ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve aakütledeki tüm elemalar dikkate alıarak hesaplaabilir. Aakütledeki tek bir elema dahi işlemi dışıda kalır ise elde edile souç parametre olarak kabul edilemez. ÖRNEK İSTATİSTİĞİ (PARAMETRE TAHMİNLEYİCİSİ): Bir öreği sayısal betimsel ölçüsüdür ve örekteki gözlemlerde hesaplaır. Diğer bir deyişle bilimeye bir parametrei sayısal değerii bulabilmek (tahmilemek) içi kullaılır.

PARAMETRE VE ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ İÇİN ÖRNEKLER Parametre Aakütle ortalaması Aakütle Medyaı M Aakütle Varyası Aakütle Stadart Sapması Aakütle Oraı P Örek istatistiği ˆ Örek ortalaması Örek Medyaı m Örek Varyası s Örek Stadart Sapması Örek Oraı x s p 3

Bir Populasyo Parametresi Hakkıda E Geiş Bilgiyi Hagi Örek İstatistiğii İçerdiğie Nasıl Karar Verilecek? Öreği aakütle ortalaması içi Aritmetik ortalama Geometrik ortalama Harmoik ortalama Medya vb. örek istatistikleride hagisi tercih edilmelidir. 4

Örek a Bir zar atılışıda x üst yüzdeki sayıyı göstersi. E(x)= aakütle parametresii (aakütle ortalamasıı) buluuz. x 3 4 5 6 P(x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 xp(x) /6 /6 3/6 4/6 5/6 6/6 6 6 E( x) xp( x)... 3,5 x 6 6 6 6 5

Örek b Acak bu değerii bir a içi bilimediği ve buu tahmi etmek içi populasyoda 3 örek alıdığıı varsayılsı. 6

Zar 3 kez atılsı ve örek souçları; x =, x =, x 3 =6 elde edilsi. x x 6 3 0 3 3,333 ve m= hesaplaabilir. m:medya =3.5 3 4 5 6 m= X=3.3 SONUÇ: x değeri değerie daha yakıdır. 7

Zar 3 kez daha atılsı ve örek souçları; x =3, x =4, x 3 =6 elde edilsi. 3 x 4,3 ve m=4 3 3 4 5 6 m x SONUÇ: m değeri değerie daha yakıdır. 8

Örek içi Yorum. Örekte hesaplaa örek istatistikleri (tahmileyiciler) birer şas değişkeidir.. Ne örek aritmetik ortalaması Ne de örek medyaı (m), populasyo ortalamasıa daima daha yakıdır deilemez. Souçları geelleebilmesi içi örek istatistiklerii dağılışıa gerek duyulmaktadır. x 9

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Aakütlede adet ölçümde x,, x oluşa bir örekte alımış olsu. Aakütledeki elema sayısı N olsu. Aakütlede alıabilecek her biri adet elema içere tüm mümkü örek sayısı: N k 0

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Bu koşullar (N, ) altıda hesaplaabilecek örek istatistiği sayısı k adettir. Örek istatistiğii aakütlesideki elema sayısı k olur. Örek verileride hesaplaa bir örek istatistiği içi elde edile bu aakütle örekleme dağılışı olarak adladırılır.

ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Örekleme dağılımı bu istatistiği bir olasılık dağılışıdır. Örekleme dağılımı aakütledeki elema sayısı N ve örek hacmii bir foksiyoudur.

Örek Büyük bir populasyoda alımış 3 ölçümü (0, 3, ) olasılık dağılışı aşağıdaki gibidir; = 3 x 0 3 P(x) /3 /3 /3 x a) Örek ortalaması ( ) ı örekleme dağılışı b) Örek medyaı (m) ı örekleme dağılışıı buluuz. DİKKAT: ANAKÜTLEDEKİ ELEMAN SAYISI N BİLİNMİYOR. FAKAT ŞANS DEĞİŞKENİNİN OLASILIK DAĞILIMI P(x) BİLİNİYOR. 3

Mümkü Örekler x m Olasılık p= x / (x tek sayı gelmesi durumu) 0 0 0 0 0 /7 0/3 0 0 3 0 /7 /3 0 0 4 0 /7 0/3 0 3 0 0 /7 /3 0 3 3 3 /7 /3 0 3 5 3 /7 /3 0 0 4 0 /7 0/3 0 3 5 3 /7 /3 0 8 /7 0/3 3 0 0 0 /7 /3 3 0 3 3 /7 /3 3 0 5 3 /7 /3 3 3 0 3 /7 /3 3 3 3 3 3 /7 3/3 3 3 6 3 /7 /3 3 0 5 3 /7 /3 3 3 6 3 /7 /3 3 9 /7 /3 0 0 4 0 /7 0/3 0 3 5 3 /7 /3 0 8 /7 0/3 3 0 5 3 /7 /3 3 3 6 3 /7 /3 3 9 /7 /3 0 8 /7 0/3 3 9 /7 /3 /7 0/3 Örek Örek 3 4

