G( q ) yer çekimi matrisi;

RPR (DÖNEL PRİZATİK DÖNEL) EKLE YAPISINA SAHİP BİR ROBOTUN DİNAİK DENKLELERİNİN VEKTÖR-ATRİS FORDA TÜRETİLESİ Aytaç ALTAN Osmancık Ömer Derindere eslek Yüksekokulu Hitit Üniversitesi aytacaltan@hitit.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, RPR (Dönel-Prizmatik-Dönel) eklem yapısına sahip robot kolunun dinamik denklemleri türetilmiştir. Robot kolunun link uzunlukları birinci link için L,ikinci link için L, üçüncü link için L olarak alınmıştır. Link kütleleri ise link uçlarında nokta kütle olarak sırasıyla m, m ve m olarak alınmıştır. Dinamik denklemeler vektör-matris formunda türetilmiş, robot kolunun dinamik denklem ifadesi içerisinde yer alan atalet, yer çekimi, coriolis ve merkezkaç vektörleri matris formunda hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: RPR, robot dinamiği, robot kolu, robot, dinamik denklem. GİRİŞ Bir robot kolunun dinamiği, robot kolunun kendi hareketinden oluşan eşitliklerin matematiksel olarak belirli bir formda ifade edilmesidir. Bir robot kolunun hareketinden üretilen dinamik eşitlikler, robot kolunun dinamik davranışını tanımlayan matematiksel ifadelerden oluşmaktadır. Robot kolunun dinamik analizi, eklemlere tahrik elemanları tarafından uygulanan moment veya kuvvet büyüklükleri ile robot kolunun zamana göre konumu, hızı ve ivmesi arasındaki ilişkilerin incelenmesi olarak tanımlanabilir. Genel olarak bir robot kolunun performansı, etkili kontrol algoritmasının ve uygun dinamik modelinin elde edilmesine bağlıdır. RPR eklem yapısına sahip robotun dinamik denklemleri, kinetik ve potansiyel enerji farkından yararlanan Langrange denklemi kullanılarak sade şekilde modellenmiştir. RPR eklem yapısına sahip robotun dinamik denklemi; üç kolun toplam kinetik enerjisi ile toplam potansiyel enerjisi arasındaki farkın, dönel eklemler için eklem açısı, prizmatik eklemler için link uzunluğunu ifade eden değişkenlere göre kısmi türevlerinden faydalanılarak bulunmuştur. Söz konusu robotun dinamik denklemi içerisinde yer alan ( q ) atalet matrisi; ( q) V ( q, q& ) coriolis ve merkezkaç matrisi; V V ( q, q) V V () & () G( q ) yer çekimi matrisi; G G( q) G G yapıda olacaktır. (4). RPR EKLE YAPISINA SAHİP ROBOTUN GENEL DİNAİK DENKLE İFADESİ RPR eklem yapısına sahip Şekil de gösterilen robotun genel dinamik denklemi vektör-matris formda aşağıda verilmiştir. n τ f ( q) q&& + V ( q, q& ) + G( q) n () Şekil : RPR eklem yapısına sahip robot kolu Sistemin link değişkenleri q [ θ d θ T şeklinde τ [ n f n T verilmektedir. Elde edilecek tork ifadesi şeklinde olacaktır. 59

.. RPR Eklem Yapısına Sahip Robot Kolunun Kinetik ve Potansiyel Enerji Denklemlerinin Çıkarılması Robot kolunun link uzunlukları birinci link için L, ikinci link için L, üçüncü link için L olarak alınmıştır. Link kütleleri ise link uçlarında nokta kütle olarak sırasıyla m, m ve m olarak alınmıştır. K m v K ml & θ (7) P m gy P m gl cosθ (8) nci link için; ω & θ (9) x d cosθ L sinθ p (0) y L cosθ + d sinθ () v ( x& ) + ( y& ) () v cos θ cos θθ& d & ( L cosθ + d sin θ) + & θ ( L cosθ + d sin θ) + sin θ + sin θθ& ( L sinθ + d cos θ ) + & θ ( L sinθ + d cos θ ) K m v () K m L & θ d & + & θ ( L + d (4) Şekil : RPR eklem yapısına sahip robot kolunun koordinat sistemine yerleştirilmesi Linklerin atalet momentleri 0 olarak kabul edildiğinde, x L cosα L cos(90 θ) x L sinθ (5) y L sinα L sin(90 θ ) y L cosθ (6) xa d cosθ (7) y d sinθ (8) A x xa x x d cosθ L sinθ (9) y y + y y L cosθ + d sinθ (0) A xb L cos( θ + θ) () y L sin( θ + θ ) () B x x + xb x d cosθ L sinθ + L cos( θ + θ) () y y + y y L cosθ + d sinθ + L sin( θ + θ ) (4) B P m gy m g( L cosθ + d sin θ ) (5) üncü link için; ω & θ + & θ (6) x d cosθ L sinθ + L cos( θ + θ) (7) p y L cosθ + d sinθ + L sin( θ + θ) v ( x& ) + ( y& ) (8) v L & θ d & + & θ ( L + d ) L sin θ ( & θ + & θ) + L ( & θ + & θ & θ )( L sinθ + d cos θ ) + L ( & θ + & θ ) K m v (9) (0) inci link için; ω & θ (5) v ω L & θ L (6) olacaktır. () () 60

