6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve toplamı tamler güve aralıkları 6.3. Populasyo oraıı tam 6.3.. Populasyo oraıı varyası 6.3.. Populasyo oraıı güve aralığı 6.4. Populasyo ortalaması ve toplamı ç öreğ paylaştırılması 6.4.. Eşt paylaştırma 6.4.. Oratılı paylaştırma 6.4.3. E uygu paylaştırma 6.4.4. eyma paylaştırması 6.. Populasyo oraı ç öreğ paylaştırılması 6.6. Tabakalı şas öreklemes le bast şas öreklemes karşılaştırılması Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
=tabakada oluşa br populasyo olduğuu varsayalım. =6 amlk br populasyo br ve k sııf olmak üzere k tabakaya ayrılmış ve br sııf öğreler sayısıı =3 ve k sııf öğreler sayısıı =3 olduğuu kabul edelm. Bu öğreler sap oldukları ortalama ktap sayısı le lglels. Verler tablo 6. de gösterldğ gbdr:.sııf Tablo 6..sııf ktap 8 ktap 4 ktap ktap 3 6 ktap 3 6 ktap Toplam ktap 36 ktap 4 ktap ktap tabaka sayısı = le gösterle = =3+3=6 olur ve çerçevedek örek brmler toplam sayısıı göserr. = tabakadak öğre sap olduğu ktap sayısıı gösterr., tabakadak toplam ktap sayısıdır. Böylee uygulamamızda = + + 3= tabakadak ktapları sayısıdır. Geel olarak tabaka toplamı = olur. Populasyo toplamı, tabaka toplamlarıı toplamlarıdır ve = + =+36=48 olarak esaplaır. Bu toplam, populasyodak ktap sayısıı gösterr. Geel olarak, populasyo toplamı = şeklde verlr. Tabaka ortalaması, şeklde taımlaır. Yukarıdak uygulamada, br ve k tabaka ç, Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
elde ederz. / =/3=4 öğre başıa ktap sayısı (br sııf) 36/3 öğre başıa ktap sayısı (k sııf) / Populasyo ortalaması, 36 48/ 6 8 3 3 olarak taımlaır ve bu öğre başıa ortalama ktap sayısıı 8 ktap olduğuu gösterr. ve olduğuda populasyo ortalaması aşağıdak gb de yazılablr: (3* 4) (3*) 36 48/ 6 8 6 6 6.. Populasyo ortalaması ( ) ve populasyo toplamıı ( ) tam lk olarak populasyo toplamı tam edleek ve bu e bölüerek tam edleektr. Populasyo toplamı, tabaka toplamlarıı toplamıdır. Burada areketle populasyo toplamıı tam, tabaka toplamlarıı tamler toplamasıyla buluur. Tabaka toplamlarıı tam, ˆ şeklde buluur. Burada, tabakadak aml tesadüf alt örek ortalamasıdır. Öreğ, ktap öreğde populasyou ve tabakalarıda = ve = aml tesadüf alt örekler seçtğmz varsayalım, bu alt örekler örek ortalamalarıa sırasıyla ve dyelm. Bast şas öreklemes elerke görülmüş olduğu gb, sapmasız tam edlerdr. ve, br ve k tabaka toplamlarıı Populasyo toplamı tam, tabaka toplamlarıı tamler toplamlarıdır. Araştırmamızda k tabaka olduğuda olaaktır. ˆ + = Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler
Burada populasyo ortalamasıı tam ˆ ale gelr. Geel olarak, yazılır ve bu populasyo ortalamasıı tam edsdr. Tabakalara lşk örek ortalamaları ler bast şas öreklemes le elde edldğde bular tabaka ortalaması ler sapmasız tam edlerdr. Kısaa, E( )= bçmdedr. Böylee ı beklee değer, E( )= E ( ) E( ) E( ) = = olur ve ı sapmasız br tam edsdr. yaısıra Olduğuda, tam eds ç ve le lgl blgler e kadar gerekl olduğua karar verelm. Buu E( )=/ E( )= Elde edlr. Fakat = E( ˆ )= olur. eştlğde = ˆ olur. Ya ˆ ayı zamada sapmasız br tam edsdr. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-4 Örekleme Yötemler
