KÜREYE GÖRE SİMETRİ: ÜÇ BOYUTLU UZAYDA APOLLONIUS VE PAPPUS TEOREMLERİ

ÖZEL EGE LİSESİ KÜREYE GÖRE SİMETRİ: ÜÇ BOYUTLU UZAYDA APOLLONIUS VE PAPPUS TEOREMLERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Barış TİRYAKİ Maide İdil İSPİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Nila BAŞOĞLU İZMİR 016

İçindekiler Safa 1. Giriş...... 1.1 Amaç.... Yöntem. 3. Bulgular..... 3 3.1 Çembere Göre Simetri... 3 3.1.1 Doğrunun Çembere Göre Simetriği.... 7 3.1. Çemberin Çembere Göre Simetriği.... 10 3. Düzlemde Apollonius Çemberi..... 14 3.3 Düzlemde Pappus Teoremi.. 15 3.4 Uzada Küree Göre Simetri.... 15 3.4.1 GeoGebra ve Küree Göre Simetri. 1 3.4. Uzada Apollonius Küreleri...... 3 3.4..1 Apollonius Küreleri ve Ortak Merkezli Küreler Arasındaki İlişki. 3 3.4.3 Uzada Pappus Teoremi..... 9 4. Sonuçlar ve Tartışma... 33 5. Öneriler.... 33 Kanaklar... 33 1

1. Giriş Bir A noktasının bir l doğrusuna göre simetriği denildiğinde, l doğrusuna A noktası ile eşit uzaklıkta ve l e göre A noktasının karşı tarafında er alan bir nokta anlaşılmaktadır. Benzer bir aklaşımla, bir noktanın bir C çemberine göre ansıması, çembere göre simetri kavramını doğurmuştur. Bir doğrua göre simetri bir düz anaa göre ansıma olarak görülürse, çembere göre simetri de bir çukur anaa göre ansıma olarak düşünülebilir. Doğrua göre simetri dönüşümü, noktaları doğrunun diğer tarafına geçirirken çembere göre simetri dönüşümü ise bir çemberin içindeki noktaları çemberin dışına, dışındaki noktaları ise içine ansıtmaktadır. Orijinal adı Circle Inversion olan bu kavramın Türkçe karşılığı Evirtim dir (Tezer, 199). Evirtim, (Tezer,199) de Hem Öklid geometrisindeki bazı ugulamalar hem de Öklid-dışı geometrilere verilecek en basit örneklerin kuruluşu açısından büük öneme sahip bir dönüşüm olarak tanımlanmaktadır. Çembere göre simetri kavramının, aşadığı dönemin aksine 1600 lü ıllarda değeri anlaşılan Pergeli Apollonius tarafından bulunduğu kabul edilmektedir. Bu kavramın sistematik olarak incelenmesi ise 180 ıllarında henüz 8 aşındaken çembere göre simetri kullanarak geometrik keşifler apan Jakob Stainer (1796-1863) ile başlamıştır (Kozai ve Libeskind, 009). Öklid düzleminde ortaa atılmış birçok teorem, evirtim aracılığı ile eniden ispatlanmıştır. Bunların arasında en ii bilinenlerinden biri de Apollonius Çemberleri dir. Apollonius, A ve B farklı iki nokta ve k pozitif bir reel saı olmak üzere PA = k oranını sağlaan P noktalarının PB geometrik erinin, k 1 iken bir çember ve k = 1 iken [AB] nin orta dikmesi olduğunu belirlemiştir. Bu geometrik er literatüre Apollonius Çemberi olarak geçmiştir (Brannan, Epslen & Gre, 009). Bu ilginç özellik, çembere göre simetri dönüşümü kullanılarak da ispatlanmıştır (Brannan, Epslen & Gre, 009). C, AB çaplı bir çember olsun. C ve C 0 ise sırasıla A ve B noktalarında C çemberine içten teğet, D noktasında ise birbirlerine dıştan teğet çemberler olsun. Birbirine içten teğet olan C ve C çemberlerinin arasına bu çemberlere teğet olarak erleştirilen çemberlerin dizisi Pappus Zinciri olarak bilinmektedir (Lamoen & Weisstein, 016). Bu zincirdeki ardışık herhangi iki çember birbirine ve C ile C çemberlerine dıştan teğet olacak şekilde inşa edilmiştir. M.S. 3. üzılda Pappus, bu zincirde er alan herhangi bir çemberin merkezinin, AB e olan uzaklığını hesaplamıştır (Bankoff, 1981). Daha sonra bu hesap, çembere göre simetri dönüşümü ardımıla oldukça estetik bir şekilde tekrar apılmıştır (Brannan, Epslen & Gre, 009). Bu bilgilerden ola çıkılarak şu soru akla gelmektedir: Öklid düzleminde ifade edilen Apollonius Çemberleri nin ve Pappus Teoremi nin üç boutlu ve eğer mümkünse daha üksek boutlu uzalara taşınarak genelleştirilebilmesi mümkün müdür? Mevcut proje bounca bu sorunun çözümü üzerine odaklanılmıştır. 1.1 Amaç Bu projenin amacı, düzlemde çembere göre simetri kavramını üç boutlu uzada küree göre simetri olarak genelleştirmektir. Bu simetriler ardımıla, üç boutlu uzada Apollonius Küreleri nin oluşturulması ve Pappus Teoremi nin üç boutlu uzaa uarlanarak ispatlanması hedeflenmektedir. Yöntem Bu çalışmada, öncelikle düzlemde çembere göre simetri kavramı detalı olarak incelenmiştir. Bir çemberin ve bir doğrunun, bir çembere göre simetrisi alınarak inceleme apılmıştır. Daha sonra ise Öklid düzleminde verilen Apollonius Çember Teoremi ve Pappus Teoremleri ne er verilmiştir. Düzleme göre simetriden ola çıkarak üç boutlu uzada küree göre simetri kavramı üzerine çalışılmıştır. Uzada, düzlemde ifade edilen Apolloinus Çemberleri nin karşılığı olan Apollonius Küreler Ailesi inşa edilmiş ve üç boutlu uzada Pappus Teoremi oluşturularak ispatlanmıştır.

