Matemati in en önemli ve en temel konular ndan birine

42. Süreklilik Matemati in en önemli ve en temel konular ndan birine geldik: Süreklilik. Her zamanki gibi önce kavram n sezgisel anlam n aç klaal m. Baz fonksionlar n grafi inde kopukluk oktur, baz lar nda ise tam tersine kopukluk vard r. = ƒ() Grafi inde kopukluk olmaan bir fonksion = ƒ() a ƒ(a) = b c Grafi inde a noktas nda kopukluk olan bir fonksion 377

378 42. Süreklilik Birinci örnekte kopukluk okken ikinci örnekte a noktas nda bir kopukluk, ani bir s çrama var. Matematiksel tan m birazdan verece iz, ama flimdilik sezgi kazand rmak amac la söleelim: Birinci örnekteki gibi fonksionlara denir. kinci örnekteki fonksion ise a noktas nda orada bir kopukluk, bir s çrama vard r., nsanlar süreklilikten daha çok hofllan rlar. Süreklilik ola an durumdur, anlafl lmas, bafla ç kmas daha kolad r. Deprem gibi, uçurumdan uvarlanmak gibi, bas nç düflmesi gibi, ola an koflullar n süreklili inin bozuldu u durumlar ölümcül olabilir. Atomun varl kan tland ndan beri maddenin sürekli olmad n, asl nda varl ktan çok okluk oldu unu bilioruz. Öte andan makroskopik düzede maddenin sürekli oldu unu varsamak - bu varsa m anl fl da olsa - maddei (ve hareketini) alg lamam zda kolal k sa lar. Her ne kadar sanie, dakika, gün ve hafta gibi parçalara a rsak da, zaman n da sürekli oldu unu varsaar z. Örne in, insan duular la alg lanmaacak bir süre için bir elman n kabolup tekrar var olabilece i, hatta tüm evrenin donup tekrar harekete geçece i varsa m bize pek inand r c gelmez. Ama neden olmas n! Velhas l kelam, evren sürekli de süreksiz de olsa, süreklii anlamak daha kolad r. Sezgisel olarak kolaca alg lanabilen süreklilik/süreksizlik kavram n matematiksellefltirmek pek o kadar kola olmam flt r. Süreklili in do ru düzgün matematiksel bir tan m n vermek 9 uncu üz lda Cauch e nasip olmufltur. Tam matematiksel tan m sunmadan önce sezgilerimize biraz daha matematiksel bir biçim vermee çal flal m. Süreksiz die nitelendirdi imiz ikinci fonksiona dikkatlice bakal m. Belli ki sorun a noktas nda. Bu noktada fonksion b de erini al or. Peki a çok az de iflti inde fonksionun ald de er ne oluor?

42. Süreklilik 379 E er, a n n sa nda (ani a dan daha büük) ama a a çok ak nsa, ƒ(), ƒ(a) n n, ani b nin çok ak n ndad r. Hatta i = ƒ() a ƒ() ƒ(a) = b c a n n sa nda ve e çok çok ak n alarak, ƒ() de erini ƒ(a) a diledi imiz kadar aklaflt rabiliriz., a a sa dan ne kadar ak n olursa, flekilden de anlafl laca üzere, ƒ() de eri ƒ(a) a o kadar ak n olur. Öte andan a a sol taraftan aklaflt m zda, fonksionun de erleri ƒ(a) a, ani b e de il, b den uzakta olan c e çok aklafl rlar; a a soldan istedi imiz kadar sokulal m, fonksionun de erleri b e çok çok aklaflamazlar. lk fonksionda böle bir sorun olmaz. avafl avafl de iflti inde, ƒ() de avafl avafl de iflir. kinci fonksionda ise, a n n solundan sa na a da sa ndan soluna geçerken bir s çrama aflan r. Süreklili in matematiksel tan m n vermenin zaman geldi. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. ƒ nin a noktas nda sürekli olmas n n matematiksel anlam - n verece iz. b = ƒ(a) olsun. Afla daki flekilden takip edelim. = ƒ() a ƒ(a) = b

380 42. Süreklilik Herhangi bir > 0 alal m. u çok çok küçük (ama pozitif) bir sa olarak alg laal m. Ve ekseninde (b, b + ) aral - na ve o aral n belirledi i ata flerite bakal m. = ƒ() a b+ ƒ(a) = b b Bu flerit fonksionun grafi ini çeflitli erlerden keser ve bu kesiflimler a n n civar nda bir bölge belirlerler. = ƒ() b+ ƒ(a) = b b a civar nda grafi e daha ak ndan bakal m: a a a a+ = ƒ() b+ ƒ(a) = b b Öle bir > 0 var ki, (a, a + ) aral n n ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler. Sadelefltirilmifl flekil afla da: a a a+ = ƒ() b+ ƒ(a) = b b

42. Süreklilik 38 flte a da süreklili in tan m anen bunu ifade edecek, tek bir farkla ki (a, a + ) aral n n ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler erine (a, a + ) A kümesinin ƒ alt nda imgesi (b, b + ) aral n n içine düfler demeliiz çünkü ƒ fonksionu (a, a + ) aral n n tüm noktalar nda tan ml olmaabilir. Matematiksel tan m salal m: Tan m. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. E er her > 0 için, ƒ((a, a + ) A) (ƒ(a), ƒ(a) + ) içindeli ini sa laan bir > 0 varsa, ƒ fonksionuna a da sürekli denir. An tan m kümeler (daha do rusu aral klar) erine elemanlarla ifade edebiliriz: Tan m. A, nin bir altkümesi, ƒ : A bir fonksion ve a Aolsun. E er her > 0 için, A n n a < eflitsizli ini sa laan her eleman n n ƒ() ƒ(a) < eflitsizli ini de sa lamak zorunda oldu u bir > 0 varsa, o zaman ƒ fonksionuna a da sürekli denir. ki tan m aras nda bir ar m olmad na okur ikna olmal - d r; bir ipucu verelim: a < koflulula (a, a + ) koflulu aras nda bir ar m oktur.

