GEOMETRİK KAVRAMLAR n tane doğru düzlemi en az (n+1), en çok n(n + 1) + 1 bölgeye ayırır. (İki Nokta Arası Uzaklık) IABI = Ib ai (Orta nokta) a + b c = (Eş Doğru Parçaları) Uzunluğu eşit olan doğru parçalarına denir. [AB] ve[cd] eş doğru parçaları ise, [AB] [CD] biçiminde gösterilir. [AB] [CD] AB = CD dir. (Arada Olma) Bir L doğrusu üzerindeki üç nokta A, B ve C olmak üzere; AB + BC = AC ise, B noktası A ile C arasındadır denir. x < y < z ise, B noktası A ile C arasındadır. MUHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU DOĞRUDA AÇILAR 1 (Tümler Açılar) Ölçüleri toplamı 90 o olan iki açıya denir. Bir açının kendisi x o ise, bütünleri 90 o x tir. (Bütünler Açılar) Ölçüleri toplamı 180 o olan iki açıya denir. Bir açının kendisi x o ise, bütünleri 180 o x tir. MUHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU 3 4 5 d 1 // d x+y+z = 360 0 NOT! n açı sayısı olmak üzere, d 1 // d x+y+z = (n 1).180 0 6 d 1 // d x+y = 180 0 dir.
7 (Doğru Açı) 8 (Tam Açı) MUHAMED TÜRKOĞLU MUHAMMET AŞKI MUHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKĞLU N TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU ÜÇGENLERDE AÇILAR Üçgenlerin iç açıları toplamı 180 0 dir. Üçgenlerin dış açıları toplamı 360 0 dir. Bir üçgenin iki iç açısı kendisine komşu olmayan bir dış açıya eşittir. k = x+y+z ŷ xˆ = 90 0 + xˆ = 90 o ŷ ŷ xˆ = [AN] açıortay olmak üzere, Bˆ Ĉ α = TÜ MUHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMET TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU RKOĞLU DİK ÜÇGEN MUHMED TÜRKOĞLU MUHAMMET AŞN TÜRKOĞLU (Pisagor Teoremi) m(a)=90 0 a = b + c m(b)=90 0 b = a + c m(c)=90 0 c = b + a NOT! Aşağıdakiler karşımıza çok çıkacak ölçüler olduğundan ezberlenmesinde fayda vardır. Bunlar; 3,4,5 üçgeni 5,1,13 üçgeni 8,15,17 üçgeni 7,4,5 üçgeni Bunların katları için de aynı durum söz konusudur.
(30 o 60 o 90 o Üçgeni) (45 0 45 0 90 0 Üçgeni) (30 o 30 o 10 o Üçgeni) (15 o 75 o 90 o Üçgeni) AB = x ise, AC = ( + 3 )x (,5 o 67,5 o 90 o Üçgeni) AB = x ise, AC = ( + 1 )x AH = h ise, BC = h (Öklit Teremi) h = p.k c = p.a b = p.a 1 1 = h c c = b k p 1 + b (Muhteşem Üçlü) NOT : ABC dik üçgeninde V a, V b ve V c kenarortay olmak üzere; m(a) = 90 0 5V a = V b + V c m(b) = 90 0 5V b = V a + V c m(c) = 90 0 5V c = V a + V b İKİZKENAR ÜÇGEN MUHAM TÜRKOĞLU IABI = IACI h a = n a = V a NOT! Burada var olan beş özellikten herhangi ikisi varsa diğer üçünün varlığını da biz söyleyebiliriz.
IABI = IACI ve DE // AB, DF // AC ise, IDEI + IDFI = IACI = IABI olur. IABI = IACI IEFI + IFDI = IBHI IABI = IACI IDFI IDEI = IHCI IABI = IACI x = b m.n EŞKENAR ÜÇGEN Bir eşkenar üçgende; V a=n a=h a=v b=n b=h b=v c=n c=h c a 3 Alan = h = 3 4 3 a 3 IGEI + IGFI + IGDI = = IAHI [DF] // [BC], [DG] // [AC], [DE] // [AB] ve ABC eşkenar üçgen olduğundan; IDEI + IDFI + IDGI = a dır. MUHAM TÜROĞLU
ÜÇGENDE ALAN A(ABC) a.h a b.h b c.hc = = = 1 A(ABC) = c b sin α a + b + c u = A = u(u a)(u b)(u c) IADI.IBCI T A = S 1 = S a.c d.e Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına; tabanları eşit üçgenlerin alanları oranı yükseklikleri oranına eşittir. A(ABC) a.b = A(DEF) a1. b 1 A (ABC) = u.r a.b.c A (ABC) = 4.R
T A x.y.z + m.n.p = A(ABC) a.b.c m(a) = 90 0 A(ABC) = m.n AÇIORTAY IANI = b.c x.y c x = b y IADI = z.(x + y + z) b.c z = x + y + z UHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU KENARORTAY b c = y x Bir ABC üçgeninde; a Va = b + c b Vb = c + a c Vc = a + b m(a) = 90 0 5 Va = Vb + Vc 5 yada V b + Vc = a 4.a.x = Ib c I
ÜÇGENDE BENZERLİK ABC DEF benzerliği verildiğinde; IBCI IACI IABI = = = k ve IEFI IDFI IDEI m(a)=m(d), m(b)=m(e), m(c)=m(f) olacağı söylenebilir. IADI IABI = IAEI IACI = IDEI IBCI IBEI IEAI = ICFI x b = IFDI a x AB // EF // DC ise, 1 1 1 y z = + ve = dir. x y z IBFI ICGI (K.A.K benzerliği) Bir soru ile anlatalım; Şekle göre, x kaç cm dir? 9 (MENELAUS TEO.) (SEVA TEOREMİ)
(STEWART TEOREMİ) (CARNOT TEOREMİ) AÇI KENAR BAĞINTILARI ABC üçgeninin çizilebilmesi için, Ib ci < a < b+c Ia ci < b < a+c Ia bi < c < a+b şartları gereklidir. Bir üçgende daima büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Yani; m(a) > m(b) > m(c) ise a > b > c dir. Bir ABC üçgeninde a > b > c ise, h a < h b < h c dir. Bir ABC üçgeninde a + b + c < Va + Vb + Vc < a + b + c Bir ABC üçgeninde; m(a) < 90 o ise a < b + c m(a) > 90 o ise a > b + c P üçgenin içinde herhangi bir nokta ise, x+y+z < a+b+c < (x+y+z) a+b+c+d < IACI+IBDI < (a+b+c+d) Ancak burada; a, b c, ve d ayrı ayrı bilinirse bu kural uygulanmaz, eğer a+b+c+d toplamı biliniyor ise bu kural uygulanır. MMET TÜRKOĞLU ÇOKGENLER n 3 olmak üzere, n kenarlı şekillere, çokgen denir. Bir çokgenin köşe sayısı kenar sayısına eşittir. Kural (Köşegen Özelliği) n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden (n 3) tane köşegen çizilebilir. n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenler çokgeni (n ) tane üçgene ayırır. n kenarlı çokgende köşegen sayısı n(n 3) dir.
