tüdergs/d mühedslk Clt:5, Sayı:6, 49-60 Aralık 006 Mkro boyuttak ters basamak geometrs çdek akışı KA yötemyle aalz Bayram ÇELİK *, Fırat Oğuz EDİS İÜ Fe Blmler Esttüsü, Uzay Blmler ve ekolojs Programı, 34469, Ayazağa, İstabul Özet Karakterstk abalı Ayırma Algortması, sürekl rejmde yer ala sıkıştırılablr ve sıkıştırılamaz vskoz akış problemler Solu Elemalar Yötem çözümüde geçerldr. Bu çalışma kapsamıda, Karakterstk abalı Ayırma çözücüsü, kayma rejmde yer ala mkro akış problemler çözümüde de kullaılablecek şeklde gelştrlmştr. Mkro boyuttak ters basamak geometrs çdek azot akışı, gelştrle çözücü kullaılarak aalz edlmştr. Bu geometr çdek akış, ters basıç gradye ve akım ayrılması çermes sebebyle özellkle seçlmştr. Gerçekleştrle aalzlerde, ayı grş çıkış basıç oraı ve brbrde farklı grş parametrelere sahp üç ayrı akış hesaplamalı olarak celemştr. İcelee bu üç akışa at parametreler, söz kousu akış kayma rejmde yer alacak şeklde belrlemştr. Kayma rejmde yer ala akışlarda katı duvar yüzeylerde meydaa gele kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması, Beskok ve Karadaks e at kc mertebede sıır şartlarıı uygulamasıyla hesaplamıştır. Yapıla aalzlerde, hesaplamalar ç gereksm duyula blgsayar zamaı ve bellek mktarıı düşürmek ç, ppp1 tp elemalar P1P1 tp elemaları yere kullaılmıştır. Elde edle souçlar, gerçekleştrle uyarlamaları doğrulamak ç lteratürde yer ala dğer hesaplamalı souçlarla karşılaştırılmıştır. Gerçekleştrle bu aalzle, akışa at parametreler kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması dağılımı le lşks araştırılmıştır. Bu amaçla, celee her üç akışa at yerel Mach sayısı koturları, kaal boyuca Kudse sayısı değşm grafkler ve tekrar duvara yapışma mesafeler bu çalışmada suulmuştur. Elde edle souçlar ve karşılaştırmalar, gelştrle çözücüü kayma rejmde yer ala mkro akış problemler çözümü ve aalzde kullaılableceğ göstermektedr. Aahtar Kelmeler: Kayma-hızı, sıcaklık-sıçraması, karakterstk tabalı ayırma yötem, Solu Elemalar Yötem, mkro akış. * Yazışmaları yapılacağı yazar: Bayram ÇELİK. celkbay@tu.edu.tr; el: (1) 85 34 40. Bu makale, brc yazar tarafıda İÜ Fe Blmler Esttüsü, Uzay Blmler ve ekolojs Programı da tamamlamış ola "Aalyss of mcro flows usg a Fte Elemet Method" adlı doktora tezde hazırlamıştır. Makale met 0.0.006 tarhde dergye ulaşmış, 7.04.006 tarhde basım kararı alımıştır. Makale le lgl tartışmalar 31.08.007 tarhe kadar dergye göderlmeldr.
B. Çelk, F. O. Eds Aalyss of flud flow through a mcro sze backward facg step duct va CBS Exteded abstract Kudse umber (K) s a measure of rarefacto ad t s defed as the rato of mea free path (λ) to the characterstc legth of the flow (L). I cotuum regme where K s smaller tha 10-3, flud flow problems ca be solved usg cotuum models such as Naver-Stokes equatos (N-S). he terval where K s the rage of 10-3 to 10-1 s called the slp regme. I ths regme, N-S solvers ca be used for smulato of flud flow f slp-velocty ad temperature-jump boudary codtos are employed o sold wall stead of usual o-slp ad temperaturewall boudary codtos whch are vald the cotuum regme. I recet years, extremely small szed devces have bee maufactured due to the developmet producto techologes. hese devces are combatos of electrcal ad mechacal devces. her szes are the rage of 1 mm to 1 mcro ad they are called Mcro-Electro-Mechacal Systems (MEMS). Some applcatos of the MEMS are related drectly or drectly to flud flow. Flud flow through or aroud the MEMS dffers from the larger devces. he crease the surface to volume rato due to the decreasg characterstc legth affects trasport of mass, mometum ad eergy through the surfaces. Furthermore, flow devates from the thermodyamc equlbrum ad slp-flow, temperature-jump, thermal creep, rarefacto, vscous dsspato, compressblty, termolecular forces ad other