YAŞ PROBLEMLERİ Yaş problemlerinin çözümünde şunları göz önüne alırız. 1. Bir kişinin bugünkü yaşı x ise, t yıl önceki yaşı t yıl sonraki yaşı x t dir. x t dir.. n tane kişinin yaşları toplamı: T ise, t yıl önceki yaşları toplamı t yıl sonraki yaşları toplamı T n. t dir. T n. t dir. 3. İki kişinin yaşları farkı daima sabittir. 4. İki kişinin yaşlarının oranı sabit değildir. Bir kişinin bugünkü yaşı 10 ise, 3 yıl önceki yaşı: 7 dir. 5 yıl sonraki yaşı: 15 tir. 5 kişinin yaşları toplamı 30 ise, 4 yıl önceki yaşları toplamı: 30 5.4 = 10 dur. Barış ın 10 yıl sonraki yaşı, 10 yıl önceki yaşının katı olacaktır. Barış ın bugünkü yaşının kaç olduğu bulalım. Barış ın bugünkü yaşı: x olsun. 10 yıl sonraki yaşı: x 10 dur. 10 yıl önceki yaşı: x 10 dur. Barış ın 10 yıl sonraki yaşı, 10 yıl önceki yaşının katı olacağına göre, x 10.( x 10) x 10 x 0 x 30 dur. 4 kişilik bir ailenin bugünkü yaş ortalaması 4 tür. Bu ailenin 5 yıl sonraki yaşlarının toplamının kaç olacağını bulalım. 4 kişilik bir ailenin bugünkü yaşlarının toplamı x olsun. x 4 ise x 96 dır. 4 kü yaşlarının toplamı 96 olan 4 kişilik ailenin 5 yıl sonraki yaşlarının toplamı: 96 4.5 96 0 116 olur. Bir anne 5 ve çocuğu 5 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşının çocuğunun yaşının 3 katına eşit olacağını bulalım. x yıl sonra annenin yaşı çocuğunun yaşının 3 katına eşit olsun. x yıl sonra Annenin Yaşı: 5 5 + x Çocuğun Yaşı: 5 5 + x 5 x 3.(5 x) ise 5 x 15 x 10 x 5 olur. 1
Bir annenin bugünkü yaşı, iki çocuğunun yaşlarının farkının 6 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı bu çocukların yaşları farkının 8 katına eşit olacağına göre, annenin bugünkü yaşının kaç olduğunu bulalım. İki çocuğun yaşları farkı daima sabittir. Bu farka x dersek, annenin bugünkü yaşı: 1 yıl sonra, annenin yaşı: 6x 1 olur. 6x 1 8.x ise x 1 x 6 olur. 6 x olur. Buna göre, Annenin bugünkü yaşı: 6.x 6.6 36 olur. Bir annenin bugünkü yaşı iki çocuğunun bugünkü yaşları toplamının 4 katıdır. İki yıl sonra annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katına eşit olacaktır. Buna göre, annenin bugünkü yaşının kaç olduğunu bulalım. İki çocuğunun bugünkü yaşlarının toplamı: x olursa, Annenin bugünkü yaşı: yıl sonra; 4. x olur. İki çocuğunun yaşlarının toplamı: x. x 4 Annenin yaşı: 4.x olur. 4.x 3.( x 4) x 10 olur. Buna göre, annenin bugünkü yaşı: 4.x 4.10 40 olur. Bir babanın bugünkü yaşı dört çocuğunun bugünkü yaşlarının toplamının katıdır. Babanın yıl önceki yaşı dört çocuğunun yıl önceki yaşları toplamının 4 katının 6 eksiğine eşit idi. Buna göre, babanın bugünkü yaşının kaç olduğunu bulalım. Dört çocuğun bugünkü yaşlarının toplamı: x olursa, Babanın bugünkü yaşı: yıl önce;. x olur. Dört çocuğun yaşlarının toplamı: x 4. x 8 tür. Babanın yaşı: x olur. x 4.( x 8) 6 ise 4x x 3 6 Buna göre, babanın bugünkü yaşı:.x.18 36 olur. Oya 10 yaşında, Gül x yaşındadır. x 18 olur. Gül.x 10 yaşına geldiğinde, Oya nın kaç yaşında olacağını bulalım. x yaşında olan Gül.x 10 yaşına, (.x 10) x x 10 yıl sonra gelir. 10 yaşında olan Oya, x 10 yıl sonra 10 (x 10) x 0 yaşında olur. Buna göre, Gül.x 10 yaşına geldiğinde, Oya x 0 yaşında olur.
