49
Yazılan anüç adet şart denkleminin tamamı çizelge 10 da gösterilmiştir. Bu şart denklemlerinden normal denklemlerin kurulması ve normal denklemlerin çözümü ile (v) hata miktarlarının hesaplanması Commodore 64 bilgisayarı ile yapılmıştır. Bilgisayardan çıkan neticeler çizelge 11 de görülmektedir. 50
5Î
Şart denklemlerinden normal denklemleri kuran ve çözen-ayrıca >(v) hata miktarlarını hesaplıyan bilgisayar programı tarafımdan BASIC dilinde hazırlanmıştır. Program metni ve bilgilerin verilişi yazımın sonuna eklenmiştir. Dengelemeden sonra Üçgen, Kenar ve Raz şartlarının kontrolları alışıla gelen şekilde yapılır. Koordinat şartlarının kontrolü, dengeli açı ve kenarlarla yeniden koordinat hesabı.yapmakla sağlanacağı gibi çizelge 12 de gösterildiği şekilde de yapılabilir. (a) sütunu çizelge 6 daki (v) değerlerinin toplamları ile bu lunur. (b) sütunu çizelge 5 deki (v) değerlerinin toplamlarının Sin. ve Cos artış miktarları ile çarpımları toplamı ile bulunur. (c) sütunu (a) sütunundaki değerlerin çizelge : 6 daki Sin. ve Cos artış değerleri ile çarpımıyla bulunur. 52
(d) sütunundaki değerler çizelge : 7 de hesaplanan bir birim logaritma artışına tekabül eden (dy) ve (dx) lerde meydana gelen Cm. artış miktarlarıdır. Örnek olarak çizelge : İ2'nin son satırını hesaplıyalım : vl3 vl4 v24 v29 v32 11.2343 (a) 0.132 (v21 vl9) 0.560 (v32-~~ v31) 0.9894 (b) 112343 x< 0.642) 72İ24 (c) 11.2343 x. ( 0.725) 8.1449 <c) ( 0.9894 7.2124) x 0.6314 3.9292 d/ ( 0.9894 8.1449) x 0.5927 ------------------------5.4230 dx f (N.4-N.5) kenarı semtinin arazide 361.74458 grad olarak ölçüldüğünü kabul ederek çizelge : 1 deki Genel Abris'te dengelenmiş açılarla kenarların semtleri bulunmuş ve bütün kenarlar hesaplanmıştır. Bu semt ve kenarlarla bağımsız şebekenin koordinat hesabı çizelge : 13 te gösterilmiştir. m
BİLGİSAYAR PROGRAMI : Ekli bilgisayar programı Commodore 64 bilgisayarı ile BA- SIC dilinde yazılmıştır. Şart denklemleri programın sonunda DA- TA'larla verilmektedir. Şart denklemlerinin.datalarla veriliş sırası aynen çizelge : 10 daki yazılış sırasındadır. Misalimizde çizelge : 10 daki her.satır ayrı bir data ile verilmektedir. Çizelge : 10 da boş olan yerler,için datalarda 0. (sıfır), yazılmıştır.. Program, çalışmaya başladığında bize şart denklemlerinin sayısını ve şebekedeki istikamet sayısını sorar. Misalimizde şart denklemlerinin sayısı 13, istikamet sayısı ise 32 dir/bü değerler verildikten sonra bilgisayar ekranda sıra ile önce normal. denklemleri verir. Daha sonra da (v) değerlerini hesaplıyarak onları yazar. Şayet bilgisayarın bilgiyazarı varsa devam (CQNT) : 'komutu ile de çizelge : 11 deki cetveli yazar. " KAYNAK : Prof. Ekrem ULSOY - Dengeleme Hesabı. Enküçük Kareler. Metodu..