XIII. Ulusal Eğitim Bilimleri Kurultayı, 69 Temmuz 00 İnönü Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Malatya ÖĞRENCİLER İN CEBİR E YÖNELİK HATA VE YANLIŞ ANLAMALARI: MATEMATİK ÖĞRETMEN ADAYLARI NIN TAHMİN BECERİLERİ VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Yüksel DEDE, Murat PEKER Cumhuriyet Ün. Eğitim Fak. İlköğretim Böl. Matematik Eğitimi ABD. SİVAS. Cumhuriyet Ün. Eğitim Fak. OFMAE Böl., Matematik Eğitimi ABD. SİVAS. ydede@cumhuriyet.edu.tr ; mpeker@cumhuriyet.edu.tr Özet Cebir, matematiğin en önemli alanlarından birisidir. Ancak, farklı düzeylerdeki öğrencilerin cebirsel kavramları anlamada bazı sıkıntılarının olduğu bilinmektedir. Bu zorlukların nedeni olarak ise cebirin içeriği, öğrenimi ve öğretimindeki eksiklikler gösterilebilir. Özellikle cebirin öğretiminden kaynaklanan eksikliklerin giderilebilmesi için matematik öğretmenlerinin, öncelikle öğrencilerin cebirsel işlem ve ifadelerde yapabilecekleri hata ve yanlış anlamaları tahmin edebilme becerilerine sahip olmaları gerekmektedir. Aynı durum, matematik öğretmen adayları için de geçerlidir. Bunun için bu araştırmada, matematik öğretmen adaylarının, ilköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik yapabilecekleri hata ve yanlış anlamaları tahmin edebilme becerileri ve bunların giderilmesine yönelik çözüm önerileri belirlenmeye çalışılmıştır. Verilerin analizi sonucunda, öğrencilerin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik hata ve yanlış anlamalarının olduğu ve öğretmen adaylarının, öğrencilerin yaptıkları hata ve yanlış anlamaları tahmin etmeye yönelik cevaplarının ise eşleme, görünmeyen cevap ve tahmin edememe şeklinde üç ana kategoride toplandığı belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Cebir e yönelik hata ve yanlış anlamalar, hata ve yanlış anlamaların tahmini, çözüm önerileri Abstract Algebra is one of the most important fields in mathematics. However, it has been documented that students who were in different level of understandings had the difficulties on algebraic concepts. Reasons for that might be content, teaching, or learning of algebra. To overcome these difficulties, mathematics teachers particularly need to have predictions skills about what might be students errors and misunderstandings on algebraic expressions and operations. This is consistent with the studies on preservice mathematics teachers because preservice mathematics teachers knowledge influences the way how they are teaching and how well their students are doing. Therefore, the present study has investigated preservice mathematics teachers prediction skills about what might be 7th and 8th grade middle school students errors and misunderstandings on algebraic expressions and operations as well as solution suggestions about how these difficulties might be overcome. The findings of the study showed that middle school students had errors and misunderstandings on algebraic expressions and operations. Preservice teachers responses were gathered in three main categories. These categories include predictions skills about what might be students errors and misunderstandings on algebraic expressions and operations such as coincident, unforeseen responses, and no prediction responses Key Words: Errors and misunderstanding towards algebra, prediction of error and misunderstanding, solution suggestions GİRİŞ
Cebir, matematiğin en önemli alanlarından birisidir. Cebir, örüntülerin, kuralların ve sembollerin bir dilidir (O Bannon, Reed and Jones, 00). O, ileri matematik derslerinin anlaşılması ve bir çok kariyerli iş imkanına sahip olunması için kapı açıcı konumunda görülmektedir (Choike, 000; Drier, 996; Lacampagne, 995; Maccini&Hughes, 000; Williams, 997). Ancak, farklı düzeylerdeki öğrencilerin cebirsel kavramları anlamada bazı sıkıntılarının olduğu bilinmektedir (Herscovics&Linchevski, 99; Kieran, 996; Macgregor&Stacey, 997a, Macgregor&Stacey, 997b; Brizuela, Carraher&Schlieman, 000). Bu zorlukların nedeni olarak ise cebirin içeriği, öğrenimi ve öğretimindeki eksiklikler gösterilmektedir (Kieran, 99). Özellikle, cebirin öğretiminden kaynaklanan eksikliklerin giderilebilmesi için matematik öğretmenlerinin, öncelikle öğrencilerin cebirsel işlem ve ifadelerde yapabilecekleri hata ve yanlış anlamaları tahmin edebilme becerilerine sahip olmaları gerekmektedir. Wanjala&Orton (996) tarafından yapılan araştırmanın sonuçları, öğretmenlerin öğrencilerin