1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası * Işın KONUNUN ÖZETİ ARAŞTIRMALAR 3. DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ, İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK VE ARADA OLMA * Doğru Parçalarının Eşliği * İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Arada Olma KONUNUN ÖZETİ 4. NOKTA, DOĞRU VE DÜZLEM ARASINDAKİ İLİŞKİLER * Kesişen Doğrular * Paralel Doğrular * Bir Doğru ile Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları * İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları KONUNUN ÖZETİ ARAŞTIRMALAR DEĞERLENDİRME SORULARI

GEOMETRİ 1 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümü çalıştığınızda ; * Tanımsız kavram, aksiyom, teorem ve ispat terimlerini kavrayacak, * Nokta, doğru, düzlem ve uzayı kavrayacak, * Doğrusal ve düzlemsel noktaları, düzlemsel ve uzaysal doğru demetlerini öğrenecek, * Doğru parçası ve ışını tanımlayıp, sembolik gösterimlerini öğrenecek, * Doğru parçalarının eşliğini tanımlayacak, * Sayı doğrusunda verilen farklı üç noktadan arada olanı bulabilecek, * İki nokta arasındaki uzaklığı bulabilecek, *Verilen bir doğru parçasını istenen bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulabilecek, * Bir doğru ile bir düzlemin durumlarını belirtebilecek, * Kesişen ve paralel doğruları, bunların düzlemle olan ilişkilerini, ilgili aksiyom ve teoremleri öğrenecek, * İki düzlemin durumlarını belirtebileceksiniz. NASIL ÇALIŞMALIYIZ? * Geometrik kavramlarla, çevrenizdeki eşyalar arasında ilişki kurmaya çalışınız. * Konunun işlenişinde verilen örnekleri siz de çözüp tekrar ediniz. * Konu işlenişinde ve sonunda verilen araştırma ve değerlendirme sorularını yanıtlayınız. *Çalışırken takıldığınız noktalarda, ilgili konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8

1. TANIMSIZ KAVRAM AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? Bir konuyu anlatırken kullandığımız sözcük ve terimler birer kavramdır. Örneğin; ağaç, yeşil, kuş, bulut, tabiat,... sizce belli anlamlarda kullanılan kavramlardır. Bu sözcüklerden birini, örneğin ağaç sözcüğünü ele alalım. Ağaç nedir? sorusuna verilebilecek uygun yanıtlardan birisi Yaprakları ve meyvesi olan bir bitki çeşididir. olabilir. Verilen bu yanıtta geçen kavramlarla ilgili olarak Yaprak nedir?, Meyve nedir?, Bitki nedir? sorularına verilebilecek yanıtlar içinde de açıklanması gereken yeni kavramlar bulunur. Bu şekilde kavramları açıklamaya devam edersek bir yere gelir, açıklayamayacağımız bir kavramla karşılaşırız. Anlamı en azından sezgisel olarak bilinen veya kabullenebilen kavramlar, tanımlanmaya ihtiyaç duyulmadan alınır. İşte ilk dayanak olarak alınan böyle kavramlara tanımsız kavramlar denir. Şimdiye kadar geometrik kavramlardan açıları, çokgenleri, çemberi, uzayda cisimleri ve bunlara ilişkin alan ve hacim bağıntılarını öğrendiniz. Şimdi bu kitapta bazı önerme ve bağıntıların varlığı ile ilgili ispatlara da yer vereceğiz. Bu nedenle teorem, ispat ve aksiyom kelimeleri ile sık sık karşılaşacağız. Doğruluğu ispatlanan önermelere teorem denir. p ve q birer önerme olmak üzere bir teorem sembolik olarak p q biçiminde ifade edilebilir. Burada p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Bir teoremi ispatlarken, yani bir önermenin doğruluğunu gösterirken, önceki teoremlerden yararlanacağız. Önceki teoremlerin ispatı da daha önceki teoremlere dayanacağından tıpkı tanımsız kavramlarda olduğu gibi ilk önermeleri ispatsız olarak kabul edeceğiz. Doğruluğu ilk baştan kabul edilen böyle önermelere aksiyom diyeceğiz. Aksiyom, doğruluğu sezgisel olarak bilinen ve ispatsız olarak kabul edilmiş olan temel gerçeklerdir. Rastgele bir önerme aksiyom olarak alınamaz. Genel olarak aksiyomlar: * Basit ve anlaşılır olmalıdır. * Olabildiğince az sayıda olmalıdır. * Fazlalık içermemelidir. 9

