5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli ike, Kaoik form Dual Yapılarda daha kullaışlıdır. Kaoik Form Stadart Formu Yapısı a.) Amaç foksiyou maksimizasyo amaçlı olmalıdır. b.) Kısıt deklemleri şeklide ifade edilmelidir. c.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır. a.) Amaç foksiyou maksimizasyo ya da miimizasyo amaçlı olabilir. b.) Tüm kısıt deklemleri (=) şeklide ifade edilmelidir. c.) Sağ taraf sabitleri egatif olmaya değerler almalıdır. d.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır. 3 3 4 4 ) Optimizasyou alamıı değiştirme Herhagi bir doğrusal programlama problemi Kaoik veya Stadart şekilde ifade edilebilir. Bu işlemler içi şu döüşümler kullaılabilir. Bu işlem amaç foksiyouda yer ala her katsayıı işaretii değiştirmekle sağlaabilir. MaxZ c x c x c x MiY c x c x c x Bu döüşüm soucu elde edile yei modeli çözümüde karar değişkelerii optimal değerleri yalız işaretleri değişmek üzere ayı kalır. 5 5 6 6
5.0.06 ) Eşitsizliği Yöüü Değiştirme 3)Eşitsizliği Eşitlik Halie Getirme Herhagi bir şeklideki eşitsizlik yöüe değiştirilebilir. Burada bu işlem içi gerekli şey, eşitsizliği her iki tarafıı (-) ile çarpıp, yöü değiştirmektir. Öreği, j a x b j j j a x b j j eşitsizliğ i Herhagi bir şeklideki eşitsizlik içi egatif olmaya (S) Aylak Değişke sağ ve sol taraftaki farkı ifade eder. ajxj b j j ajxj s b 7 8 7 8 Herhagi bir şeklideki eşitsizlik içi ise, egatif olmaya Artık değişke(v) kullaılır ki bu da eşitsizliği sağ ve sol tarafıdaki farkı gösterir. ajxj b j j ajxj v b 4) Eşitliği eşitsizliğe döüştürme Herhagi bir eşitlik iki eşitsizlik şeklide ifade edilebilir. Ayrıca Simplex ytemiyle çözümde yöüdeki eşitsizliklere Yapay Değişke(Artificial) de ekleir. AYLAK DEĞİŞKEN, modelde kullaılamaya ve boşa harcaa yada kaybedile kayakları gösterir. j ajxj b j ajxj b j ajxj b ARTIK DEĞİŞKEN ise geellikle fazla kayak veya kapasiteyi gösterir. 9 0 9 0 SINIRLANDIRILAMAYAN DEĞİŞKENLER İşaret olarak sıırladırılamaya herhagi bir değişke (değişkei egatif,pozitif veya sıfır değeri olabilir), egatif olmaya iki değişke arasıdaki fark olarak yazılabilir. Öreği, X değişkei sıırlı değilse ou yerie (x + - x - ) koulabilir. Burada x + 0 ve x - 0 dır. Optimal çözümlerde x + ve x - i e çok biri pozitif olacaktır. Sıırladırılmaya işaretteki değişke istediği değeri alabilir. Örek Mi Z = X +4 X X 3 Kısıtlar 5X X +4 X3 40.() X +X +5X3 5 () X +X3 = 30..(3) ------------------- X sıırlı değil X, X3 0 Problemi a) Stadart ve b) Kaoik şekilde ifade ediiz.