Örek Aritmetik Ortalama Örekleme Dağılışı x x 0 3 4 5 6 8 9 P( ) /7 3/7 3/7 /7 3/7 6/7 3/7 3/7 3/7 /7 Medya Örekleme Dağılışı m 0 3 P(m) 7/7 3/7 7/7 5

Niçi Örek? Aakütle parametrelerii örek değerleri (örek istatistikleri) yardımıyla tahmi edilmesie imka sağlamak moder istatistiği öemli bir görevidir. Aakütlei tamamı icelemez. Aakütlede bir şas öreği alıır. Elde edile örek değerlerii aakütle parametresi yerie kullaılması içi iki şart vardır: a. Örek şas öreği olmalı. Aakütledeki her birimi öreğe girme şası eşit olmalı b. Örek yeterice büyük olmalı 6

Tahmileyicileri Özellikleri. Sapmasızlık P(X) Sapmasız A Sapmalı B N birimlik ayı aakütlede farklı sayıda öreklem seçilebileceği içi tahmi edicii değeri de seçile örekleme göre değişmektedir. Bu durumda öreklem sayısı kadar elde edile tahmi edici, bir rassal değişke olup, ortalaması ve varyası ola bir olasılık dağılımıa sahiptir. Bu dağılımı beklee değerii aakütle parametresie eşit olmasıa, diğer bir ifadeyle bir istatistiği beklee değeri ile bilimeye aakütle parametresi arasıdaki farkı sıfıra eşit olmasıa sapmasızlık deir. E(X) E(X) 0 X 7

. Tutarlılık (Kararlılık) Tahmileyicileri Özellikleri P(X) Büyük örek hacmi A B Küçük örek hacmi X Öreklemdeki birim sayısı sosuza doğru arttırıldığıda, tahmi edicii değerii aakütle değerie yaklaşması ve =N olması durumuda aralarıdaki farkı sıfıra imesi özelliğie tutarlılık deir. lim P ˆ, ı tutarlı tahmicisidir. 8

Tahmileyicileri Özellikleri 3. Etkilik Etki Tahmici P(X) B A X Birde fazla sapmasız ve tutarlı tahmici olması durumuda, bir tahmicii varyasıı, ayı aakütle parametresii başka bir tahmicisii varyasıda daha küçük olması durumuda elde edile tahmicilere etki tahmici adı verilmektedir. 9

ÖRNEKLEME DAĞILIMI ÖRNEK HACMİNİN BİR FONKSİYONUDUR Örek hacmi büyüdükçe tahmileyicii varyası küçülür. P(X) Büyük örek hacimli durum A B Küçük örek hacimli durum X 0

Örek 3 Örek verileri içi aritmetik ortalama ve örek medyaıı tahmileyici özelliklerii araştırıız.

Örek 3 x Aritmetik ortalama, aakütle ortalamasıı sapmasız bir tahmileyicisi midir? x 0 3 P(x) /3 /3 /3 E x N i x P( x ) 0 3 3 3 3 5 i i

Örek 3 x x 0 3 4 5 6 8 9 P( ) /7 3/7 3/7 /7 3/7 6/7 3/7 3/7 3/7 /7 E x x P( x ) x i i i N 3 0 7 7 7 5 3

Örek 3 Souç: Ex olduğuda aritmetik ortalama (tahmileyici), aakütle ortalamasıı (parametrei) sapmasız bir tahmileyicisidir. 4

Örek 3 Örek medyaı m, aakütle ortalamasıı sapmasız bir tahmileyicisi midir? m 0 3 P(m) 7/7 3/7 7/7 7 3 7 0 3 i 7 7 7 mip mi E m E m 4.56 5

Örek 3 Souç: E m olduğuda örek medyaı (tahmileyici), aakütle ortalamasıı (parametrei) sapmalı bir tahmileyicisidir. 6

Örek 3 Aritmetik ortalama x, aakütle ortalamasıı Miimum Varyaslı bir tahmileyicisi midir? x 0 3 P(x) /3 /3 /3 x 0 9 44 x P(x) 0 9/3 44/3 53 E x xi P( xi) 3 x V x E x E x 53 5 3 6 7

Örek 3 x i x i Aritmetik ortalamaı varyası x 0 3 4 5 6 8 9 P( ) /7 3/7 3/7 /7 3/7 6/7 3/7 3/7 3/7 /7 x i xi x 0 4 9 6 5 36 64 8 44 P( ) 0 3/7 /7 9/7 48/7 50/7 08/7 9/7 43/7 44/7 i 909 E x xi Pxi 7 ( ) ( ) V x E x E x 909 (5) 7 = 8,66 8

Örek 3 Örek medyaıı varyası m i m m i 0 3 P(m i ) 7/7 3/7 7/7 m i 0 9 44 P(m i ) 0 7/7 008/7 mi Pmi E m ( ) ( ) V m E m E m 4.66 4.66 (4.56) =0.86 9

Örek 3 Souç: V m V x x Aritmetik ortalama, aakütle ortalamasıı Sapmasız ve Miimum Varyaslı bir tahmileyicisidir. 30