3 Bulgular 3.1 Çembere Göre Simetri Tanım 3.1.1 (Blair, 000) C, merkezi O ve arıçapı R olan bir çember olsun. Aşağıdaki şartları sağlaan A noktasına A nın verilen çembere göre simetriği (A nın C çemberine göre evriği) denir: i. O, A ve A noktaları O dan geçen bir ışın üzerindedir. ii. OA. OA = R Bir A noktasının O merkezli ve R arıçaplı C çemberine göre simetriği, geometrik olarak aşağıdaki şekilde bulunabilir: OA doğrusu çizilir. A noktasından OA doğrusuna dik olan doğru oluşturulur. Bu doğrunun çemberi kestiği noktalar T 1 ve T noktaları olsun. Çemberin T 1 ve T noktalarındaki teğet doğrularının OA doğrusunu kestiği nokta, A noktasının C çemberine göre simetriği olan A noktasını verir (Şekil 1): Şekil 1 e göre OAT 1 ~ OA T ve cos α = OA R, cos α = olduğundan R OA OA. OA = R elde edilir. O halde A noktasının C çemberine göre simetriği A noktasıdır. Şekil 1: Çembere göre simetri Çembere göre simetri tanımından bir çemberin iç bölgesinde er alan bir noktanın bu çembere göre simetriğinin çemberin dışında, dış bölgesinde er alan bir noktanın simetriğinin ise bu çemberin iç bölgesinde er alacağı açıktır. Arıca çember üzerindeki bir noktanın bu çembere göre simetriği ine kendisi olacaktır. Özel olarak, çemberin merkezinin simetriğinin olduğu kabul edilir. 3

Şekil : Çembere göre simetri ve doğrua göre simetrinin karşılaştırılması Şekilde e göre AC = ve A C = olmak üzere A noktasının bir d doğrusuna göre simetriğinin A noktası olması için gerek ve eter koşul = olmasıdır. Diğer taraftan, = R OA = OA R olduğundan, OA = R OA = R + dir. A noktasının Şekil deki O merkezli R arıçaplı çembere göre simetriği A noktası ise aşağıdaki eşitlikler sağlanır: eşitlikleri sağlanır. Dolaısıla R = OA. OA = (R )(R + ) R = R + R R 1 lim R R = R = R + R R R R = 0 R( ) = 1 = R 0 = 0 = 1 1 = elde edilir. O halde doğru, sonsuz arıçaplı bir çember olarak kabul edilirse doğrua ve çembere göre simetri kavramları çakışır. Önerme 3.1. (Brannan, Epslen & Gre, 009). C, merkezi O ( 0, 0 ) ve arıçapı R olan bir çember olsun. A(, ) noktasının C çemberine göre simetriği noktasıdır. R A ( 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0), 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0)) R 4

İspat A(, ) noktasının C çemberine göre simetriği A (, ) noktası olsun (Şekil 3). Bu durumda, çembere göre simetri tanımdan O A. O A = R ve olduğundan O A = ( 0 ) + ( 0 ) O A = ( 0 ) + ( 0 ) O A. O A = ( 0 ) + ( 0 ). ( 0 ) + ( 0 ) = R...(1) elde edilir. C Şekil 3: A(, ) noktasının C çemberine göre simetriği A (, ) dır. Diğer taraftan, O A E ~ O AD olduğundan ve dolaısıla 0 0 = 0 0 = k 0 = k( 0 ) 0 = k( 0 ) dir. Bu eşitlikler (1) numaralı denklemde erine koulursa R = O A. O A = ( 0 ) + ( 0 ). (k( 0 )) + (k( 0 )) = k ( 0 ) + ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) olduğundan = k (( 0 ) + ( 0 ) ) 5

elde edilir. Diğer taraftan, olduğundan k = R R ( 0 ) + ( 0 ) = k = 0 + k( 0 ) = 0 + k( 0 ) A (, ) = A ( 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0), 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0)) olarak bulunur. R Sonuç 3.1.3 1) Bir A(, ) noktasının orijin merkezli birim çembere göre simetriği noktasıdır. A (, ) = A ( +, + ) ) Bir A(, ) noktasının orijin merkezli R arıçaplı çembere göre simetriği A ( R +, R + ) noktasıdır. Önerme 3.1.4 (Brannan, Epslen & Gre, 009) C, merkezi O( 0, 0 ) ve arıçapı R olan bir çember olsun. A(, ) noktasının C çemberine göre simetriği A (, ) noktası ise A (, ) noktasının C çemberine göre simetriği A(, ) noktasıdır. İspat Önerme 3.1. e göre ve olduğundan ve ( 0 ) = ( 0 ) = R = 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0) R = 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0) R ( 0 ) + ( 0 ) ( 0) R ( 0 ) + ( 0 ) ( 0)..()..(3) dir. Buradan R 4 ( 0 ) + ( 0 ) = (( 0 ) + ( 0 ) ) (( 0) + ( 0 ) ) R 4 = ( 0 ) + ( 0 ) 6

