Belirsiz Kesirli Dereceli Türev için Tamsayı Dereceli Yaklaşım

Belirsiz Kesirli Dereceli Türev için Tamsayı Dereceli Yaklaşım M.Mine Özyetkin 1, Nusret Tan 2 1,2 Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü İnönü Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi munevver.ozyetkin@inonu.edu.tr nusret.tan@inonu.edu.tr Özetçe Bu çalışmada yeni bir metot geliştirilerek kesirli derece türünden aralık belirsizliğine sahip olan kontrol sistemlerinin dayanıklı karalılığı incelenmiştir. Bunun için öncelikle aralık kesirli dereceli belirsizliğe sahip olan kontrol sistemleri için tamsayı dereceli eşdeğer transfer fonksiyonları elde edilmiş bu eşdeğer transfer fonksiyonları aralık derece belirsizliğinden interval katsayı belirsizliğine geçişi sağlamıştır. Böylece katsayı belirsizliğine sahip olan kontrol sistemleri için kullanılan analiz yöntemleri (Kharitonov kararlılık kriteri gibi) bu eşdeğer transfer fonksiyonlarının kararlılık analizi için kullanılmıştır. Bu tür aralık derece belirsizliğine sahip sistemler için frekans cevabı analizi incelenmiştir. Bahsi geçen yöntem çeşitli örneklerle açıklanmıştır. 1. Giriş Tamsayı dereceli olmayan başka bir deyişle kesirli dereceli diferansiyel veya integral konusu geçmişi 17. yy da L Hospital ve Leibniz arasındaki yazışmalara dayanan oldukça eski bir konu olup başlangıçta karmaşık yapısından ötürü sadece matematikçiler tarafından çalışılan teorik bir konu olarak kalmıştır [1-4]. Tamsayı dereceli olmayan diferansiyel denklemlerin çözüm metotları mevcut olmadığından diğer bilim dallari tarafından uzunca bir süre etkin bir biçimde kullanılamamıştır [1-4]. Günümüzde, çözüm/yaklaşım metotlarının artık mevcut olması ve fiziksel sistemlerin muhtemelen kesirli dereceli yapıya daha yakın olmaları sebebiyle başka bir deyişle kesirli dereceli denklemler gerçek sistemleri tamsayı dereceli yaklaşımlara göre daha iyi tanımladıklarından [1, 3, 4] kesirli dereceli diferansiyel/ integral oldukça popüler bir konu haline gelmiştir ve birçok bilim ve mühendislik alanında etkin olarak kullanılmaya başlanmıştır [4, ]. Elektrokimyada difüzyon modeli, elektrotelektrolit arayüz empedansı, kapasitör teorisi, fraktans devreleri, viskoelastisite, kaos, türbülans, sinyal işleme, anormal difüzyon vb. [2, 4] bunlara birer örnek olarak verilebilir. Konuyla ilgili olarak son yıllarda oldukça önemli çalışmalara imza atılmıştır [6-12]. Kesirli dereceli sistemler (KDS) transfer fonksiyonları kesirli dereceli türev veya kesirli dereceli integrale,, sahip olan sistemlerdir [13]. Yani, tamsayı olmayan herhangi bir değer alabilir. Böylesi transfer fonksiyonlarını mevcut çözüm metotlarını veya bilgisayar programlarını kullanarak çözümlemek mümkün değildir [13]. Çünkü bu metotlar/programlar tamsayı dereceli sistemlerin çözümlenmesi için geliştirilmişlerdir [13]. Kesirli dereceli sistemlerin modellenmesi ve çözümlenmesine ilişkin MATLAB araçlarına dayalı olarak bazı programlar geliştirilmiştir [14-28]. Bir kontrol sistemi, kesirli dereceli dinamiklere sahip olabileceği gibi kesirli dereceli bir denetleyici tarafından da kontrol edilebilir. Örneğin, kontrolör, kontrolör, kontrolör, CRONE (Controle Robuste d Ordre Non Entier) kontrolör vb. gibi. Çoğu zaman çalışmalar, kesirli dereceli denetleyiciler kesirli dereceli sistemlerin denetiminde daha iyi sonuç sağlayabileceğinden kesirli dereceli denetleyiciler üzerine yoğunlaştırılmıştır [19, 2]. Kesirli