MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi tanımlamalara dayanır. Çünkü karmaşık olaylar ancak bu şekilde matematik ifadeler şekline getirilebilir. Bu ise iyi bir matematik bilgi ve tecrübeyi gerektirir. Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir. Çünkü belirlenen matematik ilişkilerin bazıları bundan uzak kalabilmektedir. Elbette ki doğru seçilmiş ilişkilerle kurulan bir model bizi hassas ve daha iyi sonuçlara götürecektir. Büyük oranda sistemler için basit (doğrusal) kurulan modeller zayıf kalmaktadır. Çünkü gerçek dünya karmaşık ve (nonlineer) doğrusal olmayan yapıdadır. Böyle sistemler için kullanılan genel bir modelleme tekniği yoktur. Bu nedenle sistemler için kurulacak model seçimi oldukça derin bilgi, deneyim ve tecrübeyi gerektirir. Elbette ki modellemenin ekonomik açıdan ele alınması da gereklidir. Gerçek dünyanın yapısındaki durumların çeşitliliği model kurucuların çalışmalarını etkilemektedir. Bu ise zaman/para gibi maliyet boyutunu da gündeme getirmektedir. Modelleme ile ilgilenen çoğu araştırmacıların başta gelen amacı faaliyet şartları altındaki bir süreci kontrol etmektedir. Bu şartlar altında yapılacak hesaplamaların en kısa gerçek zamanda gerçekleştirilmesi beklenir. Bu genellikle en önde gelen bir sınırlama veya kısıt olarak kabul edilir. Benzer şekilde sistemlerin çoğunda maliyet veya kâr önde gelen amaç olarak ele alınmaktadır. TİPİK MODELLEME UYGULAMALARI Ekoloji Çevre Bilimi: Ömür uzunluğu yönetimi ve kontrol; göl ve akarsulardaki bitkilerin kimyasal etkilerinin kontrolü; hava kirliliğinin önlenmesi; su dağıtımı ve kontrolü; orman büyüme yönetimi Medical-Tıbbi: Görüntüleme ve kontrol için tıbbi araçlar; zeki organlar (suni kalp, suni böbrek) Ev Araçları: Ev ısıtma havalandırma ve ısıtma kontrol; elbise temizlemede elektronik kontrol; nem kontrol ediciler; fırın sıcaklık kontrol Güç/Enerji: Güç sistemleri kontrol ve planlaması; petrol geri kazanma; yel değirmeni optimal kontrolü; denizaltı yer yüzü izleme optimal kontrolü; optimal güç dağıtımı ve güç üretim kontrol
Ulaştırma- Taşımacılık: Sensör (elektrik algılayıcı) kullanılarak otoyolda araç trafik akışı kontrolü; otomobillerde otomatik hız kontrolü; raylı ulaşım sistemlerinde sevk kontrol; asansör ve yürüyen merdiven inşası İmalat: Kesme, delme, döküm, kaynak, paketleme, montajda donanımlı robotların kullanımı; kimyasal süreç kontrolü; tekstil imalatında gerginlik kontrolü; sıcak çelik taşıyıcılarda optik hız kontrol Uzay ve Askeri Araştırmalar: Füze yönetim ve kontrol; otomatik pilot; uzay aracı kontrol; izleme sistemleri; nükleer denizaltlıların seyri ve kontrolü; ateş kontrol sistemleri; ÇEŞİTLİ SİSTEMLERE AİT MODEL SINIFLARI Statik / Dinamik Sistemler: Statik sistemler, basit doğrusal ifadeler ile kısmen doğrusal olmayan ifadeler ve cebirsel ifadelerin karışımından oluşurken; Dinamik sistemler, diferansiyel denklemler veya fark denklemleriyle tanımlanırlar. Sürekli Zamanlı / Kesikli Zamanlı Sistemler: Sürekli zamanlı dinamik sistemler diferansiyel denklemlerle tanımlanırken, kesikli zamanlı dinamik sistemler fark denklemleriyle tanımlanırlar. Doğrusal / Doğrusal Olmayan Sistemler: Doğrusal dinamik sistemler, girdileri doğrusal çözümler olan diferansiyel veya fark denklemleriyle tanımlanırlar. Doğrusal olmayan dinamik sistemleri tanımlayan denklemler ise bir veya daha fazla doğrusal olmayan terimlerden oluşurlar. Toplu / Dağıtılmış Parametreler: Toplu parametreli sürekli zamanlı dinamik sistemler adi diferansiyel denklemlerle tanımlanırken, dağıtılmış parametreli sürekli zamanlı dinamik sistemler ise kısmi türevli diferansiyel denklemlerle ifade edilirler. Zamana Göre Değişen / Değişmeyen Sistemler: Zamana göre değişen sistemler, bir veya daha fazla katsayısı zamana bağlı diferansiyel veya fark denklemleriyle tanımlanırlar. Zamana göre değişmeyen sistemler ise katsayıları zamana bağlı olmayan sabit olan diferansiyel veya fark denklemlerinden oluşurlar. Deterministik / Stokastik Sistemler: Deterministik sistemler belirli (kesin) parametre veya girdilere sahip iken stokastik sistemler bir veya daha fazla girdi veya parametresi olasılık özelliğine sahiptir.
