Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç cm² dir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 4 Çözüm BAC ikizkenar üçgeninin yüksekliği çizilirse, Đkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay olduğundan, BH = HC = olur. AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, ( 0 )² = ² + AH ² AH = 6 Alan(ABC) = 4.6 Alan(ABC) = elde edilir.
Not : Đkizkenar Üçgen Tabana ait yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. B den [AC] ye veya C den [AB] ye çizilen dikme için aynı şeyleri söyleyemeyiz. [AH] = Açıortay = Kenarortay = Yükseklik n A = Va = ha. ABC bir üçgen [AK] açıortay AC = cm KC = 4 cm BK = x Şekildeki ABC üçgeninin çevresi 44 cm olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 6 B) 7 C) 8 D) E) Çözüm BAC üçgeninde iç açıortay teoremine göre, AB x = AB = x olur. 4 Çevre(ABC) = 44 olduğuna göre, x + + 4 + x = 44 4x = 8 x = 7 elde edilir.
Not : Açıortay teoremi Bir üçgende bir açının açıortayı karşı kenarı diğer kenarlar oranında böler. AN iç açıortay ise, NB = NC c b. Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde BD = DC olacak biçimde bir D noktası ve [AC] kenarı üzerinde AE = EC olacak biçimde bir E noktası işaretlenmiştir. ABC üçgeninin alanı 75 cm² olduğuna göre, EDC üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 5 Çözüm DC = x olsun. BD = DC olduğuna göre, BD = x olur. AE = y olsun. AE = EC olduğuna göre, EC = y olur.
ABC üçgeninin ve ADC üçgeninin yükseklikleri çizilirse, ABC üçgeninin yüksekliği : h olsun. Alan(ABC) = 75 = h.x h. x = 50 ADC üçgeninin de yüksekliği h olduğuna göre, Alan(ADC) = h. x 50 = = 5 ADC üçgeninin yüksekliği : h olsun. Alan(ADC) = 5 = h.5y h. y = 0 EDC üçgeninin de yüksekliği h olduğuna göre, Alan(EDC) = h.y 0 = = 0 bulunur.
veya ABC üçgeninin ve ADC üçgeninin yükseklikleri çizilirse, ABC üçgenine göre, Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşit olduğuna göre, Alan(ABC) = 75 olduğundan, Alan( ABC) x = Alan( ADC) x 75 Alan( ADC) = Alan(ADC) = 5 ADC üçgenine göre, Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşit olduğuna göre, Alan(ABC) = 75 olduğundan, Alan( ADC) Alan( EDC) 5y = y 5 Alan( EDC) = 5 Alan(EDC) = 0 elde edilir.
4. ABC bir dik üçgen BA AC AD = DC EC = cm BE = 9 cm DE = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 7 0 B) C) D) E) 4 Çözüm 4 AB // DK çizilirse, BA AC m(bac) = m(kdc) = 90 CDK CAB olacağına göre, CK = CK = 6 EC = olduğuna göre, KE = olur. KDC dik üçgeninde, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşit olduğuna göre, x = olur.
5. AB AC AE BC AC CE AB = 0 cm AC = 5 cm DE = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? 5 A) 5 B) C) D) 7 4 6 E) 5 Çözüm 5 BAC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, BC ² = 0² + 5² BC = 5 BAC dik üçgeninde öklid teoremine göre, 0² = BD.5 BD = 6 BC = 5 olduğuna göre, DC = 5 6 DC = 9 BAC dik üçgeninde öklid bağıntısına göre, AD ² = 6.9 AD = CDE BDA 9 x CE = = 6 0 45 CE = 4 7 x = elde edilir. 4
Not : Öklid bağıntıları I ) h² = p.k II ) c² = p.a b² = k.a III ) h² = b² + c²
6. GF // BC [BD] kenarortay AC = 5 cm BC = 8 cm BG = 8 cm Şekildeki G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, DGF üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) B) C) D) 5 E) Çözüm 6 G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezi olduğuna göre, BG = 8 GD = 4 olur. 5 [BD] kenarortay olduğuna göre, AD = DC = GF // BC DGF DBC 4 GF DF = = 8 5 GF = 6 DF = 5 5 5 Buna göre, çevre(dgf) = 4 + 6 + = olur.