Kural (Açı Özelliği) Bir konveks çokgenin dış açılarının toplamı 360 0 dir. n kenar sayısı olmak üzere, iç açılarının ölçüleri toplamı (n ).180 dir. Kural n kenarlı bir çokgenin tek olarak çizilebilmesi için en az n 3 tane elemana ihtiyaç vardır. Verilen bu elemanların en az (n-) tanesi uzunluk (n 1) tanesi de açı olmalıdır. n 3 = (n ) + (n 1) uzunluk açı Düzgün Çokgenlerin Özellikler Bütün kenar unlukları, bütün iç açı ölçüleri ve bütün dış açı ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. n kenarlı düzgün çokgenini bir dış açısının ölçüsü 360 0 dir. n Bir iç açısı ile bir dış açısının toplamı 180 0 dir. Kural Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenin karşılıklı kenarları paraleldir. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenin bir köşesinden çizilen açıortay, karşı kenara dik olur ve bu kenarı ortalar. Bütün düzgün çokgenlerde açıortaylar simetri eksenidir. Kural Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarın içinde kalan köşegenler eşittir. Kural Düzgün Çokgenin Alanı; n.a.r A = veya Çevre u = ise A = u.r dir Not! Düzgün altıgenin alanı, 6 eşkenar üçgenin alanları toplamına eşittir. a 3 A(ABCDEF) = 6. 4 DÖRTGENLER DELTOİD m(c) + m(d) x = Im(B) m(d)i x = a + c = b + d
x, y, z, t bulundukları bölgelerin alanları olmak üzere; x.z = y.t dir. IACI.IBDI. sin α A(ABCD) = Ç(KLMN) = IACI + IBDI A(ABCD) A (KLMN) = P ve Q orta noktalar olmak üzere, a +b +c +d = IACI +IBDI +4.x (DELTİD) Taban uzunlukları eşit olan farklı ki ikizkenar üçgenin taban tabana yapışmasıyla oluşan şekle deltoid denir. PARALELKENAR Karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Ardışık açılar toplamı 180 0 dir. Köşegenler birbirini ortalar. S = S = S = 1 3 S4 A(ABCD) = IBFI.ICDI = IBEI.IADI MUHAM TÜRKOĞLU MUHAMMET KOĞLU Ardışık iki açıortay arasındaki açı 90 0 dir. UHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET
S 1 + S3 = S + S4 S 3 = S1 + S IAEI = IEFI IEGI T A A(ABCD) 1 IHGI IEFI = + ICDI IABI EŞKENAR DÖRTGEN Bütün kenar uzunlukları eşit olan paralel kenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenara ait tüm özelikler burada da geçerlidir.
Farklı özellikleri; Köşeleri açıortaydır. Karşılıklı açıları eşittir. Köşegenler birbirine diktir. Köşegenler birbirini ortalar. Çevre=4a IACI.IBDI Alan= DİKDÖRTGEN Ç(ABCD) = (a+b) A(ABCD) = a.b a + b = c + d KARE Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare denir. Köşegen uzunlukları eşittir. Köşeleri açıortaydır. Tüm açıları eşittir. Köşegenler birbirine diktir. Köşegenler birbirini ortalar. Çevre = 4a Alan = a YAMUK (a + c)h A(ABCD) = S 1.S 3 = S. S4 S = S4 = S1. S3 A = ( S1 + S3 ) 1 IPQI 1 = + a 1 c
A(ABCD) = IADI.IFEI A(ABCD) = IEFI a.c = e b h = a.c TÜRKOĞLU ÇEMBERDE AÇI Çapı gören çevre açı diktir. Teğet değme noktasında yarıçapa diktir.