OPTİMİZASYON Sınırlı kaynakları kullanarak, amaçlanan fonksiyon ve/veya fonksiyonlar için en iyi sonucun elde edilmesini hedefleyen optimizasyon kavramının matematiksel anlamı aşağıdaki gibi ifade edilmektedir Belli bir amaç fonksiyonunu, eldeki değişkenleri kullanarak minimize ya da maximize etmektir. Tüm bunlar gerçekleşirken, çeşitli kısıtlar söz konusu olabilir. Bu kısıtlar iki türlüdür: Eşitlik kısıtları (equality constraints), ki bunlara her zaman uyulmak zorundadır. Eşitsizlik kısıtları (inequality constraints), bunlar genelde aşılmaması gereken limitleri belirtir. Analiz Gerçek Hayat Problemi Doğrulama Algoritma, Model, Çözüm tekniği Duyarlık Analizi Sayısal Metot Doğrulama Bilgisayar uygulaması Optimizasyon süreci ve aşamaları OPTİMİZASYON MODELLERİNİN SINIFLANDIRILMASI Optimizasyon problemlerine ait modellerin pek çok çeşidi vardır. Temel olarak optimizasyon modelleri, karar değişkenlerinin sürekli veya kesikli olmalarına göre sınıflandırıldığı gibi, diğer bir açıdan amaç fonksiyonu ve kısıtların özelliklerine göre doğrusal / doğrusal olmayan, kısıtlı / kısıtsız, tek boyutlu / çok boyutlu gibi çeşitli açılardan sınıflandırmalar yapılabilmektedir.
Optimizasyon Sürekli Kesikli Kısıtsız Doğrusal Olmayan Denklemler Doğrusal Olmayan En Küçük Kareler Global Optimizasyon Türevsiz Optimizasyon Kısıtlı Doğrusal Yarı tanımlı Doğrusal olmayan programlama Sınır Kısıtlı Kuadratik(karesel) Tamsayılı Stokastik Network Stokastik DOĞRUSAL OLMAYAN OPTİMİZASYON Doğrusal olmayan optimizasyonda amaç fonksiyonu lineer olmayabilir veya bazı kısıtlar lineer değildir. Bu tip optimizasyon problemleri doğrusal olmayan optimizasyon problemleri olarak isimlendirilirler. Genel anlamda DOP (NLP) şekilde ifade edilebilir. max. / min. z=f(x 1, x 2,..,x n ) kısıtlar g 1 (x 1, x 2,..,x n ) (, =, ) b 1 g 2 (x 1, x 2,..,x n ) (, =, ) b 2 g m (x 1, x 2,..,x n ) (, =, ) b m
Burada f(x 1, x 2,..,x n ) doğrusal olmayan programlamanın amaç fonksiyonu ve g m ler ise kısıtlarıdır. Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri Tek Değişkenli Optimizasyon Teknikleri Yarıya Bölme Yöntemi Lineer İnterpolasyon Yöntemi Basit iterasyon Yöntemi Newton-Raphson Yöntemi Secant Yöntemi Polinom Köklerinin Bulunması Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri Genelleştirilmiş Newton-Raphson Yöntemi En Dik İniş (Steepest Descent) Yöntemi Kısıtsız Optimizasyon Teknikleri Doğrudan Arama Yöntemi Gradyan Yöntemi Kısıtlı Optimizasyon Teknikleri Ayrık Kuadratik Geometrik Stokastik Doğrusal Kombinasyonlar Yöntemi SUMT Algoritması Doğrusal Olmayan Kısıtsız Arama Teknikleri Tek Boyutlu Arama Teknikleri İkiye Bölerek Arama (Yarılama Yöntemi) Altın Oran Araması Fibonacci Araması Newton Yöntemi Secant Yöntemi Çok boyutlu arama yöntemleri Direkt Arama Yöntemleri Rastgele Arama Yöntemi Tek Değişkenli Arama Yöntemi Model Arama Yöntemi -Powwel Yöntemi -Hooke ve Jeeves Yöntemi Simplex Yöntemi Rosebrock Yöntemi Gradyant Arama Yöntemleri En Dik İniş (Steepest Descent) Yöntemi Conjugate Gradyant Yöntemi Newton Yöntemi Değişken Metrik Yöntemi