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ BEKLENEN DEĞER OPERATÖRÜ E(.) Şas değişkei x aakütle ortalaması ve aakütle varyası olsu. a ile b birer sabit sayı olmak üzere, E(a)=a E(ax)=aE(x)=a E(ax+b)=aE(x)+b=a+b 3

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS OPERATÖRLERİNİN ÖZELLİKLERİ VARYANS OPERATÖRÜ V(.) Şas değişkei x aakütle ortalaması ve aakütle varyası olsu. a ile b birer sabit sayı olmak üzere, V(a)=0 V(ax)=a V(x)= a V(ax+b)= a V(x)= a 3

MERKEZİ LİMİT TEOREMİ Şas değişkei x i dağılımı e olursa olsu bu aakütlede alıa hacimli öreklerde hesaplaa aritmetik ortalamaı x dağılımı yaklaşık olarak ormal dağılıma sahiptir. Örek hacmi büyüdükçe aritmetik ortalamaı dağılımıı ormal dağılıma yakısaması artar. x 33

Şas Değişkelerii Stadartlaştırılması Stadart değişkeler geellikle z ile gösterilir. Ortalaması sıfır, E(z)=0 Varyası bir, V(Z)=. z şas değişkei-aakütle ortalaması aakütle stadart sapması 34

BAZI ÖNEMLİ TAHMİNLEYİCİLER İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMLARININ BELİRLENMESİ Aritmetik ortalama Örek varyası s Örek oraı p x 35

BİR DAĞILIMIN BELİRLENMESİ Dağılışı tipii belirlemesi, (Normal, Üstel, Poisso vb.) Dağılımı parametrelerii belirlemesi 36

ARİTMETİK ORTALAMA x İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Şas değişkei x aakütle ortalaması ve aakütle varyası olsu. x i i x x x x Cevaplaması gereke sorular Dağılımı tipi? Parametreleri; Ex? Vx? 37

DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremie göre aritmetik ortalamaı dağılımı yaklaşık olarak ormal dağılıma sahiptir. Normal dağılımı parametreleri: Aakütle ortalaması Aakütle varyası 38

Dağılımı Parametreleri: Aritmetik Ortalama içi Aakütle Ortalaması x i i E x E E x E x E x Ex 39

Dağılımı Parametreleri: Aritmetik Ortalama içi Aakütle Varyası x i i V x V V x V x V x V x 40

ARİTMETİK ORTALAMA x İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI ~ ; x N N ; x x x x 4

Aritmetik Ortalamaı Stadartlaştırılması z x - x x z x - x x 4

Normal populasyoda örekleme Merkezi eğilim X Yayılım X yerie koyarak örekleme = 4 X = 5 Populasyo dağılımı 50 = 0 X Örekleme dağılımı =6 X =.5 X 50 X 43

Merkezi Limit Teoremi Örek hacmi yeterice büyükse ( 30)... x Örekleme dağılışı heme heme ormal olur. x X 44

Alıştırma Türk Telekom da çalışa bir operatörsüüz. Uzu mesafeli telefo görüşmeleri = 8 dk. & = dk. ile ormal dağılmaktadır. Eğer 5 lik örekler seçerseiz örek ortalamalarıı % kaçı 7.8 & 8. dk. arasıda olacaktır? 45

Çözüm Z X 7. 8 8 5. 50 Örekleme dağılımı X =.4 Z X 8. 8 5. 50 Stadart ormal dağılım Z =.3830.95.95 7.8 8 8. -.50 0.50 Z X 46

ÖRNEK ORANI: p Aakütle başarı olasılığıı P yi tahmilemek amacıyla populasyoda alıa örekte elde edile bilgiler doğrultusuda örek oraı p hesaplaır. İlgileile başarı olasılığıı P i bilimediği durumlarda hacimlik örek alıdığıda ve x örekteki başarı sayısı olarak ele alıdığıda, örekte elde edile başarı olasılığı (örek oraı); p x 47

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Şas değişkei x sabit hacimli deemede ortaya çıka başarı sayısı olsu. x~b(;p) Örek oraı: x p Cevaplaması gereke sorular Dağılımı tipi? Parametreleri; p p? E p V p? 48

DAĞILIMIN TİPİ Merkezi limit teoremie göre örek oraıı dağılımı eğer örek hacmi yeterice büyük ise yaklaşık olarak ormal dağılıma sahiptir. Buu temel sebebi örek oraıı, adet deemede ortaya çıka ortalama başarı sayısıı temsil etmesidir. Normal dağılımı parametreleri: Aakütle ortalaması Aakütle varyası 49

Dağılımı Parametreleri: Örek Oraı içi Aakütle Ortalaması x E p E E x E(x)=P E p P E p P Not: x şas değişkei biom dağılımıa sahip olduğuda: E(x)=P 50

Dağılımı Parametreleri: Örek Oraı içi Aakütle Varyası x V p V V x V V p p P P P P V(x)=P(-P) Not: x şas değişkei biom dağılımıa sahip olduğuda: V(x)=P(-P) 5

