Burçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA

UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Burçi Goca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 7 ANKARA

TEZ BİLİRİMİ Tez içideki bütü bilgileri etik davraış ve akademik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalışmada oriial olmaya her türlü kayağa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. Burçi Goca OKATAN

Burçi Goca OKATAN tarafıda hazırlaa UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI adlı bu tezi Yüksek Lisas tezi olarak uygu olduğuu oaylarım. Prof.r. Hamza GAMGAM Tez Yöeticisi Bu çalışma, ürimiz tarafıda oy birliği / oy çokluğu ile İstatistik Aabilim alıda Yüksek lisas/oktora tezi olarak kabul edilmiştir. Başka : : Prof.r.Semra ERBAŞ Üye : Prof.r.Hamza GAMGAM Üye : Prof.r.Müslim EKNİ Üye : Prof.r.Hülya BAYRAK Üye : Yrd.oç.r.İhsa KARABULUT Tarih :9/7/7 Bu tez, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü tez yazım kurallarıa uygudur.

iv UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI (Yüksek Lisas Tezi) Burçi Goca OKATAN GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Ağustos 7 ÖZET Bu çalışmaı amacı uyum iyiliği içi amico Tek-Örek Testii taıtmak ve bu testi diğer uyum iyiliği testleri ile karşılaştırmasıı yapmaktır. Bu kapsamda, ilk olarak Uyum İyiliği Testi ile ilgili çalışmalara değiilmiştir. İkici bölümde Ki-Kare Uyum İyiliği Testi, Kolmogorov-Smirov Uyum İyiliği Testi, Lilliefors Uyum İyiliği Testi, Uyum İyiliği içi Aderso- arlig i Testi ve Watso ı U Testi kısaca taıtılmıştır. Uyum İyiliği içi amico Tek-Örek Testi üçücü bölümde ayrıtılı biçimde açıklamıştır. So bölümde ise bir simülasyo çalışması ile amico u A testi ve ikici bölümdeki testleri bazıları içi gerçekte doğru ola H hipotezii red etme oraı ve gerçekte yalış ola H hipotezii red etme oraı bakımıda karşılaştırmalar yapılmıştır. Souç olarak, amico u A testi hem gerçekte doğru ola H hipotezii red etme oraı hem de gerçekte yalış ola H hipotezii red

v etme oraı bakımıda birçok durumda diğer testlerde biraz daha iyi souçlar vermiştir. Bilim Kodu :5..66 Aahtar Kelimeler :Uyum İyiliği Testleri, Parametredışı İstatistikler, Kolmogorov-Smirov Testi, Ki-Kare Testi, Lilliefors Testi, Aderso-arlig Testi, Watso Testi. Sayfa Adedİ :78 Tez Yöeticisi : Prof.r.Hamza GAMGAM

vi AMICO ONE-SAMPLE TEST FOR GOONESS OF FIT AN A COMPARISON WITH OTHER GOONESS OF FIT TESTS (M.Sc.Thesis) Burçi Goca OKATAN GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AN TECHNOLOGY August 7 ABSTRACT The purpose of this study is to itroduce amico Oe-Sample Test for Goodess of Fit ad compare it with other Goodess of Fit tests. I this scope, firstly, studies about Goodess of Fit tests are metioed. Secodly, Chi-Square Goodess of Fit test, Kolmogorov-Smirov Goodess of Fit Test, Lilliefors Goodess of Fit Test, Aderso-arlig's Test ad Watso's U Test for Goodess of Fit are discussed briefly. amico Oe-Sample Test for Goodess of Fit is discussed throughly i the third sectio. I the last part, amico's A Test ad some other tests from the secod part are compared with a simulatio study with respect to the reect rates for ull hypothesis whe it true ad the reect rates for the ull hypothesis whe it false.

vii As a result, amico s A test gives beter results tha other tests with respect to both reect rates for ull hypothesis that is true ad reect rates for the ull hypothesis that is false i may situatios. Bilim Kodu :5..66 Aahtar Kelimeler :Goodess Of Fit Tests, Noparametric Statistics, Kolmogorov-Smirov Test, Ki-Kare Test, Lilliefors Test, Aderso-arlig Test, Watso Test. Sayfa Adedî :78 Tez Yöeticisi : Prof.r.Hamza GAMGAM

viii TEŞEKKÜR Bu çalışmada baa sosuz sabır göstere, her zama alayışlı davraarak bilgi ve deeyimleriyle bei yöledire, çalışmalarıı yoğuluğua rağme zama ayırarak her kouda yardımıı esirgemeye Sayı Prof.r.Hamza GAMGAM a ve sevgili kardeşim Bilal OKATAN a teşekkürü bir borç bilirim.

ix İÇİNEKİLER Sayfa ÖZET...iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR... viii İÇİNEKİLER...ix ÇİZELGELERİN LİSTESİ...xi SİMGELER VE KISALTMALAR.....xiv. GİRİŞ.... BAZI UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ...4.. Ki-Kare Uyum İyiliği Testi... 4.. Kolmogorov-Smirov Uyum İyiliği Testi...5... Kolmogorov-Smirov testi içi uygulamalar...6.3. Lilliefors Uyum İyiliği Testi...9.4. Uyum İyiliği İçi Aderso-arlig i Testi...35.5. Uyum İyiliği İçi Watso ı U Testi...39 3. UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO NUN TEK ÖRNEK TESTİ...4 3.. amico u A İstatistiğii Taımı...4 3.. A İstatistiğii ağılımı ve Kritik eğerleri... 46 3.3. A İstatistiği İçi Güç Karşılaştırması...54 3.4. A İstatistiğii İki Bağımsız Örek İçi Taımı...57 4. SİMÜLASYON ÇALIŞMASI...59 5. SONUÇ VE ÖNERİLER...7

x Sayfa KAYNAKLAR...76 ÖZGEÇMİŞ... 78

xi ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge.. Her biri 3 er birimlik örekleri kusurlu ürü sayısıa göre dağılımı... Çizelge.. Poisso dağılımıa uyguluk testi içi Q istatistiğii hesaplaması işlemleri... Çizelge.3. Biom dağılımıa uyguluk testi içi Q istatistiğii hesaplaması işlemleri... 4 Çizelge.4. = dα, α e asimptotik yaklaşımlar... P >,α = olmasıı sağlaya,α ı tam olasılık ve asimptotik değerleri... Çizelge.5. α =, ve,5 içi ( ) α Çizelge.6. Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi içi kritik değerler... 5 Çizelge.7. (,) aralığıda, sürekli Tekdüze dağılımda gözlem değeri... 7 Çizelge.8. gözlemde istatistiğii değerii bulmak içi yapıla hesaplamalar... 8 Çizelge.9. * istatistiğii kritik değer çizelgesi... 3 * Çizelge.. Örek çapı ike istatistiği ve Ki-Kare istatistiği ile ormalliği red etme oraları... 33 Çizelge.. çaplı 5 örek içi yokluk hipotezii red etme oraları... 33 Çizelge.. birimlik rassal bir örek içi kazaç verileri... 34 Çizelge.3. Lilliefors testi içi hesaplamalar... 35 Çizelge.4. Üst kuyruk içi Y kritik değerleri... 38 Çizelge.5. Pearso yötemi ve simülasyo yoluyla elde edile kritik değerler... 39

xii Çizelge Sayfa Çizelge.6. Çizelge.7. U istatistiği içi tam olasılık dağılımı ile kritik değerler... 4 U istatistiği içi üst kuyruk yüzdelik oktaları... 4 Çizelge 3.. Z değerleri ve ormal dağılımda birikimli olasılık değerleri... 43 Çizelge 3.. Birikimli olasılık değerlerii aralıklara dağılımı... 44 Çizelge 3.3. Her kutuda sadece bir top üretmek içi yapıla hamleler... 44 Çizelge 3.4. A istatistiğii birikimli tam olasılık dağılımı ( = () 7 içi P( A A c ) = a değerleri )... 46 Çizelge 3.5. * A c kritik değerleri... 47 Çizelge 3.6. Simülasyo ile oluşturula A istatistiğii dağılımıa ilişki kritik değerler... 48 Çizelge 3.7. A istatistiği içi birikimli olasılık değerleri ve bu değerleri sağlaya A değerleri... 5 * c Çizelge 3.8. α alamlılık düzeyleride kritik değer formülleri...53 Çizelge 3.9. α alamlılık düzeyleride kritik değer formülleride hesaplaa A kritik değerleri... 53 Çizelge 3.. Kolmogorov-Smirov * c, Kuiper V, Watso U, Cramer vo Misses W, Aderso-arlig, Q = l Z i ve i Ki-Kare testlerii güç karşılaştırması souçları 55 Çizelge 3.. Kolmogorov-Smirov, Kuiper V, Watso U, Cramer vo Misses W, Aderso-arlig, Q = l Z i, Ki-Kare testleri ile amico (4) u A testii i güç karşılaştırması souçları 56 Çizelge 3.. X yığııda 4 çaplı ve Y yığııda da 6 çaplı örekler içi gözlem değerlerive r sıra sayıları... 58