Alıştırma: Ktap populasyouu kullaarak yukarıdak souçlar br örekle açıklaaaktır. Her br 3 tabakada yere koymaksızı =3 tae mümkü örek seçleblr. Böylee, am = + =+=4 ola mümkü örekler tamamı 3 3 =9 taedr. Bu 9 mümkü örek Tablo 6. de lste alde gösterlmştr. Tabakalar I II Tablo 6. ˆ = ˆ =,4 8, 3 0 3*3= 9 3*0= 30 39 39/6 ˆ 8,6 3*3= 9 3*= 36 4 4/6,6 4 3*3= 9 3.4= 4 /6,6 8, 4 0 3*4= 3*0= 30 4 4/6 8,6 3*4= 3*= 36 48 48/6,6 4 3*4= 3*4= 40 4 4/6 4,6 8, 0 3*= 3*0= 30 4 4/6 8,6 3*= 3*= 36 /6,6 4 3*= 3*4= 4 7 7/6 ˆ 43 E ( ) 8 (,4) br tabakada, (8,) k tabakada olmak üzere, br örek (,4,8,) brmlerde oluşmaktadır. I tabakadak (,4) brmlerde oluşa alt öreğ toplamı şöyledr: =+4=6 I tabakadak (,4)brmlerde oluşa alt öreğ ortalaması = / =6/=3 olur. Böylee (,4) brmlerde oluşa alt öreğe bağlı olarak I tabakadak toplam ktap sayısıı tam =(3)(3)=9 olur. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
II tabakadak (8,) brmlerde oluşa alt örekte, ve değerler bezer şeklde esaplaır. Burada areketle br öreğe (,4,8,) bağlı olarak populasyodak toplam ktap sayısıı tam ˆ + = =9+30=39 ve populasyo ortalamasıı tam ˆ 39 6. ktap olarak buluur. 6 Şmd E olduğu gösterleektr. Tablo 6. de de görüleeğ gb 39 9 6 4 6 7 6 E... 8 olur. Daa öe =8 buluduğuda, E olur ve dolayısıyla, ı sapmasız br tam edsdr. =8 Ayrıa, ˆ 39 4... 7 dr ˆ sapmasız br tam edsdr. 9 E 48 Örek amler kullaılarak yapıla tamler Populasyo ortalamasıı tam bulumasıı dğer br yolu = + aml brleştrlmş öreğ örek ortalamasıı bulumasıdır. Buu ç, delrse, eştlktek ve ve aml alt örekler örek toplamlarıdır ve böylee örek toplamı olur. ve de örek ortalamaları olduğuda, brleştrlmş öreğ ortalaması = olur. Örek ortalaması ç ve blmes gerekmektedr. Örek ortalaması geellkle ı sapmasız br tam eds değldr. Her br tabakada tesadüf alt örekler ayı yüzde le seçldğ durumda Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-6 Örekleme Yötemler
eştlğ ˆ eştlğe eşt olaak ve bu örek ortalaması ı sapmasız br tam eds olaaktır. Buu göstermek ç f olsu. f örekleme kesr dye adladırılır. Bua göre f ve f dr.buları eştlğde yere koyarak f f = elde ederz. f f, Her br tabakada, tabaka amler le oratılı alt örekler seçlmes metodu oratılı örekleme olarak adladırılır. Bu örekleme yötem karakterstğ populasyodak erbr brm eşt seçlme şasıa sap olmasıdır. Bu se, belrl br brm I tabakada alıa alt örekte buluma olasılığıı / olduğu atırlaarak görüleblr. Bezer şeklde II tabaka ç bu / dr. Bu durumda / = / = / dr. Buu br souu olarak, populasyodak er br brm örekte yer alma olasılığı / dr. Her br brm eşt seçlme olasılığıa sap ke seçle br örek, ked kede ağırlıkladırıla örek dye adladırılır. 6.. Populasyo Varyası V ( ) k bleşede oluşmaktadır: Tabaka ç değşm Tabakalar arası değşm Tabaka ç değşm göstere tabaka varyası:. ( ). ( ) büyük olduğuda - alıablr, bu durumda olur. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-7 Örekleme Yötemler
Populasyo Varyası ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Varyas esaplamaları br örek üzerde gösterleektr: Açklama : ( ) ( ) lşkler kullaarak varyasları esaplayalım. = 4 8 64 4 6 = 44 6 3 36 6 6 3 = 6 36 =464 8 4 8/ 4 3/ 6 3 3 Pop ortalamasıı kullaarak pop. Varyası : 6 3 = () 3 36 (6 80) 6 6 6 (8) 3(8) 6 464 (8)36 3(8) 80 8 3 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-8 Örekleme Yötemler
Populasyo varyaslarıı aşağıdak gb yazmak suretyle tabaka varyasları ve populasyo varyası arasıdak öeml lşky türeteblrz; = = = A B ağ taraftak br term tabaka varyaslarıı, k term se tabaka ortalamaları arasıdak değşme dayalı yayılımı gösterr. Uygulamada bu termler şu şeklde esaplaablr: A = 6 8 3 3 3 3 3 40 6 3(4 8) 3( 8) 6 6 40 6 6 36 6 değer yukarıda bulua değerle ayıdır.. Ayrıa bastçe aşağıdak yolla da buluablr: = ((-8) +(4-8) +(6-8) +(8-8) +(-8) +(6-8) ) = 36/6 6 Kolaylık bakımıda w ve b y Tabaka ç varyas w Tabakalar arası varyas b Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-9 Örekleme Yötemler