DOĞRUSAL OLMAYAN KISITLI OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Genel kısıtlı doğrusal olmayan problemler max. / min. kısıtlar şeklinde tanımlanırlar. z f (x) g( x) 0 x 0 Amaç Fonksiyonu Kısıtlar Pozitiflik şartları - Kısıtları Burada negatif olmama koşulları x 0, verilen kısıtların parçasıdır. Ayrıca f(x) ve g(x) fonksiyonlarından en azından biri doğrusal değildir ve tüm fonksiyonlar sürekli ve türevlenebilir özelliğe sahiptir.. Doğrusal olmayan fonksiyonların düzensiz davranışı nedeniyle, doğrusal olmayan modellerin çözümü için genel bir algoritma veya teknik bulunamaz. Problemlerin yapısına göre modeller ve çözüm teknikleri oldukça çeşitlilik gösterirler. Yukarıdaki sınıflamalarda bu açıkça görülmektedir. Genel kısıtsız doğrusal olmayan problemler KISITSIZ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ max. / min. z f (x) şeklinde ifade edilirler. Görüldüğü gibi her hangi bir kısıt bulunmamaktadır. Doğrudan Arama Yöntemi Belirli bir bölge üzerinde doğrudan aramayla optimumu bulur. Doğrudan arama yöntemi her şeyden önce tek değişkenli fonksiyonlara uygulanır. Doğrudan arama yöntemlerinin düşüncesi basittir. Önce tanımlanmış optimumu içerdiği bilinen belirsizlik aralığı tanımlanır. Aralığın büyüklüğü optimum bulununcaya kadar sistematik bir biçimde azaltılır. Bu öyle prosedürdürki optimumu içeren aralığın uzunluğu istenildiği kadar küçük tutulabilir. Gradyan Yöntemi Optimumu bulmak için fonksiyonun gradyanını (1.mertebeden türevini) kullanır. İkinci dereceden türev ise fonksiyonların maks veya min olduğunu belirlemek için kullanılır. Amaç,
fonksiyonun gradyanı (1. mertebeden türevi) yönünde birbirini izleyen noktaları üretmektir. Newton-Raphson yöntemi de eş zamanlı denklemlerin çözümü için bir gradyan yöntemdir. KISITLI OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Doğrusal Kombinasyonlar Yöntemi Bu yöntem aşağıda verilen ve tüm kısıtların doğrusal olduğu problemin çözümüyle ilgilidir. max. z=f(x) Kısıtlar, AX b X 0 Prosedür dik çıkış (gradyan) yöntemine dayanır. Bununla birlikte, gradyan vektörüyle belirlenen yön kısıtlı probleme uygun bir çözüm getirmeyebilir. Ayrıca optimum noktasında gradyan vektörünün sıfır olması gerekmeyebilir. Dik çıkış yöntemi, kısıtlı duruma çözüm getirebilecek şekilde düzenlenmelidir. SUMT Algoritması Amaç fonksiyonu f(x) in konkav ve her bir kısıt fonksiyonu g i (x) in konveks olduğu varsayılır. Bundan başka çözüm uzayı iç noktalara sahip olmak zorundadır. Bu kurallar eşitlik kısıtlarının gerek açık gerekse de dolaylı kullanımını ortadan