dereceli kontrol sistemlerinin analiz yöntemlerinden biri tamsayı dereceli yaklaşım metotlarıdır [13]. Şöyleki kesirli dereceli gerçek transfer fonksiyonuyla aynı davranışa sahip tamsayı dereceli bir transfer fonksiyonu çözümlenmesi çok daha kolay olacağından kullanılabilir [13]. Tüm bunların yanı sıra kesirli dereceli bir kontrol sisteminin kesirli türevi ve/veya kesirli integrali de belirli bir aralıkta [, ] (alt limit ve üst limit) değişim gösterebilir,, yani derece türünden belirsizliğe sahip olabilir. Bilindiği üzere reel sistemler için parametre belirsizliği önlenemez bir gerçektir [, 19] ve belirli bir aralıkta değişen aralık kesir dereceye sahip çok terimli gösterim gerçek sistemleri tanımlamada çok daha doğru ve uygun bir gösterim olacaktır. Çünkü, reel sistemleri tanımlarken lineer olmayan durumlar gözden çıkarılmakta ve sistemler lineermiş gibi modellenmektedir. Dolayısıyla lineer gösterim ve yaklaşım modelleri sistemlerin özgünlüğünü tam olarak ifade edememektedir. Kesirli dereceli kontrol sistemlerinin çözümlenmesinde klasik kontrol metotları direkt olarak kullanılamazlar. Üstelik sistem parametre belirsiziliğine ve/veya kesir derece belirsizliğine (aralık derece belirsizliğine) sahipse işlemler çok daha karmaşık bir hale gelmektedir. Dolayısıyla bu tarz sistemlerin klasik kontrol metotlarıyla incelenebilmesi için tamsayı dereceli yaklaşımlarını elde etmek kaçınılmaz hale gelmektedir. Literatüre bakıldığında paramatre belirsizliğine sahip kesirli dereceli kontrol sistemleriyle ilgili çeşitli çalışmalar bulunabilir. Örneğin, [21] de lineer zamanla değişmeyen (LTI) parametrik ve aralık (interval) derece belirsizliğine sahip KDS çalışılmıştır. [19] da zaman gecikmeli interval sistem için kontrolör kullanarak robust (dayanıklı) kararlılık incelenmiştir. [22] de LTI interval KDS için robust kontrol edilebilirlik ele alınmıştır. [, 6, 23, 24] de interval belisizliğe sahip LTI KDS için robust kararlılık incelenmiştir. Yapılan çalışmalar çoğunlukla interval belirsizlik (katsayı belirsizliği) üzerine yoğunlaşmıştır. Fakat kesirli dereceli bir kontrol sistemi interval belirsizliğe sahip olabileceği gibi interval derece belirsizliğine de sahip olabilir ya da sadece katsayı belirsizliğine veya sadece interval derece belirsizliğine de sahip olabilir. Bu anlamda yapılan çalışmalar oldukça yetersiz kalmaktadır. Bu tarz sistemlerin incelenmesi, karalılık analizi, frekans cevabı vb. çalışmaların yapılması literatürde bu boşluğun doldurulması açısından oldukça önemlidir ve bu çalışma bunu amaçlamaktadır. Bu çalışmada temelde [21] den yola çıkarak aralık derece belirsizliğine sahip kesirli dereceli türev için tamsayı dereceli yaklaşımlar elde edilmiştir. Bunun için öncelikle ya

bağlı olarak nın birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden tamsayı dereceli eşdeğerleri elde edilmiştir. Elde edilen bu eşdeğer transfer fonksiyonları derece belirsizliğinden katsayı belirsizliğine geçişi sağlamıştır. Yani elde edilen eşdeğer transfer fonksiyonları interval belirsizliğe sahiptir. Böylelikle bu interval sistemler için klasik kontrolde kullanılan metotlar uygulanarak kararlılık analizi yapılmıştır. Bu çalışma şu şekilde düzenlenmiştir: 2. bölümde parametre belirsizliğine sahip kontrol sistemleri, Kharitonov teoremi, on altı transfer fonksiyonu ve otuz iki sistem üzerinde durulmuş, 3. bölümde aralık derece belirsizliğine sahip sistemler için tam sayı dereceli eşdeğer transfer fonksiyonları elde edilmiştir. 