DENEY 7: ÖRNEKLEME, AYRIK SİNYALLERİN SPEKTRUMLARI VE ÖRTÜŞME OLAYI. Deneyin Amacı Bu deneyde, ürekli inyallerin zaman ve rekan uzaylarında örneklenmei, ayrık inyallerin ektrumlarının elde edilmei ve örtüşme olayının öğrenilmei hedelenmektedir. 2. Örnekleme ve Ayrık Sinyaller Sürekli inyallerden zaman ve/veya rekan uzayında ayrık ölçüm verilerinin elde edilmei işlemine örnekleme denilmektedir. Zaman uzayında ideal örnekleme işleminin blok diyagramı Şekil de görülmektedir. x( t ) x ( t ) x( n ) x ( t) dt Şekil. Örnekleme blok diyagramı. Burada x( t ) zaman uzayında ölçümü alınacak olan ürekli inyali, ( t ) darbe işaretini, t örnekleme adım aralığını, x( n ) ie örneklenmiş ayrık veriyi götermektedir. Sürekli inyalin darbe inyali ile çarımı x ( t) = x( t) δ ( t nt ) iadeini meydana getirmektedir. Bu iadenin ( t) = δ ( t nt ); n =,, integral alıcıdan geçmei neticeinde, örneklenmiş ölçüm verileri için, x( n) = x( t) δ ( t nt ) dt = x( t nt ) () elde edilmektedir. Dikkat ediniz ki, örnekleme adım aralığı t ııra yaklaştıkça, örneklenmiş veri ürekli inyale yaklaşacaktır. Bu ebele, daha küçük adım aralıkları örnekleme işleminin gerçek inyali temil etme miktarını arttıracaktır. Örnekleme adım aralığını belirleyen aktör örnekleme rekanı dir. Periyodik bir inyalin örneklenmei ıraında, eriyot başına alınmak itenen ölçüm ayıı N olun. Bu durumda örnekleme rekanı = N olmaktadır. Burada ürekli inyalin rekanıdır. Dolayııyla, örnekleme adım aralığı, t şeklinde yazılmaktadır. Burada T ürekli inyalin eriyodudur. T = = = (2) N N
2.. Matlab Uygulamaı Ölçümü alınacak ürekli bir inyalin iadei x( t) = co(2 π t) olun. Bu inyal için = 5 Hz, N = [2, 4, 8,6] ve ölçüm alınan tolam eriyot ayıı 2 olun. Örneklenmiş ölçüm verilerinin zamana bağlı graikleri aşağıdaki Matlab kodu ile elde edilebilir. clear all; cloe all; clc; = 5; % Sürekli inyalin rekanı N_er_eriod = [2,4,8,6]; % Periyod başına örnek ayıı N_eriod = 2; % Period ayıı igure; % Yeni graik encereinin açılmaı or ii = :length(n_er_eriod) = N_er_eriod(ii)*; % Örnekleme rekanı t = /; % Örnekleme adım aralığı N = N_eriod*N_er_eriod(ii); % Tolam örnek ayıı t = :t:(n-)*t; % Zaman uzayındaki örnekleme noktaları x = co(2*i**t); % Örneklenmiş ölçüm verii ublot(2,2,ii); tem(t*(e+3),x,'k'); % Ayrık verinin graiğinin çizilmei hold on; lot(t*(e+3),x,'k-'); xlabel('zaman (m)','fontsize',2); % x ekeninin iimlendirilmei ylabel('örneklenmiş veri','fontsize',2); % y ekeninin iimlendirilmei title(['örnekleme rekanı _=',num2tr(n_er_eriod(ii)),'_']); end Örneklenmiş veri Örneklenmiş veri.5 -.5-2 3.5 -.5 Örnekleme rekanı =2 Zaman (m) Örnekleme rekanı =8-2 3 4 Zaman (m) Örneklenmiş veri Örneklenmiş veri.5 -.5 Şekil 2. Ölçüm verilerinin zamana bağlı graikleri. Örnekleme rekanı =4-2 3 4.5 -.5 Zaman (m) Örnekleme rekanı =6-2 3 4 Zaman (m)
