Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 5 Rijit Cisim Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
5. Rijit Cisim Dengesi Denge, cismin ötelenmesini ve dönmesini önlemek için sırasıyla kuvvetlerin ve momentlerin dengesini gerektirir. Mühendislik problemlerinin çoğu simetrik yükler içerir ve cisim üzerine etki eden kuvvetler tek bir düzlem üzerine izdüşürülerek çözülebilir. Bölümün ilk kısmında, düzlemsel veya iki boyutlu kuvvet sistemine maruz kalan bir cismin dengesi ele alınacaktır. Bu problemlerin geometrisi karmaşık olmadığından analiz için skaler çözüm uygundur. Üç boyutlu sistemler ilerleyen kısımlarda vektör analizi kullanarak çözülecektir.
5.1 Rijit Cismin Denge Koşulları Bu bölümde, şekilde görülen cismin dengesi için gerekli ve yeterli şartları elde edeceğiz. Görüldüğü gibi cisim çeşitli kuvvet ve kuvvet çifti momentlerine maruzdur. Denge denklemlerini uygularken, cisimlerin rijit kaldığını kabul edeceğiz. Gerçekte, yük altındaki bütün cisimler şekil değiştirir. Bununla birlikte çoğu mühendislik malzemesinin rijitlikleri yüksektir ve şekil değiştirmeler çok küçüktür. Bu kabul ile, uygulanan kuvvetlerin yönü ve moment kolları yüklemeden önce ve sonra sabit kalır.
5.1 Rijit Cismin Denge Koşulları Bir rijit cismin dengede olması için, cisim üzerine etkiyen bütün dış kuvvetlerin toplamının ve dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamının sıfıra eşit olması gereklidir.
İki Boyutta Denge Bu bölümün ilk kısmında, rijit cisme etki eden kuvvet sisteminin tek bir düzlemde yer aldığı veya bir düzlem üzerine izdüşürülebildiği ve ayrıca cisim üzerine etki eden kuvvet çifti momentlerinin bu düzleme dik etki ettiği durumu ele alacağız. Örneğin, şekildeki uçak merkez eksenine göre bir simetri düzlemine sahiptir ve yükler bu eksene göre simetriktir. Böylece iki tekerlek de eşit yük taşır.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması, cisim üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin kesin olarak belirtilmesini gerektirir. Bunun için en iyi yol, cismin serbest cisim diyagramını çizmektir. Bu diyagram, cismi çevresinden izole edilmiş veya «serbest» kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir «serbest cismi» gösteren bir taslaktır.
Mesnet Tepkileri. Genel kural: Bir mesnet bir cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde söz konusu doğrultuda bir kuvvet ortaya çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. kablo ağırlıksız çubuk tekerlek salınan ayak Bir bilinmeyen. Tepki, kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvvetidir. Bir bilinmeyen. Tepki, bağlantı çubuğu ekseni boyunca etkiyen bir kuvvettir. Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. pürüzsüz temas yüzeyi Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. pürüzsüz olukta tekerlek/pim Bir bilinmeyen. Tepki, oluğa dik etkiyen bir kuvvettir. eleman, pürüzsüz çubuk üzerindeki bileziğe pimle bağlı Bir bilinmeyen. Tepki, çubuğa dik etkiyen bir kuvvettir.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. pürüzsüz pim veya mafsal İki bilinmeyen. Kuvvetin iki bileşeni veya bileşke kuvvetin büyüklüğü ve φ doğrultusu. eleman, pürüzsüz çubuk üzerindeki bileziğe sabit bağlı sabit mesnet İki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet. Üç bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet bileşeni veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve φ doğrultusu.
Dış ve İç Kuvvetler. W ağırlığı G ağırlık merkezinden etki eder. Örneklerde ve problemlerde, cismin ağırlığı analiz için önemli ise, bu kuvvet problemin ifadesinde yer alacaktır. Bir rijit cisim parçacıkların bileşimi olduğundan hem iç hem dış kuvvetler etki eder. Ancak, iç kuvvetler SCD de gösterilmez. Çünkü bu kuvvetler her zaman eşit ve zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir ve net etkileri sıfırdır. Örneğin, cıvata bağlantı-larındaki kuvvetler. SCD de sadece T 1, T 2 ve W gösterilir.
