MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital kuralını kullanmadan aşağıdaki limitleri hesaplayınız: ) lim 0 sin(9) + cos 3 3 ) lim 0 3) lim sin e =? (0) =? (9) 4) lim 3 7 =? ( 9) 3 9 5) L = lim 0 6) L = lim sin. sin =? ( ) ( ) + ifadesinin limitini hesaplayınız. cevap:(limit mevcut değil.) 7) L = lim 0 tan( 3 ) + tan 3 tan + 3 + 5 3 8) f() = lim 0 9) f() = lim 0 tan 5 ifadesinin limitini hesapalayınız. cevap:(0) ( ) 3 limitini hesaplayınız. cevap: ( ) ifadesini hesaplayınız. cevap: 3 ifadesini hesaplayınız. cevap:(6)
.. Süreklilik şeklinde verilen f() fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. f() fonksiy- { sin ) f() =, 0 a, = 0 onunun = 0 noktasındaki sürekli olduğu a değerini bulunuz. ) f() = { 0, = 0. sin, 0 (a = 0) Ayrıca lim f() =? ( ) olmak üzere f fonksiyonu = 0 da sürekli midir? cevap:(süreklidir) 3) g() = fonksiyonu = 0 da sürekli midir? cevap:(süreklidir g (0) = 0) e ( + a) if > 0 4) f() = if = 0 ise f() i her yerde sürekli yapacak a ve b yi bulunuz. b + if < 0 a = b = Cevap: Bölüm 3: Türev 3... Teğet ve Normal Denklemler ) 3y + 3 y = 6 eğrisine P 0 (, ) noktasında teğet doğrusunu bulunuz. (y = 3) ) f() = sin sin fonksiyonunu ve I = ( π, π) aralığını düşünelim.i aralığında yatay teğete sahip olan noktaları bulunuz. ( = π ) 3... Türev ) f() = d cos ) (tan( )) =? d + d f d () =? ( 3 ) d 3) d (sin + (ln( ))) =? {, 4) f() = a olarak tanımlanan fonksiyon = de türevlenebildiğine göre a ve b + b, > noktalarını bulunuz. (a =, b = 3) 4 4 [ ( )] ( ( ) ( ) [ ]) d 5) sec =? cevap: sec. tan. d + + + + 6) y = sin olmak üzere dy ( dy =? cevap: d d = sin.() sin. ln.(cos. ln() + sin + ). ln 7) y = arctan 4 ( 9 ) ise 8) f() = { cos π 4, a + b, > dy d =? olmak üzere a) f() sürekli olacak biçimde a ve b sayıları mevcut mudur?
b) f() fonksiyonun türevlenebilir olması için a ve b sayıları ne olmalıdır? 9) f() = α olmak üzere f fonksiyonunu bulunuz. 0) f() = y, f() = ve sin(y y 3 ) + = 0 verilmiştir. f () i bulunuz. Cevap: 3 ) y = arcsin(sec (e )) verilmiştir. dy d i bulunuz. 3.6 Kapalı Fonksiyonların Türevi ) Verilen kapalı fonksiyonlar için y yü bulunuz. a) 3 + y y + y 3 = b) sin(y) + cos(y) = 0 c) + y = sin(y) d) + y = y e) sin(y) = cos(y ) ) Aşağıda belirtilen değerleri bulunuz. a) 5 y + y 3 = 8 ise y (0) =? b) = sin (y) + y ise y ( ) π, π =? c) = sin (y) + y ise y ( ) π, π =? 3) Aşağıdaki eğriler için belirtilen noktadan geçen teğet ve normal doğruların denklemini yazınız. a) 3 + y y + y 3 =, p(, 0) b) sin(y) + y =, p(, 0) c) e y + y sin(π) e = 0, p(, ) d) y sin( + y) =, p(, ) 3.7 Ters Fonksiyonun ve Logaritma Fonksiyonun Türevleri ) f() = 5 + 3 + + ise f in = noktasındaki eğimini hesaplayınız. cevap: ( ) 3 ) f() = 3 + + olsun. a) f() in birebir olduğunu gösteriniz. b) g = f ise g (3) =? 3) f() = 4 5 olsun. a) > için f() in birebir olduğunu gösteriniz. b) df d =f(5)=0 =? 3
4) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini logaritmik türev yardımıyla bulunuz. a) ( + ) 3 ( ) 3 ( + ) 3 ( + ln ) b) y = 7 4 3 + (3 + 5) 5 c) y = + d) y = sin () tan 4 () ( 3 + ) 4 e) y = 4 + 5) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz ( a) ln ) + ( b) log 0 c) + ln ln ) 3.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ) f() = sin(arcsin( + )) =? ise f () =? ) f() = arcsin(sin + a) =? ise f () =? 3) f() = arccos(tan + ) =? ise f () =? 4) f() = arcsec( + ) tan( + ) 5) f() = =? ise f () =? arcsin() =? ise f () =? ( 6) f() = arctan + 7) f() = arctan( ) ise f () =? 