ucovetoal effects become mportat. It s reported that most of the MEMS devces work slp regme at stadard codtos. hus, usg approprate models for umercal smulato of flud flow through or aroud the MEMS would help to crease ts productvty ad to reach a better compreheso of ther fuctos. I 1995, Zekewcz et al. troduced a ufed algorthm desged to replace the aylor-galerk (or Lax-Wedroff) methods that have bee used the soluto of compressble flow problems Fte Elemet Method (FEM) cotext. he, they have publshed several papers cocerg the bass ad applcatos of ths ew algorthm. Fally they troduced a algorthm amed as Characterstc- Based-Splt (CBS) algorthm. hus, fractoal step process of Chor s exteded to solve the flud dyamcs equatos of both compressble ad compressble forms. I ths study, the CBS algorthm s modfed to perform mcro flow aalyss. he secod order slpvelocty ad temperature-jump boudary codtos of Beskok ad Karadaks are mplemeted o sold wall to the mcro flow aalyses preseted ths study. he secod order formulato proposed by Beskok ad Karadaks cludes a thermal creep term smlar to the frst order formulato foud lterature. I ths study, sem-mplct form of the CBS algorthm s used ad order to reduce the sze of mplct part of the N-S FEM solver, ppp1 type elemets are used stead of P1P1.. Soluto procedure ad Galerk weak form the auxlary mometum, cotuty, ed of step mometum ad eergy equatos of proposed CBS algorthm are gve wth detals ths paper. Mcro backward facg step s oe of the MEMS devces ad flud flow through ths devce s qute complex sce there are adverse pressure gradet ad separato flow feld. I ths study, mcro backward facg step s selected as test geometry for mcro flow aalyss slp regme. he solver s used to aalyze troge gas flow through ths geometry for three dfferet cases havg dfferet let Mach (M) ad Reyolds umbers (Re). Ilet to outlet pressure rato s equal to.3 for these three cases. o verfy the performed mplemetatos, obtaed results are compared wth avalable umercal results foud lterature terms of accuracy. Relatoshps betwee the flow codtos such as let M, Re, reattachmet legths ad slp-velocty, temperature-jump dstrbutos are umercally vestgated. Local M cotours ad K varatos are preseted wth ths study for all cases. It s observed that creasg K at the chael let results decreasg reattachmet legth values. Decreasg M values at the chael let results creasg ormalzed slp-velocty values from etry to ext of the chael. O the other had, temperature-jump values are smaller for the cases wth lower let M. he performed aalyses ad comparsos show that the use of the proposed CBS algorthm wth ppp1 type elemets s promsg for flud flow problems slp regme. Keywords: slp-velocty, temperature-jump, characterstc based splt algorthm, fte elemet method, mcro flow. 50
KA yardımıyla mkro-akış aalz Grş Mkro-Elektro-Mekak-Sstemler (MEMS), mekak ve elektrkl aygıtları br bleşm olup boyutları 1 mm le 1 mkro arasıda değşmektedr. Akışkaı bu küçük aygıtları ç veya etrafıdak hareket sırasıda ortaya çıka sürtüme, elektrostatk kuvvet ve vskoz etkler, atalet kuvvetleryle kıyasladıklarıda oldukça baskıdırlar (Gad-el-Hak, 001). Moleküller arası ortalama serbest uzaklığı ( λ ) akışa lşk karakterstk boya ( L ) oraı olarak taımlaa Kudse sayısı (K), seyrelme etks br ölçüsü olarak değerledrlr. Küçüle karakterstk boya bağlı olarak Kudse sayısı büyüdükçe, sürekl ortam yaklaşımıa dayalı modeller kullaılarak elde edle souçlarla gerçek akış değerler arasıdak fark, arta kayma-hızı, sıcaklık-sıçraması, ısıl-sürüme, seyrelme ve vskoz kayıplara bağlı olarak artar (Gad-el-Hak, 001). Kudse sayısıı 10-3 de küçük değerler aldığı sürekl rejmde yer ala akışlar, Naver- Stokes deklemler (N-S) gb sürekl ortam yaklaşımıa dayalı modeller kullaılarak temsl edleblr. Kudse sayısıı 10-3 le 10-1 arasıda