5.0.06 a) Stadart form Stadart şekil içi, amaç foksiyou mi olduğu içi değişmez. Sadece () Nolu kısıta (s) aylak değişkei ekleir () Nolu kısıtta (v) artık değişkei çıkarılır. 5X X +4 X3 +S = 40..() X +X +5X3 V = 5 () X +X3 = 30.(3) X değişkei sıırladırılamadığıda X = x + -x -, burada x + 0 ve x - 0 dır. Bu işlemi ardıda modeli stadart şeklii aşağıdaki gibi yazabiliriz. Stadart form Mi Z = (x + -x - ) +4 X X 3 Kısıtlar 5 (x + -x - ) X +4X3+S = 40..() (x + -x - )+X +5X3-V = 5 () (x + -x - ) +X3 = 30..(3) x +, x -,X, X 3, S, V 0 3 3 4 4 Kaoik Form Kaoik form içi amaç foksiyou Max halie getirilmelidir. Max Y = -X 4 X +X3 Kısıtlar olu kısıt ormal. olu kısıt içi her iki taraf (-) ile çarpılıp yö değiştirilmelidir. Yai -X -X -5X3-5, 3 olu kısıt iki eşitsizlik halide yazılabilir X+X3 30 veya -X-X3-30 X değişkei sıırladırılmadığıda X =x + -x - yazılır. Burada kaoik şekil, Max Z = - (x + -x - ) -4 X + X 3 Kısıtlar 5 (x + -x - ) X +4X3 40..() -(x + -x - )-X -5X3-5 () (x + -x - ) +X3 30..(3) -(x + -x - ) -X3-30..(4) x +, x -,X, X 3 0 5 5 6 6 DP ve Simplex Algoritması Simplex ilk kez 947de G.B.Datzip tarafıda geliştirilmiştir. Daha sora öğreciler Chares, Cooper ve arkadaşları ekoomik ve edüstriyel uygulamalar içi bu algoritmayı kullamışlardır. Simplex yötem cebirsel tekrarlama (iterasyo) işlemie dayaır. Öce başlagıç simplex tablosu düzeleir. Sora tekrarlayıcı işlemler ile belli bir hesap yötemi içide gelişe çözümlere doğru ilerleyerek optimal çözüme ulaşıcaya kadar işlemler sürdürülür. Gelişe çözüm tablolarıda amaç foksiyouu ve karar değişkelerii değişe değerleri gözleebilir. 7 7 8 8 3
5.0.06 Adımlar aşağıdaki gibidir.. Adım; Modelde yer ala kısıtlar eşitlik halie getirilir. Kısıtlayıcı ise a x a x a x b 3 3 Aylak değişke ekleyerek a x a x a x S b 3 3 Eğer kısıtlayıcı ise a x a x a x b 3 3 V artık değişkei çıkarılır ve A yapay değişkei ekleir. V Artık değişkei fazla kapasiteyi ve fazla üretim faktörlerii, fazla üretim arzıı veya fazla üretim talebii ifade eder. V Artık değişkeler Başlagıç Simplex tablosuu temel değişkeler sütuuda yer a almaz. Buu yerie ekoomik bir alamı olmaya Yapay Değişke yer alır. x a x a x V A b 3 3 9 9 0 0 Eğer kısıtlayıcı deklem tam bir eşitlik halide ise A ekleir. Yai a x a x a x a x a a 3 3 Aylak, Artık ve Yapay değişkelere bir sabit katsayı değeri verilerek amaç foksiyouda yer almaları sağlaır. x x Aylak ve Artık değişkeleri katsayıları sıfır değerli olup,yapay değişkeleri katsayı değeri Maliyet Miimizasyou Problemide (+M), Kazaç Maksimizasyou Problemide ise (-M) olur. 3 3 b ise A b M yüksek değerli sayıyı, yai keyfi büyük ceza maliyetii ifade eder. Simplex Çözümüde M yerie bir sayı verilmek isteirse bu sayı c j, a ij ve b j