Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden ifade eder. 2

Akışkanın yoğunluğu akış boyunca her yerde yaklaşık olarak sabit kalıyorsa, böyle akışa sıkıştırılamaz akış denir. Akış sıkıştırılamaz kabul ediliyorsa akışkanın hacmi, hareketi boyunca değişmez. 3

Bir noktadaki akış ve akışkan özelliklerinin zaman içerisinde hiçbir değişime uğramadığı akışa kararlı akış denir. Kararlı akışın karşıtı kararlı olmayan veya kararsız akış dır. 4

Akışkan hareketinin matematiksel olarak tanımlanmasında iki farklı yol vardır. Birincisi, akışkan parçacıklarının tek tek yörüngelerini takip etmektir. Bu yöntemin akan bir akışkana uygulanmasına akışın Lagrange tanımlaması denir. 5

Akışkanın makroskopik açıdan bir sürekli ortam olması Akışkan parçacıklarının akış içerisinde hareket sırasında sürekli olarak şekil değiştirmesi Lagrange tanımlama yönteminin akış tanımlama yöntemi olarak tercih edilmemesine sebep olmuştur. 6

Akan bir akışkan için daha uygun bir akış tanımlama yöntemi Euler tanımlaması dır. Akışkan hareketinin tanımlanmasında Euler yöntemi daha fazla tercih edilen bir tanımlama biçimidir. 7

Bu yöntemde, akışkanın içerisinden girip çıktığı sonlu bir akış bölgesi (kontrol hacmi) tanımlanarak akışkan parçacıklarının konum ve hızlarının izlenmesine gerek kalmaz. 8

Bunun yerine kontrol hacmi içerisinde konumun ve zamanın fonksiyonu olan hız alanı, ivme alanı, basınç alanı gibi alan değişkenleri tanımlanır. Kartezyen koordinatlardaki genel, kararlı olmayan, üçboyutlu akış için; Hız alanı: V V ( x, y, z, t) İvme alanı: a a( x, y, z, t) Basınç alanı: P P( x, y, z, t) 9

Alan değişkenleri arasında enönemlisi hız alanıdır. Diğer alan değişkenleri hız alanından bulunduğu için, genellikle hız alanının belirlenmesi akış probleminin çözülmesi ile aynı anlama gelir. Hız alanı kartezyen koordinatlarda aşağıdaki şekilde açılabilir. 10

Akışkanın İvme Alanı: Sonsuz küçük akışkan sistemi için Newton un ikinci kanununu yazarken akışın ivme vektör alanını belirlemek gerekir. Hız vektöründeki u, v, w skaler bileşenleri x, y, z, t değişkenlerinin fonksiyonu olduğundan ivme vektör alanı dv V V V V a u v w dt t x y z şeklindedir. 11

dv V V V V a u v w dt t x y z Yukarıdaki denklemin sağ tarafındaki ilk terime yerel ivme denir. Yerel ivme sadece kararlı olmayan akışlar için sıfırdan farklıdır. Denkleminin sağ tarafındaki diğer terimlerin toplamına konvektif ivme denir. 12

Konvektif ivme, akışkan parçacığının akış içerisinde hız alanının farklı olduğu bir konuma hareket etmesi durumunu hesaba kattığı için, kararlı akışlar için bile sıfırdan farklı olabilir. 13

Bu durumda ivme vektörünün Kartezyen koordinatlardaki bileşenleri du u u u u ax u v w dt x y z t dv v v v v ay u v w dt x y z t dw w w w w az u v w dt x y z t Bileşke ivme vektörel olarak a a i a j a k x y z 14

Örnek 4.1. Bir hız alanı bileşenleri u = x-y, v = x 2 y-27 ile verilmektedir. a. Akış alanı içerisinde hızın sıfır olduğu bir noktanın olup olmadığını belirleyiniz. b. (x,y)=(0,0) noktasında hızı hesaplayınız. c. (x,y)=(0,0) noktasında ivmeyi hesaplayınız. 15

a. x y 0 x y 2 2 3 x y 27 0 x x 27 0 x 27 x 3 y b. V u. i v. j V ( x y). i ( x y 27). j x=0, y=0için V (0). i (0 27). j 27. j 2 2 2 2 V u v V 0 ( 27) 27 m/s 2 16