yapabilecekleri muhtemel hataların farkında olduklarını göstermekte, ancak öğretmenlerin çoğunun temel bilgi eksiklerinin olduğuna işaret etmektedir. Baki (998) tarafından yapılan araştırmada da, öğrencilerin cebirsel işlemlere yönelik yapabilecekleri hataları tahmin etmede kıdemli öğretmenlerin kıdemsiz öğretmenlere göre daha fazla neden gösterdikleri belirlenmiştir. Yine, Ardahan ve Ersoy (998) tarafından yapılan bir çalışmada da, öğretmenlerin yanılgılarının, öğrenci yanılgılarını önemli ölçüde etkilediği tespit edilmiştir. Aynı durum, matematik öğretmen adayları için de geçerlidir. Çünkü, öğretmen adayları, öğretimlerini bilgileri kadar zenginleştirebilir ve öğrencilerinin öğrenmelerini de o oranda arttırabilirler (Cai&Hwang, 00; Even, 998; Wilson, 99). Bunun için bu araştırmada, matematik öğretmen adaylarının, ilköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik yapabilecekleri hata ve yanlış anlamaları tahmin edebilme becerileri ve bunların giderilmesine yönelik çözüm önerileri belirlenmeye çalışılmıştır. Bu bağlamda aşağıdaki problemlere cevap aranmıştır;. İlköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin cebire yönelik hata ve yanlış anlamaları nelerdir?. Matematik öğretmen adaylarının, öğrencilerin cebire yönelik yaptıkları hata ve yanlış anlamaları tahmin etme becerileri nedir?. Matematik öğretmen adaylarının, öğrencilerin cebire yönelik yaptıkları hata ve yanlış anlamaların giderilmesine yönelik çözüm önerileri nedir? YÖNTEM Evren ve Örneklem Araştırmanın çalışma evrenini, matematik öğretmen adayları ve Sivas il merkezindeki ilköğretim okullarında okuyan 7. ve 8. sınıf öğrencileri oluşturmaktadır. Örneklem olarak, Cumhuriyet Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliğinin (İMÖ) son sınıfında okuyan 65 ve Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği nin (OMÖ) son sınıfında okuyan 55 olmak üzere toplam 0 matematik öğretmen adayı ve Sivas il merkezinde bulunan iki ilköğretim okulunda okuyan toplam 99 tane 7. ve 8. sınıf öğrencisi seçilmiştir. Veri Toplama Araçları
Öğrencilerin cebire yönelik hata ve yanlış anlamalarını belirlemek üzere, araştırmacılar tarafından hepsi açıkuçlu tipte 0 sorudan oluşan bir test hazırlanmıştır. Bu test, ilk önce örneklemde bahsedilen öğrencilere daha sonra da öğretmen adaylarına kendilerine uygun formatta düzenlenerek uygulanmıştır. Testte kullanılan sorulardan bazıları Tablo de verilmiştir: Tablo : Cebir e Yönelik Hata ve Yanlış Anlamaları Belirleme Testi nde Kullanılan Sorulardan Bazı Örnekler Soru No Soru Metni + 5x + x ifadesini en sade şekilde yazınız. Ali nin boyu a cm, Birol un boyu da b cm olsun. Birol, Ali den 8 cm daha kısadır. Bu ifadeye uygun bir denklem yazınız. x ve x + ifadelerinden hangisi daha büyüktür? Cevabınızı açıklayınız. 7 k + = 7 denkleminde k nedir? 9 Bir sayı tutunuz. Bu sayıyı 7 ile çarpınız, bulduğunuz sayıdan çıkarınız ve elde ettiğiniz sonucu ye bölünüz. Bulduğunuz sonuç, tuttuğunuz sayının katı olduğuna göre tuttuğunuz sayı nedir? Veri Toplama Süreci 0 maddelik Cebir e yönelik hata ve yanlış anlamaları belirleme testi, 0000 eğitim öğretim yılında Cumhuriyet Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği (İMÖ) ve Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği (OMÖ) anabilim dallarının son sınıfında okuyan toplam 0 matematik öğretmen adayına 50 dakika süre vererek uygulanmıştır. Aynı test, bu kez öğrenci formatında yeniden düzenlenerek Sivas il merkezinde bulunan iki ilköğretim okulunda okuyan toplam 99 tane 7. ve 8. sınıf öğrencisine 50 dakika süre verilerek uygulanmıştır. Verilerin Analizi Verilerin analizi, SPSS paket programı ile yapılmıştır. Öğrencilerin testte bulunan soruların her birisine yönelik yaptıkları hata ve yanlış anlamalar belirlenmiş, frekans ve yüzde değerleri hesaplanmıştır. Benzer şekilde, öğretmen adayı öğrencilerin de, testteki her bir soruya yönelik ilköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin yapmasını bekledikleri hata ve yanlış anlamalara yönelik tahminleri belirlenmiş, frekans ve yüzde değerleri hesaplanmıştır. Ayrıca; öğretmen adaylarının, ilköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik yapmasını bekledikleri hata ve yanlış anlamaların giderilmesine yönelik çözüm önerileri de tespit edilmiştir. BULGULAR VE YORUM Bu basamakta; araştırmanın problemleri çerçevesinde,.,.,7. ve 9. soruların analizi üzerinde durulacaktır. Soru. + 5x + x ifadesini en sade şekilde yazınız.