olarak taımlayalım. w er br tabaka ç değşm gösterdğ ç tabaka ç varyas, b tabakalar arası değşm gösterdğ ç tabakalar arası varyas dye adladırılır. Buda dolayı geel varyas = + şeklde gösterleblr. Mevut öreğmzde, = + =40/6+6=36/6 olarak buluur. w b w b 6... Varyası Bu bölümde lk olarak V( ) buluaak ve tabaka ç değşm küçük olduğuda V( ) ı da küçük olduğu gösterleektr. Ktap öreğmze göre V( ) elde edleektr: Tabakalar Tablo 6.4 ˆ I II - ( ),4 8, 3.3+3.0= 39 39/6-9/6 8/36 8,6 4 4/6-3/6 9/36,6 /6 3/6 9/36,6 8, 4 4/6-6/6 36/36 8,6 48 48/6 0 0,6 4 4/6 6/6 36/36 4,6 8, 4 4/6-3/6 9/36 8,6 /6 3/6 9/36,6 7 7/6 9/6 8/36 39 4 7 E ( ) (... ) 8 70/36 9 6 6 6 ( 6 4 6 8 6) 8 Tablo 6.4 te de görüldüğü gb, örek çapı = + =+=4 ola seçebleeğmz mümkü örekler tamamı 3 3 =9 taedr. Böylee, M=9 tae mümkü örek ortalaması vardır ve bular Tablo 6.4 de gösterlmektedr. Tablo 6. sözkousu 9 örek ortalamasıı frekas tablosudur. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-0 Örekleme Yötemler
ııf Taıma göre, varyası, M=9 olmak üzere, = M V( ) Tablo 6. 39/6 4/6 4/6 48/6 /6 4/6 7/6 =/9(70/36)=/6 () M bçmdedr. () olu eştlk, V( ) temel taımııdır. Aak uygulama kolaylığı bakımıda V( ) f 9 tabaka varyasları ler sde esaplaaaktır. V( ) ler sde şu şeklde fade edleektr. Kısaa = w şekldedr, burada w olmak üzere w tabaka w / ağırlıklarıı belrtmektedr. aml örekler tesadüfe seçldğde ve brbrde bağımsız olduğuda, )= w V ) w V( ) V( ( = w w () V( )= = olarak elde edlr. Bu eştlk aşağıdak gb tekrar yazılablr: (3) veya fp= V( )= V( )= ( ) (3-) veya olduğuda (3) olu eştlk (3-) Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
V( )= oluştuğuu göstere eştlk olarak düşüüleblr. Eştlktek br term Dğer tarafta k term olur. Böylee (3-) olu eştlk V ( ) k kısımda örekleme yere koarak yapıldığıda (fp=ke) ı varyasıı göstermektedr. örekleme yere koymada yapıldığıda gerekl düzeltme term göstermektedr. (3-) ve (3-) olu eştlkler esaplama amaçları bakımıda daa uygudur. Uygulamamızda, V( ) = =4, 6 dır. Böylee (3-) olu eştlğ 3 9* 4 3 9*6 30/36 / 6 36 3 3 olur. Ve bu, temel formül() de esaplaa V( ) ye eşttr. Örek : = = se V ( ) =? 0 00 3 9 6 6 484 9 3 48 840 9 48 (3 ) 4 (840 ) 36 3 3 ( ( ) V ) 6 3.4 ( ( ) V ( ). 3.36 ) Her tabaka ç =0 ve V( )=0 olur ya ( ) duyarlılığı tamdır. w b w w 3 w varyası, w / ler ağırlıklı ortalamasıdır. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
V( ) Tam Eds V ( ) tam etmek ç aml br tabakada aml br alt örek seçlr ve örek varyası s ( ) şeklde esaplaır. Bast şas öreklemesde sapmasız br tam eds olduğu blmektedr. Bu durumda s Vˆ ( )= s şekldedr. Vˆ ( ) V( ) sapmasız br tam edsdr. Populasyoumuz aşağıdak k tabakada oluşmakta ke = 8 4 = 6 6 3 3 bu tabakalarda seçlmş tesadüf örekler aşağıdak gb olsu; = =8 =4 =6 s, s 3 olarak bulumuştur. Bu durumda Vˆ ( )= s = 36 3 3 3 9 9 3 3 36 Alıştırma: M=9 tae mümkü Vˆ ( ) bulu ve E(Vˆ ( ))=V ( ) olduğuu gösterz. I Tabakalar II s s Vˆ ( V ˆ ˆ,4 8, 8 /36 ) 8,6 3 /36,6 8 /36,6 8, 8 8 4/36 4 8,6 3 60/36 60,6 8 4/36 4 4,6 8, 8 /36 8,6 3 /36,6 8 /36 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler
Öreğ (,4,8,) öreğ ç Vˆ ( )= s = Vˆ ( ) beklee değer E(Vˆ ( 9 36 3 3 8 9 9 3 3 )= /36 /36 /36 4/36 60/36 4/36 /36 /36 /36 =30/36 V ( )=30/36 şeklde bulumuştu. Bu durumda E(Vˆ ( ))=V ( ) olduğu spat edlmştr. 36 6... Populasyo Toplamıı Varyası V( ˆ )=V( )= V( )= ( s )= Vˆ ( ˆ )= s s ( ) E(Vˆ ( ˆ ))=V( ˆ )=30 şekldedr. Alıştırma: Populasyoumuz aşağıdak k tabakada oluşmakta ke er tabakada k aml örekler seçldğ varsayalım. = 8 4 = 6 6 3, 6 ç 4 3 V( ˆ )=V( )= V( )= ( s )= ( ) 3 9*4 3 9*6 = = 30 3 3 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-4 Örekleme Yötemler