382 42. Süreklilik ƒ(a)+ ƒ(a) ƒ(a) a a a+ = ƒ() ƒ nin a da sürekli oldu unu kan tlamak için: verilmifl, bul Yukardaki tan m biraz daha açal m. Verilmifl bir ƒ : A fonksionunun bir a Aeleman nda sürekli olmas için her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, her Aiçin, a < ƒ() ƒ(a) < (*) olsun. Tan m çerçeveleelim ki sürekli gözümüzün önünde bulunsun: Tan m: Bir ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmas için, her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, her Aiçin, a < ƒ() ƒ(a) < (*) olsun. Tan m kümesinin her noktas nda sürekli olan bir fonksiona sürekli fonksion denir. Tan m n Tart flmas. Her fleden önce, tüm uar lara karfl n nerdese her ö rencinin kaç n lmaz olarak apt ve muhtemelen bu uar dan sonra da apaca bir anl fltan sözedelim. Fonksionun a da sürekli oldu unu kan tlamak için, verilen her > 0 için (*) koflulunu sa laan bir > 0 bulmal z. Bu sa - s a ve a a göre de iflebilir ama ten ba ms zd r. Tekrar edelim: ƒ fonksionu, a Xnoktas ve > 0 sa s verilior ve (*) koflulunu her Aiçin sa land ten ba ms z bir > 0 aran or. Bu nokta kesinlikle gözden kaçmamal.

42. Süreklilik 383 Tan m daha simgesel olarak azmak ararl olabilir: > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) < ). Tan m tart flmaa devam edelim. E er verilmifl bir > 0 için, bir sa s (*) koflulunu sa l orsa, dan küçük pozitif ler de (*) koflulunu an için sa larlar. Yani verilmifl bir için (*) koflulunu sa laan tek bir oktur ve e er (*) koflulunu sa laan bir varsa, istersek ve içimizden öle geçiorsa a da gereklise, den, /2 den, /00 den ve istedi imiz herhangi pozitif bir sa dan küçük seçebiliriz. Gene de bulunacak n n verilen a göre de iflti ini belirtelim: Genelde, küçüldükçe, da küçülmek zorundad r. Nitekim e er (, ) çifti (*) koflulunu sa l orsa ve e er < ise, o zaman (, ) çifti (*) koflulunu sa lamaabilir, çünkü bunun için eterince küçük olmaabilir, daha da küçük seçmek zorunda kalabiliriz. Bu üzden bazen erine azmak erinde olabilir. Hatta, a a göre de de iflebilece inden, erine a, da az labilir. Bir ƒ : A fonksionunun bir a A noktas nda sürekli oldu unu kan tlamak için, önce herhangi bir pozitif sa s seçilir. Sonra, Aiçin, ƒ() ƒ(a) < eflitsizli inin sa lanmas için in a a ne kadar ak n olmas gerekti i araflt r l r. Bunun için, genellikle, ƒ() ƒ(a) ifadesile onan r. Amaç, bu ifadele onaarak, ifadei, bir biçimde, içinde a bulunan bir ifadeden daha küçük olarak ifade etmektir. Bilmem kendimizi ii ifade edebildik mi? Ö retici olmas aç s ndan çok basit olmaan, ama gene de çok çok zor olmaan örnekler sunmadan önce a noktas n n tan m kümesinde olmak zorunda oldu unu an msatal m (oksa ƒ(a) dan sözedemeiz bile!)

384 42. Süreklilik Örnek 42.. ƒ() = 2 kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionu süreklidir. (Burada A =.) = ƒ() = 2 Kan t: a olsun. Rastgele bir pozitif sa s seçelim. sa s n çok küçük bir sa olarak alg laal m. fiimdi, Aiçin, ƒ() ƒ(a) < eflitsizli inin sa lanmas için in a a ne kadar ak n olmas gerekti ini araflt ral m; bakal m in a a belli bir > 0 mesafesinden daha ak n olmas bu eflitsizli in sa lanmas için eterli oluor mu, böle bir var m? Bunun için ƒ() ƒ(a) ifadesile onaaca z. Onaal m: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a. Onad k. En sa daki a ifadesi hoflumuza gidior, çünkü i a çok küçük olacak flekilde seçersek, a + a ifadesinin de çok küçük olma ( dan küçük olma) ihtimali var ve bizim de istedi imiz tam bu. Ama e er + a çok artarsa, o zaman a + a ifadesini istedi imiz kadar küçültemeebiliriz. Demek ki + a ifadesinin çok artmad n, belli bir sa taraf ndan üstten s n rland n kan tlamal z. E er herhangi bir gerçel sa sa, bu do ru de il elbet, ama i a a ak n seçece imizi unutmaal m. E er in a a mesafesi ilelebet artm orsa, + a ifadesi de zaptedilemez bir biçimde artamaz. a 2 + a 2 a2 a a a+ = ƒ() verilmifl, bulmal z. E er öle bir varsa, an özelli i sa laan den küçük bir vard r. stersek, iflimize geliorsa, den küçük bulmaa çal flabiliriz.

42. Süreklilik 385 + a ifadesini üstten s n rlamak için, - ilerde bu sözü tutmak üzere - bulaca m z den küçük alaca m z sözünü verelim. (Yukardaki flekil böle bir seçim apabilece imizi aç klamaa çal fl or.) O zaman, i, a < olacak biçimde seçmifl olaca z ve bu seçimle, < a<, a da a < < a +, ani 2a < + a < 2a + olur; bölece, e er A = ma{ 2a, 2a + } ise, + a < A eflitsizli ine ulaflm fl oluruz. Bafllad m z hesaba bu eflitsizlik fl - nda devam edelim: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a < a A. Demek ki ƒ() ƒ(a) ifadesinin dan küçük olmas için a A ifadesinin dan küçük olmas eterli. Dola s la a /A dan küçük seçersek iflimiz ifl. Ama bir dakika! a n n sadece /A dan küçük olmas etmez, den de küçük olmal. Yani e er = min{ /A, } olarak seçersek, o zaman a < eflitsizli inden ƒ() ƒ(a) < eflitsizli i ç kar. Bu kan t toparla p vasat bir analiz kitab nda az ld biçimile gösterelim: > 0 herhangi bir sa olsun. A = ma{ 2a, 2a + } olsun. Tan mdan dola A > 0 olur. Ve = min{ /A, } olsun., elbette pozitif bir sa. Ve son olarak,,