xiii Çizelge Sayfa Çizelge 3.3. İki-örek test istatistiği içi birikimli dağılım foksiyou... 58 Çizelge 4.. α =, 5 ve = 5(5)5() ike tekrarda, Ki-Kare, Kolmogorov-Smirov, Lilliefors ve amico u A testi içi, gerçekte doğru ola H hipotezii red etme oraları... 6 Çizelge 4.. α =, 5 ve = 5(5)5() ike tekrarda, Ki-Kare, Kolmogorov-Smirov, Lilliefors ve amico u A testi içi, gerçekte yalış ola H hipotezii red etme oraları... 66

xiv SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullaılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda suulmuştur. Simgeler Açıklama Örek çapı k Örek sayısı µ Yığı ortalaması µˆ Yığı ortalamasıı tahmii σ f b f g X i Yığı varyası Beklee frekas Gözlee frekas i ci örek gözlemi X (i) i ci sıralı istatistik α Ι ici tip hata olasılığı F X (x) Yığıı birikimli dağılım foksiyou F ( ) Yokluk hipotezide belirtile birikimli dağılım x foksiyou S (x) Gözlee birikimli dağılım foksiyou F (x) Birikimli Normal dağılım foksiyou Gif () E büyük tam sayı foksiyou,α Kolmogorov-Smirov istatistiği içi kritik değer +,α Kolmogorov-Smirov testi içi üst kuyruk kritik değeri,α Kolmogorov-Smirov testi içi alt kuyruk kritik değeri,α Lilliefors testi içi kritik değer

xv Simgeler Açıklama C α Watso ı U testi içi kritik değer A c amico u A testi içi kritik değer Kısaltmalar Q Z + Açıklama Ki-Kare Test İstatistiği Z ağılımı Kolmogorov-Smirov Test İstatistiği Kolmogorov-Smirov Üst Kuyruk Test İstatistiği Kolmogorov-Smirov Alt Kuyruk Test İstatistiği Y U A A V t Lilliefors Test İstatistiği Aderso-arlig Test İstatistiği Test İstatistiğii Stadartlaştırılmış Biçimi Watso Test İstatistiği amico Tek-Örek Test İstatistiği amico İki-Örek Test İstatistiği Kuiper Test İstatistiği t ağılımı

. GİRİŞ İstatistiksel çıkarsamalarda (hipotez testleri ve güve aralıkları), örek(ler)i geldikleri yığı(lar)ı dağılım biçimlerii bilimesi öemlidir. Örek(ler)i geldikleri yığı(lar)ı dağılımlarıı ormal olması parametrik testler içi öemli bir varsayımdır. iğer bir ifade ile ormallik varsayımı sağlamıyorsa, özellikle küçük hacimli örek(ler) durumuda, parametrik testleri kullaılması doğru olmaz. Bu durumda parametrik olmaya testleri kullaımı öerilmektedir. Bu edele, istatistiksel aalizlerde, hacimli bir öreği ögörüle bir yığıda gelip gelmediğii belirlemek içi yapılacak test oldukça öemlidir. hacimli bir öreği bir ormal dağılımda gelip gelmediğii belirlemek içi yapılacak bir testte hipotezler, H : hacimli örek bir ormal dağılımda gelmiştir. SFSFSFSFSFSFSFSF ve H : hacimli örek bir ormal dağılımda gelmemiştir. biçimide ifade edilir. H hipotezii alteratifi ola H hipotezie karşı testi Uyum İyiliği (Goodess of Fit) Testi olarak adladırılır. iğer bir ifade ile Uyum İyiliği Testleride hacimli öreği H da belirtile dağılımda gelip gelmediği araştırılır. 93 larda başlayarak, deeysel birikimli dağılım foksiyoları üzerie birçok test istatistiği öerilmiştir. Bularda e yaygı olarak kullaıla iki test Ki-Kare ve Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testleridir. Lilliefors (967), yığı ortalaması ve varyası örekte tahmi edildiğide, Ki-Kare ve Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testleri yerie kullaılabilcek başka bir test öermiştir.

Ki-Kare, Kolmogorov-Smirov, Lilliefors, Watso U ve Kuiper V testlerii yaı sıra Cramer (98) ve Vo Mises (93), Aderso ve arlig (95 ) Uyum iyiliği testi üzerie çalışmışlardır [amico, 4]. Gibbos ve Chakraborti (985) Kolmogorov-Smirov ve Lilliefors testlerii Ki-Kare testide biraz daha güçlü olduklarıı, fakat yığı tamame bilimediğide ve/veya bir ya da daha fazla parametrei örekte tahmi edilmesi gerektiğide bu testleri dezavatalı olduklarıı, halbuki bu durumu veride tahmi edile herbir parametre içi bir serbestlik derecesi çıkararak Ki-Kare ile kolayca çözülebileceğii, acak buu deeysel birikimli dağılım foksiyouu kullaıldığı testlerde oldukça zor olduğuu ifade etmiştir. Bu testler içi kritik değerler yığıı dağılımı tamame bilidiği zama dağılımda bağımsızdır, bir ya da daha fazla parametrei veride tahmi edilmesi gerektiğide ise bu durum geçerliliğii kaybeder ve dağılımda bağımsız olduğu düşüülemez [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Çalışmaı ikici bölümüde, yukarıda bahsedile uyum iyiliği testleride sık kullaıla Ki-Kare uyum iyiliği testi, Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi, Lilliefors uyum iyiliği testi, Aderso-arlig uyum iyiliği testi ve Watso uyum iyiliği testi taıtılacaktır. Bu çalışmaı üçücü bölümüde, uyum iyiliği içi amico (4) u A istatistiği taıtılmıştır. Bu test istatistiğii dağılımı teste kou ola yığıı dağılımıa bağlı değildir. amico (4), geel bir formül kullaarak küçük örek çapları içi A istatistiğii belli alamlılık düzeyleride, kritik değerlerii vere çizelgeler oluşturmuştur. Büyük örek çapları içi de simülasyo yötemi kullaarak, kritik değer çizelgelerii elde etmiştir. amico (4) yaptığı simülasyo çalışmasıda A testi ile, Kolmogorov-Smirov testi, Cramer-vo Mises testi, Kuiper ı V testi, Watso ı U testi,

3 Aderso-arlig i testi, Q = l Z i testi ve Ki-Kare testlerii güç i karşılaştırması souçlarıı vermiştir. Bu çalışmaı dördücü bölümüde amico (4) u A testi ile Ki-Kare, Kolmogorov-Smirov ve Lilliefors testlerii simülasyo yötemi kullaılarak gerçekte doğru ola H hipotezii red etme oraı ve gerçekte yalış ola H hipotezii red etme oraı bakımıda karşılaştırmaları yapılmıştır. [amico, 4] So bölüm ola beşici bölümde ise, dördücü bölümde yapıla karşılaştırmalarda elde edile souçları değerledirmesi yapılmıştır ve elde edile souçlarda yola çıkılarak öerilerde buluulmuştur.

