İSTATİSTİKTE VERİ GM-0 MÜH. ÇALIŞ. İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Hafta sonu hava yağışlı olacak ı? Bu yıl hangi takı şapiyon olacak? Gelecek yıl döviz kuru ne olur? Bu yıl ülkeizin kişi başına illi geliri ne kadar olur? Yrd. Doç. Dr. Safa KARAMAN 1 İSTATİSTİKTE VERİ Bu ve buna benzer bir çok sorunun cevabını verebilek ya da cevap hakkında yoru yapabilek için elde ölçü ya da sayı yolu ile elde ediliş verilere gereksini vardır. Çünkü; İstatistik sayı, raka İstatistik Anakütleden rassal olarak seçilen örneklelerden hesaplanan değerlerdir. VERİLERİN ÖZETLENMESİ Veri: Herhangi bir konu ile ilgili ölçü ya da sayı Data-Datu 1
VERİLERİN ÖZETLENMESİ AMACIYLA İSTATİSTİKTE SERİLER KULLANILIR. LİSTE SERİ BASİT SERİ FREKANS SERİSİ GRUPLANDIRILMIŞ FREKANS SERİSİ LİSTE SERİ İlgilenilen değişkenin alış olduğu değerler diğer bir değişkene göre ya da rastgele sıralanış ya da gözle sırasına göre kaydediliş ise, bu seriye liste seri denir. Veriler liste şeklindedir. Herhangi bir işle yapılaıştır. Ha veri şeklindedir. BASİT SERİ İlgilenilen değişkenin alış olduğu değerlerin küçükten büyüğe ya da büyükten küçüğe doğru sıralanası ile elde edilen seri tipine basit seri denir. LİSTE SERİ-Ha hali BASİT SERİ- İşle görüş hali Bir sınıftaki öğrencilerin final notları LİSTE SERİ Öğrenci No Puan Öğrenci No Puan Öğrenci No Puan Öğrenci No Puan 1 5 6 50 11 74 16 55 50 7 10 1 3 17 35 3 65 8 65 13 50 18 35 4 98 9 45 14 55 19 75 5 5 10 19 15 45 0 45 BASİT SERİ Puan (Xi) Puan (Xi) Puan (Xi) Puan (Xi) 19 35 50 65 19 35 50 65 5 45 50 74 5 45 55 75 3 45 55 98 En küçük not Veriler basit bir işlee tabi tutuldu Ha veri basit veri şekline dönüştü En büyük not 10 19 5 5 3 35 35 45 45 45 50 50 50 55 55 65 65 74 75 98
FREKANS SERİ Örneğin 0 tane değil de 5000 tane veri olsaydı Bu basit veri şeklinde 5000 satır olarak yazılacaktı Bu basit seri olaaktadır. Çünkü basit değil Bunu alt alta yazak çok zaan alıcı ve yorulaak ise zor olacaktır. FREKANS SERİ Herbir verinin tekrarlana sıklığı frekans olarak değerlendirilektedir. Bu bağlada tekrarlaa sayısı frekans olarak ifade edilekte, bu şekilde oluşturulan seriye de frekans serisi denilektedir. En küçük not BASİT En büyük not 10 19 5 5 3 35 35 45 45 45 50 50 50 55 55 65 65 74 75 98 Frekans serisi FREKANS Puan (Xi) fi 10 1 19 1 5 3 1 35 45 3 50 3 55 65 74 1 75 1 98 1 Topla 0 Bu şekilde biraz daha özet bilgiye ulaşılış oldu Ortalarda bir yığıla var şeklinde bir yoru yapılabilir. FREKANS SERİ GRUPLANDIRILMIŞ SERİ Gözle değerlerinin çok sayıda olası duruunda yani, örneğin bir sınıfta alınan notların 0-100 arasında neredeyse her sayıda notun olası duruunda he liste, he basit he de frekans veri, düzenlee işleinde yetersiz kalaktadır. Yani; Xi fi 10 4 1 1 13 16 4 17 4 18 5 0 4 3 3 8 1 9 1 34 4 40 45 7 46 8 55 1 56 1 57 4 73 74 3 77 4 88 4 89 5 93 4 94 5 96 7 97 5 98 4 99 6 100 3 TOPLAM 108 3