* Birbirlerinden bağımsız olmalı, biri diğerinden elde edilmemelidir. * Doğurdukları sonuçlar birbirleriyle çelişmemelidir. * Birbirini tamamlayıcı olmalı ve ele alınan sistemi tam olarak incelemeye yetmelidir. 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI Nokta, Doğru ve Düzlem Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramları sizlere ilköğretim sıralarından yabancı olmayan kavramlardır. Bu kavramlarla ilgili olarak aşağıda verilen şekilleri ve bunların farklı ifade ediliş biçimlerini inceleyelim:. Ạ B A d.. nokta A noktası doğru d doğrusu AB doğrusu. d. A B k d doğrusu A noktasından geçer. A noktası d doğrusu üzerindedir. A d B noktası k doğrusu üzerinde değildir. B noktası k doğrusunun dışındadır. k doğrusu B noktasından geçmez. B k Yandaki şekle göre: A noktası, d ve k doğruları üzerindedir. A noktası d ve k doğrularının kesişim noktasıdır. d ve k doğruları A noktasından geçer. d ve k doğruları A noktasında kesişir. d ve k doğrularının ortak noktası Adır. 10

Verilen bu ifade biçimlerini, anlatımlarda yeri geldikçe kullanacağız. Nokta, doğru ve üzerinde olma kavramları birer tanımsız kavramdır. Bir doğru, üzerinde bulunan noktalardan oluşur. Benzer olarak; düzlem, üzerinde bulunan nokta ve doğrulardan oluşmuştur, diyebiliriz. Şimdi doğru ve nokta ile ilgili bir aksiyom verelim. Bundan böyle aksiyom ve teorem ifadelerini Aksiyom 1.1, Aksiyom 1.4 ve Teorem 1.2 gibi belirteceğiz. Burada ilk sayı bölüm numarasını, ikinci sayı ise aksiyom ya da teorem sıra numarasını göstermektedir. Aksiyom 1.1 Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. Aksiyom 1.1 in ifadesini Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. veya Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir. ya da Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır. biçiminde de ifade edebiliriz. Aşağıdaki şekilde; A d ve B d dir. Bu şekle göre A ve B noktaları d doğrusu üzerindedir. veya d doğrusu A ve B noktalarından geçer. ifadeleri yazılır. d doğrusunu AB doğrusu olarak da adlandırabiliriz. Bir doğru iki noktası ile belirlidir. Şimdi bu anlatılanlar ışığında aşağıdaki aksiyomu verelim: Aksiyom 1.2 Her doğrunun; üzerinde en az iki nokta, dışında ise en az bir nokta vardır. Doğrusal Noktalar Bir doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal noktalar denir. Yandaki şekilde belirtilen noktalardan K, L ve P doğrusal noktalardır. 11

? Yanda verilen şekle göre; a. A, B, C noktaları doğrusal mıdır? b. A, C, D noktaları doğrusal mıdır? c. B noktası AC doğrusu üzerinde midir? Düzlemsel Noktalar Aynı düzlem üzerindeki noktalara düzlemsel noktalar denir. Yandaki şekilde A, B, C, D noktaları düzlemsel noktalardır. A, C, D, K noktaları düzlemsel değildir. Farklı üç nokta daima düzlemseldir.? Örneğin, şekildeki A, D, K noktaları düzlemseldir. Ancak A, D, K noktalarını üzerinde bulunduran düzlem, yukarıdaki düzlemden farklı bir düzlemdir. D, C, K noktaları düzlemsel midir? Yandaki şekilde görüldüğü gibi, aynı bir düzlem içinde olup bir noktadan geçen doğrulara düzlemsel doğru demeti denir. Doğru Parçası Bir doğru üzerinde olan farklı iki nokta A ve B olsun. A ve B noktaları ile bunlar arasında kalan doğruya ait noktaların kümesine AB doğru parçası denir. AB doğru parçası, [AB] ya da [BA] biçiminde sembolle gösterilir. A ve B noktalarına AB doğru parçasının uç noktaları, diğer noktalarına ise iç noktaları ya da kısaca noktaları denir. 12

