BRLMA PROBLEMİNİN SONL FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ İM 6 AKIŞKANLAR DİNAMİĞİNDE SAYISAL YÖNTEMLER Doç D Lale Balas HAZIRLAYAN Bahadı Alavuz GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN
İÇİNDEKİLER GİRİŞ Buulma 3 Buulma Denklemi 4 Eliptik Difeansiel Denklemin Yaklaşık Olaak Çözümü 4 5 Nokta Fomülü ile Çözüm 4 9 Nokta Fomülü ile Çözüm 43 Dikdötgen Olmaan Bi Kesit için Sonlu Fakla Çözümü 43 Üçgen Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü 43 Daiesel Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü 433 Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü SONL FARKLAR YÖNTEMLERİNİ KLLANAN MATLAB PROGRAMLARI 5 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu Pogam Gafik Sonuçlaı 3 Sonuç Geilme Matisi 4 Geilme Fonksionundan Kama Geilmeleinin Elde Edilmesi 9 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu Pogam Gafik Sonuçlaı 3 Üçgen Kesitli Pizmatik Çubuk İçin Matlab Pogamı 3 Pogam Kodu 3 Pogam Gafik Sonuçlaı 4 Yaım Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 4 Pogam Kodu 4 Pogam Gafik Sonuçlaı 5 Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 5 Pogam Kodu 5 Pogam Gafik Sonuçlaı
Giiş Pizmatik a da daiesel kesitli çubuk elemanlaın buulması sonucu oluşan kama geilmeleinin kesit içinde dağılımının aklaşık olaak elde edilmesi amacıla değişik sonlu fakla öntemlei kullanılmıştı Kae, dikdötgen ve üçgen kesit ile daiesel kesitli çubuk elemanlaı ele alınaak buulma poblemine ait olan paçasal difeansiel denklem saısal olaak çözüldü Buulma poblemine ait paçasal tüevin aklaşık olaak çözümünde, kullanılmıştı 5 nokta öntemi (dikdötgen kesit için) 9 nokta öntemi (dikdötgen kesit için) üçgen mesh e sahip kesit için öntem daiesel mesh e sahip kesit için öntem Çubuk elemanlaın buulmasında kullanılacak paçasal difeansiel denklemimiz şöledi : φ φ = Gθ Buada, φ : Geilme Fonksionu G : Malzemenin kama modülü θ : Dönme açısıdı Buulmuş bi çubuğun en kesiti üzeindeki geilme aılışının belilenmesi ukaıda veilen paçasal difeansiel denklemi sağlaan ve sınıda değei sıfı olan φ geilme fonksionunu bulmaktan ibaetti eksenine ve eksenine göe esel tüevle bize kama geilmeleini vemektedi
Buulma Daiesel kesitli buulmuş bi çubuk elemanın kesin çözümü en kesitleinin düzlem kaldığı ve biçimlei bozulmaksızın döndüğü kabulüle elde edilmektedi Ancak pizmatik çubuklaın (kae vea dikdötgen) buulma etkisi altında en kesitlei düzlem kalmamakta ve şekil değiştimelei çubuk eksenleine akın noktalada en büük olmaktadı Pizmatik çubuklaın buulması pobleminin çözümü Saint-Venant taafından veilmişti Saint-Venant buulmuş çubuğun şekil değiştimesi hakkında bazı kabulle apmış ve bu kabullele denge denklemleini ve sını koşullaını sağlatabildiğini göstemişti 3 Buulma Denklemi Daiesel kesitli bi çubuk elemanın iki ucundan ugulanmış kuvvet çifti etkisi altında buulması sonucu oluşacak edeğiştimele şöledi; u = θ v = θ z z z En kesit şekildeğiştimesi aşağıdaki fonksionla ifade edilebili; w = θ ϕ(, ) ε = ε = ε z = γ = γ z w u ϕ = = θ z
