EGE ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ (YÜKSEK LSANS TEZ) ÇARPIMSAL ANALZ VE UYGULAMALARI Yusuf GÜREFE Mtemtik A Bilim Dlı Bilim Dlı Kodu: 69.003.03 Tezi Suulduu Tri: 06.07.2009 Tez Dımı: Doç. Dr. Emie MISIRLI Borov - ZMR
II
IV
V ÖZET ÇARPIMSAL ANALZ VE UYGULAMALARI GÜREFE, Yusuf Yüksek Liss Tezi, Mtemtik Bölümü Tez Yöeticisi: Doç. Dr. Emie MISIRLI Temmuz 2009, 49 Syf Klsik lize ltertif olrk tıml çrpımsl liz kvrmı, bilim ve müedislikte krılıl problemlere frklı bir bkı çısı sumktdır. Bilie klsik liz kvrmlrı kullılrk çözülebile bzı mtemtiksel problemler çrpımsl liz ile d koly ve etki bir biçimde çözülebilir. Bu tez çlımsıd çrpımsl lizi temel kvrmlrı tımlmı ve bzı özellikleri verilmitir. Bu kvrmlr kullılrk çrpımsl lmd tımlı cebirsel deklemler, çrpımsl difersiyel deklemler ve Volterr tipi çrpımsl difersiyel deklemleri yklık syısl çözümleri icelemi ve bulrl ilgili yei lgoritmlr gelitirilmitir. Bu lgoritmlrı kullıldıı bzı uygulmlr d yer verilmitir. Atr sözcükler: Çrpımsl Aliz, Çrpımsl terpolsyo, Çrpımsl Geri Bölüm Opertörü, Çrpımsl Difersiyel Deklemler, Adms Metotlrı, Düzeltilmi Euler Metodu.
VI
VII ABSTRACT PRODUCT CALCULI AND ITS APPLICATIONS GUREFE, Yusuf MSc i Deprtmet of Mtemtics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Emie MISIRLI July 2009, 49 Pges Multiplictive clculus defied s ltertive to clssicl clculus provides ew perspective for te solutios of te problems i sciece d egieerig. Accordigly, some mtemticl problems, tt c be solved by usig te clssicl cocepts, c be solved more effectively d more simply by usig multiplictive cocepts. I tis tesis, some bsic cocepts of te multiplictive clculus re defied d teir some properties re give. Usig tese cocepts, te pproximte umericl solutios of te lgebric equtios defied i multiplictive sese, multiplictive differetil equtios d Volterr type multiplictive differetil equtios re lysed d ew lgoritms re developed wit respect to tis. Some pplictios, tt tese lgoritms re used, re give. Keywords: Multiplictive Clculus, Multiplictive Iterpoltio, Multiplictive Bckwrd Divisio Opertor, Multiplictive Differetil Equtios, Adms Metods, Modified Euler Metod.
VIII
IX TEEKKÜR Bu çlım süresice bilimsel bilgi, düüce ve öerileride yrrldıım ve içbir koud yrdım ve desteii bede esirgemeye ocm syı Doç. Dr. Emie MISIRLI' y sosuz teekkür ederim. Ayrıc e kötü zmlrımızd desteii bizde esirgemeye dyım PEHLVAN' ve er zm yımd ol blm Gülur GÜREFE'ye, em Kdriye GÜREFE ye, bbm evket GÜREFE ye ve çok deerli rkdım Nejl ÇALIK' teekkürü bir borç bilirim.