İdealleştirilmiş Modeller.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi 1. Adım. Cismin, sınırlamalardan ve çevresinden soyutlandığını veya «serbest» kaldığını hayal ediniz. Cismin genel hatlarını çiziniz. 2. Adım. Cisim üzerine etkiyen bütün dış kuvvetleri ve kuvvet çifti momentlerini belirtiniz. Bunlar, (1) uygulanan yüklerden, (2) mesnetlerde veya temas noktalarında ortaya çıkan tepkilerden ve (3) cismin ağırlığından ileri gelir.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi 3. Adım. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanmasında gerekli olan cismin boyutlarını gösteriniz. Bilinen kuvvetler ve kuvvet çifti momentleri, kendi büyüklük ve doğrultuları ile işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin ve KÇM lerinin büyüklük ve doğrultu açılarını göstermek için harfler kullanılır. x, y koordinat sistemi çizilir ve bu bilinmeyenler A x, B y, v.s. şeklinde gösterilir. Bir vektör veya KÇM nin etki çizgisi biliniyor, fakat büyüklüğü bilinmiyorsa, vektörün yönünü tanımlayan «ok ucu» varsayımına göre seçilebilir. Doğru yön denge denklemlerinden belli olur.
Örnek 5-1 Şekildeki üniform kirişin serbest cisim diyagramını çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg dır.
Örnek 5-1 Uygulanan kuvvetin çubuk üzerindeki etkisi Sabit mesnetin çubuk üzerindeki etkisi Ağırlığın çubuk üzerindeki etkisi A x, A y ve M A vektörlerinin büyüklükleri bilinmemektedir ve yönleri için varsayım yapılır. Kiriş üniform olduğundan, ağırlık G ağırlık merkezinden etkir.
Örnek 5-2 Şekilde görülen pedalın serbest cisim diyagramını çiziniz. Operatör pedala düşey bir kuvvet uygulamakta olup yay 1.5 in. uzamıştır. Aynı zamanda B çubuğundaki kuvvet 20 lb dur.
Örnek 5-2 İdealleştirilmiş model
Örnek 5-3 Ağırlıkları 300 kg olan pürüzsüz borular forklift çatalları ile şekildeki gibi tutulmaktadır. Boruların ayrı ayrı ve beraber olacak şekilde serbest cisim diyagramlarını çiziniz.
Örnek 5-3 İdealleştirilmiş model, Açı ve ölçüler eklenmiş. B nin A üzerindeki etkisi Eğik plağın A üzerindeki etkisi Ağırlığın A üzerindeki etkisi Eğik plağın A üzerindeki etkisi
Örnek 5-4 Kütlesi 200 kg olan platformun serbest cisim diyagramını çiziniz.
Örnek 5-4 Yükleme ve ölçüler simetrik olduğu için idealleştirilmiş model 2 boyutlu olarak çizilir.
5.3 Denge Denklemleri Cisim, tümü x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruz kalırsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.
Alternatif Denge Denklemi Takımları. Düzlemsel kuvvet sistemleri için daha çok aşağıdaki denklemler kullanılır: Bununla birlikte, üç bağımsız denklemden oluşan aşağıdaki denklem takımları da kullanılabilir:
Örnek 5-5 Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki tepki kuvvetlerinin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz. Hesaplamalarda kirişin ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek 5-5
Örnek 5-6 Şekilde gösterilen ip, 100 lb luk kuvveti tutmaktadır ve sürtünmesiz makaraya sarılmıştır. C de ipteki çekme kuvvetini ve A pimindeki tepkinin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-6
Örnek 5-7 Şekildeki anahtar A daki cıvatayı sıkıştırmak için kullanılmaktadır. Yük tutamağa uygulandığında anahtar dönmediğine göre, cıvataya uygulanan momenti veya torku ve anahtarın cıvata üzerindeki kuvvetini belirleyiniz.
Örnek 5-7
Örnek 5-8 Şekildeki düzgün pürüzsüz çubuk üzerine bir kuvvet ve kuvvet çifti momenti uygulanmaktadır. Çubuk A da pürüzsüz duvar ve B ve C de alttan ve üstten tekerlekler tarafından desteklendiğine göre, bu mesnetlerdeki tepki kuvvetlerini belirleyiniz. Çubuğun ağırlığını ihmal ediniz.