. soru için öğrencilerin yaptıkları hatalar ve yanlış anlamalar ile bunları tahmin eden öğretmen adaylarının frekans dağılımları aşağıda verilmiştir: Tablo :. soru için yapılan ve öngörülen hata ve yanlış anlamaların frekans tablosu No Tahmin Edilen Hata ve yanlış Hata ve Yanlış Anlama Öğrencilerin Cevaplarının Dağılımı anlamayı tahmin eden öğretmen adayı sayısı 7. sınıf 8. sınıf Boş Doğru Boş Doğru İMÖ OMÖ 0 (% 7,9) 6 (%6,) 9 (%0,9) (%55,8) Diğer Cevaplar Diğer Cevaplar x 6 (%0,7) 6 (%,0) 0 (% 6,) 7 (%0,9) + 0x (%,0) (%,8) (%,7) 7 (%0,7) (%7,)... = 0 7 (,5) (%,) 6 (%9,) (%,8) 5 ( + 5 + ) x (%,6) 6 + x (7,) (%,07) (%,8) 7 6x (%,5) 8 (%,5) (%7,) 9 9 + x (%,5) (%7,) 0 x = (%,8) x çarpma işareti (%,5) (%,8) 7 + (%,8) 0 x + (%,8) + x (%,0) (%,8) 5 + 8x (%,8) 6 + 6x (%,8) 7 5 x + x + (%,) (%,0) 8 7 x (%,5) Tablo den görüldüğü gibi, İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin % 6, ü bu soruyu doğru olarak cevaplarken 0 (%7,9) öğrenci soruyu cevaplamamıştır. İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinden ise %55,8 i bu soruyu doğru olarak cevaplarken, 9 (% 0,9) öğrenci ise soruyu cevaplamamıştır.
Tablo ye göre,,,,6 ve 7 nolu hata ve yanlış anlamalar, ilköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencileri tarafından çeşitli dağılımlarda yapılmış ve bunları da öğretmen adaylarından bazıları tahmin etmiştir., 5, 7 6 ve 8 nolu hata yanlış anlamalar ise öğretmen adayları tarafından tahmin edilmiş fakat ilköğretim öğrencileri tarafından yapılmamıştır. Yine Tablo ye göre, öğretmen adayları, öğrencilerin bu sorunun cevabı olarak en fazla x yazabileceklerini düşünmektedirler. Bu yanlış anlama çeşidini, İMÖ öğrencilerinin 0 u (%6,), OMÖ öğrencilerinin ise 7 si (%0,9) tahmin etmiştir. Aynı yanlış anlamayı ise 7. sınıf öğrencilerinin %0,7 si, 8. sınıf öğrencilerinin ise % ü yapmıştır. öğrencinin yaptığı, 5 x + + şeklindeki hatayı ise öğretmen adaylarının hiç birisi tahmin edememiştir. Bu soruda, her iki bölümdeki öğretmen adaylarının da genellikle tek türlü hata ve yanlış anlama tahmininde bulunduğu görülmüştür. Sadece, İMÖ öğrencilerinden 6 tanesi şer, tanesi de er hata tahmininde bulunurken, OMÖ öğrencilerinden ise sadece öğrencinin hata tahmininde bulunduğu görülmüştür. Ayrıca, İMÖ öğrencilerinden (%,5) tanesi OMÖ öğrencilerinden ise 9 (%,5) tanesi herhangi bir hata ve yanlış anlama tahmininde bulunamamıştır. Öğretmen adaylarının, öğrencilerin yapmasını bekledikleri hata ve yanlış anlamaları gidermek için yaptıkları çözüm önerilerinde ise genellikle başarısız oldukları görülmüştür. Öğretmen adaylarının çoğu, herhangi bir çözüm önerisinde bulunamamışlardır. Öğretmen adaylarının çözüm önerilerinden bazıları ise sayıları ile birlikte aşağıda verilmiştir: x şeklinde yazabilir. Bunu ortadan kaldırmak için () + 5x + x şeklinde ün yanında yazılmayan bir () olduğundan bahsedip katsayılara göre (cinsine göre) toplamayı yapacağımızı ayrıntılı olarak anlatabiliriz ().... hatanın giderilmesi konusunda bilinmeyen ve bilinen ifadeleri