X
XI ÇNDEKLER Syf ÖZET... V ABSTRACT... VII TEEKKÜR... IX. GR... 2. ÇARPIMSAL ANALZ... 4 2. Çrpımsl Türev... 4 2.2 Çrpımsl tegrl.... 2 2.3 Çrpımsl Difersiyel Deklemler... 6 3. ÇARPIMSAL NÜMERK YAKLAIMLAR... 8 3. Dorusl Olmy Deklemlerde Kök Bulm. 8 3.. Kök Bulmy Geometrik Bir Yklım... 8 3..2 Çrpımsl Newto Rpso Yötemi... 20 3..3 Çrpımsl Cord Yötemi...20 3..4 Çrpımsl Sect Yötemi..2 3.2 Çrpımsl terpolsyo 22
XII ÇNDEKLER (Devm) Syf 3.3 Çrpımsl Adms Bsfort-Moulto Yötemleri 25 3.3. Çrpımsl Adms Bsfort Algoritmlrı.26 3.3.2 Çrpımsl Adms Moulto Algoritmlrı...27 3.3.3 Çrpımsl A.B-M. Yötemleri çi Ht Tmii..28 3.3.4 Çrpımsl Mile Yötemi...34 3.3.5 Çrpımsl Heu (Düzeltilmi Euler) Yötemi...36 3.3.6 Volterr Tipi Heu Yötemi...39 5. SONUÇ 45 KAYNAKLAR DZN..47 ÖZGEÇM 49
. GR Güümüzde oldukç yygı kullım sip mtemtiksel teori ol klsik liz, 7. yüzyılı ikici yrısıd Gottfried Leibitz ve Isc Newto trfıd türev ve itegrl kvrmlrı temel lırk tımlmıtır. Cebir, trigoometri ve litik geometri koulrı üzerie i edile klsik liz limit, türev, itegrl ve seriler gibi kvrmlrd olumktdır. Bu kvrmlr toplm ve çıkrm ilemlerii bsit versiyolrı ile kullıldııd bu liz toplmsl liz olrk ifde edilmektedir. Klsik liz do bilimleri, bilgisyr bilimleri, isttistik, müedislik, ekoomi, i ymı ve tıp bt olmk üzere mtemtiksel modellemei gerektirdii ve e uygu çözüm yötemlerii istedii pek çok ld uygulmy siptir. Klsik liz temel lırk frklı ritmetik ilemleri kullımı ile ltertif lizler de tımlmıtır. Bu durum örek, 887 yılıd Vito Volterr trfıd gelitirile Volterr tipi liz olrk d dldırıl lizdir (Volterr ve Hostisky, 938). Bu yei yklımd çrpm ilemi temel lıdıı içi bu lize çrpımsl liz (multipliktif liz) de deilmektedir. So yıllrd bu lizi uygulm llrı orty koulrk bzı çlımlr ypılmıtır (Aiszewsk, 2007; Ksprzk ve rk., 2004; Rybczuk ve rk., 200). Volterr lizii tımlmsıd sor Micel Grossm ve Robert Ktz trfıd 967 ve 970 yıllrı rsıd bzı yei çlımlr ypılmıtır. Bu çlımlrı soucud ise geometrik liz, bigeometrik liz ve geometrik liz olrk dldırıl yei lizler tımlmıtır. No-Newtoi liz olrk t dldırıl bu yei liz ile ilgili bzı temel tım ve kvrmlr verilmitir (Grossm ve Ktz, 972). Ayrıc No-Newtoi lizi uygulmlrıı ypıldıı bzı çlımlr d orty koulmutur. Bu lizlerde geometrik liz Dick Stley trfıd çrpımsl liz olrk ifde edilmitir (Stley, 999). Buu
