5 BAİT ŞA ÖREKLEMEİ 5. Artmetk ortalamaı tahm 5... Artmetk ortalamaı varyası 5... Artmetk ortalama ç güve aralığı 5..3. Artmetk ortalamaı tahme örek hacm ve uyarlılık arasıak lşk 5. Toplamı tahm 5... Toplamı varyası 5... Toplam ç güve aralığı 5..3. Toplamı tahme örek hacm ve uyarlılık arasıak lşk 5.3. Oraı tahm 5.3.. Oraı varyasıı 5.3.. Ora ç güve aralığı 5.3.3. Oraı tahme örek hacm ve uyarlılık arasıak lşk Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler
Bu ve bua sorak örekleme yötemler celerke üzere urulacak oktalar sırasıyla;. hag örekleme yötem ç? eçleceğ,. lglele parametreler sırasıyla, populasyo ortalaması, populasyo toplamı ve populasyo oraı tahm ecler bulmak, 3. tahm ecler uyarlılığıı eğerlereblmek amacı le bu tahm ecler staart hatalarıı bulmak, 4. populasyo parametre tahmler ç güve aralıkları oluşturmak. 5. Duyarlılık ve gerekl öreğ hacm bulmak. Uygulamaa bu kc aıma yer alır. Örekleme kuramı solu sayıa populasyo brm çere populasyoa hacml örekler seçme ve seçle öreklere tahmler yapma yötemler celer. Her br öreğ eşt seçlme şasıa sahp oluğu seçme şleme Bast Şas Öreklemes er. Örek eçm Bast Şas ayıları Tablosu E çok kullaıla bast şas sayıları tablosu Keall ve mth Bast Şas ayıları Tablosuur. Öreğ; 300 öğrec oluğuu ve bu öğrecler ortalama ağırlığıı tahm etmek ç 8 kşlk br şas öreğ seçlmek steğ varsayılsı. Öğrecler br lstes yapılmış ve her br öğrecye 00 e 300 e kaar ser umarası verlmş olsu. 300 rakamı üç basamaklı sayı oluğua öce üç kolo kullaılır. Tesaüf sayılar tablosua aşağıak sayılar buluur 3 7 070 09 978 055 433 433 979 89 48 938 65 937 59 389 495 33 76 84 973 367 570 60 3 örek ç aşağıak 8 sayı seçlr: 3, 55, 48, 7, 70, 9, 59, 3 acak yukarıa 5 sayıa saece 8 sayı seçlmş, şas sayılarıı yaklaşık 3 lük br kısmı kaybolmuştur. Buu öleme br yolu seçle umaralara sabt br sayı çıkarmaktır. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler
Örekte 300 sabt sayısı belrler. Şas ayıları abt Çıkarma alıa örek örek o 3 3 055 055 48 48 3 389-300 89 4 973 Atla 7 7 5 433-300 33 6 983 Atla 495-300 95 7 367-300 67 8 Buraa saece 0 sayı seçlerek şas sayıları belrlemştr. 5.. Artmetk Ortalamaı Tahm 5... ı tahmleycs Örek ortalaması, populasyo ortalamasıı sapmasız, tutarlı ve mmum varyaslı tahm ecsr.,,..., hacml populasyo ve,,..., hacml örek olsu; Popülasyo ortalaması : =... Örek ortalaması :... ı populasyo ortalaması ı sapmasız br tahmleycs oluğuu göstermek ç şu şekle fae eleblr: ˆ E( )= ı sapmasız br tahmleycsr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 3 ÖreklemeYötemler
5... Artmetk ortalamaı Varyas Varyası Örekleme teorse varyasıı k alteratf taımı varır: E( ) populasyo varyasıır. İkcs se = ( ) şekle taımlaır ve yere - kullaılır. ı varyası varyası taımlaıkta sora ı varyası aşağıak gb taımlaır. E ( E( )) E( buraa aşağıak faeler sağlaığı görüleblr: ) Aşağıak popülasyoa at varyas taımları esas olarak teork souçları türetmek ç kullaılır. Özellkle varyas aalz le lgl tekklere taımı aha kullaıllıır. Uygulamalara se populasyo varyası yere aha çok buları tahmler ola örek varyasları (s) kullaılır. * * * yere koymaksızı (aesz) örekleme yere koymaksızı (aesz) örekleme yere koyarak (ael) örekleme yere koyarak (ael) örekleme Yukarıak faelere ve populato correcto) olarak alaırılır. Buraa varyas ç solu populasyo üzeltme katsayısı (fpc= fte =-() Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 4 ÖreklemeYötemler