somutlaştırarak x li terimi benzetme yaparak bir elma yani; elma = x. + 5 elma + elma = + 7 elma = + 7x ().... bilinen ve bilinmeyenlerin sadece toplanabileceğini söyleyebiliriz. x in ne anlam ifade ettiğini belirtmek gerekir (7). Soru. Ali nin boyu a cm, Birol un boyu da b cm olsun. Birol, Ali den 8 cm daha kısadır. Bu ifadeye uygun bir denklem yazınız.. soru için öğrencilerin yaptıkları hatalar ve yanlış anlamalar ile bunları tahmin eden öğretmen adaylarının frekans dağılımları aşağıda verilmiştir:
Tablo :. soru için yapılan ve öngörülen hata ve yanlış anlamaların frekans tablosu No Tahmin Edilen Hata ve Yanlış Anlama Öğrencilerin Cevaplarının Dağılımı Hata ve yanlış anlamayı tahmin eden öğretmen adayı sayısı 7. sınıf 8. sınıf Boş Doğru Boş Doğru İMÖ OMÖ (%9,6) (%,) 5 (%,6) (%5,) Diğer Cevaplar Diğer Cevaplar a + 8 = b 8 (%7,6) 7 (%0,9) b 8 (%,) (%,5) a = b 8 (%9,6) 5 (%,0) (%,6) a + 8 + b (%,6) (%,5) 5 Sayısal değer 6 verme (%0,7) (%,7) (%,5) 6 a > b (%,5) 7 a + b = 8 (%,) (%,8) 8 a + b = 8 (%,5) 9 a = 8b (%,8) (%,) (%,5) Tablo den görüldüğü gibi, İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin (%,) tanesi bu soruyu doğru olarak cevaplarken (%9,6) öğrenci ise soruyu cevaplamamıştır. İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinden ise (%55,8) tanesi bu soruyu doğru olarak cevaplarken 5 (%,6) tane öğrenci ise soruyu cevaplamamıştır. Tablo e göre,,,,5,7 ve 9 nolu hata ve yanlış anlamalar, ilköğretim öğrencileri tarafından çeşitli dağılımlarda yapılmış ve bunları da öğretmen adaylarından bazıları tahmin etmiştir. ve 6 nolu hatalar ise öğretmen adayları tarafından tahmin edilmiş fakat ilköğretim öğrencileri tarafından yapılmamıştır. Özellikle, nolu hata ve nolu yanlış anlama çeşiti, öğretmen adaylarının en fazla yoğunlaştığı hata ve yanlış anlama çeşiti olmasına rağmen ilköğretim öğrencilerinin hiç birisi tarafından yapılmamıştır. Ayrıca, İMÖ öğrencilerinden 7 (%6,) tanesi, OMÖ öğrencilerinden ise (%0,0) tanesi herhangi bir hata ve yanlış anlama tahmininde bulunamamıştır. Bunun yanında, İMÖ öğrencilerinden 8(%,) tanesi, OMÖ öğrencilerinden ise (%,8) tanesi bir hata ve yanlış anlama tahmini yazmak yerine sadece sorunun doğru cevabını yazmakla yetinmiştir. İlköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin yapıp öğretmen adaylarının tahmin edemediği hata ve yanlış anlamalar ise şunlardır:
Tablo :.Soruda öğrencilerin yaptığı ancak öğretmen adaylarının tahmin edemediği hataların ve yanlış anlamaların frekans tablosu f No Hata ve Yanlış Anlama Çeşiti (%) 7. Sınıf 8. Sınıf a + 8 = b 8 (,6) a 8 = a (,8) a + 8b 8 (,8) a = b = x 8 (,8) (,7) 5 Ali = x 8 6 Birol = x 8 (,) (,0) x ( x 8) 6 a + b a. 8 (,) 7 5 (,) a 8 Dikdörtgen çizme (,) Tablo den de görüleceği üzere, öğretmen adaylarının tahmin edemediği ancak öğrencilerin yaptığı en fazla yanlış anlama 5 nolu yanlış anlamadır. Burada, Ali nin boyu a cm, Birol un boyu da b cm olarak verilmesine ve buna uygun bir denklem yazılması istenmesine rağmen öğrencilerin istenilen denklemi x harfi