AB doğru parçasının iç noktalarının kümesi (AB) ya da (BA) sembolleri ile gösterilir. Bu küme de doğru parçası olarak adlandırılır. Ancak bu doğru parçasına A ve B uç noktaları dahil değildir. Işın Yanda şekilde görüldüğü gibi bir d doğrusu üzerinde, A ile B noktaları arasında olacak, fakat A ile K arasında olmayacak şekilde bir O noktası belirleyelim. Şekildeki bu düzenlemeye göre A ve K noktaları, O noktasının aynı tarafında, A ve B noktaları ise O noktasının farklı taraflarındadır. Bir doğru üzerinde alınan bir O noktası ile bu noktanın aynı tarafındaki noktaların oluşturduğu kümeye, başlangıç noktası O olan bir ışın denir. Aşağıdaki şekli inceleyiniz. Sıra ile A, K,B bir doğru üzerindeki farklı üç nokta olmak üzere (doğrusal noktalar), [AK ve [KB ışınlarına ters ışınlar denir.? Yukarıdaki şekilde P, O, T noktaları doğrusal noktalardır. [OP ve [OT ışınları ters ışınlar mıdır? 13

Taraf kavramı, düzlem üzerinde alınan bir doğruya göre şöyle açıklanır: Bir düzlem üzerinde yandaki şekilde olduğu gibi bir d doğrusu ile bu doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta işaretlensin. Bu noktalardan herhangi ikisini birleştiren bir doğru parçası çizildiğinde; a. d doğrusu kesilmiyorsa, noktalara d doğrusunun aynı tarafındaki noktalar denir. Şekilde A ve A noktaları d doğrusunun aynı tarafındadır. b. d doğrusu kesiliyorsa, noktalara d doğrusunun farklı tarafındaki noktalar denir. Şekilde A ve B noktaları d doğrusunun farklı taraflarındadır.? Şekilde başka hangi noktalar d doğrusunun farklı taraflarındadır? Düzlemde, bir doğrunun aynı tarafında bulunan noktaların kümesine yarı düzlem denir. Bir doğru, üzerinde bulunduğu bir düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Yandaki şekilde d doğrusu ne I nolu yarı düzleme ne de II nolu yarı düzleme aittir. T noktası d doğrusuna, P noktası I nolu yarı düzleme, K noktası ise II nolu yarı düzleme aittir. 14

KONUNUN ÖZETİ *Nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız kavramlardır. *Doğru, düzlem ve uzay noktalardan oluşmuştur. *Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. Her doğrunun üzerinde en az iki nokta, dışında ise en az bir nokta vardır. Yani, doğru en az iki noktası ile belirlidir. *Aynı doğru üzerinde olan noktalar, doğrusal noktalar; aynı düzlem üzerinde olan noktalar, düzlemsel noktalardır. *Düzlemde, yalnız bir ortak noktası olan ikiden fazla doğru düzlemsel doğru demeti oluşturur. *Bir doğrunun farklı iki noktası ile bunların arasında kalan noktalarının kümesi, doğru parçası adını alır. Doğru parçası uç noktaları ile adlandırılır. *Doğru üzerinde alınan bir nokta ile bunun aynı tarafında bulunan noktalar kümesine ışın adı verilir. *Bir doğru, üzerinde bulunduğu bir düzlemi iki yarı düzleme ayırır. ARAŞTIRMALAR 1. Herhangi iki nokta daima doğrusal mıdır? 2. Doğrusal olmayan 3 noktadan geçen kaç farklı doğru çizilebilir? 3. Şekilde verilen noktalardan en çok kaç tanesi doğrusaldır?....... A B E K C D F 15

3. DOĞRU PARÇALARININ EŞLİĞİ, İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAK- LIK VE ARADA OLMA Doğru Parçalarının Eşliği İki doğru parçasının eşliğini, birer uç noktaları üst üste getirildiğinde, diğer uç noktalarının da üst üste gelebilmesi (çakışması) şeklinde düşüneceğiz. Fiilen bu işlemin yapılması mümkün değildir, ancak bunu sezgimizle kavramaya çalışacağız. Örneğin, aşağıdaki [AB] ve [CD] doğru parçalarının eşliği, A noktasını C noktası ile çakıştırdığımızda B nin de D ile çakışmasıyla mümkün olur. Matematiksel olarak iki doğru parçasının eşliğini şöyle tanımlayabiliriz: Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına, eş doğru parçaları denir. Eşlik, sembolü ile belirtilir.? AB MN ve PR KL Grafikler (şekiller) üzerindeki doğru parçalarının eşliği farklı işaretlerle belirtilmiştir. Yukarıdaki [MN] ile [PR] doğru parçalarının uzunlukları için ne söyleyebilirsiniz? Bu doğru parçaları eş midir? Bir [AB] nın uzunluğu AB biçiminde gösterilir. Sembolik olarak; [AB] ve [CD] doğru parçaları için, AB = CD ise AB CD yazılır. 16