386 42. Süreklilik a < eflitsizli ini sa las n. Bundan, s ras la, < a<, + a < < + a, + a < < + a, + 2a < + a < + 2a, + a < ma{ + 2a, + 2a} = A eflitsizlikleri ç kar. Bu hesaplar + a s n rlamak için apt k: ƒ() ƒ(a) = 2 a 2 = a + a < a A < A ( /A)A = buluruz, tam istedi imiz gibi. Kan t n çok çok kola olmad do ru ama iflte matematik böle bir fle. Al flt rmalar. ƒ() = 2 + 3 7 kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kan tla n. 2. ƒ() = 3 kural la tan mlanm fl den e giden ƒ fonksionunun sürekli oldu unu kan tla n. Sürekli olmaan bir fonksion örne i verelim. Verelim ama önce bir noktada sürekli olmaman n ne demek oldu unu daha ak ndan irdeleelim. Bir iki safa ukarda, ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmas için, > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) < ). önermesinin do ru olmas gerekti ini sölemifltik. Bu önermenin tam tersini, ani z dd n azal m. Bunun için basit mant k kullanaca z. Yukardaki önermenin z dd, > 0 > 0 A( a < ƒ() ƒ(a) ) önermesidir. Yani bir ƒ : A fonksionunun bir a Anoktas nda sürekli olmamas için öle bir > 0 sa s olmal d r ki, hangi > 0 sa s al n rsa al ns n, a < eflitsizli ini sa la-

42. Süreklilik 387 an ama ƒ() ƒ(a) < eflitsizli ini sa lamaan bir A noktas olmal d r. Örneklerle her flein daha aç k olaca ndan kuflkumuz ok! Belki sosoloji kitaplar d fl nda hemen her kitapta bulunan standart bir örnek verelim. e er 0 ise Örnek 42.2. ( ) fonksionu sürekli 0 e er 0 ise de ildir. ƒ, den e gider ve grafi i flöledir: Grafikten de anlafl laca üzere, bu fonksion 0 d fl nda her noktada süreklidir, sadece 0 noktas nda süreksizdir. Bu sölediklerimizi matematiksel olarak kan tlaal m. /2. Fonksion a = 0 noktas nda sürekli de ildir. (*) koflulunun hiçbir > 0 için do ru olmad bir > 0 bulmak gerekior. Bir sonraki flekilden takip edin. = olsun. fiimdi > 0 ne olursa olsun (daha do rusu, ne kadar küçük olursa olsun), = /2 al rsak, a = /2 0 = /2 = /2 < olur ama

388 42. Süreklilik ƒ() ƒ(a) = ƒ( /2) ƒ(0) = 0 = = olur, ani ƒ() ƒ(a) < eflitsizli i do ru olmaz. An sonucu = /2, a da herhangi bir > 0 alarak da bulabilirdik tabii, eter ki olsun. 2. E er a 0 ise fonksion a noktas nda süreklidir. a a a+ > 0 verilmifl olsun. (*) koflulunun bir > 0 taraf ndan sa land n göstermemiz gerekior. = a /2 olsun., a < koflulunu sa las n. O zaman, a /2 = < a< = a /2, ani a a /2 < < a + a /2 olur. Bundan, e er a < 0 ise, < a + a /2 = a/2 < 0, ve a > 0 ise, 0 < a/2 = a a /2 < bulunur. Yani a ile in iflaretleri an d r, biri pozitifse di eri de pozitif, biri negatifse di eri de negatif olur. Dola s la ƒ() = ƒ(a) olur, ani ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. stedi imiz kan tlanm flt r. Bir önceki örne i hafifçe de ifltirece iz, fonksionun kural an olacak ama tan m kümesi bu sefer erine \ {0} olacak. e er 0 ise Örnek 42.3. ( ) fonksionu süreklidir 0 e er 0 ise

42. Süreklilik 389 Kan t anen bir önceki kan t gibidir, ama tabii a bu sefer 0 seçemeiz, çünkü fonksionun tan m kümesi \ {0} d r. ƒ, \ {0} dan e gider. fiimdi ilk bak flta flafl rt c, ikinci bak flta do al gelebilecek bir sonuç kan tlaal m. Örnek 42.4. den e giden herhangi bir fonksion süreklidir. Kan t: ƒ : herhangi bir fonksion olsun. Burada A = dir. a, herhangi bir tamsa olsun. Ve > 0 verilmifl olsun. 0 < eflitsizliklerini sa laan herhangi bir sa olarak seçelim, örne in = /2 olsun. O zaman e er ise ve, a < koflulunu sa l orsa, = a olmak zorundad r çünkü iki de iflik tamsa aras ndaki fark den küçük olamaz. Demek ki, bu durumda, ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. stedi imiz bir kez daha kan tlanm flt r. Yukardaki örnekteki fonksionu her noktada sürekli k lan, de iflik tamsa lar aras ndaki mesafenin den küçük olamaaca d r. Daha do rusu, her tamsa n n belli bir komflulu u nda bir baflka tamsa n n bulunamaaca d r. Bu fikri afla daki al flt rmada sömürece iz. Al flt rmalar. A = {/n : n \ {0}} olsun. ƒ : A herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 2. A, ukardaki gibi olsun. B = A {0} olsun. ƒ : B herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin 0 da sürekli olmas için,

390 42. Süreklilik lim n ƒ(/n) = ƒ(0) eflitli inin eter ve gerekli oldu unu kan tla n. 3. A, nin ar k bir altkümesi olsun, ani her a Aiçin, (a, a + ) A = {a} eflitli ini sa laan bir > 0 olsun. (Burada, a a göre de iflebilir.) A dan e giden her fonksionun sürekli oldu unu kan tla n. 4. A, nin bir altkümesi olsun. a A, A dan ar k bir eleman olsun, ani (a, a + ) A = {a} eflitli ini sa laan bir > 0 olsun. A dan e giden her fonksionun a da sürekli oldu unu kan tla n. 5. ƒ() = [] (= in tamk sm, bkz. Teorem 3.6). ƒ : fonksionu hangi noktalarda sürekli de ildir? 6. nin sonlu bir kümesinden e giden her fonksionun sürekli oldu unu kan tla n. 7. den e giden sürekli bir fonksionun sabit olmas gerekti ini kan tla n. 8. ƒ : fonksionu sürekli olsun ama imgesi sonlu olsun. ƒ nin sabit bir fonksion oldu unu kan tla n. 9*. den a giden her sürekli fonksionun sabit oldu unu kan tla n. 0*. den e giden her sürekli ve birebir fonksionun tersinin de sürekli oldu unu kan tla n. Bir baflka klasik örnekle devam edelim: Örnek 42.5. ( ) 0 e er ise fonksionu nin e er ise fonksionu nin hiçbir noktas nda sürekli de ildir. Bu fonksion nas l sürekli olsun ki, fonksion z rt p rt 0 ve de erlerini al or! Biçimsel kan t okura b rak oruz. Bir ipucu verelim ve \ kümelerinin her ikisi de de o undur-