ÖRNEK ORANI p İÇİN ÖRNEKLEME DAĞILIMI p ~ N P P ; N P; p p 5

Örek Oraıı Stadartlaştırılması z z p - p p P p P P 53

Örek Hacmii Örek Oraı Üzerideki Etkisi Aakütle oraı P sabitke örek hacmi arttığıda örek oraıı stadart hatası küçülür. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi örek hacmi arttığıda p i kedi ortalaması etrafıda yoğulaştığı görülmektedir. f( p) =400 =00.68.7.76.80.84.88.9 p 54

Örek 4 Büyük bir populasyoda alıa 3 ölçüm ile ilgili öreğe döersek x başarı sayısıı örekte tek sayı gelme olayıı göstermek üzere örek oraıı beklee değerii ve varyasıı bularak dağılımıı elde ediiz. p i 0/3 /3 /3 3/3 p i 0/9 /9 4/9 9/9 P(p i ) 8/7 /7 6/7 /7 E( p) pip pi i E( p) p 8 0 6 3 E( p) 0.33 7 3 7 3 7 3 7 3 55

Örek 4 I. YÖNTEM p p V P p P P P 0.33 0.33 3 0.074 II. YÖNTEM p E( p ) E( p) E p ( ) pi P pi i 8 0 6 4 9 E( p ) 0.85 7 9 7 9 7 9 7 9 p E( p ) E( p) 0.85 (0.33) 0.074 56

Örek 5 Gelirler Geel Müdürlüğü e göre, bütü vergi beyaamelerii % 75 i vergi iadesie yol açmaktadır. 00 beyaamelik bir rassal öreklem alımıştır. a) Vergi iadesie yol aça beyaameleri öreklem oraıı ortalaması kaçtır? b) Öreklem oraıı varyası kaçtır? c) Öreklem oraıı stadart hatası kaçtır? d) Öreklem oraıı 0,8 de büyük olma olasılığı kaçtır? 57

Örek 5 Çözüm: a) b) Ep P 0. 75 p P P p 0,75( 0,75) 00 0,00875 c) Stadart Sapma (ya da Stadart Hata) p 0,00875 0,0433 p 58

Örek 5 d) P( p0,8)? P p 0.8 P p P p 0.8 p P P z 0.8 0.75 0.0433 P z.5 0.5 0.3749 0. 5 59

Ki-Kare Dağılışı v = ( - ) s = örek miktarı s = örek varyası = aakütle varyası df = serbestlik derecesi = =v 60

Ki-Kare Dağılışı Ki-kare dağılımıı tek bir parametresi vardır: v Bu parametre geel olarak serbestlik derecesi olarak adladırılır. v şeklide gösterilir. Ki-kare dağılımı ormal (stadart ormal) dağılıma sahip şas değişkeleride elde edilir. 6

Ki-Kare Dağılışı Şas değişkeleri x i ler ormal dağılıma sahip olmak üzere, örek varyası: s x i x s x x i Eşitliği her iki tarafı aakütle varyasıa bölüerek s x x i 6

Ki-Kare Dağılışı Ki-kare şas değişkeii beklee değeri: E V v v v Ki-kare şas değişkeii varyası: v 63

Ki-kare istatistiğii dağılışıı özellikleri. ki-kare dağılışı simetrik değildir. Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (ormale yaklaşır). Simetrik değil df = 0 df = 0 0 Tüm değerler sıfır veya pozitif x 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 64

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Aakütle ortalaması μ x ve aakütle varyası x ola bilimeye bir populasyoda x, x,, x ile gösterile adet rassal bir örek alıdığıda populasyo varyası aşağıdaki gibi bir beklee değer ifadesie eşittir: Ex ( ) x i x Populasyo ortalaması μ x bilimediğide yerie koularak örek varyası aşağıdaki gibi taımlaır. x s x x x ( i ) i 65

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Varyası x ola bir populasyoda alıa hacimlik bir öreği örek varyası s x olarak ifade edildiğide; s x x s x 66

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI i örekleme dağılımıı ortalaması dir. s x E s x x x Es ( ) E x x x 67

ÖRNEK VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI s x i örekleme dağılımıı varyası, örekleme dağılımı Ki-Kare dağılımıa uygu olduğuu soucuda hareketle; V s V s x x V x V 4 x 4 x V s x 4 x 68

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Ortalamalar arası farkı örek dağılımıı ortalaması μ μ ve stadart hatası da - ile gösterilir. XX Z X X 69

ORTALAMALAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Örek: İki farklı u fabrikasıda paketlee stadart kg lık u paketleri test edilmiş ve birici fabrikada alıa 00 paketi ortalaması.03 kg, stadart sapması 0.04 kg; ikici fabrikada alıa 0 paketi ortalaması 0.99 kg, stadart sapması 0.05 kg bulumuştur. Aakütle stadart sapmaları bilimediği içi örek stadart sapmalarıda hareketle ortalamalar arası farkı stadart hatası; s s XX (0.04) (0.05) = 00 0 = 0.006 70