x y = α x + y = α IABI = ICDI x = y x + y = 180 0 α + β = 180 0 MET TÜRKOĞLU ÇEMBERDE UZUNLUK IPAI = IPBI.IPCI IPAI.IPBI = IPCI.IPDI [PO, APB açısının açıortayıdır. x.y = z.t
Kuvvet ekseni merkezleri birleştiren doğruya diktir. a + b + c + d a+c = b+d ve u = ise; A(ABCD) = u.r (Çemberin merkezi iç açıortayların kesim noktasıdır.) Bir üçgenin köşelerinden geçen çemberdir. Merkezi üçgenin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır. Bir üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberdir. Merkezi iç açıortaylarının kesim noktasıdır. DAİREDE ALAN Çember ve Daire Benzerliği: Bütün çemberler ve daireler benzerdir. Bütün yarım daireler ve çeyrek daireler benzerdir. Merkez açısı eşit olan daire dilimleri benzerdir. Merkez açısı eşit olan daire parçaları benzerdir. Benzer şekillerdeki bütün uzunlukların (yarıçap, çap, kiriş, yay uzunluğu vs.) oranı benzerlik oranına eşittir. Benzer şekillerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. UHAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET ÜRKOĞLU
NOKTANIN ALALİTİĞİ IN ANALİTİK DÜZLEM: İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK: AB = x1) + (y y1) ( x ORTA NOKTA KOORDİNATLARI: x x 1 x 0 = + y y 1 ve y 0 = + NOT! x 1 + x 3 = x + x 4 y 1 + y 3 = y + y 4 BELLİ ORANDA BÖLEN NOKTA KOORDİNATLARI: n m x3 x = x x1 y3 y = y y1 ANALİTİK DÜZLEMDE ÜÇGEN: x1 + x + x3 x 0 = 3 ve y 0 = + y 3 y y1 + 3 A(ABC) = 1 x x x x 1 3 1 y y y y 1 3 1 HAMMET TÜRKOĞLU DOĞRUNUN ANALİTİĞİ DOĞRUNUN EĞİMİ: 1. Bir Nok. Bilinen Doğ. Eğimi: eğim = m = tanα = x y. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi: y y m = 1 x x1
3. Denklemi Bilinen Doğrunun Eğimi: y = ax+b doğrusunun eğimi; m = a ax+by+c = 0 doğrusunun eğimi; m = a b DOĞRUNUN DENKLEMİ: İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi: İki noktası A(x 1,y 1) ve B(x,y ) ise; y y1 x x1 y y 1 = x x 1 Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunu Denklemi: Bir noktası A(x 1,y 1) ve eğimi m ise; y y 1 = m(x x 1) Eksenlere Paralel Olan Doğruların Denklemleri: Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğ Denk: x a + y = 1 b İKİ DOĞRUNUN KESİŞMESİ Alt alta yazılıp çözümleme yapılır. Bulunan kökler kesişim noktasıdır. DOĞRUNUN GRAFİĞİ x = 0 için y ve y=0 için x bulunur. İKİ DOĞRU ARASINDAKİ AÇI İki Doğrunun Paralelliği: d1 : y1 = m1x + n1 d : y = mx + n d1 // d m1 = m İki Doğrunun Dikliği: d1 : y1 = m1x + n1 d : y = mx + n d1 d m 1.m = 1 İki Doğru Arasındaki Açının Tanjantı: d 1:y 1=m 1x + n 1 d :y =m x + n m1 m doğruları arasındaki açı α ise; tanα = 1+ m m 1 BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI A(x 1,y 1) noktasının d 1: ax+by+c = 0 doğrusuna ax1 + by1 + c uzaklığı; d = a + b
PARALEL İKİ DOĞRU ARASINDAKİ UZAKLIK Paralel olan d 1: ax+by+c 1 = 0 ile d : ax+by+c = 0 doğruları arasındaki uzaklık; d = c c 1 a + b AÇIORTAY DOĞRULARININ DENKLEMİ: d 1 ve d doğrularının açıortay denklemleri; ax + by + c dx + ey + f = e a + b d + YANSIMA (SİMETRİ) NOKTANIN SİMETRİĞİ Noktanın x Eksenine Göre Simetriği (x,y) noktasının x-eksenine göre simetriği (x, y) dir. Noktanın y Eksenine Göre Simetriği (x,y) noktasının y-eksenine göre simetriği ( x,y) dir. Noktanın Orijine Göre Simetriği (x,y) noktasının orijine göre simetriği ( x, y) dir. Noktanın y = x Doğrusuna Göre Simetriği (x,y) noktasının y=x doğrusuna göre simetriği (y,x) dir. Noktanın y = x Doğrusuna Göre Simetriği (x,y) noktasının y= x doğrusuna göre simetriği ( y, x) dir. Noktanın Noktaya Göre Simetriği A noktasının B noktasına göre simetriği C noktası ise, IABI = IBCI dir. Noktanın Herhangi Bir Doğruya Göre Simetriği Önce d doğrusu yardımıyla AA doğrusunun eğimi bulunur. Sonra AA doğrusunun denklemi x 1, x, y 1,y ye bağlı olarak yazılır. Daha sonra B notasının değeri bulunup y = mx+n doğrusu üzerine yazılır. Buradan çıkan denklem ve ikinci adımda yazılan denklem sayesinde A(x 1,y 1) bulunur.d TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU DOĞRUNUN SİMETRİĞİAMMET TÜRKOĞLU Doğrunun x Eksenine Göre Simetriği ax+by+c = 0 doğrusunun x-eksenine göre simetriği; ax by + c = 0 doğrusudur. Doğrunun y Eksenine Göre Simetriği ax+by+c = 0 doğrusunun y-eksenine göre simetriği; ax+by+c = 0 doğrusudur. Doğrunun y = x Doğrusuna Göre Simetriği ax+by+c = 0 doğrusunun y=x doğrusuna göre simetriği; bx+ay+c = 0 doğrusudur. Doğrunun y = x Doğrusuna Göre Simetriği ax+by+c = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriği; bx ay+c = 0 doğrusudur. Doğrunun x = k Doğrusuna Göre Simetriği ax+by+c = 0 doğrusunun x = k doğusuna göre simetriği; a(k x) + by + c = 0 doğrusudur.