Şekil 2 den görüleceği üzere, örnekleme rekanı arttıkça ölçüm verileri ürekli inyali daha iyi temil etmektedir. Öyle ki, örnekleme rekanı 2 ve 4 iken örneklenmiş veriler üçgen dalgaya benzemekte, örnekleme rekanı arttıkça inüzoidal inyale benzemektedir. 2.2. Ayrık Sinyallerin Sektrumları Sürekli bir inyalin ektrumunu (rekan uzayı iadeini) elde etmek için, zaman ve rekan uzaylarında ürekli olan, eşitlik (3) deki Fourier dönüşümü kullanılmaktadır. j 2π t X ( ) x( t) e dt = (3) Eşitlik (3) e göre, zaman değişkenine ait alt ınırın olmaı ebebiyle, bu iade nedenel (caual) değildir. Buna ek olarak, integralin üt ınırının ve zaman değişkeninin ürekli olmaı ebebiyle, Fourier dönüşümü ayrık ölçüm verilerine uygulanabilir değildir. Ölçüm verilerinden ürekli rekan ektrumunu elde etmek için eşitlik deki Ayrık Zamanlı Fourier Dönüşümü (Dicrete-Time Fourier Tranorm; DTFT) kullanılmaktadır. N j2 π ( t + nt ) ( ) ( ), X = x n e (4) n= burada N ölçüm ayıını, t ölçüme başlanılan ana ait zamanı götermektedir. Frekan uzayının adım aralıklarıyla örneklenmei neticeinde, hem zaman hem de rekan uzayında ayrık Ayrık Fourier Dönüşümü (Dicrete Fourier Tranorm; DFT) ürekli inyale uygulanmış olmaktadır. Bilgiayar ortamında DFT işlemini daha hızlı yaabilmek için Hızlı Fourier Dönüşümü (Fat Fourier Tranorm, ) kullanılmaktadır. Böylece, işlemi onucunda ektrumu elde edilmiş ayrık inyal, N j 2 π k ( t + nt ) ( ) ( ), X k = x n e (5) n= iadeine ahi olmaktadır. Burada k rekan indiini, k ie k indiindeki rekan değerini götermek üzere, matematikel iadei, k = : : = + k ; k =,,, N (6) 2 2 2 şeklindedir. işleminin N noktada yaılmaı durumunda, rekan adım aralığı (çözünürlüğü) = N iadeine ahi olmaktadır. Zaman ve rekan nokta ayılarının eşit olduğu durumda rekan çözünürlüğü için, = = = (7) N t N T max
geçerli olmaktadır. Burada T max zaman uzayında ölçüm alma üreini götermektedir. Dolayııyla, zaman uzayında daha azla üre ölçüm alınmaı, rekan uzayında daha iyi çözünürlük elde edilmeini ağlamaktadır. Frekan uzayında daha iyi çözünürlüğe ahi olmak ayrık veriye ait ektrumun, ürekli inyalin ektrumunu daha iyi temil etmeini ağlamaktadır. Eşitlik (6) gereğince, rekan vektörünün en yükek değeri 2 olmaktadır. Dolayııyla, bant genişliği B olan bir inyalin rekan ektrumunu elde edebilmek için örnekleme rekanı için > 2B ağlanmaı gerekmektedir. Şekil 3 de ayrık bir inyalin genlik ektrumunun temili şekli görülmektedir. X ( ) B + B B B Şekil 3. Ayrık bir inyalin genlik ektrumu. B + B Şekil 3 de görüldüğü üzere, ile elde edilen ektrum aralıkla kendiini tekrar etmektedir. Dolayııyla, kendiini tekrar eden iki alt ektrum araında örtüşme olmamaı için, B > B olmaı gerektiğinden dolayı, > 2 B; B < (8) 2 koşulu ağlanmalıdır. Buna Nyquit kriteri denilmektedir. Nyquit koşulunun ağlanmadığı bir örnekleme hızı ile ölçüm alınmaı, elde edilecek ektrumda örtüşme olmaına neden olmaktadır. Frekan uzayındaki ayrık bir inyali zaman uzayına götürmek için eşitlik (9) daki ter ayrık Fourier dönüşümü (invere DFT) kullanılmaktadır. N j2 ( t nt ) X e π + = (9) k = k x( n) ( ) Bu işlemi Matlab da yamak için I (invere ) kullanılmaktadır. Dikkat edilmei gereken huu, Matlab da ile elde edilen ektrumun nokta ayıına bölünmei gerektiğidir. Aki takdirde, genlikler N katı kadar yükek elde edilmektedir. Bu ebele, değeri nokta ayıına bölünmüş ektrumdan zaman uzayına geçerken, öncelikle ektrumu N ile çarmak gerekmektedir.