(î.D.M'J/LA. Yayınları Sayı : 87) S 0B REM ŞART OEfKLEMLERÎNÎN DfiTfl' LARLflı VERİCİSİ *..."-> 2002 OflTA 0,-1,0,0,0,0,0,0,-1,0.480,0,0,0.480 2004 DfiTft -1,1,0,0,0,8,0,0,0,-0.480,0,8,-0.480 2SSB DflTfi 3,0,0,0,0,0,9,-1,0,83,0,0,-0.S6S 2888 OflTA İ,ö,0,0,0,0,0, 1, 1,S,Ü,8,S.56G 2010 DfiTft 0,0,-1,0,O,0,8,0,-1,0.498,9,0,0.436 013. DfiTfl 3,-1,.1,0,3,8,0,8,0,-1. 03 1,0,8,-1. 05 i 2014 DftTft 0,1,0,0,0,0,0,3,1,8.535,S,0,0.SS5 ' ' 201S- DftTfl 0,8,-0/-l,-l,0.,0,0,-1,0,-0.0579,-0.226 1,0. 324 3018 DATfl 0,0,0,0,l,0,0,0 /; B',a,a.0G37,0,S343,-a.3S4 2020 pfltft 0,0,-1, 1,0,0,0,0,0,-0.'5S3,-0.00"Sa,-0.00Ö2,~0.SS3 ; S022' DATA 0,0,1,0,0,0,0,0,1,0.559,0,0,0.353 2024 DflTfl 0,0,0,0,0,-1,0,0,-1,8,(3,0,3.731: '... 2Ö2.S. aafa g,0,a / a /.-r,ı,0,0,e,0,0.3071,-0.3620,-0.701.323 DfiTA 0,0,0,-1,0,0,0,0,0,-13.533,-0.3071,0.5820,-3.833 2033. CflTfl 0,0,0,1,1,0,0,0,1,0.^30,0,8,0.533 ' e'03'2 1 Dflffl 0',0,'0,0;Ö,0,-1,0,-1,3,0,9,0.341 2034 DATft 0,0,0,0,8,-1,1,0>0,0,0/0,-1.1»?.. -..... 20,3.6 Dflffl ZiQW ı Z r a-; t i,8,0, I,0,8,Q,Oo 57G 2B33 DfiTft -I,0,0,0,0,0)'0,~1,-l.,0.303, e. BSB0,0.8138, 0.503 2040 DflTA i,0,0,0,o,0,0,0,-0>-0'.s«fs,-0'.is-13,-0.297s,-e.''s0a " -. 2042 DflTft 0, : 0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0.0833,0.0784,-0.510 034 D?!^ 9,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0.513.... 2.045 DATfı r:l,0>0,s,.0,0,0,0v0, -8*443,-0. 1.333,-0. $Sli-0. 443 204a" DfiTA İ,- 1,0,Ö,Ö,0,0,0,0,0.443, -8.2643,0. 4SS4,0.443 030 Dfl T fi 0,1,-1,0,3,0,0,0,0,0,0,3,0. '.. -.-.... 2052 DfiTfl 3,0, 1,-1,3,0V0,0,8,0.830,-0.45 3, -0.6338,0.850 2054 DftTft S,3,0,1,3,0,0,0,0,-3.850,0.8433,0.4335,-8.OSS 2055 OflTfi).,3,3,0,0,-1,0,3,0,0,a;"0-. 1446,0.5321,-ff.'736' ' : ;... - 3850 D-ftTfl 0, ; 8; i ; ; 8;0,i;-l,0,0,0,0,-0.5508,-0. 1017,0.73S 2060 CfiTfl_0_ i ŞL ; _0 ı 0,0,1,-1,0,0,0,8,3,3... 2062~Dİ»t 0,3T3,ST370,T;-İ,0,3,0.3336,0.33HS/0.SEB~... ' '... -----... -----... "- - 2364 DfiTfi 0,3,0,0,3,3,3, 1,0,0,8.BS13y-8;-7-6a3,-0.360 2BSS CftTfl -5.3,6.6,6.2,-1.6,3.2,-S.6,-1.5,-3.2,7.e,ia. â,-7.â,6.3,ı e.ı 4 '54
55
358 B<M,Î)=8<M,Î >+N<lM, i ) 360 E<M,Î)'3-I*8<M,Î?/B<M,M) 37 NEXT IÎNEKT J 38 A<Z><>E<Z,Y> 33 FOR I-?/ TQ 2 STEP-İ 400 M*l-1 4Î0 FO.R J~M TO î STEP-1 420 R<İJ, I Jaft<I)*E<J^I) 430 N XT J 440 FOR SM TO 2 450 A<M)*=f=î<M>-ff?<M,S) 460 NEXT S 478 A<M)-fl<M>+E<M # Y> 430 NEXT î 430 PR INT " <K > DEĞERLER I s..... a»... - 5 0 FOR i=i TO Z 510 PRIMT TflB(8);"K(".;!;") = ";fl(i) S20 rcmt I. 330 INPUT "<V) DEĞERLERİ IC1N RETUN'E BAS";S* 54 FOR 1-1 TO X 5S8 FOR J»l TO Z 530 V< I,J)=\t<l,J)*A<J) S70 H< I )»HC! )+V<-I,J> 380 hckt J:^CXT I 390 PR INT " < V ) DEĞERLER î s...» SOS FOR 1*1 TO H İ8 PRÎMT T38<3?! "V-: "; I; " ) = " ; H < î J 820 ME^T I 630 ir (PUT» ai? ÖRT. HATrt ICIN RETURN'E BAS"; 3* {548 VVsOiKN»e 5S FOR 1=1 TO X 6S0 W»W +H ( 1 ) «H < I ) / ı 70 NEMT I S80 FOR I. = l FO 2! 