Gezegenlei kim yuvalıyo? Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com Özet Aalık 2015 te tam da Göeliliğin 100. Yılında bilim dünyasına ulaşması için Evensel Kuvvet- Haeket Eşitliği ve Güneş Sistemi uygulaması adlı makalemi alelacele1000 dolaylaında saygın bilim adamına doğudan ulaştımaya çalışmıştım. O makale basitçe iki sıadan gözleme yanıt vemekteydi: Neden bi sistem içindeki tüm gök cisimlei genel olaak tek bi düzlem etafında öbekleşile? Neden he gök cismi hiyeaşik olaak bağlı olduğu büyüğünün etafında genellikle -hep aynı yönde- dolanı? Makalede 3. Bi sou daha soulmuştu ancak yanıtlanmamıştı. Gök cisimlei neden kendi eksenlei etafında dönele? Bu makale bu sıadan gözlemin de, astlantısal ve başlangıç koşullaıyla ilintili olmadığını, tam tesine iki cismin somut ve süegelen etkileşiminin sonucu olduğunu matematiksel çözümlemeleiyle bilikte göstemektedi. Giiş Konunun kolay anlaşılması için Evensel Kuvvet-Haeket Eşitliği ve Güneş Sistemi uygulaması adlı makaleyi özetlemeliyim. Evensel kuvvet-haeket eşitliği Newton fiziğindeki kaçış hızını temel alı. Buna göe he gök cismi kendisinden kada uzaktaki bi noktada aşağıdaki süat alanına sahipti: v f = 2GM Buada G kütlesel çekim sabiti (gavitational constant) ve M alanı oluştuan gök cisminin kütlesidi. Buna göe bu cismin potansiyel alanı, bu süat alanının kaesinin yaısının tes işaetlisi olacaktı. Bu alana va oluş süat alanı diyeceğiz. Evensel kuvvet-haeket eşitliği ikinci olaak, eğe alanın kaynağı olan gök cismi kendi ekseni etafında dönüyosa, bu süat alanını da döndüdüğünü vasaya. Böylece etki alanında bu süat alanına bi de hız alanı eşlik edecekti: v fh = k 2GM (ω ) Buada k cismin dönme hızını ölçekleme katsayısı, ω dönme ekseni doğultusundaki biim vektöü ise etki noktasını işaetleyen biim vektödü. Alan hız genliği ( v fh ) ekvatodaki va oluş süatına eşit olusa (yani o noktadaki süat alanı iki katına çıkasa) k = 1 olacaktı. Ne yazık ki he gök cismi için sabit bi k değeini doğudan belilemek zodu. Çünkü kaya gezegenle dışında güneş ve gaz devlei için
yekpae bi dönüş hızı gözlemleyemiyouz. Ekvatodaki maximum hız kutuplaa doğu azalmaktadı. Dünya için k = 0,0415 ti. Buna göe cismin etki alanı aslında bi süat+hız alanıdı. Bu büyüklüğü, vektö bileşeni geçek vektö olan bi dödeyle (quatenion) ifade edeceğiz: q f = 2GM + k 2GM (ω ) = 2GM [1 + k(ω )] Böyle bi duumda bu cismin etkin alan potansiyeli bu dödeyin nomu nun (kendisiyle sayısal çapımı 1 ) yaısının tes işaetlisi olacaktı. Yani: V() = GM [1 + k(ω )] [1 + k(ω )] = GM (1 + k2 sin 2 θ) Buada θ açısı iki biim vektö aasındaki açıdı. Paantez içindeki ifade alan dağılım çapanıdı. Atık yeni kuvvet alanı, bu ifadenin diklemesi (gadient) olacaktı. Küesel koodinatlada, bu diklemenin hem ışınsal (adial) hem de kutup açısal (pola) bileşenlei bulunacaktı: g(, θ) = V(, θ) = Gm 2 [(1 + k2 sin 2 θ) + k 2 sin 2θ θ ] Yeni kuvvet alanında mekezi bi bileşen yanında ekvato düzlemine bastıan ikinci