Not : Kenarortay Bir üçgenin kenarortayları aynı bir noktada kesişirler. Bu kesim noktasına G ağırlık merkezi denir. GD =. AD AG =. AD
7. ABC bir ikizkenar üçgen AB = AC [BD] ve [CE] kenarortay EF = cm Şekildeki ABC ikizkenar üçgeninin BD ve CE kenarortayları F noktasında kesişmektedir. Buna göre, ABC ikizkenar üçgeninin alanı kaç cm² dir? A) 4 B) 45 C) 48 D) 50 E) 54 Çözüm 7 ABC ikizkenar üçgeninde tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay olduğundan, F noktası kenarortayların kesim noktası ise EF = FD = FC = FB = 6 BFC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, BC ² = 6² + 6² BC = 6 BFC dik üçgeninde, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğunun yarısına eşit olduğuna göre, FH = olur. FH = olduğuna göre, AF = 6 AH = 9 ve BC = 6 Alan(ABC) = 6.9 Alan(ABC) = 54 bulunur.
Not : Đkizkenar Üçgen Tabana ait yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. B den [AC] ye veya C den [AB] ye çizilen dikme için aynı şeyleri söyleyemeyiz. [AH] = Açıortay = Kenarortay = Yükseklik n A = Va = ha
8. m(bda) = 60 m(dab) = 65 m(bcd) = 50 Yukarıdaki şekilde AD // BC dir. Buna göre, a, b, c, d ve e ile belirtilen kenarlardan en uzunu hangisidir? A) a B) b C) c D) d E) e Çözüm 8 Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunacağından, ABD üçgeninde, m(abd) = 80 (60 + 65) m(abd) = 55 ABD üçgeninde, e > b > a AD // BC olduğuna göre, m(adb) = m(dbc) = 60 iç ters açı BDC üçgeninde, m(cdb) = 80 (60 + 50) m(cdb) = 70 BDC üçgeninde, c > d > e Buna göre, c > d > e > b > a elde edilir.
9. DE // AB // CF m(dbc) = 0 m(fcg) = 0 m(abc) = x m(edb) = y Yukarıdaki verilere göre, x y farkı kaç derecedir? A) 0 B) 5 C) 40 D) 45 E) 50 Çözüm 9 m(hbd) = m(edk) = 80 yöndeş açılar 80 + y = 80 y = 00 m(gcf) = m(gbh) = 0 yöndeş açılar 0 + x = 80 x = 50 Buna göre, x y = 50 00 x y = 50 bulunur.
0. ABC bir ikizkenar üçgen DE // BC BC = 5 cm EC = x Şekildeki ABC üçgeninde AB = AC = 0 cm dir. BCED bir teğetler dörtgeni olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 7 B) 9 C) D) 4 E) 5 Çözüm 0 Kenarları bir çembere teğet olan dörtgene teğetler dörtgeni denildiğine göre, Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğundan, ABC bir ikizkenar üçgen olduğuna göre, a = 5 a = 5 DE // BC ADE ABC b 5 5 0 ( + b) = 0 b 5 b = 8b = 5 b b = 5 0 5 x = a + b x = + x = 4 elde edilir.
Not : Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. PA = PB. ABCD bir kare DF FE FE EB DF = FE = EB = 4 cm Yukarıdaki verilere göre, ABCD karesinin alanı kaç cm² dir? A) B) 6 C) 40 D) 48 E) 50
Çözüm DB çizilirse, BEFD paralel kenar olacağından, köşegenler birbirini ortalar. OF = OE = olur. OEB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, OB ² = 4² + ² OB = 5 OB = 5 olduğuna göre, DB = 4 5 olur. BAD ikizkenar dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, (4 5 )² = x² + x² x² = 80 x = 0 Alan(ABCD) = x² Alan(ABCD) = ( 0 )² Alan(ABCD) = 40 Not : Bir karede köşegenler açıların açıortayıdır.
