Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri

Transkript

1 Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli dönüşüm denklemleri elde edildikten sonra, bir noktadaki maksimum normal ve maksimum kesme gerilmelerini ve bu durumda elemanların eğimlerini belirleebileceğiz. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

2 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ Bir noktadaki genel gerilme durumu 6 adet normal ve kesme gerilmesi bileşeni ile tanımlanmaktadır. Bir cismin üzeinde herhangi bir ükleme oksa, üzedeki bir elemandaki normal ve kesme gerilme bileşenleri sıfır olur. Arıca, tam karşı üzedeki gerilme bileşenleri de sıfır olur. Bu durumda, bu noktadaki malzeme düzlem gerilme etkisindedir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

3 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ Bu nedenle düzlem gerilme durumunda, bir noktadaki genel gerilme durumu, ve iki normal gerilme bileşeni ile bir kesme gerilmesi bileşeni,, ile gösterilir. Eğer bir noktadaki gerilme durumu Şekil a daki gibi üç gerilme bileşeni ile tanımlanıorsa, Şekil b deki gibi farklı bir eğime sahip eleman üç farklı gerilme bileşeni etkisinde kalacaktır. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

4 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ için GENEL DENKLEMLER İşaret Kuralı: Pozitif normal gerilmeler tüm üzelerde dışa doğru etkimektedir. Pozitif kesme gerilmesi elemanın sağ taraftaki üzünde ukarı doğru etkimektedir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

5 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ İÇİN GENEL DENKLEMLER Eğik bir düzlemin eğimi (üzerindeki normal ve kesme gerilme bileşenlerinin belirleneceği) θ açısı ile tanımlanacaktır. θ açısı pozitif ekseninden, pozitif -eksenine doğru ölçülmektedir. Şekilde görüldüğü gibi sağ el kuralına göre, saat ibresinin tersi önü pozitiftir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

6 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ için GENEL DENKLEMLER Normal ve kesme gerilmesi bileşenleri Çıkarılan kısma ait serbest cisim diagramından, Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

7 DÜZLEM-GERİLME DÖNÜŞÜMÜ için GENEL DENKLEMLER +ΣF = 0; +ΣF = 0; σ A ( A sin θ) cos θ (σ A sin θ) sin θ ( A cos θ) sin θ (σ A cos θ) cos θ = 0 σ = σ cos θ + σ sin θ + ( sin θ cos θ) A + ( A sin θ) sin θ (σ A sin θ) cos θ ( A cos θ) cos θ + (σ A cos θ) sin θ = 0 = (σ σ ) sin θ cos θ + (cos θ sin θ) Trigonometrik bağıntılar kullanılarak bu iki denklem basitleştirilirse; ' ' ' cos sin cos sin doğrultusundaki normal gerilmei hesaplamak için ukarıdaki denklemde erine =+90 azılır. ' cos sin

8 ÖRNEK Bir noktadaki düzlem gerilme durumu Şekildeki eleman ile gösterilmektedir. Gösterilen konumdan saat ibresi önünde 30 dönmesi durumundaki elemana ait gerilme durumunu belirleiniz. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

9 ÖRNEK Çözüm: İşaret kuralından, 80 MPa 50 MPa 5 MPa 30 CD düzlemindeki gerilme bileşenlerini elde etmek için, ' ' ' cos sin 5.8 MPa (Ans) sin cos 68.8 MPa (Ans) Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

10 ÖRNEK Çözüm: BC düzlemindeki gerilme bileşenlerini elde etmek için, 80 MPa 50 MPa 5 MPa 60 ' ' ' cos sin 4.15 MPa sin cos 68.8 MPa (Ans) (Ans) Sonuçlar aşağıdaki elemanda gösterilmiştir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

11 ASAL GERİLMELER ve MAKSİMUM KESME GERİLMESİ Bir noktada çeşitli düzlemler üzerindeki gerilmelerin değerleri birbirlerinden farklı olduğundan, o noktadaki maksimum ve minimum gerilmelerin değerlerini ve bunların hangi düzlemler üzerinde oluştuğunu belirlemek önemlidir. Asal Gerilmeler Gerilme durumu asal gerilmelerle gösterildiğinde, elemana herhangi bir kesme gerilmesi etkimeecektir. Maksimum ve minimum normal gerilmeleri belirlemek için, normal gerilme denkleminin θ a göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir. ' cos sin d ' d sin cos 0 Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

12 ASAL GERİLMELER Bu denklemin çözümü, maksimum ve minimum normal gerilme düzlemlerinin θ=θ p eğimini verir. tan p / Çözüm aralarında 90 olan iki köke, θ p1 ve θ p, sahiptir. Asal gerilmeleri elde etmek için, θ p1 ve θ p normal gerilme denkleminde erine azılır. θ p1 ve θ p, nin sin ve cos ü taralı üçgenden belirlenebilir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

13 ASAL GERİLMELER Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd θ p1 için, 1 sin p 1 cos p sin p cos p θ p için,

14 ASAL GERİLMELER Bu iki trigonometrik bağıntı grubundan herhangi biri normal gerilme bağıntısında erine azılırsa, 1, Bu sonuç bir noktaa etkien maksimum vea minimum normal gerilmeleri verir ( 1 ). Bu özel gerilme değerleri asal gerilme, ve bu gerilmelerin etkidiği düzlemler asal gerilme düzlemi olarak tanımlanır. Arıca, asal düzlemlere herhangi bir kesme gerilmesi etkimez.