bi bileşen de bulunacaktı. Kuvvet alanı atık küesel değil eksenel simetikti. Evendeki yassılaşmanın kaynağı da budu. İki cismin etkileşiminde he ikisi de eksenlei etafında dönüyosa, etkin alan dağılımı daha kamaşık olacaktı. Aalaındaki uzaklık olan iki cismin he biinin alan potansiyel dağılımı aşağıdaki gibidi: V 1 () = GM 1 [1 + k 1(ω 1 )] [1 + k 1 (ω 1 )] V 2 () = GM 2 {1 + k 2[ω 2 ( )]} {1 + k 2 [ω 2 ( )]} Cisimleden biinciden ikinciye doğu olan biim vektö ise, ikinciden biinciye olan olacaktı. Konu kaşılıklı etkileşim olunca alan dağılımı, bu kez, iki cismin alan dödeyleinin bibileiyle noktasal çapımı olacaktı. Dağılım çapanına γ desek: γ = [1 + k 1 (ω 1 )][1 k 2 (ω 2 )] Böylece he bi cismin etkin alan potansiyeli, kuvvet alanı ve bibileine uyguladığı kuvvetle aşağıdaki gibi olacaktı: V 1e () = GM 1 γ V 2e () = GM 2γ g 1 = GM 1 ( γ ) g 2 = GM 2 ( γ ) F 1 = F 2 = GM 1 M 2 ( γ ) Bu son ifade evensel kuvvet eşitliği di. Açıktı ki eğe iki cismin ekvato düzlemlei çakışık değilse, dikleme işleminin üç bileşeni de bulunacaktı. Işınsal bileşen Newton fiziğindeki kütlesel çekim kuvvetine, kutupsal bileşen yassılaşma (flattening) kuvvetine ve azimuth bileşen de sistemdeki cisimlein dolanma yönünü belileyen kuvvete kaşı gelmektedi.
Süat-hız alanında çalışma bize olağanüstü yeni olanakla sunmaktadı. Böylece cisimle bibileine göe haeket ettikleinde etkilendiklei alanın algılanma hızını tanımlayabilmekteyiz. Konum vektöü etkilendiği cisme göe olan bi cisim hızıyla haeket ediyosa, alan hızını kendi hızı kada eksik algılayacaktı. Bu duumda hissedilen göeli alan dödeyi aşağıdaki gibi olacaktı: q f = 2GM + k 2GM (ω ) = 2GM [1 + k(ω ) 2GM ] Etkileşen iki cisim için göeli alan potansiyellei ve etkin alan potansiyel dağılım çapanlaı da benze şekilde tanımlanacaktı. Göeli etkin alan dağılımı γ ise iki cismin bibiine uyguladığı kuvvet: F 1 = F 2 = GM 1 M 2 ( γ ) Göeli hızla kullanıldığında, cisimlein haeketi için çok basit ama evensel olaak geçeli bi ilke vadı: Şeyle kendileine uygulanan kuvveti yok edecek şekilde davanıla. Aslında bu ifade Newton un haeket yasalaının iki ve üçüncüsünün bi aada ve daha yalın bi ifadesidi. Sebest düşen cisimlein yeçekimini hissetmemelei gibi, gezegenle de yöüngeleinde Güneşin çekimini hissetmezle. Çünkü onu sıfılayacak şekilde haeket edele. Bu youm Einstein ın gezegenlein yöüngeleinde dengede olmalaının ye çekim kuvveti ile ilgisinin olmadığına ilişkin yaklaşımı ile ötüşmektedi. Böylece aşağıdaki eşitlik geçeli olacakti: F 1 = F 2 = ( γ ) = 0 Bu ifade de evensel haeket eşitliğidi. Bu difeansiyel denklemin çözümü üç eksende haeketi veecekti. Noktasal etki-uzamsal Etki Uzamsal cisimlein etkileşimlei ise sandığımızdan daha kamaşıktı. Denizledeki gel-gitle buna önekti. Gök cisimleinin kuvvet alanı, uzaklığa göe tes kae yasası geeği azalmaktadı. Alandan etkilenen cisim uzamsal yapıdaysa, bu cismi oluştuan he paçacık faklı şiddette bi alan etkisi altında bulunacaktı.
