Teoem kan tlamak zodu da matematiksel bi tan m bulmak kimileyin daha da zodu. Bu yaz da bi aç n n ölçüsünün matematiksel tan m n veece iz. Deece ya da adyan, hangi biim cinsinden yaz l sa yaz ls n, uygulamada bi gönyeyle ölçülen aç y bu yaz da kuamsal olaak tan mlay p nas l hesapland n gösteece iz. Ben bi aç n n ölçüsünün ne demek oldu unu zaten biliyoum, ohooo biz ne aç la ölçtük! diyenle bu yaz y özellikle okusunla, çünkü bu yaz Bu aç kaç deecedi? Bu aç n n - öne in - 34 deece olmas özellikle onla için kaleme al nm flt. ne demekti? Soaca m z sou ve dile getiece imiz soun Eski Yunanl la n ak lla n n ucundan bile geçmezdi. Matematik bugünkü kada matematiksel de ildi o zamanla. Eski Yunanl la olsa olsa 80 deeceyi tan mlala, ad ndan veilen bi aç n n 80 deecelik aç y böldü ü oana (oan ne demekse!) göe o aç n n ölçüsünü tan mlayabililedi. fiunu da hemen belitelim ki, bi aç n n ölçüsünü tan mlaman n tek yolu buada sunaca m z yöntem de ildi. Bi baflka say m zda, belki de bi sonakinde (kimbili!) ayn kavam güç seileiyle (bkz. MD-004-II, sayfa 3-38) tan mlayaca z. O B Aç. Önce konumumuzu belileyelim. Bildi imiz R Öklid düzlemindeyiz. Aç la m z da bu düzlemde ye alacak. Konumumuzu beliledikten sona aç y tan mlayal m: Bi aç y, yandaki flekildeki gibi, düzlemde belli bi s ayla al nm fl üç nokta olaak tan mlayabiliiz. E e s al noktala (s as yla) A, O ve B ise, aç ya AOB ad n veece iz. Yaln z iki tane AOB aç s oldu una dikkatinizi çekeim: Saat yönüne giden ve tes yöne giden. Biz hep saat yönüne giden aç y alaca z. Matematik Dünyas, 004 K fl Aç ve Uzunluk Ölçmek ve π Say s A A, O ve B noktala yla veilmifl AOB aç s * stanbul Bilgi Ünivesitesi ö etim üyesi. Ali Nesin* anesin@bilgi.edu.t Aç y böylece tan mlad ktan sona, veilmifl bi aç y ölçelim... Öne in yukadaki flekilde veilen aç y ölçelim, yani m(aob) yi bulal m. Hay yanl fl söyledim... Ölçmeyelim (biz mühendis miyiz!), sadece o aç n n ölçüsünü tan mlayal m, tan mlayal m ki isteyen ölçebilsin... 80 ve 0 Deecelik Aç la. Baz aç la n kaç deece oldukla n bulmak kolayd. Öne in e e A, O ve B noktala do usalsa, AOB aç s ya 80 ya da 0 deecedi, O noktas n n A ve B noktala n n aas nda olup ol- 80 deecelik AOB aç s A O B mamas na göe de ifli. Neden böyledi? Tan mdan dolay! 0 ve 0 deecelik AOB aç s O A B 80 deecelik aç la böyle tan mlanm flt. Biz de bu tan m kabul edelim. 90 Deecelik Aç. fiimdi de 90 deecelik aç y, yani dik aç y tan mlayal m. 90 deecelik aç y da tan mlamak o kada zo de ildi ama çok da kolay de ildi. Bi noktadan bi do uya dik ineim, olu bite geçeli de ildi, çünkü 90 deeceyi tan mlamadan dik inme nin ne demek oldu u belli de ildi. flte böyle yapa m diye elle göstemek de olmaz. 80 deecelik aç y tam otadan ikiye böleim yan t do u yan ta daha yak nd, ama bu da mu lak bi tan md. 90 deecelik aç n n ne demek oldu unu ben zaten biliyoum; neden bildi im bi fleye kafa patlatay m diyenle bu deginin kapa n bi daha açmamak üzee kapats nla; gönüllei ahat olsun: ne kaybettikleini hiçbi zaman bilemeyeceklei gibi bunun eksikli ini de duymayacaklad. Sonuç olaak milyalaca insan bi aç n n ölçüsünün ne demek oldu unu bilmeden yaflay p gidiyo. Geçen say m zda Hilbet in buldu u Öklid geometisinin aksiyomla n vemifltik. Bunla belli bi say dayd, tam 0 tane... Bu 0 aksiyomu vemeden önce Hilbet in kabul etti i tan ms z teimlein listesini vemifltik. Bunladan bii de efllik ad veilen bi teimdi. ki aç eflti sözü iki aç n n ölçülei eflit-
