Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III 1
Gerçek hayat problemlerinin çoğunda birden fazla amaç dikkate alınmaktadır, genellikle bu amaçlar birbirleriyle çelişirler, diğer bir deyişle bir amacın en iyilenmesi diğer bir amacın değerinin kötüleşmesi sonucunu ortaya çıkarabilir. Şimdiye kadar ele alınan konularda maliyetin en küçüklenmesi veya karın en büyüklenmesi gibi amaçlar tek başına dikkate alınmıştı ve tek amaçlı en iyileme yöntemleri diyebileceğimiz metodolojiler üzerinde durulmuştu. Yöneylem Araştırması III 3 İki veya daha fazla amacın birlikte dikkate alınmasında çok amaçlı programlama modelleri kullanılmaktadır, bunlardan birisi de bu bölüm kapsamında ele alacağımız hedef programlama tekniğidir. Hedef programlamada amaçların göreli önemlerine uygun çözümler bulunmaya çalışılmaktadır. Buradaki temel düşünce bütün amaçların tek bir amaç çatısı altında toplanmasını sağlamaktır, böylelikle çelişen amaçların birlikte en iyilenmesi sağlanabilecektir. Yöneylem Araştırması III 4 2
Fakat, bu durumda ise amaçlar birbirleriyle çeliştiği için, bütün amaçların hepsinin birden en iyilenmesi mümkün olamayabilir, bu nedenle hedef programlamadan elde edilen sonuçlar optimal değil etkin çözüm olarak adlandırılır. Hedef programlama, matematiksel model olarak doğrusal programlamaya benzemekle birlikte birden fazla amacın aynı zamanda sağlanmasını içerdiği için bu amaçları, karar vericinin istekleri doğrultusunda ya öncelikli yapıda ya da önceliksiz yapıda diğer deyişle ağırlıklandırarak en iyilemeye çalışır. Bu tip problemlerin çözümünde 1972 yılında Lee ve Ignizio tarafından geliştirilen amaç programlama yaklaşımı kullanılmaktadır. Yöneylem Araştırması III 5 Hedef programlama çok amaçlı en iyilemenin belki de en eski dalıdır. Çok sayıda problemin çözümünde kullanılmıştır. Hedef programlamanın genel gayesi; değerleri kesin olarak belirlenen iki veya daha fazla amacın, hedef değerlerinden sapmalarını en küçüklemektir. Orijinal amaçlar hedef değerleri ve hedeften pozitif yönde ve negatif yönde sapmaları ifade eden iki yardımcı değişkeni içeren doğrusal eşitliklerle ifade edilir. Bu yardımcı değişkenlere sapma değişkenleri adı verilir ve hedef programlama modelinde eş zamanlı olarak en küçüklenmeye çalışılır. Yöneylem Araştırması III 6 3
Hedef programlama modelinin temel bileşenleri aşağıdaki gibidir; Sistem Kısıtları; kaynaklarla ilgili kısıtlar yer almaktadır ve mutlaka sağlanmalıdır. Amaç Kısıtları; hedef değerlerle ilgili kısıtlar bulunmaktadır, sağlanmayabilir, burada tatmin derecesi önemlidir. Amaç Fonksiyonu; hedef değerlerden sapmaları en küçüklemek şeklinde ifade edilir. Yöneylem Araştırması III 7 Bir hedef programlama modelinin oluşturulmasında her problemde olduğu gibi öncelikle karar değişkenleri tanımlanır. İkinci olarak, verilen amaçların hedef değerlerinden sapmaları en küçükleyebilmek için sapma değişkenleri tanımlanır. Ardından problemin sistem kısıtları oluşturulur aynı zamanda verilen amaçlar hedef değerleri de dikkate alınarak kısıtlara dönüştürülür. Son olarak sapma değişkenlerini içeren amaç fonksiyonu oluşturulur. Yöneylem Araştırması III 8 4
Yöneylem Araştırması III 9 Yöneylem Araştırması III 10 5
Yöneylem Araştırması III 11 Yöneylem Araştırması III 12 6
Yöneylem Araştırması III 13 Yöneylem Araştırması III 14 7
Yöneylem Araştırması III 15 Yöneylem Araştırması III 16 8
