Bir İçaçısı 60 Olan Üçgenlerlerle İlgili Bazı Özellikler (H.İ.AYANA) Problem1: ABC üçgenininde A = 60 dir. AO = AH olduğunu gösteriniz. Çözüm[H.İ.AYANA]: OAB = α olsun. BCA = 90 α ve H diklik merkezi olduğundan CAH = α dır. A = 60 olduğundan ACH = 30 dir. CHA üçgeninin çevrel çemberinin merkezi F noktası olsun. FHA eşkenar üçgen ve CFH = 2α dır. OAC = 60 α ve COA ikizkenar üçgen olduğundan COA = 60 + 2α dır.bu durumda CHA ile CFA üçgenleri eş üçgen olup AO = AH dır.(şkl-1-2) Problem 2: ABC üçgenininde A = 60 dir.c,h,o ve B noktaları çemberseldir.
Çözüm[H.İ.AYANA]: A = 60 olduğundan ACH = 30 dir.bh CA yı D noktasında kesssin. CDH = 90 ve CHB = 120 dir.ayrıca O ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğundan COB = 120 dir. CHB = COB = 120 olduğundan. C,H,O ve B noktaları çemberseldir. Problem3[H.İ.AYANA]: ABC üçgeninde C = 60 dir.bu üçgenin diklik merkezi H,çevrel çemberinin merkezi O dur. HOC üçgeninin çevrel çemberi çevrel çemberi ile B den farklı bir D noktasında kesişmektedir. çemberinin merkezisinin H noktası olduğunu ispatlayınız. ABC üçgeninin ABD üçgeninin iç teğet Çözüm[H.İ.AYANA]: AOB = 2 A = 120 ve ABO = BAO = 30 dir.
ABH = α dersek BAC = 90 α, BOC = 180 2α ve OBC = OCB = α olur.problem-1 den dolayı A,H,O,B çembersel olup AOH = α ve OAH = 30 α olur. AOC = 2 B olduğundan AOC = 60 + 2α ve buradan DOC = 60 + α olur.problem-2 den dolayı HC = OD olup HOCD ikizkenar yamuk olup DCO = HOC = 60 + a olur.buradan ACD = 2α bulunur.abcd kirişler dörtgeni olduğundan ABD = 2α olur.yani BH ABD üçgeninin açıortayıdır.bu durumda DBC = DAC = 30 α dır. Ayrıca A = 60 olduğundan ACH = 30 dir. DAH = HAB = 60 α olur.yani AH BAD nin açıortayıdır. Dolayısıyla ABD üçgeninin içteğet çemberinin merkezi H dır. Problem 4[H.İ.AYANA]: ABC üçgeninde C = 60 dir.bu üçgenin diklik merkezi H,çevrel çemberinin merkezi O dur. HOC üçgeninin çevrel çemberi ile çevrel çemberi C den farklı bir D noktasında kesişmektedirler. BH OD ise ABC üçgeninin A =?
Çözüm[H.İ.AYANA]: ABH = α dersek BAC = 90 α, BOC = 180 2α ve OBC = OCB = α olur.problem -3 den dolayı HBD = α dır. BH OD olduğundan BDO = α ve OD=OB olduğundan DBO = α dır. AOB = 2 A = 120 ve ABO = BAO = 30 dir. BAO = 3α = 30 α = 10 olur. ABC = 4α = 4.10 = 40 ve ve A = 80 bulunur. Problem 5[H.İ.AYANA]: ABC üçgeninde C = 60 dir.bu üçgenin diklik merkezi H,çevrel çemberinin merkezi O dur. HOC üçgeninin çevrel çemberi, ABC üçgeninin çevrel çemberi ile C den farklı bir D noktasında,ac doğru parçası ile I da kesişmek tedir.. HOC üçgeninin çevrel çemberi nin merkezi O olmak üzere A,I,O ve B noktaları çembersel olduğuna göre B =? Çözüm[H.İ.AYANA]: HCA = α dersek, CAB = 90 α BOC = 180 2α
OCB = OBC = α olur.problem -1 den OC = HC dir. Ayrıca OO ' = HO ' olduğundan O ' C IOC üçgeninin simetri ekseni olup O' CO = O' CH = 30 α olur.o ile E noktalarını birleştirilelim.o E=O C olduğundan O ' IC = 30 olur. AOB = 2 A = 120 ve ABO = BAO = 30 dir. O' IC = ABO = 30 ve A,I,O ve B noktaları çembersel olduğundan B-O-O doğrusaldır.çembersellikten OO ' I = 90 + α olur.çevre açı merkez açı ilişkisinden OO ' I =2 OCI 90 + α = 2.(60 α) 3α = 30 α = 10 B = 30 + α = 30 + 10 = 40 bulunur. olur. Problem 6[H.İ.AYANA]: ABC üçgeninde C = 60 dir.bu üçgenin diklik merkezi H,çevrel çemberinin merkezi O dur. D ve E sırasıyla OH ve BC nin orta noktalarıdır.buna göre aşağıdaki önermeleri ispatlayınız. a) O,D,E ve B noktalarının çemberseldir. b) BH,AC yi K noktasında kessin. BK, CD ve OE nin tek noktada kesişirler.