4. BAZI UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ Bu bölümde Ki-Kare, Kolmogorov-Smirov, Lilliefors, Aderso-arlig ve Watso U Uyum İyiliği Testleri ayrıtıya girilmede taıtılacaktır... Ki-Kare Uyum İyiliği Testi Birikimli dağılım foksiyou F X (x) ola bir yığıda hacimli bir rassal örek X, X,..., X olsu. Ögörüle (belirtile) dağılıma ilişki birikimli dağılım foksiyou F ( ) olmak üzere, Ki-Kare uyum iyiliği testide hipotezler, x H : F ( x ) F ( x X = ), bütü x ler içi ve H : F ( x ) F ( x X ), bazı x ler içi biçimide ifade edilir. Ki-Kare Uyum İyiliği Testi içi, öce hacimli rassal örekte derlee veri bir frekas dağılımıa döüştürülmelidir. Bu amaçla ilgili değişke sürekli ise bu değişkei aldığı değerleri değer aralığı uzulukları birbirie eşit ve sııf olarak adladırıla alt aralıklara bölüerek her sııfa ait gözlee frekaslar kaydedilir. Sııf sayısıı kaç olacağı kousuda kesi bir kural olmamakla beraber 5-5 arasıda olabileceği ifade edilmektedir. Kesikli değişkeler içi frekas dağılımıı oluşturulmasıı daha kolay olduğu açıktır. Öreği her biri ar birimlik kolii kusurlu ürü sayısıa göre dağılımıı oluşturulması gibi [Gibbos ve Chakraborti, 985]. hacimli bir örekte oluşturula frekas dağılımıı sııf sayısı k olsu, =,,...,k olmak üzere, ci sııfı frekası f g, ci sııf içi gözlee frekas olarak adladırılır. f g ile gösterilsi. Bu frekas,

5 Yokluk hipotezii doğruluğu altıda, herhagi bir birimi ci sııfa düşmesi, ya da ci sııfta olması, olasılığıı hesaplaması kolaydır. Bu olasılığı, yai H doğru ike herhagi bir birimi değişkei ci sııfıda olması olasılığı, P ile gösterilsi. Öreği Biom dağılımı içi bu olasılık, P x x x = P( X = x) = ( p) ( q) ile kolayca hesaplaır. H hipotezi doğru ike hesaplaa bu olasılıklar, P ler, örek hacmi ola ile çarpılırsa her bir sııf içi beklee frekasları verir. Yokluk hipotezi doğru ike ci sııf içi beklee frekas f b ile gösterilsi. Bua göre, f =, =,,..., k b P olur. Eğer örek verisi H hipotezide belirtile F ( x ) dağılımıda gözlemlediyse gözlee frekaslar ile beklee frekaslar arasıda uyum bekleir. iğer bir ifade ile içi f g ile f b frekaslarıı birbirie yakı olması bekleir. Gözlee ve beklee frekaslar arasıdaki uyum bir histogram, bir diyagram ya da bir çubuk grafiği ile görsel olarak karşılaştırılabilir. Uyumsuzluk kuşkusu varsa, karşılaştırma ve karar verme içi Ki-Kare uyum iyiliği testi bir olasılık temelii verir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Uyum iyiliği ile ilgili karar ( f ) f sapmalarıa dayaır. ( f f ) = g b k g b olduğuda, Pearso (9) tarafıda öerile test istatistiği f g ile f b

6 farklarıı karesii f b ye bölümelerii toplamıa dayaır. [Gibbos ve Chakraborti, 985].Bua göre Ki-Kare uyum iyiliği test istatistiği, Q = k ( f g f f b b ) (.) olarak taımlaır [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Gözlee frekas ile beklee frekaslar uyumlu ise Q istatistiği oldukça küçük, tersie bu frekaslar uyumsuz ise Q istatistiği oldukça büyük değer alır. Bu edele Q istatistiğii yeteri kadar büyük değerleri yokluk hipotezii reddii gerektirir. Gibbos ve Chakraborti (985) Q istatistiğii tam olasılık dağılımıı oldukça karmaşık olduğuu, acak büyük hacimli örekler içi Q istatistiğii dağılımıı yaklaşımıı Pearso (9) tarafıda çıkarıldığıı belirtmiştir. k sayılı sııflar içi; Sııf frekasları :, F F,..., F k ve, Sııf olasılıkları : θ θ,..., θ k olsu. hacimli rassal örek içi, Sııfları gözlee frekasları :, f f,..., fk olmak üzere Olabilirlik Foksiyou,

7 k L( θ, θ,..., θ = θ, =,,..., k K ) = f k = f = k, θ = (.) = biçimide yazılabilir. Yokluk hipotezi yığı dağılımıı belirlediğii varsayar ve parametreleri değerleriyle aşağıdaki gibi ifade edilir. F H :θ =, =,,..., k N Eş.. parametreleri e çok olabilirlik tahmileri Bu hipotez içi olabilirlik oraı istatistiği, f θˆ = olarak ifade edilir. T = L( ˆ) ω = L( Ωˆ ) L( θ, θ,..., θk ) = L( ˆ θ ˆ ˆ, θ,..., θ k ) k θ = ˆ θ f dir. T rassal değişkeii dağılımı Ki-Kare olduğuda lt tahmi edilebilir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Ω daki k sayıdaki parametre, θ = kısıtlamasıda çıkarıldığıda, bağımsızca tahmi edilir ve serbestlik derecesi k dir. Bazı istatistikçiler k = k f lt = f lθ l (.3) =

8 ifadesii uyum iyiliği içi bir test kriteri olarak kullamayı savuurlar. Buu Q istatistiği içi Eş.. de verile ifadeye asimptotik olarak eşit olduğu gösterilebilir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. eğişke terimleri toplamı ε olmak üzere, f = θˆ içi θ l i Taylor açılımı, ε θ θ θ θ θ θ θ θ + + + = ˆ! ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ l l ε θ θ θ + = l l f f f f ( ) ( ) ε θ θ + = f f f f dir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. l l l l l f l f! ) ( 3 = = + θ ε (.4) Eş..4, Eş..3 de yerie koulursa, ( ) ( ) = = = + + = k k k f f f T ' l ε θ θ ( ) " ε + + = = k f e f elde edilir [Gibbos ve Chakraborti, 985].

9 f Büyük sayılar kauu ile i θ içi tutarlı bir tahmi edicidir. ( f > ε ) lim P θ =, ε > Böylece Q istatistiğii olasılık dağılımıı k serbestlik derecesi ile Ki- Kare dağıla lt i dağılımıa yakısaklığı görülür. Bu yaklaşım sadece ve sadece beklee her frekası 5 te büyük veya 5 e eşit olması durumuda güvele kullaılabilir. Herhagi bir f < 5 ise, kısıtlama sağlaaa kadar, çoğulukla e yakı grupla bu grubu birleştirmek uygu görülür. Bu durumda, aalizde azala sııf sayısıa uygu olarak serbestlik derecesi de küçültülür [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Yokluk hipotezi altıda beklee frekasları hesaplamak içi µ ve σ bilimelidir. θ yokluk hipotezi tarafıda belirlemiş olmak üzere, µ ve σ verilmediğide ve bir öreği bazı ormal yığılarda çekilip çekilmediği araştırılmak isteildiğide, eğer beklee frekaslar, =,,..., k içi, θ ˆ ile örekte tahmi edilirse Eş.. deki uyum iyiliği içi test istatistiği aşağıdaki gibi olur. Q = k f ˆ θ = θ ˆ (.5) Q istatistiğii asimptotik dağılımı, tahmi içi kullaıla yöteme bağlı olabilir. Grupladırılmış veriler içi E Çok Olabilirlik Yötemiyle tahmiler buluduğuda, yokluk hipotezi altıda θ ı e çok olabilirlik tahmileri ˆ θ

olmak üzere, L (ωˆ ), olabilirlik oraı test istatistiği T dir. T i dağılımıı kayağı ve buda dolayı w uzayıı boyutuu arttırılmış olması hariç Q istatistiği doğruda öceki gibi yazılır. θ ları hepsii tahmi etmek amacıyla, frekas dağılımıa döüştürülmüş gözlemlerde tahmi edile F ( ) deki bağımsız parametreleri sayısı s olmak üzere, Q istatistiği içi x serbestlik derecesi k s dir. Normal dağılıma uyum iyiliğii testide, öreği, µ ve σ parametrelerii tahmileri frekas dağılımıa döüştürülmüş veride hesaplaacaktır ve θ ˆ i bulmak içi ormal dağılım çizelgeleri kullaılacaktır, bu durumda k sııf içi serbestlik derecesi k 3 olur. hacimli bir rassal örekte derlee veri frekas dağılımıa döüştürülmediğide ve e çok olabilirlik tahmileri bütü gözlemleri olabilirlik foksiyou ile buluduğuda Q istatistiği Ki-Kare dağılmaz. Bu durumda Q istatistiğii limit dağılımı Cheroff ve Lehma (954) tarafıda gösterilmiştir. O halde bu test matıklı değildir. Cheroff ve Lehma (954) ı araştırmaları hataı ormal dağılım içi Poisso dağılımıda çok daha öemli olduğuu göstermiştir. Mümkü bir düzeltme Ki-Kare Uyum İyiliği çalışmalarıda tartışılmıştır. Acak uygulamada Eş..5 deki istatistik çoğulukla zate bir Ki-Kare değişkeiymiş gibi ele alıır. Aşağıda Ki-Kare uyum iyiliği testi içi bir örek verilmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Örek : Bir kalite kotrol mühedisi tarafıda bir üretim sürecide herbiri 3 çaplı 5 örek çekilmiştir. Bu örekleri içideki kusurluları sayısıa göre dağılımı aşağıda verilmiştir.,5 alamlılık düzeyide bu örekleri Poisso dağılımıda ve Biom dağılımıda geldiğii belirte yokluk hipotezleri test edilsi [Gibbos ve Chakraborti, 985].