Örnek Bir şirket 3 model ayakkabı üretmektedir. Her model çifti için gereken işgücü miktarı sırasıyla 2,3 ve 2 saattir. Üretim için gereken malzeme miktarı sırasıyla 3,2 ve 1 kg/çift tir. Şirketin elinde 6500 saatlik işgücü ve 8600 kg malzeme bulunmaktadır. Şirket model çiftlerinden sırasıyla 4, 3 ve 5 TL kar etmektedir. Yönetici yıllık en az 15000 TL kar ve ikinci modelden en az yıllık 860 çift üretmeyi hedeflemektedir. Yöneylem Araştırması III 17 Görüldüğü gibi yöneticinin istediği 2. Model ayakkabı üretimi hedefi karşılamıyor. Ancak ilk hedef en az 15000 TL karşılanıyor. Yöneylem Araştırması III 18 9
Modele 2. Model kısıtı ilave edilirse; Bu sefer yöneticinin istediği yıllık en az 15000 TL hedefi karşılanmıyor, Yöneylem Araştırması III 19 Modele 1. Model kısıtı da ilave edilirse; Çözüldüğünde, model çözümsüz çıkıyor. Buradan iki hedefin uyum içinde olmadığı birbirleriyle çeliştiği anlaşılıyor. Yöneylem Araştırması III 20 10
O zaman HP ile ilgili hedeflerden ne kadar sapıldığını görebiliriz. Yöneylem Araştırması III 21 HP modeli; Birinci hedeften 1 TL lik sapma var. Yani 15000-1=14999 TL kar var. İkinci hedeften 26 çift sapma var. Yani 860-26=834 çift üretilmiş. Yöneylem Araştırması III 22 11
Bu açıklamalar çerçevesinde hedef programlama modelinin genel yapısındaki amaç fonksiyonunda yapılabilecek değişikliklere göre hedef programlama problemleri iki ana başlık altında incelenecektir; Önceliksiz (ağırlıklı) hedef programlama (nonpreemptive goal programming) Öncelikli hedef programlama (preemptive goal programming) Her iki durumda da daha önceden görüldüğü gibi çözüm yöntemi olarak grafik ve simpleks yönteminden yararlanılmaktadır. Konu içerisinde çözüm yöntemleri verilecektir. Şimdi bu iki durumu sırasıyla inceleyelim. Yöneylem Araştırması III 23 Yöneylem Araştırması III 24 12
Örnek Bir makinede iki farklı ürün üretilmektedir. Makinenin aylık çalışma kapasitesi toplam 64 saattir. Bir adet A ürünü 3 saatte, bir adet B ürünü ise 2 saatte üretilmektedir. Firmanın amacı; ayda en az 20 adet A ürünü ve ayda en az 12 adet B ürünü üretmek şeklindedir. Her amacın ağırlığı birbirine eşittir. Yöneylem Araştırması III 25 Bu verilenlere göre hedef programlama modeli aşağıdaki gibi kurulur; Yöneylem Araştırması III 26 13
Yöneylem Araştırması III 27 Yöneylem Araştırması III 28 14
Hedef programlama modelinin sadece sistem kısıtları dikkate alındığında uygun çözüm bölgesi aşağıdaki gibi olacaktır; Yöneylem Araştırması III 29 Amaç kısıtları da eklendiğinde hedef programlama modeli tamamlanmış olacak ve aşağıdaki gibi ifade edilebilecektir; Yöneylem Araştırması III 30 15
Yöneylem Araştırması III 31 Örnek Bir firma su ve hava emişli olmak üzere 2 tip elektrik süpürgesi üretmektedir. Her iki tip içinde iki işlem gerekmektedir. Bir birim su emişli için işlem 1, 6 saat, işlem 2 ise 3 saat gerekmektedir. Hava emişli için ise ayrı ayrı 3 saat gerekmektedir. Firmanın elindeki işlem zamanı işlem 1 için 120 saat ve işlem 2 için 90 saattir. Yönetici en az 15 su emişli ve 15 hava emişli süpürge üretilmesini istemektedir. Yöneylem Araştırması III 32 16
Yöneylem Araştırması III 33 Yöneylem Araştırması III 34 17
Yöneylem Araştırması III 35 Eğer yönetici su emişli süpürgenin diğer tipe göre daha önemli olduğunu düşünüyorsa bunu modele yansıtmalıdır. Mesela 3 kat daha önemli olduğunu düşünelim. Model bu durumda; Yöneylem Araştırması III 36 18
ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Bir otomobil firması yeni ürettiği bir model için televizyonda reklam yayınlamayı planlamaktadır. Otomobil firmasının reklam şirketine bildirdiği hedefler: 1. reklamı en az 40 milyon yüksek gelirli izlemelidir.(yg hedefi ) 2. reklamı en az 60 milyon orta gelirli izlemelidir.( OG hedefi ) 3. reklamı en az 35 milyon düşük gelirli izlemelidir.