. ABCD bir dikdörtgen DF = cm EB = 4 cm AE = x Şekildeki AEFD ve EBCF yamuklarının alanları arasında A( AEFD) = A( EBCF) 5 6 ilişkisi olduğuna göre, x kaç cm dir? 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) E) Çözüm AEFD ve EBCF yamuklarının yükseklikleri : AD = h olsun. CF = [(4 + x) ] CF = + x A( AEFD) A( EBCF) = 5 6 (+ x). h (4+ (+ x)). h = 5 6 + x 5+ x = 5 6 8 + 6x = 5 + 5x x = 7
. ABCD bir kare EDC bir üçgen Şekildeki EDC ve EAB üçgenlerinin alanları arasında A( EDC) A ( EDC) =. A( EAB) ilişkisi olduğuna göre, 5 A( ABCD) oranı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 4 E) Çözüm A ( EDC) =. A( EAB) 5 EK. DC EH. AB =. 5 ABCD bir kare olduğundan, AB = DC olur. EK EH = 5 EK EH x = olsun. 5x KH = 5x x KH = x AB = DC = KH = x A( EDC) A( ABCD) = x.x (x)² = elde edilir.
4. Aşağıdaki ABCDEFGHK düzgün dokuzgeni verilmiştir. O noktası dokuzgenin köşelerinden geçen çemberin merkezi olduğuna göre, EOC açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 60 B) 7 C) 75 D) 80 E) 90 Çözüm 4 x = 60 9 x = 40 Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğuna göre, m(coe) =.x =.40 m(coe) = 80 bulunur.
5. m(dcb) = 5 m(dab) = 40 m(dbe) = x Şekildeki A, B, D ve E noktaları O merkezli [AB] çaplı çember üzerindedir. Buna göre, x kaç derecedir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 40 E) 45 Çözüm 5 Çapı gören çevre açı 90 olduğuna göre, m(adb) = 90 olur. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüsü birbirine eşit olduğundan, m(bad) = 40 = m(bed) Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğundan, CAD üçgeninde, m(cda) + 5 = 40 m(cda) = 5 BED üçgeninde, 40 + x + 90 + 5 = 80 x = 5 elde edilir.
6. m(bac) = 60 BC = cm OC = r Şekildeki O merkezli çember ABC üçgeninin çevrel çemberidir. Buna göre, r kaç cm dir? A) B) 6 C) 0 D) E) Çözüm 6 I. Yol Sinüs teoremine göre, sin 60 = r 6 = r = r 6. = r r = elde edilir. Not : Sinüs Teoremi Kenar uzunlukları a, b, c birim olan ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise a b c = = = R dir. sin A sin B sin C
II. Yol Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşit olduğundan, m(bac) = 60 BC yayı = 0 Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, BC yayı = 0 = m(boc) BO = OC = r olduğundan, BOC ikizkenar üçgen olur. BOC ikizkenar üçgeninin yüksekliği çizilirse, Đkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, aynı zamanda kenarortay olduğundan, BH = HC = olur. OHC dik üçgeninde, 60 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşit olduğundan, r. = r = r =. r = bulunur.
Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü 0 olan dik üçgende, 0 karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 60 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir.
7. Aşağıdaki şekilde ABC üçgeninin [AD] yüksekliğini çap kabul eden çember verilmiştir. Bu çember ile üçgenin [AB] kenarının kesim noktası E, [AC] kenarının kesim noktası ise F dir. m(abc) = 48 m(acb) = 70 m(akf) = x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Çözüm 7 I. Yol x, çemberde iç açı olduğuna göre, BDA dik üçgeninde, 48 + m(bad) + 90 = 80 m(bad) = 4 m(bad) = 4 çevre açı ED yayı = 84 CDA dik üçgeninde, 70 + m(cad) + 90 = 80 m(cad) = 0 m(cad) = 0 çevre açı FD yayı = 40 FA yayı = 80 40 = 40 Çemberde iç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşit olduğundan, x = 40+84 x = bulunur.