olarak bulunur. O halde dir. Diğer taraftan () ve (3) den ve ( 0 ) + ( 0 ) = R 4 ( 0 ) + ( 0 ) 0 = ( 0 )(( 0 ) + ( 0 ) ) R dir. 0 = 0 = ( 0 )(( 0 ) + ( 0 ) ) R R 4 ( 0 ) + ( 0 ) ( 0 ) R = R ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) ve benzer şekilde ( 0 ) 0 = ( 0 ) + ( 0 ) R = olarak bulunur. O halde ve R 4 = = R ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) + 0 R ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) + 0 R ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) dır. Dolaısıla, A (, ) noktasının C çemberine göre simetriği A(, ) noktasıdır. 3.1.1 Doğrunun Çembere Göre Simetriği Bu bölümde, (Brannan, Epslen & Gre, 009) ve (Blair, 000) de er alan çalışmalar detalı olarak incelenmiştir. Önerme 3.1.1.1 a R ve a 0 olmak üzere = a doğrusunun orijin merkezli birim çembere göre simetriği, M ( 1 1, 0) merkezli ve r = arıçaplı bir çemberdir. a a İspat Bir A(, ) noktasının orijin merkezli birim çembere göre simetriği dir. = a ve < < olduğundan = bulunur. olduğundan A (, ) = ( +, + ) a a + ve = a + dir. O halde a + = (a + ) + (a + ) = a + (a + ) = 1 a + = a a + = 0 ( 1 a ) + = ( 1 a ) 7

elde edilir. Bu denklem ise M ( 1 1, 0) merkezli ve r = arıçaplı bir çember belirtir. a a Özel Durumlar a) a > 1 ise Şekil 4 de görüldüğü gibi = a doğrusunun orijin merkezli birim çembere göre simetriği, M ( 1 1, 0) merkezli ve r = arıçaplı bir çemberdir. Oluşan çember ile birim a a çemberin ortak bir noktası oktur. b) a = 1 ise Şekil 5 de görüldüğü gibi = 1 doğrusunun orijin merkezli birim çembere göre simetriği, M ( 1, 0) merkezli ve 1 arıçaplı bir çemberdir. Bu çember, = 1 doğrusuna ve birim çembere teğettir. c) a < 1 ise Şekil 6 da görüldüğü gibi = a doğrusunun orijin merkezli birim çembere göre simetriği, M ( 1 1, 0) merkezli ve r = arıçaplı bir çemberdir. Oluşan çember ile birim a a çember K 1 ve K gibi iki farklı noktada kesişir: Şimdi K 1 ve K noktalarının birim çembere göre simetrilerinin, M ( 1, 0) merkezli ve r = 1 arıçaplı bir çemberin üzerinde olduğunu gösterelim: a + = 1 ve = a olduğundan K 1 = (a, 1 a ) ve K = (a, 1 a ) dir. Diğer taraftan, a ve (a 1 a ) (a 1 a ) + ( 1 a ) = ( a 1 ) + 1 a = 4a4 4a + 1 a 4a + 1 a = ( 1 a ) + ( 1 a ) = ( a 1 ) + 1 a = 4a4 4a + 1 a 4a + 1 a = ( 1 a ) olduğundan, K 1 ve K noktaları M ( 1 1, 0) merkezli ve r = a a arıçaplı çemberin üzerindedir. Şekil 4,5 ve 6 da görüldüğü gibi simetriği alınan doğru orijine doğru aklaştıkça, simetriği olan çemberin arıçapı büümektedir. 8

M( 1 a, 0) M(0.5,0) C C Şekil 4: a > 1 = a = 1 Şekil 5: a = 1 C M( 1 a, 0) = a Şekil 6: a < 1 Önerme 3.1.1. C, merkezi O ( 0, 0 ) ve arıçapı R olan bir çember olsun. a) C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçen bir d doğrusunun C çemberine göre simetriği ine kendisidir (Şekil 7). b) C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçmeen bir d 1 doğrusunun, C çemberine göre simetriği, C çemberinin merkezinden geçen bir çemberdir (Şekil 8). 9

C O ( 0, 0 ) C O ( 0, 0 ) İspat Şekil 7 Şekil 8 a) d, denklemi a + b + c = 0 olan ve C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçen bir doğru olsun. d doğrusu üzerindeki herhangi bir A(, ) noktasının C çemberine göre R simetriği, A (, ) = A ( 0 + ( ( 0 ) +( 0 ) 0), 0 + ( ( 0 ) +( 0 ) 0)) dir. A(, ) ve O ( 0, 0 ) noktaları d doğrusunun üzerinde olduğundan a + b + c = 0 ve a 0 + b 0 + c = 0 denklemleri sağlanır. Buradan a + b + c = a ( 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0)) R R + b ( 0 + ( 0 ) + ( 0 ) ( 0)) + c R = a 0 + b 0 + c + ( 0 ) + ( 0 ) (a + b a 0 + b 0 ) R = 0 0 ( c + c) elde edilir. O halde d doğrusu üzerindeki herhangi bir noktanın C çemberine göre simetriği ine d doğrusu üzerindedir. Dolaısıla, C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçen bir doğrunun C çemberine göre simetriği ine kendisidir. b) Öteleme ve döndürme, çembere göre simetri dönüşümü altında korunur. Önerme 3.1.1.1 de elde edilen sonuçtan ola çıkılarak gerekli öteleme ve döndürmeler aracılığıla ispat apılabilir. 3.1. Çemberin Çembere Göre Simetriği Bu bölümde bir çemberin bir çembere göre simetriği üzerinde durulmuştur. (Brannan, Epslen & Gre, 009) ve (Blair, 000) da er alan önermeler detalı olarak incelenmiştir. 10

