1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr, sorulr m - z n çözümü içinde ht rltm mçld k. ÖSS de u konudn ortlm 1 soru ç kmktd r. Derginin undn sonrki s s nd Permütson, Kominson ve Ols l k konusu ele l nckt r. (+) ( 1) = (+) denklemini s ln de- erlerinin çrp m kçt r? A) 1 B) C) D) E) 1 (+).( 1) (+)= (+).( 1 )= (+).( 16)= += ve 16= 1 = ve = ve = olur. de erleri çrp m, ( ).( ).=1 ulunur. Yn t : E + + 8 = 6 denkleminin çözüm + kümesi fl dkilerden hngisidir? A) {1} B) {1} C) {1, 1} D) {, 5} E) {, 1} + = t dönüflümü p l rs, t + 8 = 6 t 6t+8 = t (t ) (t ) = t 1 = ve t = ulunur. t 1 = 1 =1 t = =1 olur. Yn t : C denklemini s ln +1. +1 1 = de erlerinin toplm kçt r? A) B) C) 1 D) E) dönüflümü p l rs, +1 = t t. 1 1 = t t t = (t ).(t+1) = t 1 = ve t = 1 olur. t 1 = için, 1 = 1 = 5 1 +1 t = 1 için, = 1 = 1 ulunur. +1 de erleri toplm, ( 5)+1= ulunur. Yn t : A +5 + = 7 denklemini s ln in tms de erlerinin toplm kçt r? A) 1 B) 9 C) D) 9 E) 1 Kritik noktlr, = 5 ve = dir. 5 için, 5 +=7 = 5 5 < < için, +5 + = 7 7 = 7 oldu undn, ( 5, ) rl ndki her tms denklemi s lr. için, +5+ = 7 = O hlde, ugun de erleri; 5,,,, 1,, 1, olur ve toplmlr 1 ulunur. Yn t : A 1.
8+m = denkleminin kökleri oln 1 ve rs nd 1 + = nt s ulundu un göre, 1 m kçt r? A) 1 B) 1 C) 16 D) 18 E) ++c = denklemi için, 1 + = ve 1. = c d r. 1 1 + = eflitli in iki n n n kresini l rsk, 1 + +. 1. 1 = 16 ulunur. Bir kökü M oln rsonel kts l ikinci derece denklem fl dkilerden hngisi olilir? A) 8 + 1 = B) 8 + 1 = C) 8 + 8 = D) + 8 + 8 = E) 8 8 = Köklerinden iri, M oln rsonel kts l ikinci derece denklemin di er kökü, +M dir. 1 + = M++M=8 ve 1. =( M).(+M)=8 ulunur. Kökleri, 1 ve oln ikinci derece denklemi, ( 1 + )+ 1. = oldu undn, denklem 8+8= d r. Yn t : C 1 + = 8 de erleri eflitlikte 1 = 8 ve 1. = m 1 = m erine z l rs, 8 + m = 16 m = 8 m = 16 ulunur. m m Yn t : C ( 1)( 7+6) eflitsizli ini s ln kç tne tms de eri vrd r? A) 1 B) C) D) E) 6 1. +1 ++ = ikinci derece denkleminin kökleri eflit oldu un göre, nin lilece i de erler toplm kçt r? A) 1 B) C) 1 D) E) Denklem, ikinci dereceden ir denklem ise, +1= olml d r. =1 ve = 1 dir. =1 ise, ++ = olur. ++c= denkleminin kökleri eflitse, = c= olc ndn, =16 (+)= = 1 ulunur. = 1 ise, + += olur. Kökleri eflitse, =16 ( +)= = 1 ulunur. de erleri toplm, 1 ulunur. 1 = Yn t : B f() = ( 1)( 7+6) ifdesinin iflretinin de iflti i de erlerini ull m: 1 = =1 7+6 = ( 6).( 1) = =6 ve =1 olur. = = ulunur. de erleri (, + ) rl n erlefltirilir. > 6 iken f() < olur. =1 de iki kt kök oldu undn, f() in iflreti de iflmez. Di er de erlerinde iflret de iflir. f(), = te tn ms z oldu undn, çözüm kümesine l nmz. Bilgiler tlod özetlenirse, f() çözüm rl, {1} (,6] d r. in lilece i tms de erleri; 1,5 ve 6 olup tnedir. Yn t : C 1 6 +
, N + olmk üzere, + eflitsizli ini s ln 11 tne tms vrs, kçt r? 1 5 f A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) f()= + = denkleminin köklerini ull m: ( +) ( ) = = ve =+ ulunur., N + oldu undn, < + dir. > + için, f() > d r. Bilgiler tlod özetlenirse, f() + + çözüm rl, [, +] olur. Bu rl kt 11 tne tms oldu undn, + ( )+1=11 =5 ulunur. R den R e f fonksionunun grfi i verilmifltir. 