6.3. Oralar İç Tabakalı Şas Öreklemes Populasyo oraı P ı özel br aldr. Ortalamaya lşk olarak elde edle tabakalı tesadüf örekleme souçlarıı P y tam etmek ç de kullaablrz. )P Tam Eds Tabakalamış br yığıda, yığı ortalaması şeklde elde edlmşt. =0 veya ke tabaka ortalaması P P P Tabakalı tesadüf öreklemede, oralar sde bçmde fade edlr. Böylee yığı oraı P ˆ eştlğ, ' ı sapmasız br tam edsyd. Oralar sde bu fade, p P ˆ p ale gelr ve burada p bçmdedr. p fades P sapmasız br tam eds aşağıdak şeklde gösterlmektedr: Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
E(p )= E( = ) = P E(p )= E( p ) P = P Alıştırma : Gözlük kullaa öğreler lgl aşağıdak verye sap olduğumuzu varsayalım I Tabakalar II 0 0 3 3 4 0 4 0 / 4/ a) P ve P y bulu. b) I ve II olu tabakada = ve =3 çaplı örekler seçerek P ve P y tam ed. ) P y tam ed. a) P P 4 Yığı Oraı P, P 6 0 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-6 Örekleme Yötemler
P y br başka yolla P P = P P (/) (/ ) 0 6 0 b) = ve =3 çaplı örekler aşağıdak tabloda gösterldğ gb seçlmş olsu. Böylee alt örek oraları = = =0 = =0 p p 3 olarak buluur ve dolayısıyla P ˆ P ˆ p / p / 3 )P y tam edz. Pˆ p p P ˆ p 7 / (/ ) ( / 3) 0 7 Alıştırma : k tabakada oluşa yığıımız aşağıdak gb olsu. Her br tabakada, = ve = aml örekler seçerek E(p )=P olduğuu gösterz. Tabaka I Tabaka II 0 0 0 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-7 Örekleme Yötemler
33 yığıda = + =+=4 çaplı, 9 tae mümkü örek seçeblrz. Bular aşağıdak tabloda lstelemştr. Tabaka I Tabaka II p p p,0,0 0. 0. 0. = [(0.*3)+ (0.*3)]/6,0 0. 0. 0,0 0.0 0.,,0.0 0. 0.7,0 0. 0.7 0,0 0.0 0. 0,,0 0. 0. 0.0,0 0. 0.0 0,0 0.0 0. E(p )=/9(4.)=0. 4. P= 0. 6 E(p )=P=0. olduğu ç sapmasızdır. )p Varyası Brm değerler = veya0 ola çaplı br yığı sözkousu ke ye lşk varyas PQ şekldeyd. Tabakalı tesadüf öreklemede er br tabaka çaplı olup brm değerler = veya 0 aldedr. Böylee tabaka varyasları, şekldedr. P Q varyası V ( ) şekldeyd. Bu durumda V ( p) P Q Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-8 Örekleme Yötemler
Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-9 Örekleme Yötemler ale gelr. > se ve fp= alıırsa yukarıdak eştlk Q P p V ) ( ale döüşür. Alıştırma:. Gözlük kullaa öğreler lgl aşağıdak verye sap olduğumuzu varsayalım Tabakalar I II 0 0 3 3 4 0 4 0 / 4/ ve V(p ) y esaplayıız. Q P = 0 3 Q P = 4 = ve =3 aml seçlmş alt örekler aşağıdak gb olsu. = =3 = = =0 = 3=0 Bu durumda p V ) ( Q P ( 0 ) ( p V 3 + 3 3 4 )=0.09
Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-0 Örekleme Yötemler )V(p ) br tam eds V(p ) sapmasız br tam eds P ler yere p ler koularak elde edlr. p V ) ( ˆ q p şeklde elde edle bu fade V(p ) sapmasız br tam edsdr. > olduğuda yukarıdak eştlk q p p V ) ( ˆ şeklde yazılablr. Alıştırma: = = =0 = 3=0 şeklde eledğmz örekte p V ) ( ˆ q p = 0.037 3 3 3 3 00 6.4. Ortalama ve toplam ç Öreğ Paylaştırılması Burada elemes gereke k problem bulumaktadır. Örek am belrlemes ve örek am tabakalar arasıda asıl paylaştırılaağıdır. Örek em etkleye 3 öeml faktör vardır - Tabaka büyüklüğü - Tabaka ç varyas - Örekleme ç ayrıla bütçe İlk olarak öreğ tabakalar arasıda asıl paylaştırılaağı le lgleleektr. İy br paylaştırma le mmum malyete karşı maksmum duyarlılığı elde edlmes kastedlmektedr. Tam ed duyarlılığı varyası le ölçüldüğüde amaç varyası ver alıp malyet mmuma drmek veya malyet ver alıp varyası mumum kılmaktır. Probleme bağlı olarak bu krterlerde br kullaılaaktır.
