı, bu Lyapunov fonksiyonu adayının verili bir yönelim için Lyapunov fonksiyonu olmasını sağlayacak şekilde parametrelerin belirlenmesi ile geliştirilmiştir. 2 KİNEMATİK Kütle merkezi sabit tutulan katı bir gövdenin deviniminin serbestlik derecesi üçtür. Birisi gövdede sabitlenmiş, diğeri ise eylemsiz uzaya göre sabit, merkezleri katı gövdenin kütle merkezinde, iki kartezyen koordinat sistemi düşünelim. - 977 -

Bu iki koordinat sisteminin eksenleri arasındaki açıların kosinüslerinden oluşmuş 3 x 3 matrisi Y ile gösterelim. Katı gövdenin yönelimi ile Y matrisleri arasında bire-bir bir ilişki vardır. Temel geometri bilgisine dayanarak, yukarıdaki şekilde oluşturulan Y matrislerinin ortogonal olduğu ve determinantlarının bir olduğu gösterilebilir. Bu özelliği taşıyan tüm 3 x 3 matrislerin oluşturduğu set bir manifold yapısına sahiptir ve 50(3) ile gösterilir. 50(3) = {Y e $t?,y T Y = I,det{Y) = 1} Bu manifoldun her bir noktası katı gövdenin bir yönelimine karşılık gelir ve katı bir gövdenin her yönelimi bu manifold üstünde bir noktaya karşılık gelir. Katı gövdeler için yönelim denetimi problemini tartışacağımız bu çalışmada, yönelim manifoldu 5O(3)'ü Euler parametreleri veya diğer ismi ile quaterniy onlar ile parametrize edeceğiz. Bu parametrizasyonu sunmadan önce. genellikle Enlerin adı ile anılan bir teorem sunuyoruz [3]. Teorem: 50(3) içinde yer alan hery elemanı a 3? 3,a r a = 1 ve <p S 1 olmak üzere Y = 1 + (1 cosd>)kk sinök olarak yazılabilir. Bu teoremin fiziksel anlamı; katı bir gövdeyi verili bir yönelimden diğer bir yönelime çevirmek için katı gövdeyi kütle merkezinden geçen bir eksen etrafında döndürmemizin yeterli olacağıdır [1]. Verilen bir Y 50(3) için Euler parametreleri ile tanımlanır [2]. görüleceği gibi e 6 e = asım \ 77 = cos(-) (1) (2) Buradan kolayca, 77 3î ve t T t + n 2 = 1 dir. Kısacası, (e, 7?) Ç S 3 olarak düşünülebilir. Ayrıca, eğer Y = 1 ise t = 0,7? = ±1 dir. Gövdeye göre açısal hızı IÜ Ç 3Ç 3 ile verilen katı bir gövdenin Euler parametreleri 1 = -(e x u> 77 = - - > şeklinde devinir [2]. 3 DİNAMİK (3) (4) Kütle merkezi sabit katı bir gövdenin dinamik denklemi = Iu x (5) ile verilir [1]. Bu denklem Euler serbest katı gövde denklemi diye bilinir. Eğer katı gövde üstüne etki eden kuvvetler var ise. bunların yarattığı buru (torque) denklemin sağ tarafına yazılır. Denklemde / ile gösterilen büyüklük, katı gövdenin eylemsizlik momenti matrisini gösteren 3x3 simetrik ve artı belgili (positive definite) bir matristir. 4 DENETİM Kinematik devinim denklemlerinin (3,4), katı gövdenin dinamiğini tanımlayan (5) ile birleştirilmesi bize aşağıdaki denetim sistemini verir: 'ü> = IüJ X U! + U t = -(e x ÜJ - (6) (7) (8) Burada, ilk denklemin sağ tarafında yer alan u, gövdenin üstüne etki eden net burudur. Yönelim denetimi probleminde - 978 -

amaç u değişkenini u;. e. n değişkenlerinin uygun bir fonksiyonu alarak yazarak. lim e = 0. lim n = ±1 ( >o t :o koşulunu sağlamaktır. Böylece zakatı gövdenin yönelimi V = 1 ile gösterilen referans man sonsuza g giderken, yönelimine yaklaşacaktır. Katı gövdeye göre sabit olan referans sistemi gövde üstünde serbestçe seçilebileceği için de: gövdeyi herhangi bir yönelimden herhangi bir yönelime sürmek mümkün olacaktır. Biz. bu amacı gerçekleştirmek için Lyapunov kararlılık yönteminden yararlanacağız. Önce. dinamik sistemin devindiği manifold üzerinde miniması uj = 0. e = 0.7 = ±1 noktalarına karşılık gelen bir fonksiyon tasarlayacağız. Ardından da. bu fonksiyonu sistemin çözümleri boyunca azaltan bir u fonksiyonu yazacağız. Lyapunov fonksiyonu olarak kullanılabileceğini göstereceğimiz fonksiyon aşağıdaki yapıya sahip olsun: (9) Burada H katı gövdenin kinetik enerjisi olarak alınacaktır. Bu enerji H{UJ) = \^ :ıo) olarak verilir. L : S 3 3? fonksiyonunun ise L(e, rj) = JAe + af (11) şeklinde olduğunu düşüneceğiz. Burada..4 matrisi a\ > a* > «73 > 0 özdeğerlerine sahip 3 x 3. simetrik ve artı belgili olarak alınacaktır. c S parametresi ise a 3 > c > 0 koşulunu sağlayacak şekilde seçilecektir. Lemma:.4 i'e c yukarıda belirtildiği gibi seçilmiş olsun. A matrisinin a t özdeğerine karşılık gelen ve normalize edilmiş özvektörünü e, ile gösterelim. Bu koşullar altında. L fonksiyonu 3Î 3 x S 3 üzerinde sekiz noktada ekstremuma erişir. Bu sekiz nokta aşağıdaki gibidir: en).e.;;) t. T]) = (O.