2 rdıd 2008 yılıd çrpımsl lizi temel kvrmlrıı tımldıı ve bzı uygulmlrıı ele lıdıı çlımlr ypılmıtır. (Bsirov ve rk., 2008). 2007 yılıd ypıl bir çlımd Volterr tipi çrpımsl difersiyel deklemler ile tıml blgıç deer problemii syısl çözümü içi çrpımsl Ruge-Kutt lgoritmlrı gelitirilmi ve bu yötemle ilgili bir uygulmy d yer verilmitir (D. Aiszewsk). 2009 yılıd ise ikici mertebede klsik difersiyel deklemlere ltertif ol ikici mertebede çrpımsl difersiyel deklemler ve ikici mertebede Volterr tipi çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümlerie yöelik çrpımsl solu frklr olrk dldırıl bir yötem tımlmı ve uygulmlrı ypılmıtır (Rız ve rk., 2009- bskıd). Çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümlerii esplmsı içi gelitirilmi ol bu yötemler, deklemlerdeki bımsız deikei çok büyük deerleri içi çok ızlı ve etki souçlrı elde edilmesii slmıtır. 2009 yılıd ypıl bir dier çlımd ise çrpımsl liz kvrmlrıı frklı bilim dllrıdki problemlere yei bir bkı çısı suduu görülmütür (J. Eglerdt, ve rk. ). Bu tez çlımsıı mcı, çrpımsl lmd tımlı kvrmlr kullılrk yei bzı syısl yklımlr orty koymk, dorusl olmy cebirsel deklemler, çrpımsl difersiyel deklemler ve Volterr tipi çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümlerii koly ve etki bir ekilde bulmktır. Bu yötemleri, özellikle litik çözümüü bulumsıd zorluk y y d syısl çözümüde d iyi souçlr elde edilebilecek problemler içi uygu yklımlr olmsı d mçlmıtır. Bu tez çlımsıı ikici bölümüde, çrpımsl lizi türev, itegrl, mutlk deer gibi temel kvrmlrıı tımlrı ve bzı
3 özellikleri ile bu kvrmlr kullılrk tıml çrpımsl difersiyel deklemlere yer verilmitir. Çrpımsl türev ve çrpımsl itegrl kvrmlrıı özellikleri çıklmıtır. Çrpımsl lmd tımlı türev ve itegrl kvrmlrıı klsik kvrmlr göre gi özelliklerii d vtjlı ve mtemtiksel problemlere d koly uygulbile bir ypıy sip olduu d vurgulmıtır. Bu tım ve kvrmlr yptıımız çlımlrı temelii de oluturmktdır. Bu çlımı üçücü bölümüde ise bzı syısl yötemlere ltertif yei ümerik lgoritmlr gelitirilmi ve bulrı uygulmlrı yer verilmitir. lk olrk, dorusl olmy cebirsel deklemleri syısl çözümleri içi klsik yötemleri bezeri ol geometrik yklım, Newto Rpso, Sect ve kiri yötemlerii çrpımsl versiyou tımlmı ve bu yötemler kullılrk bzı uygulmlr ypılmıtır. Ayrıc çrpımsl iterpolsyo tımı ypılrk, Lgrge üstel yklımı ve Newto geri bölüm yklımı uygulmlrı ile ele lımıtır. Bu bölümde yrıc Newto geri bölüm iterpolsyo yklımı kullılrk klsik Adms Bsfort-Moulto yötemlerii bezeri ol çrpımsl Adms Bsfort-Moulto yötemleri gelitirilmi ve bu yötemler içi t tmileri ypılmıtır. Elde edile lgoritmlr içi uygulmy d yer verilmi ve tm çözüm ile yklık çözüm krıltırılrk souçlr deerledirilmitir. Bu tez çlımsıı so bölümüde ise çrpımsl Euler, çrpımsl Heu, çrpımsl Mile, Volterr tipi çrpımsl Euler ve Volterr tipi çrpımsl Heu yötemleri de gelitirilmi ve bzı uygulmlr yer verilmitir. Bu yötemler gelitirilirke çrpımsl liz ve Volterr tipi çrpımsl lizde yer l türev ve itegrl gibi bzı kvrmlr rsıdki mtemtiksel bıtılr orty koulmutur.