II. Yol BDA dik üçgeninde, 48 + m(bad) + 90 = 80 m(bad) = 4 m(bad) = 4 çevre açı ED yayı = 84 EA yayı = 80 84 = 96 EA yayı = 96 çevre açı m(afe) = 48 CDA dik üçgeninde, 70 + m(cad) + 90 = 80 m(cad) = 0 KFA üçgeninde, 48 + x + 0 = 80 x = elde edilir. Not : Çemberde iç açı Köşesi çemberin iç bölgesinde olan açıya iç açı denir. Đç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir. x = m( AB) + m( CD)
8. Aşağıdaki merkez açısının ölçüsü 0 olan O merkezli daire dilimiyle bu daire dilimine içten teğet olan M merkezli cm yarıçaplı çember verilmiştir. Buna göre, O merkezli dairenin yarıçapı kaç cm dir? A) 6+ B) 6+ 4 C) + D) + E) + 4 Çözüm 8 Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğuna göre, OA MA ve OB MB olur. Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğundan, OA = OB MAOB dörtgeninin OM köşegeni çizilirse, [OM] açıortaydır. OAM dik üçgeni 0 60 90 üçgeni olur. MA = MB = olduğuna göre, Dik üçgende 60 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşit olacağına göre, OM. = OM = 4 Buna göre, O merkezli dairenin yarıçapı = 4 + elde edilir.
9. ABC bir ikizkenar üçgen AB = AC Şekildeki O ve M merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla cm ve 8 cm dir. Bu iki çember ABC ikizkenar üçgenine içten, birbirlerine ise dıştan teğettir. Buna göre, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yüksekliği kaç cm dir? 64 A) 68 B) 70 C) D) 4 8 85 E) 4 Çözüm 9 ABC ikizkenar üçgeninin yüksekliği çizilirse, Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğuna göre, OK AC ve MN AC olur. AOK AMN x+ = x+ + + 8 8 x+ = x+ 8 x = 4 ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yüksekliği = x + + + 8 + 8 = 4 + 0 64 =
0. Bir dik dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesik koninin yüksekliği cm, taban yarıçapları ise cm ve cm dir. Buna göre, koninin [TA] yanal ayrıtının uzunluğu kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) Çözüm 0 TDE THB x x+ = x = 4 THB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, TB ² = ² + 6² TB = 0 Buna göre, TA = TB = 0 bulunur.
. Yarıçapı cm olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli küpün hacmi kaç cm³ tür? A) 5 B) 6 C) 5 D) 8 E) 08 6 Çözüm Kürenin içine yerleştirilebilecek küpün hacminin en büyük olması için : Küpün en büyük uzunluğu, kürenin çapıyla aynı olmalıdır. CD = 6 Küpün bir kenar uzunluğu = a olsun. AB BC ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, AC ² = a² + a² AC = a AD AC DAC dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, CD ² = a² + (a )² CD = a a = 6 olacağına göre, a = 6 bulunur. Küpün hacmi = a³ = 6³ = 6 cm³ elde edilir.
. OABC bir dikdörtgen OA = 6 birim AB = birim Dik koordinat düzleminde verilen şekildeki OABC dikdörtgeninin x ekseni etrafında 60 döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi V x, y ekseni etrafında 60 döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi de V y olduğuna göre, V V x y oranı kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm Buna göre, V x π.².6 = Vy π.6². = elde edilir.
. x ² + y² = 4 çemberi ile A) 4 B) C) D) E) 0 Çözüm x. y = hiperbolü kaç noktada kesişir? x ² + y² = 4 çemberi ile x. y = y = x x. y = hiperbolünün kesişim noktaları ortak çözümden bulunur. x ² + y² = 4 çember denkleminde y yerine yazılırsa, x x ² + = 4 x 4 4x + = 0 x² x ² = a olsun. a² 4a + = 0 = ( 4)² 4.. = 6 4 = a = a = ( 4) +. ( 4). a = + a =
a = + x ² = + x = + x = + a = x ² = x = x ² + y² = 4 çember denkleminde veya x = 4 x değerlerini yerine yazarak y değerleri hesaplanır. x. y = hiperbol denkleminde x = + x. y = y = x x = + y = + y =. + y = ² ( )² y = x = y = ( +, ) + x = y = ( +, ) + x = y = (, + ) + x = y = (, + ) 4 4 + Buna göre, x ² + y² = 4 çemberi ile x.y = hiperbolü 4 noktada kesişir.
