ÜSTEL BAĞINTI GRAFİKLERİNİN ÖLÇEKLENMESİ Evrim Erbilgin*, Monica K. Hurdal*, ve Maria L. Fernández* Muğla Üniversitesi Florida State University Florida State University ÖZET Bu etkinlikte günlük yaşamdan esinlenen bir senaryo içinde öğrenciler üstel bir bağıntı için önce tablo oluştururlar, daha sonra da bu tablodan oluşturulabilecek farklı grafikleri analiz ederler. Grafiklerde ölçekleme hatalarına özellikle yer verilerek öğrencilerin grafik ölçeklemesi konusundaki kavram yanılgılarının giderilmesi amaçlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Üstel bağıntılar, üslü sayılar, grafik yorumlama, ölçekleme ABSTRACT This activity provides an opportunity to study exponential relationships by creating a table and examining a variety of graphs from a realistic scenario. The activity helps students develop an awareness of the importance of scales and explore possible misuses of scales. Key Words: Exponential relationships, exponential numbers, graph sense, scaling. GİRİŞ Son yıllarda farklı ülkelerdeki matematik eğitimi araştırmalarında veri analizi ve istatistik konularına artan ilgi, grafik konusunu ilk ve orta öğretim müfredatının önemli bir parçası haline getirmiştir (Friel, Curcio, and Bright, 21). İlköğretim ikinci kademe ve ortaöğretim öğrencilerinin farklı türden grafikleri oluşturması, yorumlaması ve analiz etmesi beklenmektedir (National Council of Teachers of Mathematics (Matematik Öğretmenleri Ulusal Konseyi) [NCTM], 2). Grafik kavrama konusu ile ilgili literatür taramada, Friel vd. (21) öğrencilerin grafik kavrayışlarında 3 seviyeden bahsetmiştir: 1-) Grafiği yorumlayan kişinin, grafikte açıkça verilen verileri okuyabildiği başlangıç seviyesi; 2-) Grafiği yorumlayan kişinin, grafikte verilen veriler dışında ara değerleri de bulabildiği, verilen veriler arasında ilişki kurabildiği orta seviye; 3-) Grafiği yorumlayan kişinin verilen veri sınırları dışında değer tahmini yapabildiği, verileri analiz edip açıkça sunulmayan ilişkilendirmeler üretebildiği gelişmiş seviye. Friel vd. (21) ilköğretim ikinci kademe öğrencilerinin genellikle başlangıç seviyesinde grafik soruları ile karşılaştıklarını belirtmiş, farklı seviyelere ait grafik problemleri içeren ders etkinlikleri geliştirilmesini tavsiye etmiştir. Bu makalede ilköğretim ikinci kademe öğrencileri için orta ve gelişmiş seviyede grafik soruları içeren bir etkinlik sunulmaktadır. Etkinlik değiştirilerek, ilköğretim birinci kademe öğrencileri ile ya da orta öğretim öğrencileri ile de uygulanabilir. Grafik çizmek, grafiklerde sunulan verileri analiz etmek, grafiğin bileşenlerini belirlemek, bu bileşenlerin birbirleri ile nasıl ilişkili olduklarını ve grafiğin okunabilirliğini nasıl etkilediklerini anlamak öğrencilerin grafik yorumlama yeteneklerini geliştirir (Friel vd. 21). Friel vd. (21) ilköğretim ikinci kademe öğrencilerinin sürekli, karmaşık, açıklığı ve değişkenliği büyük olan veriler ile çalışmalarını önermiştir. Ayrıca, NCTM (2) 6-8 sınıf öğrencilerinin doğrusal bağıntıların yanında doğrusal olmayan bağıntıların grafikleri ile çalışmaları tavsiyesinde bulunmuştur. Grafik oluştururken ya da yorumlarken öğrencilerin en çok kavramsal yanılgıya düştükleri konulardan birisi ölçeklemedir (Dunham & Osborne, 1991; Mevarech & Kramarski, 1997; Padilla, McKenzie, & Shaw, 1986). Bu nedenle grafik yorumlama ile ilgili etkinliklerde ölçeklemeye vurgu yapmak önemlidir (Leinhardt, Zaslavsky, ve Stein, 199). Bu makalede sunulan etkinlik, alan yazında yer alan öneriler ışığında geliştirilmiştir. Etkinliğin temel amaçlarından birisi öğrencilerde grafik eksenlerinin ölçeklenmesinin öneminin farkındalığını sağlamaktır. Bunun yanında, öğrencilerin grafiğin bileşenlerini bulmaları, bu bileşenlerin birbiri ile ilişkilerini belirtmeleri ve grafiğin yorumlanmasını nasıl etkilediklerini anlamaları amaçlanmıştır. Etkinlik MEB İlköğretim İkinci Kademe Matematik Öğretim Programı nda ele alınan eleştirel düşünme, iletişim, akıl yürütme ve ilişkilendirme becerilerine hitap etmektedir.