4 2. ÇARPIMSAL ANALZ Bu bölümde çrpımsl lizi temelii olutur türev ve itegrl kvrmlrıı tımlrı, bzı özellikleri, türev ve itegrl lm kurllrı ile bzı teoremler verilmitir. Ardıd çrpımsl difersiyel deklemler tımlmı ve uygulmlrı ypılmıtır. 2. Çrpımsl Türev Öcelikle ergi bir f foksiyou x deikeie blı klsik türevii limit tımı eklide ifde edilebilir. f ( x + ) f ( x) f ( x) = lim (2.) 0 (2.) deklemide olduu gibi ergi bir foksiyodki deiim orı o foksiyou klsik türevi olrk dldırılbilir. Gülük ymd krılıl pek çok problemde orty çık deiim türev kvrmı ile ifde edilebilir. Buul birlikte ıdki gibi bsit bir fiz problemi ele lırk yei bir türev tımı d verilebilir. Bir kiii ergi bir bkdki esbı lir ytırdıı ve bir yıl sor bkd b lir ldıı vrsyılırs, bky ytırıl prı miktrıı blgıçtki miktrı b / ktı deitii görülmektedir. Peki o miktr yd kç ktı deimitir? Buu esplmsı içi bir ylık deiimi p kt olduu vrsyıldııd; ylık deiim p 2 2 ylık deiim p 2 2 ylık deiim p
5 olur. Burd d p deeri b p = 2 olrk esplır. Bky ytırıl prlrı miktrlrıı gülük, er st, er dkik, er siye v.s deitii ve frklı zmlrdki lık deerii f foksiyou ile ifde edildii vrsyımı ile f ( x ) miktrıı lık x zmd kç ktı deitii lim 0 ifdesi kullılrk elde edilebilir. f ( x + ) f ( x) (2.2) 2.. Tım: Eer (2.2) tımlı ise f foksiyouu x deikeie blı çrpımsl türevi olrk dldırılır ve f ( x) A çık kümelerideki tüm x deerleri içi f ( x) f ( x) : A sembolü ile gösterilir. foksiyou eklide tımlır. f 'i pozitif bir foksiyo olduu vrsyılrk ve klsik türevi tüm özellikleri kullılrk çrpımsl türev f ( x) f ( x + ) = lim 0 f ( x) (2.3) = lim+ 0 = e = e f ( x) f x (l f ) ( x) f ( x + ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x+ ) f ( x) f ( x+ ) f ( x) f ( x) (2.4) eklide tımlır. Burd l f foksiyou, logritm foksiyou ile f foksiyouu bilekesi olrk tımlmıtır.
6 2..2 Teorem: Pozitif bir f foksiyou, ck ve ck, ergi bir x 0 oktsıd klsik lmd difersiyelleebilir ise yie yı oktd çrpımsl lmd difersiyelleebilirdir. 2..3 Öerme: Eer f, x 0 oktsıd çrpımsl lmd difersiyelleebilir ise x 0 oktsıd süreklidir. Htırltm: Çrpımsl lmd difersiyelleebilir bir foksiyo süreklidir. Ack bu durumu tersi er zm doru olmybilir. Böylelikle, klsik lizde olduu gibi çrpımsl lizde de bzı difersiyelleemeye foksiyolr sürekli olbilir. 2..4 Tım: Eer, f foksiyouu çrpımsl türevi vrs ikici mertebede çrpımsl türevi olrk dldırılır ve f Bezer ekilde ile gösterilir. ( ) f otsyou ile gösterile f foksiyouu. mertebede çrpımsl türevi de tımlbilir. kez tekrrl çrpımsl türev lm ilemi ile pozitif bir f foksiyouu x oktsıd. mertebede çrpımsl türevi vrdır ve ( ) f x = e ( f ) l ( x) (2.5) eklide tımlıdır. 2..5 Teorem: Eer pozitif bir f foksiyou t oktsıd çrpımsl lmd difersiyelleebilir ise klsik lmd d difersiyelleebilirdir ve böylece eklide yzılbilir. * f t = f t l f t. * spt: f çrpımsl lmd difersiyelleebilir ve deklemi kullılrk deklemi yzılbilir. Böylece * f t = e ( l f ) ( t) = ( ) * l f t l f t. olrk bulubilir. Burd, olduu içi. f t 0 ise (2.4)
7 bıtısı elde edilir. * l f t = f t f t 2..6 Tım: Pozitif bir y reel syısı ele llım. y 'i çrpımsl mutlk deeri y simgesi ile gösterilir ve. Eer y ise y = y 2. Eer y ise y = / y eklide tımlır. Örei, 7 = 7, = 3, = olur. 3 2..6 Tımı kullılrk çrpımsl mutlk deeri ıdki özellikleri kolyc verilebilir:. y, 2. xy x y, 3. Eer içi y ise y. 2..7 Tım: A ve f : + A olsu. Eer er ε > içi öyle bir δ > vrs f foksiyouu A oktsıd çrpımsl lmd sürekli olduu söyleir öyle ki x A içi x < δ ike f ( x) f ( ) < ε bıtısı slır. Eer f, A 'ı er oktsıd çrpımsl lmd sürekli ise A kümesi üzeride de çrpımsl lmd süreklidir deir.