Her doğru parçası kendisine eştir. Yani AB AB dir. [AB] ve [BA] aynı doğru parçasını tanımladığından bunu, AB BA biçiminde de yazabiliriz. Doğru parçasının uzunluğu seçilen bir birim yardımıyla ölçülür. Yukarıdaki AB doğru parçasının uzunluğu, seçilen birim cinsinden 4 birimdir. AB = 4 birim Her doğru parçasına pozitif bir gerçek (reel) sayı karşılık gelir. Bu gerçek sayıya doğru parçasının uzunluğu denir. Uzunlukları eşit olan doğru parçalarının eş olduğunu söylemiştik. Yani, Karşıt olarak; AB = CD ise dir. Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Yani, AB CD ise AB = CD dir. Bu iki önermeyi birlikte aşağıdaki gibi sembolle belirtebiliriz: AB CD AB CD AB = CD? Geometrik şekillerden karenin herhangi iki kenarı eş midir? İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Arada Olma Düzlemde A ve B gibi farklı iki nokta alınsın. Bu iki noktayı birleştiren bir tek doğru parçası vardır. Bu doğru parçası [AB] dır. ([AB] ile [BA] nın aynı doğru parçasını belirttiğini hatırlayınız.) AB doğru parçasının uzunluğu, A ve B noktaları arasındaki uzaklığı ifade eder. İki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur. 17

Yandaki şekilde, M ve N noktaları arasındaki uzaklık MN biçiminde belirtilir. Uzaklık ve arada olma ile ilgili aşağıdaki tanımları inceleyiniz: 1. A ve B farklı iki nokta ise, AB > 0 dır. 2. A, N ve B doğrusal noktalar ve N, A ile B arasında ise, AN + NB = AB dir. 3. Sayı ekseninde A ve B noktalarıyla eşlenen sayılar a ve b ise, AB = b-a dir. (Sayı ekseninde A noktası ile eşleşen gerçek sayı a ise, A noktası A (a) biçiminde belirtilir.) 4. AB doğru parçası üzerinde, AK = KB olacak biçimde bir tek K noktası vardır. Bu K noktasına AB doğru parçasının orta noktası denir. A(a), B(b), K(k) noktaları aynı bir sayı doğrusu üzerinde ve K noktası AB doğru parçasının orta noktası ise, k = a+b 2 dir. Teorem 1.1 Sayı doğrusunda; A(a), B(b), C(c) farklı üç nokta ve a < b < c ise B noktası A ile C arasındadır. 18

ÖRNEKLER 1. A (7) ve B (15) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM AB = BA = 15-7 = +8 = 8 birimdir. 2. P (9) ile T (-2) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ÇÖZÜM PT = -2-9 = -11 = 11 birimdir. 3. Sayı ekseni üzerinde başlangıç noktasına olan uzaklıkları 3 birim olan noktaların koordinatlarını bulunuz. ÇÖZÜM Aradığımız noktaları P(x) olarak adlandıralım. Başlangıç noktasının koordinatı O (0) dır. OP = x-0 = 3 olur. Buradan, x-0 = 3 ve x = 3 x 1 = 3 ve x 2 = -3 tür. P 1 (3) ve P 2 (-3) noktaları başlangıç noktasına 3 birim uzaklıktadır. 4. Uç noktalarının koordinatları A(-5) ve B(3) olan [AB] nın, orta noktasının koordinatı kaçtır? ÇÖZÜM [AB] nın orta noktası K(x) olsun. x = a+b 2 x = -5+3 2 olduğundan, x = -2 2 x = -1 bulunur. 19

