4. FLOWING FLUIDS and PRESSURE VARIATION
Akışkan Kinematiği Akışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın, akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır. Yapı üzerindeki hız dağılımlarının hesaplanması yapıya etkiyen basınç ve kuvvetlerin bulunmasında yardımcı olur.
Euler ve Lagrance Bakışları Akışkan hareketini tanımlamanın iki yolu vardır. Bunlardan birincisi, akışkan partikülü olarak adlandırılan küçük akışkan kütlesini tanımlamak ve akışkan partikülünün hareketini zamanla belirlemektir. Bu tür cisimlerin ii i hareketini ktiitanımlamada Newton yasaları kullanılır. Bu yöntemin akan bir akışkana uygulanmasına akışın Lagrange tanımlaması denir.
Akışkan Parçacığının Konumu ve Hızı r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k u = dx dt v = dy dt w = dz dt V (t) = ui + vj+ wk dr (t) V (t) = = dt V (x, y, z, t)
Euler ve Lagrance Bakışları
Euler ve Lagrance Bakışları
Euler Tanımlaması Euler tanımlamasında; akışkanın içerisinden girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmi adı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Bu şekilde akışkan parçacıkların konum ve hızlarının izlenmesine gerek kalmaz. Bunun yerine kontrol hacmi konumun ve zamanın fonksiyonu olan alan değişkenleri tanımlanır. Örneğin basınç alanı için:p P=P(x,y,z,t) P(xyzt)ve benzer şekilde V=V(x,y,z,t) gibi
Akışkanlar mekaniği uygulamalarında Euler tanımlaması daha uygundur. Örneğin bir rüzgar tünelind V(x,y,z,t) ve P(x,y,z,t) ölçen problar genellikle sabit noktaya yerleştirilir. Diğer ğ taraftan her bir ayrı akışkan parçacığını ğ izleyen Lagrange tanımlamasında hareket denklemleri iyi bilinmesine karşın( Newton un ikinci yasası gibi..), Euler tanımlamasında akışa ait hareket denklemleri bu denli açık değildir ve dikkatli bir şekilde türetilmeleri gerekir. Akışkan hızını tanımlamanın diğer bir yolu da, bunu akım çizgisi ve zaman açısından tanımlamaktır. V=V(s,t)
A steady, 2D velocity field is given by, V=(0.5+0.8x)i + (1.5-0.8y)j Stagnation point P(2,3)
Akım Çizgisi (Streamline) Flow Pattern (Akış Deseni) Akışın görselleştirilmesi il i akış alanı özelliklerin belirlenmesinde faydalı olur. Akım çizgisi, her noktasındaki eğimi akış hızına paralel olan eğridir. (her yerde anlık yerel hız vektörüne teğet olan bir eğridir) dy v = dx u Üç boyutlu akışta ise dx u = dy v = dz w
Şekilde bir depodan olan su akışına ait akım çizgileri ve akış deseni görülmektedir. Burada üç farklı nokta için hız vektörleri görülmektedir. Akım çizgileri akışkan partiküllerinin izlediği yolu verir. Ancak bazen akım çizgileri bir yüzey tarafından kesilebilir. Bu noktaya durgunluk (stagnasyon) noktası denir.durgunluk noktasında (V=0), akışkanın hızı sıfırdır.
Steady, incompressible, 2D velocity field V=(0.5+0.8x)i )i+(1 (1.5-0.8y)j 08 dy v 1.5 = = dx u 0.5 + 0.8y 0.8x C y = 1.875 0.8 0.5 + 0.8x + ( )
Uniform flow V = 0 s Nonuniform niform flow V V 0 ss Daralan akışta akışkan partikülü ivmelenir. V2>V1 Girdap (Vortex) akışında ise hız değeri değişmez, ancak yönü değişir.