30 KU-Ky+A< î?*n<x e Y) 733 NEMT I_ " 710 M» ar<vv>'z> 720 PRiNT 738 FRINT "TOPLflM CVV3a";VV 74 PRINT "TOPLAM - KU3 "iass<ku) 738.PRINT. 760 PRİNT "ORTftLMA HATA M»+/-";M 770 STOP 77? PRİNT * 78 PRÎNT «ÎSIN rtoî s w îîhput I» :.79 PRÎNT *ÎSÎN YAPİLDİ! ILs-sîNTUT K^ 56
57
DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ" ; ' ;; D ç. Dr. Ergürs ÖZTÜRK -'..-.: Karadeniz Üniversitesi ÖZET.... - '. " ; " : Nirengi ağlarında ana, ara, tamamlayıcı ve dizi nirengi nokta-' larına ilişkin doğrultu gözlemleri ve uzunluk ölçülerinin, bir yüzey. ağı olarak topluca dengelenmesi konusu ele alınmıştır. Ölçülerin", hesap yüzeyine indirgenmesi için gerekli bağıntılar verildikten son-; ra, ağın ölçek, konum ve yönünün belirlenmesi, gözlemlerin ağırlıklarının saptanması konuları ayrıntılı olarak açıklanmıştır. ÜoğruK tuları ve (kenarları ölçülen bir yüzey ağının dolaylı (endirekt) ölçüler yöntemi ile dengelenmesi işlemleri,'düzeltme denklemlerinin kurulması ve indirgenmesi aşamasından başlayıp klasik dengeleme hesabının akış sırası izlenerek; sonuç denetimleri, duyarlık hesapları ve model hipotezinin testi bölümleri ayrıntılarıyla verilmiştir; Kuramsal temelleri açıklanan işlemlerin tümü, 23 noktalı bir yüzey ağına uygulanmış ve sayısal sonuçları özetlenmiştir. /. GİRİŞ Günümüzde ölçme araçlarının hızla gelişmesi sonucunda nirengi ağlarındaki alışılagelmiş ölçü türleri de klasik tanımlarım yitirmiştir. 1970 li yılların ortalarına kadar geçerliliğini koruyan baz ölçüleri, bugün artık yerini elektronik uzunluk ölçülerine bırakmıştır. Bölgesel nirengi ağlarında sınırlı sayıda baz ölçüsü yerine çok sayıda uzunluk ölçülebilmektedir. Kapalı üçgenlerden oluşan kja- 58
sik nirengi ağlarının yerini, bir noktadan-görülebilen. tüm doğrultuların gözlendiği, ölçülebilir.kenarların tümünün elektronik uzaklık ölçerlerle ölçüldüğü Doğrultu-Kenar Ağları almıştır. Alışılagelmiş gözlem karneleri, ya da baz ölçüsü çizelgeleri yerine, ölçülerin sayasal, alarak -depolandığı.-, manyetik..bandlar..(ölçü kasetleri) kullanılmaktadır. Ölçülerin, hesap yüzeyine indirgenmesi ve dengeleme işlemlerinin elle yapıldığı günler artık gerilerde kalmıştır. Doğrudan manyetik bandlarda depolanan veriler, bilgisayarların doğru ve hızlı hesap yapma olanald'arm4an yararlanarak indirgenip dengelenebilmektedir. Klasik yolla ölçülen bazların hatasız değerler olarak ele alındığı, kapalı üçgenlerden oluşan nirengi 'ağlarının ana, ara., ye tamamlayıcı nirengi olmak üzere aşama sıralı (hiyerarşik) yolla ayrı ayrı dengelendiği yöntemler tarihe karışmak.