ti anlam na ama tan ms z olaak kullan lm flt. Bi aç n n kaç deece oldu unun ne demek oldu unu (flimdilik) bilmesek de, iki aç n n ölçüleinin eflit olup olmad n (flimdilik) bildi imizi vasayal m. Elimizde bu efllik kavam yla 90 deeceyi tan mlayabiliiz. Bunu geçen say m zda flöyle yapm flt k (sayfa 77): A-O-B iliflkisini sa layan üç nokta alal m, yani O noktas A ve B noktala n n aas nda olsun. C, AB do usu üstünde olmayan bi nokta olsun. E e C AOC ve COB aç - dik aç la eflse, bu aç la n he biine dik dik aç A O B aç deni. Buadaki aas ndal k Gösel dikli in matematiksel hiçbi anlam olmad ndan dik aç la teimi de Hilbet in kabul etti i özellikle dik çizmedik. tan ms z teimleden biidi, bi nokta di e iki noktan n aas ndad anlam nda kullan l. Dik aç n n ölçüsüne 90 deece deni. Tabii sadece 90 deecenin tan m n vemek yetmez, bi de ay ca ölçüsü 90 deece olan bi aç n n oldu unu kan tlamak geeki. Konumuz bu olmad ndan böyle bi kan ta giiflmeyece iz. Aç y kiye Bölmek. Dik aç n n tan m ndaki yöntemden esinleneek, hehangi bi aç veilmiflse, bu aç n n ya s da tan mlanabili, hatta pegel ve O B A OAB aç s n ikiye bölmek (çentiksiz) cetvel yad m yla yandaki flekilde göüldü ü gibi infla edilebili, yani ölçüsü α olan bi aç dan haeketle ölçüsü α/ olan bi aç infla edilebili. Dolay s yla α deecelik bi aç tan mlanm flsa, α/ deecelik aç da oldukça somut biçimde tan mlanabili. Buada bi paagaf aç p hehangi bi aç n n pegel ve çentiksiz cetvelle üçe bölünemeyece ini de belitelim. 80 deece gibi baz aç la üçe bölünebili ama he aç, öne in 60 deece üçe bölünemez. Bu, 00 y ldan bei bilinen bi teoemdi. Bi gün MD de kan tla z. Aç la Toplamak. Ay ca e e ölçülei α ve β olan iki aç veilmiflse, ölçüsü α + β olan bi aç n n val da kan tlanabili, hatta böyle bi aç pegel ve çentiksiz cetvel yad m yla kolayl kla çizilebili. Bu O P çizimi okua b ak youz. ki aç y toplamak Yukada aç klad m z geometik yöntemle, 80 deecelik aç dan haeketle, aç la süekli ikiye böleek 90, 45,,5,,5, 5,65 deecelik aç la tan mlanabili. Bunla toplayaak öne in,5 +,5 = 33,75 deecelik aç la da tan mlayabiliiz. Ama bu yöntemle sadece n ve m do al say la için m 80/ n deecelik aç la tan mlanabili. Eflkena üçgenden haeketle 60 deecelik aç y da tan mlayabiliiz. Dolay s yla 30, 5, 7,5 deecelik aç la da tan mlanabili. Bu geometik yöntemle tüm aç la tan mlayamayaca m z hehalde anlafl lm flt. He aç için ay bi tan m vemeye zaman m z n yetmeyece i gibi, bu yöntemle he aç n n tan mlanamayaca da kan tlanabili. Öne in /3 deecelik bi aç nas l tan mlan? Ya da bi aç n n ölçüsünün /3 deece oldu unu nas l anla z? Daha da basit bi sou: deecelik aç ne demekti? flte bu yaz da bi aç n n ölçüsünü matematiksel olaak tan mlayaca z. Pi Say s ve Radyan. Aç la m z deece cinsinden de il de adyan cinsinden tan mlayaca z. Hat latal m: 80 deece π adyana eflitti ve daha genel olaak α deece απ/80 adyana eflitti. Yukada π den bahsetti imize bakmay n, bu yaz da π say s n da tan mlayaca z. Ama tan ma giden yolu anlamak için en az ndan bafllang çta π say s n n anlam n bildi inizi vasayaca z. Daha sona, biçimsel matematik yapt m zda π yi matematiksel olaak tan mlayaca z. Hatta π nin 4 ten küçük bi say oldu unu bile kan tlayaca z! (Siz hiç okulda bu ya da buna benze bi eflitsizli in kan t n gödünüz mü! Okullada π, 3,4 gibi bi say olaak belletili genç dima laa! Ama Matematik Dünyas sayesinde gençleimiz at k geçe e ulafl