4. Bölümde ise frekans cevabı analizi kısaca açıklanmış,. bölümde frekans cevabı çeşitli örneklerle ele alınmış ve son olarak 6. bölümde sonuçlar sunulmuştur. 2. Parametre belirsizliğine sahip kontrol sistemleri İnterval kontrol sistemleri, transfer fonksiyonları aralık yapıya sahip polinomlardan oluşan sistemlerdir. Bu parametre belirsizliğine sahip sistemlerin analizi interval sistemlerin kararlılık analizini sağlayan Kharitonov teoremine dayanılarak elde edilmektedir. Bu teoremin interval polinomlar için Routh kararlılık kriterinin genişletilmiş bir versiyonu olduğu söylenebilir [2]. Bu teoreme gore interval bir polinom sadece ve sadece belirsiz parametrelerinin alt ve üst limitlerini kullanarak elde edilen dört polinomun kararlı olması halinde Hurwitz kararlıdır [8, 2]. 2.1. Kharitonov teoremi Tamsayı dereceli interval bir polinom aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun. (1) Burada { [ ] }, ve sırasıyla. pertürbasyonun alt ve üst limitlerini ifade etmektedir [26]. Kharitonov teoremine göre (1) nolu denklemdeki polinomun kararlılığı aşağıda tanımlanmış olan dört Kharitonov polinomunun Routh kararlılığının incelenmesiyle belirlenebilir [8]. (2) Yani bu dört polinom Hurwitz kararlı ise sistem karalıdır. 2.2. On altı Kharitonov transfer fonksiyonu İnterval bir sistem aşağıdaki gibi gibi tanımlanmış olsun. Burada [ ] ve [ ] olmak üzere, pay ve paydanın belirsiz parametrelerinin ifade etmektedir. Denklem (3) den de görüleceği üzere transfer fonksiyonunun pay ve payda polinomları interval bir yapıya sahiptir ve dolayısıyla herbir polinom ayrı ayrı dört Kharitonov polinomuna sahiptir (dört pay ve dört payda polinomu). Eğer bu polinomların tümünün bir kombinasyonu oluşturulmak istenirse on altı tane Kharitonov transfer fonksiyonu elde edilir ve aşağıdaki gibi tanımlanabilir. (3) Burada { 2.3. Otuz iki sistem tür. } (4) Bir interval transfer fonksiyonu için otuz iki sistem şu şekilde tanımlanabilir: Denklem (3) de verilen transfer fonksiyonunu ele alalım. Daha önce belirtildiği gibi bu transfer fonksiyonunun hem payı hem de paydası interval belirsizliğine sahiptir. Pay ve paydanın her biri için ayrı ayrı dört Kharitonov transfer fonksiyonu söz konusudur. Bunlar pay için ve payda için tir. Kharitonov dörtgeninden hareketle pay ve payda için kenar denklemlerini sırasıyla yazarsak Denklem () ve (6) elde edilir. () (6) Burada ve { } tür. Kharitonov polinomlarını ve kenar denklemlerini kullanarak oluşturulan otuz iki transfer fonksiyonu ise aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Burada, { } ve tür. Genel olarak interval bir transfer fonksiyonu için Bode, Nyquist ve Nichols diyagramları otuz iki sistemden elde edilir. 3. nın Tamsayı dereceli eşdeğerleri Bu bölümde nın eşdeğer transfer fonksiyonlarının interval bir yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Sürekli kesir açılımı metodunu (CFE) kullanarak (detaylı bilgi için [27] ye bakınız) in her bir limiti için yani alt ve üst limitleri için ayrı ayrı tamsayı dereceli yaklaşımlar elde edilebilir. Bu yaklaşımlar elde edildiğinde sitemin interval derece belirsizliğinden katsayı belirsizliğine sahip yapıya dönüştüğü görülmektedir. Sistem kesirli dereceli yapıdan interval tamsayı dereceli yapıya geçtiğinden interval parametre belirsizligine sahip tamsayı dereceli sistemlere uygulanan analiz yöntemleri bu