IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2
Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Geometrik Dağılımı Negatif Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 2
İçerik Sürekli Dağılımlar Uniform Dağılım Üssel Dağılım Gamma ve Erlang Dağılımı Weibull Dağılımı Normal Dağılımı Üçgen Dağılımı Lognormal Dağılımı Kesikli Normal Dağılımı Konvolüsyon Ampirik Dağılımlar Maksimum Likelihood Tahminleyicis 3
Uniform Dağılımı
Üssel Dağılımı λ oran parametresi olarak bilinmektedir. Zaman başı beklenen olay sayısı
Üssel Dağılımı Üssel dağılım hafızasızlık özelliğine (memoryless property) sahiptir. 6 Koşullu olasılık?? Örnek: X bir parçanın (batarya, ampül, bilgisayar çipi, vb) ömrünü ifade etsin ve ekonomik ömrü üssel dağılımı takip etsin. Hafızasızlık özelliğine göre eğer parça s saattir kullanımdaysa, parçanın t saat daha kullanımda kalması olasılığı, yeni parçnın t saat kullanılma olasılığı ile eşittir. Sadece üssel dağılım ve geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir.
Gamma Dağılımı Analitik formu yok. β ve λ parametreleri şekil (shape) ve oran (rate) parametreleri olarak bilinir. Alternatif parametrizasyonlar da kullanılabilir. Gamma fonksiyonu, Γ(β), Gamma dağılımının olasılık dağılım fonksiyonu olarak kullanılır ve faktöryel fonksiyonunun genel versiyonu olarak düşünülebilir. Tamsayı β için,
Gamma Dağılımı
Erlang Dağılımı Tamsayı β için Gamma fonksiyonu faktoriyel olur ve β adet özdeş, ortalaması 1/λ olan üssel dağılımın toplamı haline gelir. β=1 için Gamma(β,λ) dağılımı üssel dağılımdır. 9 Poisson dağılımı, gelişler arası sürenin üssel dağılım olan varışları sayar. Dolayısıyla Erlang ve Poisson dağılımları arasında bir ilişki vardır: S=[0,x] aralığını alalım. X~ Erlang(k,λ) ve Y~Poisson(λx) olarak tanımla. en az k özdeş üssel dağılımın (λ parametreli) S içinde var olması demektir. Dolayısıyla S içindeki üssel dağılım sayısı k e eşit veya büyük olmalıdr.
Weibull Dağılımı 10 Gamma dağılımına benzer olarak, ilk iki dağılım parametresi, α ve β, scale and shape parameterleridir. Üçüncü parametre, ν, ise lokasyon parametresidir. β = 1 ve ν = 0 için Weibull dağılımı, üssel dağılıma dönüşür, λ = 1/α.
Weibull Dağılımı
Normal Dağılım Daha önce μ Recall that μ is lokasyon ve σ location, σ is ölçü (scale) the scale parametresi parameter for olduğunu Normal Distr. ifade etmiştik.
Normal Dağılım Normal dağılımla gerçekleştirilen hesaplamalar için, standard normal dağılımı (μ=0, σ=1) kullanıyoruz. 13 Normal dağılımın olasılıkları şu şekilde hesaplanır: https://mhekimoglushinyapps.shinyapps.io/app2/
Normal dağılım pdf Normal Dağılım
Üçgen Dağılım 15 Üçgen dağılımın üç parametresi a b c, sırasıyla minimum, mode ve maksimum değerlerini verir.
Lognormal Dağılım Lognormal Dağılım Lognormal dağılım Normal dağılımın dönüştürülmesinden elde edilir. Y eğer parametreleri μ ve σ olan Normal dağılım ise, X=e Y, lognormal dağılımı verir. Elde edilen dağılımın ortalaması m ve varyansı v 2 ise aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
Lognormal Dağılım
Kırpılmış (Truncated) Normal Dağılım 18 a ve b kırpılma alanını verir ve, ana dağılımın parametreleridir. Çıkış Noktası: Kırpılma alan dışındaki değerler için olasılığı 0 a eşitle, geri kalan olasılıkları da uygun şekilde güncelle. Beklene Değer (μ) ve Varyans (σ)
Truncated Normal Distribution (a=0, b= )
Konvolüsyon Şimdiye kadar rassal dağılımları inceledik: İki rassal değişkenin toplamı için ne söylenebilir? Varsayalım ki rassal değişkenler X ve Y, ve dağılımları f(x), g(y); Ω x ve Ω y setlerinin üzerinde tanımlanmış olsun. X and Y kesikli ise: 20 İki rassal, bağımsız A ve B değişkenleri için X ve Y sürekli ise:
Konvolüsyon Example: X ~ Pois(λ) ve Y~Pois(μ). Z=X+Y dağılımı nedir? 21 Example: Eğer W~Exp(λ), V=W+W ~ Erlang(2,λ) gösteriniz. Erlang dağılımı:
Maximum Likelihood Tahminleyicisi 22 Şimdiye kadar dağılımları ve linear kombinasyonları nı konuştuk. Ama veriden dağılım parametresini nasıl tahmin edebiliriz?? Example: For his simulation project Harry collects data for the number of people arriving to D/K building of the university between 8-10 am. He assumes that number of arrivals follows Poisson distribution with parameter λ. How to estimate λ? Eğer, x i, dağılım fonksiyonu f(x,θ) olan bir dağılımdan geliyorsa, likelihood fonksiyonu aşağıdaki gibidir: L(θ) maksimize eden θ değerine maximum likelihood tahminleyicisi denir
. Maximum Likelihood Tahminleyicisi EğerHarry 5 gün için aşağıdaki veriyi topladıysa, λ için tahminleyici nedir? #of Arrival Day1 2 Day2 3 Day3 4 Day4 2 Day5 5 23 Örneklem ortalaması Poisson için MLE tahminleyicisidir. X~Poisson(λ),
Ampirik Dağılımlar Ampirik dağılımlar, parametreleri gözlemlenmiş değerleri olan dağılımlarıdır. Ampirik dağılımlar özellikle parametrik dağılımların(normal, Poisson vs.) iyi bir fit sağlamadığı durumlarda kullanılır. Ampirik dağılımların önemli bir özelliği de örneklemde gözlemlenen değer aralığının dışında bir değerin elde edilememsidir. Bu duruma göre avantaj veya dez avantaj olabilir. Örnek: Yerel bir restorana müşteriler 1 ile 8 arasındaki guruplar halinde gelmektedirler. 300 farklı müşteri gurubu gözlenmiş ve ekte verilen ampirik dağılım elde edilmiştir: 24
Ampirik Dağılımlar 25
Ampirik Dağılımlar 26
Dağılımlar için Excel Komutları 27
Dağılımlar için Excel Komutları 28
Dağılımlar için Excel Komutları 29
30 Ders 5 Sonu Gelecek Ders Random Number Generation (Chapter 7)