± eı,0) = (0,± t2,0) = (O.± C3,0) = (0.0. ±1). (12) (13) (14) (15) Yukarıdaki lemmanın iddia ettiği sonuç basit bir kısıtlı eniyileştirme problemi çözülerek elde edilebilir ve yer kısıtlığı nedeni ile burada verilmeyecektir. Bu sekiz noktada L fonksiyonunu hesaplarsak. (w. e. n) = (0.0. ±1) L = a, L = c olduğu görülür. Buradan (uj.e.rj) = (0.0. ±1) noktalarının küresel minima olduğu sonucuna ulaşılır. Diğer altı nokta ise L fonksiyonunun eğer noktalarıdır. Burada dikkat çekmemiz gereken nokta L fonksiyonunun küresel mini ması olan iki noktanın da (e. n) = (0. ±1) referans yönelimine (Y 1) karşılık gelmesidir. Bu şekilde oluşturduğumuz L fonksiyonunu (6). (7), (S) sisteminin çözümleri üstünden türevlersek: T Tl, / -T 1 1 I \ 1 \\ \ L = wj [u + (e A + T](A cl))e) elde ederiz. Bu eşitlikde, kontrol burusu u. M artı belgili 3 x 3 bir matris olmak üzere u = -le T. n(a- cl))e- Mu şeklinde seçilir ise dl - T U. İÜ ~ ""- } U elde edilir. Ve. eğer k > 0 M matrisinin en küçük özdeğeri ise dl_ İt < 0-973 -

olduğu görülür. Bu aşamada (15) ile verilen noktaların L fonksiyonunun miniması olduğu. (12,13,14) noktalarının ise L fonksiyonunun eğer noktalan olduğunu hatırlarsak; L fonksiyonunun bir Lyapunov fonksiyonu olarak kullanılması ile aşağıdaki teoremi elde ederiz. Teorem (6,7.8) ile verilen katı uzayaraçlan için yönelim sisteminde, kontrol burusu u. A ve M artı belgili ve ^mm(^) > c > 0 olmak üzere u = -{ şekhnde seçilirse: (15) ile verilen iki nokta kapalı döngü sistemin kararlı denge noktaları olurlar. Yine aynı kontrol girdisi (12. 13. 14) noktalarını kapalı döngü sistemin karai'sız denge noktaları kılar. Bu sonuç yönelim denetimi problemini tam olarak çözmemekde. yalnızca önerilen denetim kuralının kullanılması durumunda; referans yönelimine karşılık gelen denge noktasının kararlılığını göstermektedir. Kısacası, kararlılık sonucu yereldir. Öte yandan, önerilen kontrol kuralı küresel bazı özellikler de taşımaktadır. Bunun için, önce ispatını vermeden geçeceğimiz bir lemma sunuyoruz. Lemma *J = 0 olarak kısıtlanırsa: (6. 7.8) ile verilen dinamik sistemin en büyük değişmez seti (12.13,L{.15) noktalarına karşılık gelir. Lyapunov fonksiyonunun türevinin L ^ T Mu; olduğu. M matrisinin art il belgililiği ve L fonksiyonunun alttan sınırlı olduğu hatırlanırsa; zaman sonsuza giderken uzayaracının dönüşünün duracağı (o. 1 = 0) ortaya çıkar. Yukarıdaki lemma bize sistemin sonsuzdaki durumunun çeşitliliğini vermektedir. Bu lemmayı ve La Salle değişmez set teoremini [4] kullanarak aşağıdaki teoremi elde ederiz. Teorem (6.7.8) ile verilen katı uzayaracı yönelim dinamiği sistemine önerilen u denetimi uygulanırsa, sistemin çözümlen asımptotık olarak (12.13A4AÖ) ile verilen sete yaklaşır. Sistemin asimptotik olarak erişebileceği bu sekiz noktadan yalnızca referans yönelimine karşılık gelen ikisinin kararlı olduğu hatırlanırsa; önerilen denetim kuralının yönetim denetimi problemi için etkili bir çözüm olduğu ortaya çıkar. Kaynaklar [1] H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison-VVesley, 2. baskı. 1980. [2] P.C. Hughes. Spacecraft Attitude Dynamics. John VViley and Sons, 1986. [3] J.M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MİT Press, 1990. [4] M. Vidyasagar. Nonlinear System Analysıs. Prentice-Hall. 1978. [5] J.T.Y. Wen. K. Kreutz-Delgado. The Attitude Control Problem. IEEE AC Trans.. 36( 10): 1148-1166, October 1991. [6] B. VVie. P.M. Barba. Quaternion feedback for spacecraft large angle rnaneuvers../. Guidance, Control and Dynamics, S[3]:360-365. 1985. [7] B. VVie. H. VVeiss. A. Arapostathis. Quaternion feedback regülatör for spacecraft eigenaxis rotations. J. Guidance. Control and Dynamics. 12(3):375-380. 1989 Yakup Özkazanç elektrik ve elektronik mühendisliği alanındaki lisans ve yüksek lisans derecelerini 1986 ve 1988 yıllarında Orta Doğu Teknik Üniversitesinden aldı. Doktora çalışmalarını. A.B.D.'de, 1994 yılında Maryland Öniversitesi"nde tamamladıktan sonra, Hacettepe Üniversitesi. Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü'nde çalışmaya başladı, ilgi alanları kontrol teorisi, nonlinear sistemler ve mekanikdir. - 980 -

