X ve Y boş olmayan iki küme olsun. İki küme arasında tanımlanmış olan bir bulanık ilişki R, X x Y nin bir bulanık alt kümesidir.

Bulanık İlişkiler X ve Y boş olmayan iki küme olsun. İki küme arasında tanımlanmış olan bir bulanık ilişki R, X x Y nin bir bulanık alt kümesidir. R F(X x Y) Eğer X = Y ise R bir ikilik (binary) bulanık ilişkidir. Bulanık İlişkiler Örnek: Bir U ={, 2, 3 } evrensel kümesinden yaklaşık olarak eşit bulanık kümesi aşağıdaki ilişkiler kullanılarak tanımlanabilir. R(,) = R(2,2) = R(3,3) = R(,2) = R(2,) = R(2,3) = R(3,2) = 0.8 R(,3) = R(3,) = 0.3 R ilişkisine ait üyelik fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanabilir: 2 3, x = y 0.8 0.3 R(x, y) = 0.8, x y = Matris gösterimi = 2 0.8 0.8 0.3, x y = 2 3 0.3 0.8

Bulanık İlişkiler Üzerindeki İşlemler R ve S, X x Y kartezyen çarpım kümesinde tanımlanmış iki bulanık ilişki olsun. Kesişim: R S(x, y)= min { R(x, y), S(x, y)) } Birleşim: R S(x, y)= max { R(x, y), S(x, y)) } Bulanık İlişkiler Üzerindeki İşlemler Örnek: Bir R = x, y den çok büyük ve S = x, y ye çok yakın gibi iki bulanık küme aşağıdaki gibi tanımlansın. y y 2 y 3 y 4 y y 2 y 3 y 4 x 0.8 0. 0. 0.7 x 0.4 0 0.9 0.6 R = x 2 0 0.8 0 0 S = x 2 0.9 0.4 0.5 0.7 x 3 0.9 0.7 0.8 x 3 0.3 0 0.8 0.5 Kesişim kümesi x, y den çok büyük ve x, y ye çok yakın şeklindedir. Birleşim kümesi ise x, y den çok büyük veya x, y ye çok yakın şeklinde ifade edilir. y y 2 y 3 y 4 y y 2 y 3 y 4 x 0.4 0 0. 0.6 x 0.8 0. 0.9 0.7 R S = x 2 0 0.4 0 0 R S = x 2 0.9 0.8 0.5 0.7 x 3 0.3 0 0.7 0.5 x 3 0.9 0.8 0.8 2

Bulanık İlişkilerde Birleştirme R, X x Y kartezyen çarpım kümesinde ve S, Y x Z kartezyen çarpım kümesinde tanımlanmış iki bulanık ilişki olsun. R ve S nin Max-Min birleşimi (R o S) ile gösterilebilir ve X x Z de bir bulanık ilişkidir. R o S µ RoS (x,z) = {µ R (x,y) µ S (y,z) } = Max { Min { µ R (x,y), µ S (y,z) } } Bulanık İlişkilerde Birleştirme R, X x Y kartezyen çarpım kümesinde ve S, Y x Z kartezyen çarpım kümesinde tanımlanmış iki bulanık ilişki olsun. R ve S nin Max-Product birleşimi (R o S) ile gösterilebilir ve X x Z de bir bulanık ilişkidir. R o S µ RoS (x,z) = {µ R (x,y) i µ S (y,z) } = Max { µ R (x,y) iµ S (y,z) } 3