6.4.. eşt paylaştırma Örek am tabakalar arasıda e bast paylaştırma yötem, er br tabakada eşt sayıda örek brm seçmektr. olur. Açıklama yaz Bu metodu braz daa gelşmş al er br tabakaı büyüklüğü le oratılı örek almaktır. Örekleme malyet, örekleme plaıı tasarımı, çerçeve oluşturulmaı, aketörler eğtlme, ver toplaması, lstelemes ve esaplaması gderler, ofs aramalarıı ve geel gderler gb malyetler çerr. Buula brlkte, aaltk edelerle malyet, örek am foksyou ola malyet ve sabt malyet olmak üzere kye ayrılmaktadır. Bu aşağıdak gb gösterleblr. = 0+ bu formüldek 0 sabt malyet, se tabakadak brm başıa düşe malyet gösterr. = 0+ malyet foksyou olarak adladırılır. Br sorak e bast paylaştırma yötem, öreğ tabaka amler le oratılı olarak paylaştırmaktır. Bu yötem, uygulamada e sık kullaıla yötemdr ve malyet usurlarıa bağlı değldr. E uygu paylaştırma ve eyma paylaştırması gb ele alaağımız dğer yötemler özel malyet usurlarıı ele alımasıı gerektrr. 6.4.. Oratılı Paylaştırma )Öreğ paylaştırılması Öreğ =00 brmlk br yığıda =0 aml br örek seçldğde, buu alamı örekleme oraıı /=0/00=0. olduğudur ve er br tabakada %0 luk kısmıı örek ç seçlmş olduğudur. Bu durumda... %0 olur.... olduğuda geelleme yapılırsa olur. İlk olarak, oratılı paylaştırmayla örek seçme yötem br uygulama üzerde açıklayalım. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
Populasyoumuz aşağıdak k tabakada oluşmaktadır. = 8 4 = 6 6 3 3 populasyoda =4 aml örekler seçmek styoruz. Oratılı paylaştırmaya göre örek f=/ ye göre paylaştırılmıştır. Bu durumda am ler şu şeklde elde edlr. 3 4 6 f 4*3 6 olur. Uygulamamızda f=/=4/6 dır. Böylee tabakalarda seçleek örek 3 4 6 4*3 6 ) ı Tam Eds Tabakalı şas öreklemesde, ' ı sapmasız tam eds şeklde d. Bu eştlkte = /f koşuluu yere koyarak f f = = elde edlr. Bua göre, tam eds, aml öreğ ortalamasıdır, ayı zamada ı sapmasız tam edsdr. Br öek uygulamamızda, aşağıdak şas öreğ seçldğ varsayalım: Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
= * f =3*(4/6)= : =, =6 = * f =3*(4/6)= : =8, = Bu durumda ı tam şu şekldedr: 6 8 = 7 4 Alıştırma: Aşağıda verle yığıda, oratılı paylaştırmaya göre, = aml tabakalı şas öreğ seçmek suretyle kş başıa çle ortalama sgara sayısıı tam edz. Tabaka I Tabaka II 0 0 3 8 30 6 4 6 80 36 Böylee er br tabakada = * f =6*(/0)=3 = * f =4*(/)= şas sayıları tablosuu kullaarak, Tabaka I de: =, =0, 3=3 Tabaka II de: =0, =6 seçlmş olsu. Böylee, Tam eds, (+0+3+0+6)=9. sgaradır. Gerçek ortalama se, = 0 (80+36)=.6 sgaradır. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler
)Oratılı Paylaştırmada V( ) V( )= etmek ç V( )= şekldeyd. Oratılı paylaştırmada V( eştlğde =( /) eştlğ yere koyalım. ) y elde Bua göre V( or)= fp (/>=0.0) )= fp olur. (/<0.0) V( or Vˆ ( or)= s fp s Vˆ ( or)= fp olur. Burada s ( ) şekldedr. 6.4.3. E Uygu Paylaştırma Bazı allerde sabt br bütçe le ala çalışması yapılmak gerekeblr ve farklı tabakalarda seçle örekleme brmler malyetler de farklı olablr. Malyetler sabt ve değşke olmak üzere kye ayrılmıştır ve malyet foksyou = 0+ le gösterlr. 0 sabt malyet olup ala araştırmasıı çapıa bağlı değldr. Dğer tarafta, değşke malyet ve tabakadak örekleme brm başıa malyet göstermektedr. böylee, tabakada brm seçme malyet dr. Malyet foksyou - 0= şeklde yazılablr ve atta - 0 yere koyarak bastleştrmek daa kolay olaaktır. Böylee = ale gelr. Bu bastleştrme ede, varyaslarıı mmuma drlmes koşullarıı elde edlmesde, 0 sabt Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-4 Örekleme Yötemler