Çizelge.. Her biri 3 er birimlik örekleri kusurlu ürü sayısıa göre dağılımı x : Kusurlu Ürü Sayısı f : Örek Sayısı 4 3 4 4 5 6+ + 5 Her biri 3 çaplı 5 örek frekas dağılımıa döüştürülmüş ve değişke kesikli olduğuda Ki-Kare uyum iyiliği testi kullaılmıştır. ağılım Parametresi bilimediğide, Poisso ve Biom dağılımıa uyguluğu her ikisi içi de testleri yapılabilmesi içi parametrei veride tahmi edilmesi gerekmektedir. Öce Poisso dağılımıa uyguluk testii yapalım. H : Örek, Poisso dağılımıa sahip ola bir yığıda seçilmiştir. H : Örek, Poisso dağılımıa sahip ola bir yığıda seçilmemiştir. Kusurlu sayısıı ortalaması µ olmak üzere, Poisso ağılımıı olasılık foksiyou aşağıdaki gibidir. µ x e µ f ( x) =, x =,,,... içi x! µ ü e çok olabilirlik tahmii 5 örekteki kusurlu sayısıı ortalamasıdır. () + (4) + () + 3(4) + 4() + 5() 65 ˆ µ = = =,3 5 5

µˆ değeri f (x) deki θˆ olasılıklarıı bulmak ve içi kullaılır. f b =5θˆ yi hesaplamak Bir örekte hiç kusurlu olmaması olasılığı ola ˆ θ,,3 e (,3) P( X = ) = =,75! olarak hesaplaır ve beklee frekas, f 5 ˆ θ b = = 5,75 = 3,65 olur. iğer sııflar içi bezer hesaplamalar yapılarak θˆ istatistiğii değerlerii buluması ve diğer işlemler Çizelge. de verilmiştir. Çizelge.. Poisso dağılımıa uyguluk testi içi Q istatistiğii hesaplaması işlemleri x : Kusurlu Ürü Sayısı f θˆ,75 3,65,9644 4,3543 7,75,98,33,55,993 3 4,998 4,99,964 4,34,6, 5+,7,535 +, 5 3,6 f b ( f f ) / g b f b So f b değeri de küçüktür, dolayısıyla bir öceki sııfla birleştirilmiştir. Çizelge. deki souçlara göre 3 serbestlik derecesi ile Q = 3, 6 elde edilmiştir. Serbestlik derecesi başlagıçta k = 5 idi ve µ tahmii içi biri ve so iki kategoriyi birleştirmek içi biri daha çıkarılırsa k = 3 olur.

3 Ki-Kare dağılımıı tam olasılık dağılımı çizelgeside,5 alamlılık düzeyi içi 3 serbestlik derecesiyle kritik değerii 7,8 olduğu görülür. Q = 3, 6 bu değerde küçüktür, dolayısıyla yokluk hipotezi red edilemez. Q istatistiği, 3 serbestlik derecesiyle bir Ki-Kare dağılımıa uygu olmak üzere, tahmii P değeri, P ( Q 3,6) olasılığıdır. EXCEL kullaarak P -değeri ( Q 3,6) =, 378 P olarak buluur. Ki-Kare dağılımıı çizelgesie bakıldığıda da P değerii,5 ve,5 arasıda olduğu görülür. Böylece yokluk hipotezii red edilemeyeceği soucua varılır [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Şimdi de Çizelge. deki veriyi kullaarak, H : Örekler Biom dağılımıda gelmiştir. hipotezii test edelim. Yokluk hipotezi bu örekleri ve p parametreleri ile Biom ağılımıa uyduğudur. p i e çok olabilirlik tahmi edicisi kusurluları toplam sayısıı toplam ürü sayısıa bölümüdür. Kusurluları toplam sayısı daha öce 65 olarak bulumuştu, toplam ürü sayısı 5 3 = 65 olduğuda, p ˆ = 65 65 =, olarak elde edilir. 3 x 3 x f ( x) = (,9) (,), x =,,..., 3 x Bir örekte hiç kusurlu olmaması olasılığı ola ˆ θ, 3 = 3) = 3 3 ˆ θ = (,9) (,), 5487 P ( X = buluur ve beklee frekas değeri,

4 f b = 5 ˆ θ = 5,54 =,7 olarak hesaplaır. iğer θˆ ve f b değerleri de bezer yolla hesaplamış ve Q istatistiğii değerii hesaplaması işlemleri ile beraber aşağıda verilmiştir. Çizelge.3. Biom dağılımıa uyguluk testi içi Q istatistiğii hesaplaması işlemleri x : Kusurlu Ürü Sayısı f θˆ,54,7,5778 4,367 8,355,736,448,4,499 3 4,997 4,986,95 4,7,385,49 5+,65,35 +, 5,968 f b ( f f ) / g b f b 3 serbestlik dereceli Q istatistiğii değeri,968 bulumuştur. Bu istatistik içi.5 alamlılık düzeyide kritik değer 7.8 dir. P değeri, P ( Q,968) olasılığıdır. EXCEL kullaarak P değeri (,968), 3966 P χ olarak 3 = buluur. Biom ağılımıyla ilgili souç, yokluk hipotezii red edilemeyeceğidir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bu örek Ki-Kare uyum iyiliği testiyle ilgili çok yaygı bir soucu göstermiştir. İki veya daha fazla sayıdaki farklı yokluk hipotezlerii her biri ayı veri seti içi kabul edilmiş olabilir. Gerçek dağılım ayı ada hem Biom hem de Poisso olamaz. Böylece, Ki-Kare uyum iyiliği testi üzerideki tahmii souç, bu iki dağılım arasıdaki farkı görmek içi yeterli bilgiye sahip olumadığıdır. Böylece Ki-Kare uyum iyiliği testii bu iki dağılımı her zama ayırdedemediği soucu çıkarılacaktır.

5.. Kolmogorov Smirov Uyum İyiliği Testleri Ki-Kare uyum iyiliği testide gözlee ve beklee sııf frekasları karşılaştırması k sııf içi yapılır. k olmak üzere, gözlem olmasıa rağme sadece k karşılaştırma yapılır. Eğer örek gözlemleri bir sürekli rassal değişkei değerleri ise, farklı gözlem değerlerii her biri içi gözlee ve beklee birikimli orasal frekaslar arasıda karşılaştırmalar yapılabilir. Birçok uyum iyiliği test istatistiği gözlee birikimli dağılım ile yokluk hipotezii doğruluğu altıda beklee birikimli dağılım arasıdaki sapmaları foksiyoudur. Bir test kriteri bu sapmaları bir foksiyou, sapmaları e büyüğü, sapmaları mutlak değeri ya da sapmaları kareleri toplamı olabilir. Oralama ya da eşit aralıklı düzeyde ölçüle değişkeler içi uyum iyiliği testi, 933 de Rus matematikçi A.N. Kolmogorov tarafıda öerilmiştir. Kolmogorov tek örek içi uyum iyiliği testii öerdikte sora 939 yılıda yie bir Rus matematikçisi ola N.V. Smirov iki bağımsız örek içi uyum iyiliği testii öermiştir. Kolmogorov testi ve Smirov testi bezerlik edeiyle uygulamada Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testleri olarak biliirler [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Gibbos ve Chakraborti (985) bilie e iyi uyum iyiliği testii Kolmogorov-Simirov Tek-Örek Testi olduğu soucua varmıştır. Kolmogorov-Smirov Tek-Örek İstatistiği H da ögörüle birikimli dağılım foksiyou ola F ( ) ve tüm x ler içi gözlee birikimli dağılım foksiyou x ola S (x) arasıdaki farklara dayaır. Birikimli dağılım foksiyou veya deeysel dağılım foksiyou yığıı birikimli dağılım foksiyouu bir tahmiidir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. hacimli öreği seçildiği yığıı bilimeye birikimli dağılım foksiyou F X (x) olmak üzere, Kolmogorov- Smirov Tek-Örek Testide hipotezler,