değerler aldığı aralık, kayma rejm olarak adladırılır. Sürekl rejmde katı duvar yüzeyde geçerl ola, akışka hız ve sıcaklığıı duvara at hız ve sıcaklık değerlere eşt olması şartı, geçerllğ bu rejmde ytrr. Bu farklılığı temel sebeb, akışka taeckler le duvar arasıda yeterce çarpışma olmaması ve akışkaı termodamk dege halde uzaklaşmasıdır. Bu yüzde kayma rejmde yer ala akışlarda, akışkaı duvar üzerdek hız ve sıcaklık değerlerde sıırlı mktarlarda sürekszlkler söz kousu olur. Kudse sayısıı daha büyük değerler ç, sürekl ortam yaklaşımı tamame ortada kalkar ve akışka hareket Boltzma deklem gb moleküler modeller kullaılarak temsl edleblr. Kudse sayısıı 0.1-10 aralığıda değerler aldığı geçş rejmde yer ala akışlar, Naver-Stokes deklemlerde daha yüksek mertebel ola Burett deklem veya moleküler yaklaşıma dayalı DSMC (Drect Smulato Mote Carlo) yötem kullaılarak temsl edleblrler (Gad-el-Hak, 00). Chor tarafıda sıkıştırılamaz akış problemler solu farklar yötem çözümüde kullaılmak üzere öerle bölümüş adımlar yötem (Chor, 1967, 1969), bugüe dek brçok akış problem çözümüde kullaılmıştır. Bu yötem, sıkıştırılablr akış problemlere solu elemalar yötem (SEY) kullaılarak uyarlaması se Zekewcz ve Wu tarafıda 199 yılıda gerçekleştrlmştr. 1995 yılıda, Zekewcz ve Coda, o güe dek sıkıştırılablr akış problemler çözmek ç kulladıkları Lax-Wedrof solu farklar yötem solu elemalar karşılığı ola aylor-galerk yötem (Zekewcz ve aylor, 1991) yer alacak ye br yötem öermş, ardıda da hem sıkıştırılablr hem de sıkıştırılamaz akış problemler çözümüde kullaılable bu yötem temel özellkler ve uygulamalarıı yayıladıkları makalelerle duyurmuşlardır (Zekewcz ve Coda 1995, Zekewcz vd., 1995, Zekewcz vd., 1996), (Coda vd., 1998). 1999 yılıda yayıladıkları makaleyle bu yötem Karakterstk abalı Ayırma (KA) yötem smyle lteratüre kazadırmışlardır (Zekewcz vd., 1999). KA yötem sayesde, hem sıkıştırılablr hem de sıkıştırılamaz akış problemler br tek çözücü kullaılarak souca ulaştırılablmektedr. Lteratürde, KA yötem kullaılarak çözülmüş çok farklı problemler yer almaktadır. Bu yötem sahp olduğu çok yölülük, çözücüü kayma rejmde yer ala seyrelmş gaz akışıı da temsl edeblecek şeklde yleştrlmes le daha da gelşecektr. Bu sayede, mkro boyuttak geometrler etrafıda veya çersdek akış problemler çözüleblecek, hatta KA algortması yardımıyla bu geometrler ç kapsamlı aalzler yapılablecektr. Bu çalışmada, KA yötem kullaılarak mkro boyuttak ters basamak geometrs çdek sıkıştırılablr akış aalz gerçekleştrlmştr. Bu amaçla söz kousu N-S Solu Elemalar Yötem çözücüsü, Beskok vd. (1996) tarafıda öerle kc mertebe kayma-hızı/sıcaklıksıçraması sıır şartlarıı uyarlamasıyla mkro akış aalzde kullaılablecek hale getrlmştr. KA SEY çözücüsü üzerde yapıla bu de- 51
B. Çelk, F. O. Eds ğşklkler, daha öcek çalışmalar çerçevesde farklı mkro akış problemler ç doğrulamıştır. Alteratf yötemlerle elde edlmş souçlar kullaılarak gerçekleştrle karşılaştırmalar, yapıla uyarlamaları başarılı olduğuu göstermştr. Böylece, karmaşık br mkro akış problem ola ters basamak geometrs çdek seyrelmş gaz akışı, bu çalışma kapsamıda gelştrle çözücü kullaılarak aalz edlmştr. Kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması Maxwell ve Smoluchowsk tarafıda öerle brc mertebe kayma-hızı ve sıcaklıksıçraması sıır şartları aşağıdak deklemlerde verldğ gbdr (Gad-el-Hak, 00): u s s σν u uw = λ σν 3 µ + 4 ρ s w gas σ = σ γ w w λ ( γ + 1) Pr w (1) () Yukarıdak deklemlerde yer ala s ve w alt dsler, sırasıyla akışka ve duvara at değerler belrtmek ç kullaılmıştır. / ve / s, duvara dk ve paralel yödek gradyeler temsl etmektedr. ρ, u,, Pr, µ ve γ sırasıyla yoğuluk, hız, sıcaklık, Pradtl sayısı, vskozte ve ısıl kapaste oraıdır. Duvara paralel doğrultudak mometum ve eerj barıdırma katsayıları se σ ν ve σ le gösterlmştr. Bu