Makalenin ilerleyen bölümünde öğrencilerin günlük yaşamdan esinlenilen bir senaryo içinde üstel bir bağıntı ile ilgili çalışmalarını içeren etkinliğin uygulamasını okuyacaksınız. Etkinliğin çalışma kâğıtları makalenin sonunda verilmiştir. Etkinlik Florida State Üniversitesinde yürütülmüş olan Students Transitioning Toward Algebra (STTA) projesi kapsamında geliştirilmiştir. ETKİNLİĞİN UYGULANMASI Bu etkinlik öğrencilerin gerçekçi bir senaryo içinde oluşturulmuş farklı grafikleri eleştirel bir bakış açısıyla yorumlamalarına ve bu süreçte ölçeklemenin önemini kavramalarına yardım eder. Etkinlikte temel iki soru sorulmuştur: Birincisi öğrencileri üstel bağıntı ile tanıştırır ve ikinci soruya hazırlar. İkinci soru öğrencilerin aynı bakteri büyümesi verisinden oluşturulmuş 8 farklı grafiği analiz etmesini ister. Öğrenciler her bir grafiğin avantaj ve dezavantajlarını belirtirler. Etkinlik 8. sınıf öğrencileri ile şu şekilde uygulandı: Etkinliğin motivasyon (ısındırma) aşamasında, projeksiyon aracılığı ile öğrencilere bir bakteri resmi gösterilerek, bu resmin neyi temsil ediyor olabileceği soruldu. Bazı öğrenciler hücre, virüs gibi cevaplar verince resmin bir bakteriye ait olduğu söylendi. Sonrasında, bakterilerin nasıl büyüdüğü, bunun için hangi koşulların gerektiği gibi konular tartışıldı. Öğrencilere bu derste bakteri büyümesini, matematiği kullanarak inceleyecekleri söylendi. Öğrenciler 3 er kişilik gruplara ayrıldı. Öğrenme-öğretme sürecinde, ilk olarak gruplardan tablo doldurmayı içeren birinci soruyu tamamlamaları istendi (bkz. çalışma kâğıdı). Gruplar tabloyu doldururken, öğretmen tabloyu tahtaya çizdi. Daha sonra, tüm sınıfın dikkati tahtadaki tabloya çekilerek ve gruplardan öğrenciler söz alarak tablo tahtada dolduruldu. Gruplar tabloyu 1,2,4,8,16, şeklinde doldurdular. Sınıf olarak tabloda bir örüntünün gözlenip gözlenmediği tartışıldı. Bakteri büyümesinin tabloda 2, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, şeklinde üslü sayılarla da ifade edilebileceği gösterildi. Sınıf olarak, tablo üzerinden, bakterinin ne kadar hızlı büyüdüğü tartışıldıktan sonra, gruplardan ikinci sorudaki 8 farklı grafiği incelemeleri istendi. Gruplara kendi içlerinde her bir grafiğin bakteri büyümesini nasıl yansıttığı konusunda grafiklerin avantaj ve dezavantajlarını tartışıp, varsa hatalı unsurlarını belirtmeleri istendi. Ayrıca gruplardan her bir grafik için kısa bir yorum yazmaları ve grup çalışmasının sonunda her bir grafik için rastgele bir gruptan seçilecek bir öğrencinin, gruplarının grafik hakkındaki tartışmalarını sınıfla paylaşacağı söylendi. Bu uygulamanın amacı grup üyelerinin birbiriyle fikir alışverişinde bulunmaları dolayısıyla iletişim becerilerini kullanmalarını sağlamaktır. Gruplara kendi içlerinde tartışmaları için 1 dakika süre verildikten sonra sınıf tartışmasına geçildi. Rastgele belirlenen grup temsilcileri yorumlarını sınıfla paylaştı, diğer gruplar da katkıda bulundular. Bu aşamada her bir grafik için aşağıdaki hususlara değinildi: Öğrenciler y-ekseninin eşit aralıklı olarak ayrılmamasından dolayı (çok sık yapılan bir ölçekleme hatası), Grafik 1 in bakteri büyümesinin hatalı