1969 yılında doğan bir matematikçi, yaşını soran bir arkadaşına, kü yaşım doğum yılımın rakamlarının toplamına eşit yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşmanın hangi yılda yapıldığını bulalım. 1969 un rakamları toplamı 1 + 9 + 6 + 9 = 5 olduğundan matematikçinin bugünkü yaşı 5 tir. Doğum tarihi 1969 olduğundan, konuşmanın yapıldığı yıl: 1969 + 5 = 1994 olur. 58 yaşında olan bir annenin yaşı, 3 er yıl arayla doğmuş dört çocuğunun yaşlarının toplamına eşittir. Buna göre, en küçük çocuk doğduğunda annenin kaç yaşında olduğunu bulalım. En küçük çocuğun yaşı x ise, diğerlerinin yaşları sırasıyla x 3, x 6 ve x 9 olur. x x 3 x 6 x 9 58 4x 18 58 x 10 dur. Buna göre, en küçük çocuk doğduğunda anne, 58 10 48 yaşında idi. Erkek sporcuların yaş ortalaması 4 ise, erkeklerin yaşları toplamı: 4.E Buna göre, bu gruptaki sporcuların yaşları toplamı: 64.E + 4.E = 88.E dir. Grubun yaş ortalaması: Gruptakilerin yaslari toplami 88.E 88E 17,6 dır. Gruptakilerin sayisi E 4.E 5E Dört kişilik bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşları toplamı 80 ve 5 yıl sonraki yaş ortalaması x tir. Beş yıl içinde birey sayısında değişiklik olmadığına göre, x in kaç olduğunu bulalım. Dört kişilik bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşları toplamı 80 ise, 5 yıl sonra bu dört kişiden her birinin yaşı 5 artacağı için yaşları toplamı 4.5 = 0 artar. Buna göre, dört kişinin 5 yıl sonraki yaşları toplamı: 80 + 4.5 = 80 + 0 =100 olur. Bu ailenin beş yıl sonraki yaş ortalaması, yaşlar toplamının birey sayısı olan 4 ile bölünmesiyle bulunur. 100 x 5 olur. 4 Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 16, erkek sporcuların yaş ortalaması 4 tür. Kızların sayısı erkeklerin sayısının 4 katı olduğuna göre, bu grubun yaş ortalamasını bulalım. Kızların sayısı erkeklerin sayısının 4 katı olduğuna göre, Erkeklerin sayısı E ise, kızların sayısı 4.E dir. Ahmet ile Hasan ın bugünkü yaşları toplamı 60 ve Ahmet, Hasan dan yaşça büyüktür. Ahmet, Hasan ın bugünkü yaşında iken Hasan 15 yaşında olduğuna göre, Ahmet in bugün kaç yaşında olduğunu bulalım. Ahmet, t yıl önce Hasan ın bugünkü yaşında olsun. Kız sporcuların yaş ortalaması 16 ise, kızların yaşları toplamı: 16.4.E = 64.E dir. 3
Ahmet in yaşı Hasan ın yaşı II.Yol : x 60 x t yıl önce: x t 60 x t x t 60 x ( I ) 60 x t 15 ( II ) olur. x t 60 x ise x t 60 ( III ) olur. 60 x t 15 ise x t 45 ( IV ) olur. ( III ) ve ( IV ) denklemleri taraf tarafa toplanırsa, 105 x 35 bulunur. 