BAŞLANGIÇ BELİRSİZLİKTİ VE BİLİNMEYEN GİRİŞLİ SİSTEMLERDE MİNİMAKS KONTROL V. Dzhafarov ve A. Karamancıoğlu Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Osmangazi Üniversitesi Bademlik 26030 Eskişehir ÖZET Başlangıç durumu belirsizlikleri ve bozucu girişlerin bulunduğu doğrusal durum uzayı ile modellenmiş sistemler için performans garantisi veren kontrol girişleri üretilmiştir. 1. GİRİŞ Bir dinamik sistem modeli zamanla değişen doğrusal diferansiyel denklem ile verilmiştir: x{t) = x(t 0 ) = x 0 GS, te[t o,tf}, (1) burada x(t) E R n, u{t) E P C R p, ve a{t) 6 Q C R 9 sırasıyla durum, kontrol giriş, ve bilinmeyen giriş (disturbance) vektörleridir. Sözü edilen P ve Q kompakt kümelerdir. Zamanla değişen A(t), B(t), ve C(t) uyumlu boyutlu sürekli matris fonksiyonlarıdır. Başlangıç durum vektörü x 0 bilinmemesine rağmen bu vektörün içinde bulunduğu kompakt küme S C R n bilinmektedir. Sistemin maliyet fonksiyonu J J(u(.),x o,a(.)):=h(x(t f )) (2) olarak tanımlanmıştır. Burada x(tf) (1) sisteminin çözümünün t = tf anındaki değeridir. Maliyeti belirleyen h(x) : R n > R konveks bir fonksiyon olarak seçilmiştir. Fonksiyon u(-) eğer t 6 [*o, */] ye göre ölçülebilmekte ve aldığı değerler P kümesinden ise kabul edilebilir kontrol olarak adlandırılacaktır. Kabul edilebilir kontrol fonksiyonları kümesini U ile göstereceğiz. Bilinmeyen girişlerin de ölçülebilir olduğunu ve Q kümesinden değerler aldığını varsayarak bu fonksiyonlar kümesini de V ile göstereceğiz. Şimdi makalenin temel problemini verebiliriz: Temel Problem min sup J(u(-),x Q,a(-)) = sup J(x(uX),x o,a(-))=:j (3) eşitliğini sağlayan garantileyen optimal kontrolü 0^) 6 U fonksiyonunu bulunuz. J değeri garantilenmiş optimal maliyet o- larak adlandırılır. Yukarda (3) ile tanımlanan problem bilinmeyen girişin ve başlangıç belirsizliğinin varlığı dolayısıyla geleneksel optimizasyon metodlan ile çözülemez. Biz bu problemi eşdeğer bir şekle dönüştürerek geleneksel optimizasyon metodları ile çözülebilir hale getirip çözüm algoritmasını vereceğiz. Schmitendorf /I/ de başlangıç belirsiz-.likli sistemler için çeşitli teorem ve algoritmalar sunmuştur. Ancs bu algoritmalar ciddi gerçekleştirme problemleri ile karşı karşıyadır. 2. ÖNEMLİ SONUÇLAR Problem çözümü için önereceğimiz yolun türetiminde eşlenik konveks fonksiyon önemli rol oynamaktadır. Dolayısıyla önce eşlenik konveks fonksiyonun tanımını vermemiz uygun olacaktır. Bir h(x) fonksiyonu için eşlenik konveks fonksiyon h*(l) aşağıdaki gibi verilir: = sup(</,x> - (4) - 981 -

burada <.,. > skaler çarpmayı göstermektedir. Aşağıdaki gerçekler konveks analizden bilinmektedir /2/: 1. Eğer h(-) konveks ise her bir z G R n için ve t max, t)c{t)a > dt (7) min < l,$(t f,t)b(t)u> = = snp(<x,l> -h' sağlanır; burada L := {I G R n : h*(l) < -f-oo} olarak tanımlanmıştır. <l,$(t f,t)b(t)u'(t,l)> (8) koşulundan bulunan u'(t, 1) (6) nin sol tarafına minimum verir. D Teorem 1 Temel problem eşdeğer olarak 2. Eğer h(x) Lipschitz koşullarını sağlamakta şöyl e yazılabilirise L kümesi sınırlıdır. Diğer bir ifade ile (x(t,u(.))) = J(x(t u f f,u (.))) =: J 1)- h(x 2 ) < \\\x ı -x 2 \\,Vx\x 2 > L sınırlıdır. R n ) matrisini x(i) = A{t)x{t) sisteminin durum geçiş matrisi olarak tanımlayalım. Aşağıdaki diğer tanımlar makalenin esas sonucunun daha kolay anlaşılır bir şekilde sunulmasını sağlayacaktır. Bu tanımlar tpı(î) := max < /, $(*/, to)x o >, := / Jto max < I, $(*/, T)C(T)O. > dr, (9) eşitliğini sağlayan bir u (t) U bulunuz.d Maliyet fonksiyonu J yi hesaplamak mümkün olduğundan (9) ile verilen minimizasyon problemi geleneksel optimizasyon yöntemleri ile çözülebilir. Şimdi Lemma 2 ve daha sonrasında kullanacağımız denge çifti, minimaks vektörü ve maksimin vektörünü tanımlayalım. Boş olmayan XveY kümelerinden gerçek sayılara bir f(x, y) fonksiyonu tanımlayalım. 0- yun teorik terminolojide f(x o,y)<f(x o,yo)<f(x,y o ) (10) ve J(x) := olarak verilsin. Görülebileceği gibi J = ( <p)* olmaktadır. Bunlara ek olarak i(i,u(-)) ile x(t) =$(t f,t)b(t)u(t) x(t 0 ) = 0 sisteminin çözümünü gösterelim. Lemma 1 Aşağıdaki eşitlikler doğrudur: min tf <l,${t f,t)b(t)u(t)>dt (5) = [ t} min < I,$(t f,t)b(t)u>dt (6) max Jt 0 " p I' ' < l,$(t o,t)c(t)a(t) > dt = Jto eşitsizliğini tüm x 6 X ve y 6 Y sağlayan (zo,2/o) 6 X x Y bir denge çifti olarak adlandırılır. (10) eşitsizlikleri aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir: minmax/(x,y) = maxmin/(x,if) (11) Burada dış minimum ve dış maksimum veren çift denge çiftidir. Eşitliğin sol tarafını minimize eden x 0 ve sağ tarafını maksimize eden j/o sırasıyla minimaks ve maksimin vektörler olarak adlandırılır. Lemma 2 Eş. (10) (veya eşdeğer olarak (11)) sağlansın. O zaman 1) Eğer y 0 herhangi bir maksimin vektörü ise x 0 minimaks vektörü #(x) = f(x,yo) fonksiyonuna minimum veren vektörlerden biridir. 2) Eğer ç{x) m minimumu tek ise bu minimumu veren vektör minimaks vektördür. G - 982 -

