Fizik 101: Ders 3 Gündem Basit Harmonik Hereket Yatay yay ve kütle Sinus ve cosinus lerin anlamı Düşey yay ve kütle Enerji yaklaşımı Basit sarkaç Çubuk sarkaç
Basit Harmonik Hareket (BHH) Ucunda bir kütle bulunan bir yayı gerip bıraktığımızda kütle ileri geri titreşim hareketinde bulunacaktır (eğer sürtünme yoksa). k m Bu titreşim hareketi basit harmonik hareket olarak adlandırılır ve de anlaması oldukça kolaydır... k k m m
BHH Dinamik... Biliyoruzki F = ma her zaman geçerlidir. Bu durumda F = -kx k a m F = -kx ve ma = Yani: -kx = ma = m d x m d x x d x k m x x(t) için diferensiyel denklem!
BHH Dinamik... d x k m x tanım k m d x x Burada w hareketin açısal frekansıdır. Çözüm denemesi: x = A cos(t) dx Asin t d x Acos t x Denklem sağlandığından çözüm budur!
BHH Dinamik... Amaaaa!... Açısal frakansın ileri geri hareketle ne ilgisi var?? y y = R cos = R cos (t) 1 1 1 3 3 4 x 0-1 4 6 6 5 5
d x BHH Çözüm Gösterdik ki: x (F = ma denkleminden elde edildi) çözümü x = A cos(t). Bu çözüm tekil değildir, binaenaleyh x = A sin(t) da bir çözümdür. En genel çözüm bu iki çözümün bir lineer kombinasyonudur!! x = B sin(t)+ C cos(t) dx Bcos t C sint d x Bsin t C cost x ok
Türetme: En genel çözümü kullanmak istiyoruz: x = A cos(t + ) çözümü x = B sin(t)+ C cos(t) çözümüne eşdeğerdir. x = A cos(t + ) = A cos(t) cos - A sin(t) sin = C cos(t) + B sin(t) burada C = A cos() and B = A sin() doğru! dolayısıyla x = A cos(t + ) genel çözüm için kabul edebiliriz!
BHH Çözüm... A cos( t ) denkleminin grafiği A = titreşim genliği T = / A A
BHH Çözüm... A cos( t + ) denkleminin grafiği
BHH Çözüm... A cos( t - /) denkleminin grafiği = / A = A sin(t)!
0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 Ders 3, Soru 1 Basit Harmonik Hareket Aşağıdaki ilk grafikte verilen sinüssel dalgayı toplarsak sonuç ne çıkar? 1.00 0.50 0.00-0.50-1.00 0.60 0.40 (a) 0.0 0.00-0.0-0.40-0.60.00 1.50 1.00 1000(b) 0.50 0.00-0.50-1.00-1.50 -.00 (c) 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6
Ders 3, Soru 1 Çözüm A B cos cos A B Trik özdeşliği anımsayalım: cos A cos B cos t cos t acos t b Burada b a cos Frakansları aynı olan iki veya daha fazla sinus ve cosinus fonksiyonun toplanı yine aynı frekansta başka bir sinus yada cosinus fonksiyonudur. Cevap (b). Excel programını kullanarak doğru olduğunu gösterebilirsiniz!!
Düşey yay nasıl? Yatay yay için (deneyden biliyoruz ki!) U 1 ky eğer y denge durumundan olan uzaklık ise! j Yaya etki eden kuvvet bu fonksiyonun negatif türevidir: F du dy ky k Aynen yatay yay da olduğu gibi: -ky = ma = m d y m y = 0 F = -ky Çözümü y = A cos(t + ) burada k m
BHH Toparlarsak... BHHin en genel çözümü x = A cos(t + ) burada A = genlik = açısal frekans = faz Yaya bağlı bir kütle için k m Frekans genliğe bağlı değildir!!! Bunun bütün basit harmonik hareketler için doğru olduğunu göreceğiz! Titreşim net kuvvetin sıfır olduğu denge konumu etrafında vukuu bulur!
Basit Sarkaç En basit sarkaç m kütlesinde bir cismin L uzunluğunda bir iple bir noktaya asılarak elde edilir. Denge konumu etrafında yaptığı küçük salınımların frekansı nedir? L z m mg
Yan bilgi: küçük için sin ve cos sin ve cos fonksiyonların = 0 yakınlarında Taylor açılımı: sin 3 3! 5 5!... ve cos 1! 4 4!... << 1 için sin ve cos 1
Basit Sarkaç... Anımsatma:: ağırlıktan dolayı z ekseni etrafında tork = -mgd. d = Lsin L = -mg L küçük için mgl ml d Ama = I, I = ml L d burada g L z Basit harmonik hareket için diferansiyel denklem! = 0 cos(t + ) d m mg
Ders 3, Soru Basit Harmonik Hareket Bir salıncakta oturuyorsunuz. Bir arkadaşınız sizi hafif iter ve siz T 1 periyodu ile ileri geri salınmaya başlarsınız. Oturmak yerine salıncakta dikildiğinizde hafif itiliyor ve T periyodu ile ileri geri salındığınızı farz edersek: Aşağıdakilerin hangisi doğru? (a) T 1 = T (b) T 1 > T (c) T 1 < T
Ders 3, Soru Çözüm Basit sarkaç için frekans g L Çünkü T T L g Sarkaç boyu küçültülürse daha hızlı titreşir (periyot küçülür!)
Ders 3, Soru Çözüm Ayağa kalmak salıncağın KM ni daha kısa yapar! L 1 > L olduğundan T 1 > T. L 1 L T 1 T
Çubuk Sarkaç Bu sarkaç L uzunluğunda m kütleli ince bir çubuğun bir ucundan asılmasıyla yapılır. Denge konumu etrafında küçük yer değiştirmenin frekansı nedir? z x KM mg L
Çubuk Sarkaç... (z) ekseni etrafında torku = -mgd = -mg(l/)sin -mg(l/) Bu durumda = I d I 1 ml 3 d I L 1 mg ml 3 d burada 3 g L küçük için z d mg L/ x KM L
Ders 3, Soru 3 Periyod Basit sarkacın uzunluğunu ne almalıyız ki periyodu çubuk sarkaç ile aynı olsun? L S L R 3 (a) L (b) S L R L (c) S L L R S LR 3
Ders 3, Soru 3 Çözüm L S S g L S L R R 3g L R S = P eğer L S 3 L R
Özet Basit Harmonik Hereket Yatay yay ve kütle Sinus ve cosinus lerin anlamı Düşey yay ve kütle Enerji yaklaşımı Basit sarkaç Çubuk sarkaç