Şekil 1 deki Güneş-gezegen ikilisindeki koodinat sistemleini göz önüne alalım. Güneş mekezli koodinat sisteminde baha gündönümü (venal equinox) doğultusu x-ekseni, yöünge düzlemine dik doğultuyu da z-ekseni olaak seçelim. Gezegen yöünge üzeinde konumundadı ve Güneş mekezli sistemde (x p, y p, z p ) veya ( p, θ p, φ p ) noktasında haeket etmektedi. Bunlaa ait biim vektöle (i, j, k) ve (, θ, φ ) olsun. Gezegen mekezli koodinat sistemi (X, Y, Z) deki biim vektöle (I =, J = φ, K = k) olacaktı. Bu duumda gezegen yöüngede dolanıken (X, Y, Z) koodinat sistemi de (x, y, z) etafında dönmektedi. Şekil 2 gezegene daha yakından bakıştı. Buada gezegenin içindeki hehangi bi noktayı (X, Y, Z) olaak veya küesel koodinatlala (R sin Θ cos φ, R sin Θ sin φ, R cos Θ) şeklinde gösteebiliiz. Buada (R, Θ, φ), (X, Y, Z) koodinat sisteminin küesel kaşılığıdı. Böylece bu noktanın güneşe uzaklığı -X ekseni doğultusunda olduğundan- aşağıdaki gibidi: = p + X = p + R sin Θ cos φ Eğe gezegenin yaıçapı R p ise, gezegen üzeinde Güneşe en yakın ve en uzak noktaladaki güneş alanının süat ve dönel hız büyüklüklei sıası ile: 2GM p R p, k 2GM p R p, 2GM p +R p ve k 2GM p +R p olacaktı. Yani güneşin hız-potansiyel ve sonuçta kuvvet alanı gezegen içinde güneşten uzaklaştıkça doğusal olmayan bi biçimde azalacaktı. Benze şekilde yöünge üzeinde gezegenin açısal hızı φ p ise, gezegenin güneşe en yakın ve en uzak noktalaının çizgisel hızlaı sıasıyla ( p R p )φ p ve ( p + R p )φ p olacaktı. Yani bu hız da, alan hızının tesine Güneşten uzaklaştıkça atacaktı. Böylece gezegen içindeki he nokta, alan etkisini yakından uzağa faklı algılayacaktı. Bu faklı algılama üç eksen için de geçelidi.
Alan kuamına aşina okula homojen olmayan (non-unifom) hız ve kuvvet alanlaının etkileini bilile. Böylesine vectö alanlaına uygulanan kıvım (cul) işlemi o alanda oluşan dönme eğilimini veecekti. Konuya eneji temelinde aşağıdaki teoemle daha yakından bakalım: Teoem 1a: Bi gök cisminin, etki alanındaki noktasal bi kütleye kazandıdığı potansiyel eneji, aynı kütledeki uzamsal bi kütleye kazandıdığı potansiyel enejiden daha küçüktü. 1b: Bi gök cisminin etafında, dengeli bi yöüngede dönen noktasal bi kütlenin kinetik enejisi aynı kütledeki uzamsal bi kütlenin kinetik enejisinden daha küçüktü. Bu teoem Newton fiziğindeki Shell teoeminin alandan etkilenen cisim için kaşılığıdı. Ancak sonuçlaı açısından noktasal ve uzamsal kütlele eşdeğe değildi. Kanıt: Şekil 1b de Güneşten p kada uzaktaki bi noktada çekim potansiyeli: V p = GM S p Alanın noktasal kütlem p olaak gezegene kazandıdığı potansiyel eneji: E p = GM S Güneşin uzamsal gezegen içinde kada uzaktaki sonsuz küçük bi paçacığa kazandığı potansiyel eneji: de pv = GM S p + X dm p Gezegende yoğunluğu ρ olan homojen bi kütle dağılımı vasa dm p = ρdv yazılabili (dv gezegen içinde sonsuz küçük hacim). Böylece küesel koodinatlala yukaıdaki ifade: GM S de pv = p + R sin Θ cos φ ρr2 sin Θ drdθdφ Bu ifadenin integasyonu oldukça kamaşıktı. Gezegenin alan hızı, bulunduğu noktada 2GM S 1 2GM S 2 p p p M p ( 3 p ) biçiminde doğusallaştıılabili. Alan potansiyeli bu hızla hesaplanısa, entegasyon işlemi kolaylaşacaktı. Böylece, gezegen küesinin bütününde potansiyel eneji aşağıdaki gibi bulunu: E pv GM SM p (1 + R p p 202 ) p Buadaki ilk teim noktasal kütle potansiyel enejisi ikincisi ise uzamsal olmadan kaynaklanan atıştı. Benze şekilde, noktasal gezegenin kinetik enejisi, -hızı p φ p olduğundan-: E K = 1 2 M p p φ p p φ p = 1 2 M p p 2 φ p 2 Uzamsal gezegen içindeki sonsuz küçük he nokta Güneş etafında aynı açısal hızla dolandığından: Entegasyonla: de Kv = 1 2 φ p 2 ( p + X) 2 dm p E Kv = 1 2 M pφ p 2 2 p (1 + R p 2 52 ) p Buadaki ilk teim de noktasal gezegenin kinetik enejisi, ikincisi ise aynı kütlede uzamsal olmadan kaynaklanan atıştı. Uzamsal cisim bi anlamda alandan eneji emilimi yapmaktadı. Yani özel yöüngesel enejisi (specific obital enegy) atmaktadı. 2