kullanarak kurmaya çalıştıkları görülmektedir. Bu veriler, Dede (00) tarafından yapılan araştırmanın sonuçlarıyla da paralellik göstermektedir. Öğretmen adaylarının çoğu bu hataların ve yanlış anlamaların giderilmesine yönelik yeterli düzeyde çözüm önerisinde bulamamıştır. Bu çözüm önerilerinden bazıları ise sayıları ile birlikte aşağıda verilmiştir: Kimin kısa olduğunu sorarım. Kısa ve uzun iki çöp adamı çizip, kısa olanın altına Birol u yazarım. Uzun olanın altına Ali yi yazıp, boy farkının kime eklenip çıkartılacağını açıklarım (5). Çocukların en zorlandıkları kısımlar metinsel ifadeleri matematik diline çevirmek. Burada büyük ihtimalle öğrencilerin büyük kısmı b = a + 8 olduğunu göremeyeceklerdir. Bu hatanın giderilmesi için çok sayıda soru çözülmelidir ().... Eşitlik kavramının öğretilmesi böylelikle eşit olmayan ifadelere ekleme ve çıkarma ile eşitliğin sağlanacağı öğretilmeli (). öğrenciyi kaldırarak karşılaştırma yaparak birisine şu kadar eklersek diğerini bulabiliriz ().
Soru 7. k + = 7 denkleminde k nedir? 7. soru için öğrencilerin yaptıkları hatalar ve yanlış anlamalar ile bunları tahmin eden öğretmen adaylarının sayısı aşağıda gösterilmiştir. Tablo 5: 7. soru için yapılan ve öngörülen hata ve yanlış anlamaların frekans tablosu No Tahmin Edilen Hata ve Yanlış Anlama Öğrencilerin Cevaplarının Dağılımı Hata ve yanlış anlamayı tahmin eden öğretmen adayı sayısı 7. sınıf 8. sınıf Boş Doğru Boş Doğru İMÖ OMÖ (%,8) 8 (%85,7) 8 (%8,6) 0 (69,8) Diğer Cevaplar Diğer Cevaplar k = 0 (%5,) (%6,6) 8 (%69,0) k = 7 (%,5) k + + 7 = 0 (%,5) 7 k = (%,0) (%,6) 5 k = 7 (%0,7) (% 5,) 6 k + 7 = (%,5) 7 k = olarak alır (%,8) 8 k = 7 (%,8) 9 7 k = (%5,) (%,8) 0 k + = 0 (%,5) İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin %85,7 si bu soruyu doğru olarak cevaplarken sadece öğrenci soruyu cevaplamamıştır. İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinden ise %69,8 i bu soruyu doğru olarak cevaplarken 8 (%8,6) öğrenci ise soruyu cevaplamamıştır. Genelde, 7. ve 8. sınıf öğrencileri bu soruyu doğru olarak cevaplamışlardır. Ayrıca, bu verilere göre 7. sınıf öğrencilerinin 8.sınıf öğrencilerine göre doğru cevap yüzdesi olarak daha başarılı oldukları görülmektedir. Bu soruda, her iki bölümdeki öğretmen adaylarının da genellikle tek türlü hata ve yanlış anlama tahmininde bulundukları belirlenmiştir. Sadece, İMÖ öğrencilerinden 5 tanesi şer hata tahmininde bulunurken, OMÖ öğrencilerinden ise sadece öğrencinin, öğrencinin hata tahmininde bulunduğu görülmüştür. Ayrıca, İMÖ öğrencilerinden 5 (%,0) tanesi, OMÖ öğrencilerinden ise (%0,0) tanesi herhangi bir hata ve yanlış anlama tahmininde bulunamamıştır. Tablo 5 ten görüldüğü gibi, k = 0 cevabı her iki gruptaki öğretmen adayları tarafından en fazla beklenen yanlış anlama çeşiti olmasına rağmen, 7. sınıf öğrencilerinden sadece öğrenci, 8. sınıf