42. Süreklilik 39 lar, ani boflküme olmaan herhangi bir aç k aral kta hem kesirli hem de kesirli olmaan sa lar vard r. Kola (hatta bu aflamada biraz fazla kola) ama önemli iki örnek gelior son olarak: Örnek 42.6. Sabit bir fonksion süreklidir. c Sabit c fonksionunun grafi i kesintisizdir, dola s la bu fonksion her noktada süreklidir. Kan t: ƒ sabit bir fonksion olsun. > 0 ve > 0 ne olursa olsunlar, hep ƒ() ƒ(a) = 0 < olur. Demek ki ƒ süreklidir. Örnek 42.7. Özdefllik fonksionu süreklidir. = Özdefllik fonksionu Id nin grafi i çapraz do rudur ve her do ru gibi bu grafik kesintisizdir. Dola s la, sezgisel bir bak fl aç s la, Id fonksionu her noktada sürekli olmal d r. Kan t: Özdefllik fonksionunun Id () = kural la tan mlanm fl Id : fonksionu oldu unu an msat r z. a ve > 0 verilmifl olsun. = > 0 alal m. O zaman a < koflulunu sa laan her a için, Id () Id (a) = a < = olur; bu da istedi imizi kan tlar.

392 42. Süreklilik Örnek 42.8. Her c için, c ve c + sürekli fonksionlard r. = + c c Kan t: ƒ : fonksionu her için ƒ() = + c formülüle tan mlanm fl olsun. ƒ nin her noktada sürekli oldu unu kan tlaal m. a, herhangi bir gerçel sa olsun. > 0 olsun. = alal m. O zaman, a < ise, ƒ() ƒ(a) = ( + c) (a + c) = a < = olur. Dola s la ƒ fonksionu a noktas nda süreklidir. Çarpmaa geçmeden önce ilerde çok önemli olacak bir noktaa parmak basal m. Genellikle, bulunan sa s a ve sa lar - na göre de iflir. n n dan ba ms z olmas nerdese imkâns zd r da ukardaki son üç örnekte oldu u gibi, a dan ba ms z olacak biçimde seçilebilir. Bu durumda çok güçlü bir süreklilik sözkonusudur ve buna düzgün süreklilik ad verilir. Analizin çok önemli bir kavram olan düzgün süreklili e ilerde s k s k de inece iz. = c c Çarpmaa gelelim. c olsun. ƒ : fonksionu her için ƒ() = c formülüle tan mlanm fl olsun. ƒ nin her noktada sürekli oldu unu kan tlaal m. E er c = 0 ise, sabit 0 fonksionunu elde ederiz ve bu fonksionun (düzgün) sürekli oldu unu Örnek 42.6 dan bilioruz. Bundan böle c 0 varsa m n apal m. a, herhangi bir gerçel sa olsun. > 0 olsun.

42. Süreklilik 393 = / c olsun. O zaman, e er a < ise, ƒ() ƒ(a) = c ca = c a < c = olur. Dola s la ƒ fonksionu a noktas nda süreklidir. Demek ki bu fonksion da süreklidir, üstelik düzgün süreklidir. Bundan sonraki sonuçlar matematikte folklor olarak nitelendirilir. Yani herkesin bildi i ama kitaplarda pek az lmaan sonuçlar... fiöle bir okuup geçebilirsiniz. Örnek 42.9. Sürekli Fonksionlar Yap flt rmak/birlefltirmek. ki sürekli fonksionu ap flt rarak (a da birlefltirerek) her zaman sürekli bir fonksion elde etmeiz. Örne in Örnek 2 deki fonksion iki sürekli fonksionun birleflimidir (hangileri?) ama elde edilen fonksion sürekli de ildir. Örnek 5 te de an sorun vard r. Öte andan Örnek 3 teki gibi baz durumlarda ap flt r larak elde edilen iki sürekli fonksion süreklili i korur: Teorem 42.. a < b ve c < d olsun. ƒ : (a, b) ve g : (c, d) iki sürekli fonksion olsun. Ar ca her (a, b) (c, d) için ƒ() = g() eflitli inin do ru oldu unu varsaal m, o zaman, ( ) (, ) ( )( ) e er a b ise g g( ) e er ( c, d) ise kural la tan mlanan ƒ g : (a, b) (c, d) fonksionu süreklidir. Elde edilen ƒ g fonksionunun grafi inin ƒ ve g fonksionlar n n grafi inden nas l elde edilece i afla daki flekilde gösterilior.

394 42. Süreklilik ƒ a b g c d ƒ g a c Önermenin, Örnek 42.3 teki gibi, (a, b) (c, d) = oldu u zaman da do ru oldu una dikkatinizi çekeriz. Örne in b = c oldu unda... Bu dedi imiz, ince ama önemli bir ar nt d r. Ar ca fonksionlar n tan m aral klar n kapal da alabilirdik, önerme gene do ru olurdu. Bunun özel bir hali ƒ(b) = g(b) eflitli ini sa laan ƒ : (a, b] ve g : [b, c) fonksionlar n n ap flt r lmas la elde edilen fonksiondur. b ƒ g fonksionunun grafi ini elde etmek için, ƒ ve g fonksionlar n n grafiklerini birlefltirmek eterlidir. g d a ƒ b c E er ƒ, (a, b) aral n n her noktas nda süreklise ve g, (b, c) aral n n her noktas nda süreklise, o zaman ƒ g fonksionu (a, b) (b, c) kümesinin her noktas nda süreklidir. b noktas ƒ g fonksionunun tan m kümesinde olmad için b noktas ndaki süreksizlik intiba aldat c d r.