değerleride büyük olmalıdır. Buu edei, hiçbir ekoomik alamı olmaya yapay değişkei uygu optimal çözümde yer almasıı ölemektir..adım; Başlagıç simplex tablosu düzeleir. Bütü buları tablo halideki durumu aşağıdaki gibidir. Kısıt Tipi Max. İstek veya kayak Talep veya Mi. İstekler Karışım Veya Tam istekler Kısıt İlişkisi = Gerekli Değişkeler Aylak değişke ekleir. Artık değişke çıkarılır Yapay Değişke Ekleir Yapay Değişke Ekleir Değişke Değerleri Kâr Maliyet Max. Mi. Başlagıç Değişkei olarak modelde yer alıp almadığı 0 0 Evet 0 0 Hayır -M +M Evet -M +M Evet 3 3 Örek: ( Öztürk A, 57) Bir maragoz işletmeside masa ve sadalye üretilmektedir. Bir masa yapımı içi 30 metre tahta ve 5 saat işgücüe gerek vardır. Bir sadalye yapımı içi 0 metre tahta ile 0 saat işgücüe gerek vardır. İşletmei elide 300 metre tahta ve 0 saat işgücü vardır. Bir masaı satışıda 6 br.tl. ve bir sadalyei satışıda da 8 br.tl. kâr elde edilmektedir. Maragoz kazacıı Max. Yapabilmesi içi kaç tae masa ve kaç tae sadalye üretmelidir. 4 4 4
5.0.06. Karar değişkeleri X Çözüm: X Üretilecek masa miktarı 30X 5X X, X Üretilecek sadalye miktarı MaxZ 6X 0X 0X 0 8X 300 metre tahta 0 saat (işgücü) Bu modeli Simplex Algoritması ile çözmek içi öce Stadart hale getirmek lazımdır. Buu içi de; MaxZ 6X 30X 5X 0X 0X 8X S 0S 0S 0S S 0S 300 0 5 5 6 6 Başlagıç Simplex Tablosu Katsayısı değişke 0 S 0 S 6 8 0 0 X X S S 30 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 8 0 0 Çözüm 300 0 0 3.Adım; İterasyoa devam (Kârı E Çok Arttıracak ve Maliyeti E Çok Azaltacak Değişkei işleme girmesi). Buu içi satırıa bakılır. Amaç kârı maksimizasyou olduğuda, bu satırda yer ala e yüksek pozitif değerli elema seçilir ve bu elemaı buluduğu kolo ANAHTAR KOLON (SÜTUN) olur. Maliyet miimizasyolarıda ise egatif değerler içide mutlak değerce e yüksek ola seçilir ve buu buluduğu sütu ANAHTAR SÜTUN olur. Gire Problemimizde bu değer X değişkeii göstermektedir. 7 7 8 8 4. Adım; ANAHTAR SIRANIN (veya işlemde çıkacak) Değişkei Belirlemesi Çözüm Sütuudaki elemalar aahtar sütuuda yer ala elemalara bölüerek (b i /a ij ) bir oraa ulaşılır. Paydasıda 0 veya egatif sayılar bulua oralar dikkate alımaz. Bu oralar arasıda EN DÜŞÜK ola seçilir ve buu karşılığı ola sıra ANAHTAR SIRA olur. Daha sora temel değişke sütuudaki değişke de işlemde çıkarılır. Aahtar Sıra ile Aahtar Sütuu kesiştiği yerdeki elema ANAHTAR SAYI olur. Öreğe döersek; X X S S 0 S 30 0 0 0 S 5 0 0 0 0 0 0 6 8 0 0 Aahtar sayı (Pivot) 300/0=5 0/0= Aahtar sıra 9 9 30 30 5