V V Steady flow = 0 tt V Unsteady flow 0 t
Laminer akış akış düzgün akım çizgileri ve son derece düzgün ü hareketle karekterize edilir. Türbülanslı akış akış hız dalgalanmalarıyla ve son derece düzensiz hareketle karekterize edilir. laminerden türbülanslı akıma geçiş aniden olmaz. 16
Laminar flow Turbulent flow
Akım Çizgisi (Streamline) Flow Pattern (Akış Deseni) Akışın görselleştirilmesi il i akış alanı özelliklerin belirlenmesinde faydalı olur. Akım çizgisi, her noktasındaki eğimi akış hızına paralel olan eğridir. (her yerde anlık yerel hız vektörüne teğet olan bir eğridir) dy v = dx u Üç boyutlu akışta ise dx u = dy v = dz w
Yörünge Çizgisi (Pathline) Bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca katettiği gerçek yol.
Çıkış çizgisi (Streakline) Akış içerisindeki belirli bir noktadan daha önce art arda geçmiş akışkan parçacıklarının geometrik yeri.
Akım çizgisi (Streamline), yörünge çizgisi (pathline) ve çıkış çizgisi (streakline) kararlı akışta birbirine eşittir, ancak kkararsız akışta birbirinden bibii oldukça farklı olabilir. Akım çizgisi, her yerde anlık yerel hız vektörüne teğettir. Yörünge çizgisi, tek bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca katettiği gerçek yoldur. Çıkış ş çizgisi ise, akış ş içerisinde belirli bir noktadan daha önce art arda geçmiş akışkan parçaçıklarının geometrik yeridir.
Steady, incompressible, 2D velocity field V=(0.5+0.8x)i (05+08 )i+(15+25si (1.5+2.5Sin(ωt)-0.8y)j( 08 )j ω=2π rad/s, the period of oscillation 1 s (0.5, 0.5) (0.5, 2.5) (0.5, 4.5)
Acceleration Field r + = = dt de V e dt dv dt dv a t t r r r r dt dt dt V ds V dv t V dt ds s V dt dv + = t e n r V dt e d r r = r dt 2 e V e V V V a r r r + + = n t e r e t s V a + + =
Acceleration Field 2 V V V V r r r + + t e n r e t s V a 1 3 4 1 44 24 3 + + = an at 123 2
Acceleration Field V = ui + vj + wk a x = du dv dw a dt y = a dt z = dt r r r r a = a i + a j + a k x y z a x = u x dx dt + u y dy dt + u z dz dt + u t a x = u u x + v u y + w u z + u t
İki boyutlu bir kanalda, tam gelişmiş akış için hız alanı: u = u 0 2 2 y 1 h U 0, kanal merkezindeki ki maksimum hız. Kanal kalınlığı 2h U 0 = 1.5 m/s, h = 0.2 m
Bir akışkan parçacığının, bir akış alanında x yönündeki hızı, u=2(x+2) m/s olarak verilmiştir. Akışkan parçacığının x=2 ve x=4 m konumlarındaki hızını ve ivmesini hesaplayın. Akışkan parçacığının x=2 m den x=4 m ye kadar gelmesi için gerekli süreyi hesaplayın.
4.19 = 3 r 0 1 U u = 3 0 x 1 U u u u u u du t u z u w y u v x u u dt du a x + + + = = y
Euler s Equation F = l ma ( l p + γz) = ρa l l
7m 3m
The Bernoulli Equation along a Streamline ( ) t ρa γz p s = + 2 V V V s t e n r V e t V s V V a r r r + + = V 2 C V ρ γz p 2 = + + 2 ρ γ p
Problem 4.103 (p. 138)
Problem 4.62 (p. 132)
Aplication of the Bernoulli Equation Stagnation tube
Aplication of the Bernoulli Equation Pitot tube
Pitot tube
Pitot tube
Pitot tube
Dairesel kesitli bir kanal için pitot tüpü ölçüm noktaları E D C B A R A = 0.949R B = 0.837R C = 0.707R D = 0.548R E = 0.316R
Problem 4.52 (p. 131)
Pressure coefficient
Problem 4.107 (p. 139)
Limitations on the use of the Bernoulli s Equation Steady flow Frictionless flow No shaft work Incompressible flow No heat transfer Flow along a streamline
Pressure distribution around a cylinder
Figure 4.24 (p. 121) Pressure distribution ib ti on a cylinder irrotational i ti l flow.