bir gösterimi olduğunu belirttiler. Bir grup bu bağlantının doğrusal bir grafik üretmemesi gerektiğini sınıfla paylaştı. Bu grubun yorumunu Şekil 1 de okuyabilirsiniz. Aynı grup zaman ve bakteri büyümesi için sayıların doğru yerleştirildiğini yazmıştır. Bu konu sınıf tartışmasında gündeme gelmiş, yanlış ölçeklemeden dolayı y-ekseninde sayıların yanlış yerleştirildiği ve bu nedenle doğrusal bir grafik elde edildiği tartışılmıştır. Grafik 2 sütun grafiği olduğu için bakteri büyümesinin her yarım saatlik süre içinde sabit kaldığını, yarım saatlik sürelerin sonunda birden ikiye katlandığını kabul etmektedir. Öğrenciler bakteri büyümesinin sürekli olması gerektiğini belirtip bu grafiğin bakteri büyümesini temsilde uygun bir grafik türü olmadığı konusunda hemfikir oldular. Sınıfın Grafik 3 üzerindeki tartışması bakteri büyümesi verisinin sürekli olması üzerine odaklandı. Sınıf bakteri büyümesinin sürekliliğini yansıtması amacıyla grafikteki ayrık noktaların birleştirilmesi konusunda anlaştı. Sınıf bakteri büyümesinde bağımsız değişkenin zaman olduğu, bu nedenle de Grafik 4 te zamanın yatay eksende gösterilmesi hususunda görüş birliğine vardı. Grafik 5 ve Grafik 6 nın bakteri büyümesini doğru bir şekilde temsil ettiği, ancak ikisinin de bakteri büyümesi hakkında sınırlı bilgi verdiği belirtildi. Grafik 5 in ikiye katlanmadan dolayı hızlı gelişen bakteri büyümesini iyi yansıttığı, ancak ilk 7 saatteki bakteri büyümesiyle ilgili yeterli bilgi sunamadığı konuşuldu. Grafik 6 nın ise sadece ilk iki saatteki bakteri büyümesini
sunduğu, bu sunuşun da y-ekseninde ölçeklemenin uygun ayarlanmamasından dolayı bakteri büyümesini gerçekte doğrusal olmadığı halde doğrusalmış gibi yansıttığı tartışıldı. Bir grubun Grafik 5 ile ilgili yorumunu Şekil 2 de okuyabilirsiniz. Şekil 1. Grafik 1 için yazılan bir yorum Şekil 2. Grafik 5 için yazılan bir yorum Öğrenciler Grafik 7 nin bakteri büyümesinin ikiye katlanma özelliğini uygun bir şekilde yansıttığı konusunda anlaştılar. Bir grup bu grafik hakkında şöyle yazmıştır: Artış miktarını doğru göstermiş. Genel resmini çok iyi veren bir grafik. Grafik 8 in bakteri büyümesinin ilk iki saati hakkında faydalı bilgi sunduğu konuşuldu. DEĞERLENDİRME Öğrencilerin grafik yorumlama ve oluşturma evrelerinde yaptıkları kavramsal yanılgıların giderilmesine yardımcı olmak amacıyla geliştirilen bu etkinlik, genel olarak öğrencilerden olumlu dönüt aldı. Bir öğrenci bu derste bir önceki senenin tüm matematik derslerinde öğrendiğinden daha çok şey öğrendiğini ifade etti. Uygulayıcılar olarak bu etkinliğin öğrencilerin grafik yorumlama becerilerine olumlu katkıda bulunduğunu düşünüyoruz. Ayrıca işbirlikçi öğrenme ortamı oluşmasına aracı oldu ve öğrenciler yapıcı bir şekilde akıl yürütme, iletişim, ilişkilendirme becerilerini kullanmış oldular. Grafik tartışma everesinde bazı gruplar tartışmalarını erken bitirdiler ve diğer grupları beklemek zorunda kaldılar. Bir dahaki uygulamalarda bu gruplara ek sorular hazırlanabilir. Örneğin, tablodaki zaman sütununa t satırı eklenip, bakteri büyümesi için bir kural geliştirmeleri istenebilir. KAYNAKÇA Dunham, P. H., & Osborne, A. (1991). Learning how to see: Students' graphing difficulties. Focus on Learning Problems in Mathematics, 13, 35-49. Friel, S. N., Curcio, F. R., & Bright, G. W. (21). Making Sense of Graphs: Critical Factors Influencing Comprehension and Instructional Implications. Journal for Research in Mathematics Education, 32, 124-58. Leinhardt, G., Zaslavsky, O., & Stein, M. K. (199). Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning, and teaching. Review of Educational Research, 6, 1-64. Mevarech, Z. R., & Kramarski, B. (1997). From verbal descriptions to graphic representations: stability and change in students' alternative conceptions. Educational Studies in Mathematics, 32, 229-63. National Council of Teachers of Mathematics. (2). Principles and standards for school mathematics. Retrieved from www.nctm.org on December 2, 25. Padilla, M. J., McKenzie, D. L., & Shaw, E. L. (1986). An examination of the line graphing ability of students in grades seven through twelve. School Science and Mathematics, 86, 2-26.
Not: Bu yazı, Florida eyaletinde yayınlanmakta olan Dimensions adlı derginin 26 sonbahar sayısında çıkan Scaling and Representing Exponential Relationships isimli makalenin bir bölümünün Türkçe ye tercümesidir. * Evrim Erbilgin, Muğla Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Anabilim Dalında Yardımcı Doçent olarak çalışmaktadır. Uygulama matematik öğretmenlerinin mesleki gelişimi konusunda çalışmalar yürütmüştür. Genel olarak, öğretmen eğitimi ile ilgilenmektedir. Maria L. Fernandez, Florida State Üniversitesi Eğitim Fakültesinde yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. Monica K. Hurdal, Florida State Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesinde yardımcı doçent olarak çalışmaktadır.
Bakteri sayısı (x1.) Bakteri sayısı (x1.) Bakteriler Nasıl Yayılır? Bakteriler çok hızlı yayılır. Elverişli şartlar oluştuğu zaman, örneğin gerekli su, yiyecek, ve ısı varsa, bir kaç dakika içinde ikiye katlanabilirler. Bir bakteri kolonisinde 1, bakteri bulunduğunu ve her yarım saatte bir sayının ikiye katlandığını varsayalım. 1. Bu koloninin nasıl büyüdüğünü gösteren aşağıdaki tabloyu doldurun. Zaman ( saat) Bakteri sayısı ( x 1,). 1.5 2 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 2. Aşağıda verilen 8 grafiğin bakteri büyümesini uygun bir şekilde temsil edip etmediğini tartışın. Her grafik için grafiğin yanına kısa notlar yazın. Notunuzda grafiğin avantajlarını ya da dezavantajlarını belirtin. 1 124 9 512 8 256 Grafik 1 12 1 Grafik 2 7 128 6 64 8 5 32 4 16 3 8 2 4 1 2 1-1..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5.
Bakteri sayısı (x1.) Bakteri sayısı (x1.) Bakteri sayısı (x1.) Bakteri sayısı (x1.) Bakteri sayısı (x1.) 12 1 Grafik 3 5. 4.5 4. Grafik 4 8 3.5 3. 6 4 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. Zaman Time (in(saat) hours) 2.5 2. 1.5 1..5. 1 2 21 4 41 6 61 8 81 1 11 12 121 12 Bakteri Number sayısı of Bacteria (x1.) (in 1,s) 12 1 Grafik 5 1 9 8 Grafik 6 8 7 6 6 4 2. 2. 4. 6. 8. 1. 5 4 3 2 1..5 1. 1.5 2. 12 Grafik 7 2 Grafik 8 1 15 8 6 1 4 5 2..5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5...5 1. 1.5 2. Zaman Time (in (saat) hours)