42. Süreklilik 395 Öte andan an önerme Örnek 2 de görüldü ü gibi (a, b) ve [b, c) aral klar için anl flt r. (a, b) ve (c, d) erine nin bambaflka altkümelerini al rsak da teorem anl fl olur. Bkz. Örnek 42.5. Al flt rma. Teorem i ve daha sonra sölenenleri kan tla n. Yerellik Önermenin do rulu u süreklili in erel bir kavram olmas ndan kanaklanmaktad r. Bu erel kavram n biraz açal m; analizde çok önemlidir. Bir fonksionun belli bir a noktas nda sürekli olmas, sadece ve sadece o fonksionun a civar ndaki davran fl na göre de iflir ve fonksionun a dan uzakta neler apt ndan ba ms zd r. Afla daki flekil okuru en az ndan görsel olarak dourmal. Bir sonraki önerme ise bu dedi imizin matematikçesidir. Teorem 42.2. X, Y ve a X Y olsun. ƒ : X, g : Y iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (a, a + ) X Y olsun ve bu aral k üstünde ƒ = g eflitli ini, ani her (a, a + ) için ƒ() = g() eflitli ini varsaal m. O zaman, e er ƒ ve g fonksionlar ndan biri a da süreklise di eri de a da süreklidir. ƒ g a X Y E er a noktas civar nda ƒ ve g fonksionlar eflitlerse, o zaman biri a da süreklise, di eri de süreklidir.

396 42. Süreklilik Kan t: Verilmifl bir > 0 için bulmam z gereken dan küçük seçmek eterlidir. Ar nt lar okura b rak oruz. Al flt rma. X, Y ve a X Yolsun. ƒ : X, g : Y iki fonksion olsun. Belli bir > 0 için (a, a + ) Y X olsun ve (a, a + ) Y üstünde ƒ = g eflitli ini, ani her (a, a + ) Y için ƒ() = g() eflitli ini varsaal m. O zaman, e er ƒ fonksionu a da süreklise g de a da süreklidir. Bir sonraki teoremimiz, sürekli bir fonksionun k s tlanmas n n da sürekli oldu unu söleecek. Önce fonksion k s tlaman n ne demek oldu unu an msatal m. ƒ, bir A kümesinden bir Y kümesine giden bir fonksion olsun. B, A n n bir altkümesi olsun. g : B Yfonksionu her b Biçin, g(b) = ƒ(b) kural la tan mlanm fl olsun. Yani g nin alaca de erler ƒ fonksionu taraf ndan belirlenmifl olsun. Bu durumda g fonksionuna ƒ nin k s tlan fl ad verilir ve g = ƒ B az l r. Duruma göre, kimi zaman da ƒ e g nin (bir) genifllemesi ad verilir. Teorem 42.3. b B A ve ƒ : A olsun. E er ƒ fonksionu b de süreklise ƒ B fonksionu da b de süreklidir. Kan t: Kan t bundan daha kola bir teorem zor bulunur. Süreklilik konusunda ilerki bölümlerde daha derinleflece iz. fiimdilik süreklili in oldukça basit özelliklerinden sözedelim.. Süreklili i, nin bir A altkümesinden e giden fonksionlar için tan mlad k. Osa, tan ma bak l rsa fonksionun illa e de il, nin bir altkümesine gitmesi eterli, nitekim tan mda fonksionun var fl kümesini hiç kullanmad k, tek kulland - m z de erlerin gerçel sa lar olmas d. Yani A ve B, nin alt-

42. Süreklilik 397 kümelerise ve ƒ : A B, A dan B e giden bir fonksionsa, süreklili i bu ƒ fonksionu için de tan mlaabiliriz, an tan m kabul edelim, olsun bitsin. Bundan böle süreklili in nin bir altkümesinden gene nin bir altkümesine giden fonksionlar için tan mland n kabul edece iz. 2. E er ƒ : A B fonksionu bir a A noktas nda süreklise ve ƒ(a) C ise, an grafi i olan ve her A için g() = ƒ() kural la tan mlanan g : A C fonksionu da a noktas nda süreklidir. 3. E er ƒ : A B fonksionu bir a A noktas nda süreklise ve a C A ise, her C için (ƒ C )() = ƒ() kural la tan mlanan ƒ C : C Bfonksionu da a noktas nda süreklidir. Bunu bilioruz. Öte andan, ƒ : A Bfonksionu a Anoktas nda sürekli de ilse ve a C Aise, ƒ C : C B fonksionu a noktas nda pekâlâ sürekli olabilir. Nitekim ƒ ne olursa olsun, C = {a} ise ƒ C fonksionu a da süreklidir! (Bkz. Al flt rma 6.) Biraz daha sofistike bir örnek verelim: ƒ, Örnek 2 deki fonksion olsun A =, a = 0 ve C = (, ) [0, ) olsun, a da C = [0, ) olsun. Bu durumda ƒ C fonksionu 0 da süreklidir. 4. ƒ : A Bbir fonksion olsun. C = {a A: ƒ, a da sürekli} olsun. O zaman ƒ C fonksionu süreklidir. Al flt rmalar. ƒ() = 2 kural la tan mlanan ƒ : fonksionunun sürekli oldu unu a) Tan ma baflvurarak, b) Bu bölümdeki sonuçlarla kan tla n.

398 42. Süreklilik 2. ƒ, (0, ) (2, 3) kümesinden e giden ve ƒ() = kural la tan mlanan fonksion olsun. ƒ nin grafi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 3. ƒ, (0, 2) aral ndan e giden, (0, ) aral üzerinde ƒ() = ve [, 2) aral üzerinde ƒ() = 2 kural la tan mlanan fonksion olsun. ƒ nin grafi ini çizin. ƒ nin sürekli oldu unu kan tla n. 4. r olsun. ƒ : fonksionu, e er r ise ( ) 0 e er r ise olarak tan mlans n. Hangi r sa lar için ƒ süreklidir? 5. ƒ : olsun ve her için ƒ() = ƒ( ) olsun. E er ƒ, a da süreklise, a da da sürekli oldu unu kan tla n. Bundan ƒ, a da sürekli de ilse a da da sürekli olamaaca n ç kar n. An flei ƒ( ) = ƒ() eflitli ini sa laan bir fonksion için de ap n. 6. Her için 0 ƒ() eflitsizli ini sa laan bir fonksionun 0 da sürekli oldu unu kan tla n. 7a. E er p ve q birbirine asal iki tamsa sa, ƒ(p/q) = p + q olsun. Bu kuralla tan mlanm fl olan ƒ : fonksionunun hiçbir noktada sürekli olmad n kan tla n. 7b. g : fonksionu, g() = /ƒ() kural la tan mlans n. g fonksionun sürekli olmad n kan tla n. 8. a V nin bir altkümesi olsun. E er a I V koflulunu sa laan aç k bir I aral varsa V e a n n komflulu- u ad verilir. fiimdi ƒ : herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin a da sürekli olmas için, ƒ(a) n n her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi a n n bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kan tla n.