Çözüm[H.İ.AYANA]: a) Problem -1 den HC=OC olup CD OH dır.o çevrel çemberinin merkezi ve E BC nin orta noktası olduğundan OE BC dir. ODC = OEC = 90 olduğundan O,D,E ve B noktalarının çemberseldir b)bk ile OE bir L noktasında kesişsinler. ACB = 60 olduğundan KBC = 30 dir. KBC dik üçgeninde KE kenarortayını çizersek KBE = BKE = 30 olur.ayrıca LEC + LKC = 180 olduğundan LECK kirişler dörtgeni olup LCK = 30 dir. Buradan CL nin BCK nın açıortayı olduğu anlaşılır. Ayrıca OCA = HCB olduğundan CL aynı zamanda HCO açısınında açıortayıdır. Bununla birlikte Problem-1 den HC=OC olduğundan C-L-D doğrusaldır. Problem 7: [H.İ.AYANA]: ABC üçgeninde C = 60 dir.bu üçgenin diklik merkezi H,çevrel çemberinin merkezi O dur. D ve E sırasıyla OH ve BC nin orta noktalarıdır.[ed AB yi F noktasında kessin Buna göre aşağıda verilen ifadelerinin doğruluğunu ispatlayınız.
a) A,F,D,C noktaları çembersel dir.(şkl-1) b) B,H,D,F noktaları çembersel dir.(şkl-2) c) FBE üçgeninin çevrel çemberi AC yi K ve L noktalarında kessin. A,K,O,H,B noktalarının çembersel dir.(şkl-3) d) FBE üçgeninin çevrel çemberi n merkezi M olmak üzere B,M,L,C nin çembersel dir.(şkl-4) Şkl1 şkl-2 şekil-3 Şkl-4 Çözüm[H.İ.AYANA]: a)problem-6 dan O,D,E ve C noktalarının çembersel olduğunu biliyoruz. Çembersellikten EOC = CDE = α ve FDE = 180 α olur. O çevrel çemberin merkezi ve E BC nin orta noktası olduğundan BOE = α dır. Çevre açı merkez açı ilişkisinden 2. BAC = BOC = 2α BAC = α bulunur. FDE A,F,D,C noktalarının çembersel dir. + BAC = 180 olduğundan
b) a şıkkından AFDC nin kirişler dörtgeni olduğunu ve Problem -1 den CH OH olduğunu bilmekteyiz. Buna göre HBF = α dersek H diklik merkezi olduğundan BAC = 90 α, AFDC nin kirişler dörtgeni olduğundan CDE = 90 α ve CH OH olduğundan EDH = α bulunur. HBF + FDH = 180 noktaları çembersel dir. olduğundan B,H,D,F C c)problem-2 den A,O,H,B nin çembersel olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla K,O,H,B nin çembersel olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır. Problem -6 nın b şıkkında DCA = DCB = 30 olduğunu ispatlamıştık. Ayrıca problemin b şıkkından AFDC nin kirişler dörtgeni olduğunu biliyoruz. Bu durumda DFB = 30 bulunur. BL parçasını çizelim.aynı yayı gören çevre açılar eşit olacağından BLE = BFE = 30 doğru olur. CD ile OE P kesişsin. PCE = PCE = 30 olduğundan lpec kirişler dörtgeni olup PLC = 90 dir. Problem -6 nın b şıkkında dolayı B-H-L doğrusaldır. F-K-L-B çembersel olduğundan KFB = 90 olup KFE = 60 bulunur.çevre açıların eşitliğinden KBE = 60 olur. Bu durumda KBC eşkenar üçgen
olur ve BE = EC,OE BC olduğundan K-O-E doğrusal olup BKO = 30 dir. b şıkkından dolayı B,H,D,F noktaların çembersel olduğunu biliyoruz. Burdan DHL = 30, BHO = 150 bulunur. BKO + BHO = 180 olduğundan K,O,H,B çemberseldir. d) c şıkkından K-O-E nin doğrusal olduğunu ve KBC nin eşkenar üçgen olduğunu biliyoruz.ayrıca KEB = 90 olduğundan FBC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi BK nin orta noktadır.bu durumda C D-M doğrusal olup CBM = 90 olur. Yine c şıkkından BLC = 90 olduğunu biliyoruz. çemberseldir. CBM = BLC olduğundan B,M,L,C