Minimaks vektör XQ in g(x) i minimize ettiği (10) den açıkça görülmektedir. Aşağıdaki örnek XQ dışında da minimum veren vektörler olabileceğini göstermektedir. Örnek X = Y = [0,1] olsun ve / fonksiyonu rr )- I 0<x<y<l J{x,y)- I x _ y O < J / < X < 1 ile tanımlansın. Görüleceği gibi min max /(x, y) = min x = 0 ve XQ = 0 tek minimaks eleman olmaktadır. Benzer şekilde maxmin/(x,y) = 0 = maxo = 0 ver xex J^ '* ; yey ve herbir y 0 G [0,1] maksimin eleman olmaktadır. EğerT/O = 0.5 seçecek olursak _ f 0 0 < x < 0.5 9İ X ) ~ 2-0.5 0.5 <x < 1 olur ve minimize eden xler kümesi {x : 0 < x < 0.5} olarak bulunur. Bunlardan yalnızca x = 0 minimaks vektörüdür. Aşağıda iki sınıf durum için bu problem çözümünün gelebileceği basitliği elde edeceğiz. Teorem 2 ıp(-) fonksiyonu konkav olduğunda garantilenmiş optimal maliyet J = Lemma 2 ve Teorem 2 den aşağıdaki sonuç elde edilir: Teorem 3 <^(-) konkav olsun ve (13) koşulundan bulunan u (-) tek olsun.bu durumda u (-) minimaks vektördür, diğer bir ifade ile garantileyen optimal kontroldür. ıp(-) fonksiyonunun konveks olduğu durumla ilgili olarak V kümesini V:={p = (pı,,pk) : > = 1 ve Pi > 0} ı=l olarak tanımlayalım. Teorem 4 </?( ) fonksiyonu konveks ve L kümesi poligon (yani L = co{lı,...,l k }) olsun 1. O zaman E / t/ min< ~l,$(t f,t)b(t)u> dt] (14) Jt 0 «ep J olur. Eğer u (-) garantileyen optimal kontrol ise min< 1, $(t h t)b(t)u > = sağlanır. Burada 1 = T%PIU ve 1 = EıP^h olup p = (Pı,---,Pk) (14) ifadesinin sağ tarafını maksimum yapan vektördür. O Örnek incelenecek sistem / ' min < /, ${t s,t)b{t)u> dt] (12) ifadesinden hesaplanır. (3) ü çözen garantileyen optimal kontrol u (-) min< l,$(t f,t)b(t)u>= <l,$(t f,t)b(t)u (t)> (13) eşitliğini sağlar, burada / (12) ifadesine maksimum veren vektördür. X2 = U2 + OL (16) olarak verilmiştir. Burada P = {(uı,u 2 ) : ^ı + «İ < 2}, Ç = {a : \a\ < 1} ve J(x(l)) = xı(l) + X2(l) olup başlangıç durumları Xı(0) := x ve x 2 (0) := Xj kesin olarak bilinmemektedir ancak [0,1] aralığında yeraldıkları bilinmektedir. Fonksiyon ı co notasyonu konveks hull u göstermektedir - 983 -

uzayları U ve V ilk bölümdeki gibi tanımlansın, olur. Şimdi 4. teoremi de kullanarak inceleme konusu problem min max J(x(l)) (17) J = 1 -f max min {pı(<fiı( 1) 1/2+ p e r u (^u hesaplanmasıdır. Şimdi h(x) : = xj + z 2 olduğunu dikkate alarak eşlenik konveks fonksiyon 1 +oo diğer (/ı,/ 2 ) olarak hesaplanabilir. Buradan L = {(h, h) ' \h\ < 1,^2 = 1} olduğu görülür. Sistem (16) için durum geçiş matrisi 1 t -T 0 1 olarak hesaplanabilir.biraz işlem sonunda xre;o,ı] max (/ı l)x 2, 'fim ve ilgilenilen tanım bölgesinde /ı*(/) = 0 oluşundan dolayı olarak bulunur. Bu bilgileri kullanarak maliyet fonksiyonu J = min max{<p ı (l ı ) + h/2 + 1 + 1 I -t 0 1 dt>} olarak ifade edilebilir. J nin / ye göre konveks oluşundan ve sabit dışarı alınabileceğinden J = Jo min max elde edebiliriz, ifadelerin düzenlenmesi ve biraz işlem sonucu kontrol girişi -2(2-0/ V 'l+(2-0 2 olarak bulunur. KAYNAKLAR [1] W. E. Schmitencorf, "Minmax control of systems \vith uncertainty in the initial state and in the state equations :!, IEEE Trans. Automat. Control, sf. 439-443. Haziran 1977. [2] R. T. Rockafellar, Convtz Analysis, Princeton, 1970. i V. Dzhafarov (Caferov) 1955 te Aserbeycan'da doğdu. 1975 te Baku Devlet Univ. Matematik Bölümünü bitirdi. 1982 deussr Academy of Science da doktora çalışmasını tamamladı. Halen Osmangazi Univ. Elk.-Elektronik Müh. Böl.de öğretim üyesidir, i A. Karamancıoğlu 1963!te Kayseri'de doğdu. 1984 i te Hacettepe Univ. Elk.- Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi. 1987 ; de Georgia Institute of Technology'de Master 1991 de Universityof Texas at Arlington'da doktora eğitimini tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elk.-Elektronik Müh. Böl.de öğretim üyesidir. - 984 -