katsayılar, akışka taeckler eerj ve mometumlarıı duvarla çarpışma sorasıda da korudukları varsayıldığıda bre eşt olurlar. Beskok ve Karadaks, asmptotk aalz yardımıyla aşağıda açık fades verlmş ola kc mertebe kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması sıır şartlarıı elde etmşlerdr (Beskok vd., 1996). Deklem 3 de yer ala b, yüksek mertebede kayma katsayısı olarak blmekte ve değer aaltk veya sayısal olarak hesaplamaktadır (Beskok ve Karadaks, 1999). Üst ds, boyutsuz değşkeler göstermek ç kullaılmıştır. Ye bu deklemdek Re ve Ec, sırasıyla Reyolds ( = ρ ul / µ ) ve Eckert (=u /c p ) sayılarıı temsl etmektedr. Deklem sağ tarafıda yer ala kc term, K büyüdükçe etkl ola ısıl sürüme term olup akım yöüde sıcaklık değşm yoksa sıfıra gder. u σv K = σ 1 bk * * s uw * * s w 3 + π v ( γ 1) γ σ = σ * u * w * * s w K Re Ec * γ K ( γ 1) Pr * + w (3) (4) KA yötem Bu çalışmada, mkro boyutlu br geometr çdek sıkıştırılablr vskoz akış problem çözümü ç KA yötem meydaa getre yardımcı mometum, sürekllk, tamamlayıcı mometum ve eerj deklemler her br zama adımıda brlkte çözülürke, katı duvar yüzeylerde kc mertebede kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması sıır şartları uygulamıştır. Hesaplamalarda, sürekllk deklem kapalı, yardımcı mometum, tamamlayıcı mometum ve eerj deklemler açık brer şema kullaılarak çözüme kavuşturulduğu yarı-kapalı dye smledrle yaklaşım kullaılmıştır. Söz kousu deklemler (tegral formda) ve bu deklemler çözümüde kullaıla yötem aşağıda verlmştr. Yardımcı mometum deklem Vskoz sıkıştırılablr br akış ç, mometum deklem koruumlu halde yazılıp karakterstk- Galerk yaklaşımı kullaılarak ayrıklaştırıldıkta sora Chor bölümüş adımlar yaklaşımı uygulaırsa, KA yöteme at yardımcı mometum deklem elde edlr. Bu deklem uzayda ayrıklaştırılması stadart Galerk yaklaşımı le optmal olduğuda, mometuma at şekl foksyou (N u ) le çarpılıp bölgesde tegre edlrse aşağıdak deklem elde edlr. 5
KA yardımıyla mkro-akış aalz Nu U% d = t Nu ( uju) d j N u + t τjd x j + t Nu( ρg) d + Nuτj jdγ Γ t + ( un k u) ( uu j ) d k j (5) Yukarıdak deklemde yer ala t ve x, sırasıyla zama adımı ve kartezye koordat bleşe olup, üst ds zamaı temsl etmektedr. U ~ ve j, sırasıyla x ve x j doğrultularıdak mometum ve brm ormal vektördür. Sürekllk deklem Yardımcı mometum deklemde olduğu gb, sürekllk deklem, basıca at şekl foksyou (N p ) le çarpılıp bölges üzerde tegre edlrse aşağıdak deklem elde edlr. ρ Np d = t N p + θ p U + θ1 U% t d x + θ p N p U + θ1 U% t dγ Γ (6) Yarı-kapalı şema kullaıldığıda, yukarıdak deklemde yer ala θ 1 ve θ parametrelere at değerler br olarak alıablr. Deklem sağ tarafıda yer ala köşel paratez çdek fadeler, +θ 1 aıdak mometum değerlerdr. Bu sebeple. 6 umaralı deklemdek sıır tegral katı duvar üzerdek değer sıfıra eşttr ve hesaplamasıa gerek yoktur. Sıkıştırılablr akış söz kousu olduğuda, 6 umaralı deklem sol tarafıda yer ala ρ term (=ρ +1 -ρ ), mükemmel gaz deklem ( p = ρr ) yardımıyla basıçla lşkledrlr. Sürekllk deklem çözülürke basıç veya yoğuluk blmeye (bağımlı değşke) olarak seçleblr. Basıcı bağımlı değşke olarak seçldğ durumda, ρ term, ve +1 aıdak basıç değerler csde aşağıdak deklemde yararlaılarak yazılır. p p p ρ = + R g Rg R (7) Buradak g term geçc (tahm) sıcaklık değerdr. +1 aıa at basıç değerlere ulaşmak ç hesap yapılırke yere bu değer +1 kullaılır. amamlayıcı mometum deklem +1 aıa at mometum değerler, yardımcı mometum ve sürekllk deklemlerde elde edle U ~ ve p değerler aşağıda verle deklemde kullaılmasıyla hesaplaır. N U d = N U% d u u p p t Nu + θ d x x t p ( u jnu) d j (7) Eerj deklem Sıkıştırılablr akış durumuda, sürekllk ve mometum deklemler le brlkte çözüle eerj deklem (tegral formda) aşağıda yazıldığı gbdr: N E ( ρe) d = t N E [ u ( ρe + p) ] t + t ( u N ) k + t k Γ N E N E E k k ( u ( ρe + p) ) + τ u j j + τ u j j d d d dγ (8) 53