5. Orta noktası P(4) olan [MN] nın uç noktalarından biri M(-2) olduğuna göre diğer uç noktasının koordinatı kaçtır? ÇÖZÜM N noktasının koordinatı x olsun. Orta nokta bağıntısından, -2+x 2-2+x 2 = 4 yazılır. Bu eşitlikten, = 4-2+x = 8 x = 8+2 x = 10 bulunur. 6. A (6), B(-3) olmak üzere; [AB] üzerinde olan ve AP = 1 koşulunu sağlayan P noktasının koordinatını bulunuz. 3 AB ÇÖZÜM P noktasının koordinatı x olsun. AP = 1 3 AB x-6 = 1 3-3-6 x-6 = 1 3-9 x-6 = 9 3 = 3 buradan, x-6 = 3 ve x-6 = -3 x = 9 ve x = 3 bulunur. Sayı doğrusundan da görüldüğü gibi koordinatı 9 olan nokta [AB] üzerinde değildir. Bu nedenle çözüm olarak, x=3 alınır. P noktasının koordinatı 3 tür. 20

7. Sayı doğrusu üzerinde; K(-2), L(3), M(-1) noktalarından hangisi diğer ikisi arasındadır? ÇÖZÜM 1 L noktası K ile M arasında ise KL + LM = KM olmalıdır. Araştıralım: 3-(-2) + -1-3 = -1- (-2) 3+2 + -4 = -1+2 5+4 = 1 9 1 dir. O hâlde, L noktası arada değildir. Şimdi de KM + ML = KL midir? Araştıralım: -1-(-2) + 3-(-1) = 3-(-2) -1+2 + 3+1 = 3+2 1+4 = 5 5 = 5 tir. O hâlde, M noktası K ile L noktaları arasındadır. ÇÖZÜM 2 Teorem 1.1 e göre noktaların koordinatları sıralanırsa, -2 < -1 < 3 olur. Buna göre -1 koordinatlı nokta (yani M noktası) diğer ikisi arasında olur. Bu yolla çözüme ulaşmanın daha kolay olduğunu görünüz. Sayı doğrusu üzerinde verilen A, B, C gibi farklı üç nokta için arada olma bağıntısı 6 değişik biçimde yazılabilir. Ancak bu bağıntılardan yalnız biri doğrudur. 21

KONUNUN ÖZETİ *İki doğru parçasının eşliği, uç noktalarının karşılıklı olarak çakışmasıyla mümkündür. *Uzunlukları eşit olan doğru parçaları eştir. *Her doğru parçası kendisine eştir. *A, B, C doğrusal üç nokta olmak üzere; AB + BC = AC ise, B noktası A ile C arasındadır. *A(a) ve B(b) olmak üzere; AB = b-a dır. *A(a), B(b) ve [AB] nın orta noktası K(x) ise, x = a+b dir. 2 *A(a), B(b) ve C(c) sayı doğrusu üzerinde herhangi üç nokta olmak üzere; a < b < c ise, B(b) noktası A(a) ile C (c) arasındadır. 22

4. NOKTA, DOĞRU VE DÜZLEM ARASINDAKİ İLİŞKİLER Aksiyom 1.3 Doğrusal olmayan farklı üç noktadan bir tek düzlem geçer. Aksiyomun ifadesindeki bir tek sözcüğü ile; sadece bir düzlemin geçtiği, ikinci bir düzlemin geçemeyeceği ifade edilmektedir. Bir doğruya ait noktaların tamamı bir düzlem içinde ise, doğru da düzlemin içindedir. Kesişen Doğrular Teorem 1.2 Düzlemde farklı iki doğruya ait en çok bir ortak nokta vardır. Farklı iki doğrunun, yalnız bir ortak noktası varsa bu noktaya kesişme noktası, doğrulara da kesişen doğrular adı verilir. Yandaki şekilde d ve k kesişen doğrular, A da kesişme noktasıdır. Doğrular arasındaki bu ilişki d k = {A} biçiminde belirtilir. 23

Teorem 1.3 : Bir doğru ile dışında alınan bir nokta bir tek düzlem belirtir. İspat : Doğrunun farklı iki noktası A ve B, doğru dışında alınan nokta da P olsun. Aksiyom 1.3 e göre farklı A, B ve P noktalarından bir tek düzlem geçer. O hâlde, d doğrusu ile dışındaki P noktası bir düzlem belirtir. Teorem 1.4 : Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. İspat : t ve b doğrularının kesişimi K noktası olsun. K noktası hem t doğrusunun, hem de b doğrusunun üzerindedir. b doğrusunun verilmiş olması demek, K dan farklı A gibi bir noktasının da verilmesi demektir. Aynı düşünceyle t doğrusunun K dan farklı A gibi bir noktasının verilmiş olması demektir. l A, K, B doğrusal olmayan farklı üç nokta olduğundan Aksiyom 1.3 e göre bir tek düzlem belirtir. t ve b doğrularının bütün noktaları bu düzlem içindedir. Paralel Doğrular Düzlemde kesişmeyen, yani ortak bir noktaya sahip olmayan doğrulara paralel doğrular denir. d ve k doğruları paralel ise d // k biçiminde ifade edilirler. d ve t doğruları paralel değil ise d // t gösterimi kullanılır. 24