ARALIK SİSTEMLERİNİN FREKANS TEPKİSİNİN HESAPLANMASI A. KARAMANCIOĞLU, V. DZHAFAROV, C. ÖZDEMİR ve G. DURMAZ Osmangazı Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü 26030 Bademlik/ESKiŞEHiR ÖZET Doğrusal aralık sistemlerinin PID geri besleme altında belirli bir frekansta sinusoidal girdilere verdiği tepkinin kompleks düzlemde işgal ettiği bölgenin sınırlarını bulan İZİ de geliştirdiğimiz algoritma PASCAL dilinde gerçeklenmektedir. Bu çalışmada co^ sabit frekansında Şekil 1 deki geri beslemeli sistemin frekans tepkisi olan I C(j(o n )X(Jco n ) + XJco n ), - o.l,...nı.y = 0.1...«(2) kümesini bulan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. 1. GİRİŞ Bir fiziksel sistemin matematik modelinin çıkartılması sırasında yapılan ihmallerin ortaya çıkardığı hatalar kontrol sistemi analiz ve tasarımına parametrik belirsizlikler ve modellenmemiş dinamik özellikler eklenerek giderilir. Parametrik belirsizlik, sistem transfer fonksiyonu pay ve payda polinomlan katsayılarında belirsizlik olarak ortaya çıkar. Bu durumda klasik kontrol tasarım ve analiz yöntemlerinin uygulanması güçleşir. Çünkü belirsizlikten dolayı artık üzerinde çalışılması gereken bir tek transfer fonksiyonu yerine birçok transfer fonksiyonundan oluşan transfer fonksiyonları ailesi vardır. Nyquist, Bode ve Nichols tarafından geliştirilen klasik kontrol frekans tepkisi metodları belirsiz sistemlerde transfer fonksiyonları ailesi söz konusu olduğundan çok can sıkıcıdır. Çünkü herbir frekans değeri için transfer fonksiyonları ailesinin herbir elemanı farklı bir değer alacaktır. Yani belirsizlikten dolayı sabit bir frekansta bir tek değer yerine birçok değer elde edilecektir. Bu çalışmada ele alınan fiziksel sistem transfer fonksiyonu, G(s): = D(s) (1) şeklinde verilip herbir katsayı, a t <a<a~ ı' = 0.1...w b <b <b' j = 0.1...A7 olacak şekilde parametrik belirsizlik içermektedir. Dolayısıyla G(s) bir transfer fonksiyonları ailesidir ve aralık sistemi olarak adlandırılır. Şekil 1: Geri beslemeli kontrol sistemi Parametrik belirsizlik içeren sistemlerin analizi Kharitonov teoremi İM ile hız kazanmıştır. Kharitonov, aralık polinomları diye adlandırılan, katsayıları tam olarak bilinmeyen; fakat herbir katsayının değişim aralığı bilinen polinomların kararlı olabilmesi için uygun olarak seçilmiş dört adet polinomun kararlı olmasının gerek ve yeter koşul olduğunu göstermiştir. Daha sonra Kharitonov teoreminin kontrol mühendisliği alanında uygulamaları görülmeye başlamıştır. Doğru orantılı denetleyici ve birinci dereceden denetleyici için sistemin kararlılık koşulları 121 ve İZİ çalışmalarında belirlenmiştir. Dolayısıyla belirsizlik içeren sistemi geri besleme altında kararlı yapan denetleyici tasarımları bu çalışmalardan yararlanılarak yapılabilir. Parametrik belirsizlik içeren sistemlerin frekans tepkisinin elde edilmesine ilişkin çalışmalarda Bailey vd. (/4/ ve /5/) kontrol sistemi kapalı döngü transfer fonksiyonu açısı alt ve üst sınırları arasında belirli sayıda açı alarak bu açılarda kapalı döngü transfer fonksiyonu genliğinin maksimum ve minimum değerlerini hesaplamışlar ve böylece sistem frekans tepkisinin sınırlarını bulmuşlardır. Diğer bir çalışmada 16/ sistem transfer fonksiyonu pay ve paydası birinci ve ikinci dereceden polinomların çarpımı olarak ifade edilmiştir. Bu çarpanlardan herbiri için frekans tepkisi bulunmuş ve bunlardan yararlanarak sistem tepkisi elde edilmiştir. Başka bir çalışmada ise 171, sistem transfer fonksiyonları ailesinin <y D frekansındaki tepkisi, / belirsiz katsayı sayısı olmak üzere, /-2'" 1 doğru parçasının kompleks düzleme haritalan- - 985 -

ması yoluyla bulunmuştur. Açıkça görüldüğü gibi belirsiz katsayıların sayısı arttıkça haritalanacak doğru parçası sayısı da artmaktadır. Bu çalışmada ise diğer çalışmalardan farklı olarak /8/ de geliştirilen yöntem kullanılmıştır. Bu yöntem ile Eş. (2) te verilen küme en çok 32 doğru parçasının görüntüsü ile elde edilmektedir. Bilgisayara uygulanması kolay olan 18/ de geliştirdiğimiz algoritma PASCAL dilinde kodlanarak gerçekleştirilmiştir. 