3.9 Bağıl Oranlar ) + arccos() ise f () =? (0, ) ) Bir böcek t = 0 anında düz bir yolda 3ft/dk hızla kuzeye doğru yürümeye başlamıştır. dk sonra, ikinci böcek aynı yerden doğuya doğru 5f t/dk hızla yürümeye başlamıştır. Birinci böcek f t yol aldığında, iki böcek arasındaki uzaklığın değişme hızı nedir? ( 43 6 ) ) Bir çemberin yarıçapı cm/s sabit hızla büyüyor. Çevre uzunluğu 00πcm olduğunda, çemberin alanındaki değişim hızı nedir? 3) İki araba aynı noktadan hareket ediyor. Biri 60km hızla güneye, diğeri 0km/sa hızla batıya doğru gidiyor. saat sonra arabalar arasındaki uzaklığın artış hızı ne olur? 4
4) Bir üçgenin alanı cm /da oranında artarken yüksekliği cm/da oranında artıyor. Üçgenin yüksekliği 0cm ve alanı 00cm olduğunda tabanın değişim hızı nedir? 5) km yükseklikte ve 500km/sa hızla yatay olarak uçan bir uçak, bir radar istasyonu üzerinden geçiyor. Uçak istastyondan km uzakta olduğunda uçaktan istasyona olan uzaklığın artış hızı ne olur? 6) Şekildeki depo başlangıçta su ile doludur.. r h r = 5m ve h = 0m dir. Suyun yüksekliği l olduğunda, depodan l m /sn oranında su sızmaktadır. a) Su yüksekliği 8m olduğunda su yüksekliğindeki değişim hızını bulunuz. b) Su yüksekliğinin 6m nin altına düşmemesi için, depoya sabit hızla su eklenecektir. Bu hız en az ne olmalıdır. * Hacim: V (t) = 3 πr (t)l(t) 3.0 Doğrusal Yaklaşımlar ve Diferansiyeller ) f() = + e ( ) ise fonksiyonun = deki doğrusal yaklaşımını bulunuz. Hangi değerleri için hata 0.0 den küçük olur? ) f() = olsun a) = 3 de f() in doğrusal yaklaşımını bulunuz. (L() =?) b) L() i kullanarak (3 h, 3 + h) aralığında f() fonksiyonu yaklaşık olarak hesaplanırsa hatanın 0.00 den küçük olması için h en fazla kaç olabilir. 3) f() = 4 3 + 5 olsun. a) = de f() fonksiyonunun doğrusal yaklaşımını bulunuz. (L()=?) b) Hata fonksiyonunu bulunuz ( f() L() ) c) [ h, + h] olduğunda hata 00 ise h en fazla kaç olabilir. 4) f() = 3 + cos( π ) olsun. d ve dy diferansiyellerini kullanarak f(.0) değerini bulunuz. π 5) Doğrusal yaklaşım kullanarak aşağıdaki ifadeleri yaklaaşık olarak bulun. a) 0 b) sin( 0 ) c) 4.0 d) 3 6 5
6) ye + e y + y = + ise f(0.0) i doğrusal yaklaşım kullanarak yaklaşık olarak hesaplayınız. Bölüm 4: Türevin Uygulamaları 4. Fonksiyonların Ekstremum Değerleri ) f() = 3 4 + 40 + eğrisinin minimum noktasını açıklayarak bulunuz. ) f() = 3 6 + 6 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 3) f() = 3 4 4 3 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 4) f() = ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 5) f() = ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 6) f() = 3 ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 7) f() = ln ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 8) f() = sin() + cos(), [0, π ] ise yerel maksimum veya minimum değerlerini bulunuz. 3 9) f() = e, [0, ] ise yerel maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. 0) f() = ln, [, 3] ise yerel maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. ) f() fonksiyonu [0, ] aralığında sürekli olmak üzere, i) f(0) = 0 ii) < f (), eğer (0, ) ise iii) < f () < 0, eğer (, ) ise olarak veriliyor. Bu durumda a) f( ) > olduğunu gösteriniz; b)... 4. Ortalama Değer Teoremi ve Rolle Teoremi ) P () = 0 4 5 4 denkleminin kaç reel kökü vardır? ) f() = 7 + 5 + + = 0 denkleminin sadece bir reel çözümü olduğunu gösteriniz. 3) Aşağıdaki fonksiyonlar için Ortalama Değer Teoremini sağlayan c noktasını bulunuz. a) f() = +, [0, ] b) f() = 3 3 +, [0, 3] 4) + 4 3 = 0 denkleminin kaç reel kökü vardır? 5) 5 + in sadece bir kökü olduğunu gösteriniz. 6