Örnek 4.1. Bir hız alanı bileşenleri u = x-y, v = x 2 y-27 ile verilmektedir. c. (x,y)=(0,0) noktasında ivmeyi hesaplayınız. dv V V V V a u v w dt x y z t V ( x y). i ( x y 27). j 2 2 2 a ( x y)( i 2 xyj ) ( x y 27)( i x j) x=0,y=0için a (0)( i 2(0)(0) j) (0 27)( i (0) j) a 27i 2 2 2 2 2 a u v a (27) 0 27 m/s 17

Örnek 4.2. Şekilde x ekseni boyunca hız artışı doğrusaldır. Buna göre A, B ve C noktalarındaki ivmeleri hesaplayınız. u ax b x 0 u 6 x 0,1 u 18 ax (120 x6)*120 a (120.(0,1) 6)*120 2160m/s xb du u u u u ax u v w dt x y z t u ax u x a=120, b=6 120 6 u x a (120.(0) 6)*120 720m/s xa 2 2 a (120.(0,05) 6)*120 1440m/s xc 2 18

Zamana göre toplam türev kavramı diğer skaler ve vektörel akışkan özelliklerine de uygulanabilir. örneğin sıcaklığa uygulanacak olursa dt T T T T u v w dt x y z t denklemi elde edilir. 19

Örnek 4.3. İki boyutlu bir akım alanında T = 4x 3 2y 2 sıcaklık 2 alanını V ( x x). i (2 xy y). j hız alanı ile birlikte göz önüne alarak x=2 ve y=1 noktasında sıcaklığın birim zamandaki değişimini hesaplayınız. dt T T T T u v w dt x y z t 3 2 T 4x 2y dt 2 2 ( x x).(12 x ) ( y 2 xy).( 4 y) dt dt 2 2 (2 2).(12.2 ) (1 2.2.1).( 4.1) 288 12 300 dt 20

Akım Yolu (Yörünge) Bazı Akım Özellikleri Akım alanı içinde bir akışkan parçacığının belirli bir zaman aralığında takip ettiği yoldur. Yani, şekilde görüldüğü gibi akışkanın bir A noktasından B ye giderken üzerinden geçtiği yörüngedir. Kartezyen koordinat sisteminde yörüngelerin denklemi aşağıdaki gibidir: ds dx dy dz V ( x, y, z, t) veya u v w dt dt dt dt 21

Akım İzi Şekilde görüldüğü gibi sabit bir noktadan geçen akışkan parçacıklarını birleştiren, yani akıma bir noktadan akıtılan boyanın izlendiği çizgidir. 22

Akım alanı içerisindeki hız vektörlerine teğet olarak çizilen eğrilere akım çizgileri denir. 23

Bir akım alanındaki akım çizgileri bir yüzey teşkil ederler. Buyüzeyin çevrelediği hacim adeta bir boru gibidir. Bu nedenle buna akım tüpü (akım borusu) denir. 24

xy düzleminde akım çizgilerinin denklemi : dy v dx dy tan veya dx u u v şeklindedir. Buna göre xyz uzayında akım çizgilerinin denklemi: dx dy dz u v w 25

Örnek 4.4. Bir hız alanı V xi x( x 1)( y 1) j ile verilmektedir. (x,y)=(0,0) noktasından geçen akım çizgisinin denklemini bulunuz. dx dy dz u v w dx dy x x( x 1)( y 1) ( x 1) dx dy ( y 1) 2 x 2 x In( y 1) C x=0 ve y=0 için 0 0 In(1) C C 0 ( y1) e x 2 2 2 x y e x 2 2 x 2 1 26

Akımın Boyutu ve Doğrultusu Akımın Boyutu: Akımda hız vb. değişkenlerin ifade edilebilmesi için ihtiyaç duyulan bağımsız yer koordinatları sayısıdır. Yer koordinatları bakımından akım parametreleri, bir, iki veya en genel halde üç boyutta değişebilir. Buna göre akım, örneğin hız vektörünün Kartezyen sisteme göre değişim gösterdiği koordinat sayısına bağlı olarak aşağıdaki gibi bir boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olabilir: V V( x) V V( x, y) V V( x, y, z) Akımın Doğrultusu: Akımda sıfırdan farklı olan bileşen sayısı ile temsil edilir. Örneğin Kartezyen koordinatlarındaki hız vektörüne göre akım, aşağıdaki gibi bir doğrultulu, iki doğrultulu ve üç doğrultulu olabilir: V ui V ui vj V ui vj wk 27