Önerme 3.1..1 a, r R, a 0, r > 0 ve (a r) olmak üzere merkezi O (a, 0) ve arıçapı r olan bir çemberin, orijin merkezli birim çembere göre simetriği, merkezi M ( olan çemberdir (Şekil 9 ve Şekil 10). a a r, 0) ve arıçapı r a r M O (a, 0) Şekil 9 O M Şekil 10 İspat O (a, 0) merkezli ve r arıçaplı çember üzerinde bir A(, ) noktası alınsın. Bu noktanın birim çembere göre simetriği, çember üzerindeki A (, ) = ( durumda, dir. Buradan + = ( + ) + ( + ) = =. ( + ) =, + + + ( + ) = 1 + + ve =. ( + ) = ) noktasıdır. Bu + elde edilir. A(, ) noktası, O (a, 0) merkezli ve r arıçaplı çember üzerinde olduğundan çember denklemini sağlar. ( a ) + = r olduğundan ( + a) + ( + ) = r 11

ve buradan ( a( + ) + ) + ( + ) = r olarak bulunur. Bu denklem düzenlenerek + a 1 a r + a r = 0 denklemi elde edilir. Dolaısıla, ( a a r ) + r = (a r ) a r elde edilir. Bu ise, merkezi M ( a r, 0) ve arıçapı a r olan bir çember denklemidir (Şekil 9 ve 10). a, r R ve a = r + 1 olmak üzere merkezi O (a, 0) ve arıçapı r olan bir çemberin orijin merkezli birim çembere göre simetriği merkezi M ( 1+r r, 0) ve arıçapı olan çemberdir. 1+r 1+r Şekil 11 de görüldüğü gibi simetriği alınan çember, birim çembere teğettir. r M Şekil 11 Şeki1 Önerme 3.1.. r R, r > 0 olmak üzere merkezi M( 0, o ) noktası, arıçapı r olan ve orijinden geçen bir çemberin orijin merkezli birim çembere göre simetriği, orijinden geçmeen bir doğrudur. İspat Simetriği alınacak çemberin denklemi 0 + o = r olmak üzere ( 0 ) + ( 0 ) = r olsun. Bu çemberin üzerinde bir P(, ) noktası alınsın. Bu noktanın orijin merkezli birim çembere göre simetriği P (, ) noktası ise = +, = + eşitlikleri sağlanır. P noktası çemberin üzerinde olduğundan ( 0 ) + ( 0 ) = ( + 0) + ( + 0) elde edilir. Bu denklem düzenlenerek, ( + )(1 0 0 ) = 0 = r 1

olarak bulunur. + 0 olduğundan 1 0 0 = 0 dır. Bu denklem ise orijinden geçmeen bir doğru belirtir (Şekil 1). Önerme 3.1..3 C, merkezi O ( 0, 0 ) ve arıçapı R olan bir çember olsun. a) C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçen bir çemberin, C çemberine göre simetriği, O ( 0, 0 ) noktasından geçmeen bir doğrudur (Şekil 13). b) C çemberinin merkezi olan O ( 0, 0 ) noktasından geçmeen bir çemberin, C çemberine göre simetriği, O ( 0, 0 ) noktasından geçmeen bir çemberdir (Şekil 14-15 - 16). Şekil 13 Şekil 14 Şekil 15 Şekil 16 13

İspat Öteleme ve döndürme, çembere göre simetri dönüşümü altında korunur. Önerme 3.1..1 ve Önerme 3.1.. de elde edilen sonuçlardan ola çıkılarak gerekli öteleme ve döndürmeler aracılığıla ispat apılabilir. 3. DÜZLEMDE APOLLONIUS ÇEMBER TEOREMİ Teorem 3..1 (Brannan, Epslen & Gre, 009). a 0 ve a R olmak üzere A( a, 0) ve B(a, 0) noktaları için PA = k (k 1 ve k > 0) PB koşulunu sağlaan P(, ) noktalarının geometrik eri, merkezi A ve B noktalarının bulunduğu doğru üzerinde bulunan ve merkezi A( a, 0) ile B(a, 0) noktalarından farklı olan bir çemberdir. Bu çember literatüre Apollonius Çemberi (Şekil 17) olarak geçmiştir. P(, ) P(, ) Şekil 17 k = 1 ise P(, ) noktalarının geometrik eri, AB doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğrudur. Şekil 18 de görüldüğü gibi her PA oranı için düzlemde farklı bir Apollonius Çemberi PB oluşmaktadır. A B Şekil 18 14