6) f() = fonksiyonu [0, 0] aralığında tanımlansın. Ortalam Değer Teoremini sağlayan kaç farklı (+) c değeri vardır?( c değerlerinin bulmanıza gerek yoktur.) 7) f() = 3 + π π cos( ) = 0 denkleminin sadece bir reel kökü olduğunu gösteriniz. 8) f() = 5 + 5 fonksiyonunun sadece bir reel kökü olduğunu gösteriniz. 9) f() = sin() + cos() 3 + 5 = 0 denkleminin en az bir kökü olduğunu gösteriniz. Toplam kaç kök vardır? 4.3 Monoton Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi ) f() = 3 5 + 4 + fonksiyonunun artan olduğu aralıkları bulunuz. 3 ) f() = ( ) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 3) f() = 4 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 4) f() = sin fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 5) f() = 7 3 3 7 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 6) f() = 5 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 7) f() = cos + sin, [ π, π] fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 8) f() = ln( + ) fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz. 4.4 Simetri, Asimtot ve Grafik Çizimleri ) f() = + ise fonksiyonun (a) Tanım aralığını bulunuz. (b) = 0 noktasında asimptotunun mevcut olup olmadığına bakınız (c) Artan ve azalan aralıklarını belirleyiniz. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz. Eğer varsa asimptotlarını belirtiniz. ) y = 3) y = + 4) y = 4 +3 +5 5) y = + 4 3 6) y = tan 7) y = ln 8) y = e ( ) 7
9) y = + 0) y = e ) y = ) f () = sin + cos fonksiyonunun [0, π] aralığında grafiğini çiziniz. π 4 3π 4 5π 4 7π 4 π 3) f () = e fonksiyonunun grafiğini çiziniz. e 4) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. - 8
5) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. (ln ) 9 e 3 (0, e 3 ) aralığı aşağı konkav, diğer aralıklar yukarı konkavdır. 6) f () = fonksiyonunun grafiğini çiziniz. e 4 e - + ve + noktaları büküm noktalarıdır. 4.5 Maksimum Minimum Problemleri ) Çarpımları, toplamları maksimum olan iki pozitif tamsayıyı bulunuz. ) Alanı 000m olan dikdörtgenler içinde çevre uzunluğu en küçük olanın boyutlarını bulunuz. 3) 0m uzunluğundaki bir tel iki parçaya kesiliyor. Bir parçasından kare, diğer parçasıdan eşkenar üçgen yapılıyor. Kapatılan toplam alanın a) maksimum b) minimum olması için tel nasıl kesilmelidir. 4) 30cm genişliğindeki bir metal levha şekildeki gibi kıvrılıyor ve üstü kapatılıyor. 9
0cm 0cm 0cm 0cm θ 0cm 0cm θ Kıvrılan parça ile yer arasında kalan açı θ olmak üzere, alanı maksimum yapan θ açısını bulunuz. 5) 000cm lik bir malzemeden tabanı kare, üstü açık bir kutu yapılmak istenirse; en büyük hacimli kutunun boyutları ne olur? 6) Şekildeki dörtgenin alanını maksimum yapan θ açısını bulunuz. α α 00m θ 00m 00m θ 7) m uzunluğundaki bir tel parçası iki parçaya bölünüyor. Bir parçasından çember şekil, kalan parçasından kare şekil yapılıyor. Çember ve karenin alanları toplamını maksimum ve minimum yapmak için tel nereden bölünmelidir. 4.6 Belirsiz Durumlar ve L Hopital Kuralı Aşağıdaki limitleri bulunuz. ) lim 0 + e tan() limitini hesaplayınız. Cevap: ) lim h 0 3 h h =? (ln 3) 3) lim + 4 4) lim 0 cos 5) lim θ 0 cos θ θ sin θ 3 + + 4 6) lim 4 3 + 5 + 3 7) lim 0
( 8) lim cos ) ( 9) lim 0 + + ) sin 0) lim 3 + sin ) lim sin ( + ) ln( + ) ) lim 0 sin 3) lim 4) lim )ln 0 +(sin 5) lim ln 3 6) lim 9 Bölüm 5: İntegraller Anti-Türev Aşağıdaki fonksiyonların anti-türevlerini bulunuz. ) 3 ) π sin(π) 3) 8 sec () 4) e 3 5) 3 6) ( ) 7) π