malyet etks olmamasıdır. = malyet foksyou kullaılarak problem şu şeklde fade edleblr: V( ) y mmuma drmek ç verle sabt br bütçes altıda aml öreğ seçlmes ve buu tabakalar arasıda paylaştırılmasıdır. V( ) yı mmuma drmek ç aml öreğ tabakalar arasıda bu şeklde paylaştırılması yöteme E Uygu Paylaştırılma Yötem der. ı varyası V( )= s şeklde bulumuştu. Problem matematk dl le şu şeklde fade edleblr: V( ) yı = doğrusal bütçe kısıtı altıda mmuma dreek ler bulumasıdır. Bua göre souç, lagrage alat / / olarak elde edlr. Bu eştlk le oratılı olduğuu göstermektedr ve bu da ve büyükke de büyük alıması gerektğ gösterr. Malyet faktörü brm alıması gerektğ gösterr., malyet küçük olduğu tabakada daa çok sayıda E uygu paylaştırmaya lşk varyas V( )= fadesde / / değer yere koyarsak bu e uygu paylaştırma ç varyası verr. = V( ) eu koyarak, V( eu ) u tam eds elde ederz. s ( ) elde edlr, bu eştlkte yere s Prof.Dr.evet ŞEYAY VI- Örekleme Yötemler
Alıştırma: Aşağıda verle populasyo ç, e uygu paylaştırma yöteme göre, =4 aml öreğ paylaştırı ve populasyo ortalaması le ou örekleme varyasıı tam edler bulu. =$ ve = 4$ olduğuu varsayıız. Tabaka I ) ler elde edz. 8 8 4 6 6 6 6 Tabaka II Tabakalarda areketle 4,, 6 ve =4 elde edlmştr. Burada areketle aşağıdak tablo oluşturulablr: I 4 0 0 II 4 6 4 0 0 Burada da / 0 = (4) 0 / / 0 = (4) elde edlr. 0 / ) y elde edz. Bast şas sayıları tablosuu kullaarak I tabakada = aml ve II tabakada = aml şas örekler seçlmektedr. Öreğ aşağıdak tablodak gb seçlmş olduğuu varsayalım: = = I II 4 8 6 6 =0 =4 = s s 3 0 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-6 Örekleme Yötemler
(*) (*) 8. 0 buluur. ) V( eu ) yu elde edz. ( ) ( ) / / I 0 0 00 0 0 II 40 80 400 00 0 V( ) eu veya 0 00 0 0 = V( eu ) değer şıkkıda elde edle değerler =(/0) (/4)(0)(0)-(/0) (00)=.-=. V( )= olduğuda, eştlğde yere koyarak da elde edeblrz. = ve = V( )= =(/0) (0)-(/0) =.-=. olarak elde edlr. v) V ˆ (eu V ˆ ( eu ) yu elde edz. ) tam eds, olarak buluruz. yere s koularak elde edlr. Bu değerler şıkkıda s ve s 3 s s s / 0 0 3 800 400 60 s V ˆ ( eu )=(/0) (4)-(/0) (70)=4.-.7=. )=. =.9 s( eu Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-7 Örekleme Yötemler
6.4.4. eyma Paylaştırması Bazı durumlarda, farklı tabakalara lşk malyetler brbrde büyük farklılıklar göstermeyeblr ve bu sebeple bütü tabakalar ç ler eşt olableeğ varsaymak mümkü olur. Öreğ = f olsu. malyet foksyou 0 f o f bçm alır ve bu da f o bçmde yede yazılablr. Bu durumda örek am sabttr. Bu souu kullaarak e uygu paylaştırma yötem, e uygu paylaştırma yötem yede fade edleblr. Verle sabt br örek am le V ( ) y mmum kıla ler bulu. embollerle fade edldğde V ( )= ( ).... sabt = f =sabt özellğ kullaarak eyma Paylaştırması (934) aml alt öreklerde elde edle formülüde yere koularak populasyo ortalaması tam edlr. V ey Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-8 Örekleme Yötemler
Alıştırma: Aşağıdak tabloya göre, eyma örekleme yöteme göre ve V ˆ( ) değerler buluuz. Daa öede toplamış verlerde faydalaarak s değerler tam edlmş olduğuu varsayalım. =00 olsu. ey Tabakalar s s 80 9 960 0 4000 60 39 8 80 30 4800 3 60 3 4 040 0 600 ) ler buluuz. ) =00 380 400 960 00 9 380 80 00 39 380 040 3 00 3 380 y elde edz. =(400/00)=.80 ) V ˆ( ) yı elde edz. ey A B ( s ) ( s ) / ( - )/ AB 960 960 /9 /80 0000 80 80 /39 /60 3000 040 040 /3 8/60 30000 8000 B A ˆ ey V =(/00) (8000)=0.3 s s( ey )=0.66 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-9 Örekleme Yötemler