6 H : F ( x ) F ( x X = ), bütü x ler içi ve H : F ( x ) F ( x X ), bazı x ler içi olarak ifade edilir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Kolmogorov-Smirov tek-örek testi hipotezde belirtile birikimli dağılım foksiyou ile tüm x ler içi öreği birikimli dağılım foksiyou ola S (x) arasıdaki farklara dayaır. Öreği birikimli dağılım foksiyou ola S (x), tüm gerçek x sayıları içi x e eşit ya da daha küçük ola örek gözlemlerii sayısıı e bölümü olarak taımlaır. S (x) foksiyouu yığıı birikimli dağılım foksiyou ola F X (x) içi tutarlı okta tahmi edicisi olduğu bilie bir özelliktir. Ayrıca, Gliveko-Catelli teoremie göre, artarke, bir örek içi X ( ), X (),..., X ( ) sıralı istatistiklerii değerleride oluşa sıçrama(atlama)lar ile S (x) foksiyouu tüm x değerleri içi yığıı birikimli dağılım foksiyou ola F X (x) foksiyoua yaklaştığı biliir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bua göre, büyük değerleri içi, yığıı birikimli dağılım foksiyou ve buu istatistiksel görütüsü arasıdaki sapmaları, yai S ( x ) F ( x ) i, tüm x değerleri içi küçük olması bekleir. Bua göre Kolmogorov-Smirov tek-örek test istatistiği, = sup S ( x) F ( x) (.6) x olarak öerilmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bu istatistik F X (x) içi bulua tahmii, yai S (x) i, doğruluğuu uygu bir ölçüsüü verir.

7 Kolmogorov-Smirov tek-örek test İstatistiği olarak adladırıla özellikle parametre dışı istatistiksel çıkarsamalarda kullaılır. Çükü istatistiği i olasılık dağılımı, birikimli dağılım foksiyou sürekli olduğu müddetçe, F X (x) e bağlı değildir. Bu edele, adladırılır. dağılıma bağlı olmaya bir istatistik olarak + [ S ( x) F ( )] = sup x x ve [ F ( x) S ( )] = sup x x (.7) olarak taımlaa yölü sapmalar tek-yölü Kolmogorov-Smirov istatistikleri olarak adladırılırlar. Bu ölçüler aşağıda gösterildiği gibi dağılımda bağımsız ve sup S ( x ) F ( x + = ) = max (, ) x x olduğuu gösterelim. X = ve X = ile gösterile ek sıralı () (+ ) istatistikleri taımlası. x değerie eşit ya da daha küçük değerli örek birimlerii sayısı i ve örek hacmi olmak üzere, S ( x) = i ve X x X, i =,,..., içi ( ) ( + ) yazılabilir. Bua göre,

8 [ ] ) ( ) ( sup x F x S X x = + = [ ] ) ( ) ( sup max ) ( ) ( x F x S X X x X i i i + = + ) ( sup max ) ( ) ( x F i X X x X i i i = + ) ( if max ) ( ) ( x F i x X x X i i i [ ] ) ( ) ( sup x F x S X x = + = ) ( max ) ( i X i X F i =, ) ( max max ) ( i X i X F i (.8) elde edilir. Bezer olarak, =, ) ( max max ) ( i X F i X i ve =, ) ( max, ) ( max max ) ( ) ( i X F X F i i X i i X i (.9) buluur [Gibbos ve Chakraborti, 985]. O halde,, + ve i olasılık dağılımları sadece ) ( ) ( i X F, i,...,, = rassal değişkelerie bağlıdır. ) ( x F i sürekli olup olmaması dikkate alımayarak ) ( ) ( i X F istatistikleri (,) aralığıda Tekdüze dağılımda sıralı istatistiklerdir. Böylece,, + ve istatistikleri ) ( x F de bağımsız dağılımlara sahip oldukları gösterilmiştir.

9 İstatistiksel souç çıkarma işlemleride Kolmogorov-Smirov istatistiğii kullaımı içi bu istatistikleri örekleme dağılımlarıı bilimesi gerekir. Bu dağılımlar ) (x F X de bağımsız olduklarıda geelliği yitirmeksizi ) (x F X i (,) aralığıda düzgü dağılım gösterdiğii varsayabiliriz. istatistiğii dağılımıı çıkartılması zahmetlidir. Buula beraber aşağıdaki yaklaşım sıralı istatistikleri özelliklerie dayaarak geliştirilmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Herhagi bir sürekli birikimli dağılım foksiyou ) ( x F olsu. ) ( ) ( sup x F x S x = ve ( ) < < < < < =.,...,!,...,, dh u u u u u u f olmak üzere, ( ) < < = + < + + + v v du du u u u f v v P v v v v v v,,...,...,,..., 3 3 olur [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Gibbos ve Chakraborti(985) gerekli ispatları yaparak = içi, < + < < = + < ise ise ise ise v v v v v v v v P 4 3, 4 3 4,,5 3 4, ) (, 4

olarak elde etmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Verile herhagi bir v ve içi, P < + v hesaplaabilir ya da bu amaçla geliştirile Birbaum (95) u Çizelge i kullaılabilir ya da buu tersi olarak, ( ) α P >,α = olmasıı sağlaya α değeri buluabilir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. =, α =,5 ile sayısal öreğimizde,, P > + v =,5 veya P < + v =, 95 4 4 ve =,.5 + v 4 olmasıı sağlaya v değeri buluabilir. istatistiğii örekleme dağılımıı yukarıda elde edile özellikleride (v ) =,95, < v < 4 veya v + 3v,5 =,95, v < 3 4 4 elde edilir. İlk eşitlikte çözüm elde edilemez, fakat ikiciside v =,599 çözümüe ulaşılır. Bu edele,, 849 olur.,.5 = Gibbos ve Chakraborti (985) 4 ve seçilmiş α olasılıkları içi, α ı sayısal değerlerii ve daha büyük değerleri içi yaklaşık değerleri

vermiştir. içi daha detaylı çizelgeler usto, Nix ve Reyolds (979) tarafıda çıkartılmıştır [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Büyük örekler içi, istatistiğii örekleme dağılımı içi aşağıdaki yaklaşımları Kolmogorov (933) elde etmiştir ve Smirov (939) buula ilgili basit bir ispat vermiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bu souç burada ispatlamaksızı kısaca verilmiştir. Teorem : Eğer F X (x) herhagi bir sürekli dağılım foksiyou ise, her d > içi, i i d L ( d) = ( ) e olmak üzere, i= lim P d = L( d) olur. L (d) foksiyou Smirov (948) tarafıda çizelgeleştirilmiştir. asimptotik yaklaşımlar içi bazı souçlar Çizelge.4 de verilmiştir. = dα, α e Çizelge.4. = dα, α e asimptotik yaklaşımlar P d > α,,5,,5, d,7,4,,36,63 α 35 olduğu sürece pratik uygulamalar içi bu yaklaşım oldukça uygu bulumuştur. α =, ve,5 içi, α ı asimptotik değerlerii ve tam

olasılık değerlerii bir karşılaştırması Çizelge.5 de verilmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bu çizelgei so sütuuda da alaşıldığı gibi asimptotik yaklaşım tam değerie artarke yaklaşmaktadır. Çizelge.5. α =, ve,5 içi ( ) α P >,α = olmasıı sağlaya,α ı tam olasılık ve asimptotik olasılık değerleri Tam Olasılık eğeri Asimptotik Olasılık eğeri Asimp.Ol.eğ./Tam Ol. eğ. α.5..5..5.,849,993,96,59,4,38 3,776,89,784,9397,8,34 4,639,734,679,838,88,9 5,5633,6685,674,779,78,89,487,4864,495,547,5,58,939,354,337,3639,33,33 3,47,898,48,97,6,5 4,,5,47,574,, 5,884,6,9,3,9,8 Tek-yölü Kolmogorov-Smirov istatistikleri dağılımda bağımsız olduklarıda buları örekleme dağılımlarıı bilimesi parametre dışı istatistiksel souç çıkarmada bu istatistikleri yararlı kılar. Bu istatistikleri örekleme dağılımlarıı çıkarılması içi ola işlemlere göre daha kolaydır. + istatistiğii dağılımı aşağıdaki teoremde açıklamıştır ve simetri edeiyle Chakraborti, 985]. + ile bezer dağılımlara sahiptirler [Gibbos ve Teorem : F X (x) herhagi bir sürekli birikimli dağılım foksiyou olsu. ve f = sup S x ( u, u,..., u ) olmak üzere, ( x) F X ( x)!, < u < u <... < u < =, dh.