4. Merkezi (, 4) noktası ve yarıçapı 4 birim olan çembere dıştan teğet olan birim yarıçaplı çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x² + (y 4)² = 6 B) (x )² + y² = 6 C) (x )² + (y )² = 6 D) (x )² + (y 4)² = 9 E) (x )² + (y 4)² = 49 Çözüm 4 Merkezi (, 4) noktası ve yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemi : (x )² + (y 4)² = 4² (x )² + (y 4)² = 6 Merkezi (, 4) noktası ve yarıçapı 7 birim olan çemberin denklemi : (x )² + (y 4)² = 7² (x )² + (y 4)² = 49
Not : Çemberin Denklemi Koordinat düzleminde sabit M(a, b) noktasından r uzaklıkta bulunan noktaların kümesi M(a, b) merkezli r yarıçaplı çember belirtir. Çemberin denklemi çember üzerindeki noktaların apsisleri ile ordinatları arasındaki bağıntıdır. r = MP = ( x a)² + ( y b)² Öyleyse Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi : (x a)² + (y b)² = r² dir. Not : Geometrik Yer Aynı özelliği taşıyan noktaların meydana getirdikleri şekil, bu noktaların geometrik yeridir. Analitik olarak geometrik yer aramak için bu noktaların ortak özelliğini belirten şeklin denklemini bulmak gerekir.
5. 4x² + y² 8kx + 4my + 6 = 0 denklemi, aşağıda verilen k ve m değerlerinden hangisi için bir elips belirtir? A) k = 0, m = B) k =, m = C) k =, m = D) k =, m = 0 E) k =, m = Çözüm 5 4x² + y² 8kx + 4my + 6 = 0 denkleminin elips belirtmesi için : (4x² 8kx) + y² + 4my + 6 = 0 (4x² 8kx + 4k² 4k²) + y² + 4my + 6 = 0 (4x² 8kx + 4k²) 4k² + (y² + 4my + 4m² 4m²) + 6 = 0 (4x² 8kx + 4k²) 4k² + (y² + 4my + 4m²) 4m² + 6 = 0 (x k)² 4k² + (y + m)² 4m² + 6 = 0 (x k)² + (y + m)² = 4k² + 4m² 6 Karelerinin toplamı sıfırdan büyük olacağına göre, 4k² + 4m² 6 > 0 k² + m² > 9 olmalıdır. A) k = 0 ve m = için : 0² + ² > 9 4 > 9 B) k = ve m = için : ² + ² > 9 > 9 C) k = ve m = için : ( )² + ² > 9 > 9 D) k = ve m = 0 için : ( )² + 0² > 9 4 > 9 E) k = ve m = için : ( )² + ² > 9 5 > 9 Buna göre, k =, m = için 4x² + y² 6x + y + 6 = 0 denklemi elips belirtir.
6. x ² + y² = r² çemberi ile y = mx+ n (m, n R) doğrusu, ( x 0, y 0 ) ve ( x, y ) gibi iki farklı noktada kesişiyor. x 0 = x ve x 0 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) m = B) n = C) m n = 0 D) m + n = 0 E) m.n = 0 Çözüm 6 x ² + y² = r² çemberi ile y = mx+ n (m, n R) doğrusunun kesişim noktaları ortak çözümden hesaplanır. x ² + y² = r² çember denkleminde y yerine mx+ n yazalım. x ² + ( mx+ n)² = r² x ² + m² x² + mnx+ n² = r² ( + m ²). x² + mn. x+ ( n² r²) = 0 = ( mn)² 4.(+ m²).( n² r²) x 0 mn+ 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²) = ve.(+ m²) x = mn 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²).(+ m²) x 0 = x olduğuna göre, mn+ 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²).(+ m²) = mn 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²).(+ m²) mn+ 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²).(+ m²) = mn+ 4m² n² 4.(+ m²).( n² r²).(+ m²) mn= mn 4 mn = 0 mn = 0 elde edilir.