15 MAKSİMUM KESME GERİLMESİ Maksimum kesme gerilmesi etkisindeki eleman eğimi için kesme gerilme denkleminin θ a göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir. d ' ' cos sin 0 d Çözüm: / tan s Bu denklemin iki kökü, θ s1 ve θ s, taralı üçgenden belirlenebilir. θ s ve θ p arasında 45 vardır. Bu durumda, asal gerilme düzlemini tanımlaan bir elemanın 45 döndürülmesi ile maksimum kesme gerilmesi düzlemi belirlenebilir.

16 MAKSİMUM KESME GERİLMESİ Maksimum kesme gerilmesi, ma sinθ s ve cosθ s, normal gerilme denkleminde erine azılırsa, maksimum kesme gerilmesi düzleminde arıca normal bir gerilme de medana gelir. avg Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

17 MOHR DAİRESİ-DÜZLEM GERİLME Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd Denk (1) ve () aşağıdaki formda azılabilir. parametresi, her bir denklemin karesi alınarak ve denklemler toplanarak elimine edilebilir. vea Burada cos sin sin cos ' ' ' ' ' ' ' ' ' R ort ort R

18 MOHR DAİRESİ-DÜZLEM GERİLME sağa doğru pozitif ve aşağıa doğru pozitif olacak şekilde koordinat eksenleri tanımlanırsa, bu denklem arıçapı R ve ekseni üzerinde merkezi C( ort, 0) olan bir dairee karşılık gelir. Bu daire Mohr dairesi olarak tanımlanır. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

19 MOHR DAİRESİNİN ÇİZİLMESİ sağa doğru pozitif ve aşağıa doğru pozitif olacak şekilde koordinat eksenleri tanımlanır.,, gerilme bileşenleri bilindiğinden, orijinden ort =( + )/ mesafesinde dairenin merkezi C( ort, 0) işaretlenir. Yarıçapı belirlemek için daire üzerinde en az bir nokta bilinmelidir. ekseninin ekseni ile çakıştığı aşağıdaki şekli dikkate alalım Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

20 MOHR DAİRESİNİN ÇİZİLMESİ Bu durumda, =0 ve =, = olacaktır. Bu nokta A referans noktası olarak tanımlanır ve koordinatları A(, ) eksen takımında işaretlenir. A noktası dairenin merkezi C ile birleştirilir ve CA uzunluğu trigonometri ile belirlenir. CA daire arıçapı olarak belirlendikten sonra daire çizilir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

21 MOHR DAİRESİNİN ÇİZİLMESİ ekseninin saat ibresinin tersi önünde 90 döndüğünü düşünelim. Bu değerler daire üzerinde G(, - ) noktasının koordinatlarıdır. Bu durumda CG radal doğrusu, CA referans doğrusundan saat ibresinin tersi önünde 180 dir. Yani, ekseninin eleman üzerindeki dönmesi, daire üzerinde anı önde lık bir dönmee karşılık gelir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

22 MOHR DAİRESİ-DÜZLEM GERİLME Mohr dairesi asal gerilmeleri, maksimum kesme gerilmesini ve ilgili ortalama normal gerilmei vea herhangi bir düzlemdeki gerilmei belirlemek için kullanılabilir. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

23 ASAL GERİLMELER 1 ve asal gerilmeleri ( 1 ), dairenin eksenini kestiği B ve D noktalarına karşılık gelmektedir. Bu noktalarda =0. (Şekil a). Bu gerilmeler, p1 ve p açıları ile tanımlanan düzlemlere etkimektedir, Şekil c. Daire üzerinde p1 ve p açıları ile gösterilen bu gerilmeler, CA referans doğrusundan, sırasıla, CB ve CD doğrularına doğru ölçülür. p dönmesinin önü (burada saat ibresinin tersi önde), referans (+) ekseninden asal düzleme doğru (+ ) anı p dönmesine karşılık gelmektedir, Şekil c. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

24 MOHR DAİRESİ-DÜZLEM GERİLME Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

25 MAKSİMUM KESME GERİLMESİ Ortalama normal gerilme ve maksimum kesme gerilmesi bileşenleri, daire üzerinde E vea F noktalarından belirlenir, Şekil a. s1 ve s açıları bu gerilme bileşenlerini içeren düzlemlerin eğimini verir, Şekil d. s1 açısı Şekil a da gösterilmiştir ve trigonometri ile belirlenebilir. Burada dönme saat ibresi önündedir, ve bu durumda s1 de elemanda saat ibresi önünde olmalıdır, Şekil d. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd

26 HERHANGİ bir DÜZLEMDEKİ GERİLMELER açısı ile tanımlanan düzleme etkien ve normal ve kesme gerilmesi bileşenleri, Şekil e, Mohr dairesinde P noktasının koordinatları belirlenerek elde edilebilir. P noktasını belirlemek için, düzlemi tanımlaan açısı (burada saat ibresinin tersi önünde), Şekil e, daire üzerinde CA referans doğrusundan CP referans doğrusuna doğru anı önde (saat ibresinin tersi önü) ölçülmelidir, Şekil a. Copright 011 Pearson Education South Asia Pte Ltd