B. Çelk, F. O. Eds Yukarıdak deklem, koruumlu haldek eerj deklem KA yötem kullaılarak ayrıklaştırılması le elde edlmş olup, brm kütle başıa toplam eerj e = c + u u / şekldedr. v Çözüm yötem Yukarıda solu elemalar formülasyou verlmş ola yardımcı mometum, sürekllk, tamamlayıcı mometum ve eerj deklemler, sıkıştırılablr mkro akış söz kousu olduğuda aşağıdak sıra ve yötem kullaılarak çözüme kavuşturulur. 1. Eerj deklem duvar yüzeydek sıcaklık-sıçraması ve kayma-hızı değerler kullaılarak çöz ve toplam eerj değerler elde et.. Yardımcı mometum deklem herhag br sıır şartı uygulamaksızı çöz. 3. Sürekllk deklem çözüleblmes ç htyaç duyula geçc sıcaklık ( g ) değerler adım 1 de hesaplaa toplam eerj değerlerde elde et. 4. Geçc sıcaklık değerlerde yararlaıp sürekllk deklem sıırda kayma-hızı şartıı da kullaarak çöz ve basıç (p +1 ) değerler elde et. 5. amamlayıcı mometum deklem çözerek br sorak zamaa at mometum değerler elde et. 6. Mükemmel gaz deklemde yararlaarak yoğuluk (ρ +1 ) değerler elde et ve bu değerler kullaarak mometum değerlerde hız alaıı hesapla. 7. Elde edle hız, yoğuluk ve eerj değerler kullaarak ye zama adımıa at sıcaklık değerler ( +1 ) elde et. 8. Br sorak zama adımıda kullaılmak üzere duvardak kayma-hızı ve sıcaklıksıçraması değerler hesapla. 9. Elde edle +1 değerler, hesaplamaı başıda kullaıla g değerlerde çok farklıysa bu değerler g olarak kabul et ve adım 4 e ger döüp sorak adımları tekrar et. Bu çalışmadak hesaplamalar, yukarıda verle 9 madde le özetleeblecek çözüm yötem zleerek gerçekleştrlmştr. 1 umaralı adımda toplam eerj değerler elde edlmş olmasıa rağme, o ada ye hız alaı ve yoğuluk değerler heüz hesaplamamış olduğu ç, br öcek aa at hız ve yoğuluk değerler kullaılarak g elde edlmektedr. Bu yaklaşım dam akış problemler çözümüde kullaıldığıda, k kez sıcaklık tahm yapılması yeterl olmaktadır. İk kerede fazla sıcaklık tahm yapılmasıı hesaplama zamaı ve souca etk etmedğ blmektedr (Coda vd., 1998). Bu çalışmada, KA yöteme at yarı-kapalı br şema kullaılarak hesaplamalar gerçekleştrlmştr. Br başka deyşle, sürekllk deklem, basıç alaıı elde etmek ç kapalı br şema kullaılarak çözülmüştür. Daha öcek çalışmalarda olduğu gb, bu çalışmada da sak kcderece hız/doğrusal basıç elemaları (ppp1) kullaılmıştır (Çelk v.d., 003). ppp1 tp elemaları hesaplamada kullaılmasıyla, hız ve basıç alaları sak k farklı hesaplama ağı üzerde çözüm yapılıyormuşçasıa elde edlmektedr (Eds, 1998), (Eds ve Asla, 1998). KA yötemde, ppp1 tp elemaları doğrusal hız/basıç elemaları (P1P1) yere kullaılmasıyla, hesaplama zamaı açısıda %59 a vara kazaç sağladığı daha öce yapıla çalışmalarda gözlemlemştr (Eds vd., 001). Mkro boyutlu ters basamak çdek akış Bu çalışmada, çersde vskoz sıkıştırılablr akış aalz yapıla mkro aygıt br ters basamak geometrsdr. İcelee problem, akış alaıda ters basıç gradye ve akım ayrılması olması sebebyle özellkle terch edlmştr. Bu problemde olduğu gb, akış şartlarıda meydaa gele a değşmler, ortalama serbest uzaklık değere etk etmektedr. Kayma-hızı ve sıcaklıksıçraması değerler, ortalama serbest uzaklıkla doğruda lşkl olduğu blmektedr. Dolayısıyla, kaal duvarları boyuca hesaplaa kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması değerler, akış şartları le brlkte değerledrlmesde yarar vardır. Hesaplamada kullaıla ağ, ppp1 tp elemalarda oluşmakta ve 11776 hız 944 adet basıç elemaı çermektedr. Şekl 1 de, hız alaı hesabıda kullaıla ağ görülmektedr. 54