2. PROGRAM GELİŞTİRME Geri beslemeli bir kontrol sisteminin kalıcı durum frekans tepkisinden söz edebilmek için kapalı döngü sistemin kararlı olması gerekir. Çünkü ancak kararlı sistemlerde geçici tepkiler sönümlenir ve sabit genlikti bir sinüsoidal girdiye karşılık sistem çıkışında sabit genlikti sinüsoidal elde edilir. Bunun için programda sistem frekans tepkisini incelemeye başlamadan önce açık ve kapalı döngü sistemin kararlılığı 121 ve İZİ de geliştirilen yöntemlerle incelenmektedir. Eğer kapalı döngü sistemi kararlı ise 181 de geliştirilen algoritma adım adım uygulanarak sistem frekans tepkisi istenilen frekansta öncelikle ekrana çizilmekte ve daha sonra istenirse bir yazıcıdan alınabilmektedir. 2.1. Program Girdileri Programa öncelikle aralık sistemi pay polinomu derecesi ve payda polinomu derecesi girdi olarak verilmektedir. Buna göre program, Eş. (1) deki aralık sistemini oluşturmak için pay ve payda polinomlarının herbir katsayısının değişim aralıklarının alt ve üst sınırını sormaktadır. Bundan sonra denetleyici derecesi ve katsayıları kullanıcı tarafından girilmekte ve program C(s) denetleyicisi transfer fonksiyonunu oluşturmaktadır. Programa verilen diğer bir girdi ise sistemin tepkisinin inceleneceği frekans değeridir. 2.2. Sistem Kararlılığının incelenmesi Program, pay ve payda polinomları katsayılarının alt ve üst sınırlarını kullanarak pay polinomu için N,(s), i= 1,2,3,4, payda polinomu için D ı (s), *= 1.2.3,4 Kharitonov polinomlarını (/3/) oluşturmaktadır. Program, bu polinom-ların herbirini ayrı ayrı pay ve payda polinomu olarak ele alıp bütün kombinasyonları ile 16 adet G tj (s) Kharitonov sistemini oluşturmaktadır. Bu sistemlerin önce ms), / = 1,2,3,4 polinomları-nın Routh kriterine göre kararlı olup olmadığı incelenmektedir. Eğer bu dört polinom karartı ise G(s) aralık sistemi karartıdır İM. Program kullanıcıya yararlı olabilecek bu bilgiyi sunduktan sonra kapalı döngü sistemin kararlılığını incelemektedir. Kapalı döngü transfer fonk-siyonları C(s)N,(s) C(s)N,(s)- 1,7 = 1,2,3,4 her (/,_/ ) için karartı ise kapalı döngü sistemi karartıdır İZİ. Programda bu kapalı döngü sistemlerin 16 adet karakteristik polinomu oluşturulmakta ve herdir polinom için Routh tablosu kurularak herbir polinomun karartı olup olmadığı incelenmektedir. Sonuç kullanıcıya bildirilmekte ve eğer polinomlarm hepsi karartı ise kontrol sistemi karartı olduğundan frekans tepkisini bulmak üzere program diğer aşamaya geçmektedir. 2.3. Sistem Frekans Tepkisinin Bulunması Program, aralık sisteminin frekans tepkisini bulmak üzere 181 de geliştirilen algoritmanın adımlarını sırayla uygulamaya başlar. 2.3.1. Aralık sistemi pay ve payda dikdörtgen bölgelerinin oluşturulması Bir P(s) = a n s" +a n _ I s"~ ı +---+a 0, aralık polinomu, katsayıları a~ <a n <a~,...,ağ <a 0 <al aralıklarında değişirken sabit bir co 0 frekansında s = jo) 0 dönüşümü uygulanınca kompleks düzlemde kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgen bölge işgal eder (Bknz. örneğin İZİ). Benzer şekilde, Eş. (1) ile verilen bir aralık sistemi pay ve payda aralık polinomları da kompleks düzlemde bir <o 0 frekansında birer dikdörtgen bölgede değer alırlar. Program, co 0 frekansında tepkisi bulunacak aralık sisteminin pay ve payda polinomlarının bu frekansta kompleks düzlemde işgal ettiği dikdörtgen bölgeleri bulur ve ekrana çizer. Pay ve payda polinomları dikdörtgen bölgeleri sırasıyla, R D (,eo a )= z_ ' \ \\_ şeklinde oluşmaktadır. Eş. (2) de verilen aralık sistemi frekans tepkisi kümesi bu durumda B = c:, r, er s, : 2 er D, c = sabit (3) şeklinde de yazılır. Bu kümenin sınırlan, dikdörtgen bölgelerkı sınırlarını oluşturan katsayı - 986 -

degerlerindeki frekans tepkisinin bir alt kümesidir /8/. Yani ez, ez, +; z, e<3? v, z, ecr D, c-sabit} (4) dir ve burada â sınırları göstermektedir. Eş (4) deki kümeyi oluşturmak için R v ve R D dikdörtgenleri kenarları üzerinden değerler alınmakta ve bu değerler cz ] /(cz i + z~) dönüşümünde yerine koyulmaktadır. Bu kenarlardan belirli kurallara göre bazılarını eleyerek ve pay ve payda bölgeleri kenarları arasından uygun çiftler seçilerek frekans tepkisi sınırlarını içeren küme daha da küçültülebilir. 