Akımda boyut doğrultu sayısı arttıkça çözümdeki güçlükler de artar. Şekilde hız vektörü esas alınarak, akımın boyut ve doğrultu sayıları ile ilgili bazı örnekler görülmektedir. 28

29

Akışkan Elemanlarının Hareket veya Deformasyon Şekilleri Akışkanlar mekaniğinde bir akışkan elemanı; ötelenme dönme 30

doğrusal şekil değiştirme kayma şekil değiştirmesi olmak üzere dört tip harekete veya deformasyona uğrayabilir. 31

Bu dört tip hareket veya deformasyon çoğunlukla aynı anda meydana gelir. Dönme hareketinin açısal hızı çevrinti (rotasyon) olarak adlandırılır. 32

Bir akım ortamında akışkan elemanları sadece öteleme hareketi yaparsa akım potansiyel (çevrintisiz), öteleme hareketine ilave olarak dönme hareketi de yaparsa akım potansiyel olmayan (çevrintili) dır. 33

X, Y düzleminde oluşan iki boyutlu akım için çevrinti; z 0 z 0 z 1 2 v x u y akım çevrintisiz akım çevrintili 34

Potansiyel akımlarda; u x ve v y şartlarını sağlayacak şekilde bir x, y potansiyel fonksiyonu tanımlanabilir. Yani, hız potansiyel fonksiyonu yer ve zamana bağlı öyle bir fonksiyondur ki herhangi bir doğrultuda türevi alındığında o doğrultudaki hız bileşenini verir.φ nin var olduğu akıma potansiyel akım denir. 35

xy-düzlemindeki iki boyutlu, kararlı ve sıkıştırılamaz akışkan akımında u x v y denklemini iki bağımlı değişken (u, v) yerine tek bir bağımlı değişken cinsinden ifade etmek mümkündür. 0 36

u y ve v şartlarını sağlayacak şekilde bir x akım fonksiyonu tanımlanabilir. Bir akım çizgisi boyunca ve bir potansiyel çizgisi boyunca da x, y sabit sabit 37

Potansiyel akımlarda akım çizgileri ve potansiyel çizgileri çizildiğinde birbirine dik (ortogonal) çizgilerden oluşan bir ağ elde edilir. Buna akım ağı adı verilir. 38

Sıkışmayan, çevrintisiz akımlarda ψ ve φ fonksiyonlarının her ikisi de vardır ve bunlar arasındaki ilişki, her ikisinin de hız alanı ile olan bağlantıları yardımıyla kurulabilir. Örneğin kartezyen koordinatlarda: u y x v x y Denklemlerine Cauchy-Riemann denklemleri denir. 39

2 2 2 2 2 Örnek 4.5. V (2 x xy z ) i ( x 4 xy y ) j ( y 2 xy yz) k ile verilen hız vektörünün sıkışmayan bir akımı temsil ettiğini gösteriniz. 40

u v w 0 Verilen hız vektörü x y z denklemi ile verilen süreklilik denklemini sağlıyorsa akım sıkışmayandır. u v w 0 4x y 4x 2y y 0 Sağlanıyor x y z 41

Örnek 4.6. Bir akımda hız alanı Akım fonksiyonunu bulunuz. 2 2 V ( x y ) i 2xyj şeklindedir. 42

2 2 u x y 2 2 2 y x y. dy f ( x) x y y 3 v 2xy x x 3 2 y x y f ( x) 2xy 3 2 xy f '( x) 2xy f '( x) 0 f ( x) C bulunur. 3 f ( x) 2 y x y C 3 3 43