kaldırır. SUMT (Sıralı Kısıtsız Maksimizasyon Tekniği) algoritması, kısıtlı problemin kısıtsız probleme dönüştürülmesi esasına dayanır. Lagrange çarpanları yönteminin uygulamasına çok benzer. Dönüştürülmüş problem daha sonra en dik çıkış yöntemi ile çözülür. Ayrık programlama Amaç fonksiyonunun ve kısıtların ayrık olduğu doğrusal olmayan problemlerin çözümü ile ilgilidir. f(x1, x2,..., xn) fonksiyonu, f1(x1), f2(x2),, fn(xn) şeklindeki tek değişkenli n fonksiyonun toplamı olarak ifade ediliyorsa ayrıktır. Kuadratik Kuadratik en genel ifadeyle, kuadratik bir amaç fonksiyonunun, doğrusal kısıtlar (eşitlik ya da eşitsizlik şeklinde olabilir) altında iteratifli minimizasyonu (maksimizasyonu) olarak tanımlanabilir.
Kuadratik programlama modelinin kısıtları doğrusal olduğu için, bu doğrularla sınırlanmış olan uygun çözümler bölgesi, doğrusal programlamada olduğu gibi düz bir yüzeydir. Bununla birlikte amaç fonksiyonunun doğrusal olmayan yapısı yüzünden optimal çözüm doğrusal programlamanın aksine, uygun çözümler bölgesinin köşelerinden birinde olmak zorunda değildir. Geometrik Geometrik programlama, doğrusal olmayan problemlerin özel bir halinin çözümü içindir. Bu yöntemde çözüm, buna ilişkin dual problemin dikkate alınması ile bulunur. Geometrik programlama, amaç ve kısıt fonksiyonları aşağıdaki tipte olan problemlere çözüm bulmaya çalışır. z N U j j1 f ( X ) U j c j xi n i1 a ij j=1,2,..n SEZGİSEL OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Son yıllarda, yukarda tanımlanan teknikler gibi bilinen analitik optimizasyon tekniklerinin büyük boyutlu ve karmaşık problemlerin çözümünde yetersiz kalmasıyla araştırmacılar tarafından, kesikli optimizasyon problemlerinin bir çözüm metodu olarak meta sezgisel yöntemlere / sezgisel optimizasyon tekniklerine, giderek artan bir ilgi gösterilmektedir. Metasezgisel metodlar arasında, Yapay sinir ağları, Tavlama benzetimi, Tabu arama ve Genetik algoritmalar, Arı (bees) algoritması, Karınca Koloni Algoritması, Kanguru Algoritması, Parçacık Sürü Algoritması, Diferansiyel Gelişim Algoritması gibi örnekler verilebilir. Tavlama benzetimi (simulated annealing), tabu arama (tabu search) ve genetik algoritmalar gibi meta-sezgisel metotlar amaç fonksiyonlarının doğrusallık varsayımı gibi bir basitleştirmeye ihtiyaç duymazlar. Böylece eğer kesin bir algoritma kullanılacaksa, gerçekdünya probleminin modelinin mümkün olduğundan daha kusursuz bir şekilde kurulması gerekebilir. Tavlama benzetimi, termodinamik prosesleri taklit etmekte, tabu arama ise bir çeşit hafıza (memory) uygulamasını dikkate alarak zeki (intelligent) prosesleri taklit etmektedir. Genetik algoritmalar ise, canlı organizmaların genetik yapılarına benzer bir şekilde problemleri formüle ederek tabiatta en iyi olan hayatta kalır prensibini esas almaktadır.