GRUPLANDIRILMIŞ SERİ BÖYLE BİR DURUMDA, VERİLERİ DAHA ANLAMLI HALE GETİRMEK İÇİN, BELİRLİ ARALIKLARLA GRUPLANDIRILARAK VERİLERİN DAHA ANLAŞILIR HALE GETİRİLMESİ SAĞLANIR GRUPLANDIRILMIŞ SERİ İstenilen değişken değerlerinin belirlenen sınıflara (aralıklara) ayrılası ve bu sınıflara giren gözle sayısının ayrı bir sütuna yerleştirilesi ile elde edilen seriye gruplandırılış seri denir. ÖRNEK 0-10 11-0 1-30 31-40 41-50 51-60 gibi belirli aralıkta gruplaa yapılır. GRUPLANDIRILMIŞ SERİ GRUP SAYISI: Tü frekansları içine alacak şekilde gözle değerlerinin aralıklarına göre oluşturulan sınıfların topla sayısıdır. Örneğin; 10-15 16-1 -7 8-33 Burada sınıf sayısı 4 tür. Yani tü gözle değerleri bu sınıflara yerleştiriliş deektir. GRUP SAYISI BELİRLEME? Bu sayının ne çok fazla, ne de çok az olası gerekir. Yani tü gözle değerlerini içine alak koşulu ile, akul sayıda bir sınıf sayısı seçilelidir. Ancak istatistik olarak bu her sayıda olabilir. Yani keyfi olarak belirlenebilir. Ancak burada ateatiksel bir yol izlenesi, dataların daha iyi açıklanasının sağlanası bakıından önelidir. GRUP SAYISI BELİRLEME? Üç şekilde yapılabilir. 1) kuralı ) Sturges kuralı 3) Karekök kuralı 4
1) kuralı ile grup sayısı belirlee ) Sturges kuralı ile grup sayısı belirlee 3) Karekök kuralı ile grup sayısı belirlee :sınıf sayısı n n:örnek sayısı SINIF ARALIĞI Bir sınıfın ne kadar geniş olacağını ifade eder ve aşağıdaki şekilde hesaplanır. S A E B D S S E K D EBD: En büyük değer EKD: En küçük değer GRUPLANDIRILMIŞ SERİ Puan (Xi) 10-8'den az 4 8-46'dan az 6 46-64'den az 5 64-8'den az 4 8-100'den az 1 TOPLAM 0 fi Bir dersin final notları a) Basit seri b) Frekans seri c) Gruplandırılış seri olarak göstereli 5
a) Basit seri b) Frekans seri Puan (Xi) fi En düşük not 15 1 1 3 5 1 6 1 8 1 9 1 30 3 3 36 1 58 3 64 3 75 89 1 90 1 En yüksek not 91 1 TOPLAM 5 Grup sayısı: Sturges kuralına göre; M1+3.3log(n) M1+3.3log(5) 5.64 6 Sınıf aralığı: SA(EBD-EKD)/SS (91-15)/6 13 Puan (Xi) fi 15-8'den az 6 8-41'den az 8 41-54'den az 0 54-67'den az 6 67-80'den az 80-93'den az 3 TOPLAM 5 VERİLERİN SUNUMU Bir çalışadan elde edilen veriler ha veri niteliğindedir. Ha verilerden bilgi edinek zor ve zaan alıcıdır. Ha veriler çok karaşık durudadır. Verilerin düzenlenesi ile etkin bilgi teini sağlanış olur. Tablo ve grafikler en öneli veri düzenlee araçlarıdır. 6
Verilerin Özetlenesi ve Grafikle Gösterilesi Frekans Dağılıları Basit Frekans Dağılıı Gruplandırılış Frekans Dağılıı Verilerin Grafikle Gösterilesi Bar Grafik Histogra Frekans Poligonu Çizgi Grafiği Pasta ya da Daire Grafiği Dal-yaprak grafiği Frekans Dağılıları Ha verilerin düzenlenesinde, özetlenesinde, anlalı ve anlaşılır hale getirilesinde en sık kullanılan yöntelerden biri, bu verilerin frekans dağılılarının verilesidir. Frekans dağılılarının verilesi ile karışık halde bulunan puanlaalar derlenir, puanlar yüksekten düşüğe ya da tersi biçide sıralanabilir ve puanlar hakkında yorular yapılabilir. 