yola...) Fiki. Bi aç n n ölçüsünü nas l tan mlayaca - m z anlatal m. Aç n n ölçüsünü tan mlamak için düzlemdeki e ilein uzunlu unu tan mlamam z geekti ini göece iz. Bilindi i üzee ya çapl bi çembein uzunlu u π di. E e ya çap ise, yani = ise, ki o zaman çembee biim çembe deni, o zaman çembein uzunlu u π olu. (Bi sonaki sayfadaki ilk flekil). Demek ki π adyan için π lik bi çembe uzunlu u bulduk. O zaman adyanl k bi aç yla s n lanan biim çembe paças n n uzunlu u da biim olu. (π adyan için π biim uzunluk elde
π adyan π adyanl k (yani 360 deecelik) bi aç için biim çembein uzunlu u π biimdi. ad. π biim biim adyanl k (yani 360/π deecelik) bi aç için biim çembe paças n n uzunlu u biimdi. α biim α ad. α adyanl k (yani 360α/π deecelik) bi aç için biim çembe paças n n uzunlu u α biimdi. etmiflsek, adyan için biim uzunluk elde edeiz; π lik uzunlu u π adyana bölün. Soldaki ikinci flekil). Dolay s yla α adyanl k bi aç yla s n lanan biim çembe paças - n n uzunlu u α biim olu. ( adyan için biim uzunluk elde etmiflsek, α adyan için α biim uzunluk elde edeiz. Soldaki üçüncü flekil). Göüldü ü gibi, biim çembe üstünde, aç n n ölçüsüyle aç n n beliledi i çembe uzunlu u (he ne kada bii adyan di ei biim uzakl k cinsinden olsa da) bibiine eflit ç k - yo... Dolay s yla e e bi çembe paças n n uzunlu- unu tan mlayabilisek, o zaman aç n n ölçüsünü de tan mlayabiliiz. Bundan böyle amac m z bi çembe paças n n uzunlu unu hesaplamak. Elbette ip gibi matemati- e yabanc maddele kullanamay z. Çembe. Önce çembein tan m n yapal m. Çembe, hekesin bildi i üzee, mekez ad veilen bi noktaya eflit uzakl kta olan noktala kümesidi. Gene hekesin bildi i üzee çembein noktala n n mekeze olan sabit uzakl na ya çap deni. Mekezi (a, b) noktas nda, biim ya çapl bi çembein denklemi, (x a) + (y b) = y b (x, y) y b (a, b) x a Gi dik üçgene Tales Teoemi ni uygulasak (x a) + (y b) = buluuz. a x di. Bu, Tales Teoemi nden hemen ç ka. E e mekez (0, 0) noktas ve ya çap biim ise, bu denklem, x + y = biçimini al elbette. Bi de ay ca e e çembein üst taaf ndaysak, o zaman y yi x cinsinden yazabiliiz: ƒ ( x) = x. Böylece y, x in bi fonksiyonu olu, yani he x için x + y = eflitli ini sa layan bi ve bi tek y pozitif say s vad. Afla da bu fonksiyonun gafi ini çizdik. Fonksiyon sadece le aas ndaki say la için tan mlanm flt (yoksa x negatif bi say olu ve kaekökü al namaz.) Bu fonksiyonun gafi- inin bi paças n n uzunlu unu tan mlay p hesaplamam z geekiyo. E e bunu yapabilisek, sadece ya m çembe de il, tam çembe üstündeki bütün yayla n uzunlu unu hesaplayabiliiz. x ƒ(x) = x fonksiyonun gafi i y (x, y) : y = x a b hesaplamam z geeken uzunluk y = ƒ(x) = x Bi Foksiyonun Gafi inin Uzunlu u Sousu. ƒ, [a, b] aal ndan geçel say la kümesi R ye giden bi fonksiyon olsun. Yukadaki duumda y = x. Amac m z ƒ nin gafi inin uzunlu unu hesaplamak. Bi fonksiyonun gafi i, asl nda R düzleminde çizilmifl bi e i di. (E inin matematiksel tan m n biazdan veece- iz. Bi e i kendi üstünden geçebili ya da gei gelebili ama bi fonksiyonun gafi i bu tü cilvele yapamaz. Bkz. bi sonaki sayfadaki flekil.) Bi fonksiyonun gafi inin uzunlu unu bulaca- m za bi e inin uzunlu unu bulusak daha genel bi fley yapm fl oluuz. E inin matematiksel tan m flöyle: R de bi e i belli bi [a, b] kapal aal ndan R ye giden bi γ fonksiyonu ya da böyle bi γ fonksiyonunun R deki γ([a, b]) imgesidi. (Genellikle e iyi veen fonksiyonun süekli oldu u vasay l ama bizim böyle bi koflulumuz olmayacak.) E e ƒ, belli bi [a, b] kapal aal ndan R ye giden bi fonksiyonsa, ƒ nin gafi ini, bi x say s - n R nin γ(x) = (x, ƒ(x)) noktas na götüen bi e - a Hesaplamam z geeken uzunluk b y = ƒ(x) 3
