Rijit Cisimlerin Dengesi 1
Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi Denge denklemlerini kullanarak, rijit cisimlerin denge problemlerinin çözülmesi 2
Rijit cisim denge koşulları Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkimektedir. Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı olabilir. İç kuvvetlerin toplamı sıfırdır, çünkü cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç kuvvetler, Newtonun üçüncü kanununa göre eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir. 3
4 Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir. 0 ) ( 0 O O R R M M F F
İki Boyutta Denge Bu bölümde aynı düzlemdeki kuvvetlerden ve bu düzleme dik momentlerin dengesi incelenecek. Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir. Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir. 5
Serbest Cisim Diyagramları Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir serbest cismi gösteren bir taslaktır. Serbest cisim diyagramını çizmek için: 1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır. 2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri harflerle gösterilmelidir 3) Bir x-y koordinat eksenleri oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler, bu eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir. 4) Cismin boyutları belirtilmelidir, bu boyutlar momentler bulunurken kullanılacaktır. 6
Mesnet Reaksiyonları Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu doğrultuda bir kuvvet ortaya çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır. Örneğin, bir kirişte görülen üç mesnet türüne bakalım: Kayar mesnet: sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet uygular. Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde) Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket edebildiği için o yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz. 7
Basit mesnet (pimli mesnet): kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak daha kısıtlayıcı bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere tutturulmuş iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi bir doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti uygulamalıdır. Bu etkiyi F x ve F y bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş sadece serbestçe dönebilir. 8
Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin en kısıtlayıcı yolu, şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır. Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır. Kuvvet mafsallı mesnette olduğu gibi F x ve F y bileşenleri ile ifade edilir, ve bu kuvvetler bilinirse açısı da kolaylıkla bulunur. Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır. 9
Diğer Rijit Cisim Mesnet Türleri Tabloda, sıklıkla kullanılan diğer mesnet türleri verilmiştir. Tüm durumlarda açısının bilindiği kabul edilmiştir. Kablo: 1 bilinmeyen, tepki kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvveti Ağırlıksız çubuk; 1 bilinmeyen, tepki bağlantı çubuğu ekseni boyunca iki yönlü kuvvet Kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. 10
Sürtünmesiz yuva içinde kayar mesnet: 1 bilinmeyen, tepki yuvaya dik etkiyen bir kuvvettir. Sallanan mesnet: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. Sürtünmesiz yüzey: 1 bilinmeyen, tepki temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir kuvvettir. Mafsallı kayar eleman: 1 bilinmeyen, tepki elemana dik etkiyen bir kuvvettir. 11
Mafsallı sabit mesnet: İki bilinmeyen, kuvvetin iki bileşeni veya bileşke kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu. Ankastre kayar mesnet: iki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet Ankastre mesnet: üç bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet bileşeni veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu. 12
kablo Kayar mesnet Sürtünmesiz yüzey Sabit mesnet ankastre 13
Dış ve İç kuvvetler Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında iç kuvvetler gösterilmez. İç ve dış kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim üzerindeki net etkileri sıfırdır. Motora etkiyen tüm iç kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı serbest cisim diyagramında gösterilir. 14
Ağırlık ve Ağırlık Merkezi Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniformsa (aynı malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse bu durumda ağırlık merkezi verilecektir. 15
İdealize edilmiş modeller Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı ve cismin boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir. Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir. 16
Örnek 21 Şekildeki üniform kirişin serbest cisim diyagramını çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg dır. 17
Örnek 22 300 er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü gibi traktörle taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını her boru için ve birlikte çiziniz. 18
19
Örnek 23 Şekilde gösterilen sistemin matematiksel modelini kurun ve serbest cisim diyagramını çiziniz. 20
Denge denklemleri Rijit bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul: 0 F 0 ve M 0 Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir. F F x y M 0 0 O 0 Cisim üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin toplamı Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O noktasından geçen bir eksene göre momentlerinin toplamı 21
22 Alternatif Denge Denklemi Setleri 0 0 0 O y x M F F denklemleri düzlemsel denge problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılmakla birlikte üç bağımsız denklemden oluşan iki alternatif denklem seti de kullanılabilir: 0 0 0 B A x M M F Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A ve B moment noktalarının, x eksenine dik bir doğru üzerinde yer almamaları gerekir. Aksi durumda denklemler birbirinden bağımsız olmaz. 1 0 0 0 C B A M M M 2 Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A, B ve C'nin üçü birden aynı doğru üzerinde olmamalıdır.