5.0.06 5. adım: Bir tablo ilerleir İşlemde çıkacak temel değişkei buluması içi öce TEMEL SIRA ı buluması lazım. Temel sırayı bulmak içi yapılacak işlem aahtar sıraı tüm elemalarıı aahtar sayıya bölmektir. Aahtar sıra değişkei (S ) yerii aahtar sayıı buluduğu sütu değişkeie (X ye) bırakır ve temel sıraı değişkei de (X ) olur. Yei tablo Temel değişke X X S S 0 S 8 X ½ 0 /0 3 3 3 3 Yei Sırayı Bulmak İçi: Yei Sıra Elemaı=Eski Sıra Elemaı-(Temel sayı x Temel sıra elemaı) Temel sayı aahtar sayıı buluduğu sütuda ve (C j ) elemaları dışıda yer ala elemalardır. Örekte TEMEL SAYI (0) dir. Şimdi yei sırayı belirleyelim; x x s S b Eski sıra(s) 30 0 0 300 Yei sıra(s) içi ilk elema x i katsayısıı buluması aşağıdaki gibi olur; 30 0 (/) = 0 x i katsayı değeri? 0 0() = 0 S i katsayı değeri? 0(0) = s i katsayı değeri? 0 0(/0) = - Çözüm değeri b? 300 0() = 80 dır Bua göre yei sıra s? Yei sıra(s); 0 0-80 olur. 33 34 33 34 Bütü bu hesaplarda sora,. iterasyo olarak aşağıdaki tablo yazılabilir. Zj satırıı elemaları da daha öce ele aldığımız yötem ile aşağıdaki gibi belirleir; Kat. değişk 6 8 0 0 X X S S Çözüm sütuu Z = 0*0 +8 (/) =4 Z = 0*0 +8() =8 Z3 = 0* +8(0) =0 Z4 = 0* +8(/0)=8/0 Çözüm sutuuda Zj ye karşılık gele değer ise, = 0*80 +8* = 88 0 S 0 0-8 X ½ 0 /0 Zj Cj -Zj 4 8 0 8/0 0 0-8/0 80 88 İlk çözüm 35 36 35 36 6
5.0.06. İterasyo souçlarıı ekoomik yorumu ) S sırasıda ve x i altıdaki 0 rakamı bize masa yapmak içi kullaılmaya 0 tahtada vazgeçmemizi, Ayı sütudaki ½ rakamı da yie masa yapımı içi yarım sadalyede vazgeçmemizi söylemektedir. S i altıdaki değişke katsayıları da bezer şeyi ifade eder. Yai, a) birim daha fazla işgücü kullamak içi (-) metrelik kullaılmaya tahtada vazgeçmeliyiz. Yai metre kullaılmaya tahtayı geri almalıyız. Böylece öcekie göre metre daha az tahta kullaırız. b) /0 rakamı da kullaılmaya işgücüü saat arttırmak içi /0 sadalyede vazgeçilmesii ifade eder Zj satırıdaki 4 rakamı, masayı üretmek içi ½ sadalyede vazgeçilmesi ile kaybedile karı ifade eder. Ayrıca; (8/0) rakamı da,kullaılmaya işgücüü saat arttırdığımızda yapılmaya /0 sadalyede vazgeçilmesi ile kaybedile karı ifade eder. Çözüm sütüuu altıdaki 88 değeri de sadalye üretilmesi durumuda elde edilecek karı göstermektedir. 37 37 38 38 Optimal çözüme ulaşma şartı? (Cj Zj) satırıdaki C -Z =,masa üretimii birim arttırılması ile kar da birim artış olacağıı gösterir. Bezer şekilde, C -Z =0 ı alamı,x de yai sadalyede birim daha fazla üretilmesii karı arttırmayacaktır. C 3 -Z 3 =0 ı alamı da kullaılmaya tahta var şeklidedir ve metre daha kullaılmasıı kara katkısı olmadığıı söyler. C 4 -Z 4 =-8/0 alamı, saat işgücüü kullaılmaması yai aylak bırakılması 8/0 TL zarara ede olur. Çükü /0 birimlik eksik sadalye(x) üretilebilir ki böylece Optimal çözüme ulaşılıp ulaşılmadığıı alamak içi Cj Zj satırıdaki değerlere bakılır. Max.Problemleride (Cj Zj) satırıdaki tüm değerler sıfır yada sıfırda küçük ise, optimal