b tan mlamam z geeken uzunluk w γ(v) γ(u) v γ(s) u γ t γ(t) γ(w) s a Bi γ e isi. [a, b] aal n n he say s belli bi zaman olaak alg lanabili. O zaman γ e isini dan ye giden bi paçac n yolu olaak youmlayabiliiz. i olaak göebiliiz. Dolay s yla he fonksiyon gafi i bi e idi, ama he e i R den R ye giden bi fonksiyonun gafi i de ildi. Bi fonksiyonun gafi i Bi e inin uzunluolmayan iki e i unu ölçece iz. Ama nas l? Uzunluk hesaplamak istiyouz ama uzunluk denen fley nedi? Önce uzunlu u tan mlamam z geekiyo. Üstelik hehangi bi fleyin de il, çok kamafl k olabilecek bi e inin uzunlu unu tan mlamal y z. ki Nokta Aas ndaki Mesafe. Bi e inin uzunlu unu tan mlamadan önce iki nokta aas ndaki mesafeyi tan mlayal m. Bu, çok çok önemli. ki nokta aas ndaki mesafe tan mlanmadan daha ilei gidemeyiz. Düzlemde hehangi iki A ve B noktas veilmifl olsun. A noktas n n koodinatla (a, a ), B noktas n n koodinatla (b, b ) olsun. fiimdi, A ile B aas ndaki mesafeyi d( A, B) = ( b a) + ( b a) olaak tan mlayal m. Buna Öklid mesafesi deni. Öklid mesafesinin kolayca kan tlanabilecek flu özelliklei vad : He A, B ve C noktala için d (A, B) negatif olmayan bi geçel say d, d (A, B), ancak ve ancak A = B ise 0 olabili, d (A, B) = d (B, A), d (A, B) d (A, C) + d (C, B). Bu döt özelli i sa layan bi d fonksiyonuna mesafe fonksiyonu deni ve d (A, B) say s A ve B noktala n n mesafesi olaak tan mlan. Biinci özellik mesafenin en az 0 oldu unu söyle, yani iki nokta aas ndaki mesafe negatif olamaz. kinci özellik, bi noktan n kendisine olan mesafesinin 0 oldu unu ve En Küçük Üsts n A, geçel say la kümesi R nin bofl olmayan bi altkümesi olsun. E e bi geçel say s A daki he say dan büyükeflitse, ye A n n üsts n deni. Öne in 5, (0, ) aç k aal n n bi üsts n - d. Öte yandan Z altkümesinin üsts n yoktu. Üsts n olan kümelee üstten s n l küme deni. E e, A kümesi A n n üsts n la A n n bi üsts n ysa, R den büyük he say da A n n bi üsts n d elbette. A, R nin üstten s n l ve bofl olmayan bi altkümesiyse, o zaman A n n üsts n la n n en küçü ü vad. Bu sonuç geçel say la n tan - m ndan kaynaklan ve bi baflka say m z n kapak konusu olacakt. Bi A kümesinin en küçük üsts n (vasa) bi tanedi ve bu say sup A olaak gösteili. Öne in say - A n n en küçük üsts n : sup A s (0, ) aç k A kümesi A n n üsts n la aal n n en küçük üsts - R n d ; ayn zamanda [0, ] kümesinin de en küçük üsts n - d. Göüldü ü gibi bi A kümesinin en küçük üsts n A da olabili de olmayabili de. Yukadaki tan mdan flu ç k yo: ) He a A için, a sup A, ve ) sup A bu özelli i sa layan say la n en küçü ü. E e bofl olmayan A kümesinin en küçük üsts n yoksa sup A = olaak tan mlanabili. Önsav. A ve B geçel say kümelei için, A + B = {a + b : a A, b B} ise, o zaman sup(a + B) = sup A + sup B eflitli i geçelidi. Kan t: α = sup A, β = sup B, χ = sup(a+b) olsun. α + β, elbette A + B kümesinin he say s ndan büyükeflit, yani α + β, A + B nin bi üsts n -, dolay s yla A + B nin en küçük üsts n olan χ den büyükeflit. E e χ < α + β ise, o zaman α (α+β χ)/ < α oldu undan, α (α+β χ)/, A n n bi üsts n de ildi, demek ki A da α (α+β χ)/ < a eflitsizli ini sa layan bi a vad. Ayn biçimde B de β (α+β χ)/ < b eflitsizli ini sa layan bi b vad. ki eflitsizli i altalta yaz p toplasak, χ < a + b A + B buluuz, bi çeliflki. Demek ki χ = α + β. 4