Evensel haeket eşitliği geeği Gezegen kendisine uygulanan kuvveti yok etmek için güneşin etafında dolanmaktadı ve öyle anlaşılıyo ki uzamsal olunca emdiği eneji, kinetik enejisini atımakta ve böylece gezegenin doğusal ve spin hızı etkilenmektedi. Genel olaak, güneş-gezegen etkileşiminde gezegen, güneş potansiyel alanını evensel haeket eşitliği uyaınca aşağıdaki gibi algılayacaktı 2 : V Sel = Gm S {1 k Sk p (ω p ) (ω S ) + [k S (ω S ) + k p (ω p ) ] } 2Gm S 2Gm S Buadaki S alt simgeli ifadele güneşe, p alt simgelile ise gezegene aitti. Bu ifadedeki biim vektö çapanlaı, gezegenin güneş etafındaki bi dönüşü boyunca oluşan çok yavaş değişimledi ve gezegen küesi içindeki etkilei ihmal edilebili. Bunla sabit kabul edilip sadece = p + R sin Θ cos φ dönüşümü ile, V Sel ifadesi, gezegen içindeki değişkenle (R, Θ ve φ) cinsinden yazılabili. Böylece elde edilen yeni ifadenin diklemesi gezegenin he paçacığına üç eksende etkiyen kuvvet alanını veecekti. Bu alanının sadece teğetsel bileşeni spin için etkin olacaktı 3 : g pt (R, Θ, φ) = R V Sel (R, Θ, φ) Bu teğetsel kuvvet alanı atık konsevatif değildi ve dönmez bi alan (iotasyonel-dikleme alanı) olmaktan çıkmıştı. Yani eneji haca. Bu da gezegenin dönmesine yol açacaktı. Bu ifadeye uygulanan kıvım işlemi 3 (cul opeation) gezegen küesindeki dönmenin ölçüsü olacaktı. İfadeye kıvım teoemini (cul theoem) uygulasak, dönme etkisini gezegen küesinin bütününde elde edeiz: g T dv = R g T ds = 0 Teoem geeği aynı büyüklük gezegen yüzeyinde alınan yüzey integali ile de bulunu. Yüzey integalindeki R g T ds ifadesi alan kuamında büklüm (twist) olaak adlandıılı. Alan kuamına göe bu ifade 2VΩ 2 Ω gibi bi büyüklüğe eşit olması geekidi. Ancak buada göeli (algılanan) alan potansiyeli kullanıldığından evensel haeket eşitliği kavamı geeği sıfı olmalıdı. Çünkü ifade yukaıdaki uzun eşitlikte de göüldüğü üzee güneş ve gezegenin spin haeketini de içemektedi (k S ve k p ). Yukaıdaki integasyon işlemi oldukça kamaşıktı çünkü işlem, ifadesi nedeniyle R, Θ ve φ değişkenleinin zamana göe tüevleini de içemektedi. Gene de bütün bu yukaıda anlatılanladan gök cisimlein spin haeketi için aşağıdaki temel doğula özetlenebili: 1. Gezegenlein dönüşü astlantısal değildi ve iç dinamikle ve başlangıç koşullaıyla açıklanamaz. Güneşin etafında dolanmalaı nasıl çekim kuvvetinin zounlu sonucu ise kendi eksenlei etafında dönmelei de evensel kuvvet eşitliği ile tanımlanan yanal kuvvetlein zounlu sonucudu. 2. Gök cismi hacim kazandığında, alandan eneji emmeye başla. Özel yöüngesel enejisi (Specific obital enegy) ata. Emilen eneji gezegenin kinetik enejisini atıacaktı. Yanal kuvvet büyüklükleine bağlı olaak, bu eneji gezegenin doğusal ve/veya spin hızını etkileyecekti. 3. Yanal kuvvetle, Güneş ve gezegenlein dönme eksenlei aasındaki açının büyüklüğü oanında atacaktı. Yaıçapı büyük olan Venüs bu nedenle yavaş, küçük olan Mas ise hızlı dönmektedi. 4. Güneş dönmeseydi (yani ekvatou olmasaydı) veya dönseydi de gezegeninkilele aynı ekvato düzlemine sahip olsaladı gezegenlede spin haeketi olmayacaktı.