Doğrunun y = k Doğrusuna Göre Simetriği ax + by + c = 0 doğrusunun x = k doğusuna göre simetriği; ax + b(k y) + c = 0 doğrusudur. Doğrunun Herhangi Bir Noktaya Göre Simetriği ax + by + c = 0 doğrusunun; A(k, m) noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemi a(k x) + b(m y) + c = 0 doğrusudur. Paralel Doğruların Simetriği d 1 // d // d 3 paralel olmak üzere; d 1 : ax+by+c 1 = 0 d : ax+by+c = 0 d 3 : ax+by+c 3 = 0 c doğruları arasında 1 + c3 = c bağıntısı vardır. ÇEMBERİN ANALİTİĞİ IN ÇEMBER DENKLEMİ Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi; r = (x a) + (y b) dir. Bu formülün doğruluğu iki nokta arasındaki uzaklık formülünden çok rahat görülebilir. Çember Denkleminin Özellikleri: (x a) + (y b) = r denklemini düzenleyecek olursak; x + y ax by + a + b r = 0 a = A, b = B, a + b r = C olsun. Bu durumda çemberin denklemi; x + y + Ax + By + C = 0 olur. Bu denklemin; Merkezi: M(a,b)=M( A B, ) Yarıçapı: r = a + b C A B r = ( ) + ( ) C 1 r = A + B 4C dir. NOT! x + y + Ax + By + C = 0 denklemi; A + B 4C > 0 ise çemberdir. A + B 4C = 0 ise noktadır. A + B 4C < 0 ise boş kümedir. C = 0 ise çember orijinden geçer.* A = 4C ise çember x eksenine teğettir.* B = 4C ise çember y eksenine teğettir.* A = B = 4C ise çember x ve y eksenlerine teğettir.* DOĞRU İLE ÇEMBERİN DURUMU Doğru ile çemberin durumu iki şekilde incelenebilir. Birincisi; IMNI > r ise, doğru çemberi kesmez. IMNI = r ise, doğru çembere teğettir. IMNI < r ise, doğru çemberi iki noktada keser. İkincisi; Doğrunun denklemi ile çemberin denklemi arasında ortak çözüm yapılır, oluşan yeni denklemde, < 0 ise, doğru çemberi kesmez. = 0 ise, doğru çembere teğettir. > r ise, doğru çemberi iki noktada keser. ÇEMBER İLE ÇEMBERİN DURUMU
TEĞET NORMAL DENKLELERİ d b m n = (Normalin Eğimi) c a 1 mt = (Teğetin Eğimi) mn y y1 = mn(x x1 ) (Norm. Denk.) y y1 = m t(x x1 ) (Teğetin Denk.) BİR NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE UZUNLUĞU ve KUVVETİ P(x,y) ile T noktası arası uzaklık: IPTI = IPEI.IPFI IKTI = (x a) + (y b) r P(x,y) nin çembere göre kuvveti: P = IPEI.IPFI P = (x a) + (y b) r dir. Özetlersek! Bir P noktasının bir çembere göre uzunluğu veya kuvveti sorulduğunda P noktasının değerleri çember denkleminde x ve y yerine yazılır. Burada; p > 0 ise, p noktası çemberin dışındadır. p = 0 ise, p noktası çemberin üzerindedir.. p < 0 ise, p noktası çemberin içindedir. KUVVET EKSENİ İki çemberin denklemlerinin farkı, bu çemberlerin kuvvet ekseni olan doğrunun denklemini verir. KUVVET MERKEZİ Herhangi iki kuvvet ekseninin kesişim noktası kuvvet merkezidir. ÇEMBER DEMETİ Ç 1 : x + y + Ax + By + C = 0 Ç : x + y + Dx + Ey + F = 0 çemberlerinin kesim noktasından ve geçen doğrunun denklemi; Ç 1 + k( Ç 1 ) = 0 biçimindedir. Burada k nın farklı değerlerine karşılık farklı çember denklemleri elde edilir. ÇEMBERİN PARAMETRİK DENKLEMİ Bize verilecek denklemler trigonometri bilgilerimiz yardımıyla birlikte yazılmaya çalışılır.