f= örekleme oraı olarak alaırılır., e orala büyük oluğua solu populasyo üzeltme katsayısı e yakısar. f= 0.05 se fpc hmal eleblr. f=, %5 te aha küçük olacak şekle bell br büyüklüğü aştığıa, populasyo hacm staart hatası üzere etks olmayacaktır. Ayrıca ael öreklemee *. Uygulamalara heme heme tüm urumlara yeterce büyüktür ve olayısıyla alıablr ve aesz öreklemee faese ulaşılır. Takp ee araştırmalara bu yaklaşım kullaılacak ve esas olarak kullaılacak k formül aşağıak gb kullaılacaktır. * Yere koymaksızı (aesz) örekleme Yere koyarak (ael) Alıştırma: =, =, 3=3 populasyoua sahp oluuğuu ve = hacml örekler seçlğ varsayılsı. Hesaplamalar şu soucu verecektr. E( ) =3 = ( ) = yı hesaplamak ç M orjal formülü kullaalım. Buraa M, tüm mümkü örek ortalamalarıı M sayısıır. Öce yere koymaksızı (aesz) örekleme urumu celemekter. Örekler Tablo 5. e vermelter. Tablo 5. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 5 ÖreklemeYötemler
M Örekler - ( - ),.5-0.5 0.5,3.0 0 0 3,3.5 0.5 0.5 olayısıyla 0.5 = olur. Teork formülümüze 3 6 3 * = 3 souç ele elr. = ele eerz ve görülüğü gb 6 0.50 olarak ayı 6 İkc olarak yere koyarak (ael) örekleme kkate alımaktaır. Örekler Tablo 5. e verlmekter. M=9 Tablo 5. M Örekler - ( - ),.0 -.0.00,.5-0.5 0.5 3,3.0 0 0 4,.5-0.5 0.5 5,.0 0 0 6,3.5 0.5 0.5 7 3,.0 0 0 8 3,.5 0.5 0.5 9 3,3 3.0.0.00 böylece 3 = 9 3 3 * = * 3 buluruz. 3 ele eerz ve görülüğü gb Buula brlkte uygulamaa geellkle büyük oluğua 3.00 varsayılacaktır. olarak ayı soucu 3 ot: Geellkle yere koyarak örekleme ç ele ele varyas yere koymaa örekleme ç ele ele varyasta aha büyük olur. ot: Geellkle gerçek yaşama örekte ele ele br tahm ecse htyaç uyulur. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 6 ÖreklemeYötemler
ı tahmleycs Gerçek yaşamak uygulamalar ç ye )bağımlı oluğu ç, ı br tahm ecs buluması gerekr., ye (ya a ı sapmasız br tahm ecs bulma problem, (ya a br tahm ecs bulmayı gerektrecektr. sapmasız tahm ecs aha sora br tahm ecs bulmak ç kullaılacak örek varyasıı verecektr. ) ı sapmasız ) Örek varyası Uygulamaa aha çok örek varyası kullaılır bçmer. ) s = > = 0 = populasyo varyasıı sapmasız tahm ecs s, (ve ) sapmasız br tahm ecsr. E(s )= yere koyarak örekleme yapılığıa E(s )= yere koymaksızı örekleme yapılığıa Örekleme geellkle yere koymaksızı yapılığı ç esas olarak kc urum kkate alımaktaır. Buula brlkte, büyük oluğua, -= ve olayısıyla = olacak, böylece olarak eşt olacaktır. ve yaklaşık Alıştırma: Populasyou =3 öğrece oluştuğuu ve = hacml örekler seçlğ varsayalım. Öğrecler $, 3$ ve 4$ paraları olsu. Populasyo varyası E( ) şekle ke örek varyası s = koyarak örekleme yapılığıa sapmasız br tahmr. yere E( ) =3 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 7 ÖreklemeYötemler
M Örekler s =,.0 0.0 =( ) ( ) ( ) 0,3.5 0.5 3,4 3.0.0 4 3,.5 0.5 5 3,3 3.0 0.0 6 3,4 3.5 0.5 7 4, 3.0.0 8 4,3 3.5 0.5 9 4,4 4.0 0.0 ((-) 6.0 E(s ) = s p( s) 0.0 0.5... 0.5 0.0 E(s ) = 9 3 E(s )= olur ve olayısıyla s yere koyarak örekleme yapılığıa sapmasız br tahm ecsr. Alıştırma Yere koymaksızı örekleme yapılığı zama, populasyo varyası = hesaplayalım. ( ) = olarak buluur. Tüm mümkü örekler türetelm ve örekler ç s y M=3 M Örekler s =,3.5 0.5=(,5) (3,5) ( ) 0, 5,4 3.0.0 3 3,4 3.5 0.5 0.5.0 0.5 3.0 Böylece E(s )= 3 3 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 8 ÖreklemeYötemler