üzeredir. Günümüzde ana, ara, tamamlayıcı ve dizi nirengi noktalarının tümü, gözlemlerin ağırlıkları uygun seçilip, bazların hatasız oldukları türünden zorlayıcı varsayımlara gerek ^almaksızın, bilgisayarlar 'aracılığı ile Bir kerede, topluca dengelenebilmektedir. Sözgelimi Şekil 4 de verilen ÎT ana, 7 ara ve 3 tamamlayıcı nirengi olmak üzere toplam 23 noktadan oluşan yüzey ağının' dengeleme işlemleri, Karadeniz t)riiyersitesi Bilgi îşlem.merkezinde 64 KB ana bellek gerektiren bir FÖkTRÂN programı ile '2 dakikalık bir hesaplama zaniânı harcanarak gerçekleştirilebilmektedir. Dolaylı (encürekt) ölçüler yöntemi programlamaya, koşullu (şartlı) ölçüler yönteminden, daha yatkındır, Bir noktada,. kapalı üçgenler;. oluşturup oluşturmadığına bakılmaksızın, görüş..olanakları elverdiğince ; tüm doğrultuların gözlendiği. ve ağda ölçülebilir kenarların tümünün elektronik uzaklık ölçerlerle ölçüldüğü karmaşık ağlarda koşul denklemlerinin kurulması başlı başına bir sorun olur, çok fazla zaman ve- emek gerektirir. Buna karşın dolaylı ölçüler dengelemesinde düzeltme denklemlerinin yazılması, koşul denklemleri ile kıyaslanamayacak derecede basittir. Ayrıca, dolaylı ölçüler dengelemesinde kolaylıkla elde edilebilen dengeli değerlerin ya da bunların fonksiyonlarının duyarlıkları '(ortalama hataları), koşullu ölçüler, dengelemesinde.^karmaşık ve -uzun; işlemler sonucunda elde edilirler. Bu nedenle lüüengiağları ikoşullu. ölçüler..yöa- 59
temiyle dengelenirken, ölçü ve hesap duyarlığı.konusunda birim ölçünün ortalama hatası rn o 'ın verdiği bilgi ile yetinilmektedir. Buna karşın bir nirengi ağı, dolaylı ölçüler yöntemi ile dengelenirse koordinatların ortalama hataları, nokta konum hataları, hata elipsleri, güven elipsleri gibi duyarlık ölçütleri kolaylıkla hesaplanabil- inektedir.- 2. ÖLÇÜLERİN İNDİRGENMESİ Dolaylı ölçüler dengelemesinde, problemin tek 'anlamlı çözümü için gerekli ölçü sayısı kadar bilinmeyen seçilir. Ölçülerin kesin değerleri, bilinmeyenlerin fonksiyonu olarak yazılıp dengelemenin «Fonksiyonel Modeli» oluşturulur. Bilinmeyenlerin seçimi hesap yüzeyine bağlıdır. 1 : 2500 ve Daha Büyük Ölçekli Harita ve Planların Yapıl masına Ait Teknik Yönetmelik hükümlerine göre kurulan yerel ağ larda, hesap yüzeyi düzlemdir. Bu ağlar dengelenirken yerin şekli düzlem alınmakta ve tüm ölçülerin düzlemde yapıldıkları varsayıl maktadır. Bu nedenle bağımsız yerel ağlarda ölçülerin hesap yüze yine indirgenmesi sorunu ile karşılaşılmaz. Ağ noktalarının düzlem koordinatları bilinmeyenler olarak seçilirler. 1. 