γ z w v ϕ = = θ z Bu şekil değiştimelee kaşı gelen geilme denklemlei ise şöledi; σ = σ = σ z = τ = τ z ϕ = Gθ τ z ϕ = Gθ Buulma etkisi altında τ z ve τ z ile ifade edilen basit kama geilmelei bulunmaktadı En kesit çapılmasını taif eden ϕ (, ) fonksionu aşağıdaki denge denklemleini sağlaacak şekilde belilenecekti Bu denge denklemlei, σ τ τ z X = σ τ τ z z Y = σ z z τ z τ z Z = şeklindedi Bu denklemle momentumun kounumundan elde edilebili Buadaki X, Y, Z kütle kuvvetleini simgelemektedi Denge denklemleini kullanaak ϕ (, ) fonksionunun ϕ ϕ = difeansiel denklemini sağlaması geektiğini bulabiliiz Sını şatlaı kullanılaak denge denklemlei z τ z = τ z τ, =, z τ z = z olaak azılabili
z τ ve z τ geilmelei ise şöle ifade edilebili, z = φ τ, z = φ τ Buadaki φ ve nin geilme fonksionu adı veilen bi fonksiondu Bulduğumuz geilme geilme denklemini eniden şu şekilde azabiliiz; = G ϕ θ φ, = G ϕ θ φ Bu denklemleden biincisini e göe ikincisini de e göe tüevini alıp biincisinden ikincisini çıkaısak ϕ i ok edeiz ve sadece geilme fonksionunu bulunduan şu difeansiel denklemi elde edeiz; θ φ φ G = Bu denklem buulma pobleminin difeansiel denklemidi
4 Eliptik Difeansiel Denklemin Yaklaşık Olaak Çözümü 4 5 Nokta Fomülü ile Çözüm Dikdötgen bi ağa sahip olan poblemimizde, ( ) f, = şeklindeki zamandan bağımsız bi eliptik paçasal difeansiel denklem esel tüevlein metebeden mekezi sonlu fakla ile açılması ile çözülebili ( ) f j i j i j i j i j i j i,,,,,,, = Poblemin çözümünde iteatif öntemle kullanılabili Sonuca aklaşımı hızlandımak için oveelaation kullanılacaktı 4 9 Nokta Fomülü ile Çözüm 4 metebeden hassasiete sahip, esel tüevlein mekezi sonlu fakla ile açılmasıla elde edilen denklemin kullanımı ile poblem çözülebili ( ) f j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i, 6 3 6 6 3 6,,,,,,,,,, =
43 Dikdötgen Olmaan Bi Kesit için Sonlu Fakla Çözümü 43 Üçgen Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü θ θ θ θ sin cos sin cos = a = 3 3 = b 3 3 = c Bu eşitliklei toplaaak, = 3 c b a o 6 o a b c 3 4 5 6 a b c
p p Q c b a = 3 p p Q h h h = 6 5 4 3 3 h ~ 6 3 =
43 Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü Daiesel bi scheme için genel fomülümüz, = 4 3 u u u u u u θ θ θ 433 Yaım Daie Kesitli Çubuk Elemanında Sonlu Fakla Çözümü = 4 3 u u u u u u θ θ θ Daie kesitli poblem için çözümümüzde kullandığımız eşitliği, sını şatlaını modifie edeek aım daie için de kullanabiliiz 3 4
SONL FARKLAR YÖNTEMLERİNİ KLLANAN MATLAB PROGRAMLARI 5 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu function [F] = fivepoint(b,h) % Buulma pobleminin 5 nokta fomülü kullanilaak aklasik olaak çözümü % ve önündeki aalikla esit alinaak apilacak delta = ; % scheme aaliklai lamda = 4; teta = ; % adan dönüş G = 8; % ton cinsinden t/cm^ mtol = ; = b/delta; = h/delta; % bc : F = zeos(,); % Geilme Fonksionu Fass = zeos(b/delta,h/delta); Fass(:-,:-)= ; (h/delta); while (mtol > ) fo i=:(h/delta) fo j=:(b/delta) F(i,j)=(F(i-,j)Fass(i,j)F(i,j-)Fass(i,j)*G*teta*delta^)/4; %oveelaation: F(i,j)=lamda*F(i,j)(-lamda)*Fass(i,j); tol(i,j) = abs((f(i,j)-fass(i,j)) /(F(i,j)e-))*; Fass(i,j)=F(i,j); mtol = ma(tol); mtol = ma(mtol); suf ([::b],[::h],f)