Örnek 4.7. Bir akım alanındaki potansiyel fonksiyonu verilmektedir. Bu akıma ait akım fonksiyonunu bulunuz. 6xy ile 44

u v u u y x x 6y 6y y 6x x 2 f ( x) 3x C bulunur. v 6 y. dy f ( x) x 2 3 y f ( x) 6x x v y y 6x 2 3 y f ( x) 2 2 3y 3x C f '( x) 6x 45

46

u v u u y x 8x 2 y 8x 2 x (8y 4) y (8x 2). dx g( y) y 2 v x y v (8y 4) x 4x 2 x g( y) (8y 4) 2 4x 2 x g( y) g '( y) 8y 4 2 g( y) 4y 4y C bulunur. 2 2 4x 2x 4y 4y C 47

3.5. Akımların Sınıflandırılması a. Düzenli Akım, Değişen Akım Akımın türünü belirlemede en önemli ölçüt, akım özelliklerinin zamana göre değişip değişmediğinin ifade edilmesidir. Düzenli Akım Hızın, zamandan bağımsız, yere bağlı olarak değiştiği akımlardır. Düzenli akım iki tür olabilir: Düzenli Üniform Akım, Düzenli Üniform Olmayan Akım. Düzenli Üniform Akım 0 Hızın her yerde sabit olduğu akımlardır. t

Düzenli Üniform Olmayan Akım Hızın yere bağlı olarak değiştiği akımlardır.

Değişen Akım Hızın zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır. Değişen akım iki tür olabilir: Değişen Üniform Akım, Değişen Üniform Olmayan Akım. 0 t Değişen Üniform Akım Hızın sadece zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır. V V () t Şekildeki boru akımında, kesit alanı sabit olduğundan, debinin değiştirilmesiyle boru içerisinde herhangi noktadaki hız sadece zaman ile değişir.

Değişen Üniform Olmayan Akım Hızın yere ve zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır. Şekildeki boru akımın kesit alanı değiştiğinden, debinin değiştirilmesiyle boru içerisindeki hız yere ve zamana bağlı olarak değişir. V V ( x, y, z, t)

b. İdeal Akışkan Akımı, Gerçek Akışkan Akımı Akışkan viskozitesinin ihmal edildiği akımlar ideal akışkan akımı (sürtünmesiz akım), viskozitenin göz önüne alındığı akımlar gerçek akışkan akımı (sürtünmeli akım) olarak kabul edilirler. c. Laminer Akım (Tabakalı Akım), Türbülanslı Akım (Çalkantılı Akım) Laminer akımda, viskozitenin tutucu etkisi ile yanal parçacık hareketi oluşamadığından, akışkan, üst üste yığılmış ve birbirinden bağımsız hareket eden tabakalar şeklinde akıyormuş gibi davranır. Laminer akım, akışkan viskozitesinin yüksek ve/veya hızın düşük olduğu durumlarda görülür. Türbülanslı akımda ise, akışkan parçacıkları akıma dik doğrultuda hareket edebilir ve gelişigüzel biçimde yörüngeler izleyebilirler. Türbülanslı akım, akışkan viskozitesinin düşük ve/veya hızın yüksek olduğu durumlarda söz konusudur.

d. Sıkışmayan Akım, Sıkışan Akım Aslında tüm akışkanlar basınç sıkışabilir olmalarına karşın; sıkışmayan akımlar, özgül kütlesi basınç ile pratik olarak değişmez kabul edilebilen akışkanların akımıdır. Normal koşullarda genel bir kural olarak sıvı akımları sıkışmayan, gaz akımları sıkışan akımlar olarak kabul edilirler.

e. Dahili Akım, Harici Akım Katı sınırlar ile çevrelenmiş akımlara dahili akım, katı sınırların etrafından dolanan akımlara harici akım denir. f. Çevrintisiz Akım, Çevrintili Akım Akışkan parçacıklarının, hareketleri sırasında açısal dönmeye maruz kalmadığı akımlara çevrintisiz, aksi halde çevrintili akım olarak adlandırılır.

g. Kririk-Altı, Kritik, Kritik-Üstü Akım Açık kanal akımlarında yapılan bu sınıflandırma, akım hızının kritik hız ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım, hızı kritik hızdan küçük ise kritik-altı, eşit ise kritik, büyük ise kritik-üstü akım olarak adlandırılır.