sistem için kullanılabilmektedir. Yani bu sistemin karalılığını incelemek için Kharitonov kararlılık kriterinden yararlanılabilir. türevini ele alalım. Burada, olmak üzere sırasıyla in alt ve üst limitlerini ifade etmektedir. CFE yi kullanarak in alt ve üst limitleri için ya bağlı olarak birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımlar aşağıdaki gibi elde edilir. nın birinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımı: [ ] nın ikinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımı: (7) (8) (9) (1) ] [ ] (11)

Faz (deg) Faz (deg) nın üçüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımı: (12) [ ] [ ] [ ] (13) nın dördüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımı: [, (14) ] [, ] [ ] (1) [, ] [, ] şeklindedir. 4. İnterval sistemler için kararlılık analizi ve frekans cevabı Kontrol sistemlerinin analiz ve tasarımında zaman domeni analizine göre frekans cevabı analiz ve tasarım yöntemleri pratiklikleri bakımından oldukça büyük avantajlar sağlamaktadır. Bunlar arasında Bode, Nyquist, Nichols gibi yöntemler sayılabilir. Bu metotlar sistemlerin sadece açık çevrim transfer fonksiyonlarına bakılarak kararlı olup olmadığını belirlemeyi eğer kararlı değillerse nasıl kararlı hale getirilebileceğini kolaylıkla analiz etmemizi sağlarlar. Eğer kontrol sistemi parametre belirsizliğine sahip interval bir sistem ise bu durumda Kharitonov, kenar teoremi, sıfır hariç tutma prensibi gibi yöntemler de işin içerisine girmektedir [8]. Tüm bu yöntemler tamsayı dereceli sistemler için geliştirilmiş metotlardır. Hernekadar sistemin derecesi kesirli bile olsa frekans domeni analiz metotları bu tür sistemlere uyarlanabilmektedir. Ancak eğer sistem kesirli dereceli interval belirsizliğe sahipse Kharitonov teoremi bu tür sistemler için direkt olarak kullanılamaz [8]. Bunun yanı sıra kesirli dereceli sistem parametre belirsizliği ve/veya interval derece belirsizliğine sahip ise bu durumda işlemler oldukça karmaşık hale gelir ve bu konuda literatürde önemli bir açık bulunmaktadır.. bölümde interval derece belirsizliğine sahip KDKS için frekans cevabı ve kararlılık analizi çeşitli örneklerle ele alınmıştır..1. Örnek 1. Örnekler Aralık derece belirsizliğine sahip kesirli dereceli bir kontrol sistemini ele alalım. (16) Bu sistem için türevin birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımlarnı kullanarak tamsayı dereceli eşdeğerleri aşağıdaki gibi elde edilir. Türevin birinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımına göre: (17) Türevin ikinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımına göre: (18) Türevin üçüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımına göre: (19) Türevin dördüncü dereceden tamsayı dereceli yaklaşımına göre: (2) Verilen sistem için orjinal sistemin alt ve üst limitlerine göre ve sistemin türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre Bode diyagramları Şekil 1 de verilmiştir. Şekilden de görüldüğü gibi orjinal sistemin ve ikinci dereceden yaklaşımın Bode diyagramları neredeyse üst üste düşmektedir. Şekil 2 de ise on altı Kharitonov transfer fonksiyonun ve orjinal sistemin alt ve üst limitleri için Bode diyagramları gösterilmiştir. Görüldüğü gibi on altı transfer fonksiyonu orjinal sistemin cevabını içine almaktadır. 2-2 1/(s [1.1,1.] +1) icin Bode Diyagrami -4 s 1. icin orjinal sistem 1-1 s 1.1 icin 2. derece 1yaklasim 1 1 s 1. icin 2. Frekans derece (rad/sn) yaklasim - -1 s 1.1 icin orjinal sistem 1-1 1 1 1 Frekans(rad/sn) Şekil 1: Orjinal sistemin için alt limit ve üst limit e göre ve ve için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre Bode Diyagramları 1-1 -2-3 -4 1-1 1 1 1 - -1 1/(s [1.1,1.] +1) icin Bode Diyagrami Frekans (rad/sn) 1-1 1 1 1 Frekans(rad/sn) Şekil 2: Orjinal sistemin alt limiti (v) ve üst limiti (>) için ve türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonu (-) için Bode diyagramları