çözüme ulaşıldığı alaşılır, yai (Cj Zj) 0 olmalıdır. Mi.Problemleride ise (Cj Zj) 0 olmalıdır. Bu kotrol mekaizması bütü iterasyolarda kullaılmaktadır. /0*(8) = 8/0 TL daha az kar elde edilmiş olur 39 39 40 40 İkici iterasyo Birici iterasyo soucuda elde edile tabloya baktığımızda (Cj Zj) satırıda pozitif değerli bir elema vardır ve bu sayı da dir. Bu souç optmal çözüme heüz ulaşılmadığıı gösterir. Optimal çözüme ulaşmak içi. iterasyoda izlee adımlar tekrarlaır. C j katsayısı değişke 6 8 0 0 Çözüm Ora X X S S 0 S 0 0-8 X ½ 0 /0 80 80/0=4 /0,5= 4 8 0 8/0 0 0-8/0 88 4 4 4 4 7
5.0.06 C j katsayısı değişke 6 8 0 0 Çözüm X X S S 6 X 0 /0 /0 8 X 0 -/40 3/0 6 8 /0 3/5 0 0 -/0-3/5 4 9 96 Ayrıca kullaılmaya kayakları (tahta ve işgücü) ede olacağı zarar şöyle de açıklaabilir. Tahtaı m sii üretime geçişi ile ilgili; 30X +0X =. Kullaılmaya işgücü saati olmadığıda 5X +0X =0 yazılabilir. 43 43 44 44 Bu iki deklemi çözümüde 30X +0X = /5X +0X =0 30X +0X = 0X 0X =0 0X = X =/0 X =-/40 buluur. Bu souçlara göre; metre tahtaı kullaılmaması halide masada;/0 birimlik kayıba, sadalyede de (-/40) birimlik kayıba yai (/40) birimlik kazaca ede olacaktır. Böylece zarar; C 3 -Z 3 =(/40)(8)-(/0)(6)=-/0 br.tl. 45 45 46 46 Örek- İşgücü saat kullaılmadığıda ve tahtaı hepsi kullaıldığıda; yai kullaılmaya metre tahta olmadığıda. 5X +0X = 30X +0X =0 X =3/0, X =-/0 Ayı şekilde saat işgücüü kullaılmaması X de yai sadalyede 3/0 birimlik kayba, masada ise /0 birimlik kazaca ede olacaktır. Böylece zarar; C 4 -Z 4 =(/0)(6)-(3/0)(8)=-3/5 br.tl. Bir işletme X,Y,Z gibi ürülerii üretirke EMEK ve HAMMADDE gibi iki üretim faktörü kullaılmaktadır. İşletmei elide 40 kg. hammadde ile 0 saat emek işgücü vardır. Üretile ürüleri kâra katkıları birim başıa x içi br.tl. ve y içi 6 br.tl. ve z içi 5 br.tl.dir. İşletmei üretim tekoloji katsayısı matrisi X Y Z A 0 hammadde emek 47 47 48 48 8
5.0.06 Çözüm A ı alamı şudur; birim x üretilirke kg hammadde ile saat işgücü, birim y üretilirke; kg hammadde ile saat iş gücü birim z üretilirke; kg hammadde ile 0 saat iş gücü kullaılmaktadır. İşletmei kazacıı maximum etmek içi e uygu üretim bileşimi edir? Problemi Doğrusal Programlama modeli aşağıdaki gibidir; Max Z=x+6y+5z Kısıtlar x+y+z40 x+y0 x,y,z0 49 49 50 50 Simplex çözümü içi model Max Z=x+6y+5z+0S +0S x+y+z+s =40 x+y+0+s =0 x,y,z,s,s 0 Katsayısı Değişke 0 S 0 S C j 6 5 0 0 X Y Z S S 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0 Temel sayı Çözüm 40 0 Temel sayı 40/=40 0/=0 Temel sıra 5 5 Katsayısı Değişke 0 S 6 y C j 6 5 0 0 Çözüm X Y Z S S / 0 -/ / 0 0 / C j - 3 6 0 0 3-0 5 0-3 30 0 60 30:=30 0:0= Yei sıra elemaı:eski sıra elemaı-(temel sayı X Temel sıra elemaı) Eski sıra (S ) 0 40 Temel sayı X Temel sıra(y) ½ 0 0 ½ 0 Yei sıra (S ) ½ 0 -/ 30 5 5 Örek- Amaç Katsayısı Temel Değişke 0 S 6 y C j 6 5 0 0 Çözüm X Y Z S S / 0 -/ / 0 0 / C j - 5,5 6 5 5 0,5-3,5 0 0-5 -0,5 30 0 0 Eski sıra: ½ 0 0 ½ 0 Temel sayı X Temel sra :0.