5000 Ölçekli Standart Topoğrafik Fotogrametrik Harita Yapımına Ait Teknik Yönetmelik hükümlerine göre kurulan ağlar, Ülke Nirengi Ağma bağlanmaktadır. Ağ noktalarının Gauss-Krüger Projeksiyonu yüzeyindeki düzlem dik koordinatları bilinmeyenler olarak seçilirler. Bu ağları dengeleyebilmek için fiziksel yeryüzün de yapılan ölçüler, önce referans elipsoidi yüzeyine indirgenir. Elipsoid yüzeyine indirgenmiş ölçülere (s - S) ve (t-t) düzeltmeleri eklenerek projeksiyon düzlemine indirgenmiş ölçü değerleri elde edilir. Yatay doğrultu gözlemlerini referans elipsoidine indirgeye bilmek için gerekli düzeltmelerin toplamı, 0. CG 06 den daha küçük tür. Ulaşılabilen ölçü duyarlığından 50 kat daha küçük olan bu in dirgeme işlemi göz ardı edilebilir. Başka bir deyişle, fiziksel yer yüzünde yapılan yatay doğrultu gözlemlerinin doğrudan elâîpsoid üzerinde yapıldıkları varsayılabilir.. m
Elektronik uzaklık ölçerlerle ölçülen eğik uzunluklar Z, durulan ve bakılan noktaların deniz yüzeyinden olan yüksekliklerinin elipsoid yüksekliklerine eşit oldukları varsayılarak H = h aşağıdaki bağıntılarla referans elipsoidi yüzeyine indirgenir. Bu eşitliklerde; I : Elektronik uzaklık ölçerlerle ölçülen eğik (uzay) uzunluk, h : Elipsoidin kiriş uzunluğu, S : Elipsoid yüzeyine indirgenmiş uzunluk,. 61
H : Jeoidten yeryüzüne kadar olan uzunluk, -... ' (deniz yüzeyinden olan yükseldik) >. : h : Elipsoidten yeryüzüne kadar olan uzunluk, (elipsoid yüksekliği) N: Jeoidten elipsoide :»v ~»». ' ' : - ^ : : R : Çalışma bölgesinde yer küresinin yarıçapıdır. (Gauss - Küresinin yarıçapı) Kenar uzunlukları 10' km. yi geçmeyen ağlarda ölçülen uzay (eğik) uzunluklardan (/ ) düşey açı gözlemleri Z yardımıyla l y = l u sinz Yataya indirgenmiş uzunluk elde edildikten sonra aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır ve bu S uzunluğu elipsoid yüzeyindeki jeodezik eğrinin uzunluğu olarak alınabilir. Bu bağıntıda R Gauss küresinin yarıçapını, H = (Hİ + İHt)/2 kenarın deniz yüzeyinden olan ortalama yüksekliğini gösterirler. Elipsoid yüzeyine indirgenmiş kenarlardan bağıntısı ile Gauss - Krüger Projeksiyonu yüzeyine indirgenmiş uzunluk ve doğrudan elipsoid yüzeyinde gözlendikleri varsayılan yatay doğrultulardan eşitliği ile Gauss - Krüger Projeksiyonu yüzeyine indirgenmiş doğ rultu elde edilirlerrjpk ve P* noktalarimn Gauss - Krüger Projeksi yonu yüzeyindeki sağa ve yukarı değerleri yaklaşık olarak hesap landıktan sonra söz konusu noktaların Gauss - Krüger düzlem koordinatlarının yaklaşık değerleri : ; 62
.,... x =.