3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v

Matris A a a a a a a a a a 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn elemanları a ( i 1,2,..., m ; j 1,2,... n) cinsinden kısaca A [ ] ij a ij 3

4 sin X cos Y x cos X sin Y y Y X y x cos sin sin cos Analitik Geometriden Biliyoruz ki : Döndürme Formülleridir. x y Y X Ө P Şekil.1

5 1 1 2 12 1 11 b x a x a x a n n 2 2 2 22 1 21 b x a x a x a n n m n mn m m b x a x a x a 2 2 1 1. Doğrusal Denklem Sistemi m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 A X B A X = B mxn mx1 nx1

MATRİS İŞLEMLERİ Matrislerin Toplamı (Farkı) A ile B mxn boyutlu iki matris ise, a ij ±b ij =c ij olacak şekilde elde edilen C=[c ij ] matrisine, A ile B matrislerinin toplamı (veya farkı) denir. İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz) 6

Matrislerin Toplamı (Farkı) Tanım: Eğer A a ij ve B b ij boyutları mn olan matrisler ise bu iki matrisin toplamı: A B C a b c ij ij ij

Matrislerin Toplamı (Farkı) Toplama işleminin koşulu İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz) A B C * * * * * * * * * * * * + * * * * * * * * * * * * = * * * * * * * * * * * * 43 43 43 8

9 h d g c f b e a h g f e d c b a h d g c f b e a h g f e d c b a Matrislerin Toplamı (Farkı)

ÖRNEK 1 2 4 A 3 0 1 ve 2 1 2 matrisini bulunuz. 2 0 0 B 1 4 3 ise A+B=C 1 3 2 C 3 2 4 2 4 2 1 4 4 10

Bir Matrisin Bir Skalerle Çarpımı Tanım: Eğer A a ij boyutu mn olan bir matris ve k olan bir skaler ise matris ile skalerin çarpımı boyutu mn olan bir matristir: ka C ka c ij ij

ÖRNEK 2 5 1 A 3 4 0 ise 2A ve -3A skaler çarpımlarını bulunuz. 2 7 2 2(2) 2(5) 2( 1) 4 10 2 2 Α 2(3) 2(4) 2(0) 6 8 0 2(2) 2(7) 2(2) 4 14 4 3(2) 3(5) 3( 1) 6 15 3 3 A 3(3) 3(4) 3(0) 9 12 0 3(2) 3(7) 3(2) 6 21 6 12

Matrislerin Çarpımı Tanım: Eğer A a ij boyutu mn ve B b ij boyutu np olan matrisler ise bu iki matrisin çarpımı boyutu mp olan bir matristir: AB C n k1 aikbkj ai 1b1 j ai 2b2 j ainb nj c ij

Matrislerin Çarpımı C A B c 11 c12 c13 a11 a12 a13 b11 b12 b13 c21 c22 c 23 a21 a22 a 23 b21 b22 b 23 c31 c32 c 33 a31 a32 a33 b31 b32 33 c a b a b a b 12 11 12 12 22 13 32 14

Matrislerin Çarpımı Çarpım işleminin koşulu A matrisinin sütun sayısının, B matrisinin satır sayısına eşitliği çarpılabilme koşuludur. 15

ÖRNEK A 2 1 3 4 B 3 9 2 5 7 6 matrisleri için C çarpım matrisini bulunuz.