60 yaşında olan bir baba çocuğunun bugünkü yaşında iken, çocuğunun yaşı bugünkü yaşının kaç katı olduğunu bulalım. Çocuğunun bugünkü yaşı y olsun. Bu durumda y yıl önce çocuğunun yaşı ( y y = y ) bugünkü yaşının yarısına eşit olur. Baba bugün 60 yaşında olduğuna göre, y yıl önce 60 y yaşında olur. y yıl önce babanın yaşı çocuğunun bugünkü yaşına eşit olduğuna göre, 60 y y 3y 60 y 0 dir. Çocuğun bugünkü yaşı: y.0 40 olur. Çözümlü Sorular 1. Bir babanın bugünkü yaşı çocuğunun bugünkü yaşının 3 katıdır. Kaç yıl sonra babanın yaşı çocuğunun yaşının 3 katından 10 eksik olur? Çocuğun bugünkü yaşı: x olsun. Baba nın yaşı Çocuğun yaşı Bu durumda babanın bugünkü yaşı: 3 x olur. : 60 x t yıl önce: 60 t x t t yıl önce babanın yaşı çocuğunun bugünkü yaşına eşit ise, 60 t x x t 60 ( I ) olur. t yıl önce çocuğun yaşı bugünkü yaşına yarısına eşit ise, x x t ( II ) olur. ( I ) ve ( II ) denklemlerinin ortak çözümünden, x x x 60 x 60 60 x 40 olur. t yıl sonra babanın yaşı; t, çocuğunun yaşı; x t olur. t yıl sonra babanın yaşı çocuğunun yaşının 3 katından 10 eksik olduğuna göre, t 3.( x t) 10 t 3t 10 t 10 t 5 bulunur.. Bir annenin bugünkü yaşı, çocuğunun bugünkü yaşının 3 katından 8 fazladır. Annenin bugünkü yaşı, çocuğunun 5 yıl sonraki yaşının katından 6 fazla olduğuna göre, çocuğun bugünkü yaşı kaçtır? 4
Çocuğun bugünkü yaşı: x olsun. Annenin bugünkü yaşı: 8 olur. Çocuğun 5 yıl sonraki yaşı: x 5 olur. Annenin bugünkü yaşı, çocuğun 5 yıl sonraki yaşının katından 6 fazla olduğuna göre; 8.( x 5) 6 x 10 6 8 x 8 bulunur. 3. Bir babanın bugünkü yaşı, iki çocuğunun bugünkü yaşlarının toplamının katından 6 fazladır. 3 yıl sonra babanın yaşı iki çocuğunun yaşlarının toplamından 17 fazla olacağına göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır? İki çocuğunun bugünkü yaşlarının toplamı x olsun. Buna göre babanın bugünkü yaşı: x 6 olur. 3 yıl sonra babanın yaşı: ( x 6) 3 olur. 3 yıl sonra çocuklarının yaşları toplamı: x 3. x 6 olur. ( x 6) 3 x 6 17 x 9 x 3 4. Yasemin ile babasının bugünkü yaşlarının toplamı 38 dir. 4 yıl önce babasının yaşı Yasemin in yaşının 4 katı idi. Buna göre, Yasemin bugün kaç yaşındadır? Yasemin in bugünkü yaşı x ise, babasının bugünkü yaşı 38 x olur. 4 yıl önce babasının yaşı, Yasemin in yaşının 4 katı olduğuna göre, ( 38 x) 4 4.( x 4) 34 x 4x 16 5x 50 x 10 dur. 5. Yaşları 6 dan büyük olan 3 kardeşin bugünkü yaşlarının toplamı 48 olduğuna göre, 6 yıl önceki yaşlarının toplamı kaçtır? kü yaşları toplamı 48 olan üç kardeşin 6 yıl önceki yaşlarının toplamı: 48 6.3 30 olur. 6. Şaban ile Ramazan ın bugünkü yaşlarının toplamı 30 dur. Ramazan Şaban ın yaşındayken, yaşı Şaban ın yaşının katı idi. Buna göre, Şabanın bugünkü yaşı kaçtır? Ramazan ın bugünkü yaşı x, Şaban ın bugünkü yaşı y olsun. x x 3 9 x 14 tür. Buna göre, babanın bugünkü yaşı:.14 6 8 6 34 olur. x t y ve x t.(y t) denklemlerinden t yi yok edelim. 5