KA yardımıyla mkro-akış aalz L y S h x Şekl 1. Hız alaı hesabıda kullaıla ağ ve boyutladırma İcelee ters basamak geometrs, 7 mkro uzuluğuda olup kaal boyuu kaal çıkış yükseklğe oraı (L/h) 5.6 dır. Kaal grşdek etkler de aalze dahl edlmş ve kaal grş =0.86 olacak şeklde koumladırılmıştır. Kaal çıkış yükseklğ basamak yükseklğe oraı (h/s) 0.467 dr. Geometrk ayrıtıları yukarıda verlmş ola hesaplama bölges ç, ayı grş çıkış basıç oraıa sahp üç farklı akış kurgulamış ve celemştr. İcelee akışlarda grş çıkış basıç oraı Π =.3 olup, söz kousu ola akışka azottur. Grş çıkış basıç oraı her üç akış ç de koruurke, kaal grş ve çıkış basıç değerler, kaal çdek yerel Kudse sayısı kayma rejmde yer alacak şeklde belrlemştr. Kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması sıır şartlarıı uyguladığı kaal duvarları o K sıcaklığıdadır. Grş öcesde azot 330 o K sıcaklığa sahptr. Yukarıda ayrıtıları verle üç farklı akışa at grş K, M ve Re sayıları le aalz soucuda elde edle akışkaı tekrar duvara yapışma mesafeler (x/s) ablo 1 de verlmştr. Bu tabloda yer ala I umaralı akış, Baysal ve Asla (00) tarafıda N-S Solu Hacmler ve Beskok (00) tarafıda da DSMC çözücüsü kullaılarak aalz edlmştr. I umaralı akışa at duvara dk doğrultuda beş farklı mesafedek hız değerler (kaal boyuca) hesaplamış ve yerel ses hızı kullaılarak ormalleştrlmştr. Hesaplaa bu değerler, Baysal ve Asla ı (00) elde ettğ souçlarla Şekl de karşılaştırılmıştır (Çelk ve Eds, 006). Elde edle souçlar, hesaplaa kaymahızlarıı, kaal grşdek küçük farklılık dışıda Baysal ve Asla ı elde ettğ souçlarla büyük br uyum çde olduğuu göstermektedr. Söz kousu farklılık, kaal grşdek yüksek hız ve sıcaklık gradyeler br soucu olarak değerledrleblr ve hesaplamada kullaıla ağı bu bölge üzerde yleştrlmesyle ortada kaldırılablr. ablo 1. İcelee mkro akış durumları Akış No K M Re x/s I 0.009 0.47 80. II 0.01 0.43 55 1.77 III 0.017 0.36 31 1.19 ablo 1 de verle üç farklı akışa at kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması dağılımları, kaalı üst ve alt duvarları boyuca sırasıyla Şekl 3, 4, 5 ve 6 da verlmştr. Şekl 3 de görüldüğü gb, kaal grşde heme sora (=0.86) sıcaklıksıçraması değerler hızla düşmektedr. Kaal geometrsdek a geşleme sebebyle hızlaa akışkaı ketk eerjsdek artışa bağlı olarak sıcaklık değerler düşmektedr. Bu sebeple, bu bölgede yer ala duvara dk doğrultudak sıcaklık gradyeler, akım yöüde azalmaktadır. Buu soucu olarak da sıcaklık sıçraması değerlerde Şekl 3 te de açıkça görüle düşüş gerçekleşr. Br başka deyşle, akım doğrultusudak hızlama, sıcaklık sıçraması değerlerde düşüş olarak ked gösterr. Bezer yakla- 55
B. Çelk, F. O. Eds 1. 1.0 0.8 y/h=0.990 y/h=0.755 y/h=0.498 y/h=0.48 y/h=0.015 y/h=0.990 y/h=0.755 y/h=0.498 y/h=0.48 y/h=0.015 Baysal-Asla Baysal-Asla Baysal-Asla Baysal-Asla Baysal-Asla u/a 0.6 0.4 0. 0.0 0 1 3 4 5 Şekl. Kaal boyuca akışka hızıı değşm şımla, kaal grşde a geşleme bölgese kadar hızlaa akım, duvara dk doğrultuda arta br hız gradye meydaa getrmektedr. Bu da bekleldğ gb, kaal grşde a geşleme bölgese kadar arta kayma-hızı olarak ortaya çıkar. Şekl 4 ve 6 dak kayma hızları, kaal grş orta oktasıdak hız değer kullaılarak ormalleştrlmştr. Şeklde de görüldüğü gb, yüksek grş Kudse sayılı akışlara at alt ve üst duvarlardak kayma-hızları ( ) yüksek değerler almaktadır. Bu da, grş Kudse sayısı büyüdükçe hız profl değştğ ve parabolklğ azaldığıı ortaya koymaktadır. A geşleme bölges cvarıa kadar hızlaa akım, =.0 cvarlarıda maksmum hız ve mmum sıcaklık değerlere ulaşır. Kaaldak a geşleme, bekleldğ gb ters basıç gradye meydaa getrr. Oluşa ters basıç gradye etksyle alt duvarda öce akım ayrılır ardıda tekrar duvara yapışır. ablo 1 de, celee üç akış ç, duvara yapışma mesafeler karşılaştırma amaçlı verlmştr. Bekleldğ gb, arta grş Kudse sayısıyla brlkte kayma-hızı değerler yükselmekte ve buu soucuda da tekrar duvara yapışma mesafeler kısalmaktadır. A geşlemede sorak bölgede, üst duvardak kayma-hızı değerlerdek düşüş, ters basıç gradye br soucudur. Bu düşüş I olu akış ç =3.5 cvarlarıa kadar gözlemlerke, bekleldğ gb grş Mach sayısıı düşük olduğu II ve III olu akışlarda daha erke soa ermektedr. Üst duvarda ters basıç gradye etkl olduğu alada, sıcaklık-sıçraması değerlerde de belrg br artış söz kousudur. Alt duvarda se, oluşa ters akıma bağlı olarak kayma hızları şaret değştrr. Akımı tekrar duvara yapıştığı 304 303 30 301 99 98 3 4 5 304 0.0 310 308 306 30 98 I I 0.00 1 3 4 5-3 4 5 1 3 4 5 I 0.30 0.5 0.0 I Şekl.3 Üst duvar boyuca sıcaklık-sıçraması dağılımı 56
