YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN
İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar
Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli metotlar geliştirilmiştir. Geliştirilen bu metotların etkin sayısal hesaplamalara uygun sonuçlar vermesi her zaman mümkün olmayabilir. Bununla birlikte bu temel teori çoğu doğrusal olmayan programlama algoritmalarının tasarlanmasının esasını oluşturur.
Giriş Bu bölümde kısıtsız ve ekstremum problemlerinin çözümünde gerek ve yeter şartları ifade eden Hessien Matris ve Quadratik Formlar tanımlanarak ekstremum noktaların ayırımı verilecektir.
Hessien Matris Hessien Matris Tanım: Çok değişkenli bir f(x 1, x 2,, x n ) fonksiyonun ekstremumlarının incelenmesinde yeter şartların yerine getirilmesini sağlamak için Hessien Matris ten yararlanılacaktır. Bir f(x 1, x 2,, x n ) fonksiyonu ve bu fonksiyonun 2. mertebeden kısmi türevleri tanımlı ise bu fonksiyon herhangi bir (x 1, x 2,, x n ) noktasına karşılık gelen 2. mertebeden türevlerinin değerlerinden oluşan matrisine Hessien Matris adı verilir.
Hessien Matris Hessien Matris H = x 1 2 x 2 x 1 x n x 1 x 1 x 2 x 2 ² x n x 2 x 1 x n x 2 x n x n ²
Hessien Matris Hessien Matris Bu matrisin asal minörleri olan determinantlar (sol üst köşeden başlayan determinantlar) ise şu şeklinde tanımlanır. 1 = 2 f x 1 2, 2 = x2 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 ²,, n = x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x2 2 x 1 x n x 2 x n x n x 1 x n x 2 2 f x n ²
Kuadratik Form Kuadratik Form Tanım: x 0 şartını sağlayan x 1 a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 a 21 a 22 a 2n x 2 x = ve A = x n a n1 a n2 a nn x n matrislerinden oluşan aşağıdaki ifadeye Kuadratik Form adı verilir. Q x = X T. A. X = n i=1 n j=1 a ij x i x j
Kuadratik Form Kuadratik Form Böylece tanımlanan Q(x) fonksiyonu açık olarak şu şekilde yazılabilir. Q X = x 1 x 2 x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n
Kuadratik Form Kuadratik Form Çarpım işlemleri yapıldığında Q x = a 11 x 1 ² + a 12 x 1 x 2 + + a 1n x 1 x n +a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 ² + + a 2n x 2 x n + a n1 x n x 1 + a n2 x n x 2 + + a nn x n ² ifadesi ortaya çıkar.
Kuadratik Form Kuadratik Form Buna göre kuadratik formu oluşturan A matirisinin asal minörleri 1, 2,, n ise; 1. 1 > 0, 2 > 0,, n > 0 yani bütün asal minörler pozitif ise Q(x) pozitif tanımlı, 2. 1 0, 2 0,, n 0 ise; Q(x) pozitif yarı tanımlı, 3. 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0, 4 > 0, ise; Q(x) negatif tanımlı, 4. 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, ise; Q(x) negatif yarı tanımlıdır.
Kuadratik Form Kuadratik Form Bu durumda A matrisi bir Hessien Matrisi H oluşturuyor ise; Hessien Matrisi pozitif tanımlı ise bu matrisi oluşturan f x 1, x 2,, x n fonksiyonu tam konvekstir. Hessien matrisi pozitif yarı tanımlı ise f x 1, x 2,, x n fonksiyonu konvekstir. Hessien matrisi negatif tanımlı ise f x 1, x 2,, x n fonksiyonu tam konkavdır. Hessien matrisi negatif yarı tanımlı ise f x 1, x 2,, x n fonksiyonu konkavdır.
Konveks-Konkav Fonksiyonlar Konveks ve Konkav Fonksiyonlar Doğrusal fonksiyonlarda değişkenin değeri ile foksiyonun değeri oransal olarak artmaktadır. Örneğin x 1 ile ifade edilen faaliyetin miktarı x 1 den 2x 1 e çıktığında kâr örneğin 20 den 40 a çıkıyorsa doğrusallıktan bahsedilir. Ancak bazı durumlarda, ekonomik şartlardan dolayı kar oransal olarak artmayabilir veya azalmayabilir. Örneğin faaliyet miktarı 2 kat arttığında kar 45 e çıkıyorsa konveks bir fonksiyon, 35 e iniyorsa konkav bir fonksiyon söz konusudur.
Konveks-Konkav Fonksiyonlar Konveks ve Konkav Fonksiyonlar Fonksiyonun iki değerinden doğrusal enterpolasyon yapıldığında ilgili noktadaki fonksiyonun gerçek değerini aşıyorsa bu konveks fonksiyondur. Buna göre y ve z olmak üzere iki nokta ele aldığımızda f(y) ve f(z) i birleştiren doğru parçası fonksiyonun üzerinde kalıyorsa bu fonksiyon konvekstir.