x t y ise y x t ( I ) x t y t ise x y t ( II ) ( I ) ve ( II ) denklemlerinden x y y x ise x 3y 0 ( III ) ( III ) denkleminin x y 30 denklemiyle ortak çözümünden y yi bulalım. 8. Bir babanın bugünkü yaşı dört çocuğunun bugünkü yaşları toplamının 5 katından eksiktir. yıl sonra; babanın yaşı dört çocuğunun yaşları toplamının 3 katının 4 eksiğine eşit olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır? Dört çocuğun yaşları toplamı: x olsun. Babanın yaşı dört çocuğunun yaşları toplamının 5 katının eksiğine eşit olduğuna göre, Babanın yaşı: 5.x dir. 5y 60 y 1 dir. 7. Cemal ile Hasan ın yaşlarının oranı 5 3 tir. 9 yıl sonra bu oran 3 olacaktır. Buna göre, Hasan ile Cemal in yaşlarının farkı kaçtır? Cemal ile Hasan ın yaşlarının oranı 5 3 olduğuna göre, sırasıyla yaşları 3 x ve 5 x olsun. 9 yıl sonra bu oran 3 olduğuna göre, 5x 9 9 3 ise 3.( 9).(5x 9) 9x 7 10x 18 x 9 olur. Buna göre, Hasan ile Cemal in yaşlarının farkı: 5x x.9 18 olur. yıl sonra Dört çocuğun yaşları toplamı: x + 4. = x + 8 olur. Babanın yaşı: 5.x 5x olur. yıl sonra; babanın yaşı dört çocuğunun yaşları toplamının 3 katının 4 eksiğine eşit olacağına göre, 5.x 3.( x 8) 4 ise 5.x 4 4 Buna göre, babanın bugünkü yaşı: x 10 olur. 5.x 5.10 50 48 olur. 9. Bir dedenin bugünkü yaşı 60, üç torununun bugünkü yaşları toplamı 0 dir. Kaç yıl sonra dedenin yaşı torunlarının yaşları toplamına eşit olur. x yıl sonra Dedenin yaşı: 60 60 + x Torunlarının yaş toplamı: 0 0 + x yıl sonra dedenin yaşı torunlarının yaşları toplamına eşit olsun. Buna göre, 60 x 0 x 0 olur. 6
10. Bir babanın şer yıl arayla doğmuş üç çocuğu vardır. Babanın bugünkü yaşı çocuklarının bugünkü yaşları toplamından 8 fazladır. Babanın bugünkü yaşı 44 olduğuna göre, büyük çocuk doğduğunda baba kaç yaşındaydı? En büyük çocuğun yaşı: x olsun. Bu durumda diğer çocukların yaşları sırasıyla: x ve x 4 olur. Babanın bugünkü yaşı çocukların bugünkü yaşlarının toplamından 8 fazla olduğuna göre, 44 x x x 4 8 44 x 14 tür. Büyük çocuk 14 yıl önce doğduğu için, büyük çocuk doğduğunda baba 44 14 = 30 yaşındadır. 11. Barış ın yıl önceki yaşının, 4 yıl sonraki yaşına oranı 1 dir. Buna göre, Barış ın bugünkü yaşı kaçtır? Barış ın bugünkü yaşı x olsun. x 1.( x ) 1.( x 4) x 4 x 4 x 4 x 8 olur. 1. Beş kişilik bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşlarının ortalaması 30 dur. Anne ile babanın 3 yıl sonraki yaş ortalaması 48 dir. Buna göre, çocukların bugünkü yaş ortalaması kaçtır? Beş kişilik bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşlarının ortalaması 30 ise, bugünkü yaşlarının toplamı: 5.30 150 olur. Anne ile babanın, 3 yıl sonraki yaş ortalaması 48 ise 3 yıl sonraki yaşlarının toplamı:.48 96 olur. Anne ile babanın bugünkü yaşları toplamı: 96.3 90 olur. Ailenin bugünkü yaşlarının toplamı 150 ve anne ile babanın, bugünkü yaşlarının toplamı 90 olduğuna göre, çocukların bugünkü yaşlarının toplamı 150 90 60 olur. Buna göre, üç çocuğun bugünkü yaşlarının ortalaması: 60 0 dir. 30 13. Sevgi ile Barış ın yaşlarının toplamı 3, Barış ile Umut un yaşlarının toplamı 7 dir. Sevgi, Barış ve Umut un yaşlarının toplamı 37 olduğuna göre, Umut un yaşı kaçtır? Sevgi nin yaşı x, Barış ın yaşı y, Umut un yaşı z olsun. x y 3 ( I ) y z 7 ( II ) x y z 37 ( III ) ( I ) denklemi ile ( II ) denkleminin toplamından ( III ) denklemini çıkararak sonuca gidersek, ( x y) (y z) (x y z) 3 7 37 y 13 olur. 7
