DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik) Model elde edilir. Primal model ile Dual modelin optimal çözümleri aynıdır. Dual modelin kullanılmasının iki önemli nedeni vardır: 1. Bazen, primal probleme göre dual problemin çözümüne daha az hesaplama ile ulaşılabilir. 2. Dual problemin çözümü önemli ekonomik yorumlar sağlar. 2
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE Primal ve dual modelde değişken ve kısıtlayıcı sayısının farklı olması, birinin diğerinden daha kolay çözülebilir olmasını sağlar. Z max olan bir Primal modelin duali Z min olur. Bu tersi içinde geçerlidir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu hangi modelde max oluyorsa ona göre çözüm yapmak daha avantajlı olur. Çünkü max. model, min. modele göre daha az yapay değişken gerektirir. 3
4 Max. Problemlerinde Dualite: Eğer bir işletme en büyük (max.) kar yada gelir sağlamayı amaçlayan bir üretim programı belirlemek istiyorsa, ürün satış fiyatlarının sabit olması varsayımı ile, işletme aynı amacı üretim programının toplam maliyetini en küçük (min.) etmekle de sağlayabilir. Min. Problemlerinde Dualite: Aynı biçimde işletme verilen kısıtlara göre toplam üretim maliyetini en küçük (min.) etmek isteyen bir üretim programı belirlenmek isteniyorsa, işletme aynı amacını satış gelirini en büyük (max.) etmek suretiyle de sağlayabilir.
Doğrusal programlamada ikilik (dualite) özelliğine göre, sabit satış fiyatları ve belirli kaynak sınırlılıkları ile ürünlerin toplam katkısını (kâr) maksimize eden bir üretim programını belirleyen bir yönetici, bir üretim programının toplam üretim maliyetini de minimize etmiş olur. Doğrusal Programlamada her max problemin bir duali yani minimumu veya her min. problemin bir maksimum problemi vardır. Böylece, bir dual problemin duali kendisidir. 5
Bir in Kurulması: 1. Primal model Z max ise Dual model Z min olur. Bunun tersi de doğrudur. 2. Primal modelde kısıtlayıcıların yönü ise Dual modelde kısıtlayıcıların yönü olur. Bunun tersi de doğrudur. 3. Primal modeldeki eşitsizliklerin sağ tarafında bulunan b i sabitleri, dual modelde amaç fonksiyonunun katsayıları (c j ) olur. 4. Primal modeldeki değişkenlerin (X j lerin) katsayılarının oluşturduğu matrisin devriği (transpozu) alınır. Devrik matrisin değerleri dual modelin değişkenlerinin (y i lerin) katsayıları olur. Bunun tersi de doğrudur. 5. Primal modeldeki amaç fonksiyonlarının katsayıları (c j ler) dual modelin eşitsizliklerinin sağ tarafındaki b i katsayılarını oluştururlar. Bunun tersi de doğrudur. 6. Primal modeldeki değişken sayısı, dual modeldeki kısıtlayıcı sayısına eşittir. 7. Primal modeldeki kısıtlayıcı sayısı, dual modeldeki değişken sayısına eşittir. 6