Pogam Gafik Sonuçlaı Aşağıda bi kena uzunluğu 5 cm olan bi kae kesitli çubuk eleman için hesaplanmış Geilme fonksionunun dağılımı göülmektedi cm ve önleinde eşit alınmış adımla ile çözüm apılaak gafikle elde edilmişti Şekil Kesite Ait Scheme Şekil Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi
3 Sonuç Geilme Fonksionu Matisi e3 * Columns though 3 48 73 96 5 38 434 537 69 68 78 759 774 73 9 745 6 4 669 87 333 358 349 339 3338 96 745 39 93 3363 377 43 46 4443 4577 4666 479 5 6 93 3598 46 468 5 536 5554 579 5843 59 38 4 3363 46 483 539 5849 68 656 676 6855 694 434 669 377 468 539 68 6554 6979 73 7553 773 779 537 87 43 5 5849 6554 738 76 7979 85 848 857 69 333 46 536 68 6979 76 8 85 886 9 97 68 358 4443 5554 656 73 7979 85 8947 96 9466 9569 78 349 4577 579 676 7553 85 886 96 9587 983 99 759 339 4666 5843 6855 773 848 9 9466 983 5 36 774 3338 479 59 694 779 857 97 9569 99 36 48 774 3339 479 59 694 7793 857 97 957 99 36 48 759 339 4666 5844 6856 774 843 9 9468 985 7 37 79 35 4578 573 678 7555 85 888 96 959 985 993 683 359 4444 5556 658 73 798 854 8949 963 9469 957 6 334 46 538 6 698 763 85 855 88 94 9 538 87 44 5 585 6557 74 764 7983 854 843 85 435 67 378 463 5393 63 6558 6983 734 7557 777 7797 38 4 3365 463 4834 5393 585 6 65 67 6859 698 53 7 94 36 463 463 53 53 5558 573 5847 594 96 746 39 94 3366 379 45 463 4446 458 4669 473 74 9 746 7 4 67 873 335 36 35 33 334 48 74 96 53 38 435 538 6 684 73 76 775 Columns 4 though 6 774 759 79 683 6 538 435 38 53 96 74 48 3339 339 35 359 334 87 67 4 7 746 9 74 479 4666 4578 4444 46 44 378 3365 94 39 746 96 59 5844 573 5556 538 5 463 463 36 94 7 53 694 6856 678 658 6 585 5393 4834 463 3366 4 38 7793 774 7555 73 698 6557 63 5393 463 379 67 435 857 843 85 798 763 74 6558 585 53 45 873 538 97 9 888 854 85 764 6983 6 53 463 335 6 957 9468 96 8949 855 7983 734 65 5558 4446 36 684 99 985 959 963 88 854 7557 67 573 458 35 73 36 7 985 9469 94 843 777 6859 5847 4669 33 76 48 37 993 957 9 85 7797 698 594 473 334 775 49 38 993 957 9 85 7797 698 594 473 334 775 38 8 987 947 95 8433 778 686 5848 4669 33 76 993 987 959 965 88 855 7559 67 5733 458 35 73 957 947 965 895 857 7985 736 65 5559 4447 36 684 9 95 88 857 88 766 6985 64 53 464 336 6 85 8433 855 7985 766 744 656 5854 55 47 874 539 7797 778 7559 736 6985 656 634 5395 463 373 67 436 698 686 67 65 64 5854 5395 4836 465 3367 4 39 594 5848 5733 5559 53 55 463 465 36 96 8 53 473 4669 458 4447 464 47 373 3367 96 39 747 96 334 33 35 36 336 874 67 4 8 747 9 74 775 76 73 684 6 539 436 39 53 96 74 48