Konveks-Konkav Fonksiyonlar Konveks ve Konkav Fonksiyonlar a) Konveks fonksiyon, b) Konkav fonksiyon, c) Konveks veya konkav olmayan fonksiyon
Konveks-Konkav Fonksiyonlar Konveks ve Konkav Fonksiyonlar Tanım: Her y ve z değeri ve 0 λ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu konvekstir. f λy + 1 λ z λf y + 1 λ f(z) Her y ve z değeri ve 0 < λ < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu tam konvekstir. f λy + 1 λ z < λf y + 1 λ f(z)
Konveks-Konkav Fonksiyonlar Konveks ve Konkav Fonksiyonlar Tanım: Her y ve z değeri ve 0 λ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu konkavdır. f λy + 1 λ z λf y + 1 λ f(z) Her y ve z değeri ve 0 < λ < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa f(x) fonksiyonu tam konkavdır. f λy + 1 λ z > λf y + 1 λ f(z)
Konveks-Konkav Setler Konveks ve konkav fonksiyonun belirlediği konveks set Konkav fonksiyonun belirlediği konveks set Konveks fonksiyonun belirlediği konveks set Konveks olmayan set
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Burada x 1, x 2,, x 3, x 4 ve x 6 noktaları f(x) in tüm ekstremumlarını ifade ederler. Bunlardan x 1, x 3 ve x 6 maksimum x 2 ve x 4 ise minimum özelliği gösterirler. Maksimumlar içerisinde en maksimum özelliğe sahip olan f x 6 = maks { f x 1, f x 3, f x 6 } f x 6 değerine global veya mutlak maksimum, x 6 ya mutlak maksimum nokta, f x 1 ve f x 3 değerlerine ise bölgesel (yerel, lokal veya rölatif) maksimum, x 1 x 3 e bölgesel maksimum nokta adı verilir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Benzer şekilde en minimum değer olan f x 2 = min{f x 2, f x 4 } f x 2 değerine global veya mutlak minimum, x 2 değerine mutlak minimum nokta, f x 4 değerine ise bölgesel minimum, x 4 değerine bölgesel minimum nokta adı verilir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Zayıf/Kuvvetli Ekstramum Şekildeki x 1 maksimum bir nokta olmasına karşılık diğer x 3 ve x 6 maksimum noktalarından farklıdır. x 1 in komşuluğundaki en az bir noktadaki f değeri f(x 1 ) e eşittir. Bu durumda x 1 zayıf maksimum nokta x 3 ve x 6 ise kuvvetli maksimum nokta olarak adlandırılır. Benzer şekilde x 4 zayıf minimum noktadır.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Zayıf/Kuvvetli Ekstramum Genel olarak; f x 0 + h f x 0 ise x 0 zayıf maksimum, f x 0 + h < f x 0 ise x 0 kuvvetli maksimumdur. f x 0 + h f x 0 ise x 0 zayıf minimum, f x 0 + h > f x 0 ise x 0 kuvvetli minimumdur.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Eyer (Semer) Noktası Buradaki ekstremumlar hakkındaki diğer bir özellik, f in 1. Mertebeden türevi (eğimi)nin sıfır olmasıdır. Fakat bu özellik ekstremum için yegane bir özellik de değildir, eyer (semer) noktası olan x 5 için de geçerlidir. 1. Mertebeden türevi (eğimi, gradyanı) sıfır olan bir nokta şayet bir maksimum veya minimum nokta değilse bu nokta eyer (semer) noktasıdır.
Gerek ve Yeter Şartlar TEOREM 1: f (x) fonksiyonunun extramum noktası olması gereken x 0 için gerek şart şudur: f x 0 = 0 Bu şart aynı zamanda eyer (semer) noktaları için de geçerli olduğundan f x 0 = 0 çözümünden elde edilen noktaları stasyoner noktalar olarak ifade etmek daha uygun olacaktır. x 0 noktasının ekstremum olması için yeter şarta da bakılmalıdır.