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Oralar arası farkı örek dağılımıı ortalaması P - P ve stadart hatası da - ile gösterilir. P P P P P P Z p p P P P P P P 7

ORANLAR ARASI FARKLARIN ÖRNEKLEME DAĞILIMI Örek: Birici fabrikadaki kusurlu mamul oraıı 0.08 ve ikici fabrikadaki kusurlu mamul oraıı 0.05 olduğu bilimektedir. Tesadüfi olarak birici fabrikada 00, ikici fabrikada 50 mamul seçilmiş ve birici örekteki kusurlu mamul oraı 0.09, ikici örekteki kusurlu mamul oraı 0.06 olarak gözlemiştir. Bua göre kusur oraları arasıdaki farkı stadart hatası: P P P P P P P P 0.08 0.9 0.05 0.95 P P 00 50 0.034 7

İstatistiksel Tahmileme Nokta Tahmii Populasyo parametresii tek bir tahmi değerii verir. Aralık Tahmii Populasyo parametresii tahmi aralığıı verir. Nokta tahmii kullaılarak hesaplaır. X μˆ s σˆ p Pˆ 0 μ.5 σ 0.5 P 60 3.4.035 73

Öreği yeterice büyük olmaması veya bir örekte elde edile istatistiği bir başka örekte sağlaa istatistikle ayı olmayışı yüzüde aakütle parametresii bir oktada tahmi etmek yalış souçlar doğurabilir. Bu yüzde aakütle parametresi belirli bir hata seviyesi göz öüe alıarak belirli bir aralıkta araır. Hata terimii a ile gösterirsek, - a güve seviyeside aralık tahmii yapabiliriz. Hata terimi ormal eğrii her iki ucuda eşit olarak yer alır. 74

Bu a/ lik hata terimie karşılık gele ± Z değerleri belirleerek örek dağılımıı stadart hatası ile çarpıldığıda hata payı elde edilir. Hata payıı örek istatistiğie ekleip çıkarılması ile aralık tahmii yapılır. Bu şekilde, aakütle parametresii belirli aralıkta yer aldığıı, -a güve seviyeside söyleyebiliriz. Güve sıırlarıda küçük olaıa alt güve sıırı, büyüğüe ise üst güve sıırı deir. Hata terimi küçüldükçe güve aralığı geişler. Güve sıırlarıı belirleeceği olasılık seviyesie göre Z değeri değişir. 75

Güve Aralığı Tahmii Bir değer aralığı verir. Populasyo parametresie yakılık hakkıda bilgi verir. Olasılık terimleriyle ifade edilir. Güve Aralığı Tahmiii Elemaları Populasyo parametresii aralık içide bir yere düşmesii olasılığı Örek istatistiği Güve aralığı Alt güve sıırı Üst güve sıırı 76

Güve Aralığı Tahmileri Güve Aralıkları Ortalama Ora Varyas biliiyor 30 bilimiyor <30 Z dağılımı t dağılımı 77

ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI Bir örekte elde edile okta tahmiidir. X istatistiği aakütle ortalaması x i Gerçek aakütle ortalaması, -a güve seviyeside P X z X X z X a X a a aralığıda yer alır. 78

Güve aralığı X Z X Z X _ x.58.645.645.58 X X X X X.96 X.96 X X Örekleri 90% X X X X Örekleri 95% Örekleri 99% 79 X

Aralıklar ve güve seviyesi Ortalamaı örekleme dağılımı Aralık, a / - a a / x = _ x X Z ' da X X Z ' a kadaruzair. X Çok sayıda aralık _ X Aralıkları %( - a) ı yü kapsar. %a sı kapsamaz. 80

Güve Seviyesi Bilimeye populasyo parametresii aralık içie düşme olasılığıdır. %( - a güve seviyesi a : Parametrei aralık içide olmaması olasılığıdır. Tipik değerler %99, %95, %90 8

%95 güve sıırları belirleirke a hatası -0.95=0.05 dir. Bu hata ormal eğrii sağ ve sol ucua eşit olarak dağıtıldığıda a / =0.05/=0.05 dur. Bu alaları belirleye biri egatif, diğeri pozitif iki Z değeri vardır. Normal eğri alaları tablosuda 0.50-0.05=0.4750 değerii göstere Z= ±.96 değerleri aradığımız Z değerleridir. 8

%99 güve sıırları belirleirke a hatası -0.99=0.0 dir. Bu hata ormal eğrii sağ ve sol ucua eşit olarak dağıtıldığıda a/=0.0/=0.005 buluur. Normal eğri alaları tablosuda 0.5-0.005=0.4950 değerii göstere Z= ±.58 değerleri aradığımız Z değerleridir. 83

Aralık geişliğii etkileye faktörler Aralık X Z X uzaır. 'da X Z 'ya X Verileri yayılımı ( Örek hacmi Güve seviyesi ( - a) x x 84