( DG hedefi ) Reklam şirketi futbol maçı veya sinema arasında olmak üzere iki reklam kuşağını dikkate alacaktır. Otomobil şirketinin reklam bütçesi ise en fazla 600 birimdir. Reklamın kuşaklara göre bir dakikasının maliyeti ve dakikada ulaşılabilecek izleyici sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu verilere göre ve yukarıdaki üç hedefi dikkate alacak şekilde reklam planlaması yapılacaktır. Yöneylem Araştırması III 37 ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Karar Değişkenleri: Bu problemde hangi reklam kuşağında ne kadar süreyle reklam yayınlanacağına karar verileceğine göre karar değişkenleri ; X 1 :Futbol arasında yayınlanacak reklam süresi (dk.) X 2 :Sinema arasında yayınlanacak reklam süresi (dk. dk.) Buna göre aşağıdaki DP modelinin herhangi bir uygun çözümü otomobil firmasının hedeflerini gerçekleştirir. Yöneylem Araştırması III 38 19
ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) MODEL: Yöneylem Araştırması III 39 ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Ancak şekilde görüldüğü gibi, hem bütçe kısıtını, hem de diğer üç hedefi ortak olarak sağlayan hiç bir nokta olmadığından bu problemin uygun çözüm bölgesi bulunmamaktadır. Bu durumda hedeflerin karşılanması mümkün olmayacaktır. Bunun üzerine reklam şirketi otomobil firmasından her hedef için, hedeften bir birim uzaklaşmanın firmayı ne kadarlık bir zarara uğratacağını bildirmesini ister. Otomobil firmasından gelen bilgiler aşağıda verilmiştir. Yöneylem Araştırması III 40 20
ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) 1. Reklamı izlemeyen 40 milyonun altındaki her 1 milyon (YG) için, firmanın satış gelirlerinde 200 birim kayıp ortaya çıkmaktadır. 2. Reklamı izlemeyen 60 milyonun altındaki her 1 milyon (OG) için, firmanın satış gelirlerinde 100 birim kayıp ortaya çıkmaktadır. 3. Reklamı izlemeyen 35 milyonun altındaki her 1 milyon (DG) için, firmanın satış gelirlerinde 50 birim kayıp ortaya çıkmaktadır. Yöneylem Araştırması III 41 ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Sapma Değişkenleri; Firmanın hedeflerinde meydana gelebilecek istenmeyen yöndeki sapmaları minimize edecek hedef prog. modeli; ÇÖZÜM: inci hedefe ait değişkenin amaç fonksiyonu katsayısına inci hedefin ağırlığı denir ve hedefin önem derecesini gösterir. Yöneylem Araştırması III 42 21
ÖRNEK UYGULAMA (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Reklam bütçesinde ne kadarlık bir artış yapılırsa 3ncü hedef de tam olarak sağlanabilir? Bu maksatla, bütçe kısıtı da bir hedef haline dönüştürülmelidir. Burada dikkat edilmesi gereken bütçe hedefinin pozitif yöndeki sapma miktarının minimum yapılacağıdır. Ayrıca bütçe kısıtının pozitif yöndeki sapma miktarı (d + 4 ), 3ncü hedeften de önemsiz bir katsayı ile (mesela 1) amaç fonksiyonuna eklenmelidir. Bu değişikliklerden sonra elde edilen model ve optimal çözümü: OPTİMAL ÇÖZÜM: Yöneylem Araştırması III 43 Örnek Önceliksiz Hedef Programlamada Simpleks Çözüm. Aşağıdaki problemi ele alalım, Yöneylem Araştırması III 44 22
Yöneylem Araştırması III 45 Yöneylem Araştırması III 46 23
Yöneylem Araştırması III 47 Yöneylem Araştırması III 48 24
Yöneylem Araştırması III 49 Yöneylem Araştırması III 50 25
Yöneylem Araştırması III 51 Yöneylem Araştırması III 52 26
Yöneylem Araştırması III 53 Yöneylem Araştırması III 54 27
Yöneylem Araştırması III 55 Yöneylem Araştırması III 56 28