öğrencilerinden ise hiçbir öğrenci bu yanlış anlamayı yapmamıştır. Ayrıca, öğretmen adaylarının, öğrencilerin yapmasını bekledikleri hata ve yanlış anlamalardan hiç birisini, 8.sınıf öğrencilerinin yapmadığı da görülmektedir. Öğrencilerin yaptığı ancak öğretmen adaylarının tahmin edemediği hata ve yanlış anlamalar ve frekans dağılımları ise aşağıda verilmiştir: Tablo 6: 7. Soruda öğrencilerin yaptığı ancak öğretmen adaylarının tahmin edemediği hataların ve yanlış anlamaların frekans tablosu F No Hata ve Yanlış Anlama Çeşiti (%) 7. Sınıf 8. Sınıf k = 5 (%,7) k 0...... = =, (%7,0) k + = 7 + 7 = k (%,8) k =, = Tablo 6 ya göre, öğrencilerin yapıp öğretmen adaylarının tahmin edemediği hata ve yanlış anlamaların fazla olmadığı görülmektedir. En fazla yanlış anlama ise %7,0 ile nolu yanlış anlama olarak göze çarpmaktadır. Öğretmen adaylarının, bu soruda da öğrencilerin yapmasını bekledikleri hata ve yanlış anlamaları gidermek için yaptıkları çözüm önerilerinde genellikle başarısız oldukları görülmüştür. Öğretmen adaylarının çoğu, herhangi bir çözüm önerisinde bulunamamışlardır. Öğretmen adaylarının çözüm önerilerinden bazıları ise sayıları ile birlikte aşağıda verilmiştir:... Bu sorularda k nın maske takan suçlu bir kişi olduğunu söylerim. Onu bir tarafta suçlu olduğu için yalnız bırakırım sayının öbür taraflara atıldığını söylerim. Bu sorularda + ve işaretine önem verilmeli ().... Eşitliğin her iki tarafına sayılar geçirilirken işaret değiştirileceği anlatılmalı ().... eşitliği bir kapı olarak düşündürüp kapıyı geçmek için işaretini feda etmesi gerektiği söylenebilir ().... kalemleri kullanarak bu soruyu onlara anlatabiliriz. kalemimiz var. 7 tane olması için daha kaç tane daha olması gerekir ().
Soru 9. Bir sayı tutunuz. Bu sayıyı 7 ile çarpınız, bulduğunuz sayıdan çıkarınız ve elde ettiğiniz sonucu ye bölünüz. Bulduğunuz sonuç, tuttuğunuz sayının katı olduğuna göre tuttuğunuz sayı nedir? 9. soru için öğrencilerin yaptıkları hatalar ve yanlış anlamalar ile bunları tahmin eden öğretmen adaylarının frekans dağılımları aşağıda verilmiştir: Tablo 7: 9. soru için yapılan ve öngörülen hata ve yanlış anlamaların frekans tablosu Öğrencilerin Cevaplarının Dağılımı Hata ve yanlış anlamayı tahmin eden öğretmen adayı sayısı No Tahmin Edilen Hata ve Yanlış 7. sınıf 8. sınıf Anlama Boş Doğru Boş Doğru İMÖ OMÖ 5 (%8,9) 9 (%,9) 8 (%8,6) 0 (%,) Diğer Cevaplar Diğer Cevaplar 7( x ) (%,8) (%,5) (%,8) 5.7 = 5 = 5 (%9,) (%5,) (%) x. 7 = = x.7 + (%,) (%,) (%,5) (7x ) = x (%,) (%,5) 5 a.7 a. =. a =. a (%0,7) (%,) (% 6,) 6 Soru yanlış (%,0) 7 a a 7a (7 ) a =. = a (%,5) (%8,) (% 7,) (%,8) (%,8) 8 9 0 7x = x a : 7 = (7a ). x 7 x + ( x ) + = x (%,0) (%,0) (%,5) (%,8) İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin %,9 u bu soruyu doğru olarak cevaplarken 5 öğrenci soruyu cevaplamamıştır. İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinden ise %, ü bu soruyu doğru olarak cevaplarken 8 (%8,6) öğrenci ise soruyu cevaplamamıştır. Bu soruyu doğru olarak cevaplamada da, 7. sınıf öğrencilerinin 8. sınıf öğrencilerine göre daha başarılı olduğu görülmektedir. Bu soruda, her iki bölümdeki öğretmen adaylarının hepsi de tek türlü hata ve yanlış anlama tahmininde bulunmuşlardır. Ayrıca, İMÖ öğrencilerinden (%5,) tanesi, OMÖ öğrencilerinden ise 5 (%5,) tanesi herhangi bir hata ve yanlış anlama tahmininde bulunamamıştır. Her iki anabilim dalındaki öğretmen adayları da, öğrencilerin en fazla nolu hata çeşitini yapacaklarını tahmin etmişlerdir. Gerçekten