A(0, 0) B(3, 4) d (A, B) = (3 0) + (4 0) = 5 d (A, B) = 3 0 + 4 0 = 7 d (A, B) = max{ 3 0, 4 0 } = 4 bu özellikte bi baflka noktan n olmad n söyle. Üçüncü özellik, A yla B aas ndaki mesafenin B yle A aas ndaki mesafeye eflit oldu unu söyle, yani mesafe simetikti de. (Bu özellik tek yönlü yolla olan tafikte geçeli de ildi.) Dödüncü özellik, A dan B ye gitmek için C den geçmek geekiyosa yolun k salamayaca n söyle; bu son özelli e üçgen eflitsizli i deni. Yukadaki döt öneme aas nda, kan t nda biazc k zolanabilinecek bi tek bu eflitsizlikti. Bunu da MD-003-xx, sayfa xx ve MD-003-xx, sayfa xx te kan tlam flt k. R düzleminde baflka mesafe fonksiyonla da vad. flte bunladan ikisi: A ve B noktala n n koodinatla biaz önceki gibi (a, a ) ve (b, b ) olsun. fiu fonksiyonla tan mlayal m: d (A, B) = a b + a b, d (A, B) = max{ a b, a b }. Hem d hem d yukadaki döt özelli i sa la, yani he ikisi de bie mesafe fonksiyonudu. Yandaki önekte göülece i üzee, tan mlanan bu üç d, d ve d mesafe fonksiyonla genellikle de iflik sonuçla veile. d ye Öklid mesafesi deni. d e bazen New Yok mesafesi deni, çünkü bi zgaay and an New Yok sokakla nda bi noktadan bi baflka noktaya ancak Do u-bat ve Kuzey-Güney istikametleinden yüüyeek gidili genellikle ve böylece iki nokta aas ndaki en k sa mesafe bu iki noktan n d mesafesi olu. Yukadaki üç mesafenin otak bi özelli i vad : E e C noktas A ve B noktala aas ndaysa, o zaman d(a, B) = d(a, C) + d(c, B) eflitli i geçelidi. Bu özellik he mesafe taaf ndan sa lanmaz. Öne- in, d(a, B) = min {, d (A, B)} bi mesafedi ve bu eflitli i sa lamaz. Bu eflitli i sa layan mesafelee do usal mesafe diyelim. Bi Daha Çembe. Kabul etti imiz mesafe fonksiyonuna göe çembe de ifli. Bunu gömek için çembein tan m na gei dönelim: Bi O noktas ve bi geçel say s veilmifl olsun; O noktas na mesafesi olan noktala kümesine çembe deni, yani, çembe {P : d(p, O) = } biçiminde bi kümedi. O noktas na çembein mekezi, say s na çembein ya çap deni. E e < 0 ise çembe boflkümedi elbet. E e = 0 ise çembe sadece mekezden oluflu. Ama e e > 0 ise, tan mdan göüldü ü üzee, çembe kümesi, kabul edilen d mesafesine göe de ifli. E e d mesafesi olaak d Öklid mesafesini al sak, bildi imiz çembei buluuz. Ama mesafe olaak d i, d u ya da bi baflka d yi al sak çembe olaak bi baflka küme buluuz. Afla daki gi alanda d, d ve d mesafe fonksiyonla için bu çembelei çizdik. Biz Öklid geometisinde çal flt m zdan d Öklid mesafesini kabul edece iz. Ama yapt kla m z olabildi ince genel tutmak için d yeine ad na d diyece imiz hehangi bi mesafeyi kullanaca z. Bi E inin Gafi inin Uzunlu u. γ, belli bi [a, b] aal nde tan mlanm fl bi e i olsun. γ n n uzunlu- unu tan mlayaca z ve geekti inde de ölçebilece- iz. Sezgisel olaak bildi imiz bu uzunluk kavam n matematiksel olaak tan mlayaca z. Tan ma giden yolun önünü açmak için he zaman oldu u gibi önce biaz sohbet edelim. P(x, y) P(x, y) P(x, y) O(a, b) O(a, b) O(a, b) d mesafesinde (a, b) mekezli > 0 ya çapl çembe: {(x, y) R : d ((a, b), (x, y)) = } = {(x, y) R : (x a) + (y b) = } = {(x, y) R : (x a) + (y b) = }. d mesafesinde (a, b) mekezli > 0 ya çapl çembe: {(x, y) R : d ((a, b), (x, y)) = } = {(x, y) R : x a + y b = }. 5 d mesafesinde (a, b) mekezli > 0 ya çapl çembe: {(x, y) R : d ((a, b), (x, y)) = } = {(x, y) R : max{ x a, y b } = }.