4 Geilme Fonksionundan Kama Geilmeleinin Elde Edilmesi Geilme fonksionunun tanımı geeği kesitteki Kama Geilmelei geilme fonksionunun esel tüevine eşit olacaktı τ z = φ, τ z φ = esel tüevlei elde edebilmek için izlenecek ol elde ettiğimiz geilme fonksionu değeleinden geçen bi eği bulup bu eğinin esel tüevini almak olacaktı Noktalaımızdan geçen bi eği udumak için kullanacağımız MATLAB kodu şu şekildedi; % Cuve Fitting fo i=:n(); p = polfit(,f(i,:),); = polval(p,); _ = p()*^p()*p(3); d = diff(_)/diff(); % _ fonksionunun tüevi d(n())=d(n()-); T(i,:) = d; %kama geilmesi vektöü T(i,:) = T(i,:); plot(,f(i,:),'o',,); figue plot ((:n()),d); gid on Buadaki pogam kodu deeceden bi eği udumakta ve hebi aalık için bu işlemi geçekleştimektedi Sonuç olaak elimizde deeceden _ fonksionlaı ve bununlaın gafiklei olmaktadı
Şekil 3 adım sona oluşan eği Şekil 4 4 adım sona oluşan eği Şekil 5 6 adım sona oluşan eği Şekil 6 8 adım sona oluşan eği Bulunan eğilein tüevlei alınaak ve eksenleinde oluşacak kama geilmelei bulunabili Tüev aldıma için MATLAB pogamı içindeki diff komutu kullanılmıştı Bu komut ile aklaşık olaak tüev hesaplanabili deece polinom fonksionlaımızın tüevlei kesit bounca linee olaak değişecekti Öneğin -ekseni doğultusunda kesit bounca tüev alısak aşağıdaki şekilde değişen tüev üzeini elde edebiliiz
Buadaki üze sadece bi öndeki tüevlei (ani kama geilmeleini) göstemektedi Sonuç olaak he iki doğultuda geilme gafiği istesek ok simgelei kullanmalıız
9 Nokta Fomülü İçin Matlab Pogamı Pogam Kodu function [F] = ninepoint(b,h) % to solve tosion poblem using ninepoint fda % ve önündeki aalikla esit alinaak apilacak delta_ = b/; % scheme aaliklai delta_ = h/; % scheme aaliklai lamda = 4; % oveelaation faktöü teta = ; % adan döndüdük G = 8; % ton cinsinden t/cm^ mtol = ; % baslangic teloansi = b/delta_; = h/delta_; %bounda conditions : F = zeos(,);%this is the stess function Fass = F; Fass(3:,3:)= ; while (mtol > ) fo i=3: fo j=3: F(i,j)=((6*F(i-,j)6*Fass(i,j)-F(i-,j)- Fass(i,j))*delta_^(6*F(i,j-)6*Fass(i,j)-F(i,j-)- Fass(i,j))*delta_^*G*teta**delta_^*delta_^)/(3*(delta_^delta _^)); %oveelaation: F(i,j)=lamda*F(i,j)(-lamda)*Fass(i,j); tol(i,j) = abs((f(i,j)-fass(i,j)) /(F(i,j)e-))*; Fass(i,j)=F(i,j); mtol = ma(tol); mtol = ma(mtol); suf ([:delta_:b*delta_],[:delta_:h*delta_],f);
Pogam Gafik Sonuçlaı Aşağıdaki ağ dikdötgen kesitli bi çubuk eleman içindi Kesit 5 cm cm boutlaında ve he iki doğultuda adım kullanılmıştı Şekil7 Kesite Ait Scheme Şekil8 Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi
3 Üçgen Kesitli Pizmatik Çubuk İçin Matlab Pogamı 3 Pogam Kodu clea % IM 6 Tem Poject % = -GT % üçken kesitli çubuk eleman için buulma pobleminin sonlu fakla ile aklaşık olaak % çözümü L = ; G = 8; T = ; Q = -*G*T; n = 5;%paça saisi n nokta va a = (n-)/; % numaali denklem: C(,) = -6; C(,) = ; C(,a) = ; % numaali denklem; fo i=:a- C(i,i) = -6; C(i,i-) = ; C(i,i) = ; C(i,ia) = ; C(i,ia-) = ; % 3 numaali denklem; C(a,a) = -6; C(a,a-) = ; C(a,*a-) = ; last_p = a; fo i=::n-5; a = a-; last_p = last_p; %4 nolu denklem C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ;