2.3.2. Faydalı kenarların belirlenmesi Eğer bir dikdörtgen bölge kenarlarından biri veya birkaçı eksenlerden birini kesiyorsa o kenar bundan sonraki incelemelerde iki farklı kenar olarak ele alınır. Eğer kenarlardan biri eksenlerden biri ile çakışıyorsa o kenar sistem frekans tepkisi sınırlarını oluşturabilecek bir kenar değildir. Program bu kurallara göre dikdörtgen bölgelerin sınırlarını inceleyerek sistem frekans tepkisi sınırlarını oluşturabilecek faydalı kenarları tespit eder. Pay dikdörtgeni kenarlarından herbirinin hangi payda dikdörtgeni kenarı ile işleme gireceği, yani faydalı kenar çiftleri, basit bir algoritma ile belirlenir: Biri pay diğeri payda dikdörtgeni kenarı üzerinde olan z x ve r, noktaları seçelim. Bu noktalara önce genlik testi uygulanır: Eğer Az x er w ve Az 2 er D şartlarını sağlayan bir A gerçek sayısı varsa z x ve z 2 nin üzerinde bulundukları kenarlar faydalı kenar çifti değildir. Bu kenarlar elenebilir. Bu testte A sayısının varlığını araştırmak için uygun büyüklükte bir A için A = \ + A ve A = \-A yi denemek yeterli olacaktır. Programda, A sayısı dikdörtgen boyutlarının fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. z x ve z 2 nin üzerinde bulunduğu kenar elenmemiş ise açı testi uygulanır: Eğer (z u z,) çifti için z x e jd er y ve z 2 e' 9 er D şartlarını sağlayan bir d değeri varsa ~, ve z 2 nin üzerinde bulundukları kenarlar faydalı kenar çifti değildir. Bu kenarlar elenebilir. 0 açısının varlığını test için uygun büyüklükte bir t// için 9--y/ ve d- y/ yi denemek yeterli olacaktır, y/ açısı programda dikdörtgenlerin köşe noktalarının açıları arasındaki farkın büyüklüğünün fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. Genlik ve açı testleri sonucunda elenmeyen kenar çiftleri faydalı kenar çiftleri kümesinin elemanı olurlar. Bu testler biri pay diğeri payda kenarı olmak üzere bütün kenar çiftleri üzerinde uygulandığında faydalı kenar çiftleri kümesinin tamamı elde edilmiş olur. 2.3.3. Faydalı kenar çiftleri üzerinde alınan değerlere dönüşüm uygulanması Bulunan herbir faydalı kenar çifti için şu işlemler uygulanır: z, değeri olarak pay faydalı kenarı uç noktalarından biri, yani z, = z,~ alınarak, z, değeri olarak da payda faydalı kenarı üzerinden iki uç nokta {z,,z 2 ) ve bir iç nokta (z?) değerleri sırasıyla alınarak cz ] /(cz ı +z 2 ) dönüşümü uygulanır. Böylelikle bu üç noktadan geçen, sistem frekans tepkisi sınırlarından birini oluşturabilecek bir yay veya doğru bulunur. Pay faydalı kenarı diğer uç noktasını, yani z, = z," değerini gene aynı payda faydalı kenarı üzerindeki üç nokta (z^^,^) ile sırayla dönüşüme uygulayarak başka bir sınır olabilecek kenar daha bulunur. Aynı işlemler aynı kenarlarla payda faydalı kenarı uç noktaları ve pay faydalı kenarı üzerinde alınan üç nokta ile yapılarak sınır olabilecek iki yay yada doğru parçası daha bulunur. Yukarıdaki işlemler bütün faydalı kenar çiftleri için tekrarlanarak herbir kenar çiftinden dört adet frekans tepkisi sınırı olabilecek doğru ya da yay elde edilir. Bu doğru ve yaylar çizildiğinde dışta kalanlar sistem frekans tepkisinin sınırlarını verir 181. Eğer faydalı kenarlardan birinin uç noktası eksenlerden birinin üzerinde ise o noktayı diğer kenarın üç noktası ile dönüşüme sokmaya gerek yoktur. Bu durumda bir kenar çiftinden elde edilecek doğru ya da yay sayısı üçe düşer. 2.4. Program Çalışmasına Bir Örnek Program çalışmasına örnek olarak s 4 + b 3 s 3 +b 2 s 2 +b x s+b 0 şeklinde verilen bir uçak transfer fonksiyonunu İZİ alalım. Burada, 54 < a, < 74, 90<a 0 <166, 2.8<6 3 <4.6, 50.4<A,<80.8, 30.1<6, <33.9, ve -0.1< 0 <0.1 olarak verilmiştir. Ayrıca uçağı kararlı yapan denetleyici C(s) = 0.9 + ^ olarak aynı kaynakta bulunmuştur. Bu sistemin w = 3 rad/sn deki frekans tepkisini bulalım. Program bu verilere göre birim geri besleme altında sistemin kararlı olup olmadığını inceler ve sistem kararlıdır mesajını verir. Daha sonra pay ve payda aralık polinomlarının verilen frekansta - 987 -