Örek: Bir fabrikada üretile 00 mamulü ortalama ağırlığı 040 gr stadart sapması 5 gr bulumuştur. Bu imalat proseside üretile mamulleri ortalama ağırlığı %95 güvele hagi aralıktadır? %95 içi z değeri ±.96 0.475 a/=0.05/=0.05 z=-.96 =0 z=.96 Z 85

a X X P X za X X za 5 5 P040.96 X 040.96 0.95 00 00 P 035. 044.9 0.95 X 86

Örek = 5 hacimli bir şas öreğii ortalamasıx = 50 dir. Populasyou stadart sapmasıı X =0 olduğu bilidiğie göre X içi %95 lik güve aralığıı oluşturuuz. 50. 96 x x P(X Zα/ μ X Z α/ ) α 0 50. 96 5 46. 08 53. 9 0 5 P( )=0.95 P( )=0.95 87

Populasyou stadart sapması X bilimediğide ve 30 olduğuda ortalama içi güve aralığı. Varsayımlar: Popülasyou stadart sapması bilimiyor, Populasyo ormal dağılımlı.. Merkezi limit teoremi kullaılarak Z Dağılımı kullaılır. 3. Güve aralığı tahmii: Öreği stadart sapması Sx Sx P( X Zα/ μ X Zα/ ) α 88

Örek Bir ampul şirketi yei bir ampul geliştirerek piyasaya sürüyor. Üretim badıda 00 taesi rassal olarak seçiliyor ve buları stadart sapması 40 saat, kulaım süreleri de ortalama olarak 80 saat buluuyor. a=0.05 içi populasyo ortalamasıı güve aralığıı buluuz. Sx Sx P( X Zα/ μ X Zα/ ) α 40 40 P( 80.96 80.96 )=0.95 00 00 P(5.56 307.44) 0.95 Yorum: Şirketi ürettiği ampulleri ortalama ömrü, 0.95 olasılıkla 5.56 ile 307.44 saat arasıdadır. 89

Studet t Dağılımı Küçük öreklerde (<30) elde edile istatistikleri dağılımı Studet t dağılımıa uyar. Küçük örek istatistiklerii gösterdiği dağılım ormal eğri gibi simetriktir. Normal eğriye göre daha basık ve yaygı bir şekil alır. Böylece eğrii kuyruklarıda daha büyük bir ala oluşur. Küçük örekler içi z cetveli yerie, çeşitli örek büyüklükleri ve olasılık seviyeleri içi ayrı ayrı hesaplamış t cetvelleri kullaılır. 90

Ça şekilli simetrik, Tombul kuyruklar Stadart Normal t (sd = 3) t (sd = 5) 0 z t 9

Studet t Tablosu Üst kuyruk alaı sd.5.0.05.000 3.078 6.34 = 3 sd = - = a =.0 a/ =.05 olsu: 0.87.886.90.05 3 0.765.638.353 t değerleri 0.90 t 9

Populasyou stadart sapması X bilimediğide ve < 30 olduğuda ortalama içi güve aralığı. Varsayımlar: Popülasyou stadart sapması bilimiyor Populasyo ormal dağılımlıdır.. Studet ı t Dağılımı kullaılır. 3. Güve aralığı tahmii: Öreği stadart sapması s sx - - x X tv;α/ X t v;α/ 93

ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI Populasyou stadart sapması X bilimediğide ve populasyou ormal dağıldığı varsayımı altıda güve aralığı tahmii: a / - a a / X t t a t a s a, a, X t s s s sx - - x X tv;α/ X t v;α/ 94

ÖRNEK Bir fabrikada rasgele üretile 5 ürüü ortalama ağırlığı 040 gr stadart sapması 5 gr bulumuştur. %95 güvele bu imalat proseside üretile ürüleri ortalama ağırlığı hagi aralıkta yer alır? s sx - - x X tv;α/ X t v;α/ 5 5 040.064 040.064 5 5 09.47 050.53 95

. Varsayımları Bir Oraı Güve Aralığı Örek oraı p aakütle oraı P i okta tahmiidir. İki kategorik çıktı vardır. Populasyo biom dağılımı gösterir.. Güve aralığı tahmii: P(p Z.S P p Z.S ) α α/ p α/ p p x Özellikli birim sayısı Örek hacmi S p pq. 96

ÖRNEK 400 lise öğreciside oluşa bir örekte 3 öğreci üiversite sıavıı kazamıştır. Üiversite öğrecilerii sıavı kazama oraı içi %95 lik güve aralığıı buluuz. p 3 400 0.08 P(p Z α/.sp P p Z α/.s p) α 0.08 0.08 0.08 0.08 P 0.08.96 P 0.08.96 0.95 400 400 P 0.053 P 0.07 0.95 97

98 İki Ortalamaı Farkı içi Güve Aralığı Örek ortalamalarıda büyük ola ile gösterilirse örek ortalamaları arasıdaki farkta hareketle aakütle ortalamaları arasıdaki farkı güve sıırları aşağıdaki gibi olur. X Populasyo Varyasları Biliiyorsa: a a a Z X X Z X X P / / α S S Z X X μ μ S S Z X X P α/, α/, Populasyo Varyasları Bilimiyor fakat > 30 olduğuda:

Örek Bir yabacı dil kursuu A sııfıda bilgisayar destekli ve B sııfıda klasik yötemlerle eğitim verilmektedir. Kursu başlagıcıda 6 hafta sora her iki sııfa da ayı test uygulaarak souçlar karşılaştırılmıştır. A sııfıda rassal olarak seçile 40 öğrecii test soucuda elde ettiği ortalama başarı otu 86 ve stadart sapması, B sııfıda rassal olarak seçile 35 öğrecii ortalama başarı otu 7 ve stadart sapması 4 tür. Her iki sııftaki öğrecileri ortalama başarı otları arasıdaki farkı güve aralığıı %99 olasılıkla belirleyiiz. 99

X 86 S 40 X 7 S 4 35 S S S S P X X Zα/ μ μ X X Zα/ α P 40 4 35 86 7.58 μ μ 86 7.58 0. 99 Örek 40 4 35 6.8 μ μ.8 0. 99 P 00

Örek İki aakütlede tesadüfi olarak seçile ve hacimlerideki iki küçük örekte hareketle aakütle ortalamaları arasıdaki farkı güve sıırları belirleebilir. Birici öreği serbestlik derecesi - ve ikici öreği serbestlik derecesi dir ve toplam serbestli derecesi Aakütle ortalamaları arasıdaki farkı güve aralığı belirleirke ve v a v olur. serbestlik derecesie hata payıa göre t tablo değerleri buluur. s s s s Pr X X tα/, μ μ X X tα/, α 0

Pr ÖRNEK 3 deeme sorasıda bir bezi pompası ortalama 5 ml fazla bezi ölçümü yaparke stadart sapma 7 ml olmuştur. Bir başka bezi pompası ise 0 deeme sorasıda deeme başıa ortalama 0 ml fazla bezi ölçümü yapılmış ve stadart sapması 9 ml bulumuştur. Aakütle ortalamaları arasıdaki farkı %99 güve sıırlarıı buluuz. v 30. 83 (5 0).83 s t tab s X X t μ μ X X t α 7 9 3 0 s 7.68 37.68 s α/, α/, Pompaları fazla ölçümleri arasıdaki fark %99 güvele -7.68 ml ile 37.68 ml arasıdadır. 0

. Varsayımları İki Ora Farkıı Güve Aralığı İki kategorik çıktı vardır. Populasyolar biom dağılımı gösterir.. Güve aralığı tahmii: Örek oralarıda büyük ola p ile gösterilirse örek oraları arasıdaki farkta hareketle aakütle oraları arasıdaki farkı güve sıırları aşağıdaki gibi olur. Pr p p Z S P P p p Z S a α/ p p α/ p p S p p. q p. q p İki ora farkıı stadart sapması 03

İki Ora Farkıı Güve Aralığıa Örek İki farklı ilacı bir hastalığı tedavi etme oralarıı farklı olup olmadığı kotrol edilmek istemektedir. Bu amaçla 000 er adet hasta üzeride A ve B ilaçları deesi. Tedavi souda A ve B ilaçlarıı uyguladığı hastaları sırasıyla 85 ve 760 ıı iyileştiği gözlediğie göre ilaçları hastalığı tedavi etme oralarıı farkıı %95 lik güve aralığıı buluuz. 85 760 = 000, = 000 p 0.85 p 0.760 000 000 S p p p. q p. q 0.85.( 0.85) 0.760.( 0.760) 000 000 0.08 04

p p Z S P P p p Z S a Pr α/ p p α/ p p 0.8 0.760.960.08 P P 0.80.760.960.08 0. 95 Pr 0.09 P P 0.0 0. 95 Pr 05

Eşleştirilmiş Örek t Testi Ayı veya bezer deekler üzeride birbiride farklı iki işlemi uygulaması soucu elde edile verilere eşleştirilmiş örekler deir.. İki ilişkili populasyou ortalamasıı test eder. Çift ya da eşleştirilmiş Tekrarlı gözlemler (öce/sora). Neseler arasıdaki varyasyou ortada kaldırır. Varsayımları İki populasyo da ormal dağılımlıdır. Eğer ormal değilse ormale yaklaşmaktadır. ( 30 & 30 ) 06

Eşleştirilmiş Örek t Testi İki komisyocuu ayı evlere farklı fiyatlar verdiği iddia edilmektedir. İddiayı test etmek içi ev seçiliyor ve komisyocularda bu evlere 000$ bazıda fiyat vermeleri isteiyor. Elde edile souçlar aşağıdaki gibidir. İki komisyocuu fiyat ortalamaları arasıdaki farka ilişki güve aralığıı hesaplayıız. Komisyocular Evler A B D D 8.0 8.0 -.0.00 79.9 80.0-0. 0.0 3 63.0 6.5.5.5 4 8.0 5.0 3.0 9.00 5 3.0 6.5-3.5.5 6 75.0 75.0 0.0 0.00 7 7.9 9.5 -.6.56 8 5.0 50.0.0.00 9 64.9 65.5-0.6 0.36 0 9.5 95.0 -.5 6.5 5.0.7.3 5.9 77.5 78.0-0.5 0.5 Toplam -.0 40. 07