Özel br durum: Tüm değerler eşt olduğuda ( b.ş.ö. bezer) oratılı paylaştırma Öreğ Paylaştırılması üzere özet belrlemes ç çeştl paylaştırma yötemler örekleme varyaslarıı blmese tyaç vardır. Paylaştırma yötemler aşağıdak gb özetlersek;. Herbr tabakada eşt aml örekler. Oratılı paylaştırma 3. E uygu paylaştırma-sabt bütçel, tabakalara göre değşe örekleme brm malyetl 4. eyma paylaştırması-sabt örek aml, tabakalara göre örekleme brm eşt malyetl Bu paylaştırma yötemler ç tabaka örek amler ler şöyledr.. = eşt örekler. oratılı paylaştırma 3. / / e uygu paylaştırma 4. eyma Paylaştırması örek am belrlemes, yötemler varyaslarıı blmes gerektrmektedr. Bu edele çeştl paylaştırma yötemler varyasları elde edleektr. geel formu. Vˆ -4 olu eştlkler olu eştlkte yere koursa lgl souçlar aşağıdak gb elde edlr. 6. V eş ) ( 7. V( or )= Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-30 Örekleme Yötemler
Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler 8. V( ) eu = 9. ey V d stele duyarlılık düzey, z güvelrlk düzey, V de tam eds varyasıı göstermek üzere d =z V d 0 duyarlılığı ve z 0 güvelrlk düzey verlmş olduğuu varsayalım, böylee V = 0 0 z d =D arzu edle varyas olsu. örek am arttıkça V küçüleektr. Böylee örek am buluması problem şu şeklde fade edleblr. ı varyası D ye eşt olaak bçmde örek am bulmak sterz. Tabakalar arasıda öreğ eşt paylaştıra lk yötem ç ) ( eş V şeklde d. Burada, D = olur. D + = elde edlr. Burada D (eşt aml örekler) D (oratılı) / D (e uygu) D (eyma) / term küçük ve fp= ke eştlkler sağ tarafıdak kesr paydasıdak k term mal edleblr ve paydada yalız D term kalır.
Alıştırma: Br şerdek restoraları 600 küçük, 300 orta ve 00 tae büyük olmak üzere 3 tabakaya ayrıldığıı ve restoralara gele gülük ortalama müşter sayısıyla lgledğmz varsayalım. er br tabakadak restoralar ç stadart sapmalar sırasıyla 0,30,0 müşter olsu. Güvelrlk sevyes eme eme kes olması (z=3) ve duyarlılığı da 3 müşter sıırları çde olması stemektedr. Arzu edle varyası sağlaya örek am belrleyz ve buu tabakalar arasıda paylaştırıız. Tabakalar s s s s s 600 0 400,000 40,000 44,000,000 300 30 900 9,000 70,000 8,000,000 3 00 0 00,000 0,000,000,000 000 6,000 760,000 0,000,000 Durum : Eşt aml örekler D=d 0/z o=3/3= s 3* 0000000 = 46 000 * 760000 D s (eşt aml örekler) Böylee er br =46/3=4 s 3 0000000 Vˆ( eş ) ( 760000).76 0.76 s D = 000 46 koşulua uymaktadır. Durum : Oratılı Paylaştırma s 000* 760000 = 43 000 760000 3 D s 600 43 9 000 300 43 30 000 00 43 000 Varyas se Vˆ ( or)= 43 s koşulua uymaktadır. s (oratılı) 760000 760000 =.76 0.76 D = 000 43 000 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler
Durum 3: E Uygu Paylaştırma E uygu paylaştırma ç, örek brmler seçlme malyetler blmek gerekldr. sözkousu malyetler, =$, =$ ve 3=3$ olsu. s s s / 000 000 000 9000.44 370 6360 000.73 8660 890 6000 33390 0 s s / = D s 33900* 0 000000 403 760000 (e uygu) s s / / 000 ( )403 0 8 3 6360 ( )403 0 0 890 403 0 = s Vˆ ( ) eu 000 403 (33390)(0) s 000 s = 760000.76 0.76 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-33 Örekleme Yötemler