Bir DP nin Dualini Bulma Normal maksimizasyon problemi Tüm değişkenlerin 0 veya 0 dan büyük olduğu ve Tüm kısıtların olduğu bir sorundur. Normal maksimizasyon probleminin duali normal minimizasyon problemidir. Normal minimizasyon problemi Tüm değişkenlerin 0 veya 0 dan büyük olduğu ve Tüm kısıtların olduğu bir sorundur. Normal minimizasyon probleminin duali de normal mksimizasyon problemidir. 7
Normal max. probleminin Dualini Bulma PRİMAL DUAL 8
Normal min. probleminin Dualini Bulma PRİMAL DUAL 9
Örnek : Aşağıdaki primal modelin dualini alınız Z max = 4X 1 +2X 2 X 1 +X 2 2 2X 1 +X 2 4 X 1 +2X 2 5 Z min = 2y 1 +4y 2 +5y 3 y 1 +2y 2 +y 3 4 y 1 +y 2 +2y 3 2 y j 0 Örnek : Aşağıdaki primal modelin dualini alınız 10 Z min = X 1 +2X 2 +4X 3 X 1 +X 2 +2X 3 6 X 1 +2X 2 +4X 3 10 Z max = 6y 1 +10y 2 y 1 +y 2 1 2y 1 +y 2 2 2y 1 +4y 2 4 y i 0
Normal Olmayan Problemlerin Dualini Bulma Eğer i. primal kısıt problemin normal olmasını engelliyorsa (min <, max > ise), -1 ile çarpılarak normal hale getirilir veya ilgili dual değişken yi < 0 şeklinde alınır. Eğer i. primal kısıt eşitlikse, ilgili dual değişken yi "işareti sınırlandırılmamış" (unrestricted in sign - urs) değişkendir. Eğer i. primal değişken işareti sınırlandırılmamış ise, i. dual kısıt eşitliktir. 11
Örnek : Aşağıdaki primal modellerin dualini alınız. Z max = 4X 1 +2X 2 +5X 3 X 1 +X 2 2 X 1 +2X 2 +3X 3 15 Z min = 5X 1 +4X 2 +3X 3 +6X 4 2X 1 +3X 2 +X 3 +7X 4 125 X 1 +X 2 +X 3 +X 4 =15 2X 1 +X 2 +X 3 +3X 4 22 Z min =-2y 1 +15y 2 -y 1 +y 2 4 -y 1 +2y 2 2 3y 2 5 y j 0 Z max =-125y 1 +15y 2 +35y 3-2y 1 +y 2 +2y 3 5-3y 1 +y 2 +y 3 4 -y 1 +y 2 +y 3 3-7y 1 +y 2 +3y 3 6 y 1, y 3 0 y 2 sınırlandırılmamış 12
Çözümlü sorular Z max = 10X 1 +15X 2 +20X 3 +25X 4 8X 1 +6X 2 -X 3 +X 4 16 3X 1 +2X 3 X 4 = 20 Z max = 10X 1 +15X 2 +20X 3 +25X 4 8X 1 +6X 2 -X 3 +X 4 16 3X 1 +2X 3 X 4 = 20 13 Z min =16y 1 +20y 2 8y 1 +3y 2 10 6y 1 15 -y 1 +2y 2 20 y 1 -y 2 25 y 1 0 y 2 sınırlandırılmamış Z min =16y 1 +20y 2 8y 1 +3y 2 10 6y 1 15 -y 1 +2y 2 20 y 1 -y 2 25 y 1 0 y 2 sınırlandırılmamış
Z max = 8X 1 +7X 2 +9X 3 8X 1-7X 2 +4X 3 28 X 1 + 3X 3 51 19X 1-8X 2 +X 3 = 22 Z min =28y 1-51y 2 +22y 3 8y 1 -y 2 +19y 3 8-7y 1-8y 3 7 4y 1-3y 2 +y 3 9 y 1, y 2 0 y 3 sınırlandırılmamış Z max = 5X 1 +12X 2 +4X 3 X 1 +2X 2 +X 3 10 2X 1 -X 2 +3X 3 = 8 Z min =10y 1 +8y 2 y 1 +2y 2 5 2y 1 -y 2 12 y 1 +3y 2 4 y 1 0 y 2 sınırlandırılmamış 14
Z max = 3X 1 +2X 2 2X 1-5X 2 3 3X 1 +7X 2 =-5 X 2 0 ve X 1 sınırlanmamış Z min =-3y 1-5y 2-2y 1 + 3y 2 =3 5y 1 +7y 2 2 y 1 0 y 2 sınırlandırılmamış Z min =-2X 1 +3X 2 +4X 3 X 1 +X 2 +X 3 =17-2X 1 +X 2 6 X 3 4 X 1, X 2 0 ve X 3 sınırlanmamış Z max =17y 1-6y 2 +4y 3 y 1 +2y 2-2 y 1 -y 2 3 y 1 +y 3 =4 y 2, y 3 0 y 1 sınırlandırılmamış 15