ÇÖZÜM 2 1 3 4 3 9 2 5 7 6 23 15 2 9 1 7 2 2 1 6 33 45 3 9 47 3 2 4 6 1 25 10 29 1 18

Matrislerin Toplama ve Skaler Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k 1, k 2 skalerler olmak üzere; 1) A+B=B+A 2) A+(B+C)=(A+B)+C 3) k 1 (A+B)=k 1 A+k 1 B 4) (k 1 +k 2 )A=k 1 A+k 2 A 5) (k1k2)a=k1(k2a) 18

Matrislerin Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k 1, k 2 skalerler olmak üzere; 1) A(B+C)=AB+AC 2) (A+B)C=AC+BC 3) A(BC)=(AB)C 4) AB BA (Boyutlar uygun değilse) 6) AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez. 7) A(B+C)=AB+AC 8) (A+B)C=AC+BC 5) AB=AC ise B=C olması gerekmez. 19

Matrisin Transpozu Her hangi bir A matrisinin transpozu (evriği) A T ile gösterilir. A matrisinin satırları (sütunları) sırası ile A T matrisinin sütunlarını (satırlarını) oluşturur. 20

Transpoz İşleminin Özellikleri 1. T A T A 2. T T T A B A B 3. T T k k A A k bir skaler 4. T T T AB B A

Kare Matris : Özel Matrisler Satır sayısı, sütun sayısına eşit olan (m=n) matrislere kare matris denir. NOT: Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. Kare olmayan bir matrisin determinantı söz konusu değildir. 2 5 1 A 3 4 0 2 7 2

Sıfır Matris : Özel Matrisler Tüm elemanları sıfır olan matrise denir. A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23

Özel Matrisler Köşegen Matris : Köşegen üzerindeki elemanlarının a ii dışında, diğer tüm elemanları (a ij )sıfır olan matrise denir. a ii elemanlarının bazıları sıfır olabilir. NOT: Sadece kare matrisler köşegen matris olabilir. A 3 0 0 0 4 0 0 0 4

Skaler matrisler: Özel Matrisler Asal köşegen elemanları (a ii )birbirine eşit olan köşegen matrise skalar matris denir.

Birim Matris : Özel Matrisler Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri sıfır olan skaler matrise birim matris denir. I n ile gösterilir. 1 0 0 A 0 1 0 0 0 1 matrisi bir birim matris olup I 3 ile gösterilir. Önemli: A 0 =I 26

Özel Matrisler Simetrik Matris A bir kare matris olsun. Eğer a ij =a ji eşitliği tüm i j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile A=A T ise A matrisi simetrik matristir. 2 3 5 A 3 1 6 5 6 4

Yarı Simetrik Matris Özel Matrisler A bir kare matris olsun. Eğer -aij=aji eşitliği tüm i j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile -A=A T ise A matrisi yarı simetrik matristir. i=j için -aii=aii olduğundan asal köşegen elemanları sıfırdır. 0 3 5 A 3 0 6 5 6 0

Özel Matrisler Tanım: A matrisi boyutu n olan bir kare matris ise; 1 P A A 2 1 Q A A 2 T T Şeklinde tanımlanan P ve Q matrisleri sırası ile simetrik ve yarı simetrik matrislerdir.

Periyodik Matris : Özel Matrisler A bir kare matris olsun. kєn + olmak üzere A k+1 =A ise A matrisine periyodik matris denir. Birim matris bir periyodik matristir. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

İdempotent Matris: Özel Matrisler A bir kare matris olsun. Eğer k=1 için A 2 =A ise A matrisi idempotent matristir. Birim matris bir idempotent matristir. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Nilpotent Matris: Özel Matrisler A bir kare matris olmak üzere A 2 =0 ise A matrisine Nilpotent Matris denir. Eğer A 2 =I ise A matrisine ünipotent Matris denir. A 1 2 5 2 4 10 1 2 5 32

Üst üçgen matris: Özel Matrisler Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst üçgen matris denir. A 1 4 0 0 2 6 0 0 7

Alt üçgen matris: Özel Matrisler Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt üçgen matris denir. A 3 0 0 5 3 0 2 0 1

Özel Matrisler Echelon (Kanonik) Matris: A boyutu mn olan bir matris olsun. A matrisinin ilk satırı hariç diğer satırlarındaki sıfırların sayısı (soldan itibaren) satır satır artıyor ise A matrisi Echelon (kanonik) matristir. Bir eşelon matriste satırlardaki sıfır olmayan ilk elemana pivot (ayrık) eleman denir. 2 1 1 0 0 2 A A 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 4 2 0 4 5 3 1 0 2 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 2 3

