MAK669 LINEER ROBUS KONROL s.selim@gyte.edu.tr 14.11.014 1
State Feedback H Control x Ax B w B u 1 z C x D w D u 1 11 1 (I) w Gs () u y x K z z (full state feedback) 1 J ( u, w) ( ) z z w w dt t0 (II) z w RMS zw RMS 0 olmak üzere zw zw : w gürültü girişinden z kontrol edilen değişkene olan kapalı çevrim transfer fonksiyonu
State Feedback H Control 1 J ( u, w) 1 11 1 1 11 1 C x D w D u C x D w D u w w d t0 u x C1 Cx x C1 D11 C1 D 1 1 w d t 0 u D u 11D11 D11D 1 w D w 1D11 D1D1 I Aşağıdaki kabuller yapılırsa: D11D11 D11D 1 u S C1 D11 C1 D 1, R, u D w 1D11 D1D1 I 3
State Feedback H Control Çapraz terimleri içeren LQR problemine dönüşür. 1 J ( u, w) 1 1 x C C x x Su u Ru d t0 Sistem denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir. x Ax Bu B B B 1 (III) Aşağıdaki Riccati denkleminin çözümünden 1 1 1 B S R B BP S P PA A P C C P (III) sistemi için state feedback control u R 1 ( B P S ) x 4
State Feedback H Control eorem: (I) denkleminde tanımlanan zamandan bağımsız sistemi düşünelim. Burada x R, w R, z R n n n x w z Aşağıdaki şartların sağlandığını düşünelim: 1- ( A, B, C, D ) kök düzleminde 1 1 - ( AB, ) kontrol edilebilirdir. 1 3- ( D1D1) vardır. j ekseni üzerinde sıfır noktası içermemektedir. Aşağıdaki durumlar geçerlidir: 1. Kapalı çevrim sistemini kararlı yapan ve şartını sağlayan u K x state feedback kontrolü vardır. zw 5
State Feedback H Control. D1D1 I sağlandığı ve P 0 var olduğu aşağıdaki Riccati denklemi çözülür: 1 B P D11C1 D11D11 D11D1 B P D11C1 PA A P C1C1 B1 P D1C1 D1D11 D1D1 I B1 P D1C1 0 Optimal kontrol u u I u I R B P S x K x 1 0 n 0 ( ) nu u 6
State Feedback H Control w Gs () z z u y x (full state feedback) K x Ax B w B u 1 z C x D u u R ( PB N ) x 1 f f N C D, R D D f f 0 olmak üzere zw 7
State Feedback H Control S. Sivrioglu, K. Nonami, Active Vibration Control by Means of LMI-Based Mixed H-/H-infinity State Feedback Control, JSME International Journal, Series C, vol.40, no., pp.39-44, 1997. 8
State Feedback H Control 9
State Feedback H Control Gövde m ut () Aktuatör m 1 ut () eker k1 x x 1 0 0 0 1 0 xˆ 1 xˆ 1 0 0 0 0 0 1 xˆ ˆ x 1 0 k u( t) w( t) 1 xˆ 0 0 0 xˆ 3 3 m1 1 m1 xˆ xˆ 4 1 0 4 0 0 0 0 m x 0 x Ax B u B w 1 Sistem gürültü girişi w t k 1 ( ) x0 ( t) m1 10
State Feedback H Control Durum değişkenleri için ağırlık matrisi: Q q1 q q 0 0 q q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Skalar bir ağırlık oranı kabul edelim. 1 Q C C 11 11 C 0 C11 4, D 0 1 1 1 014 11
State Feedback H Control Genişletilmiş sistem matrisi yapısı A B B G C D D C D D 1 1 11 1 1 x Ax B w B u 1 z C x D u 1 1 A B B G C 0 D I 0 0 1 1 1 1
