İşaret ve Sistemler. Ders 2: Spektral Analize Giriş

İşaret ve Sistemler Ders 2: Spektral Analize Giriş

Spektral Analiz A 1.Cos (2 f 1 t+ 1 ) ile belirtilen işaret: f 1 Hz frekansında, A 1 genliğinde ve fazı da Cos(2 f 1 t) ye göre 1 olan parametrelere sahiptir. A 2.Sin(2 f 2 t) ile belirtilen işaret: f 2 Hz frekansında, A 2 genliğinde ve fazı da Cos(2 f 2 t) ye göre - /2 ye eşit olan bir işareti belirtir. Eğer zamanın fonksiyonu olan işaret tek bir sinüzoidal değil de birden fazla sinüzoidal toplamı şeklinde ise, bu işaretin bütününü belirlemek için değişik frekanslardaki bu sinüzoidal fonksiyonların genlik ve fazları ayrı ayrı belirlenmelidir. İşaret ve Sistemler 2

Örnek 1 s(t)=a.cos w c t +A Cosw m t.cosw c t işaretinin frekans bileşenlerini bulunuz. Trigonometrik açılımdan yararlanarak s(t) ifadesi yeniden yazılabilir. Açılımdan da görüldüğü gibi bu işarette üç frekans bileşeni vardır. Bu bileşenler fc, fc-fm ve fc+fm Hz deki sinüzoidallerin toplamından oluşmuştur. İşaret ve Sistemler 3

Örnek 1 İşaretlerin genlikleri sırası ile A ve A/2 dir. Her üçünün fazları da Cosw c t ye göre sıfıra eşittir. Bu üç frekans bileşenini belirten bir grafik, s(t) işaretinin frekans bileşenlerini göstereceğinden bu grafiğe frekans spektrumu adı verilir. Eğer bir işaret sinüzoidal fonksiyonların toplamı biçiminde ise bu işaretin frekans bölgesindeki gösterilişi elde edilebilir. Bu nedenle önce bir işaretin sinüzoidal büyüklüklerin toplamı olarak gösterilebilmesi için bir yöntem geliştirilmelidir. İşaret ve Sistemler 4

Fourier serisi Bu amaca uygun olarak, Fourier serisi açılımları periyodik işaretlerin sinüzoidal fonksiyonların toplamı şeklinde elde edilmesini sağlar. Periyodik olmayan işaretler için ise bazı genel koşullar altında Fourier Dönüşümü kullanılarak benzer bir açınım elde edilebilir. Spektral analiz, işaretlerin zaman düzleminden (domeninden) frekans düzlemine (domenine) geçişini sağlayan kurallar bütünüdür. İşaret ve Sistemler 5

Fazör Diyagramı m(t)=a.cos(w 1 t+ ) işareti ele alınırsa: Euler teoreminde yararlanarak m(t) işareti, m(t)=re{a.e j(w 1t+ ) } şeklinde yazılabilir. m(t)=re {A[Cos(w 1 t+ ) +jsin(w 1 t+ )]} =A Cos(w 1 t+ ) İşaret ve Sistemler 6

Fazör Diyagramı A: Fazörün genliği olup, pozitif bir büyüklüktür. (A 0) : Fazörün fazı, fazörün t=0 anında gerçel eksenle yaptığı açı olarak tanımlanır ve - değerlerini alabilir. w1=2 f1: Fazörün açısal dönme hızı veya açısal frekansı. Fazörün, saat ibresinin tersi yönünde w1, rad/s açısal hızı ile döndüğü varsayılmakta olup bu yön pozitif olarak seçilmiştir. İşaret ve Sistemler 7

Fazör Diyagramı Fazörü frekans domeninde gösterebilmek için f 1 Hz frekansında hem genliğinin hem de fazının gösterilmesi gerekir. Bu nedenle, verilen bir fazör, frekans domeninde ancak iki ayrı grafikle belirlenebilir. Fazörün genliğini ve fazını frekansa bağlı olarak gösteren bu iki grafiğe işaretin sırasıyla genlik spektrumu ve faz spektrumu denir. İşaret ve Sistemler 8

Örnek 2 m(t)=2cos(2.25t- /4)+4+Sin(2.100t) 3Cos(2.120t) işaretinin pozitif frekans spektrumunu çiziniz. Fazörü çizmeden önce, fazörü tanımlarken genliğinin pozitif olarak tanımlanmasından ve aynı zamanda fazörün fazının reel eksen referans olarak alınması gerektiğinden dolayı, verilen işareti bu tanımlara göre yeniden yazılırsa: İşaret ve Sistemler 9

Örnek 2 m(t) işaretinin fazör diyagramı İşaret ve Sistemler 10

Örnek 2 m(t) işaretinin pozitif frekans spektrumu İşaret ve Sistemler 11

İki Yönlü Frekans Spektrumu İki yönlü frekans spektrumu eksi frekans kavramını içermektedir. Bu kavram ise matematiksel olarak kabul edilen ancak pratikte olmayan bir kavramdır. Negatif frekans Euler teoreminden yararlanarak iki yönlü frekans spektrumu kavramı oluşturulabilir. İşaret ve Sistemler 12

İki Yönlü Frekans Spektrumu İki yönlü frekans spektrumu için m(t)=a.cos(w 1 t+ ) işaretinin spektrumunu çizersek, ilk önce bu sinüzoidal işareti Euler teoreminden yararlanarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz. Bu eşitlikte m(t), eşit genlikli, zıt fazlı ve aynı açısal hızda ters yönlerde dönen iki fazörün toplamından oluşmaktadır. Bu tipten fazörlere eşlenik (konjüge) fazörler adı verilir. İşaret ve Sistemler 13

İki Yönlü Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler 14

İki Yönlü Frekans Spektrumu m(t)=a.cos(w1t+θ) işaretinin iki yönlü frekans spektrumu aşağıdaki gibi elde edilir. İşaret ve Sistemler 15

Örnek 3 m(t)=2cos(2.25t- /4)+4+Sin(2.100t) 3Cos(2.120t) işaretinin iki yönlü frekans spektrumunu çiziniz. İşaret ve Sistemler 16

Örnek 3 İşaret ve Sistemler 17

Örnek 4 m(t)=18+40.cos2000 t-30sin2000 t-24.cos4000 t+10.sin4000 t işaretinin iki yönlü frekans spektrumunu çiziniz. İşaret ve Sistemler 18

Örnek 5 Aşağıda verilen spektrumun zaman düzlemindeki ifadesini bulunuz. İşaret ve Sistemler 23

Örnek 5 veya işaretin spektrumunun pozitif frekans bileşenlerinin genliğinin iki katını alarak Kosinüslü yazmamız yeterlidir. Yani İşaret ve Sistemler 24

Çalışma Sorusu 1 İşaret ve Sistemler 25