Gerek ve Yeter Şartlar TEOREM 2: Bir x 0 stasyoner noktasının ekstremum olması için yeter şart, H Hessien Matrisinin x 0 daki değerine göre matris aşağıdaki şartları sağlamalıdır: x 0 minimum nokta ise H pozitif tanımlı, x 0 maksimum nokta ise H negatif tanımlı.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: f x 1, x 2, x 3, = x 1 + 2x 3 + x 2 x 3 x 1 2 x 2 2 x 3 ² fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun ekstremum noktaları için gerek şart f x 0 = 0 dan aşağıdaki ifadeler yazılabilecektir. f x 1 = 1 2x 1 = 0 f x 2 = x 3 2x 2 = 0 f x 3 = 2 + x 2 2x 3 = 0
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: Birinci ifadeden x 1 = 1 2 elde edilir. İkinci ifadeden x 3 = 2x 2 yazılabilir ve bu üçüncü ifadede kullanılırsa; 2 + x 2 4x 2 = 0 => x 2 = 2 3 elde edilir. Bu durumda x 3 = 4 3 olacaktır. O halde bu denklem sisteminin ortak çözümü aşağıdaki gibidir. X 0 = 1 2, 2 3, 4 3
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: Yeter şart için hessien matris ele alınırsa: H X0 = x 1 2 x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 2 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 2 x 3 X 0 = 2 0 0 0 2 1 0 1 2
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: Yeter şart için hessien matris ele alınırsa: 1 = 2 f x 1 2 = 2 2 = x 1, x 1 x 2 =, 2 f x 2 x 1 x 2 2, 0 0, 2 = 2 2 0 0 = 4
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: Yeter şart için hessien matris ele alınırsa: 3 = 0 0 2 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 = 2 2 1 1 2 0 0 1 0 2 + 3 = 2 2 2 1 1 = 6 (Birinci satıra göre açarak..)
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: H x 0 ın asal minör determinant değerleri sırasıyla 1 = 2, 2 = 4, 3 = 6 dır. Böylece H x 0 negatif tanımlı olacak, bu durumda da x 0 = 1, 2, 4 noktasının maksimum nokta olduğu 2 3 3 belirlenecektir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Bu örnekte f x 1, x 2, x 3 yerine f x 1, x 2, x 3 alınırsa x 0 = 1, 2, 4 noktası minimum nokta olacaktır. Çünkü bu 2 3 3 durumda hessien matris pozitif tanımlıdır. Genellikle eğer H x 0 tanımlı değilse x 0 semer noktası olmalıdır. Bu durumun kesin belirlenememesi halinde x 0 ekstremum nokta olabilir veya olmayabilir ve Taylor açılımındaki yüksek mertebeden terimlerin belirlenmesi gerekeceğinden ancak böylece yeter şart oluşturulmuş olur. Böylesi durumda H-Hessien Matrisinin diyagonalleştirilmesi ile daha kesin bilgilere ulaşılabilir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: f x 1, x 2 alalım. Burada; = 8 x 1 x 2 + 3x 2 ² fonksiyonunu ele f x 1, x 2 = f x 1, f x 2 = 8x 2, 8x 1 + 6x 2 = 0,0 dır. f = 8x x 2 = 0 1 x 0 = 0, 0 dır. f x 2 = 8x 1 + 6x 2 = 0 Bu bize problemin bir stasyoner noktasını verir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: f x 1, x 2 = 8 x 1 x 2 + 3x 2 ² x 0 daki Hessien matris H = 0 8 8 6 1 = 0 2 = 0 8 8 6 = 0 6 8 8 = 64 Bu matrisin özelliği kesin belirli değildir. Çünkü tüm asal minör determinantlar pozitif değil dolayısıyla pozitif-tanımlı değil; 1. asal minör determinantı 0 olmakla birlikte 2. Asal minör determinantı 0 değil dolayısıyla negatif-tanımlı değildir.
Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar Örnek: f x 1, x 2 = 8 x 1 x 2 + 3x 2 ² Bir diyagonalleştirme (köşegenleştirme) metodu yardımıyla Hessien Matrisin diyagonali H t = 33,3/6 0 0 63,3/6 5,55 0 0 11,55 şeklindedir. H t nin asal minörleri incelendiğinde 1 = 33.3 6 definit değildir. 5.55, 2 = 64 den H t veya H Böylece x 0 ın bir eyer (semer) noktası olduğu kesinleşir.
Hessien Matris ile Maks-Min. Noktalar Çalışma Soruları 1. f x 1, x 2 = 3x 1 + 2x 1 2 + 4x 2 + x 2 2 2x 1 x 2 fonksiyonunu Hessien matrisini oluşturarak, definit durumları ve maksimum-minimum noktaların varlığını araştırınız. 2. f x 1, x 2 = 16 x 1 x 2 + 6x 1 ² fonksiyonunu Hessien matrisini oluşturarak, definit durumları ve maksimum-minimum noktaların varlığını araştırınız.
Yöneylem Araştırması - II Kaynaklar 1. Wayne Winston, Operations Research Applications and Algorithms 4th. Edition, 2003 2. Yöneylem Araştırması, Hamdy Taha, 6.Basımdan çeviri. 3. MATLAB: Yapay Zeka ve Mühendislik Uygulamaları, Prof. Dr. C.Kubat, Beşiz Yayınları-1.Basım, Aralık 2012.