Örnek 5-8
Örnek 5-9 Şekilde bağlantı parçası, A da mafsal bağlıdır ve B deki pürüzsüz mesnede dayanmaktadır. A mafsalındaki tepkinin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-9
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar Bazı denge problemlerinin çözümü, sadece iki veya üç kuvvete maruz olan elemanlar ayırt edilebilirse kolaylaşabilir. İki Kuvvetli Elemanlar. Bir eleman üzerine hiç moment uygulanmıyor ve kuvvetler sadece iki noktada uygulanıyorsa, bu elemana iki kuvvetli eleman denir.
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar Üç Kuvvetli Elemanlar. Bir eleman üzerine sadece üç kuvvet etkiyorsa, bu elemana üç kuvvetli eleman denir. Elemanın dengede olması için, kuvvetlerin doğrultuları aynı noktadan geçmeli veya kuvvetler paralel olmalıdır.
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar İki kuvvet elemanı. Üç kuvvet elemanı.
Örnek 5-10 Şekilde gösterildiği gibi ABC kolu, A da mafsallıdır ve BD parçasına bağlanmıştır. Elemanların ağırlıkları ihmal edilebildiğine göre, A daki mafsalın kol üzerine uyguladığı kuvveti belirleyiniz.
Örnek 5-10
Üç Boyutta Denge 5.5 Serbest Cisim Diyagramları İki boyutlu dengede olduğu gibi öncelikle serbest cisim diyagramları çizilir. Ancak, öncelikle mesnet tepkilerini ele almak gerekir. Mesnet Tepkileri. İki boyutluda olduğu gibi, kuvvet, bağlı elemanın ötelenmesini kısıtlayan bir mesnet tarafından oluşturulur, buna karşı kuvvet çifti momenti bağlı elemanın dönmesi engellendiğinde ortaya çıkar.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. kablo Bir bilinmeyen. Tepki, kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan yönde etkiyen bir kuvvettir. pürüzsüz yüzey mesnedi Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. tekerlek Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. Üç bilinmeyen. Tepkiler üç dik kuvvet bileşenidir. Küresel mafsal Tek kaymalı yatak Dört bilinmeyen. Tepkiler şafta dik etkiyen iki kuvvet ve iki kuvvet çifti momentidir.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. Kare şaftlı tek kaymalı yatak Beş bilinmeyen. Tepkiler iki kuvvet ve üç kuvvet çifti momentidir. Tek itme yatak Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti momentidir. Tek pürüzsüz pim Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti momentidir.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti momentidir. Tek menteşe Sabit mesnet Altı bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve üç kuvvet çifti momentidir.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları Mesnet Tepkileri. (4) (7) (5) (8)
Serbest Cisim Diyagramları. Temel olarak, önce cismi «soyutlayarak» genel hatlarını çizmek gerekir. Oluşturulan x, y, z koordinat sisteminde bütün kuvvet ve kuvvet çifti momentleri dikkatlice işaretlenir. Genel bir kural olarak, bilinmeyen büyüklüğe sahip tepki kuvvetleri SCD de pozitif yönde etkiyormuş gibi gösterilir. Negatif değerler elde edildiği takdirde, bileşenlerin negatif koordinat yönlerinde etkidiği anlaşılır.
Örnek 5-11 SCD leri de çizilen çeşitli nesne örnekleri verilmiştir. Her bir durumda x, y, z eksenleri oluşturulmuş ve bilinmeyen tepki bileşenleri pozitif yönde gösterilmiştir. Ağırlıklar ihmal edilmiştir. A, B, C deki kayma yataklar. Yataklarca oluşturulan kuvvet tepkileri kuvvet ve moment dengesi için yeterlidir, çünkü bunlar milin koordinat eksenleri etrafında dönmesini önler.
Örnek 5-11 A daki pim ve BC kablosu. x ve z eksenleri etrafında dönmeyi engelleyen, çubuk üzerinde pim tarafından oluşturulan moment bileşenleri.