m=375; m1=38; k1=40000; k=1560; c=150; x0=0.005; %m A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; -k1/m1 0 0 0; 0 0 0 0]; B=[0;0;-1/m1;1/m]; B1=[0;0;1;0]; D1=[0 0 1]'; q1=10; q=1; ro=10^(-9); Q=[ q1+q -q 0 0 -q q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; C11Q=sqrtm((1/ro)*Q); C11=C11Q(1:,:); A B B G C D D C D D 1 1 11 1 C1=[C11;zeros(1,4)]; D11=zeros(size(C1,1),size(B1,)); C=eye(size(A)); D1=zeros(size(A,1),size(B1,)); D=zeros(size(A,1),size(B,)); 1 G = pck(a,[b1,b],[c1;c],[d11 D1;D1 D]); %sistem matrisi r=size(d); obj=[0 0 1 0]; region=[]; tol=0.01; [gopt,hopt,k,gcl,x] = msfsyn(g,r,obj,region,tol) 13
Multi-Objective State Feedback w Gs () z z u y x (full state feedback) K msfsyn fonksiyonu H / H çoklu amaçlı ve kök yerleştirme kısıtlarını içeren state feedback sentezini yerine getirir. Burada sistem G( s) zamandan bağımsızdır ve durum vektörü x ölçüldüğü kabul edilmektedir. - nin RMS kazancını(h normu) belirlenen bir değerden aşağı tutmayı sağlamak 0 zw - nin H normunu belirlenen bir değerden aşağı tutmayı sağlamak 0 zw - Aşağıdaki H / H norm ödünleşme(trade-off) minimize etmek zw zw - Sistemin kapalı çevrim köklerini sol yarı düzlemde tanımlanan D gibi bölgeye yerleştirmek 14
Multi-Objective State Feedback [gopt,hopt,k,gcl,x] = msfsyn(g,r,obj,region,tol) Gs ( ) sistem matrisi: x Ax B w B u 1 z C x D w D u 1 11 1 z C x D u r = size(d) obj = 0 0 15
Multi-Objective State Feedback LMI Formülasyonu: Sistm e x Ax B w B u 1 z C x D w D u 1 11 1 z C x D u H Performans ı: State feedback u x ( A B K) x B w 1 z ( C D K) x D w 1 1 11 z ( C D K) x w'dan z Kx 'e kapalı çevrim RMS kazancı eğer X gibi bir simetrik matris varsa değerini aşmaz. alındığında kapalı çevrim sistemi ( A BK )X X ( A BK ) B1 X ( C1 D1K) B1 I D11 ( C1 D1K)X D11 I 0 X 0 16
Multi-Objective State Feedback H Performansı: zw kapalı çevrim eğer X ve Q gibi iki simetrik matris varsa H normu değerini aşmaz. ( A B K)X X ( A B K) B 1 B1 I 0 X( C Q ( C D K)X D K) X 0 race( Q) 17
İç Kararlılık(Internal Stability) Şekildeki P(s) sisteminin ve K(s) kontrolün olduğu kapalı çevrim (P,K) nin kararlılığını düşünelim. Sistem ve kontrolörün pay ve payda derecelerinin aynı olduğunu(proper) kabul edelim. det I KP 0 şartını sağlamaktadır. P ve K nın ortak kök ve sıfır noktası içermemesi koşulu ile tüm girişlerden ve tüm çıkışlara oluşturulan transfer fonksiyonlarının proper ve kararlı olması durumuna iç kararlılık denir. y PKy Pu PKu 1 1 1 y KPy KPu Ku 1 u1 y 1 P y ( I PK) Pu ( I PK) PKu 1 1 1 1 y ( I KP) KPu ( I KP) Ku 1 1 1 y K u
İç Kararlılık(Internal Stability) P u d, y u 1 u r, y y 1 u1 y 1 P Standart geri besleme yapısı yerine transfer fonksiyonlarının gösteriminde aynı paydayı veren aşağıdaki yapı kullanılmaktadır. y K u 19
İç Kararlılık(Internal Stability) u1 y 1 P y K u P ve K çıkışları yerine aşağıdaki gibi P ve K a giren sinyaller giriş olarak alınan yapı da bulunmaktadır. w e 1 1 P K e w 0