.. RPR Eklem Yapısına Sahip Robotun Toplam Kinetik ve Potansiyel Enerjisi RPR eklem yapısına sahip robotun toplam kinetik ve potansiyel enerjisi, her link için hesaplanan kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı olarak ifade edilir. Toplam kinetik ve potansiyel enerji aşağıdaki gibi elde edilir. K K + K + K () K m L & θ + m L & θ d & + & θ ( L d + + m [ L & θ d & + & θ ( L + d ) L sin θ ( & θ + & θ) + L ( & θ + & θθ& )( L sinθ + d cos θ ) + L ( & θ + & θ ) (4) P P + P + P (5) P m gl cos θ + m g( L cosθ + d sin θ ) [ cosθ sinθ sin( θ θ ) + m g L + d + L + (6) d L ml && θ ( m + m) L & + ( m + m )( L + d )&& θ dt & θ + ( m + m ) d & θ m L sinθ & m L cosθ & θ + ml cos θ + & θ( L cosθ d sin θ( & θ + & θ) + m L ( L sinθ + d cos θ )(&& θ + && θ ) + m L (&& θ + && θ ) L m gl sin θ mg( d cosθ L sin θ) θ [ cosθ sinθ cos( θ θ ) m g d L + L + (4) (4) Denklem (40), (4) ve (4) denklem (9) da yerlerine konulduğunda inci link için elde edilen tork ifadesi aşağıdaki şekilde olur. n ml + ( m + m )( L + d ) + m L ( L sinθ + d cos θ) + m L && θ + [ ( m + m ) L m L sin θ & + m L ( L sinθ + d cos θ) + ml && θ + ( m + m ) d & θ + m L cos θ & θ d & + m L ( L cosθ d sin θ)( & θθ& + & θ m gl sin θ + m g( d cosθ L sin θ ) + m g d cosθ L sinθ + L cos( θ + θ ).. Lagrange-Euler Denklemi ile Dinamik odelin Çıkarılması RPR eklem yapısına sahip robotun toplam kinetik enerjisi ile toplam potansiyel enerjisi arasındaki farkı temsil eden Langrange fonksiyon ifadesi; L K P (7) L m L & θ + m L & θ d & + & θ ( L d + + m [ L & θ d & + & θ ( L + d ) L sin θ ( & θ + & θ) + L ( & θ + & θ & θ )( L sinθ + d cos θ ) + L ( & θ + & θ ) m gl cos θ m g( L cosθ + d sin θ ) m g L cosθ + d sinθ + L sin( θ + θ ) (8) nci link için elde edilecek kuvvet ifadesi; f dt d L ( m + m ) ( m + m) L & θ ml sin θ( & θ + & θ) d L ( m + m) & ( m + m) L && θ ml sin θ( && θ + && θ) dt m L cos θ ( & θ & θ + & θ ) L ( m + m) d & θ + ml cos θ( & θ + & θ & θ ) ( m + m) g sinθ d (4) (44) (45) (46) şeklinde elde edilir.. RPR EKLE YAPISINA SAHİP ROBOTUN TOPLA TORK VE KUVVET İFADESİNİN ELDE EDİLESİ inci link için elde edilecek tork ifadesi; n dt & θ θ (9) Denklem (44), (45) ve (46) denklem (4) de yerlerine konulduğunda nci link için elde edilen kuvvet ifadesi aşağıdaki şekilde olur: f ( m + m ) L m L sin θ && θ + ( m + m ) & + ( m L sin θ )&& θ + ml cos θ( & θ + & θ) ( m + m ) d & θ + + [( m m ) gsinθ üncü link için elde edilecek tork ifadesi; L m L & θ ( m + m ) Ld & + ( m + m )( L + d ) & θ m L sinθ d & & θ + m L ( L sinθ + d cos θ )( & θ + & θ ) + m L ( & θ + & θ ) (40) n dt & θ θ L m L sin θ + m L ( L sinθ + d cos θ) & θ + m L (& θ + & θ) & θ (47) (48) 6