de, tablo 6 dan da görüldüğü gibi, 7. sınıf öğrencilerinin %9, ü, 8. sınıf öğrencilerinin ise %5, si bu hatayı yapmışlardır. Tablo 7 de gösterilen,,, ve 5 nolu hatalar, öğrenciler tarafından çeşitli dağılımlarda yapılmış ve bunları da öğretmen adaylarından bazıları tahmin etmiştir. 6,7,8,9 ve 0 nolu hatalar ise öğretmen adayları tarafından tahmin edilmiş fakat ilköğretim öğrencilerinin her iki grubu tarafından da yapılmamıştır. Öğrencilerin yaptığı fakat öğretmen adaylarının tahmin edemediği hatalara ise rastlanmamıştır. Bu soruda da, öğretmen adaylarının, öğrencilerin yapmasını bekledikleri hataları gidermek için aşağıda verilenler hariç herhangi bir çözüm önerisinde bulunmadıkları görülmüştür. Bu çözüm önerileri ise şunlardır:... Bunu ortadan kaldırmak için çarpma ve toplama arasındaki işlemlerin öncelik sırasının iyi anlatılması gerekir ()....Bu konunun öğrenilmesinde para hesapları kullanılabilir. Çok güncel olduğu için 50 bin lira, ye böl, 5 bin lira ye böl şeklinde sayı ufaltılabilir (). Denklemin nasıl kurulduğu anlatılır gerekirse denklem kurma ve çözme konuları tekrar anlatılır (). SONUÇ VE ÖNERİLER Öğretmen adaylarının öğrencilerin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik hata ve yanlış anlamalarını tahmin edebilme becerilerini belirlemek üzere yapılan bu araştırmanın sonunda aşağıdaki sonuçlar ortaya çıkmıştır: ) Öğrencilerin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik hata ve yanlış anlamaları vardır. Özellikle de, harfli ifadelerin kullanılmasının ve bunlar üzerinden işlemler yapılmasının gerektiği durumlarda bu hatalar ve yanlış anlamalar daha da artmaktadır (. ve 9. soru). ) Araştırmada detaylı şekilde incelen sorulara bakıldığında, ilköğretim 7. sınıf öğrencilerinin 7. ve 9. soruları doğru cevaplama yüzdeleri bakımından ilköğretim 8. sınıf öğrencilerine göre daha başarılı oldukları,. ve. sorularda ise durumun tersine döndüğü görülmektedir. 8. sınıf öğrencilerinin 7. sınıf öğrencilerine göre, 7. ve 9. soruları daha az doğru cevaplamaları düşündürücüdür. ) Öğretmen adaylarının, öğrencilerin cebire yönelik hata ve yanlış anlamalarını tahmin ederken genellikle tek türlü hata ve yanlış anlama tahmininde bulundukları görülmüştür. Bu tahminlerinin de aşağıda belirtilen üç basamakta toplandığı belirlenmiştir: a) Eşleme: Öğrencilerin yaptığı ve öğretmen adaylarının tahmin ettiği hata ve yanlış anlamalar. Örneğin;. soru için tablo de verilen,,,6 ve 7 nolu hatalar. b) Sadece öğretmen adaylarının tahmin ettiği hatalar (görünmeyen cevaplar): Öğretmen adaylarının tahmin ettiği ancak öğrencilerin yapmadığı hatalar bu kategoriye girmektedir. Örneğin; yine. soru için tablo de verilen, 5, 76 ve 8 nolu hatalar.