Bulanık İlişkilerde Birleştirme Örnek: R ve S bulanık ilişki kümeleri aşağıdaki tanımlansın. R y y 2 y 3 S z z 2 x 0.4 0.6 0 y 0.5 0.8 x 2 0.9 0. y 2 0. y 0 0.6 R o S nin Max-min and Max-product birleşimlerini bulunuz. Bulanık İlişkilerde Birleştirme Örnek (devam): (Max-Min Min Birleşimi) R o S = 0.4 0.9 0.6 0.5 0 o 0. 0. 0 0.8 0.4 = 0.5 0.6 0.6 max{min(0.4,0.5), min(0.6, 0.), min(0, 0)} = max{ 0.4, 0., 0} = 0.4 max{min(0.4,0.8), min(0.6, ), min(0, 0.6)} = max{ 0.4, 0.6, 0} = 0.6 max{min(0.9,0.5), min(, 0.), min(0., 0)} = max{ 0.5, 0., 0} = 0.5 max{min(0.9,0.8), min(, ), min(0., 0.6)} = max{ 0.8,, 0.} = 4

Bulanık İlişkilerde Birleştirme Örnek (devam): (Max-Product Birleşimi) 0.4 RoS = 0.9 0.6 0.5 0 o 0. 0. 0 0.8 0.06 = 0.45 0.6 0.6 = max{0.4x0.5, 0.6x0., 0x0} = max{0.02,0.06,0} = 0.06 = max{0.4x0.8, 0.6x0., 0x0.6} = max{0.32, 0.6, 0} = 0.6 = max{0.9x0.5, x0., 0.x0} = max{0.45, 0., 0} = 0.45 = max{0.9x0.8, x, 0.x0.6} = max{0.72,, 0.06} = Bulanık İfadeler eğer basınç yüksek ve ısı küçük ise hacmi yap Yüksek Basınç bulanık kümesi X için üyelik fonksiyonu aşağıdaki gibidir. 0 5 u, u 5 X(u) = u/5, u 5 0, diğer - X bulanık kümesinde değeri 0.2 üyelik derecesine sahiptir. - X bulanık kümesinde 2 değeri 0.4 üyelik derecesine sahiptir. - X bulanık kümesinde 4 değeri 0.8 üyelik derecesine sahiptir. - X bulanık kümesinde u ( u 5 ) değeri üyelik derecesine sahiptir. 5

Bulanık İfadeler Küçük Isı bulanık kümesi Y için üyelik fonksiyonu aşağıdaki gibidir., v Y(v) = -(v-)/4, v 5 0, diğer 5 v - Y bulanık kümesinde 5 değeri 0 üyelik derecesine sahiptir. - Y bulanık kümesinde 4 değeri 0.25 üyelik derecesine sahiptir. - Y bulanık kümesinde 2 değeri 0.75 üyelik derecesine sahiptir. - Y bulanık kümesinde x ( x ) değeri üyelik derecesine sahiptir. Bulanık İfadeler (Larsen) x y = xy 2 (Lukasiewicz) x y = min(, x + y ) 3 (Mamdani) x y = min( x, y ) 4 (Strict ) x y = x y ise, değilse 0 5 (Gödel) x y = x y ise, değilse y 6 (Gaines) x y = x y ise, değilse y / x 7 (Kleene-Dienes) x y = max( - x, y ) 8 (Kleene-Dienes-Luk.) x y = - x + xy 6

Mühendislikte Bulanık Kümelerle Uygulamalar Haftalık Ödev: Bulanık ifadeler kullanılarak yapılmış bir makale bulup elde edilen sonuçları içeren bir rapor hazırlayınız. İncelenen makalede kullanılan birleşimin kullanılmasının gerekçeleri, uygulamanın sonuçları anlatılacak ve makalenin yazarlarının seçilen birleşim şekline yönelik varsa açıklamaları tartışılacaktır. - İncelenen makale 2000 yılı ve sonrası basım olacaktır. - Makale Türkçe veya İngilizce olabilir. - Hazırlanan rapora makalenin tam metnide eklenecektir. - Hazırlanan rapor ve makalenin tamamı diğer öğrencilerin hepsine e-postayla gönderilecektir. Mühendislikte Bulanık Kümelerle Uygulamalar Gelecek Hafta Bulanık Düşünme (Fuzzy Reasoning) 7