İç Kararlılık(Internal Stability) An interconnected system is internally stable if the subsystems of all input output pairs are asymptotically stable (or the corresponding transfer function matrices are BIBO stable when the state space models are minimal). Internal stability is equivalent to asymptotic stability in an interconnected, feedback system but may reveal explicitly the relationship between the original, open-loop system and the controller that influences the stability of the whole system. 1
İç Kararlılık(Internal Stability) Elde edilen dört transfer fonksiyonunda ( I sağlamak için: KP 1 ) formunu ( I PK) P P( I KP) 1 1 ( ) ( ) 1 1 I PK PK P I KP K ( ) ( ) 1 1 I KP KP I KP I kullanılırsa kapalı çevrim (P,K) nin iç kararlılığı için gerekli şart bu dört transfer fonksiyonunun kararlı olmasıdır. 1 1 1 1 P( I KP), P( I KP) K, ( I KP), ( I KP) K
İç Kararlılık(Internal Stability) Klasik anlamda u den y 'e transfer fonksiyonu P( I KP) 1 1 kararlı olduğunda kapalı çevrim kararlıı d r denmesine rağmen, K nin kararsız kök ü olması durmunda ve ayrıca P ile K arasında dur umunda iç kararlılık yoktur. kök ile sıfır noktasının birbirini götürmesi 1 y P( I KP) u P( I KP) Ku 1 1 1 1 y ( I KP) KPu ( I KP) Ku 1 1 1 P PK y1 I KP I KP u1 y KP K u I KP I KP (I)
İç Kararlılık(Internal Stability) Örnek: P s 1 s y1 P y1 PK, u I KP u I KP K 1 s 1 P ve K transfer fonksiyonlarını (I) içindeki tüm transfer fonksiyonlarında yerine koymak gerekmektedir. u 1 1 s 1 y s s 1 y u y KP y K, u I KP u I KP 1 y1 s1 y s, u s u ( s ) ( s 1) 1 ikinci transfer fonksiyonunda kararsız kök olmasından dolayı iç kararlılık yoktur.
İç Kararlılık(Internal Stability) P s 1 1, K s1 s1 s1 s1 e1 s ( s 1) ( s) w1 e s 1 s 1 w s s ikinci transfer fonksiyonunda kararsız kök olmasından dolayı iç kararlılık yoktur.
Frekans şekillendirme filtreleri Frekans şekillendirme filtreleri kapalı çevrimde kontrol edilen değişkenlerin istenilen bir özellikte olmasını sağlamak için kullanılan transfer fonksiyonlarıdır. Frekans şekillendirme filtreleri sisteme ait bir dinamik değildir. Genel sistem yapısı içinde filtre dinamikleri yer aldığından kontrol tasarımında bu özellikler kullanılır ve filtreler tasarımı yapılacak kontrolörün frekans yapısını belirler. W1 z 1 W z r e K u P y W3
Frekans şekillendirme filtreleri Filtreleri sadece kontrol tasarımında kullanıyoruz ve kontrolör filtrelerin sahip olduğu etkilere sahip olarak davranıyor. Gerçek sistem üzerinde filtreler bulunmuyor. z W e e W z 1 1 1 1 1 Burada istenilen şekilde olması istenen değişken e dir. Bunu yeni kontrol edilen değişken z 1 üzerinden yapıyoruz. W1 z 1 r e K u P y
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] Low-pass filtre yapısı 10 5 p W k s d : filtre köşe frekansı d 0-5 -10-15 -0-5 -30 10-10 -1 10 0 10 1 10 10 3 Frekans [ rad/s ] Frekans şekillendirme filtreleri sisteme ait bir dinamik değildir. Kapalı çevrimde kontrol edilen değişkenlerin istenilen bir özellikte olmasını sağlamak için kullanılır.