7. AB = (4,, ) AC = (, 5, ) olduğuna göre, BC vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 7, ) B) (, 7, ) C) (,, ) D) (,, ) E) (7,, ) Çözüm 7 I. Yol BC vektörünü bulmak için, bitim noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır. Buna göre, BC = AC AB BC = ( 4, 5 ( ), ) BC = (, 7, ) elde edilir. II. Yol A = ( a, a, a ) B = ( b, b, b ) C = ( c, c, c ) olsun. AB = (4,, ) ( b a, b a, b a ) = (4,, ) AC = (, 5, ) ( c a, c a, c a ) = (, 5, ) BC = ( c b, c b, c b ) olacağına göre, BC = AC AB BC = ( 4, 5 ( ), ) BC = (, 7, ) elde edilir.
Not : A = ( x, y, z ) B = ( x, y, z ) vektörleri için AB vektörünü bulmak için, bitim noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır. Buna göre, AB = ( x x, y y, z z ) olur.
8. A(, a) noktasının x + 5y 7 = 0 doğrusuna olan uzaklığı birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır? A) 6 5 B) 6 5 C) 57 6 D) 5 6 E) 49 8 Çözüm 8 x + 5y 7 = 0 x = 0 için : y = 5 7 (0, 5 7 ) y = 0 için : x = 7 ( 7, 0) Bir noktanın bir doğruya uzaklığından, A(, a) =.( ) + 5. a 7 ² + 5² 5a 9 = 6 5a 9 = 6 a = 9 5a + 9 = 6 a = 7 5 7 6 Buna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı = 9.( ) = 5 5 elde edilir.
Not : Bir noktanın bir doğruya uzaklığı P( x, y ) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı, PH = d = ax + by a² + b² + c dir.
9. Analitik düzlemde A(, 0) ve B(, ) noktaları için [AB] doğru parçasının orta dikmesinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y + x + = 0 B) y + x = 0 C) y x + = 0 D) y + x = 0 E) y + x = 0 Çözüm 9 A(, 0) ve B(, ) noktaları için iki noktası bilinen doğrunun eğimine göre, 0 m AB = ( ) m AB = [AB] doğru parçasının orta noktası K(x, y) olsun. + x = x = 0+ y = y = K(x, y) = K(, ) olur. [AB] doğru parçası ile orta dikmesi olan [KL] doğrusunun eğimleri çarpımı dir. m AB. m KL =. m KL = m KL = Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemine göre, y =.(x ( )) y = x y + x + = 0 elde edilir.
Not : Đki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi A( x, y ) ve B( x, y ) m = y x y x Not : Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları A( x, y ) ve B( x, y ) olmak üzere [AB] nin orta noktası C( x 0, y 0 ) olsun. A x x B yamuğunda y 0 = y + y A y y B yamuğunda x x = 0 + x
Not : Đki Doğrunun Diklik Koşulu d doğrusunun eğimi d doğrusunun eğimi m = tanα m = tanθ m = tanα m = tan(90+ α) m = cotθ m = tanθ m = m. m = bulunur. m Not : Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğru Denklemi A( x, y ) ve eğim : m m = y x y x y y = m.( x x)
0. S kümesi, aşağıdaki grafikte taralı olan bölgedeki (x, y) sıralı ikililerinden oluşmaktadır. Buna göre T = {(x, y) R² : ( x, y) S} biçiminde tanımlanan kümenin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm 0 T = {(x, y) R² : ( x, y) S} (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T (, ) S (, ) T Not : Analitik Düzlemde Orijine Göre Simetri A(x, y) noktasının O(0, 0) noktasına göre simetriği B( x, y) dir. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA