SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11
1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {1, 2, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2) (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 2, 1)
1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı frklı tüm mümkü sırlmlrıı syısı (Permütsyo syısı):! 1 2.1 Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı her hgi bir permütsyou geel olrk: j1, j2,, j
1. Permütsyo Tım: Bir j1, j2,, j permütsyoudki ters döüşüm (iversio) syısı bu permütsyodki büyük bir syıyı tkip ede küçük syılrı syısıdır: 1. j1, j2,, j permütsyoud j 1 syısıı tkip ede küçük syılrı syısıı belirle, 2. j1, j2,, j permütsyoud j 2 syısıı tkip ede küçük syılrı syısıı belirle 3. Bu işlemi j -1 syısı kdr sürdür, 4. Bulduğu syılrı topl. Elde edile toplm syı döüşüm syısıdır. j1, j2,, j permütsyouu ters
Permütsyo Tım: Bir permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı çift bir syı ise çift permütsyo, eğer toplm ters döüşüm syısı tek ise tek permütsyo olrk dldırılır. Örek: Aşğıdki permütsyolrı ters döüşüm syılrıı buluuz. (6, 1, 3, 4, 5, 2)=5+0+1+1+1=8 (2, 4, 1, 3) =1+2+0 =3 (1, 2, 3, 4) =0+0+0 =0
Permütsyo Örek: {1, 2, 3} tm syılr kümesii tüm mümkü permütsyolrıı tek y d çift olrk belirleyiiz. Permütsyo Ters Döüşüm Sııflm Syısı (1, 2, 3) 0 Çift (1, 3, 2) 1 Tek (2, 1, 3) 1 Tek (2, 3, 1) 2 Çift (3, 1, 2) 2 Çift (3, 2, 1) 3 Tek
Determit boyutlu, v 1 11 21 1 v 2 12 22 2 v te vektörü, v v v 1 2 foksiyoel gösterimidir. 1 2 (,,, ) SD 7
Determit Tım: Determit, x te elemı, 11 12 1 Δ 21 22 2 1 2 şeklideki sırlışıdır. SD 8
Determitı Köşege Elemlrı Tım: Bir determitıdki ij (i=1,,) elemlrı sl köşege y d sdece köşege elemlrı deir.
Elemter Çrpım İşretli Elemter Çrpım Determit Foksiyou SD 10
Elemter Çrpım Tım: Bir boyutlu A determitıı, yı sır ve sütud gelmeye det elemıı çrpımı elemter çrpım deir. Örek: 22 boyutlu A determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. A 11 12 21 22 Çözüm: Stırlr bz lıdığıd 1. 2. Noktlr sütulrı temsil etmektedir. İki sütu olduğud {1, 2} Permütsyolr (1, 2) ve (2, 1) Noktlrı yerie permütsyolr kork elemter çrpımlr: 11 22 ve 12 21
Elemter Çrpım Örek: 33 boyutlu A determitıı tüm elemter çrpımlrıı buluuz. A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Çözüm: Stırlr bz lıdığıd 1. 2. 3. Noktlr sütulrı temsil etmektedir. Üç sütu olduğud {1, 2, 3} Permütsyolr (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 2, 1), (3, 1, 2) Noktlrı yerie kork elemter çrpımlr: 11 22 33, 11 23 32, 12 21 33, 12 23 31, 13 22 31, 13 21 32
Elemter Çrpım Tım: Bir boyutlu A determitıı, işretli elemter çrpımı elemter çrpımı 1j1 2j2 j -1 y d +1 ile çrpımıdır. Eğer Eğer j1, j2,, j permütsyou çift permütsyo ise 1j1 2j2 j j1, j2,, j permütsyou tek permütsyo ise 1j1 2j2 j
Elemter Çrpım Örek: 22 boyutlu A determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. A 11 12 21 22 Çözüm: Elemter Çrpım Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşret İşretli Çrpım 11 22 (1, 2) 0 Çift 11 22 Elemter 12 21 (2, 1) 1 Tek 12 21
Elemter Çrpım Örek: 33 boyutlu A determitıı tüm işretli elemter çrpımlrıı buluuz. A 11 12 13 21 22 23 31 32 33
Elemter Çrpım Çözüm: Elemter Çrpım Permütsyo Ters Döüşüm syısı ve İşret İşretli Çrpım 11 22 33 (1, 2, 3) 0 Çift 11 22 33 Elemter 11 23 32 (1, 3, 2) 1 Tek 11 23 32 12 21 33 (2, 1, 3) 1 Tek 12 21 33 12 23 31 (2, 3, 1) 2 Çift 12 23 31 13 21 32 (3, 1, 2) 2 Çift 13 21 32 13 22 31 (3, 2, 1) 3 Tek 13 22 31
Determit Foksiyou Tım: boyutu ol bir determit olsu. Determit foksiyou det() y d Δ ile gösterilir. det() determitı tüm işretli elemter çrpımlrıı toplmıdır: det A 1 1 2 2 j j j det(a) syısı A ı determitı olrk dldırılır.
Determit Foksiyou Örek: 22 boyutlu A determitıı A 11 12 21 22 değerii buluuz. Çözüm: det A 11 22 12 21
Determit Foksiyou Örek: 33 boyutlu A determitıı A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 değerii buluuz. Çözüm: det A 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
Determit Foksiyou Determit foksiyou bir sklerdir. Geometrik olrk bu skler büyüklük determitı oluştur vektörleri rsıd kl l, hcim vs. değerie krşılık gelir.
y O Determitı Geometrik Almı B( 12, 22 ) A( 11, 21 ) C( 11 + 12, 21 + 22 ) B A C =2 içi determit, vektörleri oluşturmuş olduğu prlelkerı lıı verir. x ( v, v ) 1 2 11 12 21 22 11 22 12 21 l SD 21
Elemter Stır (Sütu) İşlemleri Tım: Bir determitı, mtrisi y d doğrusl deklem sistemii dek determit, mtris y d deklem sistemie döüştüre işlemlere elemter işlemler deir. 1. İki Stırı (sütuu) değiştirilmesi, 2. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılmsı, 3. Bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılıp bir diğer stır (sütu) eklemesi.
Elemter Stır (Sütu) İşlemleri Elemter işlemler: Geel olrk stır işlemleri içi R, sütu işlemleri içi C kullılır: j-ici stır ile i-ici stırı yer değiştirmesir ji j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılmsır j (k) j-ici stırı bir k sbiti ile çrpılıp i-ici stır ile toplmsı R ji (k)
Bir determit Echelo Determit 11 12 1 i1 i2 i 1 2 Elemter stır (sütu) işlemleri kullılrk, 11 12 1 0 22 2 0 0 Echelo determit döüştürülebilir.
Echelo Determit Örek: Aşğıd verile determitı elemter işlemler ile Echelo determit döüştürüp değerii buluuz. A 0 1 5 3 6 9 2 6 1
Çözüm: Echelo Determit 0 1 5 3 6 9 det Δ 3 6 9 R 0 1 5 3R 21 1 2 6 1 2 6 1 1 2 3 1 2 3 R 3 0 1 5 R 2 3 0 1 5 10 13 23 2 6 1 0 10 5 1 2 3 1 2 3 3 3 0 1 5 55R 3 55 0 1 5 0 0 55 0 0 1 3551 165
Miör İşretli Miör Determitı Bir Sıry Göre Açılımı SD 27
Miör Tım: Boyutu ol bir Δ determitıd i-ici stır ve j-ici sütud yer l ij elemıı buluduğu stır ve sütu siliir. -1 boyutlu yei bir determit elde edilir. Bu determit M ij ile gösterilir ve bu ij elemıı miörü deir.
İşretli Miör Tım: Miör determitı kullılrk, Aij=(-1)i+j Mij yei bir determit tımlırs, bu ij elemıı işretli miörü (kofktörü, eş çrpı) deir. SD 29
Determitı Bir Sıry Göre Açılımı Tım: Bir Δ determıtıı, bir sır (sütu) elemlrıı tümü içi işretli miörler oluşturulur. İşretli miörler kedilerie it elemlrl çrpılrk determitı çılımı elde edilir. 11 12 1 Δ A A A i1 i2 i i1 i1 i2 i2 i i 1 2
Determitı Bir Sıry Göre Açılımı Öemli: Determitı herhgi bir stırıı (sütuu) elemlrı ile frklı herhgi bir stırıı (sütuu) işretli miorlerii çrpımlrıd elde edile toplm sıfırdır. A A A i k i1 k1 i2 k 2 i k 0 içi
Determitı Bir Sıry Göre Açılımı Öemli: Bir determitı 1.stır, 2.stır,.stır, 1.sütu, 2. sütu,,.sütu göre çılımlrıı tümü birbirie eşittir. SD 32
Determitı Bir Sıry Göre Açılımı Örek: A determitıı değerii ikici sütu göre çrk buluuz. 1 2 A12 1 M 12 7 3 1 Çözüm: 1 2 2 2 2 3 A22 1 M 22 7 3 1 2 3 2 3 A23 1 M 23 7 1 2 det A 1 7 0 1 5 7 28
Srrus Kurlı Üç boyutlu bir determitı prtik yold hesplmsı : (-) (-) (-) 11 21 31 21 12 22 32 22 13 23 33 (+) 11 12 13 23 (+) (+) Öemli: Sdece 3 boyutlu determitlrd kullılır. 112233 213213 311223 13 22 31 23 32 11 33 12 ( ) 21 SD 34
Temel Determit Hesplm Yötemleri İşretli elemter çrpım Echelo determit (elemter stır /sütu işlemleri) Determitı bir stır (sütu) göre çılmsı
Determitı Özellikleri 11 21 12 22 1 2 1 2 SD 36
Determitı Özellikleri 1. determitıd stırlr ile sütulr yer değiştirilirse T 11 21 1 12 22 2 1 2 determitıı trspozu (evriği) T elde edilir. det det T
Determitı Özellikleri 2. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs 11 12 1 i1 i2 i i R k 1 2 11 12 1 k k k i1 i2 i 1 2 det k det
Determitı Özellikleri 3. Determitı bir stırı (sütuu) bir k sbiti ile çrpılırs 11 12 1 i1 i2 i 1,, R k 1 2 k k k 11 12 1 k k k i1 i2 i k k k 1 2 det k det
Determitı Özellikleri 4. Determitı herhgi iki stırı (sütuu) yer değiştirirse 11 12 1 R i1 i2 i i 1 2 11 12 1 1 2 i1 i2 i det det
Determitı Özellikleri 5. Determitı herhgi bir stırıı (sütuuu) ktlrı bir diğer stır (sütu) ile toplırs 11 12 1 i1 i2 i i R k 1 2 11 12 1 i1 i2 i k k k 1 i1 2 i2 i det det
Determitı Özellikleri 6. Bir determitt herhgi iki stır (vey sütu) ortılı ise determitı değeri sıfır eşittir. 11 12 1 i1 i2 i k k k i1 i2 i det 0 SD 42
Determitı Özellikleri 7. Bir determitı herhgi bir stır (vey sütu) elemlrıı tümü sıfır ise determitı değeri sıfır eşittir. 11 12 1 0 0 0 1 2 det 0 SD 43
Determitı Özellikleri 8. Bir determitı köşegeii ltıdki (y d üstüdeki) tüm elemlr sıfır eşit ise eşlo (echelo) determitır: 11 12 1 0 22 2 y d 11 21 22 0 0 0 0 0 1 2 det 11 22
Sıfır Determit Koşullrı Tüm stır (sütu) elemlrı sıfır ise İki stır (sütu) elemlrı eşit ise Bir stır (sütu) bir diğer stır (sütu) elemlrıı ktı ise
Özel Determitlr Ek Determıt : Bir Δ determıtıd her elemı yerie, bu elemı işretli miörlerii yzrk elde edile determıt Ek Determıt deir. EkΔ ile gösterilir. 11 21 12 22 1 2 Ek A A 11 21 A A 12 22 A A 1 2 1 2 A 1 A 2 A Özellik : Δ, boyutlu bir determıt ise EkΔ=Δ -1 dır. SD 46
Özel Determitlr Simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, T Δ Δ y d ij ji ( i, j 1,2,, ) bğıtısı vrs determit simetrik determit deir. SD 47
Özel Determitlr Yrı simetrik determit: Bir determitı elemlrıı rsıd, Δ T Δ y d ( i, j 1,2,, ) ij bğıtısı vrs determit yrı simetrik determit deir. ji
SD 49 Vder Mode Determitı : 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 şeklideki determıtlr deir. Özel Determitlr
İKİNCİ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ SD 50