8 2..8 Örek: f : + + ve 3 f x = x olsu. O zm f foksiyou er x0 R + oktsıd çrpımsl lmd süreklidir. Buu göstermek içi ε > ve δ ε 3 = olduuu düüürsek tüm 0 x R + ler içi, bıtısı slır. x x * * 3 x < δ ike < ε x 3 0 0 2..9 Teorem: f ve g çrpımsl lmd difersiyelleebilir iki foksiyo olsu. c bir sbit olmk üzere c. f, f. g, f + g, f / g, foksiyolrı d çrpımsl lmd difersiyelleebilirdir ve çrpımsl türevleri ( c. f ) x = f ( x), (2.6). 2. ( fg) ( x) f ( x) g ( x) =, (2.7) f ( x) f ( x) g( x) 3. ( f g) ( x) f ( x) + g ( x) g( x) f ( x) + g ( x) + =, (2.8) 4. ( f / g) ( x) f ( x) / g ( x) =, (2.9) g g ( x) g 5. ( x ) ( f ) x = f ( x) f x (2.0) eklideki formüller kullılrk esplır. spt: 2. ve 5. türev lm kurllrıı isptlrı ıd verilmitir. Bezer yklımlrl dier bıtılrı doruluu d gösterilebilir. 2. f ve Bu durumd, g çrpımsl lmd difersiyelleebilir iki foksiyo olsu. f g
9 * l fg t = e ( ( fg ) ) ( t) = e = e = e = ( l f + lg ) ( t) ( l f ) ( t) + ( lg ) ( t) ( l f ) ( t) ( lg ) ( t) e * * f t g t bıtısı elde edilir. 5. f ve g çrpımsl lmd difersiyelleebilir iki foksiyo olsu. Bu durumd, bıtısı elde edilir. g * gl f t = e ( ( f ) ) ( t) = e = e = e = ( g ( l f ) + g( l f ) )( t) g t f t g t f t ( l ) + ( l ) g t f t g t f t ( l ) ( l ) e * g ( x) g ( x) f t f t * 2..0 Öerme: Her t (, b) içi ck ve ck olduud (, b ) çık rlııdki f ( t) C 0 spt: (, b ) rlııd sbit bir f ( t) C 0 Böylece t (, b) içi * ( lc) 0 f ( t) = e = e = bıtısı buluur. Bu durumu tersie eer er t (, b) ise * f ( t ) = f t = = > sbit bir foksiyo olur. = > foksiyou ele llım. içi
0 * f t e ( l f ) ( t) = = eklide yzılbilir. Burd, t (, b) içi f ( t) C 0 = > esplbilir. 2.. Öerme: g çrpımsl lmd difersiyelleebilir ve klsik lmd difersiyelleebilir foksiyolr olsu. Eer ise, o zm deklemi buluur. f ( t) = ( g )( t) ( ) = * * f t g t spt: g foksiyou çrpımsl lmd difersiyelleebilir, foksiyou d klsik lmd difersiyelleebilir ve f ( t) = ( g )( t) olduud eklide gösterilebilir. * f t = e = e = e ( l f ) ( t) f ( t) f t ( ) ( t) ( g)( t) g t ( ) ( ) g t g t = e t ( ( t) ) t t * = g 2..2 Öerme: Pozitif bir f foksiyou içi ck ve ck f x = ise f ( x) = 0 olur. 2..3 Teorem [ - Ortlm Deer Teoremi]: Eer f, [, b] rlııd çrpımsl lmd sürekli, pozitif ve (, b ) rlııd