Özel Matrisler Satır Eşdeğer Matrisler Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisine sonlu sayıda elemant satır işlemlerinin uygulanması sonucunda elde edilen matris A olsun. A matrisine A matrisinin satır eşdeğer matrisi denir: A~ A

Ortogonal Matris: 1 2 n Özel Matrisler A v v v vektörlerinin tanımladığı bir kare matris olsun. Eğer v i.v j =0 tüm i j için ve v i.v j =1 tüm i=j için ise diğer bir deyişle AA T =I ise A matrisi ortogonal matristir.

Ortogonal Matris: Örnek Özel Matrisler 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 2 / 6 0 1/ 3 1/ 6 1/ 2 A ise A T 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 6 2 / 6 1/ 6 1/ 2 0 1/ 2 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 0 1/ 3 2 / 6 0 1/ 6 2 / 6 1/ 6 0 1 0 1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 0 0 1 A A T = I A matrisi ortogonal matristir 38

Tanım: A kare matrisinde, a ij elemanlarının işaretli minörleri (kofaktörleri) A ij olsun. A matrisinin kofaktör matrisi: A Özel Matrisler Kofaktör (İşaretli Minör) Matrisi A A... A A A... A............ A A... A 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn

Ek Matris Tanım: A matrisinin kofaktör matrisinin transpozu Ek Matris olarak adlandırılır. Ek(A) ile gösterilir. Ek A Özel Matrisler A A... A A A... A............ A A... A 11 21 n1 12 22 n2 1n 2n nn

Ek Matris Özellikleri 1. A. Ek( A) Ek( A). A det( A). I 2. Ek( A. B) Ek( A). Ek( B )

Matrisin izi Tanım: A boyutu nn olan simetrik bir matris olsun. Köşegen elemanlarının toplamına matrisin izi denir ve tr(a) ile gösterilir n nn i1 tr A a a a 11 Örnek: A matrisinin izini bulunuz. A 4 1 2 2 5 6 7 3 0 tr A 4 5 0 1 ii

Matris İzinin Özellikleri 1. tr A B tr A tr B 2. tr AB tr Atr B 3. tr k ktr A A (k bir skaler) 4. T tr A tr A 43

Ters Matris Tanım: A boyutu nn olan bir kare matris olsun. Eğer AB BA I n eşitliğini sağlayan bir B matrisi varsa A matrisi tersi alınabilir b matristir ve B matrisine A matrisinin ters matrisi denir ve B A ile gösterilir. SONUÇ: 1 1 1 AA A A I n

Ters Matrisin Özellikleri 1. Tersi alınabilir bir A matrisinin bir ve yalnız bir ters matrisi vardır A 1 2. 1 A AB B A 3. 1 1 1 ka 1 k 4. 1 1 A k bir skaler 5. A 1 1 Ek A A 45

Ters Matrisin Özellikleri T 1 1 T 6. A A 1 k 7. A A 1 k A A A 1 1 1

Matrisin Determinantı İle İlgili Özellikler 1. AB A B 2. I 1 n 3. 1 Α A 1 1 4. A bir ortogonal matris ise A 1 A

Elemanter Matrisler Tanım: Boyutu nn olan bir E matrisi eğer I n birim matrisinde tek bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilebiliyor ise elemanter matris denir.

Elemanter Matrislerin Özellikleri 1. A boyutu nm olan bir matris ve I n birim matrisinden bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilen matris E olsun EA çarpım matrisi aynı elemanter satır (sütun) işleminin A matrisine uygulanmış yapısını verir. 2. Eğer E bir elemanter matris ise matris de bir elemanter matristir. 1 E matrisi vardır ve ters 3. Bir kare matris A ancak ve ancak elemanter matrislerin çarpımı olarak yazılabiliyor ise tersi alınabilirdir: 1 A Ek E2E1I n

Tekil Olmayan Matrisler Tanım: A boyutu nn olan kare bir matris olsun. Eğer determinant değeri sıfırdan farklı, A 0 ise A matrisine tekil olmayan matris, A 0 ise A matrisine tekil matris denir.