3 3 U + ( < c) =... f ( u, u,..., u ) P U U c c c c du... du, c, < c <, c elde edilir. Bu teoremi ispatı Gibbos ve Chakraborti (985) tarafıda yapılmıştır. Bu soucu bir başka biçimii Birbaum ve Tigey (95) ( ( ) ( ) c) + P > c = c + c c c + (.) = olarak vermiştir. Bu eşitlik hesaplamalar bakımıda daha uygudur. Tümevarımla iki formülü eşitliği gösterilebilir. i seçilmiş değerleri ve + α =,;,5;, içi P ( ), > α yı sağlaya çizelgesii Birbaum ve Tigey (95) vermiştir. +,α değerlerii bir Teorem 3 : Eğer F X (x) herhagi bir sürekli dağılım foksiyou ise, her d içi, lim P + < d = e d dir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Bu yaklaşımı bir soucu olarak ve ayı zamada aşağıdaki souçta dolayı +,α ı bir foksiyouu dağılımı içi Ki-Kare çizelgeleri kullaılabilirdir. [Gibbos ve Chakraborti, 985].

4 Eğer F X (x) herhagi bir sürekli dağılım foksiyou ve her d ise,, v + = 4 i limitsel dağılımı serbestlik derecesi ile bir Ki-Kare dağılımıdır. Sadece ve sadece 4 + < 4d veya + v < 4d ise < d dir. Bu edele, lim P v 4 d + d d ( < 4d ) = lim P < = e = e lim P c / ( v c) = e <, bütü c > içi olur. Sağ taraf serbestlik derecesi ile bir Ki-Kare dağılımıı birikimli dağılım foksiyoudur. Bu soucu aşağıda verile bir sayısal öreği +,α ya yaklaşımı ortaya koyar. serbestlik derecesi ile Ki-Kare dağılımıı α =,5 içi kritik değeri 5,99 dur. Yötem + 4 5,99 alıarak uygulaır. Bua göre,,.5 = +.4975.,.5 = = elde edilir. Burada da Teorem deki dα, α = soucu doğrulamış olur. istatistiğii yokluk dağılımıda kritik değerler 4 içi Çizelge.6 da verilmiştir. Uygu kritik bölge i büyük değerleridir.

5 Çizelge.6. Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi içi kritik değerler α...5..,9,95,975,99,995,684,776,84,9,99 3,565,636,78,785,89 4,493,565,64,689,734 5,447,59,563,67,669 6,4,468,59,577,67 7,38,436,483,538,576 8,358,4,454,57,54 9,339,387,43,48,53,33,369,49,457,489,38,35,39,437,468,96,338,375,49,449 3,85,35,36,44,43 4,75,34,349,39,48 5,66,34,338,377,44 6,58,95,37,366,39 7,5,86,38,355,38 8,44,79,39,346,37 9,37,7,3,337,36,3,65,94,39,35,6,59,87,3,344,,53,8,34,337 3,6,47,75,37,33 4,,4,69,3,33 5,8,38,64,95,37 6,4,33,59,9,3 7,,9,54,84,35 8,97,5,5,79,3 9,93,,46,75,95 3,9,8,4,7,9 3,87,4,38,66,85 3,84,,34,6,8 33,8,8,3,58,77 34,79,5,7,54,73 35,77,,4,5,69 36,74,99,,47,65 37,7,96,8,44,6 38,7,94,5,4,58 39,68,9,3,38,55 4,65,89,,35,5 4+.7..36.5.63

6.. Kolmogorov-Smirov Testi içi uygulamalar Burada bir problem üzeride Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testii uygulaması gösterilmiştir. hacimli X,...,, X X rassal öreğimiz olsu. Bu öreği seçildiği yığıı bilimeye birikimli dağılım foksiyou F X (x) ve yokluk hipotezide belirtile (ögörüle) birikimli dağılım foksiyou da F ( ) olmak üzere, bütü x ler içi, x H : F ( x ) F ( x X = ) biçimide ifade edilir. F X (x) yığı dağılımıı istatistiksel görütüsü S (x) olduğuda, yokluk hipotezi doğru ise, S (x) ve F ( ) arasıdaki farklar örekleme varyası x hariç bütü x ler içi küçük olmalıdır. Çoğulukla iki-yölü uyum iyiliği içi alteratif hipotez aşağıdaki gibi yazılır. H : F ( x ) F ( x X ), bazı x ler içi Bu sapmaları mutlak değerce büyük olaları yokluk hipotezie şüpheyle bakılmasıı sağlayabilecektir. Bu edele, >, α olduğuda Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi α alamlılık düzeyide H ı red eder. Gliveko-Catelli teoremi S (x) i (x) e olasılıkla yakısar olduğuu F X gösterdiğide bu testi gücüü e yakısaması demektir. Yai, test alteratifie karşı tutarlıdır. Eş..6 daki Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği istatistiğii değeri istatistiği, eğer bütü gözlemleri farklı sayısal değerlere sahipse, Eş..6 kullaılarak hesaplaabilir. Acak, aşağıdaki ifade cebirsel hesaplama ve uygulama içi çok kolaydır ve ayı değerli gözlemler varsa kolaylık sağlar.

7 ε herhagi bir küçük pozitif sayı olmak üzere, bu formül [ S ( x) F ( x), S ( x ) F ( ) ] = sup S ( x) F ( x) = max ε x x x olarak verilmiştir [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Örek : Aşağıdaki gözlem (,) aralığıda sürekli Tekdüze dağılımda rassal olarak seçilmiş, küçükte büyüğe doğru yeide düzelemiş ve 4 odalık basamağa göre kaydedilmiştir. Bua göre bu sayıları kare köklerii (,) aralığıda sürekli Tekdüze dağılımda geldiğii belirte H hipotezi test edilsi [Gibbos ve Chakraborti, 985]. Çizelge.7. (,) aralığıda, sürekli Tekdüze dağılımda gözlem değeri,3,39,954,6,8,37,3645,399,44,484,539,5846,675,654,6889,76,83,887,949,9634 istatistiğii değerii bulmak içi gereke hesaplamalar Çizelge.8 de gösterilmiştir.

8 Çizelge.8. gözlemde hesaplamalar istatistiğii değerii bulmak içi yapıla x S (x) F ( x) ( ) ( x ) S ( x) F ( x),,5, -,6,6,3,,3 -,,,44,5,44 -,9,9,5,,5 -,3,3,53,5,53 -,8,8,57,3,57 -,7,7,6,35,6 -,5,5,63,4,63 -,3,3,65,45,65 -,,,69,5,69 -,9,9,7,55,7 -,7,7,76,6,76 -,6,6,79,65,79 -,4,4,8,7,8 -,,,83,75,83 -,8,8,87,8,87 -,7,7,9,85,9 -,6,6,94,9,94 -,4,4,96,95,96 -,,,98,,98,, İlk sütudaki değerler, yukarıdaki gözlemler değildir, fakat oları kare kökleridir. Çükü yokluk hipotezi oları kare kökleri ile ilgilidir. S (x) her bir farklı x gözlemie eşit veya daha küçük değerli gözlem sayısıı e oraıdır. H hipotezi, Çizelge.7 de verile sayıları kare köklerii (,) aralığıda sürekli tekdüze dağılımda geldiğii belirttiğide F ( ) değerleri x değerlerie eşittir. olayısıyla 3. sütu ilk sütuu x tamame ayısıdır. 4. sütu ise S ( x ) F ( x ) farkıdır. So olarak 5. sütu 4. sütuu mutlak değeridir. Çizelge.8 de =, 3 olarak elde edilir. Çizelge.6 da = içi, düzeyide red bölgesii, 35 olduğu görülür. Bua göre,

9 =,3 <,35 olduğuda bu sayıları kare köklerii (,) aralığıda sürekli tekdüze dağılımda geldiğii belirte yokluk hipotezi red edilemez..3. Lilliefors Uyum İyiliği Testi Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği istatistiği bir gözlem setii yokluk hipotezide belirtile sürekli dağılım, F ( ) de, gelip gelmediğii belirlemek x amacıyla kullaılır. Çoğulukla alteratifi bir test de Ki-Kare testidir. avid ve Johso (948) ile Massey (95) e göre Kolmogorov-Smirov testii - Küçük örek çaplarıda Ki-Kare testii geçerliliğii şüpheli olması, - Herhagi bir örek hacmi içi çoğulukla Ki-Kare de daha güçlü bir test olması, gibi e az iki büyük avataı vardır [Lilliefors, 967]. Bir gözlem setii yokluk hipotezide belirtile sürekli dağılımda gelip gelmediğii belirlemek içi test yapılırke Kolmogorov-Smirov testi içi stadart çizelgeler kullaılır. Eğer bir ya da daha fazla parametre örekte tahmi edilmek zoruda kalıırsa, Kolmogorov-Smirov testi içi kullaıla çizelgeler artık kullaılamaz. Bu durumda Kolmogorov-Smirov testi kullaılırsa, Massey (95) soucu güveilir olmayacağıı ve doğru ola H hipotezii red etme olasılığıı Kolmogorov-Smirov istatistiğii çizelgeside verilede daha büyük olacağı soucuu göstermiştir [Lilliefors, 967]. Aşağıda alatılacak ola Lilliefors (967) u uyum iyiliği testii souçlarıı oldukça güveilir olduğu gözükmektedir. Lilliefors (967), dağılımı parametreleri örekte tahmi edildiğide, Kolmogorov-Smirov testii kullaımıı uygu olmadığıı ve özellikle kritik değer çizelgesii kullaılamayacağıı ifade etmiştir [Lilliefors, 967].