YARIM ÇEMBER DENKLEMİ (x a) + (y b) = r şeklindeki çember denkleminde x ve y yalnız bırakılarak; x = a + r (y b) şeklinde x = a doğrusunun sağında kalan çember denklemi elde edilir. x = a r (y b) şeklinde x = a doğrusunun solunda kalan çember denklemi elde edilir. y = b + r (x a) şeklinde y = b doğrusunun üstünde kalan çember denklemi elde edilir. y = b r (x a) şeklinde y = b doğrusunun altında kalan çember denklemi elde edilir. MUHA MED TÜRKOĞLU MUHAMMET OĞLU AMMET TÜRKOĞLU VEKTÖRLER Bileşenleri aynı olan yönlü doğru parçaların kümesine vektör denir. Bir vektörde yön ve uzunluk kavramı vardır, yer kavramı yoktur. Başlangıç ve bitim noktası aynı olan vektöre sıfır vektörü denir. Uzunluğu 1 br olan vektöre birim vektör denir. Başlangıç noktası orijinde olan vektöre yer vektörü denir. AB vektörünün başlangıç ve bitim noktasının yeri değiştirilirse vektör işret değiştirir. AB = BA Uzunlukları aynı, yönleri aynı ve birbirine paralel olan vektörler denktir. Başlangıç noktası A ve bitim noktası B olan yönlü doğru parçası AB şeklinde gösterilir. VEKTÖRLERDE DÖRT İŞLEM A, B,C ve D vektörleri için, AB + BA = 0 AB + BC = AC AB + BC + CD = AD AB CD = AB + DC olduğu söylenebilir. VEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİ Uzunlukları ve yönleri eşit vektörlere denir. A = (a,b)ve B = (c,d) olmak üzere, A = B a = c ve b = d dir. VEKTÖRÜN UZUNLUĞU A = (x1,y 1) ve B = (x,y ) ise, AB = (x x1 ) + (y y1 ) A ile B vektörünün uzunluğu AB = AB = B A şekillerinde ifade edilebilir. Vektörün uzunluğuna norm da denir. VEKTÖRLERİN PARALELLİĞİ A = (x1,y 1) ve B = (x,y ) için x 1 y = 1 x y eşitliğini sağlayan vektörler paraleldir denir ve bu paralellik A // B şeklinde gösterilir. VEKTÖRLERİN DİKLİĞİ A = (x1,y 1) ve B = (x,y ) için x 1,x + y 1,y = 0 eşitliğini sağlayan vektörler diktir denir ve bu diklik A B şeklinde gösterilir. BİRİM VETÖR Boyu 1 br olan vektöre birim vektöre denir. A = (a, b) vektörü birim vektör ise, a + b = 1 dir. A vektörü ile aynı yöndeki birim vektör dir. A I A I A vektörü ile zıt yöndeki birim vektör A dir. I A I
LİNEER BİRLEŞİM x,y R için, x. A+ y. B vektörüne A ile B vektörlerinin lineer (doğrusal) birleşimi denir. LİNEER BAĞIMLILIK V 1,V,..., Vn birer vektör olmak üzere, k 1V1 + kv +... + knvn olacak şekilde hepsi aynı anda sıfır olmayan k 1,k,..., kn reel sayıları bulunabiliyorsa bu vektörlere lineer bağımlı vektörler denir. Lineer bağımlı vektörler uzay belirtmez. V 1 ile V vektörleri lineer bağımlı ise paralel vektörlerdir. İÇ (SKALER) ÇARPIM A = (a,b) ve B = (c,d) olmak üzere, A ile B vektörlerinin skaler çarpımı A B = a c + b d dir. Bu durum A B veya < A, B > şekillerinde gösterilir. İç (skaler) çarpımın sonucu bir reel sayıdır, vektör değildir. İÇ ÇARPIMIN GEO. YORUMU A B = A B cosα Burada; A // B A B = A B A B A B = 0 A ile B zıt yönlü paralel ise, A B = A B A A = A DİK İZDÜŞÜM VEKTÖRÜ A vektörün B vektörü üzerine iz düşüm vektörü C A B ise, C = ( ) B burada C vektörünün uzunluğu I B I I C I A B = dir. I B I Eğer, α > 90 0 ise, A B IBI ifadesi negatif çıkar ki iz düşüm vektörü B ile zıt yönlüdür. Bu durumda iz düşüm vektörünün uzunluğu çıkan sayının mutlak değerine eşittir. TÜR KOĞLU HAMMET TÜRKOĞLU KONİKLER MUHAMMED AŞKTÜRKOĞLU MUHAMMET Düzlemde sabit bir nokta ile sabit bir doğruya uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yerine konik denir. Burada; sabit olan F noktasına odak, sabit olan d IPFI doğrusuna doğrultman, sabit olan e = IPHI oranına da dış merkezlik denir. e < 1 ise bu konik elipstir. e = 1 ise bu konik paraboldür. e > 1 ise bu konik hiperboldür.
ELİPS Düzlemde sabit iki noktaya ( F ve F ) uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri elipstir. Burada; Elipsin Köşeleri : A, B, A, B dır. Elipsin Odakları : F ve F dir. IFF I = c Asal Eksen [AA ] doğrusudur. IAA I = a Yedek Eksen [BB ] doğrusudur. IBB I = b Elipsin Merkezi :O noktasıdır. x y Merkezil elipsin denklemi + = 1 dir. a b a, b, c arasında a = b + c bağıntısı vardır. Elipsi dışmerkezliği e = a c dır. a x = doğruları elipsin doğrultmanlarıdır. c Odak noktasından geçen ve asal eksene dik olan b kirişin uzunluğuna ( ) elipsin parametresi a denir. a b oranı elipsin basıklığıdır. a Elipsin Çemberleri: Asal Çember Çapı asal eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere elipsin asal çemberi denir ve asal çemberin denklemi: x + y = a dir. Yedek Çember Çapı yedek eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere elipsin yedek çemberi denir ve yedek çemberin denklemi: x + y = b dir. Doğrultman Çember Merkezi odak noktaları ve yarıçapı a br olan çembere elipsin doğrultman çemberi denir ve doğrultman çemberin denklemi: (x ± c) + y = (a) dir. Monge (Monj) Çemberi Bir elipste dik kesişen teğetlerin kesim noktalarının geometrik yeri çemberdir ve bu çembere Monge çemberi denir denklemi ise; x + y = a + b dir. Elipsin Parametrik Denklemi: x = a.cosα y = b.sinα Elips İle Doğrunun Durumları: x y + = 1 elipsi ile y = mx + n doğrusunun a b birbirine göre durumları incelenirken; bu denklemlerin ortak çözümü yapılır ki bulunan Ax + Bx + C = 0 şeklindeki II. dereceden denklemde; > 0 ise, doğru elipsi iki farklı noktada keser. = 0 ise, doğru elipse teğettir. < 0 ise, doğru elipsi kesmez. x a y + = 1 elipsi ile y = mx + n doğrusu için; b m.a + b > n ise, doğru elipsi iki noktada keser. m.a + b = n ise, doğru elipse teğettir. m.a + b < n ise, doğru elipsi kesmez.