Örekleme yere koulmaksızı yapılığı zama E(s )= = r. s, sapmasız br tahm ecsr er. s karekökü s= örek staart sapması olarak alaırılır. s, sapmasız br tahm ecs eğlr. Acak büyük oluğua (>30) sapma küçülecek ve s, tahm ecs olarak kullaılablecektr. ı tahm s kullaılarak kolaylıkla sapmasız br tahm ecs buluablr. Formüllere yere s koyularak aşağıak souçlara ulaşılır. (a) s ˆ * yere koymaksızı s ˆ * yere koyarak s ˆ yere koyarak (a) olu eştlğ sağ tarafıı beklee eğer alıırsa s E( * ) * olur ve böylece zamaa aşağıak otasyo kullaılacaktır: ˆ, sapmasız tahm ecs olur. Ayı s = s s = s * yere koymaksızı yere koyarak Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 9 ÖreklemeYötemler
5... Artmetk ortalama ç güve aralığı Populasyo ortalaması ç güve aralığı z s z s şekle fae elr. Güve aralığı P( -z < < +z )=- şekle fae eleblr. =z uyarlılığı gösterr. Güve aralığıı ele etmek ç ç verle taımı = yı bulmak gereklr. Temel statstkte yere koyarak örekleme r ve ya bağlıır. yı bulmak ç öce taımlamalıır. Alıştırma : Büyük br öğrec grubuu ortalama I.Q. suu tahm etmek ç =00 hacml br örek seçlmş olsu. Örek ortalaması =0 ve s= puaır. ç %99 güvelrlk üzeye (z =3) göre güve aralığıı ele ez. =00, = 0, s =, =3 s = P( z s z s )=%99 s = =. 00 P(06.4< <3.6) = 0,99 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 0 ÖreklemeYötemler
Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler 5..3. Artmetk ortalamaı tahme örek hacm ve uyarlılık Duyarlılık, güvelrlk ve staart hata arasıak temel lşk z z şekler s, ı tahm ecsr. Yere koyarak örekleme ç bu lşk Örekleme yere koulmaksızı yapılığıa solu populasyo üzeltmes gerekl olur ve lşk şu hale gelr: s s. ) ( ele elr. Açıklamalı [l]:
Alıştırma: Çok sayıa büyükbaş hayva buluuğuu ve varyası s =600 olarak tahm elmş oluğuu varsayalım. Büyükbaş hayvaları ortalama ağırlığıı 5br sıırları çe %99 olasılıkla, (=3) olarak tahm etmek styoruz. a) Hag büyüklükte örek seçlmelr? z s 9*600 = 6 5 böylece güve aralığı z s z s s 600 z 3 5 olur 6 Büyükbaş hayvaları ortalama ağırlığı heme %99 güvelrlkle, populasyo ortalamasıı 5br lk sıırları çe olacaktır. b) Toplam büyükbaş hayva sayısı =000 r. olu populasyo üzeltmes kullaılarak örek hacm f= 6 0. 05 000 oluğu ç, ( z s) = 000*9*600 (000*5) (9*600) 95 olarak ele elr. z s =0000 se bu uruma =4 olur. Hesaplamalar özetlerse; = 000 ke =95 = 0000ke =4 sosuz ke =6 ır. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler
Dolayısıyla populasyo hacm örek hacm üzere çok az etks bulumaktaır. Bell br uyarlılık ve güvelrlk ç, = 0000 üfuslu br şehre seçlmes gereke örek hacm, tüm A.B.D e seçlmes gereke örek hacme yaklaşık olarak eşttr. Bu souç populasyo hacm ve uyarlılık bakımıa fae eleblr. Örekleme varyası * şekle verlr. Bu, çok büyük oluğua term e yaklaşacağıı ve üzere çok az etkye sahp oluğuu gösterr. Bua göre y e çok etkleyeblecek ola örek hacm r. Populasyo hacm büyük oluğua çok az etkye sahp ke, tahm ec uyarlılığı üzere örek hacm e büyük etkye sahptr. c) Ayı örekte büyük baş hayva ağırlıklarıı ortalaması 50 br ve C=0,097oluğua göre, ortalamaı %5 br sıırları çe %99 olasılıkla, (z=3) olarak tahmlemek ç e büyüklükte örek seçlmelr? ' ' ' C C 600 0.097 50 C (3.0.097) 34,5 35 gerekl örek hacm ele elr, ' (0,05) 5.. Toplam tahmleycs Toplam=(brm sayısı)*(ortalama) = veya = Populasyo ortalaması( ) ı tahm ecs ola örek ortalaması ( ) toplam eğer tahm etmekte kullaılmaktaır. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 3 ÖreklemeYötemler
Toplam eğer tahm ecs ˆ E( ˆ ) E( )=E( )= = şekler, ya toplamı tahmleycs toplamı sapmasız br tahmr.. Çükü, E( )= sapmasız ol. ç. Alıştırma: =000 öğrece oluşa grubu sahp oluğu toplam ktap sayısı tahm elmek stemekter ve bu amaçla =50 öğrece oluşa br şas öreğ seçlmştr. Öğrec başıa üşe ortalama ktap sayısıı olarak buluuğu varsayılırsa toplam ktap sayısıı tahm ez. ˆ =000*=000 ktap olur. 5... Toplamı tahm varyası V( ˆ )= E( ˆ ) E( ) = E( ) = = * yere koymaksızı yere koyarak, - geellkle blmeğe, buu tahm ecs(örek varyası s ) kullaılır. Bu a V ˆ sapmasız tahm ecler verr. Vˆ ˆ = = s * s yere koymaksızı yere koyarak, - Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 4 ÖreklemeYötemler
Alıştırma: Yukarıak örekte =50 öğrec ktaplarıı ağılımıı örek varyasıı s =0 oluğuu varsayalım. Bu uruma, =000 oluğua göre ˆ varyasıı tahm Vˆ ˆ = s 0 000 50 * = (000) * 90000 olur. 50 000 Vˆ ˆ yı s =Vˆ ˆ =90000 olarak taımlayalım. ˆ Böylece ˆ staart hatası s ˆ =436 ktap. Olur. 5..3. Toplam ç güve aralığı s ˆ yı tahm ettkte sora, z güvelrlk katsayısı olmak üzere toplam eğer ç güve aralığı ˆ z s ˆ z s ˆ ˆ olur..000.645 90000 Alıştırma: Belrl br lseek öğrecler hergü tükettkler toplam süt mktarı tahm elmek stemekter. Okula =000 öğrec varır. Şasa bağlı olarak =00 öğrec seçlmş ve süt tüketm örek ortalaması =0.8 ltre ve staart sapması 0.3 olarak bulumuştur. a) Toplam tüketle süt mktarıı tahm ez. b) Tahm varyasıı ele ez. c) Toplam tüketle süt mktarı ç %95 lk güve aralığıı oluşturuuz. a) ˆ =000*0.8=600 ltre b) Vˆ ˆ = s * c) ˆ z s ˆ z s ˆ ˆ 0.3 00 000 00 000 = 000 * 340 s ˆ = 340 =58.5 ltre P(600-.96*58.5<<600+.96*58.5)=%95 P(485,34<<74,66)=%95 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 5 ÖreklemeYötemler
5..4. Toplamı tahme örek hacm ve uyarlılık () z şekler. s ˆ Buraa ˆ r. () s = ˆ s * yere koymaksızı (aesz) (3) s = ˆ s yere koyarak, - (ael) şekle. () ve (3) olu eştlkler () olu eştlkte yere koyup ç çözüğümüze ( z s) (4) yere koymaksızı, z s (5) o z s yere koyarak (4) olu eştlk pay ve payası (kare) bölüür ve buraa (5) yere koursa, ( ) ( ) 0 soucua ulaşılır. Bu aesz ve f=>0,05 oluğu urumlara kullaılır. 0 Alıştırma: Belrl br lseek öğrecler her gü tükettkler toplam süt mktarı tahm elmek stemekter. Okula =000 öğrec varır. Şasa bağlı olarak =00 öğrec seçlmş ve süt tüketm örek ortalaması =0.8 ltre olarak bulumuştur. %99 güvelrlkle hataı 00 ltre çe kalması arzu elğ varsayılığıa göre hag büyüklükte br örek seçlmelr?(s=0.3) o C o z s = 3*0.3 000 00 34 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 6 ÖreklemeYötemler