Apollonius Çemberleri analitik düzlemde kolaca ispatlanarak oluşturulabilineceği gibi çemberde simetri dönüşümü ardımıla da (Brannan, Epslen & Gre, 009) da ispat edilmiştir. 3.3 DÜZLEMDE PAPPUS TEOREMİ TEOREM 3.3.1 (Brannan, Epslen & Gre, 009) C, AB çaplı bir çember olsun. C 0 ve C ise A ve B noktalarında C çemberine içten teğet, D noktasında ise birbirlerine dıştan teğet çemberler olsun. C 0, C 1,, C n, çemberler dizisi alınsın öle ki her n = 0,1,, için C n+1 çemberi C n çemberine dıştan teğet ve her C n çemberi, C ve C çemberlerine de dıştan teğettir (Şekil 19). Her n = 0,1,, için C n çemberinin arıçapı r n olmak üzere C n çemberinin merkezinin AB doğrusuna olan uzaklığı d n ise dir. d n = nr n Şekil 19 3.4 UZAYDA KÜREYE GÖRE SİMETRİ Tanım 3.4.1 S, merkezi O ve arıçapı R olan bir küre olsun. Aşağıdaki şartları sağlaan P noktasına P nin verilen küree göre simetriği (P nin S küresine göre evriği) denir: iii. O, P ve P noktaları O den geçen bir ışın üzerindedir. iv. O P. O P = R S küresi, P ve P noktalarını içeren bir düzlem ile kesiştirildiğinde bir çember elde edileceğinden, Tanım 3.4.1 de verilen küree göre simetri ile çembere göre simetri kavramları benzerdir. Önerme 3.4. S, merkezi O(0,0,0) ve arıçapı R olan bir küre olsun. Bu durumda, bir P(,, z) noktasınının S küresine göre simetriği P (,, z) ise P R = ( + + z, R + + z, R z + + z ) 15

dir. İspat Şekil 0 Çembere göre simetride olduğu gibi benzerlikten P = (,, z ) = (k, k, kz) olacak şekilde bir k R vardır (Şekil 0). OP = + + z, OP = (k) + (k) + (kz) = k + k + k z olduğundan OP. OP = R = + + z. k + + z elde edilir. Buradan R = k ( + + z R ) olarak bulunur. Yani k = = k dir. O + +z halde P (, R, z ) = (k, k, kz) = ( + + z, R + + z, R z + + z ) olarak bulunur. Önerme 3.4.3 S, merkezi O(0,0,0) ve arıçapı R olan bir küre olsun. A, B, C R olmak üzere A + B + Cz = 0 düzleminin S küresine göre simetriği ine kendisidir (Şekil 1). İspat Düzlem üzerinde bulunan bir P(,, z) noktasının S küresine göre simetriği P (, R, z ) = ( + + z, R + + z, R z + + z ) noktasıdır. P (,, z ) noktasının simetriğinin de P(,, z) noktası olduğu açıktır. O halde, R = + + z, = R + + z, z = R z + + z eşitlikleri sağlanır. 16

z S Şekil 1 P(,, z) noktası, düzlemin üzerinde olduğundan R A + B + Cz = A + + z + B R + + z + C R z + + z = 0 denklemi sağlanır. Bu denklem düzenlenerek R + + z (A + B + Cz ) = 0 denklemi elde edilir. R 0 olduğundan A + B + Cz = 0 olarak bulunur. Dolaısıla, A + B + Cz = 0 düzleminin S küresine göre simetriği ine kendisidir. Önerme 3.4.4 S, merkezi O(0,0,0) ve arıçapı R olan bir küre olsun. a R, a 0 ve a > R olmak üzere = a düzleminin S küresine göre simetriği, orijinden geçen, merkezi M ( R, 0,0) noktası ve arıçapı R olan bir küredir (Şekil ). a İspat Düzlem üzerinde alınan bir P(,, z) noktasının koordinatları,, z R olmak üzere P(a,, z) şeklindedir. O halde, P noktasının simetriği P (,, z ) olmak üzere dır. Buradan, = R + + z = a, = R + + z, z = R z + + z a 17

elde edilir. + + z = R a M Şekil Bu denklem tam karee tamamlanarak ( R a ) + R + z = ( a ) olarak bulunur. Bu ise merkezi M ( R orijinden geçtiği açıktır. Sonuç 3.4.5 a R, 0,0) noktası ve arıçapı olan bir küredir. Bu kürenin a S, merkezi O(0,0,0) ve arıçapı R olan bir küre olsun. = R düzleminin S küresine göre simetriği, orijinden geçen, merkezi M ( R, 0,0) noktası ve arıçapı R olan bir küredir. Bu kürenin S küresine teğet olduğu açıktır (Şekil 3). 18

M Önerme 3.4.6 Şekil 3 Orijinden geçen bir kürenin, R arıçaplı ve orijin merkezli bir küree göre simetriği, orijinden geçmeen bir düzlemdir (Şekil 4). Şekil 4 19

İspat Önerme 3.1.4 ve Önerme 3.4.4 den açıktır. Önerme 3.4.7 S, merkezi O(0,0,0) ve arıçapı R olan bir küre olsun. a, r R, ve a, r 0 olmak üzere merkezi M(a, 0,0) ve arıçapı r (a r) olan bir kürenin S küresine göre simetriği, merkezi M ( ar, 0,0) noktası ve arıçapı rr a r a r olan bir küredir (Şekil 5). z M M S Şekil 5 İspat Merkezi M(a, 0,0) ve arıçapı r olan kürenin denklemi ( a) + + z = r dir. Bu küre üzerinde alınan bir P(,, z) noktasının S küresine simetriği P (,, z ) ise = R + + z, = R + + z, z = R z + + z dir. Bu değerler, ( a) + + z = r denkleminde erine erleştirilirse R ( + + z a) R + ( + + z ) R z + ( + + z ) bulunur. Bu denklem düzenlenerek R 4 ar + (a r )( + + z ) = 0 dir. a r olduğundan R 4 a r ar a r + ( + + z ) = 0 = r 0