2.2.. ve I için Matlab uygulamaı Ölçümü alınacak ürekli bir inyalin iadei x( t) = co(2 π t) olun. Bu inyal için = 5 Hz, N = [, 2, 4, 8] ve ölçüm alınan tolam eriyot ayıı 4 olun. Örneklenmiş ölçüm verilerine ait genlik ektrumları aşağıdaki Matlab kodu ile elde edilebilir. clear all; cloe all; clc; = 5; N_er_eriod = [,2,4,8]; N_eriod = 4; igure; % Yeni graik encereinin açılmaı cnt = ; % Graik ayacı or ii = :length(n_er_eriod) = N_er_eriod(ii)*; % Örnekleme rekanı t = /; % Örnekleme adım aralığı N = N_eriod*N_er_eriod(ii); % Tolam örnek ayıı t = :t:(n-)*t; % Zaman uzayındaki örnekleme noktaları x = co(2*i**t); % Örneklenmiş ölçüm verii x = t(x)/n; % Frekan uzayına geçiş x = thit(x); % Simetrik ektrumun elde edilmei d = /N; % Frekan çözünürlüğü = -/2:d:/2-d; % Frekan noktaları cnt = cnt + ; ublot(2,,cnt); tem(,ab(x),'k'); % Ayrık verilere ait genlik ektrumunun çizilmei xlabel('frekan (Hz)','FontSize',2); % x ekeninin iimlendirilmei ylabel('genlik','fontsize',2); % y ekeninin iimlendirilmei xlim([-.*/2.*/2]); % x ekeninin limitlerinin belirlenmei title(['örnekleme rekanı _=',num2tr(n_er_eriod(ii)),'_']); i ii == 2 igure; cnt = ; end end Örnekleme rekanı = Genlik.5-25 -2-5 - -5 5 5 2 25 Frekan (Hz) Örnekleme rekanı =2 Genlik.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Frekan (Hz) Şekil 4. Örtüşmeli genlik ektrumları.
.8 Örnekleme rekanı =4.6 Genlik.4.2.8 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 Frekan (Hz) Örnekleme rekanı =8.6 Genlik.4.2-2 -5 - -5 5 5 2 Frekan (Hz) Şekil 5. Örtüşmeiz genlik ektrumları. Örnekleme rekanı 8 olan inyalin ektrumundan zaman uzayına geçmek için, yukarıdaki kodun altına aşağıdaki kod yazılabilir. x = ithit(x)*n; % Simetrik olmayan ektruma geçiş xt = it(x); % Zaman uzayına geçiş igure; % Yeni encerenin açılmaı lot(t,xt,'k*--'); % xt işaretinin graiğinin çizdirilmei hold on; % Önceki eğrinin üzerine başka eğrinin çizdirilmei lot(t,x,'ko--'); % x işaretinin graiğinin çizdirilmei legend('ift[x()]','x(t)'); % Eğrilerin iimlendirilmei xlabel('zaman ()','FontSize',2); % x ekeninin iimlendirilmei ylabel('sinyal','fontsize',2); % y ekeninin iimlendirilmei.8 IFT[X()] x(t).6.4.2 Sinyal -.2 -.4 -.6 -.8 -..2.3.4.5.6.7.8 Zaman () Şekil 6. Zaman uzayı graikleri.