Elipsin Teğet ve Normal Denklemler: x y + = 1 elipsinin üzerindeki A(k,n) noktasından a b k.x n.y elipse çizilen teğetin denklemi; 1 a + = b dir. Normalin denklemi de teğetin denkleminden yaralanarak bulunabilir. MUAMMED TÜRKOĞLU MUHAMMET HİPERBOL Düzlemde sabit iki noktaya (F ve F ) uzaklıkları farklı olan noktaların geometrik yeri hiperboldür. Hiperbolün Merkezi : O noktasıdır. Hiperbolün Odakları: F - F noktalarıdır. (IFF I=c) Hiperbolün Köşeleri : A ve A noktalarıdır. Asal Eksen [AA ] doğrudur. (IAA I = a) Yedek Eksen [BB ] doğrusudur. (IBB I = b) c Hiperbolün dış merkezliği e = dır. a Hiperbolün asimptotları b y = x doğrularıdır. a x y Merkezil hiperbolün denklemi = 1 dir. a b a, b, c arasında c = a + b bağıntısı vardır. a = b ise, bu hiperbol ikizkenar hiperboldür. N hiperbol üzerinde herhangi bir nokta ise; INFI INF'I = AA = a dır. a x = doğruları hiperbolün doğrultmanlarıdır. c Hiperbolün odak noktasından geçen ve asal eksene dik olan kirişe hiperbolün parametresi denir ve denklemi dır. Hiperbolün Çemberleri: Asal Çember: Çapı asal eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere hiperbolün asal çemberi denir ve denklemi: x + y = a dir. (Elips ile aynıdır.) Yedek Çember: Çapı yedek eksen uzunluğuna eşit olan çemberlere hiperbolün yedek çemberi denir ve denklemi: x + y = b dir. (Elips ile aynıdır.) Doğrultman Çember: Merkezi odak noktaları ve yarıçapı a br olan çembere elipsin doğrultman çemberi denir ve denklemi: (x±c) + y = (a) dir. (Elips ile aynıdır.) Hiperbol İle Doğrunun Durumları: x y = 1 hiperbolü ile y = mx + n doğrusunun a b birbirine göre durumları incelenirken, bu denklemlerin ortak çözümü yapılır ki bulunan Ax + Bx + C = 0 şeklindeki II. dereceden denklemde;
> 0 ise, doğru hiperbolü iki noktada keser. = 0 ise, doğru hiperbole teğettir. < 0 ise, doğru hiperbolü kesmez. x a y + = 1 hiperbolü ile y = mx + n doğrusu için; b m.a b > n ise, doğru hiperbolü kesmez. m.a b = n ise, doğru hiperbole teğettir. m.a b < n ise, doğru hiperbolü iki noktada keser. Eğer yukarıda yaptığımız hiperbol ile doğrunun ortak çözümleme sisteminden Bx +C = 0 şeklinde birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilirse; Doğru hiperbolü bir noktada keser. Bu doğru hiperbolün asimptotlarından birine paraleldir. Hiperbolün Teğet ve Normal Denklemi: x y = 1 hiperbolünün üzerindeki E(k,n) a b noktasından hiperbole çizilen teğetin denklemi; k.x n.y = 1 dir. a b Normalin denklemi ise teğetin denkleminden yaralanarak bulunabilir. PARABOL Düzlemde sabit bir doğru (d) ile sabit bir noktaya (F) uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeri bir paraboldür. Bu sabit doğru (d) doğrultman, sabit nokta (F) ise odaktır. Burada; Odağı F(c, 0) olan merkezil parabolün denklemi y = 4cx dir. y = 4cx parabolünün tepe noktası T(p, k) olan parabolün denklemi (y k) = 4c(x p) dir. Parabolün parametresi c dir. (Odak ile doğrultman arası uzaklıktır.) Doğrultman doğrusu x = c dir. IFNI Dış merkezlik e = = 1 dir. INAI P, N, K noktaları parabol üzerinde ise, IANI = INFI, IBKI = IKFI, IHPI = IPFI dir. Parabol İle Doğrunun Durumları y = 4cx parabolü ile y = mx + n doğrusunun birbirine göre durumları incelenirken ortak denklem yazılır, bulunan II. dereceden denklemde; > 0 ise, doğru parabolü iki farklı noktada keser. = 0 ise, doğru parabole teğettir. < 0 ise, doğru parabolü kesmez. y = 4cx parabolü ile y = mx + n doğrusu teğet ise; c = mn dir.