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] Low-pass filtre yapısı 30 W pk k s d 0 10 pk :10 100 sabit d k sabit 0-10 -0-30 10-10 -1 10 0 10 1 10 10 3 Frekans [ rad/s ]
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] W p k s d k 10 0 p sabit dk :10 100 k sabit -10-0 -30-40 -50 10-10 -1 10 0 10 1 10 10 3 Frekans [ rad/s ]
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] Low-pass filtre yapısı 50 p W k s d 40 30 d 1 0 10 0-10 10-10 -1 10 0 10 1 10 Frekans [ rad/s ]
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] High-pass filtre yapısı 10 5 W s n k s d 0-5 d n -10-15 d : payda köşe frekansı : pay köşe frekansı n k: kazanç katsayısı -0-5 -30 10-1 10 0 10 1 10 10 3 10 4 Frekans [ rad/s ]
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] High-pass filtre yapısı 30 W s k s n d 0 10 d n 0-10 k :1 10-0 -30 10-1 10 0 10 1 10 10 3 10 4 Frekans [ rad/s ]
Frekans şekillendirme filtrelerinin yapısı Gain [db] High-pass filtre yapısı 50 s n W k s d 40 30 0 d n 10 0 d 1-10 10-10 -1 10 0 10 1 10 10 3 Frekans [ rad/s ]
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı Kapalı çevrim sistemin LF gösterimi z y w G(s) u w: üm dış girişler u : Kontrol girişleri z : Kontrol edilen değişkenler y : Ölçülen değişkenler K(s) Geri besleme kontrol sistemi LF yapısında düzenlenebilir. -LF yapısı robust kontrol analizi ve dizaynı için blok diyagramlarını standartlaştıran bir yapıdır. - Dış girişlerden kontrol edilen değişkene transfer fonksiyonu F ( G, K) olarak elde edilebilir. F ( G, K) G G K( I G K) G l 1 11 1 1 l z w Gs () y u G11 ( s) G1 ( s) Gs () G1( s) G ( s)
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı LF yapısına getiriniz(g sistem matrisini bulunuz). Fl ( G, K) bulunuz. W1 z e w Pu z W e z W w W Pu 1 1 1 w - e K u P z W1 W1P w z G11 G1 w e 1 P u e G1 G u G Sistemde z ve e çıkış, w ve u giriş olarak alınmakta ve standart yapıya getirilmektedir.. F ( G, K) G G K( I G K) G l 1 11 1 1 W W P K I P K 1 1 ( 1 ) ( ( ) ) 1 PK W1 W1 (1 ) 1 PK 1 PK w u G K z e
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı Geri beslemeli bir sistemi düşünelim. Bu sistemde d bozucu etkileri n sensör gürültüsünü göstersin. Bu sistemi LF formunda harici girişler ( dn, ) ve kontrol edilen çıkışlar ( y, u ) olmak üzere z F ( G, K) w şeklinde yazınız. f l u f W 1 d e + + K u F P + n + W y y W P( d u) u f W u 1 e F( P( d u) n) y W Pd W Pu u f W u 1 e FPd FPu Fn
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı y W Pd W Pu u f W u 1 e FPd FPu Fn w u G z y y WP 0 WP d u 0 0 W n f 1 e FP F FP u K y d z, w şeklinde alırsak u f n z w G z Fl ( G, K) w e u WP 0 WP, 11 G1 0 0 W 1 G FP F, G [ FP] G 1
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı Ödev LF yapısına getiriniz(g sistem matrisini bulunuz). Fl ( G, K) bulunuz. W1 z1 w - e K u P W z
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı Alt ve üst LF nin birleştirildiği yapı şekilde gösterilmiştir. P nin sistemi K nin kontrolörü temsil ettiği geri besleme sisteminde bu yapı tüm girişlerden tüm çıkışlara olan ilişkiyi vermektedir. z P11 P1 w y P1 P u u K11 K1 y r K1 K v y ve u elimine edilirse z w Cl ( P, K) r v yapısı elde edilir.
Geri Besleme Kontrol Sisteminin LF Yapısı y P w P u 1 u K y K v u K ( P w P u) K v 11 1 11 1 1 z P w P u 11 1 P w P 11 1 [( I K P ) K P w ( I K P ) K v] 1 1 11 11 1 11 1 ( P P ( I K P ) K P ) w P ( I K P ) K v 1 1 11 1 11 11 1 1 11 1 Fl ( P, K 11 u( I K P ) K P w K v ) 11 11 1 u ( I K P ) K P w ( I K P ) K v 1 1 1 11 11 1 11 1 y P w P u y P w P ( K y K v) r K y K v K 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 11 1 ( I P K ) y P w P K v 11 1 1 y ( I P K ) P w ( I P K ) P K v 1 1 11 1 11 1 [( I P K ) P w ( I P K ) P K v] K v K ( I P K ) P w ( K ( I P K ) P K K ) v 1 1 11 1 1 11 1 z w Cl ( P, K) r v yapısı elde edilir. Burada Fl ( P, K11) P1SK1 Cl ( P, K) K SP K K P SK S ( I P K ) 11 S ( I K P ) 11 1 1 1 1 1 1