Durum 4: eyma Paylaştırması eyma Paylaştırması ç ( ler eşt olduğu varsayılarak) örek am şöyledr. s 6000 = D s (000) 760000 384 (eyma) s s (000/6000)*384=77 (9000/6000)*384=33 3 =(000/6000)*384= 73 383 ˆ s 6000 V ey s = 760000.76-0.76= 000 384 000 Tabaka eşt oratılı e uygu eyma 600 0 4 9 8 77 300 30 4 30 0 33 3 00 0 3 4 43 73 Toplam 000 46 43 403 383 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-34 Örekleme Yötemler
6.. Oralar ç Öreğ Paylaştırılması a)oratılı Paylaştırma ve lmedğ durumlarda uygulaır. Burada değer blmeğe gerek yoktur. b)e Uygu Paylaştırma Bu paylaştırma yötem karakterstğ, malyetler brbrde farklı ve toplam malyet sabtke V(p t) mumum kılıması şekldedr. Populasyo ortalaması dkkate alıdığıda souç / / bçmdeyd, yığı oraı düşüüldüğüde P Q = P Q olduğua göre elde edlr. P Q / P Q / )eyma Paylaştırması eyma paylaştırması yötem varsayımı ler sabt olmasıydı ve souç olarak toplam malyette dolayı sabt duruma gelyordu. ler eşt olması ede le P Q / P Q / eştlk P Q P Q al alır. 6... Örek am () belrlemes a) Arzu edle varyas arzu edle varyas D =(d/z) şekldeyd. Burada d atayı vede z de güvelrlk düzey göstermekteyd. Burada yığı oraı P y tam etmek stedğmzde d= P ˆ P p P α Burada ±α stele duyarlılık sevyesdr (±%3 gb). Z=3 alıırsa D=d/Z = 0,03/3 = 0,0 olur. Buu alamı, stadart ata 0,0 e eşt olaak şeklde belrlemektedr, dğer br fadeyle, 3 stadart sapmalık güve aralığıı geşlğ ±%3 kadar olaaktır. Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-3 Örekleme Yötemler
b) Oratılı paylaştırmada belrlemes Oratılı paylaştırmaya lşk örek am fp D fp= D formülü le belrledğ blyoruz. Oralar söz kousu olduğuda D P Q P Q fp P Q fp= D Alıştırma: İk veya daa çok TV set ola aleler oraıı tam etmek ç 3 şerde br araştırma yapılmıştır ) Aşağıdak very kullaarak z=3 ke duyarlılığı ya p P farkıı %3 lük sıırlar çde kalmasıı sağlamak üzere y belrley. ) Oratılı paylaştırma le y tabakalara paylaştırı. Şerler Aleler p p p q A 000 0.0 00 80 B 3000 0. 40 38. C 000 0.0 000 800 ) y bulu. d s( p) z 0.03 s( p)3 D 0.03 3 0000 60 36. 000036. 0 0.03 0000 36. 3 Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-36 Örekleme Yötemler
Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-37 Örekleme Yötemler ) y tabakalara oratılı paylaştırı. 60 0 0000 000 390 0 0000 3000 60 0 0000 000 ) E uygu paylaştırmada belrlemes / D Yığı oraı dkkate alıdığıda Q P D Q P Q P / fp= / D Q P Q P fp v) eyma Paylaştırmasıda belrlemes eyma Paylaştırmasıda, malyetler sabt olduğu düşüülür. Bu sebeple Q P D Q P Q P / dek ler brbrler götürü ve Q P D Q P al alır.
6.6. Tabakalı Şas Öreklemesyle Bast Şas Öreklemes Karşılaştırılması Uygu tabakalama ve uygu paylaştırma le tabakalı şas öreklemes, bast şas öreklemesde daa etkl olaaktır. Bu yötemler etklkler karşılaştırırke, tam edler varyaslarıı karşılaştırmak gerekr. V ( bşş ) w b Açıklama : Bast şas öreklemes çde k varyası olduğuu düşüelm. V or w Açıklama : Oratılı tabakalı öreklemede tabakalar arası varyas düşük veya ç olmaz. Tabakalar arası değşm büyük se oratılı tabakalı şas öreklemes duyarlılığı daa da yüksek olaaktır. V ( or) V ( ey) ( ) ale gelr. Tabaka amler arasıda büyük farklılıklar arasıda büyük farklılıklar ve tabaka varyasları arasıda da büyük değşmler olması alde, oratılı paylaştırma yere eyma paylaştırmasıı kullamak etklğ arttraaktır. Bu durumda sabt örek am ç V ( bşö ) V ) V ( ) ( or ey Prof.Dr.evet ŞEYAY VI-38 Örekleme Yötemler