% 5 nolu denklem fo j=:a- last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ; % 6 nolu denklem last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -5; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a-) = ; last_p = last_p; %4 nolu denklem C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a) = ; % 5 nolu denklem fo j=:a- last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_pa) = ; C(last_p,last_pa-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_p-a) = ;
% 7 nolu denklem last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_p-a) = ; C(last_p,last_pa-) = ; % 8 numaali denklem; last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -5; C(last_p,last_p) = ; C(last_p,last_p-) = ; C(last_p,last_p-) = ; % 9 numaali denklem; last_p = last_p; C(last_p,last_p) = -6; C(last_p,last_p-) = ; B = ones(last_p,)*q*3/*(l/n)^; A = C\B; % plot aa=n; bb=; fo i=:n; fo j=:aa; X(i,j)=(bbj-)*(L/n); Y(i,j)=(i-)*(L/n)*sqt(3)/; bb=bb/; fo ii=aa:n; X(i,ii)=X(i,aa); Y(i,ii)=Y(i,aa); aa=aa-; a=(n-)/; aa=; fo i=::n-;
fo j=:a; aa=aa; AA(i,j)=A(aa,); bb=aa-; fo j=a:*a; AA(i,j)=A(bb,); bb=bb-; % fo j=:a-; aa=aa; AA(i,j)=A(aa,); bb=aa; fo j=a:*a; AA(i,j)=A(bb,); bb=bb-; AA(i,j)=; a=a-; ads=size(a); AA(n-,)=A(ads(,),); AA(n,n)=; AA(n,n)=; mesh(x,y,aa) Açıklama : Öncelikli olaak mesh içinde değeini aadığımız noktala için kaakteistik denklemle elde edilmiş ve C olaak adlandıılan matisimiz elde edilmişti Bu kaakteistik denklemle, denklemde kullanılan noktalaın sını üzeinde olup olmadığına, simetiğinin olup olmadığına bağlı olaak elde edilmişti Üçgen kesitimiz için 9 faklı kaakteistik denklem matisimizi oluştumuştu
3 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil9 Kesite Ait Scheme Şekil Geilme fonksionunun kesit içeisindeki değişimi
4 Yaım Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 4 Pogam Kodu clea = ; Q = -*8* ; n = ; % aıçapın kaça bölüneceği d = / n ; m = 35 ; % çeek çembedeki açının kaça bölüneceği do = pi / / m ; % çeek daiedeki bi paçanın açısı % Hesaplada kullanılacak değişkenle cc = Q * d^ ; aa = d / ; bb = d / do ; % - At fist point A(,)=*(bb/(-d))^;A(,)=--A(,); A(,m)=-aa/(-d);C(,)=cc; % - At fist column fo a=:(n-3); b=a*m; a=-(a)*d; A(b,bm)=-aa/a; A(b,b-m)=aa/a; A(b,b)=*(bb/a)^; A(b,b)=--A(b,b); C(b,)=cc; % 3 - At point (m(n-)) b=m*(n-); A(b,b)=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b)=--A(b,b); C(b,)=cc; % 4 - At points k ; k=,,3,,(m-) fo a=:(m-); a=-d; a=(bb/a)^; A(a,am)=-aa/a; A(a,a-)=a; A(a,a)=a; A(a,a)=--*a; C(a,)=cc; % 5 - At points kml;k=,,,(n-3);l=,3,,(m-) fo a=:(n-3); a=aa/(-(a)*d);a=(bb/(-(a)*d))^; fo b=:(m-); c=a*mb; A(c,cm)=-a; A(c,c-m)=a; A(c,c-)=a; A(c,c)=a; A(c,c)=--*a; C(c,)=cc; % 6 - At points m(n-)k
% k=,3,,(m-) fo a=:(m-); b=m*(n-)a; a=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b-)=a; A(b,b)=a; A(b,b)=--*a; C(b,)=cc; %At 7 - point m b=m; A(b,bm)=-aa/(-d); A(b,b-)=(bb/(-d))^; A(b,b)=--*A(b,b-); C(b,)=cc; % % 8 - At points km k=,3,,(n-) % fo a=:(n-); b=a*m;a=/(-a*d); a=(bb*a)^; A(b,bm)=-aa*a; A(b,b-)=a; A(b,b-m)=aa*a; A(b,b)=--*a; C(b,)=cc; % 9 - At point (n-)m b=(n-)*m; A(b,b-)=/do^; A(b,b-m)=5; A(b,b)=--*A(b,b-); C(b,)=cc; % B=A\C; % plotting % X Y fo a = : m ; o = ( a - ) * do ; a = d * sin (o); a = d * cos (o); = sin(o) * ; = cos(o) * ; X(a,) = ; Y(a,) = ; fo b = : n ; X(a,b) = X(a,b-) - a ; Y(a,b) = Y(a,b-) - a ; %X(a,:)=X(,:); %Y(a,:)=Y(,:)*-; fo a = : m; fo b = : n - ; BB(a,b)=B(a(b-)*m,);