Arı, Karınca Kolonisi, Kanguru, Parçacık Sürü vb. algoritmalar ise tabiatta koloni halinde çalışkanlıkları ile bilinen organizmaların çalışma prensipleri esas alınarak geliştirilmiş algoritmalardır. MATLAB da OPTİMİZASYON KOMUTLARI Sürekli Kısıtsız Doğrusal Olmayan Minimizasyon Optimizasyon Teknikleri için: fminbnd fminsearch fminunc Sürekli Kısıtsız Doğrusal Olmayan Eşitlik Optimizasyon Teknikleri için: fzero fsolve Sürekli Kısıtsız Türevlenemez Optimizasyon Teknikleri için: fminsearch Sürekli Kısıtlı Doğrusal Optimizasyon Teknikleri için: linprog Sürekli Kısıtlı Karesel Optimizasyon Teknikleri için: quadprog Sürekli Bağıl Kısıtlı Optimizasyon Teknikleri için: fmincon lsqnonlin lsqcurvefit Sürekli Kısıtlı Doğrusal En Küçük Kareler Optimizasyon Teknikleri için: lsqnonneg lsqlin Sürekli Kısıtlı Doğrusal Olmayan Optimizasyon Teknikleri için: fmincon fseminf fgoalattain fminimax
MATLAB da OPTİMİZASYON KOMUTLARI GRAFİĞİ FONKSİYONLARDA KONVEKSİLİK KONKAVLIK y= f(x) şeklindeki tek değişkenli fonksiyonun x bağımsız değişkeninin iki değeri x1 ve x2 için 0 < λ < 1 olmak üzere f(x) fonksiyonu; Şartını gerçekleştiriyorsa bu fonksiyon Konveks Fonksiyondur. Eğer bu şartta yerine < işareti varsa bu takdirde f(x) fonksiyonuna Tam Konveks Fonksiyon adı verilir. Benzer şekilde f(x) fonksiyonu ; Şartını gerçekleştiriyorsa bu f(x) fonksiyonuna Konkav Fonksiyon, yerine > işareti varsa bu takdirde f(x) fonksiyonuna Tam Konkav Fonksiyon adı verilir.
Şekil üzerinde Konveks ve Konkavlık durumlarını ele alırsak: Fonksiyon eğrisi; eğrinin her hangi iki noktasını birleştiren doğrunun altında kalıyor ise Konveks, üstünde kalıyor ise Konkav Fonksiyon olarak tanımlanır. Bu tanıma uymayan fonksiyonlar konveks ve konkav olmayan fonksiyonlar olarak tanımlanır. Bu ifadeleri geometrik olarak açıklamak istersek; Şekil 1-1. ve Şekil 1-2 deki fonksiyon eğrileri üzerinde A ve B gibi iki nokta alınırsa, bu noktaların koordinatları; ve olsun. Bu A ve B noktalarını birleştiren doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları; olacaktır. Bu duruma göre; şartı diğer bir ifadeyle AB doğru parçasının f(x) fonksiyon eğrisinin üst kısmında bulunacağı anlamına gelir. Benzer şekilde şartı diğer bir ifadeyle AB doğru parçasının f(x) fonksiyon eğrisinin alt kısmında bulunacağı anlamına gelir. Buna göre konveks bir fonksiyon eğrisinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası eğrinin üst kısmında, konkav bir fonksiyon eğrisinin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası ise eğrinin alt kısmında kalacaktır.
Diğer bir ifadeyle; bütün x değerleri için; ise f(x) konveks bir fonksiyon; ise f(x) tam konveks bir fonksiyon; ise f(x) konkav bir fonksiyon; ise f(x) tam konkav bir fonksiyon olacaktır. İki Boyutlu uzayda f(x1, x2) fonksiyonunun konveks olabilmesi için;,, Konkav olabilmesi için ise; şartlarının sağlanması gerekir. durumunda ise incelenen (x1, x2) noktası semer (eğer) noktası olacaktır.