34 000 0.64 0. 05 oluğua olayı hesaplamalıır. 0 0 = 34 0.64 79 0 Duyarlılık, görel fae elğe lşk (6) z o C ˆ Duyarlılık, ˆ sp uyarlılık, ˆ ˆ 0 o bçmer. C ve C( ˆ )-bazı urumlara ye bağlı olarak fae elmştr. Bu faeler ler cse yazılığıa C ˆ olarak a gösterlecektr- V ˆ ( ) C ˆ = * * V ˆ ) V V ( ˆ ) ( C ˆ Pay ve paya (kare)ye bölüürse C(kare) ele elr C ˆ = * * C (7) C ˆ = * C (8) C ˆ = yere koymaksızı yere koyarak C = yere C = yazılacaktır. Bu k eğer arasıak lşk ((-) = oluğua) Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 7 ÖreklemeYötemler
C = * olur. Böylece büyük oluğua - olarak alıır ve (7) ve (8) olu eştlklere kullaıla C = ç çözülürse faese ulaşılır. (7) ve (8) olu eştlkler (6) olu eştlkte yere kour ve ( z C) (9) yere koymaksızı z C 0) o o 0 z C yere koyarak ele elr. (9) ve (0) olu eştlklere 0 ele elr. 0 Uygulamalara C ve C( ˆ ) tahm ecler, yere buu tahm ecs s alıarak ele elr. Alıştırma: =000 öğrece oluşa br populasyoa, =00 öğreclk br örek seçlmştr. Öğrecler ağırlıkları araştırılmış ve =70 kg. ve s=0 kg. olarak bulumuştur. C, C, C ˆ ı tahmler ele ez. =0,05 -() alıacaktır. ˆ s 0 C 0.0 Ĉ 0.4 70 ˆ ˆ 0.0 ˆ C C ˆ C 0.000 00 ˆ ˆ C Cˆ 0.04 olarak buluur. Ĉ 0.4 olması görel olarak staart sapma büyüklüğüü gösterr. Ağırlıklar ormal ağılmışsa, bu uruma Ĉ 0.4olması ağırlıkları yaklaşık olarak %68 ortalama ağırlık ı %4 sıırları Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 8 ÖreklemeYötemler
çe olacağıı gösterr. Cˆ ˆ %.4 lük sıırları çe kalacağıı gösterr. 0.04 olması se tahm ele toplamı ( ˆ ) yaklaşık %68, toplam Alıştırma: Br şehre yaşaya 5000 ale oluğuu ve her br ale tarafıa br haftaa tüketle ortalama yumurta sayısıı tahm elmek steğ varsayılmaktaır. Duyarlılığı ortalamaı %5 kaar olması stemekter. =00 ale üzere yapıla br ö çalışmaa s= yumurta ve =36 yumurta olarak bulumuştur. a)değşm katsayısıı ele ez. b) Duyarlılığı ortalamaı %5 kaar olması steğe göre kaç ale le aha görüşülmelr? c)populasyo ortalaması ç %90 lık güve aralığıı oluşturuuz. a) ˆ s C Ĉ 3 olur. 36 ( z C) b) z C = 5000(,64* 3) =8 5000(0.05) (,64*3) o 8-00=8 ale le aha görüşülmelr. 8 ale aha lave elerek =38 yumurta ve s= yumurta olarak bulumuştur. c) Populasyo ortalaması ç %90 lık güve aralığı P( z s z s )=- 0.05 s s = 8 şekle. P(38-,64 < <38+,64 )=0.90 8 8 P(36.< <39.8)=0.90 olarak buluur. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 9 ÖreklemeYötemler
5.3. Populasyo ora P tahm P oraı aha çok pazarlama araştırması, kamuoyu araştırmaları ve kalte kotrolü çalışmalarıa kullaılır. Populasyo Oraı P oraıa şas eğşke saece 0 ve eğerler alığı özel br urum olarak bakılablr. Öreğ, K marka sabu kullaa saları oraı bulumak stelğ varsayalım. sayıa sa oluğuu üşüelm ve kş K marka sabuu kullaığıa = ve kullamaığıa se =0 olsu. Bu uruma,... K marka sabuu kullaaları sayısı olacak ve () P faes e K marka sabuu kullaaları oraı olacaktır. () olu eklem populasyo ortalaması ç verle formülü ayısıır. Buraak tek fark eğşke saece 0 ve eğerler almaktaır. Örek oraı p, P sapmasız br tahm ecsr hacml br populasyoa seçle hacml br tesaüf öreğ elemaları,,..., olsu. Örek oraı, = yaa 0 olmak üzere () p= olarak taımlaır. Bu şekle taımlamış p, populasyo oraı P sapmasız tahm ecsr. p P sapmasız br tahm ecs oluğuu göstermek ç () olu eklem her k tarafıı beklee eğer alıır. E(p)= E Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 0 ÖreklemeYötemler E ( p) E 0.