Sanal Sanal Faz (deg) Sanal.2. Örnek 2 Aşağıdaki gibi aralık derece belirsizliğine sahip bir kesirli dereceli kontrol sistemini ele alalım. (21) Bu sistem için türevin ikinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımı uygulanırsa aşağıdaki gibi elde edilir. (22),,,,,,,,, (23) dir. Verilen sistem kararsız olduğundan sistemin karalılığını sağlamak için denklem (24) deki gibi ifade edilen bir kontrolör kullanılmıştır ve birim basamak cevapları bu yapıya göre elde edilmiştir. (24) 3 2 1-1 -2-3 -4 - Nichols Diyagrami -6-2 -2-1 - Faz (derece) Şekil : için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nichols diyagramları Bode Diagram Nyquist Zarfi -. -1-1 -1 1 1 1 1-1 -2 Frekans (rad/sn) -3 1-1 1 1 1 Frekans (rad/sn) Şekil 3: için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Bode diyagramları -1. -2-2. -3-3.. 1 1. 2 2. 3 3. Şekil 6: de için otuz iki sistemin Nyquist zarfı Nyquist Diyagrami Nyquist Zarfi - - -1-1 -2-2 -2-1 - 1-2 -1-1 Şekil 4: için türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nyquist diyagramları Şekil 7: aralığında için otuz iki sistemin Nyquist zarfı

y(t) Sanal - -1-2 -2-1 - 1 Şekil 8: aralığında için otuz iki sistemin Nyquist zarfı (-) ve on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun Nyquist eğrileri (*) Verilen sistem için on altı Kharitonov transfer fonksiyonuna göre Bode, Nyquist ve Nichols Diyagramları Şekil 3, 4 ve te sırasıyla görülmektedir. Otuz iki transfer fonksiyonuna göre elde edilen Nyquist zarfları ise çeşitli frekans değerleri için Şekil 6 ve 7 de verilmişir. Şekil 8 de ise otuz iki sistemin Nyquist zarfı on altı Kharitonov transfer fonksiyonuna göre elde edilen Nyquist eğrileriyle birlikte gösterilmiştir. Şekilden de görüleceği üzere bu iki sistemin cevabı birbiriyle örtüşmektedir. On altı transfer fonksiyonuna göre birim basamak cevapları orjinal sistemin alt ve üst limitleriyle birlikte Şekil 9 da verilmiştir. 1.2 1.8.6.4.2 Nyquist Diagram Birim basamak cevabi. 1 1. 2 2. 3 3. 4 4. t(sn) Şekil 9: Denetleyicili sistemin türevin ikinci dereceden yaklaşımına göre on altı Kharitonov transfer fonksiyonunun (-) ve orjinal sistemin alt limit(-) ve üst limitlerinin (-) birim basamak cevapları ( için) Şekil 9 da görüldüğü gibi on altı Kharitonov transfer fonksiyonu için birim basamak cevapları orjinal sistemin alt ve üst limitleri için elde edilen birim basamak cevaplarını içermektedir. Yani sistemin karalılığını belirlemek için Kharitonov polinomlarının test edilmesi yeterlidir diyebiliriz..3. Örnek 3 Denklem (2) deki gibi aralık derece belirsizliğine sahip kesirli dereceli bir kontrol sistemini düşünelim. (2) Türevin ikinci dereceden tamsayı dereceli yaklaşımına göre (26),,,,,, (27) dır. Birim geribeslemeli sistem için karakteristik denklem ise aşağıdaki gibi elde edilir. (28) (29) Karakteristik denklemi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. (3) Denklem (3) a bağlı olarak dört Kharitononv polinomu