a = t 0 t t... t n = b biçiminde bi sonlu diziye [a, b] kapal aal n n paçalan fl ad n veelim. fiimdi afla daki flekle ve flekildeki kiiflleden oluflan poligonal yola bakal m. d(t 0, t ) γ(t 5 ) d(t 0, t ) d(t 0, t ) γ(t γ(t 0 ) ) γ(t ) γ(t 6 ) d(t 0, t ) γ(t 5 ) d(t 0, t ) γ(t 4 ) tan mlamam z geeken uzunluk γ(t ) γ(t 4 ) γ(t ) γ(t 3 ) γ(t 3 ) d(t 0, t ) [a, b] aal n ne kada ince do asak, yani paçalan fl m z ne kada ince yse poligonal yolla γ e isi o kada bibiine benze ve o kada uzunlukla bibiine yak n olu. (Elbet buada sezgisel konufluyouz, sohbet aflamas nday z, henüz ciddi matematik yapmaya bafllamad k.) Poligonal yolun uzunlu unu kiifllein uzunlukla n n toplam olaak tan mlamak hehalde iflin en do al ve en do usu. He kiiflin uzunlu unun d(γ(t i ), γ(t i+ )) olmas n istemek de bi o kada do- al. (Biazdan, uzunluk kavam n matematiksel olaak tan mlad m zda, d(γ(t i ), γ(t i+ )) say s n n geçekten γ(t i )γ(t i+ ) kiiflinin uzunlu u oldu unu göece iz.) E e P = (a = t 0 t t... t n = b), [a, b] kapal aal n n bi paçalan fl ysa, l P (γ) say s n, d(γ(t 0 ) γ(t )) +... + d(γ(t n ), γ(t n )) toplam olaak tan mlayal m. l P (γ) say s n, dahaca tan mlamad m z γ e isinin uzunlu una oldukça yak n bi say olaak alg layabiliiz. Nitekim sezgimiz bize P paçalan fl ne kada inceyse, l P (γ) say - s n n γ n n uzunlu una o kada yak n oldu unu söylüyo. Dolay s yla γ e isinin uzunlu unu bütün bu l P (γ) say la n n en küçük üsts n (bkz. bi önceki sayfadaki gi alan) olaak tan mlayal m ve bu uzunlu a γ diyelim: γ = sup{l P (γ) : P, [a, b] nin bi paçalan fl }. Yani, [a, b] aal n n he P paçalan fl için, γ l P (γ) ve γ bu özelli i sa layan en küçük geçel say. E inin uzunlu u = γ = sup{l P (γ) : P, [a, b] nin bi paçalan fl } Bu aada γ say s n n (uzunlu unun) d mesafe fonksiyonuna göe de iflti ini de dikkat çekelim. Ama bakal m γ diye bi say va m geçekten, yani {l P (γ) : P, [a, b] nin bi paçalan fl } kümesinin en küçük üsts n va m? Böyle bi üsts n vasa o zaman üsts n la n en küçü ü vad. Böyle bi üsts n olmas için, bu kümenin üstten s - n l olmas geeki. Ne yaz k ki bu küme he γ e isi için üstten s n l de ildi (γ süekli olsa bile.) Bunu afla daki ikinci önekte göece iz. Önek. Bi do u paças (dümdüz!) bi e idi. E e do u paças dikey de ilse, do u paças n, m ve c sabitlei için, γ(x) = (x, mx + c) e isi olaak göebiliiz. Buada x, belli bi [a, b] kapal aal nda de iflmektedi. A(a, ma + c) a γ = d (A, B) Mesafe fonksiyonumuz al fl k oldu umuz d Öklid mesafesi gibi do usal bi mesafe olsun. Kolayca göülece i üzee, [a, b] kapal aal n n paçalan fl ne olusa olsun, d mesafesi do usal oldu undan, l P (γ) say s (a, ma + c) ile (b, mb + c) noktala aas ndaki mesafesidi, dolay s yla bunla n en küçük üsts n da bu mesafedi, yani, γ = ( b a) + (( mb+ c) ( ma+ c)) = ( b a) + m di. Bunun kan t kolayd ve okua b ak lm flt. 6 b B(b, mb + c)