y 13 değeri ( II ) denkleminde yerine yazılırsa, y z 7 13 z 7 z 14 tür. 14. İki çocuklu bir ailede babanın yaşı iki basamaklı ab sayısına, annenin yaşı iki basamaklı ba sayısına, çocukların yaşları a ve b sayılarına eşittir. Babanın yaşı anne ile çocukların yaşları toplamına eşit olduğuna göre, küçük çocuğun yaşı kaçtır? ab ba a b 10a b 10b a a b Aslı, Hakan ın bugünkü yaşına geldiğinde, Tolga nın yaşı da Hakan ın yaşının iki katı olacağına göre, 60 (a b) t.(b t) 60 a b t b t 3b a t 60 ( II ) a t nin ( I ) denklemindeki değeri ( II ) denkleminde yerine yazılarak sonuca gidilir. a t b ve 3b a t 60 ise, 3b b 60 4b 60 b 15 olur. II.Yol 10a b 11b a 4a 5b olur. a ve b birer rakam olduğu için; a 5 ve b 4 olmalıdır. Buna göre, küçük çocuğun yaşı 4 tür. 15. Aslı, Hakan ve Tolga nın bugünkü yaşları toplamı 60 tır. Aslı, Hakan ın bugünkü yaşına geldiğinde, Tolga nın yaşı da Hakan ın yaşının iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan ın bugünkü yaşı kaçtır? Aslı, Hakan ve Tolga nın bugünkü yaşları toplamı 60 olduğuna göre, Aslı, Hakan ve Tolga nın bugünkü yaşları sırasıyla, a, b, 60 ( a + b ) olsun. Aslı, Hakan ın bugünkü yaşına b a yıl sonra geldiğinde, Tolga nın yaşı da Hakan ın yaşının katı olacağına göre, 60 a.(b a).(30 a).(b a) 30 a b a 30 b b 15 olur. 16. 5 kişilik bir ailenin yaş ortalaması 3 dir. Bu ailenin 4 yıl sonraki yaşlarının toplamı kaç olur? Aslı, Hakan ın bugünkü yaşına t yıl sonra gelsin. Buna göre, a t b ( I ) olur. 5 kişilik bir ailenin yaş ortalaması 3 ise bugünkü yaşları toplamı: 5.3 160 tır. 4 yıl sonraki yaşlarının toplamı: 160 5.4 180 olur. 8
17. 3 yıl önce ikisinin yaşları toplamı 4 olduğuna göre, ( x 3) (x 3) 4 6 4 x 16 olur. 19. Sevgi ile Barış ın yaşları toplamı 18, Barış ile Umut un yaşları toplamı, Umut ile Sevgi nin yaşları toplamı 6 dır. Yukarıdaki sütun grafik, bir topluluktaki insan sayısının yaşlara göre dağılımını göstermektedir. Bu topluluktan, yaş ortalaması 16 olmak üzere bir grup insan seçiliyor. Buna göre, seçilen grup en çok kaç kişidir? 1 0 14 18 16 ve 16 olduğuna göre, 1 yaşında olanlardan ve 0 yaşında olanlardan eşit sayıda seçilirse ortalaması 16 olur. Aynı gerekçeyle, 14 yaşında olanlardan ve 18 yaşında olanlardan eşit sayıda seçilmelidir. Grubun en büyük sayıda olması istendiği için, 1 yaşındakilerden kişi, 0 yaşındakilerden kişi; 14 yaşındakilerden 4 kişi, 18 yaşındakilerden 4 kişi; 16 yaşındakilerden 10 kişi ( tamamı ) seçilirse ortalama 16 olur. Buna göre, grupta + + 4 + 4 + 10 = kişi olabilir. 18. Cengiz in yaşı Tuncay ın yaşının katıdır. 