Analizde İzlenecek yol: Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi: Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre belirlenen doğrultuları belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için gerekli olan cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir. Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet veya kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir. Denge denklemlerinin uygulanması: Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M 0 =0 moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak F x =0 ve F y =0 denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir skaler çıkarsa, sözkonusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır. 23
Örnek 24 Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki mesnet kuvvetlerini bulunuz. A: kayar mesnet B: basit mesnet 24
1- Serbest cisim diyagramı * Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabuluyle etki ettirildi. 25
2- Denge Denklemleri kontrol 26
Örnek 25 3 m 750 N 3 m A ve B noktasında oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz. 2 m A: basit mesnet B: kayar mesnet 750 N 3 m 3 m 2 m 27
Denge Denklemleri NB reaksiyonunu bulmak için A noktasına göre moment alınır: N N B B M A 0 cos30.(6m) 536.2N Ax 268N Ay 286N N B sin 30.(2m) 750N.(3m) 0 Fx 0 Ax (536.2N)sin 30 0 Fy 0 Ay (536.2N)cos30 750N 750 N 3 m 0 3 m 2 m 28
Örnek 26 Şekildeki sistemin mesnet reaksiyonlarını bulunuz. Not: A noktası düşey yönde hareket edebiliyor A: mafsallı kayar eleman B: kayar mesnet 29
SERBEST CİSİM DİYAGRAMI 30
DENGE DENKLEMLERİ A x ve N B kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir: daha sonra A noktasına göre moment alınır: veya 31
Örnek 27 A noktasından mafsallı eleman B noktasında sürtünmesiz bir mesnetle desteklenmiştir. A mafsalındaki mesnet kuvvetlerini bulunuz. A: sabit mesnet B: sürtünmesiz mesnet 32
33
Örnek 28 A mesnedinde oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz. A: ankastre mesnet F F M x y A 0 0 0 A A y M x A M 400.cos 30 0 A 3.90 knm A x 346N 200 200 200 400.sin 30 0 200(2.5) 200(3.5) 200(4.5) 400.sin 30(4.5) 400.cos 30(3sin 60) 0 A y 800N 34
Ödev 12 Mesnet tepkilerini ve C noktasında oluşan kuvveti bulunuz. 11.31 kn 35
Çalışma sorusu-1 Şekilde görülen 200 kg ağırlığındaki kasa AB ve AC halatları ile taşınmaktadır. Her halat kopmadan en fazla 10 kn luk yük taşıyabilmektedir. AB halatının yatay pozisyonda olması koşuluyla, halatlardan biri kopmadan kasanın dengede kalması için gerekli en küçük açısını hesaplayınız. 36
Çözüm 37
Çalışma sorusu-2 AB, AC ve AD kablolarında oluşan kuvvetleri bulunuz. 300 N 38
Çözüm 300 N 39
40 Hatırlatma: Bir vektörün kartezyen bileşenleri Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak; z y x y x z A A A A A A A A A A
Kartezyen birim vektörler Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir. 41
Kartezyen vektör gösterimi Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir. A A iˆ x A y ˆj A kˆ z 42
Kartezyen vektörün yönleri A vektörünün doğrultusu, A nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır., ve yı belirlemek için A nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır. 43
Yön kosinüsleri 44
A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır. ** Eğer bir vektörün şiddeti ve yön kosinüsleri biliniyorsa, A vektörü kartezyen koordinatlarda ifade edilebilir. 45