D D 0.67 D D 40. s D.904 D t s D t s a,, D D a D v s. d. t tab : t,0.05 = ±.0 0.67.0(.904) 0.67 D.0(.904) 4.357 4.03 D 08

BİR POPULASYON VARYANSI İÇİN GÜVEN ARALIKLARI Bir aakütle varyası içi de güve aralığı bulmak gerekir. Bu tahmiler öreklem varyasıa dayaır. Varyası ola bir ormal aakütlede gözlemli rassal bir öreklem seçilsi. Öreklem varyası da s ile gösterilsi. ( ) S x Rassal değişkei, (-) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıa uymaktadır. Bu bulgu, ormal bir dağılımda öreklem alıdığıda aakütle varyası içi güve aralıklarıı türetilmesii temelii oluşturur.

Öreklem varyasıı gözlee belli değeri varyasıı güve aralığı aşağıdaki gibidir: P S S a a a,, Öreği a=0.05 =0 olsu s x ise, aakütle Red Bölgesi -a Red Bölgesi a 0.975;9 a 0.05;9

Örek Bir çimeto fabrikasıda üretile çimetoda yapıla betoları sağlamlığıı icelemesi amacıyla 0 beto öreği alımış ve bu örekleri sağlamlılıkları saptamıştır. Bu örekleri ortalama ve varyası x 3 s 95 olarak bulumuştur. Fabrikaı ürettiği tüm betoları varyasıa ilişki güve aralığıı hesaplayıız. a 0.90 a=0.0 Red Bölgesi Red Bölgesi a 0.95;9 3.33 a 0.05;9 6.9

a 0.90 a 0.0 x 3 s 95 P s s a a a,, 995 9 95 P 0.90 0.05;9 0.95;9 -a 3.33 6.9 a 9 95 9 95 P 6.9 3.33 0.90 03.7 57.0 S P 03.7 57.0 0.90

Örek Deee bir motoru 6 deeme sürüşüdeki yakıt tüketimlerii stadart sapması. golodur. Motoru yakıt tüketimii gerçek değişkeliğii ölçe aakütle varyasıı % 99 güve aralığıı hesaplayıız. =6 s=. Red Bölgesi Red Bölgesi a ( ) s P a, ( ) s a, a a

=6 s=. a 0.0 a 0.005,5, a 0.995,5, 3.80 4.60 ( ) s ( ) s P a a a,, 5(.) P 3.80 5(.) 4.60 0.99 P. 5.78 0. 99

5 İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Normal dağılımlı iki populasyou varyaslarıı oraı F dağılımıa uymaktadır. F dağılışı simetrik olmaya bir dağılıştır. Bu edele güve aralığıı hesaplamasıda her iki F değeri içi F tablosua bakmak gerekmektedir., s F s a a a a a a / /, ;, ;, ;, ; F s s F s s P F s s F P

6 ;, ;, F F a a a a a a a a, ;, ;, ;, ; F s s F s s P F s s F s s P

7 İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Normal dağılımlı iki populasyou varyaslarıı oraıa ilişki güve aralığı : F 0 α/ ;,, F -α/ ;,, F a a a, ;, ; F s s F s s P

F F İKİ POPULASYON VARYANSININ KARŞILAŞTIRILMASI Aşağıda verile bilgiler yardımıyla pazara suula iki ayrı bağımsız hisse seedii değişkeliklerii oraıa ilişki çift yölü güve aralığıı buluuz. a 0.0 s 3.38 7 s 8.0 s P s a ;, 0.99;6,0 F a ;, F 0.7 F 3.69 0.0;0,6 a ;, s s F a ;, F a ; a, F 0.0,6.0 4.56 8

9 3.38 S 8.0 S 7 a 4.56 8.0 3.38 3.69 8.0 3.38 P a 0.0;6,0 0.0;0,6 F s s F s s P 0.98 69.67 4.68 0.98 5.38(4.56) 5.38(0.7) P P

.85.49 0.05,6,0 0.05,0,6 F F ÖRNEK Pazara yei sürülmüş o yedi AAA dereceli sıai tahvilde oluşa rassal bir öreklemde vadeleri varyası 3.35 tir. O bir yei CCC dereceli sıai tahvilde oluşa bağımsız bir rassal öreklemde vadeleri varyası 8.0 dir. Bu iki tahvili değişkeliklerii %90 güve aralığıı buluuz. =7 s =3.35 s =8.0 -=6 -=0 sd. = a a a, ;, ; F s s F s s P 5.38 8.0 3.35 s s

0.90 5.38(.85) ).49.38( 5 P 0.90 43.83.8 6 P 0.90 5.38(.85).38(0.40) 5 P a a a, ;, ; F s s F s s P.85.49 0.05,6,0 0.05,0,6 F F