(/ 0 -/ 30) Yei sıra: ½ 0 0 ½ 0 Optimal Çözüm: x=0, y=0, z=5 birim olmak üzere Max Z=0 br.tl. 53 53 Aşağıda verile Doğrusal Programlama Problemii çözüüz. Mi; Z=0y +6y +8y 3 Kısıtlar: y +y +y 3 5y +3y +y 3 y,y,y 3 0 54 54 9
5.0.06 Miimizasyo problemleride eşitsizlikleri sol tarafıda Artık değişke çıkarılır (V ) ve Yapay değişke ekleir (A ) Artık değişke fazla kapasiteyi ve fazla üretim faktörlerii, fazla üretim arzıı veya fazla üretim talebii ifade eder. Artık Değişkeler Başlagıç Simplex tablosuu temel değişkeler sütuuda yer almaz, ou yerie ekoomik alamı olmaya Yapay değişkeler yer elır. Yapay değişkeleri katsayı değeri; Maliyet Miimizasyou problemide =+M Kâr Maksimizasyou problemide =-M dir. M değeri; yüksek değerli bir sayıyı, yai keyfi büyük ceza maliyetii ifade eder. 55 55 56 56 Eğer Simplex çözümüde M yerie bir sayı verilmek isteirse bu sayıı değeri; hem sabit (miktar) sütuuu (b i ) daki elemalarda hem de a ij ve amaç foksiyoudaki (c j ) değerleride büyük olmalıdır. Yapay değişkee bu kadar büyük değer verilmesii amacı; hiçbir ekoomik alamı olmaya yapay değişkei uygu optimal çözümde yer almasıı ölemek içidir. Mi Z=0y +6y +8y 3 +0V +0V +MA +MA Kısıtlar: y +y +y 3 +A -V = 5y +3y +y 3 +A -V = y,y,y 3,V,V,A,A 0 57 57 58 58 Katsayısı değişke M A M A Aahtar sayı C j Temel sayı 0 6 8 M 0 M 0 y y y 3 A V A V Çözüm Ora - 0 0 5 3 0 0-6M 4M 4M M -M M -M (0-6M) (6-4M) (8-4M) 0 M 0 M Miimum 0,0 3M Temel Sıra Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı) - 0 0 () X Temel sıra elemaı 0,6 0,4 0 0 0, -0, 0, Yei Sıra A = 0 0,4,6 - -0, 0,,8 C j 0 6 8 M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm Ora M A 0 Y 0 0,4,6 - -0, 0, 0,6 0,4 0 0 0, -0, 0M 0,4M+6,6M+4 M -M -0,M 0,M-,8,8/,6=, 0, 0,/0,4=0,5,8M+ 0-0,4M 4-,6M 0 M,M- -0,M 59 59 60 60 0
5.0.06 Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı) 0 0,4,6 - -0, 0,,8 (,6) X Temel sıra elemaı: (,6)[,5,5 0 0 0,5-0,5 0,5] Yei sıra = -4-0 - - C j 0 6 8 M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm Ora M A 8 Y 3-4 - 0 - -,5,5 0 0 0,5-0,5-4M+0 -M+ 8 M -M 4-M M-4 4M-0 M-6 0 0 M M-4 -M+4 /= 0,5 0,5/(-0,5)=- M+4 Yei sıra elemaı=eski Sıra elemaı-(temel sayı) x (Temel Sıra Elemaı),5,5 0 0 0,5-0,5 0,5 (-0,5).[-4-0 - - ] Yei sıra = 0,5 0,5 0,5-0,5 0 0 C j 0 6 8 M 0 M 0 Katsayısı değişke y y y 3 A V A V Çözüm M V 8 y 3-4 - 0 - - 0,5 0,5 0,5-0,5 0 0 0 olduğuda ihai tablo olur. 4 4 8 4-4 0 0 6 0 M-4 4 M 0 Ve y 3 =, V =, y =0, y =0, V =0 ve Mi Z=8 br.tl. 8 6 6 6 6