çrpımsl lmd türevli bir foksiyo ise (, b ) rlııd öyle bir c syısı vrdır ki bıtısı elde edilir. f b f ( c) = f 2..4 Teorem [ - Rolle's Teoremi]: Eer f foksiyou (, b) rlııd çrpımsl lmd türevleebilir ve [, b ] rlııd çrpımsl b lmd sürekli pozitif bir foksiyo ve f ( ) = f ( b) ise f ( c) = olck ekilde (, b ) rlııd bir c syısı vrdır. 2..5 Öerme: f :(, ) foksiyo olsu. O zm er x (, b) içi b çrpımsl lmd türevleebilir bir. Eer f ( x) > ise f rt bir foksiyodur. 2. Eer f ( x) 3. Eer f ( x) ise f mooto rt bir foksiyodur. < ise f zl bir foksiyodur. 4. Eer f ( x) ise f mooto zl bir foksiyodur. 2..6 Öerme: f : (, b) çrpımsl lmd difersiyelleebilir bir foksiyo olsu. 0 f c > olck ekilde c (, b) vrdır öyle ki. Eer f ( c) = ve f ( c) > ise, f foksiyou c oktsıd yerel miimum deerie siptir. 2. Eer f ( c) = ve f ( c) < ise, f foksiyou c oktsıd yerel mksimum deerie siptir.
2 2.2 Çrpımsl tegrl Bu bölümde çrpımsl itegrli tımı, bzı temel özellikleri ve çrpımsl itegrl esplm kurllrı verilmitir. 2.2. Tım: Eer f, foksiyou [, b ] rlııd pozitif ve sürekli ise (, b ) rlııd çrpımsl lmd itegrlleebilir ve eklide tımlır. b b l( f ( x)) dx dx f ( x) = e (2.) 2.2.2 Teorem: f ve g foksiyolrı [, b ] rlııd çrpımsl lmd itegrlleebilir ve (, b ) rlııd pozitif ve sürekli olsulr. O zm k ve c b olmk üzere k f, f. g, f / g foksiyolrı çrpımsl lmd difersiyelleebilirdir ve çrpımsl itegrlleri b b k. k dx dx ( f ( x) ) = ( f ( x)), (2.2) b b b 2. dx dx dx f ( x) g( x) = ( f ( x)) ( g( x)) (2.3) 3. b f ( x) g( x) dx = b b ( f ( x) ) ( g ( x) ) dx dx, (2.4) b c b dx dx dx (2.5) 4. f ( x) = f ( x) f ( x) c eklide esplır. spt: Çrpımsl itegrl içi verile özelliklerde. ve 3. bıtılrı doruluuu gösterelim.