Örnek 5-11 A daki kayma yatak, C deki menteşe ve B deki tekerlek. Her bir koordinat ekseni etrafında dönmeyi engelleyen, plak üzerinde yatak ve menteşe tarafından oluşturulan kuvvet tepkileri. Menteşede moment oluşmaz.
5.6 Denge Denklemleri Üç boyutlu kuvvet sistemine maruz bir rijit cismin denge koşulları, cisme etkiyen bileşke kuvvet ve bileşke kuvvet çifti momentinin ikisinin de sıfıra eşit olmasını gerektirir. Vektörel Denge Denklemleri. Skaler Denge Denklemleri.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Rijit cismin dengesinin sağlanması için sadece denge denklemlerinin gerçekleşmesi yeterli değildir. Cismin aynı zamanda uygun şekilde tutturulması veya mesnetlerle bağlanması gerekir. Bazı cisimler denge için yeterli sayıda mesnede sahip olmayabilir veya mesnetler cismin devrilmesine yol açabilecek şekilde düzenlenmiş olabilir. Buna karşın bazı cisimler de gerekenden fazla mesnede sahip olabilir.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Fazla Bağlar. Bir cisim, gereksiz, yani cismi dengede tutmak için gerekenden fazla mesnede sahip ise, statik olarak belirsiz hale gelir. Statik olarak belirsizlik, cisim üzerindeki bilinmeyen yükleme sayısının, bu yüklemelerin çözümü için kullanılabilen denge denklemi sayısından daha fazla olduğunu ifade eder. Üç denge denklemi, beş bilinmeyen.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Fazla Bağlar. Altı denge denklemi, sekiz bilinmeyen. Bu problemleri çözmek için, genellikle, mesnet noktalarındaki deformasyon koşullarından elde edilen ek denklemler gereklidir.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bazı durumlarda, cisim üzerindeki bilinmeyen kuvvet sayısı denge denklemi sayısı kadar olsa da, mesnetlerdeki uygunsuz bağ kuvvetleri nedeniyle cismin kararsızlığı ortaya çıkabilir. Mesnet tepkilerinin tümü aynı bir ekseni keserse cisim uygunsuz bağlıdır.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bazı durumlarda, cisim üzerindeki bilinmeyen kuvvet sayısı denge denklemi sayısı kadar olsa da, mesnetlerdeki uygunsuz bağ kuvvetleri nedeniyle cismin kararsızlığı ortaya çıkabilir. Mesnet tepkilerinin tümü aynı bir ekseni keserse cisim uygunsuz bağlıdır.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bütün tepki kuvvetleri paralel ise, uygunsuz bağlar kararsızlığa neden olur.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bütün tepki kuvvetleri paralel ise, uygunsuz bağlar kararsızlığa neden olur.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bazı durumlarda, cisim gerçeklenmesi gereken denge denklemlerinden daha az tepki kuvvetine sahip olabilir. Bu durumda cisim kısmen bağlı hale gelir.?
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar Uygunsuz Bağlar. Bu durumda, uygun bağlama için; 1. Tepki kuvvetlerinin etki çizgilerinin aynı ekseni kesmemesi, 2. Tepki kuvvetlerinin tümünün birbirine paralel olmaması gerekir.
Örnek 5-12 Şekilde gösterilen 100 kg kütleli homojen plak, kenarları boyunca bir kuvvet ve kuvvet çifti momentine maruzdur. Plak, A daki tekerlek, B deki küresel mafsal ve C deki kordonla yatay düzlemde tutulduğuna göre, mesnetlerdeki tepki bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-12
Örnek 5-13 Şekilde gösterilen AB çubuğu 200 N luk kuvvet etkisindedir. A küresel mafsalındaki tepkileri ve BD ve BE kablolarındaki çekme kuvvetlerini belirleyiniz.
Örnek 5-13
Örnek 5-13
Örnek 5-14 Şekildeki bükülmüş çubuk A daki kayma yatak, D deki küresel mafsal ve B deki BC ipiyle tutulmaktadır. Sadece bir denge denklemi kullanarak, BC ipindeki çekme kuvvetini elde ediniz. A daki yatak, şaft üzerinde uygun yerleştirilmiş olması nedeniyle sadece z ve y doğrultularında kuvvet bileşenleri uygulayabilmektedir.
Örnek 5-14