KA yardımıyla mkro-akış aalz oktaya kadar sıcaklık-sıçraması değerler I, II ve III olu akışlar ç sürekl br bçmde artar. 304 303 30 301 99 I 98 3 4 5 0.0 0.00 0.30 0.5 0.0 I - 3 4 5 310 308 306 304 30 I I 98 1 3 4 5 1 3 4 5 Şekl 4. Üst duvar boyuca kayma-hızı dağılımı Akımı tekrar duvara yapıştığı oktada sora akım gelşme bölgese grer ve tpk ses altı kaal akışı davraışları gösterr. Arta akışka hızı le brlkte akışkaı sıcaklığı azalırke alt ve üst duvarlarda smetrk olmak üzere çıkışa doğru arta kayma-hızları meydaa gelr. Bezer şeklde, sıcaklık-sıçraması değerler de kaal çıkışıa doğru azalma eğlm göstermektedr. Yüksek grş Kudse sayılı akışlarda kaal çıkışıa doğru yce hızlaa akıma bağlı olarak, sıcaklık sıçraması değerler duvar sıcaklığıda daha düşüktür. 0.0 304 303 30 301 99 98 I 310 308 306 304 30 I 98 1 3 4 5 0.00 3 4 5-3 4 5 1 3 4 5 I 0.30 0.5 0.0 I Şekl 5. Alt duvar boyuca sıcaklık-sıçraması dağılımı 304 303 30 301 99 I 98 3 4 5 0.0 0.00-310 No: 308 I 306 No: 304 III 98 1 3 4 5 3 4 5 30 0.30 0.5 0.0 I I 1 3 4 5 Şekl 6. Alt duvar boyuca kayma-hızı dağılımı Kaal boyuca basıç dağılımı, grştek damk basıç değer ( q = 0.5* ρu ) le ormal- leştrlp Baysal ve Asla (00) ve Beskok u (00) elde ettğ souçlarla karşılaştırılmak üzere Şekl 7 de verlmştr. Bu karşılaştırma da göstermektedr k KA çözücüsü kullaılarak elde edle souçlar söz kousu kayaklarla büyük br uyum çdedr. P/q 7 6 5 4 3 0 4 Beskok Baysal-Asla Hesaplaa Şekl 7. Kaal boyuca basıç dağılımı İcelee her üç akışa at kaal boyuca yerel Kudse sayısı dağılımları elde edlmş ve Şekl 8 de karşılaştırma amaçlı verlmştr. Bu şeklde de görüldüğü üzere, kaal grşde basamağa 57
B. Çelk, F. O. Eds kadar ola bölgede, her üç akışa at dağılımlar bezer br değşm göstermektedr. Öte yada, basamakta kaal çıkışıa kadar ola bölgedek dağılımlar, brbrlerde oldukça farklıdır. I olu akışa at yerel Kudse sayısı dağılımı, Baysal ve Asla ı (00) elde ettğ souçla karşılaştırılmış ve souçları büyük br uyum çde oldukları gözlemlemştr. No I No II Akış alaıdak Mach koturları, üç akış ç ayrı ayrı Şekl 9 da verlmştr. Bu üç akış, ayı grş çıkış basıç oraıa sahp olmalarıa rağme, özellkle basamak ve kaal çıkışı cvarıda farklı davraışlar göstermektedrler. Bu farklılık, Şekl 8 de açıkça görüle, yerel Kudse sayısı dağılımlarıdak farklılığı kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması değerlere etks br soucu olarak yorumlaablr. Grş Kudse sayısı büyüdükçe, kaal çıkışıa doğru daha yüksek yerel Kudse sayısı gradyeler söz kousu olmaktadır. Buu soucu olarak arta kaymahızları, yüksek Mach gradyeler meydaa getrmektedr (Şekl 9). Öte yada, düşük Kudse sayılı I umaralı akış, basamak cvarıda daha yüksek Mach sayılarıa ulaşsa da kaal çıkışıda buu ters söz kousudur. K 0.040 0.03 0.04 0.016 0.008 Baysal-Asla (hesaplaa) No:II (hesaplaa) No:III (hesaplaa) 0.000 0 1 3 4 5 Şekl 8. Kaal boyuca K dağılımı 1.05 0.96 0.86 0.77 0.67 0.58 0.48 0.39 0.9 0.0 0.01 0.88 0.80 0.73 0.65 0.57 0.49 0.41 0.33 0.6 0.18 0.0 No III Şekl 9. Kaal boyuca M koturları 0.67 0.61 0.56 0.50 0.44 0.39 0.33 0.8 0. 0.17 0.11 0.06 58