- yukarı ;, -. : - y = sağa - 300.000 eşitliklerinden bulunur. Şekil 2. Gözlenen. doğrultuların projeksiyon yüzeyine indirgenmesi. Birkaç dilimi kapsayan büyük ağlarda noktaların elipsoidal enlem y, ve boylamları X bilinmeyen olarak seçilirler. Bu türden büyük ağlar ya da ülke nirengi ağları dengelenirken hesap yüzeyi olarak elipsoid seçildiğinden ölçüler önce elipsoid yüzeyine indirgenir. Dengeleme işlemleri elipsoid yüzeyinde yapılır. ' : 3. AĞIN KONUM, ÖLÇEK VE YÖNÜNÜN'BELİRLENMESİ Doğrultu - Kenar ağlarında yapılan doğrultu gözlemleri ve uzunluk ölçüleri, ağın sabit bir koordinat sistemindeki konumu ve yönüne ilişkin hiçbir bilgi taşımazlar. Yalnızca doğrultuların gözlendiği bağımsız ağlarda ağın ölçeği de belirsiz kalır. Nirengi- ağlarında ölçülerin dışındaki bir.kaynaktan elde edilmesi gereken bu bilgilere ağın «Dış Parametreleri» denir. Yalnız doğrultuların gözlendiği bağımsız ağlarda dış parametrelerin sayısı dörttür. Bunlar; koordinat eksenleri.yönünde iki öteleme, bir dönme ve bir ölçek kats'ayisıdır. Bu türden ağlarda dış parametreler, iki noktaya başka bir ağdan koordinat taşınıp söz konusu noktalar sabit alınarak ya da ağın ortalarında bir noktanın koordinatları x 50000, y == 50000 seçilip ağda bir kenar ve bir de semt ölçüldükten sonra tüm bu değerlerin hatasız oldukları varsayılarak belirlenirler, 63
Doğrultu - Kenar ağlarında ölçülerin dışındaki bir kaynaktan elde edilmesi gereken parametrelerin sayısı üçtür. Koordinat eksenleri yönünde iki öteleme ve bir dönüklükten oluşan bu parametreler, 'ağın bir noktasına başka bir ağdan koordinat taşıma ve bir kenara semt taşıma yoluyla belirlenebilirler. Söz konusu problem, ağm ortalarında bir noktanın koordinatları x=50 000, y=50 000 seçilip ağın bir kenarının semti de astronomik gözlemlerle belirlendikten sonra bunların hepsinin, hatasız oldukları varsayılarak da çözülebilir. Ağı oluşturan noktaların tümünün koordinatlarının bilinmeyen olarak seçildiği «Serbest Âğlarda» bu dış parametreler, [pvv] = min. Gauss'un En Küçük Kareler İlkesi gereğince kurulan normal denklemlerin [dx 2 '+ dy 2 ] = min. koşulunu sağlayacak biçimde «Bilinmeyenleri Arasında Koşul Denklemleri Bulunan Dolaylı Ölçüler Dengelemesi» yöntemiyle çözülmesi sonucunda belirlenebilirler. Söz konusu ağlarda ağm dış şerbetlik derecesi kadar olan belirsizlik, normal denklem katsayılar matrisinin tersi, MOORE - PENROSE (psoydo ters) yöntemiyle hesaplanarak giderilebilir. Aynı sonucu veren heriki çözüm şeklinde de bilinmeyenler, yalnızca ölçülerin duyarlıklarına bağlı olarak zorlamasız bir yöntemle elde edildiklerinden ortalama m o ölçülerin kendi aralarındaki tutarlılığı, ortalama koordinat hatası m s, m y «Ağm İç Duyarlığını» gösterirler. Serbest ağ dengelemesi genellikle çok duyarlı ölçülerin değerlendirilip sonuçların istatistik yöntemlerle yorumlandığı «Deformasyon Ölçülerinin Değerlendirilmesi» probleminin çözümü için uygulanmaktadır. Bu yolla elde edilen koordinatların dayalı bir ağ olarak değerlendirilmesi istenirse, sabit nokta koordinatlarından yararlanarak uygulanacak bir «Benzerlik Dönüşümü» (Helmert dönüşümü) yeterli olur. 64