42. Süreklilik 399 9. A, nin bir altkümesi olsun. a A olsun. A n n, bir > 0 için, A (a, a + ) altkümesini içeren V altkümelerine a n n A da komflulu u ad verilir. Demek ki a n n A da komflulu u, a n n (bir önceki soruda tan mlanan) bir komflulu ula A n n kesiflimidir. fiimdi ƒ : A herhangi bir fonksion olsun. ƒ nin a da sürekli olmas için, ƒ(a) n n de her V komflulu u için, ƒ (V) kümesi a n n A da bir komflulu udur koflulunun eter ve gerek oldu unu kan tla n. Bir Noktan n Bir Kümee Mesafesi A ve olsun ile A aras ndaki mesafe, d(, A) = inf{ a : a A} = inf a A a olarak tan mlan r. Örne in d(, (0, )) = d(, [0, ]) = 0 ve her için d(, ) = 0 olur. fiu özellikler bariz olmal : E er A ise, d(, A) = 0. E er A B ise, d(, A) d(, B). E er A ise d(, A) = 0. Ama bunun tersi anl flt r. Öte andan e er A kapal bir aral ksa, d(, A) = 0 A eflde erlili i geçerlidir. E er a A ise, d(, A) a + a oldu undan d(, A) a olur. Demek ki d(, A) inf a A a = d(, A) ve d(, A) d(, A) olur. Simetriden dola an flekilde

400 42. Süreklilik d(, A) d(, A) olur. Demek ki, d(, A) d(, A) olur. Bu da d(, A) kural la tan mlanm fl den e giden bir fonksionun sürekli oldu unu gösterir. Bu arada A tek elemanl bir küme al rsak, a için, a kural la tan nlanm fl fonksionun da sürekli oldu unu görürüz. Gelecekte gerekecek bu sonuçlar not edelim: Önsav 42.4. A ve olsun. ile A aras ndaki mesafe, d(, A) = inf{ a : a A} = inf a A a olarak tan mlans n. O zaman d(, A) kural la tan mlanm fl den e giden fonksion süreklidir. Bunun özel bir durumu olarak, a için, a kural la tan nlanm fl fonksion da süreklidir. Do al ama Süreksiz Bir Fonksion Düzlemde güzel (ani sürekli!) bir e ri ve bir de bir P noktas alal m. P den geçen do rular e rii baz noktalarda keser. ƒ( ), ata do rula derecelik bir aç apan do runun e rii kesti i nokta sa s olsun. Örne in, afla daki resimdeki örnekte, ƒ(0) = ƒ(90) = 0. Do rular P civar nda avafl avafl döndü- ünde, ƒ s çramalar apar. Bu s çramalar genellikle do runun e rie te et oldu u aç larda medana gelir. Burada, do al biçimde tan mlanm fl ama sürekli olmaan bir fonksion sözkonusudur. Hülasa, her do al fonksion sürekli olmak zorunda de ildir.

42. Süreklilik 40 0 B 2 2 3 A 2 0 3 3 2 P Çeflit Çeflit Süreklilik Verdi imiz süreklilik tan m Cauch nin oldu u için bazen sürekli erine Cauch-sürekli denir. Süreklili in baflka adlarla an lan baflka tan mlar vard r; örne in Heine-süreklilik. Heinesürekli bir fonksion ak nsak bir dizii ak nsak bir dizie götürür. Bu iki kavram aras nda bir fark olmad n görece iz. Kullan lan bir baflka Cauch süreklili i kavram daha vard r: Cauch dizilerini Cauch dizilerine götüren bir fonksiona da bazen Cauch-sürekli denir. E er X ise, sürekli fonksionlar Cauch-sürekli olmaabilirler. Örne in Örnek 42.2 deki fonksion süreklidir ama Cauch-sürekli de ildir. Öte andan X = ise Cauch-sürekli bir fonksion sürekli olmak zorundad r (Teorem 48.7).

42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i Bu bölümde, den e giden, hiçbir noktada sürekli olmaan ama herhangi bir noktan n de erini 0 a de ifltirirsek o noktada sürekli olan bir ƒ fonksionunu ele alaca z. Bölümün sonunda bu tür fonksionlar infla etmenin çok kola bir olunu görece iz. Önce tuhaf bir fonksionun süreklili ini tart flaca z. Süreklili ini tart flaca m z tuhaf fonksion kesirli sa lar kümesinden gene kesirli sa lar kümesine gidecek. Tan m flöle: a olsun. O zaman, a = p/q eflitli ini sa laan birbirine asal bir p tamsa s ve pozitif bir q do al sa s vard r. Bu p ve q sa lar biriciktir elbet, ani an a sa s için bu koflullar sa laan iki de iflik p ve q çifti oktur. Dola s la ƒ(a), ƒ(a) = /q olarak tan mlaabiliriz. Örne in, ƒ(0) = ƒ(0/) = / =, ƒ() = ƒ(2) = ƒ(5) = ƒ( 5) = ƒ( 5/) = / =, ƒ(3/7) = ƒ(2/7) = /7, ƒ( 9/8) = /8. 403

404 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i flte bu fonksionun süreklili ini tart flaca z. Soraca m z soru flu: Bu fonksion hangi kesirli sa larda süreklidir? /q /s p/q r/s Tart flaca m z fonksion matemati in klasik fonksionlar ndan olmad için, amac m z sadece ve sadece süreklilik kavram la daha içli d fll olmam z sa lamak. Optimum arar sa lamak için, okurun, az okumadan önce en az bir saat bounca soru üzerine kafa ormas n, ani okurluktan düflünürlü e terfi etmesini öneririz. Çok büük bir olas l kla konuu eni ö renen okur an t tahmin etmekte zorlanacakt r. Yan t (do ru!) tahmin ettikten sonra kan t aflamas daha da zorlu geçecektir muhtemelen. Ama bu zorlu un ararlar ilerde hissedilecektir. Sorua üç de iflik öntemle aklaflaca z. Birinci öntemimiz oldukça ilkel olacak, herkesin akl na ilk gelen düflüncenin pefline düflece iz, do rudan süreklili in tan m n ugulaaca z. kinci öntemimiz ise (çok de il) birazc k daha kavramsal olacak ve bu aklafl m saesinde sorunun an t n ve an t n kan - t n çok daha çabuk bulaca z. Birinci öntem do rudan elemanlara odaklaflacak, ikinci öntem ise altkümelere. Elemanlara odaklaflarak sonucu tahmin etmek bile zor olacak. Osa altkümelere odaklafl nca sonucu tahmin etmek ve tahmini kan tlamak iflten bile olmaacak. Bölece okurun ikinci öntemin de- erini görece ini ve son birkaç sa d r apt klar m z ilk bak flta absürd denecek seviede soutlaacak olan topoloji konusunun erdemlerinin ar m na varaca n umuoruz. Sorunun an t n iki de iflik öntemle bulduktan sonra, az n n en sonunda o ana kadar apt m z her flei çok çok basit-