KA yardımıyla mkro-akış aalz Souçlar Bu çalışmada, hem sıkıştırılablr hem de sıkıştırılamaz akış problemler çözümüde kullaılable KA SEY çözücüsü, kayma rejmde yer ala akışları da modelleyeblecek şeklde gelştrlmştr. Mkro boyutlu ters basamak geometrs ç, Kudse sayısı kayma bölgesde yer alacak şeklde üç farklı akış kurgulamıştır. Söz kousu akışlar, gelştrle çözücüü etklğ sıamak ve gerçekleştrle uyarlamaları doğrulamak ç hesaplamalı olarak çözülmüş ve elde edle souçlar lteratürde yer ala dğer hesaplamalı souçlarla karşılaştırılmıştır. Yapıla karşılaştırmalar, kullaıla algortmaı ve uygulaa yaklaşımı oldukça başarılı olduğuu göstermştr. Elde edle akış alaları ve bu ala çdek değşmler, kayma-hızı ve sıcaklık-sıçraması dağılımları le lşkledrlerek açıklamıştır. Böylece MEMS vb. aygıtlar çdek akışları alaşılması ve bu aygıtları hesaplamalı yötemler kullaılarak modellep yleştrlmese yöelk öeml br adım atılmıştır. Kayaklar Baysal, O. ve Asla, A.R., (00), Computg separated flows MEMS devces. ASME Fluds Egeerg Dvso Summer Meetg, Motreal, Quebec, Caada, July 14-18. Beskok, A. ve Karadaks, G.E., (1999), A model for flows chaels, ppes ad ducts at mcro ad ao scales, Mcroscale hermophyscal Egeerg, 3, 43-77. Beskok, A., Karadaks, G.E. ve rmmer, W., (1996), Rarefacto ad compressblty effects gas mcroflows, Joural of Fluds Egeerg, 118, 448-456. Beskok, A., (00), Molecular Based Mcrofludc smulato models, MEMS Hadbook, Gad-el Hak, M. (Edtor), 8.1-8.8, CRC Press, New York. Chor, A., (1967), A umercal method for solvg compressble vscous problems, Joural of- Computatoal Physcs,, 1-6. Chor, A., (1969), O the covergece of dscrete approxmato to the Naver-Stokes equatos, Mathematcs of Computato, 3, 341-353. Coda, R., Vasquez M. ve Zekewcz O.C., (1998), A Geeral algorthm for compressble compressble flows-part III: sem mplct form, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 7, 13-3. Çelk, B. ve Eds, F.O., (006) Aalyss of flud flow through mcro-fludc devces usg characterstc-based-splt procedure, Numercal Methods Fluds yayılaacak. Çelk, B., Eds, F.O. ve Mısırlıoğlu, A., (003), Aalyss of mcro sythetc jets usg CBS fte elemet method o movg deformg grds, Iteratoal symposum o raset covectve heat ad mass trasfer sgle ad two-phase flows, August 17-, Cesme, urkey, 417-46. Eds, F. O., Asla, R. A., (1998), Effcet compressble flow calculatos usg pqq1 elemets, Commucatos Numercal Methods Egeerg, 14, 161-178. Eds, F.O., Asla, R.A. ve Çelk B., (001), Implemetato of pseudo-secod order velocty terpolato wth the Characterstc-Based-Splt Procedure, Europea Cogress o Computatoal Methods Appled Sceces ad Egeerg ECCOMAS Computatoal Flud Dyamcs Coferece, Swasea, Wales, UK, 4-7 September. Eds, F.O., (1998), Effcet fte elemet computato of compressble vscous flows usg pseudo-secod-order velocty terpolato, Ph.D. hess, Istabul echcal Uversty, Isttute of Scece ad echology, İstabul. Gad-el-Hak, M., (001), Flow physcs MEMS, Mecaque & Idustres,, 313-341. Gad-el-Hak, M. (Edtor), (00), MEMS Hadbook, CRC Press, New York. Zekewcz, O.C. ve aylor, R.L. (1991), Fte Elemet Method, Vol., 4 th edto, McGraw- Hll, New York. Zekewcz, O.C. ve Wu, J., (199), A geeral explct or sem-mplct algorthm for compressble or compressble flows, Iteratoal Joural for Numercal Methods Egeerg, 35, 457-479. Zekewcz, O.C. ve Coda, R., (1995), A geeral algorthm for compressble ad compressble flows. Part I: he splt, characterstc-based scheme, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 0, 869-885. 59
B. Çelk, F. O. Eds Zekewcz, O.C., Morga K., Satya Sa B.V.K., Coda, R. ve Vasquez, M., (1995), A Geeral algorthm for compressble compressble flows- Part II: ests o the explct form, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 0, 887-913. Zekewcz, O. C., Satya Sa B. V. K., Morga, K. ve Coda R., (1996), Splt characterstc based sem mplct algorthm for lamar/turbulet compressble flows, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 3, 787-809. Zekewcz, O.C., Ntharasu, P. Vasquez, M., Coda, R. ve Ortz, P., (1999), he characterstc based-splt procedure: A effcet algorthm for flud problems, Iteratoal Joural for Numercal Methods Fluds, 31, 359-39. 60