9 eflitsizli ini s ln tms f() de erlerinin toplm kçt r? A) B) C) D) 5 E) 6 g() = 9 ifdesinin iflretinin de iflti i f() de erlerini ull m: 9 = 1 = ve = tür. f()= 1 = =, =1 ve =5 tir. > 5 iken, g() < olur. g(), =, =1 ve =5 te tn ms z oldu undn, u de erler çözüm kümesine l nmz. Bilgiler tlo tfl n rs, Yn t : D g() 1 5 + çözüm rl, (,1) [,5) tir. in lilece i tms de erleri;, 1,, ve olup toplm, tür. Yn t : C eflitsizli ini s ln kç frkl 5 > 1 tms de eri vrd r? A) 17 B) 16 C) 15 D) 1 E) 1 +(m 1)+9 = denkleminin reel kökleri oktur. Bun göre, m nin lc tms de erlerinin toplm kçt r? A) B) C) D) 5 E) 6 5 > 1 5 > 8 5 < 8 ve 5 olml d r. 8 < 5 < 8 <<1 ve 5 olml d r. (, 1) rl nd, 1 ( ) 1=15 tne tms vrd r. =5 olmc ndn, eflitsizli i s ln tms - lr, 15 1=1 tnedir. Yn t : D +(m 1)+9= denkleminde, =1, =(m 1), c=9 dur. Denklemin reel köklerinin olmms için, < olml d r. = c=(m 1).1.9 < m m 8 < olml d r. m m 8 = m 1 = ve m = dir. 1. 5
m + m m 8 çözüm rl, (,)tür. Bu rl ktki tms lr; 1,,1, ve olup toplmlr, 5 tir. Yn t: D +m+5m = denkleminin ters iflretli iki kökü 1 ve dir. 1 < oldu un göre, fl dki önermelerden hngisi do rudur? A) m < ve 1 < B) m < ve < C) m > ve 1 < D) m > ve < 1 E) m < ve 1 > ++c = denkleminin kökleri ters iflretli ise, c < d r. Bu durumd: ) > ise, 1 < ) < ise, 1 > c) = ise, 1 = dir. 1 < oldu undn, 1. = 5m < m < ve 1 + = m > 1 < olur. m < ve 1 < olml d r. Yn t: A ) > ise, < 1 < dir. ) < ise, 1 < < d r. (m ) m= denkleminde; =(m ) +1m=9m + > d r. c = m > m< ve =m < m< olml d r. m < ve m < ise, m < olur. Eflitsizli i s ln en üük tms de eri, 1 olur. Yn t: B > m 1 eflitsizli inin çözüm kümesi tüm reel s lr ise, m nin çözüm rl fl dkilerden hngisidir? A) (, 1) B) ( 1, ) C) ( 1, ) D) (1, ) E) (, ) f()= ++c > eflitsizli in çözüm kümesinin R olms için, > ve = c< olml d r. > m 1 (m+) + 1 > =1 ve =(m+). 1 < ise, m +1m+8< m +m+ < olur. m +m+= denkleminin kökleri m 1 = ve m = 1 dir. m +m+ m 1 + Çözüm rl, <m< 1 ulunur. Yn t: A (m ) m = denkleminin iririnden frkl ve negtif iki kökünün olms için, m nin lilece i en üük tms de eri kç olml d r? A) B) 1 C) D) 1 E) ++c= denkleminin kökleri 1 ve olsun. > olm koflulul, c > ise, kökler n iflretlidir. fiekilde, = f() prolü verilmifltir. = f() prolü ile + = 1 do rusunun kesim noktlr A ve B dir. Bun göre, TK kç irimdir? A) 5 B) 7 5 C) A T K D) 5 B + = 1 E) 9 1. 6
+=1 denkleminde, = iken =6 d r. A(,6) olur. = iken = tür. B(,) olur. + Tepe nokts n n psisi, r= olur. =1 Prolün denklemini kurl m: f()=(+)( ) ve f()=6 oldu undn, f()=..( )=6 = tür. f()= (+)( ) olur. k=f(r)=f(1) = 7 tür. Do ru denkleminde, =1 iken = 9 K(1, 9 ) olur. TK = 7 9 = 9 ulunur. Yn t : E dir. = +n do rusu, = n+n+ prolüne te- et oldu un göre, n nin pozitif de eri kçt r? A) 7 B) 6 C) 5 D) E) = +n do rusu, = n+n+ prolüne te et oldu un göre, n+n+= +n ortk çözüm denkleminde, = olml d r. +( n)+= = c=( n).1. = n= ve n=6 ulunur. n nin pozitif de eri, 6 olur. Yn t: B fiekilde, =f() prolü verilmifltir. Prolün lilece i en küçük de er 18 ise, f A nokts n n ordint kçt r? A = + prolü ile = + do rusu A ve B noktlr nd kesiflior. Bun göre, AB do ru prçs n n ort nokts n n koordintlr toplm kçt r? A) 5 B) 9 C) 7 D) 9 E) 1 +=+ ortk çözüm denkleminin kökleri prol ile do runun kesim noktlr n n psisleridir. A) 16 B) 1 C) 8 D) 6 E) Prolün tepe nokts n n psisi, r = + = 1 dir. Prolün en küçük de eri, k = f( 1) = 18 dir. Prolün denklemini kurl m: f() = ( + ) ( ) f ( 1) =. ( ) = 18 = A nokts n n ordint, f() =. ( ) = 16 ulunur. Yn t: A Kökler toplm n n r s ise, AB do ru prçs n n ort nokts n n psisidir. A( 1, 1 ) B(, ) O(, ) =+ Üç kenr n n uzunluklr toplm metre oln ir dikdörtgenin ln en çok kç metrekre olur? A) 15 B) C) 5 D) E) 1. 5+1= ortk çözüm denkleminde, = 1 + = 5 ve = 1+ = 1 ++ + = 5 + = 9 ulunur. + = 7 ulunur. Yn t: C 7 Dikdörtgenin ln, S() = ( ) = + fonksionudur. r = = 1 ve S(1) = ulunur. Yn t: B