42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 405 lefltiren bir olgu ortaa koaca z. Bölece sout matemati in de erinin ortaa ç kaca n umuoruz. Birinci Yaklafl m Yan t hemen vermeip, birinci öntemin do all n ve an zamanda zorlu unu göstermek için özellikle düflüne tafl na, avafl avafl ilerleece iz. a olsun. ƒ nin a da sürekli olup olmad n anlamaa çal fl oruz. ƒ() = ƒ( ) oldu undan, a erine gerekirse a alarak a nin negatif olmad n varsaabiliriz [bkz. Bölüm 42, Al flt rma 5]. Bundan böle, elli defa an flei tekrarlamamak için, r/s gibi bir ifade azd m zda, otomatik olarak r ve s nin birbirine asal birer do al sa olduklar n varsaaca z; s elbette 0 olamaz. a p/q biçiminde azal m. Demek ki ƒ(a) = /q. ƒ fonksionunun a da sürekli olmas için, her > 0 için öle bir > 0 olmal ki, oldu unda, ani oldu unda, p r ( ) q s p r q p s q p r 2 q s q s ( ) olsun. Bu mümkün müdür? Her > 0 sa s için böle bir > 0 sa s bulabilir miiz? Pek kola bir soru de il... Düflünelim... Soru özetle flu: r/s, p/q e ak n oldu unda, /s, /q e ak n olmak zorunda m d r?

406 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i E er r/s nin s sini istedi imiz kadar büük (örne in milar filan) alabilirsek (bu durumda, () in sa lanmas için r nin de büük ama s e asal al nmas gerekir), o zaman /s çok küçük olur, 0 a çok ak n olur ve pozitif bir sabit sa olan /q dan uzaklafl r... (Afla daki flekle bak n z.) /q /q /q + /s p/q p/q r/s p/q + Verilmifl bir p/q ve > 0 için, (p/q, p/q + ) aral ndaki r/s sa lar n n (r ve s birbirine asal) padalar n n (s lerin) üsts n r var m d r? Böle bir üsts n r oksa, s i çok büük seçerek /s i çok küçültebiliriz ve bölece /s, /q dan uzaklafl r; ani ƒ sürekli olmaz. Evet galiba ƒ sürekli de il, en az ndan sürekli olmama olas - l üksek gibi bir his belirdi. Padas belli bir n do al sa s n geçmeen kesirli sa lar kümesine bakal m. Bu kümee A n dielim. A n nin elemanlar n n padalar nda, 2,..., n sa lar ndan biri olabilir; ama padada hangisi olursa olsun, pa ve pada gerekli sa la çarparak pada her zaman n! sa s - na eflitleebiliriz. Yani A n. n! olur. Dola s la e er bir kesirli sa, n! kümesinin d fl nda seçecek olursak, o zaman o sa A n de olamaz, sa n n padas n i aflar ve ƒ nin o sa daki de eri /n den küçük olur. ƒ nin süreksizli inin kan t n n anafikrini bulduk.

42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 407 u> 0 için u biçiminde az lan bir kümenin iki farkl eleman aras ndaki fark u dan küçük olamaz elbet. Dola s la e er a u ise, (a u, a + u) u = {a} olmal. fiekil afla da. u 0 u 2u 3u 4u 5u 6u u a u ise (a u, a + u) aral nda u kümesinden egâne sa a d r. Yukardaki paragrafta az lanlar n özel bir durumunu irdeleelim. a = p/q eflitli ini an msaal m. n = 2q ve u = /n! olsun. O zaman, a = p/q A q A n u oldu undan, (a u, a + u) u = {a} ç kar. E er 0 < v u ise de (a v, a + v) u = {a} ç kar. Bunu akl m zda tutal m, birazdan gerekecek. fiimdi ƒ nin a = p/q noktas nda sürekli olmad n kan tlaabiliriz. 2q olsun. > 0 herhangi bir sa olsun. v = min{u, } > 0 olsun. Herhangi bir (a v, a + v) ( \ {a}) seçelim., o un bir s ralama oldu undan böle bir vard r. Elbette a < v olur. Öte andan, ukarda bulduklar m zdan dola, a sa - s u kümesinde olamaz, dola s la u in bir altkümesi olan

408 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i A n de de olamaz. Sonuç: in padas n = 2q den büük olmal, ani ( a) ( ) ( a) 2q 2 olmal. Dola s la ( a) ( a) ( a) ( ) ( a) ( ) ( a) 2 2 2q olur. Demek ki ƒ, a noktas nda sürekli de ilmifl. Hatta sanki ƒ nin a da sürekli olmas için ƒ(a) n n 0 a eflit olmas gerekirmifl gibi güçlü bir his belirmifl olmal. kinci Yaklafl m Yukardaki aklafl mda elemanlarla biraz fazla hafl r neflir olduk. Bu sefer elemanlar erine kümeleri ön plana ç karaca z. ƒ nin görüntülerinin kümesine bakal m: ƒ( ) = {/n : n =, 2, 3,...}. ƒ( ) kümesinin flekli hemen afla da. /7 /5 0 /3 /2 /4 /6 ƒ( ) kümesi Bu küme ar k bir kümedir, ani her a için, (a, a + ) ƒ( ) = {a} eflitli ini sa laan eterince küçük (ama pozitif) bir vard r. (Burada, a a göre de iflebilir.) Örne in /3 ile /4 aras nda kümenin bir baflka eleman oktur. Genel olarak, /n ile /(n+) sa lar aras nda kümeden bir baflka eleman oktur. Osa tan m kümesi olan, ar k olmaktan oldukça uzak, tam tersine o un s ralamal bir kümedir. Bunun baz sonuçlar n n olmas gerekir. Afla daki flekil, ƒ fonksionunun tan m ve görüntü kümelerini temsil edior. Tan m kümesi s k dokunmufl, de er kümesi ise ar k bir küme.