06.03.016 37 06.03.016 38 Frekans Dağılıları Frekans tablosu: Bir veri küesindeki verilerin sınıflarla ya da aralıklarla gruplandırıldığı tablodur. Frekans: Sınıflaa sonucu eydana çıkan belli bir özelliği tesil eden birey, olay ya da nesne sayısına denir. 1. Aşaa: Verileri düzenli bir şekilde sıralayınız. Büyükten küçüğe Küçükten büyüğe Örnek: Bir dersten 40 öğrencinin aldığı sınav notları aşağıdaki gibidir. Bu notlara bakarak kaç öğrencinin 70 den fazla not aldığını, 60-64 arası not alan kaç öğrencinin olduğunu, kala notunun 70> olası duruunda kaç öğrencinin kaldığını heen söyleyebilir iyiz? Verilerin sıralanış hali: Bu notlara bakarak kaç öğrencinin 70 den fazla not aldığını, 60-64 arası not alan kaç öğrencinin olduğunu, kala notu notunun 70> olası duruunda kaç öğrencinin kaldığını öğrenek için; 60 89 69 73 78 63 70 74 79 63 70 74 79 64 71 74 81 66 71 75 8 68 7 75 8 68 7 75 83 68 73 76 84 68 73 77 87 69 73 77 60 89 69 73 78 63 70 74 79 63 70 74 79 64 71 74 81 66 71 75 8 68 7 75 8 68 7 75 83 68 73 76 84 68 73 77 87 69 73 77 Frekans tablosu oluşturarak bu sorular hızlı bir şekilde cevaplanabilektedir. 7
1. Aşaa: Verileri düzenli bir şekilde sıralanalıdır. Büyükten küçüğe Küçükten büyüğe. Aşaa: Değişi aralığı hesaplanalıdır. DA EBV-EKV EBV:89 EKV:60 DA89-609 3. Aşaa: Genel kural gereği 5-0 arasında olalıdır. Çok fazla olası yorulaayı zorlaştıracak, çok az olası duruunda ise verilerin öneli özelliklerinin kaybolasına neden olacaktır. :sınıf sayısı n:örnek sayısı O halde n 4 0 6. 3 6 a l ı n ı r n 4. Aşaa: Sınıf aralığı belirlenelidir. S A E B D S S E K D 89 60 SA 4.83 4.8 5 6 5. Aşaa: Sınıf liitleri belirlenelidir. Bir veri küesinde en küçük veri, ilk sınıfın alt liitidir. Bu değere sınıf genişliği eklenir ve diğer sınıfların alt liitleri bulunur. Hangi sayının hangi sınıfta olacağı kesin olalıdır. i. Sınıf üst liiti ile i+1. sınıfın alt liiti ardışık olalıdır. 6. Aşaa: Sınıf frekansları belirlenelidir. Her bir sınıfta bulunan veri sayısıdır. Sınıf frekans sayı toplaı topla veri olalıdır. i 1 i f i n 1,, 3,... 8
7. Aşaa: Sınıf sınırları belirlenelidir. Bir sınıfın sınıf sınırı değeri için; O sınıfın alt liiti ile kendinden önceki sınıfın üst liiti değerinin ortalaası alt sınıf sınırını Bir sınıfın üst liiti ile o sınıfın kendinden sonraki sınıfın alt liitinin ortalaası üst sınıf sınırını verir A lt li i t + Ü s t li i t S S n r A L T Ü s t li i t + A lt li i t S S n Ü S T K Ö K S 8. Aşaa: Sınıf orta değeri belirlenelidir. Bir sınıfın sınıf orta değeri için; Sınıf liitleri ya da sınıf sınırlarının ortalaası alınır A lt li i t + Ü s t li i t S S n r 9. Oransal Frekans: Sınıf frekansının topla frekansa bölünesi ile bulunur. Yüzde olarak ifade edilir. S ı n ı f f r e k a n s ı O F 1 0 0 T o p l a f r e k a n s ( n ) x 10. Birikili Frekans ve Birikili Oransal Frekans: Birikili frekans: i. sınıfın üst sınırından düşük olan bütün frekansların toplaıdır. Birikili oransal frekans: i. sınıfın üst sınırından düşük olan bütün oransal frekansların toplaıdır. Soru? Örnek: Bir dersten 40 