d L ml sinθ& ml cosθ & θ d & dt & θ (49) + ml cos θ & θ d & + ml ( L cosθ d sin θ) & θ & θ + m L ( L sinθ + d cos θ )&& θ + m L (&& θ + && θ ) L m L cos θ ( & θ + & θ) + ml ( & θ + & θθ& )( L cosθ d sin θ) (50) θ m gl cos( θ + θ ) Denklem (48), (49) ve (50) denklem (47) de yerlerine konulduğunda üncü link için elde edilen tork ifadesi aşağıdaki şekilde olur: n m L ( L sinθ + d cos θ) + m L && θ + ( ml sin θ) & + ( ml )&& θ + m L cos θ & θ m L ( L cosθ d sin θ) & θ + m gl cos( θ + θ) 4. RPR EKLE YAPISINA SAHİP ROBOTUN DİNAİK DENKLE BİLEŞENLERİ Elde edilen n, f ve ( q) n ifadelerinden; ml + ( m + m )( L + d ) + ml ( L sin θ + d cos θ ) + ml ( m + m ) L m L sinθ m L ( L sinθ + d cos θ ) + m L ( m + m ) L m L sinθ m + m m L sinθ m L ( L sinθ + d cos θ ) + m L m L sinθ m L, ( q ) matrisi simetriktir. ve olduğundan V ( q, q& ) V V V V ( m + m) d & θ + ml cos θθ& + ml( Lcos θ d sin θ )( && θθ + & θ ) V m L cos θ ( & θ + & θ ) ( m + m ) d & θ V m L cos θ & θ m L ( L cosθ d sin θ ) & θ G( q) G G G G mgl sin θ + mg( d cos θ Lsin θ) + mg d cos θ Lsin θ + Lcos( θ + θ ) G ( m + m ) g sinθ G m gl cos( θ + θ ) 5. VEKTÖR-ATRİS FORDA TÜRETİLEN DİNAİK DENKLELER İLE PD (ORANSAL VE TÜREVSEL) HESAPLANIŞ TORK DENETLEYİCİSİ TASARII Vektör-matris formda türetilen RPR eklem yapısına sahip robot kolunun dinamik denklem bileşenlerinden atalet coriolis ve merkezkaç matrisi ve yer çekimi matrisinde yer alan değişkenlere değer ataması yapılarak ATLAB ortamında robot kolu ve kontrolör kısmına ilişkin yazılan program ile deneyleri yapılmış ve tasarlanan sistemin istenilen yörüngeleri takip ettiği gözlemlenmiştir. Yapılan simülasyonda RPR eklem yapısına sahip robotun; kütleleri m kg, m,5kg ve m 0,5kg alınmış, link uzunlukları L 0,75m ve L 0,5 alınmıştır. Eklem değişkenlerinin izlemesi istenilen yörüngeler; θ d 0sint, d d sint ve θ d 5cost olarak belirlenmiştir. Vektör-matris formda türetilen RPR eklem yapısına sahip robot kolunun dinamik denklemleri kullanılarak tasarlanan hesaplanmış tork denetleyicisinin takip hataları ve eklem değişkenlerine ilişkin ATLAB simülasyon sonuçları aşağıda sunulmuştur. Elde edilen sonuç grafiklerinden de anlaşılacağı gibi, RPR eklem yapısına sahip robot kolunun dinamik denklemleri kullanılarak ATLAB ortamında tasarımı gerçekleştirilen PD hesaplanmış tork denetleyicisinin yukarıda belirtilen yörüngeleri takip ettiği gözlemlenmiştir. Bu gözlem neticesi, vektör-matris formda türetilen RPR eklem yapısına sahip robotun dinamik denklemlerinin doğruluğunu da teyit etmektedir. 6

Takip Hataları e (t), e (t) ve e (t) (rad ) Eklem Değişkenleri θ (t), d (t) ve θ (t) 6. SONUÇLAR RPR (Dönel-Prizmatik-Dönel) eklem yapısına sahip robot kolunun dinamik denklem bileşenleri; atalet coriolis ve merkezkaç matrisi ve yer çekimi matrisi vektör matris formunda türetilmiş ve RPR robotun genel dinamik denklem ifadesi tork eşitliği yardımıyla denklem () ifade edildiği şekilde tanımlanmıştır. Bir robot kolunun performansı kontrol algoritması ve dinamik denklem ifadelerine doğrudan bağlı olduğundan, performansı maksimize edecek en uygun dinamik modelin elde edilmesi robot kolunun kontrolünde önemli rol oynamaktadır. Denklem () de ifade edilen dinamik denklem ifadesi için alındığında ifadeler vektör matris formunda açık bir şekilde görülecektir. Elde edilen dinamik denklem ifadeleri vasıtasıyla, sistemin hesaplanmış tork denetleyicisi ve kontrolör kısmı daha rahat kontrol edilebilir ve sistemin diğer katmanları için oluşturulacak uygun tasarıma olumlu yönde katkı sağlayabilir. 7. KAYNAKLAR [ Lewis, F.L., Dawson, D.. and Abdallah C.T., ``Robot anipulator Control Theory and Practice'', arcel Dekker, Inc., New York-Basel, 004. [ Bingül, Z., ve Küçük, S., Robot Dinamiği ve Kontrolü, Birsen Yayınevi, İstanbul, 008. 6