olarak bulunur. Bu denklem tam karee tamamlanarak ( ar a r ) + + z = ( rr a r ) elde edilir. Bu ise merkezi M ( ar, 0,0) noktası ve arıçapı rr a r a r olan bir küredir. Sonuç 3.4.8 S, merkezi O( 0, 0, z 0 ) noktası ve arıçapı R olan bir küre olsun. Bu durumda, a) O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçen bir düzlemin S küresine göre simetriği, ine kendisidir. b) O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçmeen bir düzlemin S küresine göre simetriği, O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçen bir küredir. c) O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçen bir kürenin, S küresine göre simetriği, O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçmeen bir düzlemdir. d) O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçmeen bir kürenin, S küresine göre simetriği, O( 0, 0, z 0 ) noktasından geçmeen bir küredir. İspat Küree göre simetri, öteleme ve döndürme altında korunur. Önerme 3.4.3, Önerme 3.4.4, Önerme 3.4.6 ve Önerme 3.4.7 de elde edilen sonuçlardan ola çıkılarak gerekli öteleme ve döndürmeler apılarak ispat edilebilir. 3.4.1 GeoGebra ve Küree Göre Simetri Markus Hohenwarter tarafından 001 ılında Salzburg Üniversitesi nde üksek lisans tezi olarak hazırlanıp, daha sonra uluslararası bir grup tarafından geliştirilen ilköğretimden ükseköğretime kadar her kademede kullanılabilecek geometri, cebir ve analizi tek bir ara üze taşıan açık kanak kodlu dinamik bir matematik azılımıdır (Hohenwarter & Lavicza, 007; Preiner 008). Arıca sanal olarak Java tabanlı bir azılım olduğundan geniş spektrumlu bir platformda çalışmaktadır (Dikovic, 009). GeoGebra denklem ve koordinatları direkt girebilme, fonksionları cebirsel tanımlama gibi sembolik ve görselleştirme özelliğinden dolaı bir Bilgisaar Cebiri Sistemi olarak tanımlanabilir (Kutluca & Engin, 011). Anı zamanda nokta, doğru parçaları, doğrular ve konik kesitleri gibi kavramları barındırıp bu kavramlar arasında dinamik ilişkiler sağladığından dolaı Dinamik Geometri Yazılımı olarak da tanımlanır (Kutluca & Engin, 011). GeoGebra denklem ve koordinatları direkt girebilme, fonksionları cebirsel tanımlama gibi sembolik ve görselleştirme özellikleri mevcuttur (Kutluca & Engin, 011). GeoGebra, fen bilimleri, teknoloji, mühendislik ve matematik eğitimini (STEM) ve düna genelinde öğrenim ve öğretimde inovasonu destekleerek önde gelen bir dinamik matematik azılımı haline gelmiştir (https://www.geogebra.org/about). 1

Yazılımda düzlemde bir noktanın bir çembere göre simetriğini bulma aracı mevcut iken üç boutlu uzada böle bir araç geliştirilmemiştir. Bu çalışmada, GeoGebra azılımında üç boutlu uzada bir noktanın bir küree göre simetriğini ve bir kürenin bir küree göre simetriğini oluşturan kodlar Javascript dili ile sırasıla Şekil 6 ve Şekil 7 deki gibi azılmıştır. Şekil 6

Şekil 7 3.4. UZAYDA APOLLONIUS KÜRELERİ Teorem 3.4..1 a 0 ve a R olmak üzere A( a, 0,0) ve B(a, 0,0) noktaları için PA = k (k 1 ve k R) PB koşulunu sağlaan P(,, z) noktalarının geometrik eri, merkezi A ve B noktalarının bulunduğu doğru üzerinde bulunan ve merkezi A ve B noktalarından farklı olan bir küredir. Bu küre Apollonius Küresi olarak adlandırılmaktadır. 3.4..1 APOLLONIUS KÜRELERİ VE ORTAK MERKEZLİ KÜRELER ARASINDAKİ İLİŞKİ f:r 3 R 3 f(,, z) = (f 1 (,, z), f (,, z), f 3 (,, z)), f 1 (,, z) = u, f (,, z) = v, f 3 (,, z) = w (u, v, w) = ( + + z a ( + a) + + z, a ( + a) + + z, az ( + a) + + z ) 3

dönüşümü göz önüne alınsın. u + v + w = r ise u + v + w = ( + + z a ( + a) + + z ) denklemi düzenlenerek a az + ( ( + a) + + z ) + ( ( + a) + + z ) u + v + w = (( a) + + z )(( + a) + + z ) (( + a) + + z ) = r denklemi elde edilir. Buradan, elde edilir. Diğer taraftan, r = ( a) + + z ( + a) + + z PA PB = ( + a) + + z ( a) + + z = 1 r değeri sabit olduğundan A ve B noktalarının bulunduğu doğrudan daima bir küre çizilebilir. r = r 1 < 1 ise r = ( a) + +z < 1 ve dolaısıla (+a) + +z ( a) + + z < ( + a) + + z dir. O halde PA > PB dir (Şekil 8). Bu koşulu sağlaan P(,, z) noktalarının f dönüşümü altındaki görüntüsü ise u v w düzleminde u + v + w = r 1 küresini oluşturur (Şekil 9). r = r = 1 ise PA = PB dir (Şekil 8). Bu koşulu sağlaan P(,, z) noktaları, = 0 düzlemini oluşturur. = 0 düzlemi üzerindeki noktaların f dönüşümü altındaki görüntüsü ise u v w düzleminde u + v + w = 1 küresini oluşturur (Şekil 9). r = r 3 > 1 ise r = ( a) + +z > 1 ve dolaısıla (+a) + +z ( a) + + z > ( + a) + + z dir. O halde PA < PB dir (Şekil 8). Bu koşulu sağlaan P(,, z) noktalarının f dönüşümü altındaki görüntüsü ise u v w düzleminde u + v + w 3 = r 3 küresini oluşturur (Şekil 9). 4