Teorem Bir A kare matrisinin tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul A 0 olmasıdır. Kanıt: AA 1 I AA 1 I AA 1 1 A A A 1 1 0

Teorem Boyutu mn olan her A matrisi, bir Echelon matrise satır eşdeğerdir.

Teorem Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin aynı dizisi I matrisini 1 A ters matrisine dönüştürür.

Teorem Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin aynı dizisi genişletilmiş (A:I) matrisini 1 I: A matrisine dönüştürür.

Ters Matrisin Bulunması: Gauss- Jordan Yöntemi Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen adımlar izlenerek elde edilebilir: 1.A matrisinin sağına n boyutlu birim matrisi ekleyiniz, AI yeni matrisin boyutu n2n olur. 2. A matrisini I matrisine indirmek için gerekli elemanter satır (sütun) işlemlerini hem A hem de I matrisine uygulayarak, IA 1 Matrisini elde ediniz. Bu sonuç elde edilemiyor ise A tersi alınamayan tekil bir matristir.

Ters Matrisin Bulunması: Ek Matris Yöntemi Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen adımlar izlenerek elde edilebilir: 1. A matrisinin determinantını, A bulun. 2. A matrisinin ek matrisini, ek(a) bulun. 3. A 1 1 ek A A elde edilir.

Aek A I A 1 A Aek A A 1 I A 1 Iek A A A 1 ek A 1 A A KANIT

BİR MATRİSİN RANKI Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisinin, determinantı sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisinin mertebesine A matrisinin rankı denir: r(a)

BİR MATRİSİN RANKI Boyutu mn olan bir A matrisinin rankı, boyut sayılarının, m ve n, küçüğüne eşit ya da ondan daha küçüktür. m<n ise r(a)m Eğer A bir nn kare matris ise: 1. A 0 ise r(a)<n (Tekil matris) 2. A 0 ise r(a)=n (Tekil olmayan matris)

Denk Matrisler Boyutları ve rankları aynı olan matrislere denk matrisler denir. A~B 60

Matrisin Rankı İle İlgili Özellikler 1. T r A r A 2. 1 r A r A

Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi bazı kurallar dikkate alınarak alt matrislere ayrıştırılabilir: A rc K M pq p cq N L r pq r p cq

Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenme Kuralları 1. Aynı satırdaki alt matrislerin satır sayıları eşit olmalı ve sütun sayılarının toplamı c olmalı. 2. Aynı sütundaki alt matrislerin sütun sayıları eşit olmalı ve satır sayılarının toplamı r olmalı. Bu kurallar dikkate alınarak matrisler eleman sayısının izin verdiği ölçüde alt matrise ayrılabilir. Matris bölümlenmesi eşsiz değildir. Aynı matrisin farklı bölümlenmeleri söz konusudur.

Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenmiş matrisin transpozu; hem matrisin tranpozu hem de alt matrislerin transpozu alınarak elde edilir. B C D A E F G T T T B E T B C D T T A C F E F G T T D G

Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi, j-inci sütunu a j vektörü ile tanımlanarak sütun vektörlerine göre bölümlenebilir: A a a a a 1 2 j c T Benzer şekilde, i-inci satırı α i ile tanımlanarak satır vektörlerine göre bölümlenebilir: A α α α α T 1 T 2 T i T r

Matrisin Bölümlenmesi Matrislerdeki genel çarpım kuralları bölümlenmiş matrisler içinde geçerlidir. Eğer boyutlar çarpım işlemine uygun ise A A A A 11 12 A 21 22 B B B B B B B 11 12 13 21 22 23 A B A B A B A B A B A B AB A B A B A B A B A B A B 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ 67