Do u paças dikey olsayd da ayn yan t bulacakt k: Bi do u paças n n Öklid uzunlu u uç noktala n n Öklid mesafesine eflitti. Önek. Bu sefe Öklid mesafesini alal m. a 0 = b 0 = 0 olsun ve n için, a n = / + / +... + / n b n = / /3 +... + ( ) n /n olsun. Hem (a n ) n hem (b n ) n dizisinin n sonsuza gideken limiti vad ve bu limitle s as yla ve yaklafl k 0,30683 d (tam olaak ln di), yani n sonsuza gideken a n say la e, b n say la ad na b diyece imiz bi say ya yak nsala. γ e isi, afla daki flekildeki oldu u gibi, (a n, b n ) noktas n (a n+, b n+ ) noktas na bilefltisin; bi de ay ca γ() = (, b) olsun. O zaman γ, [0, ] kapal aal - ndan R ye giden (süekli) bi e idi. / / /3+/4 b = ln / /3+/4 /5 / /3 0 0 y = ƒ(x) / 3/4 7/8 (a n, b n ) noktas yla (a n+, b n+ ) noktas n bilefltien do unun uzunlu u bi önceki önekte gödü ümüz gibi bu iki nokta aas ndaki Öklid mesafesidi, demek ki b n+ b n den, yani /n den büyüktü. Bundan kolayl kla (Önsav ) γ / + /3 + /4 +... eflitsizli i ç ka. Ama sa daki toplam sonsuzdu (afla daki gi kae), demek ki bu duumda γ bi say de il, sonsuz, yani. / + /3 + /4 +... Toplam / / /3 + /4 /4 + /4 = / /5 + /6 + /7 + /8 /8 +... + /8 = / /9 +... + /6 /6 +... + /6 = / eflitsizlikleinden ve benzeleinden, / + /3 + /4 +... seisinin hiç dumadan büyüdü ü, yani sonsuza gitti i anlafl l. Göüldü ü gibi bi e inin (süekli bile olsa) Öklid uzunlu u sonsuz olabiliyo. Öklid uzunlu u sonlu olan e ilee do ultulabili e ile deni. ngilizcesi ectifiable. Ço u zaman do ultulabili fonksiyonun bi de ay ca süekli olmas isteni. Önsav. E e [a, b] aal n n Q paçalan fl P paçalan fl n içeiyosa o zaman l P (γ) l Q (γ). Kan t: Tümeva mla kan ttan haeketle, Q paçalan fl n n P paçalan fl na bi nokta ekleneek elde edildi ini vasayabiliiz, yani, P = (a = t 0 t t... t n = b) ise, Q paçalan fl n n, belli bi i = 0,,..., n için, (a = t 0 t... t i c t i+... t n = b) biçiminde oldu unu vasayabiliiz. O zaman l Q (γ) toplam, l P (γ) toplam nda d(γ(t i ), γ(t i+ )) teimi yeine, d(γ(t i ), γ(c)) + d(γ(c), γ(t i+ )) teimi konulaak elde edilmiflti. Ama üçgen eflitsizli inden dolay d(γ(t i ), γ(c)) + d(γ(c), γ(t i+ )) d(γ(t i ), γ(t i+ )). Bu da eflitsizli i kan tla. Önsav. a < b < c olsun. γ, [a, c] aal nda tan mlanm fl bi e i olsun. α ve β e ilei γ e isinin s as yla [a, b] ve [b, c] aal kla na tekabül eden k s mla olsunla. O zaman γ n n do ultulabilimesi için yete ve geek koflul α ve β n n do ultulabili olmas d. Bu duumda ay ca γ = α + β eflitli i geçelidi. γ(c) α β dan ye kada olan e i α, dan γ(c) ye kada olan e i β. dan γ(c) ye kada olan e i γ. Kan t: Önce γ n n do ultulabili oldu unu vasayal m. P ve Q s as yla [a, b] ve [b, c] aal kla n n bi paçalan fl olsun. O zaman P Q bileflimi [a, c] aal n n bi paçalan fl d. Ay ca tan mdan da hemen anlafl laca üzee, l P Q (γ) = l P (α) + l Q (β). Demek ki, γ l P Q (γ) = l P (α) + l Q (β) l P (α). Bundan, l P (α) say la n n üstten s n l oldu u ç - ka, yani α say s vad. Ayn flekilde β say s da vad. α ve β e ileinin do ultulabili oldukla - n kan tlad k. Ay ca yukada kan tlad m z γ l P (α) + l Q (β) eflitsizli i he P ve Q için geçeli oldu undan, sayfa xx teki gi alanda kan tlanan önsava göe, γ α + β. 7