öğrencinin aldığı sınav notları aşağıdaki gibidir. Bu notlara bakarak kaç öğrencinin 70 den fazla not aldığını, 60-64 arası not alan kaç öğrencinin olduğunu, kala notunun 70> olası duruunda kaç öğrencinin kaldığını heen söyleyebilir iyiz? 60 89 69 73 78 63 70 74 79 63 70 74 79 64 71 74 81 66 71 75 8 68 7 75 8 68 7 75 83 68 73 76 84 68 73 77 87 69 73 77 1. Aşaa: Verileri büyükten küçüğe sırala 60 89 69 73 78 63 70 74 79 63 70 74 79 64 71 74 81 66 71 75 8 68 7 75 8 68 7 75 83 68 73 76 84 68 73 77 87 69 73 77 60 63 63 64 66 68 68 68 68 69 69 70 70 71 71 7 7 73 73 73 73 74 74 74 75 75 75 76 77 77 78 79 79 81 8 8 83 84 87 89 9
. Aşaa: Değişi aralığı hesapla DA EBV-EKV DA: Değişi aralığı, EBV: En büyük veri, EKV: En küçük veri EBV:89 EKV:60 DA89-609 3. Aşaa: Sınıf sayısını belirle Genel kural gereği 5-0 arasında olalıdır. :sınıf sayısı????? n:örnek sayısı 40 O halde n n 40 6.3 6 alınabilir 4. Aşaa: Sınıf aralığını belirle 5. Aşaa: Sınıf liitlerini belirle Sınıf aralığı (SA) E B D E K D S A S S 80 60 SA 4.83 4.8 5 6 En küçük veri, ilk sınıfın alt liitidir. Bu değere sınıf genişliği ekle ve diğer sınıfların alt liitlerini bul. i. Sınıf üst liiti ile i+1. sınıfın alt liiti ardışık olalıdır. Sınıf liitleri: 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 6. Aşaa: Sınıf frekanslarını belirle Her bir sınıfa düşen veri sayısı Sınıf frekans sayı toplaı topla veri olalıdır. i i 1 f i 1,, 3,... Her bir sınıfa düşen veri sayısı Sınıf liitleri: SL f 60-64 4 65-69 7 70-74 13 75-79 9 80-84 5 85-89 fi 40 n 7. Aşaa: Sınıf sınırlarını belirle A lt li i t + Ü s t li i t S S n r A L T Ü s t li i t + A lt li i t S S n Ü S T SL f Sınıf sınırları 60-64 4 59,5-64,5 65-69 7 64,5-69,5 70-74 13 69,5-74,5 75-79 9 74,5-79,5 80-84 5 79,5-84,5 85-89 84,5-89,5 K Ö K S 10
8. Aşaa: Sınıf orta değerini belirle A lt li i t + Ü s t li i t S S n r SL f Sınıf sınırları SOD 60-64 4 59,5-64,5 6 65-69 7 64,5-69,5 67 70-74 13 69,5-74,5 7 75-79 9 74,5-79,5 77 80-84 5 79,5-84,5 8 85-89 84,5-89,5 87 9. Aşaa: Oransal frekans değerlerini belirle S ı n ı f f r e k a n s ı O F 1 0 0 T o p l a f r e k a n s ( n ) x SL f OF (%) 60-64 4 10 65-69 7 17.5 70-74 13 3.5 75-79 9.5 80-84 5 1.5 85-89 5 10. Aşaa: Birikili frekans ve birikili oransal frekans değerleri hesapla SL f OF (%) BF BOF 60-64 4 10 4 10.0 65-69 7 17.5 11 7,5 70-74 13 3.5 4 60,0 75-79 9.5 33 8,5 80-84 5 1.5 38 95,0 85-89 5 40 100 Örnek: Bir dersten 40 öğrencinin aldığı sınav notları aşağıdaki gibidir. Bu notlara bakarak kaç öğrencinin 70 den fazla not aldığını, 60-64 arası not alan kaç öğrencinin olduğunu, kala notunun 70> olası duruunda kaç öğrencinin kaldığını heen söyleyebilir iyiz? 60 89 69 73 78 63 70 74 79 63 70 74 79 64 71 74 81 66 71 75 8 68 7 75 8 68 7 75 83 68 73 76 84 68 73 77 87 69 73 77 Sınıf liitleri Frekans Sınıf sınırları Sınıf Ortalaa Değeri Oransal frekans Birikili frekans 60-64 4 59,5-64,5 6 10 4 10 BOF 65-69 7 64,5-69,4 67 17,5 11 7,5 70-74 13 69,5-74,5 7 