fo a = : m-; BB(ma,:)=BB(a,:); X(ma,:)=X(a,:)*-; Y(ma,:)=Y(a,:); X(*m,:)=-*X(m,:); Y(*m,:)=Y(m,:); BB(*m,n)=; mesh(y,x,bb)
4 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil Kesite Ait Scheme Şekil Geilme Fonksionu Dağılımı
5 Daie Kesitli Çubuk İçin Matlab Pogamı 5 Pogam Kodu clea = ; Q = -*8* ; n = ; % aıçapın kaça bölüneceği d = / n ; m = 35 ; % çeek çembedeki açının kaça bölüneceği do = pi / / m ; % çeek daiedeki bi paçanın açısı % Hesaplada kullanılacak değişkenle cc = Q * d^ ; aa = d / ; bb = d / do ; m = m ; % Nokta saısı paça saısından bi fazla % - At fist point A(, ) = * ( bb / (-d))^ ; A(, ) = - - A(,) ; A(,m) = - aa/(-d) ; C(,) = cc ; % - At fist column fo a=:(n-); b = a * m ; % nokta saısı a = - (a) * d ; % fomüldeki A(b,bm) = - aa/a ; A(b,b-m) = aa/a ; A(b,b) = * (bb/a)^ ; A(b,b) = - - A(b,b) ; C(b,) = cc; % 3 - At point (m(n-)) % At cente point b = m * (n-) ; % nokta saısı A(b,b-) = ; A(b,b-m) = ; A(b,b) = -4 ; C(b,) = cc ; % 4 - At points k ; k=,,3,,(m-) fo a=:(m-); a = - d ; % fomüldeki a = ( bb / a )^ ; % fomülde kullanılan değişken A(a,am) = - aa/a ; A(a,a-) = a ; A(a,a) = a ; A(a,a) = - - *a ; C(a,) = cc ; % 5 - At points kml;k=,,,(n-3);l=,3,,(m-) fo a=:(n-3); a = aa / ( - (a)*d ) ; % fomüldeki a = ( bb / ( - (a)*d ) )^ ; % fomülde kullanılan değişken fo b=:(m-); c = a*m b ; % nokta saısı A(c,cm) = - a ; A(c,c-m) = a ; A(c,c-) = a ; A(c,c) = a ;
A(c,c) = - - *a ; C(c,) = cc ; % 6 - At points m(n-)k % k=,3,,(m-) mk = m ; fo a=:(m-); mk = mk - ; b = m*(n-) a ; % nokta saısı a = / do^ ; % fomülde kullanılan değişken A(b,b-m) = 5 ; A(b,bmk) = 5 ; A(b,b-) = a ; A(b,b) = a ; A(b,b) = - - *a ; C(b,) = cc ; %At 7 - point m b = m ; % nokta saısı A(b,bm) = - aa / (-d) ; A(b,b-) = * ( bb / (-d) )^ ; A(b,b) = - - A(b,b-) ; C(b,) = cc ; % 8 - At points km k=,3,,(n-) fo a=:(n-); b = a * m ; % nokta saısı a = / ( -a*d ) ; % fomüldeki a = ( bb*a )^ ; % fomülde kullanılan değişken A(b,bm) = - aa*a ; A(b,b-) = * a ; A(b,b-m) = aa*a ; A(b,b) = - - * a ; C(b,) = cc ; % 9 - At point (n-)m b = ( n- ) * m ; A(b,b-) = /do^ ; A(b,b) = 5 ; A(b,b-m) = 5 ; A(b,b) = - - A(b,b-) ; C(b,) = cc ; B = A \ C ; % plotting ma = * (m - ) ; % X Y fo a = : ma ; o = ( a - ) * do ; a = d * sin (o) ; a = d * cos (o) ; = sin(o) * ; = cos(o) * ; X(a,) = ; Y(a,) = ; fo b = : *n ; X(a,b) = X(a,b-) - a ; Y(a,b) = Y(a,b-) - a ;
fo a = : m; fo b = : n - ; BB(a,b)=B(a(b-)*m,); BB(a,n)=B(m*(n-),) ; fo b = : n; BB(a,nb)=BB(a,n-b) ; fo a = : m-; BB(ma,:)=BB(m-a,:); mesh(x,y,bb);
5 Pogam Gafik Sonuçlaı Şekil3 Kesite Ait Scheme Şekil4 Geilme Fonksionu Dağılımı
KAYNAKLAR Timoshsnko, S ve Goodie, JN 969 Theo of Elasticiti