aşağıdaki gibi elde edilir. (31) Bu dört Kharitonov polinomu için kökler kompleks düzleminin sol tarafında kalmaktadır. Bilindiği üzere lineer zamanla değişmeyen tam sayı dereceli bir sistem, eğer karakteristik polinomunun tüm kökleri sanal eksenin solunda yer alıyorsa ya da başka bir deyişle kökler negatifse veya negatif reel kısma sahipse kararlıdır. Bu sebeple ele alınan sistem, karakteristik denklemin Kharitonov polinomlarının tüm kökleri negatif reel kısma sahip olduğundan kararlıdır. Denklem (3) da verilen interval polinom için değer kümesi Şekil 1 da verilmiştir. Şekil 1 da görüldüğü gibi sistemin değer kümesi (,) noktasını içermemektedir. Yani sıfır hariç tutma prensibine göre sistem, Kharitonov teoremine paralel olarak Hurwitz kararlıdır. 6. Sonuçlar Bu çalışmada interval dereceli belirsizliğe sahip olan kesirli dereceli kontrol sistemlerinin dayanıklı kararlılığı incelenmiştir. Klasik kontrol analiz yöntemleri bu tip sistemlere doğrudan uygulanamaz. Bu amaçla kesirli dereceli sistem için tam sayı dereceli yaklaşımlardan yararlanılarak yeni bir yaklaşım sunulmuştur. Böylece interval belirsizliğe sahip olan kesirli dereceli kontrol sistemi interval katsayı belirsizliğine sahip tam sayı dereceli transfer fonksiyonuna dönüştürülmüştür. Bu aşamada tamsayı dereceli katsayı belirsizliğine sahip kontrol sistemleri için kullanılan analiz yöntemleri uygulanabilir hale gelmiştir. Kharitonov ve sıfır hariç tutma prensiplerinden yaralanılarak verilen sistemlerin kararlılığı test edilmiştir. Ayrıca bu tür sistemler için frekans cevabı analizi yapılmıştır. Sonraki çalışmalarda hem derece hem de katsayı belirsizliğine sahip kesirli dereceli kontrol

Sanal sistemlerinin analizi ve dayanıklı kararlılık çalışmaları üzerine yoğunlaşılacaktır. 3 3 2 2 1 1 - -1-14 -12-1 -8-6 -4-2 2 Şekil 1: Denklem (3) a göre polinomun değer kümesi 7. Kaynakça için interval [1] I. Petras, The Fractional-Order Controllers: Methods for their Synthesis and Application, J. Of Elect. Eng., Cilt:, No: 9-1ö s: 284-288, 1999. [2] T. T. Hartley, C. F. Lorenzo ve H. K. Quammer, Chaos in a Fractional Order Chua s system, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, Cilt: 42, No: 8, s: 48-49, August 199. [3] I. Podlubny, Fractional Order Systems and PI λ D µ Controllers, IEEE Trans. On Automatic Control, Cilt: 44, No: 1, s: 28-214, 1999. [4] S. Das, Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls, Springer, 28. [] H. S. Ahn ve Y.Q. Chen, Necessary and Sufficient Stability Condition Of Fractional-Order İnterval Linear Systems, Automatica, Cilt: 44, s: 298-2988, 28. [6] Y. Q. Chen, H. S. Ahn ve I. Podlubny, Robust Stability Check Of Fractional Order Linear Time İnvariant Systems with İnterval Uncertainties, ELSEVIER, Signal Processing, Cilt: 86, s: 2611-2618, 26. [7] I. Podlubny, I. Petras, B. M. Vinagre, P. O leary ve L. Dorcak, Analogue Realizations Of Fractional Order Controllers, Nonlinear Dynamics, Cilt: 29, s: 281-296, 22. [8] N. Tan, O. F. Ozguven ve M. M. Ozyetkin, Robust Stability Analysis of Fractional Order İnterval Polynomials, ISA Transactions, Cilt: 48, s: 166-172, 29. [9] A. Tustin, J. T. Allanson, J. M. Layton ve R. J. Jakeways The Design of Systems for Automatic Control Of The Position Of Massive Objects, Proceedings of IEEE, Cilt: 1, No: 1, s: 1-7, 198. [1] S. Manabe, The Non-İnteger İntegral And İts Application to Control Systems, Journal of IEEE of Japan, Cilt: 