3 yıl önce ikisinin yaşları toplamı 4 olduğuna göre, Tuncay ın şimdiki yaşı kaçtır? Buna göre, Umut un yaşı kaçtır? Sevgi nin yaşı x, Barış ın yaşı y, Umut un yaşı z olsun. x y 18 ( I ) y z ( II ) z x 6 ( III ) olur. Verilen denklemler taraf tarafa toplanırsa, x y y z z x 18 6 x y z 66 x y z 33 ( IV ) olur. ( IV ) denkleminden ( I ) denklemini taraf tarafa çıkaralım. x y z (x y) 33 18 z 15 bulunur. 0. Bir çocuk 6, babası 8 yaşındadır. Kaç yıl sonra yaşları farkının, yaşları toplamına oranı 3 yıl önce 11 olur? 0 Cengiz in yaşı: x x 3 Tuncay ın yaşı: x x 3 9
Annesinin bugünkü yaşı: 4 x tir. x yıl sonra 6 yıl önce; Babanın yaşı: 8 8 + x Çocuğun yaşı: 6 6 + x Baba ile çocuğunun yaşları farkı daima sabit olduğundan, yaşları farkı dir. x yıl sonra baba ile çocuğunun yaşları farkının yaşları toplamına oranı verildiğine göre, (8 x) (6 x) 34 x 11 0 1 0 x 34 40 x 3 olur. 1. 46 yaşındaki bir babanın; 3, 5 ve 8 yaşlarında üç çocuğu vardır. Kaç yıl sonra çocukların yaşları toplamı babalarının yaşına eşit olur? Ebru nun yaşı: x 6 Annesinin yaşı: 4 x 6 olur. 4 x 6 4.( x 6) 36 x 4x 4 5x 60 x 1 olur. 3. Bir baba 35 yaşında iken oğlu 5 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur? x yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olsun. x yıl sonra baba: x yıl sonra oğlu : 35 x yaşında, 5 x yaşında olacağından, 35 x 3.(5 x) 35 x 15 x 0 x yıl sonra x 10 bulunur. Babanın yaşı: 46 46 + x Çocukların yaşları toplamı: 16 16 + x yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olacağına göre, 46 x 16 x 30 x 15 olur.. Ebru ile annesinin bugünkü yaşları toplamı 4 dir. 6 yıl önce annesinin yaşı Ebru nun yaşının 4 katı olduğuna göre, Ebru bugün kaç yaşındadır? Ebru ile annesinin bugünkü yaşları toplamı 4 ise, 4. Bir annenin bugünkü yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 8 katıdır. 8 yıl sonra annenin yaşı bu çocukların yaşları farkının 10 katına eşit olacağına göre, anne bugün kaç yaşındadır? İki çocuğun yaşları farkı daima sabittir. Bu farka x dersek, annenin yaşı: 8.x olur. 8 yıl sonra, annenin yaşı: 8.x + 8 olur. 8 yıl sonra annenin yaşı bu çocukların yaşları farkının 10 katına eşit olacağına göre, Ebru nun bugünkü yaşı: x 10
8x 8 10.x x 8 x 4 olur. Annenin şimdiki yaşı: 8x 8.4 3 dir. 5. Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 1, erkek sporcuların yaş ortalaması 18 dir. Kızların sayısı 0 ve erkeklerin sayısı 30 olduğuna göre, bu grubun yaş ortalaması kaçtır? GruptakilerinYaslariToplami Ortalama GruptakilerinSayisi 1.0 18.30 0 30 780 15,6 olur. 500 6. 60 yaşındaki bir baba çocuğunun yaşındayken, çocuğunun yaşı bugünkü yaşının 1 si idi. Buna göre, çocuğun bugünkü yaşı kaçtır? Çocuğun bugünkü yaşı: ç olsun t yıl önce; Çocuk: ç t yaşında olur. 60 t ç ( I ) 1 ç t ç ( II ) olur. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarılırsa, ç 40 bulunur. KONU BİTMİŞTİR. 11