kompleks düzlemde işgal ettikleri bölgeler çizilir (Şekil 2). 0.2 r [8] A. Karamancıoğlu, V. Dzhafarov, C. özdemir, "Frequency response of PID-controlled linear interval systems," Int. J. Control, yayın için gönderildi. [9] C. Özdemir, "Aralık sistemlerinin frekans tepkisinin hesaplanması," Doktora tezi, Osmangazi Ün. Fen Bil. Enst., 1995 A. KARAMANCIOĞLU 1963 te Kayseri'de doğdu. 1984 te Hacettepe Üniv. Elektrik Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi. 1987 de Georgia Institute of Technology'de Master, 1991 de University of Texas at Ariington'da doktora eğitimini tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünde öğretim üyesidir. Şekil 2 : Örnek program çıktısı KAYNAKLAR [1] V. L. Kharitonov, "Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of linear differential equations," Differential Equations, vol. 14, pp. 1483-1485,1979. [2] B. K. Ghosh, "Some new results on the simultaneous stabilizability of a family of single input, single output systems," Syst. Contr. Lett., vol. 6, pp. 39-45,1985. [3] B. R. Barmish, V. Hollot, F. J. Kraus ve R. Tempo, "Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first order compensators," IEEE Trans. Automat. Contr, vol. 37, pp. 707-714, 1992. [4] F. N. Bailey, D. Panzer, and G. Gu, "Two algorithms for frequency domain design of robust control systems," Int. J. Control, vol. 48, pp. 1787-1806, 1988. [5] F. N. Bailey, and C. H. Hui, "A fast algorithm for computing parametric rational functions," IEEE Trans. Automat. Cotr, pp. 1209-1212, 1992. [6] P. Gutman, C. Baril, and L Neumann, "An algorithm for computing value sets of uncertain transfer functions in factored real form," IEEE Trans. Automat. Contr, vol. 39, pp. 1268-1273, 1994. [7] M. Fu, "Computing the frequency response of linear systems with parametric perturbation," Syst. Contr. Lett., vol. 5, pp. 45-52, 1990. V. DZHAFAROV (CAFE- ROV) 1955 te Azerbeycan'da doğdu. 1975 te Baku Devlet Üniversitesi Matematik Bölümünü bitirdi. 1982 de USSR Academy of Science'da doktora çalışmasını tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünde öğretim üyesidir. C. ÖZDEMİR 1966 da Eskişehir'de doğdu. 1987 de Anadolu Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi. 1990 da ENSICA/Fransa'dan Havacılıkta Bakım Onarım dalında ve 1991 de Anadolu Üniv. Elekt. Elektronik Müh. Anab. dalında Master dereceleri aldı. Halen Osmangazi Üniv. Elekt. Elektronik Müh. Anabilim. dalında doktora tezi savunma aşamasında olup Anadolu Üniv. Sivil Havacılık Y.O.'da öğretim görevlisidir. G. DURMAZ 1973 te Kütahya'da doğdu. 1994 te Anadolu Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünü bitirdi. Halen aynı bölümde yüksek lisans programında olup Bilecik Meslek Yüksekokulunda öğretim görevlisi olarak çalışmaktadır. - 988 -

BİR ( ÖZBİLGİSEL MANTIK' PROBLEMİ Mustafa M. DAĞLI TÜBİTAK - T.B.A.G. Atatürk Bulvarı No: 221 06100 Kavaklıdere / ANKARA ÖZET 'Özbilgisel' mantık, tekdüze olmayan bir akılyürütme biçimidir. Bu bildiride. Yapay Zeka araştırmacılarının ilgisini çekmiş bulunan bir sorun, "Üç Vezir- Beş Kavuk Problemi", özbilgisel bir mantık açısıyla incelenmektedir. 1. GİRİŞ Son yıllarda bilgisayarlar, hayatımızda giderek daha fazla rol oynamaktadırlar. Yapay Zeka, bilgisayar yazılımının, bilgisayar ortamlarında etkin kullanılabileceğinin anlaşılmasından sonra, daha çok önem kazanmıştır. Tekdüze olmayan akılyürütme biçimleri ile ilgili araştırmalar ise, özellikle Yapay Zeka çalışmalarına ağırlık verilmek istendikten sonra yaygınlaşmıştır. 2. TEKDÜZE OLMAYAN AKIL YÜRÜTME "Tekdüze olmayan akılyürütme", Yapay Zeka camiasının gündemine almalı az zaman olmadı /I, 21. Yeni aksiyomlar eklendiğinde, sistemin eski teoremlerinin (ya da varsayımlarının) geçersizleşebileceğini kabul eden tekdüze olmama, kimi yaşam durumlarına karşılık gelir görünse bile, klasik aksiyomatik sistemlerce sağlanamamaktadır. biçiminde bir varsayım düşünelim. Devekuşlarının, penguenlerin, ya da Malta doğanının uçmadığını bilsek bile, "Hl doğru mu, yanlış mı?" diye sorulduğunda -istisnaları düşünmez- tereddütsüz "Doğru" deriz. Uçmak içimizde yüzyılların özlemi değil midir 9 Öte yandan, H2: "Penguenler uçmaz" biçimindeki ikinci bir varsayım da tarafımızdan "Doğru" olarak algılanacaktır. Kuşların uçtuğunu gördüğümüz gibi, penguenlerin (ya da devekuşlarının) uçmadığını da görmüş, ya da duymuşuzdur. Üstelik, H3: "Penguenler kuştur" şeklindeki bir varsayım da, tarafımızdan "Doğru" olarak yanıtlanmaktadır. Uçmak, kuş olmanın ilk özelliklerindendir; canlı, ve kanatlı hayvanlar sınıfındadır kuşlar. Kuş denince aklımıza uçmanın gelmesiyse, düşünce sistemimizin, tekdüzeliği bırakmasını gerektirmektedir. Tekdüze olmayan akılyürütme, dört bellibaşlı şekilde formüle edilmeye çalışılmıştır /3, 4, 5/: i) 'gıyabi akılyürütme' ve gıyap mantığı 161, ii) 'tekdüze olmayan' mantık /7, 8/, iii) 'çevrimleme' /9, 10/, iv)'özbilgisel'mantık/11, 12, 13/. Hl: "Kuşlar uçar" - 989 -