fiimdi α ve β e ileinin do ultulabili oldukla n vasayal m. P, [a, c] aal n n hehangi bi paçalan fl olsun. Q, P ye b noktas ekleneek elde edilmifl paçalan fl olsun. Q paçalan fl n, b den küçükeflit ve büyükeflit olanla olmak üzee ikiye ay aak [a, b] ve [b, c] aal kla n n R ve S paçalan flla n elde edelim. O zaman Önsav e ve e inin uzunlu u tan m na göe, l P (γ) l Q (γ) = l R (α) + l S (β) α + β. Dolay s yla l P (γ) say la α + β taaf ndan üstten s n lan yo. Bundan da γ n n do ultulabili oldu- u ve γ α + β eflitsizli i ç ka. C D C D / / C D C D Önsav 3. E e γ e isi do ultulabilise ve α γ ise α da do ultulabili ve α γ d. Kan t: α n n tan m kümesinin he P paçalan - fl na en fazla iki nokta ekleyeek (γ n n uç noktala n ), P yi γ n n bi paçalan fl na dönüfltüebiliiz. Vasay mdan dolay P nin α ya yaatt he kiifl, γ n n da bi kiiflidi. Dolay s yla, l P (α) γ. Bu eflitsizlik he P için geçeli oldu undan, α γ. Son Olaak Çembe. fiimdi çembein üst k sm - n veen γ( x) = x, x e isinin [, ] aal nda Öklid mesafesine göe do ultulabili oldu unu kan tlayal m. Buada Öklid mesafesini kullanaca z. P, [, ] aal n n hehangi bi paçalan fl olsun. l P (γ) 4 eflitsizli ini kan tlayaca z. Bunun için ya çembei yandaki flekildeki gibi [, ] [0, ] kutusuna sokal m. l P (γ) 4 eflitsizli inin sa ndaki 4, dikdötgenin sa, sol ve üst kenala n n uzunlukla n n toplam oldu- una dikkatinizi çekeim. P paçalan fl na / ve / say la n da ekleyeek daha ince olan Q paçalan fl - / / n elde edelim. l P (γ) l Q (γ) eflitsizli inden dolay, l Q (γ) 4 eflitsizli ini kan tlamak yeteli. Q paçalan fl n beliledi i hehangi bi CD kiiflini ele alal m. Bulundu u yee ba l olaak, CD kiiflini, afla daki flekilde göüldü ü gibi, dikdötgenin üç kena ndan biine O mekezli bi homotesiyle C D do u paças na tafl yal m. CD do u paças n n uzunlu unun C D do u / / paças n n uzunlu undan küçükeflit oldu unu kan tlayaca z. Bundan da istedi imiz sonuç ç kacak, çünkü dikdötgenin sol, sa ve üst kenala n n uzunlukla n n toplam 4. Yukadaki ikinci flekli C afla daki gibi büyütelim. E, CD nin ota noktas olsun. Bu noktadan CD ye C C E EE dik do usunu ç kal m. EC, D C do usuna paalel olsun. Öklid geometisiyle kolayca kan tlanaca E D üzee CE < C E < C E. Demek ki CD < C D. D Böylece l P (γ) 4 eflitsizli ini kan tlam fl olduk, yani biim çembein ya s n n uzunlu u vad. Bu say ya π ad n veelim. At k π nin 4 ten küçük bi say oldu unu biliyouz. Al flt mala. Biim çembein alt k sm n n uzunlu unun da π oldu unu matematiksel olaak kan tlay n. Önsav ye göe bundan biim çembein uzunlu unun π oldu u ç ka. ya çapl bi çembein uzunlu unun π oldu unu kan tlay n. Önsav 3 ten he çembe paças n n uzunlu u oldu- u ç ka. π > 3 eflitsizli ini kan tlay n. Nihayet! At k bi aç n n ölçüsünü matematiksel olaak tan mlayabiliiz. AOB bi aç olsun. O mekezli biim çembei çizelim. OA ve OB fl nla biim çembei A ve B noktala nda kessin. Biim çembe üzeindeki A B yay n n uzunlu u AOB aç - s n n adyan cinsinden uzunlu u olsun. 8