c) Sadece öğrencilerin yaptığı hatalar (Tahmin edilemeyen cevaplar):öğretmen adaylarının tahmin etmediği ancak öğrencilerin yaptığı hatalar bu kategoriye girmektedir. Örneğin,. soru için tablo de verilen 8 nolu hatalar. ) Genel olarak, İMÖ öğretmen adaylarının OMÖ öğretmen adaylarına göre, İlköğretim 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin cebirsel işlem ve ifadelere yönelik yapacakları hata ve yanlış anlamaları tahmin etmede daha başarılı oldukları görülmüştür. 5) Her iki anabilim dalındaki öğretmen adaylarının da, öğrencilerin cebire yönelik hata ve yanlış anlamalarının giderilmesine yönelik yeterli düzeyde çözüm önerisi getiremedikleri saptanmıştır.hatta, öğretmen adaylarının çoğunun herhangi bir çözüm önerisinde bile bulunmadıkları görülmüştür. Bu sonuçlar ışığında şunlar önerilebilir: Özel Öğretim Yöntemleri III derslerinde, ilköğretim ve lise müfredatlarında bulunan konuların öğretimi ve konularla ilgili öğrencilerin hata ve yanlış anlamalarının belirlenmesine yönelik çalışmalara yer verilmelidir. Bununla birlikte, ilköğretim matematik öğretmenliği programlarında seçmeli ders olarak, ilköğretim ikinci kademe matematik müfredat programındaki konularda öğretmen adaylarının gerek alan bilgisi hususunda, gerekse alanla ilgili öğrencilerinde karşılaşabilecekleri davranışlar hususunda eksikliklerini gidermek için farklı dersler açılabilir. Yine, kitapların Milli Eğitim Bakanlığı tarafından belirlendiği günümüzde Konu Alanı Ders Kitabı İncelemesi dersi yerine yukarıda belirtilen içerikte farklı bir ders açılabilir. Bu şekilde öğretmen adaylarının gelecekte olası öğretim yapacakları müfredat programındaki alan bilgileri tekrar gözden geçirilmiş olur. KAYNAKÇA Ardahan, H. ve Ersoy, Y. (998). Yönlü Sayılarla İlgili Sözel Problemlerde Olası Yanılgılar ve Öğretmenlerin Tanıları. III. Ulusal Fen Bilimleri eğitimi Sempozyumu. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon, 5 Eylül, 5055. Baki, A. (998). Cebirle ilgili İşlem Yanılgılarının Değerlendirilmesi. III. Ulusal Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon, 5 Eylül, 69. Brizuela, B.; Carraher, D. & Schliemann, A. (000). Mathematical Notation to Support and Further Reasoning ( to help me think of something ).Symposium Presentation NCTM Research Presession Meeting, Chicago, II. Cai, J.& Hwang, S. (00). Generalized and Generative Thinking in U.S. and Chinese Students Mathematical Problem Solving and Problem Posing. Journal of Mathematical Behavior. (), 0 Choike, J. (000). Teaching Strategies For Algebra For All. Mathematics Teacher. 9(7), 556560. Dede, Y. (00). Öğrencilerin Cebirsel Sözel Problemleri Denklem Olarak Yazarken Kullandıkları Stratejilerin Belirlenmesi. Matematik Etkinlikleri 00, Matematik Sempozyumu ve Sergileri. 57 Mayıs, Milli Kütüphane Konferans Salonu. Ankara. Drier, H. (996). The Teaching and Learning of Algebra for AtRisk Students: Identifying the Best Practices, The University of Virginia, Research Brief No: Fall.
Even, R. (988). Preservice Teachers Conceptions of the Relationships Between Functions and Equations. PME XII., July, Hungary, 05. Herscovics, N. & Linchevski, L. (99). Cognitive Gap Between Arithmetic and Algebra. Educational Studies in Mathematics 7, 59 78. Kieran, C. (99). The Learning and Teaching of School Algebra. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. (Ed. Grouws, D). Macmillan Library Reference, New York, 909. Kieran, C. (996). The Changing Face of School Algebra. 7 th International Congress On Mathematical Education. July, Spain. Lacampagne, C. (995). Conceptual framework for the algebra initiative of the national instutute on student achievement, curriculum and assesment. (Eds. Lacampagne, C., Blair, W. and Kaput, J.). The algebra initiative colloquium., 7:. Maccini, P. ve Hughes, C. (000). Effects of a Problem Solving Strategy on the Introductory Algebra Perrformance of Secondary Students With Learning Disabilities. Learning Disabilities Research & Practice,. 5(), 0. MacGregor, M. & Stacey, K. (997a). Students Understanding Of Algebraic Notation : 5. Educational Studies in Mathematics : 9. MacGregor, M. & Stacey, K. (997b). Ideas About Symbolism That Students Bring To Algebra. The Mathematics Teacher, 90 (), 0. O Bannon, F.G.; Reed, S.and Jones, S. (00). Indiana s Academic Standards. Grade 7 English/ Language Arts, Mathematics, Science, Social Studies. Indiana State Dept. of Public Instruction, Indiana State Department of Education, Indianapolis, Indiana State Commission for Higher Education, Indianapolis. Wanjala, E.K. & Orton, A. (996). Teachers Knowledge of Pupils Errors in Algebra. Proceedings of the Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. 0th, Valencia, Spain, July 8, vol, 8. Williams, S.(997). Algebra: What Students Can Learn. The Nature and Algebra in the K Curriculum. Proceedings of a National Symposium, Washington, DC, May 78. Wilson, M. R. (99). One Preservice Secondary Teacher s Understanding of Function: The Impact of a Course Integrating Mathematical Content and Pedagogy. Journal for Research in Mathematics Education, 5(), 670.