3 Ortalama ve varyas örekte tahmi edildiğide bir gözlem setii ormal dağılımda gelip gelmediğii belirlemek amacıyla yapılacak test işlemide Kolmogorov-Smirov istatistiği ile birlikte kullaılabilecek bir çizelgeyi Lilliefors (967) Mote Carlo hesaplamalarıda elde etmiştir. Aşağıda yötemi souçlarıı oldukça güveilir olduğua ilişki bulgular verilmiştir [Lilliefors, 967]. Eğer tahmi edile parametreler koum veya ölçüm parametreleri ise, avid ve Johso (948) belirli bir dağılım içi Kolmogorov-Smirov istatistiği ile birlikte kullaılacak çizelgeleri oluşturulmasıı uygu olacağıı ifade etmişlerdir [Lilliefors, 967]. Lilliefors (967), çok küçük örek çaplarıyla kullaılabile bir test öermiştir. Kac ve diğerleri (955) de buu Ki-Kare testide asimptotik olarak daha güçlü olduğuu ifade etmişlerdir [Lilliefors, 967]. Şimdi Lilliefors test istatistiğii taımıı verelim. hacimli bir rassal örek X, X,..., X olsu. Öreği birikimli dağılım foksiyou, S (x) ve µ ve σ parametrelerii yerie tahmi edicileri x ve s i yer aldığı birikimli ormal dağılım foksiyou F (x) olmak üzere, Lilliefors test istatistiği = max F * ( x) S x ( x)

3 olarak taımlaır. Eğer istatistiğii değeri çizelgedeki kritik değeri aşarsa, gözlemleri bir ormal yığıda geldiğii ifade ede H hipotezi red edilir. Lilliefors (967) Çizelge.9 daki kritik değerleri bir Mote Carlo yötemiyle elde etmiştir. i herbir değeri içi veya daha fazla örek çekilmiş ve istatistiği dağılımı böylece tahmi edilmiştir. Gibbos ve Chakraborti (985) Çizelge.9 daki değerler ile Kolmogorov-Smirov testii stadart dağılım çizelgesidekileri karşılaştırarak, Lilliefors (967) u Mote Carlo yötemiyle elde ettiği kritik değerleri Kolmogorov-Smirov testii kritik değerlerie yakısak olduğuu ifade etmiştir. Gibbos ve Chakraborti (985) büyük örek çapları içi Mote Carlo kritik değerlerii Kolmogorov-Smirov kritik değerlerii azaldığıı saptamıştır [Gibbos ve Chakraborti, 985]. i kadar Bu durumda = 4 alıırsa, Mote Carlo yötemiyle elde edilecek ola kritik değer Kolmogorov-Smirov Kritik değerii ı kadar azalacaktır. Yai 4 Kolmogorov-Smirov a göre rededilemeye Lilliefors a göre rededilebilecektir.

3 Çizelge.9. istatistiğii kritik değer çizelgesi α..5..5. 4,3,39,35,38,47 5,85,99,35,337,45 6,65,77,94,39,364 7,47,58,76,3,348 8,33,44,6,85,33 9,3,33,49,7,3,5,4,39,58,94,6,7,3,49,84,99,,3,4,75 3,9,,4,34,68 4,83,94,7,7,6 5,77,87,,,57 6,73,8,95,3,5 7,69,77,89,6,45 8,66,73,84,,39 9,63,69,79,95,35,6,66,74,9,3 5,49,53,65,8,3 3,3,36,44,6,87 3+.736.768.85.886.3 Massey (95), Kolmogorov-Smirov testi içi kritik değerler ile Çizelge.9 u karşılaştırdığıda, i her bir değeri içi, Çizelge.9 u, alamlılık düzeyideki kritik değerlerii, Kolmogorov-Smirov testii acak, alamlılık düzeyideki kritik değerlerie yakısak olduğuu saptamıştır. Bu durumda, parametreler örekte tahmi edildiğide Kolmogorov-Smirov testi içi dağılım çizelgesi kullaılarak güveilir bir test yapılamaz [Lilliefors, 967]. Çizelge.9 da verile istatistiğii değerleri i belli değerleriyle ilişkiledirilmiş kritik değerlerdir. Hesaplaa değeri Çizelge.9 daki değerie eşit veya daha büyük olursa, yokluk hipotezi red edilir. Buradaki,α

33 değeri, her değeri içi veya daha fazla örek kullaarak Mote Carlo hesaplamalarıda elde edilmiştir. Farklı dağılımları her biride çaplı 5 örek alımış ve Lilliefors uyum iyiliği testi içi yapıla Mote Carlo simülasyo souçları içi aşağıdaki Çizelge. oluşturulmuştur. Çizelge.. Örek hacmi ike istatistiği ve Ki-Kare istatistiği ile ormalliği red etme oraları Kolmogorov-Smirov Testi Ki-Kare Testi α α ağılım,5,,6, Normal,6,,6, Ki-Kare, 3 sd.,44,55,,7 t, 3 sd.,5,58,4,5 Üstel,6,7,9,4 Tekdüze,,,,8 Çizelge. da Kolmogorov-Smirov testi ve Ki-Kare testi ile ormallik içi yokluk hipotezii red etme oraları verilmiştir. Lilliefors Testi ile öreği bir ormal dağılımda geldiğii belirte yokluk hipotezii red etme oraı, çaplı 5 örek içi Gibbos ve Chakraborti (985) tarafıda bir Mote Carlo simülasyou ile elde edilmiştir. Bu souçlar Çizelge. de verilmiştir. Çizelge.. çaplı 5 örek içi yokluk hipotezii red etme oraları. Lilliefors Testi Mote Carlo eğerleri ile α ağılım,5, Normal,5, Ki-Kare, 3 sd.,3,35 t, 3 sd.,8,36 Üstel,34,46 Tekdüze,7,3

34 Ayrıca Gibbos ve Chakraborti (985) µ ve σ bilimediği içi geel bir ormal dağılımı varsayıldığıı ve yokluk hipotezii yığı parametrelerii (olasılık foksiyouu) belirttiğii ifade etmiştir, yai yokluk hipotezii bileşik olduğuu belirtmiştir. Bileşik uyum iyiliği hipotezleri söz kousu ike Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testleri acak bilimeye parametreler tahmi edildikte sora uygulaabilir. Fakat parametreler örekte tahmi edildiğide Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testi yerie Lilliefors (967) uyum iyiliği testii kullaılmasıı uygu olacağı belirtilmişti. Bu durumda, Lilliefors (967), herhagi bir ekstra bilgi yokke, yai yığı parametreleri bilimiyorke, yaklaşık P değerii ve kritik değeri bulmak içi, Kolmogorov-Smirov uyum iyiliği testii çizelgelerii kullaılmasıı öermiştir. Aşağıda verile örek ile Lilliefors uyum iyiliği testi i kullaımı gösterilmiştir. Örek : Ekoomik olarak gelişmemiş belli bir şehirde yıllık ortalama bürüt kazacı tahmi etmek içi birimlik rassal bir örek ile mülakat yapılmış ve kazaç verileri aşağıda verilmiştir. Bu verileri bir ormal dağılımda geldiğii belirte yokluk hipotezii testi yapılmak istemektedir [Lilliefors, 967]. Çizelge.. birimlik rassal bir örek içi kazaç verileri 98 93 87 5 69 86 96 55 6 7 Ortalama ve varyas belirtilmediğide e uygu test Lilliefors testidir. Bu durumda öcelikle x ve s hesaplamalıdır. x = 4 ve s = 773, 5 elde edilir.