Parabolün Teğet ve Normal Denklemi: y = 4cx parabolünün üzerindeki A(k,n) noktasından parabole çizilen teğetin denklemi; ny = c(k + x) tir. Normalin denklemi ise teğetin denkleminden yaralanarak bulunabilir. MUHAM MET TÜRKOĞLU KATI CİSİMLER D Şekildeki gibi paralel ve eş iki yüzeyin birleşmesiyle elde edilen cisme prizma denir. Burada prizma yüzeylerinin kesim çizgilerine ayrıt denir. Yanal ayrıtları tabana dik olan prizmalara dik, yanal ayrıtları tabana eğik olan prizmalara da eğik prizma denir. Dik Prizmanın Alanı ve Hacmi Yanal Alan = Taban Çevresi x h Alan = Yanal Alan + x Taban Alanı Hacim = Taban Alan x Yükseklik Eğik Prizmanın Alanı ve Hacmi Yanal Alan = Ç(S d) x Alan = x S + Ç(S d) x S d = S x sinα Hacim = S d x = S x h S d = Dik Kesit Alanı S = Taban Alanı = Yan Ayrıt Uzunluğu h = Yükseklik PİRAMİT Düzlem üzerindeki herhangi bir geometrik şeklin tüm noktalarıyla düzlemin dışındaki bir P noktasının doğrusal olarak birleşmesiyle elde edilen şekle piramit denir ve (P,ABCD) şeklinde gösterilir. [PO] : Cisim köşegeni [PH] : Yan yüzey yüksekliği Özellikleri: Yan yüzeyleri üçgenlerden oluşur. Yanal alanı, yan yüzeyleri oluşturan üçgenlerin alanları toplamıdır. Bütün alanı, taban alanı ile yanal alanın toplamıdır. Hacim= 3 1 x Taban Alan x Yük. NOT! En sık soru gelen piramit çeşitleri Düzgün dörtyüzlü, Düzgün Sekizyüzlü, Konidir. Düzgün Dörtyüzlü Tabanı ve yan yüzeyleri eşkenar üçgen olan piramide düzgün dörtyüzlü denir. Bir aygıtının uzunluğu a br olan düzgün dört yüzlüde; a 6 Yükseklik = h = 3 Alan = a 3 4 = a 4 1 a 3 a 6 Hacim = 3 4 3 3
Düzgün Sekizyüzlü Tabanları ortak yan yüzeyleri eşkenar üçgen olan iki düzgün kare piramidin taban tabana yapışmasıyla elde edilen cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlünün; Cisim Yüksekliği: IEFI = a Alan = a 3 8. = 3a 4 Hacim = 1 a a 3 a = 3 3 (m(eaf)=90 0 dir.) Koni Tabanı daire olan piramide koni denir. Koninin açık hali; Koninin özellikleri; Yanal Alanı = π.r.l Toplam Alanı = π.r + π.r.l 1 Hacmi = π r.h 3 r α = l o 360 KÜRE Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi, bu yüzeyin sınırladığı bölgeye küre cismi denir. Kürenin Özellikleri; Alanı = 4.π.r Hacmi = 4 3 π r 3 Küre kapağı(kuşağı) Alanı = πrh α Küre Dilimi Alanı = 4π r. + πr o 360 4 3 α Küre Dilimi Hacmi = π r 3 o 360 UZAYDA KÜRE Merkezi M(a, b, c) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi ( x a) + (y b) + (z c) = r dir. x + y + z + Ax + By + Cz + D = 0 şeklindeki genel denklemi ile verilen kürenin merkezi A B C M(,, ) ve yarıçapı 1 r = A + B + C 4D dir. Özel Küre Denklemleri: Merkezil küre denklemi: x + y + z = r Koordinat düzlemlerine teğet küre denklemi: ( x a) + (y b) + (z c) = r xoy düzlemlerine teğet küre denklemi: ( x a) + (y b) + (z c) = r xoz düzlemlerine teğet küre denklemi: ( x a) + (y b) + (z c) = r yoz düzlemlerine teğet küre denklemi: ( x a) + (y b) + (z c) = r ET TÜRKOĞLU
UZAY GEOMETRİ NOKTA Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten bir geometrik terimdir. Tanımsızdır. DOĞRU (R) Sonsuz noktanın doğrusal olarak birleşmesidir. Doğru Parçası: Doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki parçadır. AB doğrusu: [AB ışını: [AB] doğru parçası: [AB[ yarı açık doğru parçası: ]AB[ açık doğru parçası: DÜZLEM (R ) Enine ve boyuna her iki yönden sonsuza giden doğrular kümesini içinde bulunduran noktalar kümesidir. UZAY (R 3 ) İçerisinde bulunduğumuz boşluk diyebiliriz. Üç boyutludur. Nokta, Doğru, Düzlem ve Uzay Aksiyomları: Bir noktadan birden fazla (sonsuz) doğru geçer. Farklı iki noktadan bir doğru geçer. Doğrusal olmayan faklı üç noktadan bir düzlem geçer. Uzayda düzlemin dışında en az bir nokta vardır. n tane doğru düzlemi en az (n+1), en çok n(n + 1) + 1 bölgeye ayırır. n(n 1) n tane doğru en fazla noktada kesişir. Düzlemde iki doğru; çakışık olabilir. paralel olabilir. kesişebilir. Uzayda iki doğru; çakışık olabilir. paralel olabilir. kesişebilir. aykırı olabilir. Uzayda iki düzlem; çakışık olabilir. paralel olabilir. kesişebilir. ÖLÇEK AÇI m(abc) açısına yani iki düzlem arasındaki açıya ölçek açı denir. TEMEL DİKLİK TEOEMİ Bir düzlemde kesişen iki doğruya kesişme noktasında dik olan doğru düzleme de diktir.