42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 409 /2 /3 /4 /5 fiimdi herhangi bir a alal m. ƒ(a) sa s ar k bir küme olan ƒ( ) nün bir eleman. Demek ki (ƒ(a), ƒ(a) + ) ƒ( ) = {ƒ(a)} eflitli ini sa laan bir > 0 var. E er ƒ sürekli olsad, ƒ((a, a + )) (ƒ(a), ƒ(a) + ) özelli ini sa laan bir > 0 olurdu. Yani, ƒ((a, a + )) = {ƒ(a)} olurdu, ani ƒ fonksionu, a merkezli bir aç k aral kta hep an de eri, ƒ(a) de erini al rd ve bir sabit olurdu, bu aral ktaki kesirli sa lar n padalar hep an olurdu! Böle bir flein imkâns z oldu u belli: Padas n olan kesirli sa lar kümesi n kümesinin bir altkümesidir ve bu son küme ar k oldu undan (noktalar aras ndaki mesafe /n den küçük olamaz), padas n olan kesirli sa lar kümesi de ar k bir kümedir ve boflküme d - fl nda aç k bir aral k içeremez. a + Demek ki ƒ fonksionu a da sürekli olamaz. a a E er ƒ fonksionu a noktas nda sürekli olsad, bir > 0 için, (a +, a ) aral ndaki kesirli sa lar n padalar hep an olurdu...

40 42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i Yaklafl mlar n Karfl laflt r lmas Asl nda aralar nda pek bir fark ok. Her iki aklafl m da süreklili in tan m ndan ola ç k or. Ancak ikinci aklafl mda elemanlardan çok altkümelere o unlafl oruz ve nerdese sihirli bir biçimde kan t çok daha kola oluor. kinci aklafl m n anafikri flu: Teorem 42.A.. E er bir ƒ : fonksionu a noktas nda süreklise, o zaman ƒ(a) noktas n içeren her aç k aral n önimgesi a içeren aç k bir aral k içerir. Daha genel bir teorem do rudur. Teorem 42.A.2. E er bir ƒ : X fonksionu a X noktas nda süreklise, o zaman ƒ(a) noktas n içeren her aç k aral - n önimgesi a içeren aç k bir aral n X le kesiflimini içerir. Bu teoremin kola kan t n flimdilik okura b rak oruz. lerde topoloji konusunu iflledi imizde bu ve benzer teoremleri dikkatlice kan tlaaca z. Yapa Bir Süreksizlik Fonksion de erlerini hep (0, ] aral nda al or ama ne sürekli art or ne de sürekli azal or. Oldukça kaotik bir ap da /3 /7 /0 /27 0 /0 4/27 2/7 /3 gibi görünüor. Ama her > 0 için, fonksionun dan büük de er ald elemanlar oldukça ender, fonksionumuz genellikle çok küçük de erler al or.

42A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 4 ƒ fonksionunun de er kümesine bir defa daha göz atal m: ƒ( ) = {/n : n =, 2, 3,... } = {, /2, /3, /4,... }. Her n > 0 do al sa s için, ƒ nin /n den büükeflit de erler ald sa lar n n kümesine bakal m. Bu sa lar, 0 < s n ve r için, r/s biçiminde az l rlar, bunlar da daha önce gördü ümüz gibi n! kümesinin elemanlar d r, ani /2 /3 /4 /5 0 /5 /3 /4 2/5 4/5 3/5 3/4 /2 2/3 : ( ) n n.! Örne in, n = 5 ise, ƒ() /5 eflitsizli ini sa laan [0, ) aral ndaki sa lar, 0, /5, /4, /3, 2/5, /2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 sa lar d r. ƒ() /5 eflitsizli ini sa laan tüm sa lar ise bu sa lara bir tamsa eklenerek elde edilir. Ama bizim as l dikkat çekmek istedi imiz nokta, tüm bu sa lar n, 5! kümesinde olduklar ve bu son kümenin elemanlar aras nda en az /5! kadar, oldukça küçük belki ama gene de sabit bir sa - dan büük bir mesafenin oldu udur. Genel olarak, > 0 ne olursa olsun, { : ƒ() }

42 42. A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i kümesinin de iflik elemanlar aras ndaki mesafe belli bir > 0 sa s n n alt na düflmüor. Bunun do ru oldu unu görmek /n 0 n! Ancak bu sa lar n baz lar n n ƒ de eri efli ini aflabilir. Di erlerinin ƒ de eri dan küçük olmak zorunda. için n i /n eflitsizli i sa lanacak kadar büük ve pozitif ama < /n! eflitsizli ini sa laacak kadar küçük seçmek eterli. Demek ki fonksionun de erlerinin çok büük bir ço unlu- u çok küçük sa lar. Her a ve her > 0 için öle bir > 0 var ki, 0 < a < oldu unda, ƒ() 0 = ƒ() < olur. Nitekim, e er > 0 verilmiflse, a n n ( a)! kümesinin elemanlar na olan uzakl klar n minimumumdan daha küçük seçmek eterli. Bu da bize tam flunu sölüor: E er ƒ nin a daki de eri 0 olsad, o zaman ƒ fonksionu a noktas nda sürekli olurdu. Bir baflka deiflle, ƒ ile sadece a noktas nda ar flan ( ) a g( ) e er ise 0 e er a ise fonksionu a da süreklidir. Yani ƒ fonksionunun a noktas ndaki süreksizli i tamir edilebilir bir süreksizliktir. Bu noktada fonksionu 0 olarak tan mlamak eterli. Bu fluna benzior: e er 2 ise h( ) 3 e er 2 ise

42. A. Tuhaf Bir Fonksionun Süreksizli i 43 olsun. h nin grafi i flöle: 3 2 Fonksion 2 de süreksiz, ama bu süreksizlik bu sadece bir flanss zl k gibi duruor; h nin 2 deki de erini 3 ten 2 e de ifltirirsek, fonksion her erde sürekli olur. Yukardaki ƒ ile bu h aras ndaki fark, h nin sadece tek bir noktada süreksiz olmas ; osa ƒ her erde süreksiz! Al flt rma. k : fonksionu üzerinde ƒ e eflit olsun, di er noktalarda 0 olsun. k hangi noktalarda süreklidir? 2