E E(p)= E( ) E(p)= =P P Buraa E(p)=P oluğu görülmekter. Alıştırma: = 000 öğrec oluğuu, =50 öğreclk tesaüf örek seçlğ ve bulara 0 s sgara çtğ saptaığıı varsayalım. gara çe öğrecler oraıı tahm ez. 0 P ˆ p 0.40 50 Alıştırma: =5 öğrec oluğuu ve bulara 3 üü sgara çtğ varsayalım. Bu şu şekle olsu: A=, B=, C=, D=0 ve E=0. Yere koymaksızı = hacml tesaüf örekler seçelm. 5 Aşağıa verlğ gb =0 tae mümkü örek bulumaktaır. Örekler AB, AC, AD,0 0,5 AE,0 0,5 BC, BD,0 0,5 BE,0 0,5 CD,0 0,5 CE,0 0,5 DE 0,0 0 0 p= E(p)=() p=(++0,5+ + 0)=60=35 6 P=(+++0+0)5=35 E(p)=P bu eele p P sapmasız br tahm ecsr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler
5.3.. Populasyo oraıı varyası kşlk br grup oluğuu ve bulara A taes sgara çtğ varsayılsı. gara çeler ç = ve çmeyeler ç =0 olmak üzere, kş,,..., le gösterleblr. Bu uruma =A ve populasyo oraı P se P=A olur. Taım gereğ, varyası, = ( ) = ( P P ) PQ bçmer. = yaa 0 oluğua =A ır. A P A A P P P olur, olayısıyla varyas = ( P P ) PQ varyası oluğua kkat elmelr. olur. Buraa Q P r., P eğl Öreğ, =00 öğrec olsu ve sgara çeler ç =,çmeyeler ç =0 olmak üzere, populasyou oluştura öğrecler,,..., 00 le gösterls. A=60 öğrec sgara çtğ varsayalım. Bu uruma P=0,60 ve varyası 00 V( )= = (0.6)(0.4) 0. 4 00 Bu souç ler ağılması hakkıa blg verr. Örektek ler varyası öğrece oluşa br örek verlmş olsu ve bularsa a taes sgara çs. gara çeler oraı, p=a r. gara çeler = ve çmeyeler =0 olmak üzere bu örek,,..., le gösterleblr. Bu uruma, Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- ÖreklemeYötemler
s Fakat = yaa =0 oluğua a p p a bçme gelr. p olur. Dolayısıyla, örek varyası s, q=-p olmak üzere s = p p pq Öreğ, =00 öğreclk br populasyoa =50 öğrec seçls ve bulara a=5 öğrec sgara çyor olsu. Bu uruma p=550=0.5 olur. Böylece örek varyası s, s = p p pq 50 = (0.5)(0.5) 0. 5 50 Örek oraı p varyası varyası taımıı kullaarak örek oraı p varyası taımlaablr. Taıma V(p)=E(p-E(p)) =E(p-P) s Var Var ( ) a Var ( p) Var Var Var p bçmer. Daha öce, (3) V( )= * Var ( p) yere koymaksızı (aesz) örekleme V( )= Var ( p) yere koyarak (ael) örekleme Oluğu görülmüştü. Ayı zamaa = yaa 0 alığımıza, Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 3 ÖreklemeYötemler
p= P= oluğuu görmüştük. Böylece V(p), (3) olu eştlkte =p alıarak (4) V( p )= * yere koymaksızı (aesz) örekleme V( p )= buluur. Buraa, = ve ya 0 ır. yere koyarak (ael) örekleme = ( P P ) PQ y formüle yere koyuğumuza V(p) şu hale gelr. V(p)= * = PQ * = PQ * Yere koymaksızı =PQ Yere koyarak Öreğ, =4000 öğrece oluşa 50 öğreclk br tesaüf örek seçlğ varsayalım. gara çeler populasyo oraı P=0,3 se, örek oraı varyası 50 4000 0.05 0.05 oluğu ç (-f) faktörüe gerek yoktur, böylece (0.3)(0.7) V(p)= 0. 004 olur. Varyas %0,4 cvarıaır. Bu örek oraı p örekleme 50 ağılımıı varyasıır. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 4 ÖreklemeYötemler