Düzlemde doğruların paralelliği ile ilgili olarak aşağıdaki aksiyomu verelim. Bir doğru ile dışında bir nokta verildiğinde; verilen bu nokta- dan geçen ve verilen bu doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. Öklid paralellik aksiyomu 1.4 Açıklama : Yandaki şekilde görüldüğü gibi, düzlemde bir c doğrusu ile bu doğruya ait olmayan K noktası verilsin. K noktasından geçen ve c doğrusuna paralel olan b gibi bir tek doğru vardır. K c ve b//c dir. Teorem 1.5 : Düzlemde paralel olmayan farklı iki doğru bir tek noktada kesişir. İspat : m ve n birbirine paralel olmayan farklı iki doğru olsun. Bu doğruların en az A gibi bir ortak noktaları vardır. Teorem 1.2 ye göre de bu doğruların A dan başka ortak noktaları yoktur. O hâlde m ve n bir tek noktada kesişirler. Teorem 1.6 : Düzlemde paralel iki doğrudan biriyle kesişen bir doğru diğeriyle de keşisir. İspat : a ve b birbirine paralel olan iki doğru olsun. c de a ve b den farklı ve a yı A noktasında kesen bir doğru olsun. A noktası, b ye paralel olan a doğrusu üzerinde olduğundan, b nin dışında (b ye ait olmayan) bir noktadır. c doğrusunun b ile kesişmediğini varsayarsak c//b olur. Bu durumda a ve c, A noktasından geçen ve b ye paralel olan iki doğru olur. Aksiyom 1.4 e göre bir doğruya dışındaki bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilemez. Yani a = c olur. Bu ise c doğrusunun seçimi ile çelişkilidir. Öyleyse varsayımımız hatalıdır. Yani, b ile c doğruları kesişir. 25

SONUÇ Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru, diğerine de paraleldir. Bu sonucu, Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir. biçiminde de ifade edebiliriz. Aksiyom1.2 ye göre her doğru, en az iki nokta kapsar. Doğru, noktalardan oluşur ve üzerinde boşluk bulunmaz. Bir doğru üzerinde verilen farklı iki nokta arasında, sayılamaz çoklukta nokta vardır.? Verilen farklı iki nokta arasında olmayan, fakat bu noktaların belirttiği doğru üzerinde bulunan başka noktalar var mıdır? Kaç tanedir? Bir Doğru ile Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları Uzayda bir doğru ile bir düzlem aşağıdaki konumlarda bulunur. 1. Doğru ile düzlemin hiçbir ortak noktası olmayabilir: Bu durumda a doğrusu E düzlemine paraleldir. a E = Ø ise a // E dir. 2. Doğru ile düzlemin bir tek noktası ortak olabilir: Bu durumda şekilde görüldüğü gibi b doğrusu E düzlemini K gibi bir tek noktada keser. l b E = {K} 26

3. Doğru ile düzlemin farklı iki noktası ortak olabilir: Şekilde görüldüğü gibi t doğrusu ile E düzleminin K ve P gibi iki noktası ortaktır. Bu durumda t doğrusu düzlemin içindedir. K t, K E, P t, P E ve t E = t dir. Bir noktadan geçen ve aynı düzlem içerisinde bulunmayan doğrulara uzaysal doğru demeti denir. Doğru ve düzlemin belirlenmesi ile ilgili şunları söyleyebiliriz: * Bir doğru farklı iki noktası ile bellidir. * Bir düzlem farklı üç noktası ile bellidir. İki Düzlemin Birbirine Göre Durumları Şimdi de uzayda iki düzlemin birbirine göre konumlarını araştıralım. 1. İki düzlemin hiç bir ortak noktası olmayabilir: Yandaki E ve F düzlemleri gibi. Ortak noktası bulunmayan iki düzleme paralel düzlemler denir. 27