Teoride x( t) = co(2 π t) inyalinin genlik ektrumu, ± rekanlarında birer Deltadirak onkiyonundan oluşmaktadır. Fakat, Şekil 4 den görülebileceği üzere, Nyquit koşulunun ağlanmadığı durumlarda elde edilen ektrum örtüşmeli (hatalı) olmaktadır. Örneğin, Şekil 4 deki = olduğu graikte rekanında dirak meydana gelmektedir. Örnekleme rekanının = 2 olduğu graikte ie, = rekanında örtüşme meydana gelmekte, teoride.5 genlikli olmaı gereken diraklar tolanarak genlikli tek bir dirak oluşturmaktadırlar. Nyquit rekanının ağlandığı Şekil 5 de elde edilen genlik ektrumları ie, teoride beklenen genlik ektrumları ile tutarlıdır. 3. Ön Hazırlık 3.. Aşağıdaki inyalde = Hz, 5Hz, khz ve örnekleme rekanı = khz için, a) bu inyalin graiğini her bir rekan için arklı encerelerde çizdiriniz, b) her eriyotta kaçar örnek olduğunu bulunuz, c) (a) ve (b) şıklarında elde ettiğiniz onuçlara bakarak, Nyquit şartının ağlanı ağlanmadığını yorumlayınız. Bu koşulun ağlanmadığı durum vara çözüm öneriinde bulununuz. x ( n) = co 2π n 3.2. Aşağıdaki inyalde = 2Hz,.5kHz ve 3kHz ve nokta ayıı 256 için, a) bu inyalin genlik cevabını t() komutu ile bulunuz ve graiğini çizdiriniz, b) (a) şıkkında elde edilen graiğe bakarak örtüşme (aliaing) olu olmadığını belirtiniz, c) nokta ayıını değiştirerek, bu değerin rekan cevabına olan etkiini belirtiniz. 2 ( ) 3 i j2π n i x n =.8 e, = [, 5, ] i= 3.3. Şekil ve 2 de ıraıyla genlik modülatörü ve demodülatörü görülmektedir. Genlik modülayonu ile haberleşme yaan A, B ve C iimli radyo itayonlarının kullandığı taşıyıcı rekan değerleri ıraıyla = 86.5MHz, 97.2MHz ve 8MHz olmak üzere, c ( ) 4co 2 m iadeine ve BG m = 2kHz bant genişliğine ahitir. Kanaldan gönderilen elektromanyetik dalgalar ( t ) olmak üzere, haberleşme kanalına uygun hale getirilmek itenen meaj işareti m t = ( π t) m( t ) İdeal BGF MF = c BG = BG 2 m ( t ) co(2 π t) c Şekil 7. Genlik modülatörü.
z( t ) ( t ) İdeal BGF m ( t) BG = BG m Şekil 8. Genlik modülatörü. a) örnekleme rekanı GHz iken m( t ) işaretinin ve A, B, C radyo itayonları için ( t ), z ( t ) ve m ( t) işaretlerinin zamana bağlı graiklerini ayrı encerelerde çizdiriniz, b) (a) şıkkında belirtilen işaretlerin ektrumlarını bulunuz ve graiklerini çizdiriniz, c) (a) şıkkında her radyo itayonu için elde ettiğiniz m ( t) işaretlerini meaj işareti ile kıyalayınız. co(2 π t) d) Haberleşme kanalından gönderilen işaretin taşıyıcı rekanı 8MHz olmak üzere, MATLAB GUI kullanarak A, B ve C itayonlarının dinlenmeini ağlayan arayüz rogramı yazınız. Taarladığınız arayüz Şekil 9 deki görünüme ahi olmalıdır. c Şekil 9. Kullanıcı arayüzü.