V(p) sapmasız tahm ecs s, sapmasız br tahm ecsr. Bu uruma s = pq = PQ u sapmasız br tahm ecsr.bu uruma ˆ V ( p ) = pq * Yere koymaksızı ele elr. = pq Yere koyarak 5.3.3. Ora ç güve aralığı P(p-z s p<p<p+z s p)=- p eğerler ormal ağılım yaklaşımıı kullaablmek ç ye lşk alt sıır 0.5 30 0.4 veya 0.6 50 0.3 veya 0.7 80 0. veya 0.8 00 0.veya 0.9 600 0.05 veya 0.95 400 Alıştırma: Br şehrek yaa aha fazla rayoya sahp aleler oraı tahm elecektr. =8000 ale bulumaktaır ve bulara =0 alelk tesaüf br örek seçlmş ve p=0.6 olarak bulumuştur. Şehrek k veya aha fazla rayoya sahp aleler oraı ç %95 lk güve aralığıı hesaplayıız. =08000 <0,05 oluğua s p = pq =(0.6)(0.4) s p =0.05 0 =0.004 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 5 ÖreklemeYötemler
p z s p P(0.6-(.96)0.05<P<0.6+(.96)0.05)=0,95 P(0.50<P<0.698)=- 5.3.4. Populasyo oraı tahme örek hacm ve uyarlılık ç formül Duyarlılık, güvelrlk ve staart hata arasıak temel lşk şu şekle açıklaablr Duyarlılık=(güvelrlk) (staart hata) = Populasyo oraı P tahm ecs p uyarlılığıı ele alığımıza s p = pq * faes staart hata olarak kullaılablr. Uygulamaak amaçlar ç,- yere kullaılablr. Bu uruma lşk pq z yere koymaksızı = pq yere koyarak z şekle fae eleblr. Buraa bell br uyarlılığı ve bell br z güvelrlğ ç gerekl örek hacm z pq yere koymaksızı z pq z pq yere koyarak, şekle yazılablr. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 6 ÖreklemeYötemler
Alıştırma: =4000 öğrece =50 brmlk br ö örek tesaüf seçlmş ve a=30 öğrec sgara çtğ görülmüştür. P y tahm etme uyarlılığı %5 sıırı çe heme heme kes olacak (0.999) şekle hag büyüklükte br ö örek seçlmelr? p 30 0.6 50 z pq z pq = (4000)3 (0.6)(0.4) 4000(0.05) (3) (0.6)(0.4) 7 bulmaı aha kolay ve alteratf br yolu z pq 9 0.6 0.4 0.05 0 864 ke 0 864 z pq = 7 şekler. 864 4000 z pq 0 Alıştırma:998-99 öğretm yılıa Dokuz Eylül Üverstes'e kayıtlı bulua 03 öğrece 46 öğrec BŞÖ yötem le çeklmştr. Çekle öğrecler üverste öces eğtmlere lşk ağılımı aşağıaır. Btrle Okul ayısı (a) Kolej 45 Devlet Lses 083 Meslek Lses 87 Dğerler Toplam 46 tahm ez. Btrle okul türüe göre oraları tahm eerek %95 olasılıkla çe buluukları sıırları a p Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 7 ÖreklemeYötemler