Yöneylem Araştırması III 57 ÖRNEK UYGULAMA (TEÇHİZAT ALIM PROBLEMİ) Bir otomotiv yan sanayi firması üretiminde kullanmak üzere dört cins makina ve teçhizatın (torna tezgahı, freze tezgahı, kumpas ve rontgen cihazı) alımını planlanmakta olup bunun için toplam 3500 birim ödenek ayırmıştır. Her cins makina ve teçhizatın maliyeti (birim satış fiyatı), yıllık bakım ve işletme gideri ve sağlayacağı faydayı gösteren etkinlik puanı ile ihtiyaç miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu proje ile ilgili hedefler öncelik sırasına göre aşağıda verilmiştir: 1. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması. 2. Yıllık toplam bakım ve işletme giderinin mümkün olduğu kadar 70 birimi aşmaması. 3. Torna tezgahı ihtiyacının mümkün olduğu kadar tam karşılanması. 4. Diğer makina ve teçhizat ihtiyaçlarının ise ihtiyaç miktarından az olmayacak şekilde karşılanması. Buna göre öncelikli hedef programlama modelini oluşturunuz. Yöneylem Araştırması III 58 29
ÖRNEK UYGULAMA (TEÇHİZAT ALIM PROBLEMİ) KARAR DEĞİŞKENLERİ: X 1 :Satın alınacak torna tezgahı miktarı. X 2 :Satın alınacak freze tezgahı miktarı. X 3 :Satın alınacak kumpas miktarı. X 4 :Satın alınacak rontgen cihazı miktarı. SAPMA DEĞİŞKENLERİ: d - i :inci hedeften negatif yönde sapma miktarı (i=1,2,,6) d + i :inci hedeften pozitif yönde sapma miktarı (i=1,2,,6) Yöneylem Araştırması III 59 ÖRNEK UYGULAMA (TEÇHİZAT ALIM PROBLEMİ) KISITLAR: Yöneylem Araştırması III 60 30
ÖRNEK UYGULAMA (TEÇHİZAT ALIM PROBLEMİ) AMAÇ FONKSİYONU: 1.Hedef: Toplam etkinliğin en az 80 puan olması 2.Hedef: Yıllık toplam bakım-işletme maliyetinin en fazla 70 birim olması 3.Hedef: Torna tezgahı ihtiyacının tam olarak karşılanması 4.Hedef: Diğer makina ve teçhizatların en az ihtiyaç miktarı kadar karşılanması olmak üzere problemin bütünleşik amaç fonksiyonu: Yöneylem Araştırması III 61 ÖRNEK UYGULAMA (TEÇHİZAT ALIM PROBLEMİ) HEDEF PROGRAMLAMA MODELİ VE OPTİMAL ÇÖZÜMÜ: Yöneylem Araştırması III 62 31
Önceliksiz hedef programlama modelinde istenmeyen sapma değişkenleri tek amaç fonksiyonu çatısı altında toplanarak en iyilemesi yapıldığı için yapı olarak doğrusal programlama modellerine çok benzemektedir. Bu nedenle bu tip problemler simpleks metodu kullanılarak rahatlıkla çözülebilir. Ayrıca LINDO, LINGO, GAMS gibi bazı bilgisayar yazılımlarının kullanılmasıyla da çözülebilir. Yöneylem Araştırması III 63 Önceliksiz hedef programlama modellerinde olduğu gibi doğrusal programlama modellerinin çözümünde kullanılan yöntemlerin doğrudan öncelikli hedef programlama modellerine uygulaması yapılamamaktadır. Bu tür hedef programlama modellerinin çözümünde bazı farklılıklar vardır. Bu bölümde öncelikli hedef programlama modellerinin simpleks algoritmasının uygulanması ele alınacaktır. Yöneylem Araştırması III 64 32
Yöneylem Araştırması III 65 Yöneylem Araştırması III 66 33
Yöneylem Araştırması III 67 1. HEDEF PROGRAMLAMADA SİMPLEKS ALGORİTMASI (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) Reklam şirketi örneğindeki hedeflerin öncelikleri sırası ile (YG) hedefi, (OG) hedefi ve (DG) hedefi olarak kabul edilirse, bu problemin öncelikli hedef programlama modeli aşağıdaki şekilde olur. Her bir hedef için amaç fonksiyonu satırı; Yöneylem Araştırması III 68 34
1. HEDEF PROGRAMLAMADA SİMPLEKS ALGORİTMASI (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) XP 1 XP 2 XP 3 Yöneylem Araştırması III 69 1. HEDEF PROGRAMLAMADA SİMPLEKS ALGORİTMASI (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) 1 inci hedef elde edildi Yöneylem Araştırması III 70 35
1. HEDEF PROGRAMLAMADA SİMPLEKS ALGORİTMASI (REKLAM ŞİRKETİ PROBLEMİ) 3ncü hedef için X 2 nin temele girmesi, daha öncelikli bir hedef olan 2nci hedeften uzaklaşmaya yol açar. çünkü 2nci hedefin X 2 sütununda negatif kaysayı bulunmaktadır. Ayrıca 3ncü hedefin (0) satırında pozitif değere sahip başka katsayı olmadığından elde edilen bu tablo aynı zamanda optimal çözüm tablosudur. modelin optimal çözümü: Yöneylem Araştırması III 71 Örnek Yöneylem Araştırması III 72 36
Yöneylem Araştırması III 73 Yöneylem Araştırması III 74 37
Yöneylem Araştırması III 75 Yöneylem Araştırması III 76 38