Şekil 8 w v A B u Şekil 9 5

z A B Şekil 30 r değeri değiştikçe Şekil 30 da görüldüğü gibi Apollonius küreleri oluşacaktır. ÖZEL DURUMLAR 1) u = 0 ise u = + + z a ( + a) + + z = 0 elde edilir. O halde + + z = a dir. Dolaısıla f dönüşümünün tersi, u = 0 düzlemini merkezi orijin, arıçapı a birim olan bir küree dönüştürür (Şekil 31). A B Şekil 31 ) β pozitif bir reel saı olmak üzere w = β. u olsun. Bu durumda, az ( + a) + + z = β + + z a ( + a) + + z 6

elde edilir. Bu denklem düzenlenerek bulunur. Bu eşitlik tam karee tamamlanarak z a β = + + z a + + (z a β ) = a + a β denklemi elde edilir. O halde f dönüşümünün tersi, w = βu düzlemini, merkezi M (0,0, a β ) noktası ve arıçapı a + a β olan küree dönüştürmektedir. Bu kürenin, A( a, 0,0) ve B(a, 0,0) noktalarından geçtiği açıktır (Şekil 3). z w v A B u Şekil 3 3) β pozitif bir reel saı olmak üzere w = β. u olsun. Bu durumda, elde edilir. Bu denklem düzenlenerek az ( + a) + + z = β + + z a ( + a) + + z z a β = + + z a bulunur. Bu eşitlik tam karee tamamlanarak + + (z + a β ) = a + a β denklemi elde edilir. O halde f dönüşümünün tersi, w = βu düzlemini, merkezi M (0,0, a β ) noktası ve arıçapı a + a β olan küree dönüştürmektedir. Bu kürenin, A( a, 0,0) ve B(a, 0,0) noktalarından geçtiği açıktır (Şekil 33). 7

w z A B v u Şekil 33 Şekil 34 de görüldüğü gibi tüm uza (a, 0,0) ve ( a, 0,0) noktalarından geçen küreler ve r değeri değiştikçe oluşan Apollonius Küreleri ile kaplanacaktır. z A B Şekil 34 8

3.4.3 UZAYDA PAPPUS TEOREMİ Yardımcı Teoerem 3.4.3.1 a 0, a R olmak üzere A(a, 0,0) merkezli ve r arıçaplı bir kürenin, R arıçaplı orijin merkezli bir S küresine göre simetriğinin kendisi olması için gerek ve eterli koşul bu iki küre arasında kalan açının 90 olmasıdır. İspat: K, A(a, 0,0) merkezli ve r arıçaplı küre olsun. K küresinin denklemi, ( a) + + z = r dir. K küresi üzerinden alınan herhangi bir P(,, z) noktasının S küresine göre simetriği P (,, z ) noktası olmak üzere ( ar a r ) + + z = ( ar a r ) dir. Diğer taraftan, K küresinin S küresine göre simetriği ine kendisi ise ( a) + + z = r denklemi sağlanmalıdır. Bu durumda, a r = 1 elde edilir. Dolaısıla R = a r bulunur. a = r + R denklemi bir Pisagor bağıntısı olduğundan iki küre arasındaki açı 90 dir. Tersine, iki küre arasındaki açı 90 ise K küresinin S küresine göre simetriğinin kendisi olduğu benzer şekilde gösterilebilir. R z Şekil 35 9

Teorem 3.4.3. C, AB çaplı bir küre olsun. C ve C 0 ise sırasıla A ve B noktalarında C küresine içten teğet, D noktasında ise birbirlerine dıştan teğet küreler olsun. C 0, C 1,, C n, küreler dizisi alınsın öle ki her n = 0,1,, için C n+1 küresi C n ve C kürelerine dıştan; her C n küresi, C küresine içten teğettir. Her n = 0,1,, için C n küresinin arıçapı r n olmak üzere C n küresinin merkezinin AB doğrusuna olan uzaklığı d n ise d n = nr n dir. z İspat: z Şekil 36 Bu teoremin ispatı, merkezi A(0,0,0) olan ve arıçapı, C n küresine teğet olan bir S küresine göre simetri alarak apılacaktır. C n küresi, S küresine teğet olduğu için aralarındaki açı 90 dir. Yardımcı Teorem 3.4.3.1 gereği, C n küresinin S küresine göre simetriği ine kendisidir. Şekil 37 30