Çözüm : Bell özellğe sahp brmler oraı tahm, p p p K DL ML 45 46 083 0.7595 46 87 46 0.07 0.3 p D 0.0077 46 buluur. Varyaslar se, f V ( pk ) st( p pq 46 0.07 * 0.8983 ( f ) 0.884 * 0.000064 0.000057 03 46 ) 0.0075 K V ( pdl) sh( p pq 46 0.7595 * 0.405 ( f ) 0.884 * 0.0008 0.0009 03 46 ) 0.006 DL pq 46 0.3* 0.8689 V( p ) f 0.884 * 0.0000799 0.0000704 ML 03 46 sh p 0.0084 ML V ( pd ) f sh p D 0. ele elr. 00 pq 46 0.0077 * 0.993 0.884 * 0.0000053 0.0000046 03 46 Bu eğerler yarımıyla tahmler %95 olasılıkla çe buluukları sıırlar tahm eleblr. z=.96 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 8 ÖreklemeYötemler
p z s p Yukarıak faes sürekllk üzeltmesr. Buraa kolej ç, 0.07.96 * 0.0075 0.07 0.05.*46 0.07 Oluğua %95 olasılıkla p 0.0866 le 0.68 arasıaır. 0.047 * 0.00035 Devlet lses ç,.96 * 0.006 0.00035 0.7595 0. 0 0.7595 Oluğua %95 olasılıkla p 0.7385 le 0.7805 arasıaır. Meslek lses ç,.96 * 0.0084 0.00035 0.3 0.065 0.00035 0.3 0. 0685 0.3 Oluğua %95 olasılıkla p 0.4 le 0.48 arasıaır. Dğer okulları ç,.96 * 0.00 0.00035 0.0077 0.0045 0.0077 Oluğua %95 olasılıkla p 0.003 le 0.0 arasıaır. Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 9 ÖreklemeYötemler
Alıştırma: İzmr l merkez lçese bulua 00 hae BŞÖ le çeklmş ve her br haee yaşaya kş sayısı, ev sahb-kracı olma urumları ve araba sahb olmalarıa göre aşağıak ağılım ele elmştr. Hae ayısı Yaşaya Kş ayısı Ev sahb 40 34 Arabası ola 30 0 Arabası olmaya 0 4 Kracı 60 47 Arabası ola 30 50 Arabası olmaya 30 77 Toplam 00 66 Bu çalışmaa örek oraı f==0.00 oluğua göre a)bu örek, ev sahb-kracı ola haeler oraıı, arabası ola ev sahb ve kracı haeler oralarıı, arabalı ale oraıı ve yaklaşık staart hataları tahm ez. b)merkez lçe üfusuu tahm ez. Ev sahb-kracı ola hae sayısıı, arabası ola ev sahpler ve kracıları hae sayısıı, yaklaşık staart hatalarıı tahm ez. Çözüm : Ora tahmler (p=a) Ev sahb 4000=0.40 Evsah.ve arabalı 3000=0.30 Kracı 6000=0.60 Kr.ve arabalı 3000=0.30 Arabalılar (30+30)00=0.60 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 30 ÖreklemeYötemler
st P pq taart hata tahmler 0.40 * 0.60 00 0.049 0.30 * 0.70 00 0.046 0.60 * 0.40 00 0.049 0.30 * 0.70 00 0.046 0.60 * 04000 0. 049 b) Örek oraı f=0.00 oluğua göre, =f 00=0.00 =000.00 =00,000 hae olur. Haelere yaşaya kş sayısı, a p P A Aˆ p 66 Aˆ 00000 66000 00 İle tahm eleblr. sh Aˆ s( p) ( p) p. q Buluur. ayı tahmler ( A ˆ. p ) taart hata tahmler A sh ˆ p. q Ev sahb 00000*0.40=40000 Evsah.ve arabalı 00000*0.30=30000 Kracı 00000*0.60=60000 Kr.ve arabalı 00000*0.30=30000 Arabalılar 00000*0.60=60000 00000 0.40.0.60 4900 00 00000 0.30.0.70 4600 00 00000 0.60.0.40 4900 00 Prof.Dr.Levet ŞEYAY V- 3 ÖreklemeYötemler 00000 0.30.0.70 4600 00 00000 0.60.0.40 4900 00