2. İki düzlemin bir tek doğruları ortak olabilir: Yandaki şekilde; AB doğrusu, E ve F düzlemlerinin ortak doğrusudur. Sadece bir doğruları ortak olan düzlemlere kesişen düzlemler denir. Açılmış bir kitabın iki sayfası kesişen düzlemlere örnek verilebilir. İki düzlem bir doğru boyunca kesişir. Bu doğruya kesişen düzlemlerin arakesit doğrusu adı verilir. 28

KONUNUN ÖZETİ *Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir. *Bir doğrunun bütün noktaları düzlem içinde ise, doğru da o düzlem içindedir. *Bir düzlemin farklı iki doğrusu en çok bir noktada kesişir. Bir tek ortak noktası olan iki doğruya kesişen doğrular adı verilir. *Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir tek düzlem belirtir. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. *Aynı bir düzlemde hiçbir ortak noktası olmayan iki doğruya paralel doğrular denir. *Düzlemde paralel olmayan farklı iki doğru bir tek noktada kesişir. *Bir doğru ile bir düzlem birbirine göre üç farklı konumda bulunur: a. Doğru, düzlemi kesmeyebilir. b. Doğru, düzlemi bir tek noktada kesebilir. Bu durumda doğru ile düzlemin bir noktaları ortaktır. c. Doğru, düzlemin içinde olabilir. Bu durumda doğrunun bütün noktaları, düzlemin de noktalarıdır. *Bir doğru, farklı iki noktası ile; bir düzlem, doğrusal olmayan farklı üç noktası ile bellidir. *Farklı iki düzlem birbirine göre iki durumda bulunur: a. İki düzlem hiçbir ortak noktaya sahip olmayabilir. Bu durumdaki düzlemlere paralel düzlemler denir. b. İki düzlem bir doğru boyunca kesişebilir. Bu durumdaki düzlemlere kesişen düzlemler denir. ARAŞTIRMALAR 1. Paralel iki doğru kaç düzlem belirtir? (Yol gösterme: Paralel iki doğrunun kaç nokta ile belirtilebileceğini düşününüz.) 2. Bir kapının kapatılmasında neden iki menteşe ile bir kilit yeterli olur? 3. 3 ayaklı tabureler, dört ayaklı taburelere göre neden daha kullanışlıdır? 29

1. BÖLÜMÜN DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Üçü doğrusal olmayan 4 farklı noktayı ikişer ikişer üzerinde bulunduran en fazla kaç doğru çizilebilir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 2. A(-11), B(x) ve AB = 14 ise x aşağıda verilenlerden hangisi olabilir? A) -25 B) -3 C) 11 D) 25 3. A(-1), B(x), C(-5) sayı doğrusunda üç nokta ve C, [AB] nın orta noktası ise x kaçtır? A) 4 B) 3 C) -6 D) -9 4. A(-7), B(3) ve CA olmak üzere; [AB] üzerindeki C noktasının koordinatı CB = 1 5 kaçtır? A) - 19 2 B) - 16 3 C) 3 2 D) 11 5 5. Düzlemde birbirinden farklı üç nokta veriliyor. Bu üç noktayı ikişer ikişer üzerinde bulunduran en çok kaç doğru çizilebilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 6. Yandaki şekle göre aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır? A) P noktası hem k, hem de t doğrusunun elemanıdır. B) k ve t doğrularına kesişen doğrular denir. C) A, P, B noktaları doğrusal noktalardır. D) N noktası t doğrusuna ait değildir. 30

7. Aşağıdaki ifadelerden hangisi diğerlerinden farklıdır? A) Farklı iki noktadan geçen bir tek doğru vardır.. B) Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer. C) Farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. D) Farklı iki noktayı birleştiren bir tek doğru vardır. 8. Aşağıdaki şekle göre verilenlerden hangisi yanlıştır? A) AB AB B) [AB AB C) (AB) AB D) [BA AB 9. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğru ile dışındaki bir nokta bir tek düzlem belirtir. B) Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. C) Paralel iki doğruyu üzerinde bulunduran bir tek düzlem vardır. D) Bir doğru ile bir düzlemin bir tek noktası ortak ise, doğru düzlem içindedir. 10. Şekle göre aşağıdaki hangi ışınlar zıt ışınlardır? A) [KL ile [LM B) [KM ile [KL C) [LM ile [LK D) [KM ile [MK 31