3. f foksiyou [, b ] rlııd çrpımsl lmd itegrlleebilir olsu. f, [, b ] rlııd pozitif, sürekli bir foksiyodur ve tüm k R içi (2.2) bıtısı kullılrk deklemi buluur. Burd elde edilir. k ( f ( t) ) k ( l( ) ) b b dt f t dt = e = e b dt ( l( f ( t ))) dt b f t e k ( ) b k f t dt ( l( )) 3. f ve g foksiyolrı [, b ] rlııd çrpımsl lmd itegrlleebilir olsulr. Bu durumd b f t g t = = b dt ( f ( t )) = e b f t l dt g t b = e = e dt k k ( l l ) f t g t dt b b l f t dt l g t dt. bıtısı elde edilir. Burd d formülü gösterilmi olur. b f t g t dt = b b f t g t dt dt
4 2.2.3 Öerme: f, [, b ] rlııd çrpımsl lmd tersi lıbile bir foksiyo olsu. Bu durumd b dt =, b dt. f ( t) f ( t) dt 2. f ( t ) = olur. spt:. f, [, b ] rlııd çrpımsl lmd tersi lıbile bir foksiyo olsu. Öyleyse, b b l f ( t) dt l f ( t) dt dt dt b f t e e f t = = = b bıtısı elde edilebilir. 2. f, [, b ] rlııd çrpımsl lmd tersi lıbile bir foksiyo olsu. Öyleyse, bıtısı elde edilebilir. dt = l f ( t) dt = 0 = f t e e 2.2.4 Teorem [Çrpımsl Aliz'i Temel Teoremi]: f, [, b] rlııd pozitif ve sürekli bir foksiyo olsu. terstürevleride biri F olsu. Böylece F, [, b ] rlııd x dx =, x b F( x) f ( x) f 'i çrpımsl eklide tımlmı olsu. Öte yd, eer G ( x ), f foksiyouu [, b ] rlııd ergi bir terstürevi ise
5 eklide yzılbilir. b dx G( b) f ( x) = (2.6) G( ) 2.2.5 Teorem [Kısmi Çrpımsl tegrl]: f :[, b] R + ve g :[, b] R + çrpımsl lmd difersiyelleebilir foksiyolr olsulr. Böylece g f de çrpımsl lmd difersiyelleebilirdir ve b eklide yzılbilir. g ( ( t f t ) ) g ( b ) g ( ) b g ( t ) f b dt * = f ( f t ) dt (2.7) spt: f ve g foksiyolrı, [, b ] rlııd pozitif ve difersiyelleebilir olsulr. 2..9 ve 2.2.4 teoremleri kullılrk b formülü elde edilir. * g ( ( t f t ) ) dt = = g * ( f ) ( t) b = g ( t ) f t b g * (( f ) ( t) ) b g ( ( t f t ) ) dt dt dt g ( b ) g ( ) b g ( t ) f b f ( f t ) dt
6 2.3 Çrpımsl Difersiyel Deklemler Bilim ve müedislikte krılıl pek çok problemi mtemtiksel modellemeside klsik türevlere blı difersiyel deklemler kullılmktdır. Ack krılıl bzı bilimsel problemler klsik difersiyel deklemler kullılrk kolyc ifde edilemeyebilir. Bu durumd ltertif olrk tıml çrpımsl difersiyel deklemler kullılmy blmıtır. Bu bölümde çrpımsl difersiyel deklemleri tımı, bzı temel uygulmlrı verilmitir. Ayrıc çrpımsl liz kullılrk bzı klsik dorusl difersiyel deklemleri çözümleri içi yei formüller elde edilmitir. 2.3. Tım: Pozitif bir G foksiyou içi. mertebede bir çrpımsl difersiyel deklem * ( (,,,, * *, ) ), (, ) + G t y y y y t = t y (2.8) eklide ele lıbilir. f, bir I reel rlııdki tüm t deerleri içi tımlmı kez çrpımsl lmd difersiyelleebilir pozitif bir foksiyo olsu. Eer (,, *,, * ( ), * ( ) ) ( * *( ) *( ) ) G t f f f f tımlmı ve tüm t I deerleri içi G t, f, f,, f, f = ise f, (2.8) çrpımsl difersiyel deklemii bir explicit çözümü olrk dldırılır. Ayrıc, (2.8) deklemii bir implicit çözümü de g( t, y ) = 0 formu siptir. O e zıd reel bir f foksiyouu tımlr öyle ki bu foksiyo (2.8) deklemii bir explicit çözümüdür. 2.3. Tım: Bir bımsız deikele ilgili bir vey d fzl bımlı deikei çrpımsl türevii içere difersiyel dekleme çrpımsl difersiyel deklem deir. Örei. mertebede çrpımsl difersiyel y x = f x, y x deklem, y 'i çrpımsl türevii içere biçimideki difersiyel deklem olrk tımlır.