35 z ( x 4) 773, 5 = ile uygu stadart değerler elde edilir. Çizelge.3 te görülmektedir. içi gereke hesaplamalar Çizelge.3. Lilliefors testi içi hesaplamalar x Z S (x) F X (x) S( x) FX ( x) 69 -,6,833,38,5 7 -,5,667,5,46 86 -,65,5,578,78 87 -,6,3333,79,64 93 -,4,467,3446,7 96 -,9,5,3859,4 98 -,,5833,49,74 -,7,6667,47,946 6,43,75,6664,836,65,8333,74,9 5,73,967,958,45 55,8,,967,39, Böylece, =, 946 olarak elde edilir ve Çizelge.9. da α =, 5 içi, =,4 dir. olayısıyla kazaç verilerii bir ormal dağılımda geldiğii α belirte yokluk hipotezi red edilemez..4. Uyum İyiliği İçi Aderso-arlig Testi hacimli bir rassal örek istatistikler, X,...,, X X olsu. Bu rassal örek içi sıralı X < X < < X ( ) ()... ( ) ile gösterilsi.

36 X = i = X i S ( X i X ) = ve T = i ( + ) = X i ( i) olmak üzere, ormallik içi uyum iyiliği ölçüsü ola test istatistiği, T S = (.) olarak öerilmiştir [ Agostio, 97]. Örek hacmii 5 ya da daha büyük olduğu durumlar içi Agostio (97) istatistiğii stadartlaştırılmış biçimi ola / (.89479) Y = (.).998598 içi yüzdelik oktaları (kritik değerler) ile beraber istatistiğie dayalı ola ormallik içi bir test sumuştur. Bu istatistiği, stadart sapmaı owto (966) ı doğrusal tahmi edicisii stadart hatasıa oraıa eşittir. 5 içi hem hem de Y istatistiklerii daha ayrıtılı çizelgeleri yayılamamış raporda verilmiştir [ Agostio, 97]. Bu yüzdelik oktalar (kritik değerler) Corish-Fisher açılımlarıı kullaarak türetilmiştir ve simülasyo çalışması belirli alamlılık düzeyleri içi bu değerleri uygu olduklarıı göstermiştir.

37 5 içi Corish-Fisher açılımları özellikle üst kuyruk kritik değerleri içi yetersizdir. Buula beraber iyi souçlar elde etmek içi Pearso eğrileri yötemi uygudur. Bu edele, Agostio (97) ve Y istatistiklerii yüzdelik oktalarıı (kritik değerlerii) Johso, Nixo, Amos ve Pearso (963) ı çizelgelerideki karesel eterpolasyou kullaarak hesaplamışlardır. Yapıla simülasyo çalışması, Pearso eğrileri yötemii ike alt kuyruklar (alt kritik değerler) içi iyi souçlar verdiğii, acak özellikle %99 ve daha büyük yüzdelikler içi Pearso eğrileri yötemii üst kuyruklar (kritik değerler) içi iyi souçlar vermediğii göstermiştir. Üst kuyruk değerlerii (üst kuyruk kritik değerlerii) elde etmek içi yoğu bir simülasyo çalışması yapılmıştır. Bu çalışmaı ayrıtıları Çizelge.4 de verilmiştir. Pearso eğrileri yötemi ve simülasyo çalışmasıı souçlarıı birleştirilmesi ile Çizelge.4 deki kritik değerler elde edilmiştir. Bu çizelge, = ()5() içi Y istatistiğii çok sayıda olasılık oktalarıı (kritik değerlerii) kapsamaktadır. Agostio (97) = 5() içi Corish-Fisher yaklaşımıyla olasılık oktalarıı (kritik değerleri) vermiştir. Bu değerler Çizelge.4 deki kritik değerlerle uyumludur.

38 Çizelge.4. Üst kuyruk içi Y kritik değerleri Y i yüzdelikleri,5,,5 5, 9 95 97,5 99 99,5-4,66-4,6-3,5 -,6 -,99,49,35,99,356,385-4,63-4, -3, -,58 -,94,37,39,38,44,479 4-4,57-3,97-3,6 -,53 -,9,38,399,46,55,555 6-4,5-3,9-3, -,5 -,87,367,459,56,587,63 8-4,47-3,87-3,8 -,47 -,85,47,55,574,636,667-4,4-3,83-3,4 -,44 -,8,46,565,68,69,7-4,36-3,78-3, -,4 -,8,497,69,677,744,775 4-4,3-3,75 -,98 -,39 -,79,53,648,7,783,8 6-4,7-3,7 -,96 -,37 -,77,559,68,76,87,867 8-4,3-3,68 -,93 -,35 -,76,586,74,797,868,9 3-4,9-3,64 -,9 -,33 -,75,6,743,83,96,94 3-4,6-3,6 -,88 -,3 -,73,63,77,86,94,983 34-4, -3,59 -,86 -,3 -,7,65,794,89,975, 36-4,9-3,56 -,85 -,9 -,7,669,86,97,,5 38-4,6-3,54 -,83 -,8 -,7,686,837,94,3,8 4-4,3-3,5 -,8 -,6 -,7,7,857,964,6, 4-4, -3,49 -,8 -,5 -,69,76,875,986,9,4 44-3,98-3,47 -,78 -,4 -,68,73,89,,,7 46-3,95-3,45 -,77 -,3 -,67,74,98,,3,9 48-3,93-3,43 -,75 -, -,67,754,93,4,5, 5-3,9-3,4 -,74 -, -,66,765,937,6,8,4 6-3,8-3,34 -,68 -,7 -,64,8,997,3,6,34 7-3,73-3,7 -,64 -,4 -,6,849,5,9,33,4 8-3,67-3, -,6 -, -,59,878,8,4,39,48 9-3,6-3,7 -,57 -,9 -,58,9,,8,44,54-3,57-3,4 -,54 -,7 -,57,93,4,3,48,59 Agostio (97) yaptığı simülasyo çalışması ile alt kuyruk değerleri (alt kuyruk kritik değerleri) içi Pearso eğrileri yötemii sağladığı değerleri simülasyo ile bulua değerlerle oldukça uyumlu olduğuu göstermiştir. Buula beraber, yapıla bu simülasyo çalışması, Pearso eğrileri yötemi ile bulua üst kuyruk olasılık oktalarıı (kritik değerlerii) simülasyo yoluyla bulua kritik değerlerde biraz farklı sapmalı olduğuu ortaya

39 koymuştur. Öreği, = 8() 36 içi Pearso eğrileri yötemi ve simülasyo yoluyla bulua kritik değerler aşağıdaki gibi elde edilmiştir. Çizelge.5. Pearso yötemi ve simülasyo yoluyla elde edile kritik değerler Üst kuyruk % 95 olasılık değerleri Pearso Eğrileri Yötemi ile Simülasyo ile 8.73.75 3.74.744 3.769.77 34.793.795 36.86.86.5. Uyum İyiliği İçi Watso ı U Testi birimlik gözlemler birikimli dağılım foksiyou F X (x) ola yığıda gelsi. Yokluk hipotezii test etmek içi Watso (96,96) bir uyum iyiliği test istatistiği öermiştir. Bu istatistiği dağılımı F X (x) dağılımıda bağımsızdır. Küçükte büyüğe doğru sıralamış gözlemler, x x ve i F X ( x i ) x,..., y = olsu. y = y i olmak üzere, U istatistiği U = i= yi y / + (.3) olarak taımlamıştır [Stephas, 964].

4 U istatistiğii oldukça küçük değerleri uyumu oldukça iyi olduğuu, tersie bu istatistiği oldukça büyük değerleri de uyumu oldukça zayıf olduğuu ifade eder. =,3,4 ike U istatistiğii tam olasılık dağılımlarıı Watso (96,96) elde etmiş ve ( P U > C ) α olmasıı sağlaya C α kritik değerlerii vermiştir. α = = 4 ike U 4 istatistiğii tam olasılık dağılımıda hesaplaa değerleri aşağıda verilmiştir [Stephas, 964]. C α kritik Çizelge.6. U İstatistiği içi tam olasılık dağılımı ile kritik değerler Alamlılık üzeyi, α,,5,5,,5 C α,46,76,,33,5 oldukça küçük olmadıkça U istatistiğii tam olasılık dağılımıı oluşturulması çok karmaşıktır. Bu edele Watso (96,96) istatistiğii dağılımlarıı uygu Pearso eğrileri yötemiyle yaklaşık olarak bulmuştur. Tam olasılık dağılımıda elde edile eğrileri yaklaşımı ile bulua [Stephes, 964]. U C α değerleri ile Pearso C α değerleri heme heme eşit çıkmıştır