3,5 4 60 75-79 9 74,5-79,5 77,5 33 8,5 80-84 5 79,5-84,5 8 1,5 38 95 85-89 84,5-89,5 87 5 40 100 Ha Puanlar Frekans Dağılıları Basit Frekans Dağılıı Basit frekans dağılıı, her puan değerinin kaç sefer tekrarlandığını gösterir. Frekans f harfi ile gösterilir. Sıralanış Puanlar Frekans tablosu hazırlanırken; tü puanlar gösterilir. İstenirse öğrencilerin aladıkları diğer puanlar da verilebilir. Toplaalı frekans, frekans değerlerinin ard arda toplanası ile elde edilir. 06.03.016 65 06.03.016 66 11
Öğrencilerin % kaçı YÖK e kesin olarak karşıdır? 68 06.03.016 67 06.03.016 68 Bar Grafik İstatistiksel verileri açıklaak için en çok kullanılan grafik türüdür. Bar diyagra, birbirini izleyen barların bir serisini gösterir. Barlar küçükten büyüğe ya da tersi biçide sıralanır. 06.03.016 69 06.03.016 70 Histogra Histogra bar grafiğe benzer. Ancak, bar grafik kategorik ya da kesikli grup aralıklarıyla çizildiği halde, histogra sürekli grup aralıklarıyla çizilir. Histograda dikey eksen her zaan sıfır değeriyle başlarken, yatay eksen sıfır ya da büyük bir değerden başlayabilir. Frekans Poligonu Histograda verilen puan aralıklarının orta noktalarının birleştirilesiyle oluşur. Puan aralıkları ve orta noktalar 06.03.016 71 06.03.016 7 1
Çizgi Grafiği Frekans poligonunun iki ucu yatay eksene değediği zaan çizgi grafiği oluşur. Çizgi grafiği sürekli verilere uygulanabilir. Puanlar ya da puan aralıkları yatay eksende, bunlara ait frekanslar dikey eksende yer alır. Pasta ya da Daire Grafiği Serpile grafiği Özellikle değişkenlerin yüzdelik değerlerini gösterede sıklıkla kullanılan bir grafik türüdür. Soru: Çözü Aşağıdaki veri küesini bar grafik olarak gösteriniz. 008 10 Yıllar 005 006 007 008 Öğr. Say 598 599 677 10 Yıllar 007 006 599 677 Ö.S 005 598 0 00 400 600 800 13
Soru: Çözü: Aşağıdaki veri küesini histogra olarak gösteriniz. Sınıf aralığı frekans 8-3 3-36 3 36-40 6 40-44 9 44-48 13 48-5 8 5-56 6 56-60 4 60-64 14 1 10 8 6 4 0 8-3 3-36 36-40 40-44 44-48 48-5 5-56 56-60 60-64 Soru: Sınıf aralığı frekans 8-3 3-36 3 36-40 6 40-44 9 44-48 13 48-5 8 5-56 6 56-60 4 60-64 14 1 10 8 6 4 0 Aşağıdaki veri küesini daire grafik olarak gösteriniz. harcaa grupları benzin %19 kıyafet %1 gıda %14 kozetik %1 kırtasiye %5 ulaşı %18 sağlık %11 topla %100 Dal yaprak gösterii benzin kıyafet gıda kozetik kırtasiye ulaşı sağlık 4 7 10 11 14 15 15 17 18 1 1 3 3 3 4 5 9 31 35 37 41 43 45 47 47 48 49 50 18% 5% 11% 1% 19% 14% 1% 14
Soru: Teel Kavralar Aşağıdaki veri küesini dal yaprak olarak gösteriniz. 3 6 8 14 15 19 4 5 5 6 9 30 3 33 34 36 38 41 06.03.016 86 Teel Kavralar İstatistikte Bazı Teel kavralar Anlalı raka 0 1 3 4 5 6 X.8 X5.0 5 c 5,0c 06.03.016 87 İstatistikte Bazı Teel kavralar Sayıları yuvarlaa 5,38713 5,39 5,4 5 7,4657,46 183,575183,58 116,500,000116,000,000 Birikili yuvarlaa hatası A B C 4.35 4.4 4.4 8.65 8.6 8.7.95 3 3 1.45 1.4 1.5 6.65 6.6 6.7 7.55 7.6 7.6 9.75 9.8 9.8 TOPLAM 5.35 5.4 5.7 B yöntei C yönteine göre? 15