Şimdi C ve C kürelerinin S küresine göre simetrilerini bulalım: A(0,0,0) noktasından geçen bir kürenin, S küresine göre simetriği orijinden geçmeen bir düzlemdir. C ve C küreleri, A(0,0,0) noktasından geçtiğine göre S küresine göre simetrileri, orijinden geçmeen, AB e dik ve birbirlerine paralel iki düzlemdir. Bu düzlemler sırasıla D 1 ve D düzlemleri olsun. Bu düzlemlerin C ve C küreleri ile arakesit noktaları sırasıla N ile M ve K ile L olsun (Şekil 38). z Şekil 38 Şimdi C n 1 ve C n kürelerinin S kürelerine göre simetrilerini bulalım: C n 1 ve C n küreleri S küresinin dışında olduğundan S e göre simetrileri, S küresinin içinde olacaktır. C n küresinin S küresine göre simetriği kendisi ve C n 1 ile C n küreleri C ve C kürelerine teğet olduğundan bu kürelerin S kürelerine göre simetrileri de C ve C kürelerinin simetrilerine teğet olacaktır. Arıca, C n 1 ve C n küreleri birbirlerine teğet olduğundan simetrileri de birbirlerine teğet olur (Şekil 39). Bu durumu, C n küresinden başlaıp C n 1, C n,, C 1, C 0 kürelerine kadar devam ettirirsek iki paralel düzlem arasında, birbirlerine ve düzlemlere teğet olacak şekilde r n arıçaplı, n tane özdeş küre elde edilir (Şekil 40). 31

z d n Şekil 39 Elde edilen kürelerin arıçaplarını C n küresinin merkezinden AB doğrusuna kadar olan mesafede toplanırsa d n = nr n elde edilir (Şekil 40). d n = nr n Şekil 40 3

4. Sonuçlar ve Tartışma Düzlemde (üç boutlu uzada) çembere (küree) göre simetri kavramının özellikleri detalı olarak incelenmiştir. GeoGebra adlı azılımda ugulanabilecek ve küree göre simetri alan aracın kodları oluşturulmuştur. Çalışmanın sonunda 1. Düzlemde ifade edilen Apollonius Çember Teoremi küree göre simetri kullanılarak üç boutlu uzaa taşınmıştır: a) Uzada sabit A ve B noktalarına olan uzaklıkları oranını i) bir apan noktaların geometrik erinin [AB] nin orta noktasından geçen ve AB i normal olarak kabul eden bir düzlem, ii) birden farklı bir reel saıa eşit kılan noktaların geometrik erinin, merkezinin [AB] nin üzerinde ve A ile B noktalarından farklı olan bir küre olduğu küree göre simetri kullanılarak ispatlanmıştır. Bu kürelere Apollonius küreleri adı verilmiştir. b) Uzada, birim küre dışında her bir küree, bir Apollonius küresi karşılık geldiği ispatlanmıştır.. Pappus Teoremi küree göre simetri kullanılarak üç boutlu uzaa taşınmıştır: Pappus Küreler zinciri oluşturulmuş ve bu zincirde er alan her bir kürenin merkezinin AB çapına olan uzaklığı, zincirde er alan kürelerin arıçapları cinsinden belirlenmiştir. 5. Öneriler Apollonius Çemberleri ve çembere göre simetri dönüşümü, elektrostatik ve hidrodinamik problemlerinin çözümlerinde kullanılmaktadır. Bu öntem görüntüleme metodu olarak adlandırılmaktadır. Apollonius Çemberleri ni temel alan koordinat sistemi ise düzlemde bipolar koordinat sistemi olarak bilinmektedir. Bu bakış açısından ola çıkarak Apollonius Çemberleri nin genelleştirilmesi olan Apollonius Küreleri; üç boutlu uzada bipolar koordinat sistemi, diğer bir deişle küresel bipolar koordinat sistemi olarak kullanılabilir. Arıca, küree göre simetri dönüşümü, üç boutlu uzada elektrostatik ve hidrodinamik alanlarındaki çeşitli problemleri çözmei mümkün kılabilir. Bir başka ugulama alanı ise küre paketleme (Apollonius Gasket) ve Apollonius Küreleri paketleme problemleri ile ilişkilidir. Bu problemlerin kodlama teorisi, bilgi kuramı, atomların ve moleküllerin küre olarak düşünüldüğü kimasal fizik alanlarında ugulamaları mevcuttur. Pappus Teoremi nin genelleştirilmesinin bu alanlar üzerine katkı sağlaabileceği görüşündeiz. KAYNAKLAR Bankoff, L. (1981). How Did Pappus Do It?. The Mathematical Gardner. 11-118, Boston. Blair, D. (000). Inversion Theor and Conformal Mappings. American Mathematical Societ, Student Mathematical Librar, Volume 9. Brannan, D.; Esplen F.; Gra, J. (009). Geometr. Cambridge Universit Press. 009. 33

Dikovic, L. (009). Implementing Dnamic Mathematics Resources with GeoGebra at the College Level. International Journal of Emerging Technologies in Learning (IJET), 1 (3). Gow, M. (1960). A Course in Pure Mathematics. Butterworth-Heinemann, p.115. Hohenwarter, M.; Lavicza, Z. (007). Mathematics Teacher Development with ICT: Towards an International GeoGebra Institute, Proceedings of British Societ for Research into Learning Mathematics, 7. Kozai, K.; Libeskind, S. (008). Circle Inversions and Applications to Euclidean Geometr, online supplement to Euclidean and Transformational Geometr: A Deductive Inquir. Kutluca, T.; Zengin, Y. (011). Matematik Öğretiminde Geogebra Kullanımı Hakkında Öğrenci Görüşlerinin Değerlendirilmesi. Dicle Üniversitesi Zia Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi, 17, 160-17. Lamoen. F.; Weisstein, E. (016). Pappus Chain. Erişim Tarihi: 0.01.015, http://mathworld.wolfram.com/pappuschain.html. Preiner, J. (008). Introducing Dnamics Mathematics Software to Mathematics Teacher: the Case of GeoGebra. Dissertation in Mathematics Education, Universit of Salzburg. Tezer, C. (199). Evirtim I. Matematik Dünası, (1), 1-16. Tezer, C. (199). Evirtim II. Matematik Dünası, (), 8-1. 34