İZ DÜŞÜM d / = d. cosα NOT! : A(A / BC) = A(ABC). cosα ÜÇ DİKEME I [AB], P düzlemi içindeki d doğrusuna dik ise; [AB] nin P düzlemine dik iz düşümü olan [A / B] de d doğrusuna diktir. MMED TÜRKOĞLU MUHAMMET TÜRKOĞLU TÜRKOĞLU UZAYDA TEMEL KAVRAMLAR Elemanları farklı düzlemlerde bulunan geometrik cisimleri ve bunların özelliklerini inceleyen geometriye uzay geometri denir. Uzay : Hepsi aynı düzlemde olmayan noktaların kümesine uzay denir. Uzay üç boyutludur. Uzay Aksiyomları : Uzayda düzlemin dışında en az bir nokta vardır. Uzayda iki doğru; çakışık olabilir. paralel olabilir. kesişebilir. aykırı olabilir. Uzayda iki düzlem; çakışık olabilir. paralel olabilir. kesişebilir. Uzayda farklı iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. Doğrusal olmayan faklı üç noktadan bir düzlem geçer. Uzayda kesişen yada paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir. TÜRKOĞLU UZAYDA DİK KOORDİNAT SİSTEMİ A(a, b, 0), B(0, b, c) C(a, 0, c), D(a, b, c) xoy, xoz ve yoz düzlemlerine koordinat düzlemleri denir. Bir birbirine dik olan x, y ve z sayı eksenlerinin birleşimine dik koordinat düzlemleri denir. Bir Doğru Parçasının Orta Noktası ve Uzunluğu:
UZAYDA VEKTÖRLER A = (a, b, c) ve B = (d, e, f) vektörleri için, A + B = (a + d, b + e, c + f) A B = (a d, b e, c f) k. A = (k.a, k.b, k.c) I AI = a + b + c IABI = (d a) + (e b) + (f c) a b c A // B = = dir. d e f A B a d + b e + c f = 0 AB = B A A B = a d + b e + c.f = A B cosα NOT! Düzlemdeki vektörler için bildiklerimizi benzer şekilde uzaydaki vektörler içinde kullandığımıza dikkat ediniz. UZAYDA DOĞRU DENKLEMLERİ P(x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve U = (a, b, c) vektörüne paralel olan (doğrultmanı U = (a, b, c) olan) doğrunun kartezyen denklemi x x 1 y y1 z z1 = = k a b c = iken parametrik denklemi x = a.k + x 1, y = b.k + y 1, z = c.k + z 1, şeklindedir. A ve B noktalarından geçen doğrunun doğrultmanı U = (a,b,c ) dir. Doğrultmanları paralel olan doğrular paraleldir. Doğrultmanları dik olan doğrular diktir. Uzayda doğrular arasındaki açı, doğrultmanlar arasındaki açıya eşittir. (Bu açı cos α = N1 N ile bulunabilir.) IN1 I IN I UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİ E düzlemi içinde bir A(x 1, y 1, z 1) noktası ve bu düzleme dik olan N = (a, b, c) vektörü verilsin. Bu durumda E düzleminin denklemi E : a(x x 1) +b(y y 1) + c(z z 1) = 0 olur. N = (a, b, c), E düzleminin normal vektörüdür. Normal vektörleri paralel olan düzlemler paraleldir Normal vektörleri dik olan düzlemler diktir. İki düzlem asındaki ölçek açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin arasındaki açıya eşittir. N1 N (Bu açı cos α = ile bulunabilir.) IN I IN I 1
Uzayda Doğru İle Düzlemin Birbirine Göre Durumları Düzlemin normali ile doğrunun doğrultmanı paralel ise doğru düzleme diktir. Düzlemin normali ile doğrunun doğrultmanı dik ise doğru düzleme paraleldir. Doğru ile düzlem arasındaki açı, doğrunun doğrultmanı ile normali arasındaki açının tümlerine eşittir. UZAYDA NOKTANIN DÜZLEME UZAKLIĞI A(k, n, p) noktasının E: ax + by + cz + d = 0 düzlemine uzaklığı; Ia k + b n + c p + di IAHI = a + b + c dır. Uzayda Paralel İki Düzlem Arası Uzaklık Paralel olan E 1: ax + by + cz + d 1 = 0 ile E : ax + by + cz + d = 0 düzlemleri arasındaki uzaklık; IABI = Id1 d I dir. a + b + c Uzayda Doğru İle Düzlemin Kesişme Noktası Doğrunun denklemi parametrik olarak yazılır. Düzlem denkleminde x, y, z yerine parametrik değerler yazılır ve kesişme noktaları bulunur. Uzayda İki Düzlemin Arakesit Doğrusu Değişenlerden birinin yerine k yazılır. Kalan iki değişkeden biri yok edilerek diğer değişken de k cinsinden bulunur. Bunlara bağlı üçüncü değişkende k cinsinden bulunur. Böylece doğrunun parametrik denklemi bulunmuş olur. Düzlem Demeti Paralel olmayan E 1: ax + by + cz + d = 0 E : ex + fy + gz + h = 0 düzlemleri verilsin. Her k R için E 1 + k.e = 0 ifadesi E 1 ile E düzlemlerinin arakesit doğrusunu içinde bulunduran yeni bir düzlem belirtir. (Burada k reel sayısı için uygun değerler verilerek soru çözülür.) Uzayda Üç Noktası Bilinen Düzlemin Denklemi E düzlemi üzerinde A(x 1, y 1, z 1), B(x, y, z ) ve C(x 3, y 3, z 3), noktaları verilsin. E düzlemi üzerinde değişken bir P(x, y, z) noktası seçilir ve AP = (x x1,y y1,z z1) AB = (x x1,y y1,z z1) AC = (x3 x1,y 3 y1,z3 z1) vektörleri oluşturulur. Bir düzlemde paralel (veya düzlemin içindeki) üç vektörün determinantı 0 (sıfır) dır. MUHAMMED TÜRKOĞLU