8, No: 86, s: 89-97, 196. [11] K. S. Miller ve B. Ross, An İntroduction to The Fractional Differential equations, Wiley, New York, 1993. [12] D. Matignon, Stability Results on Fractional Differential Equations with Applications to Control Processing, Proceedings of Computational Eng. in Systems and Applications Multiconference, Cilt: 2, IMACS, IEEE-SMC, s: 963-968, 1996. [13] M. M. Ozyetkin, C. Yeroglu, N. Tan ve M. E. Tagluk, Design of PI and PID Controllers for Fractional Order Time Delay Systems, 9th IFAC workshop on Time Delay Systems, Prague, Czech, 21. [14] A. Oustaloup, P. Melchior, P. Lanusse, O. Cois ve F. Dancla, The CRONE Toolbox for MATLAB, Proceedings of the 2 IEEE International Symposium on Computer Aided Control System Design Anchorage, Alaska, USA, September 2-27, s: 19-19, 2. [1] P. Melchior, B. Orsoni, O. Lavialle ve A. Oustaloup, The CRONE Toolbox for Matlab: Fractional Path Planning Design in Robotics, Robot and Human Interactive Communication, Proceedings 1 th IEEE International workshop on, s: 34-4, 21. [16] D. Valerio ve J. S. da Costa, Ninteger: A Non-İnteger Control Toolbox for Matlab, Proceedings of 1 st IFAC Workshop on Fractional Differentation and Its Applications, Bordeaux, France, 24. [17] A. A. Tepljakov, E. Petlenkov ve Juri Belikov, FOMCON: Fractiona- Order Modeling And Control Toolbox for Matlab, 18 th International Conference Mixed Design of Integrated Circuits and Systems, June 16-18, 211, Gliwice, Poland, pp. 684-689. [18] D. Xue ve Y. Q. Chen, Advanced Mathematic Problem Solution using MATLAB, Beijing: Tsinghua University Press, 24. [19] T. Liang, J. Chen ve C. Lei, Algorithm of Robust Stability Region for İnterval Plant with Time Delay Using Fractional Order PI λ D µ Controller, Elsevier Commun Nonlinear Sci Numer. Simulat., Cilt: 17, No: 2, s: 979-991, 212. [2] HS. Li ve YQ. Chen, A Fractional Order Proportional and Derivative (FOPD) Controller Tuning Algorithm, Control and Decision Conf.,CCDC, Chinese, s: 49-463, 28. [21] I. Petras, Y. Q. Chen, B. M. Vinagre ve I Podlubny, Stability of Linear Time İnvariant Systems with İnterval Fractional Orders And İnterval Coefficients, IEEE, s: 341-346, 24. [22] Y.Q. Chen, H. S. Ahn ve D. Xue, Robust Controllability of İnterval Fractional Order Linear Time İnvariant Systems, ELSEVIER Signal Processing, Cilt:86, No: 1, s: 2794-282, 26. [23] H. S. Ahn, Y.Q. Chen ve I. Podlubny, Robust Stability Test of A Class of Linear Time-İnvariant İnterval Fractional-Order System Using Lyapunov İnequality, ELSEVIER, Applied Mathematics and computation, Cilt: 187, No: 1, s: 27-34, 27. [24] Z. Liao, C. Peng, W. Li ve Y. Wang, Robust Stability Analysis for a Class of Fractional Order Systems with Uncertain Parameters, ELSEVIER, Journal of the Franklin Institute, Cilt: 348, No: 6, s: 111-1113, 211. [2] N. Tan ve D. P. Atherton A User Friendly Toolbox for The Analysis of İnterval Systems, 3 rd IFAC Symposium on Robust Control Design, ROCOND 2, Prague, Czech Republic, 2. [26] N. Tan ve D. P. Atherton, Extensions of Classical methods to Uncertain Systems: an Educational Perspective, IFAC Advances in Control Education, Australia, s: 3-31, 2. [27] M. M. Özyetkin ve N. Tan, Kesirli Dereceli Sistemlerin Tamsayı Dereceli Yaklaşımı, Integer Order Approximation of Fractional Order Systems, IEEE 18. Sinyal işleme ve iletişim uygulamaları kurultayı 22-24 Nisan SIU 21, Diyarbakır, s: 949-92, 21.