5. Güneşin ve gaz devleinin spin hızlaı iç içe geçmiş silindile gibi mekeze ve kutuplaa doğu yavaşlamalıdı. 6. Ay ve dünyanın eksenlei aasındaki açı, dönüş için yetei kada yanal kuvvet oluştuu. Ancak gel-git nedeniyle dünyadaki küesel defomasyon, ay küesi içindeki he bi noktanın = m + R sin Θ cos φ şeklinde tanımına engel olmaktadı. Eneji emilmesi yapamayan ay bu nedenle dönememektedi (Ge-gitsel kilitlenmenin matematiksel açıklaması). Göülüyo ki spin olayında temel etken yanal kuvvetledi. Uzamsal yapı tek başına spin için yeteli değildi. Yanal kuvvet yoksa emilen eneji sadece doğusal hızlaı atıacak bu da Mekü deki gibi yöüngesel kaymalaa (obital pesession) ve Keplein üçüncü yasasında ufak sapmalaa yol açacaktı. Yanal kuvvetlein kaynağı ise etkileşen cisimlein ekvato düzlemleinin çakışmamasıdı. Peki neden çakışmaz? Bunun da astlantısal olmadığını belitelim. Hesaplamalada gezegenlein içinde homojen bi kütle dağılımının olduğunu vasaydık. Bu duumda hiç kuşkusuz gezegen içindeki he paçacığa etkiyen kuvvet sadece o paçacığın fiziksel konumuna bağlı olacaktı. Oysa gezegenle heteojen yapıdadı. Yani gezegen içindeki he noktaya etkiyen kuvvet o noktanın yoğunluğunun da fonksiyonudu. Bu nedenle gezegen, yöünge üzeinde eksenel simetik kuvvet dağılımı olacak şekilde bi konum alacaktı. Sonuçta gezegenlein eksenel eğikliklei homojen olmayan içyapılaının zounlu sonucudu. Böylece gezegenlein iç dinamikleinde öneğin dünya üzeimdeki tektonik haeketlede güneşin etkisini ihmal edemeyeceğimiz anlaşılıyo. Teşekkü Evensel kuvvet-haeket eşitliği konulu önceki makale, bilim dünyasına 100. Yılda ulaşmak kaygısıyla hiçbi degide yayımlanmamıştı. Buna ağmen makaleye olağan üstü ilgi gösteen tüm bilim insanlaına teşekküleimi sunuyoum. Bu kuamsal çalışma için ticai kaygı gözetmeksizin bana ahat çalışma otamı sağlayan ESER gubuna olan minnet duygulaımı yinelemeliyim... Kaynakça 1. Konuya yabancı okula dödeylele ilgili kapsamlı bilgiyi ilei düzey Matematik-Fizik kitaplaında veya Roge Penouse un fizikteki hemen hemen tüm sounlaı tatıştığı temel bi başvuu kaynağı olan The Road to Reality adlı kitapta (bölüm 11) bulabilile. Dödeyle döt boyutlu vektö gibi değelendiilip sayısal çapım yapılabili. 2. Evensel kuvvet-haeket eşitliği ve güneş sistemi uygulaması adlı makale sayfa: 15 http://www.ese.com/t/nd sitesinden indiilebili. 3. Field Analysis and Electomagnetics Masou Javid and Philip Mashall Bown, 1963 by the McGaw- Hill Book Company, Inc. Cul theoem ile ilgili ayıntı için: 57-65 sayfalaına bakınız. 4. Theoetical Mechanics with intoduction to Lagange s Equations and Hamiltonian Theoy by Muay R. Spiegel, 1967 by the McGaw-Hill Book Company, 60232. 5. The Astonomical Almanac fot the yea 2013, Published by the United Kingdom Hydogaphic Office ISBN 978-0-7077-41284 6. Mathematics of Dynamic Systems by H.H. Rosenbock and C. Stoey THOMAS NELSON and SONS LTD. Geat Bitain 1970 7. Stability Theoy of Dynamic Systems by J.L. Willems THOMAS NELSON and SONS LTD. Geat Bitain 1970 8. Physics fo Scientists and Eginees with Moden Physics by Douglas C. Giancoli PEARSON 2013 ISBH 978-605-4691-34-0 9. Wikipedia fee encyclopedia https://en.wikipedia.og