7 2.3.2 Örek: Çrpımsl difersiyel deklemler içi bzı örekler eklideki deklemlerle verilebilir. = ** y t y t ** y ( t) = e,, 3 = y ** t y * t 2.3.2 Tım: Bir çrpımsl difersiyel deklemde e yüksek mertebede türev içere foksiyou mertebesi çrpımsl difersiyel deklemi mertebesi olrk tımlır. Pozitif çözümlü olduu kbul edile yukrıdki öreklerde icelee birici mertebede di difersiyel deklemler çrpımsl difersiyel deklemlere döütürülerek yei çözüm lgoritmlrı gelitirilmitir.
8 3. ÇARPIMSAL NÜMERK YAKLAIMLAR Bu bölümde klsik yötemlere ltertif olrk tıml çrpımsl syısl (ümerik) yklımlr ele lımıtır. Deklemleri köklerii esplmk, foksiyolrd r deer bulmk ve difersiyel deklemleri yklık syısl çözümlerii esplmk içi yei yötemler gelitirilmitir. 3. Dorusl Olmy Deklemlerde Kök Bulm Tek deikeli, reel deerli bir foksiyou klsik lmd sıfırlrıı syısl ykltırmsı ile ilgilidir. Klsik yötemlerde f : Ι = (, b) ve r ike f ( r ) = 0'ı sly r deerii bulmk içi kullıl yötemler geellikle itertiftir. Bu itertif yötemlerle lim x r x syı dizisi elde edilmektedir. Eer = olck biçimde bir { } bu deklemleri kökleri ltertif olrk gelitirile yötemlerle esplck ise yei tımlm ve yklımlr oluturulmlıdır. 3.. Tım: f : Ι = (, b) ve r b sly r deerie o deklemi kökü deir. + 3..2 Tım: g : Ι 0 = (, b) f ( r) + = g( r) eitliii sly f r = 'ı ike 0 ve r b olmk üzere g r = deklemie çrpımsl deklem, bu deklemi sly r deerie o deklemi kökü deir. 3.. Kök Bulmy Geometrik Bir Yklım g :[, b] + olmk üzere g x = deklemii kökü çrpımsl lmd tımlı yötemlerle yklık olrk esplırke er dımd x r x elde olck biçimde r köküe ykl deerleri dizisi { } edilir. Deklemi [, b ] rlııd köküü olmsı içi vey köküü o rlıkt olmsı içi slmsı gereke koullr vrdır.
9 Bu edele foksiyou tımldıı rlıı sıır deerleri ve b içi ıdki gibi iki yrı durum göz öüe lıdııd;. Eer g ( ) < ve g b > ise, (3.) 2. Eer g2 ( ) > ve g b < ise (3.2) 2 [, b ] rlııd g ( x ) = eitliii sly bir r deeri vrdır. Bu iki durumu geelletirmek mcıyl ıdki ilemleri uygulylım: (3.) içi (3.2) içi ise ( g ( )) < = ve l l 0 l g b > l = 0 ( g2 ( )) > = ve 2 l l 0 l g b < l = 0 elde edilir. Bu bıtılrd d ( ) l g l g b < 0 (3.3) eklide bir koul elde edilir. Böylece (3.3) bıtısıı sly ve b deerlerii rsıd çrpımsl deklemi bir kökü vrdır. + 3..3 Teorem: g :[, b] ve eitsizliii sly 0 =, b0 = b içi 0 [, b] içi [, b ] Ι = lt rlıklrıı bir dizisii ele llım:. Eer ( ) ( ( )) g x = olmk üzere (3.3) Ι = rlııı ve 0 l g x l g < 0 ise = + ve b = + x, 2. Eer ( ) ( ( )) l g x l g b < 0 ise = + x ve b eklideki durumlrı sly + + + + = x = b (3.4) bıtısı elde edilir. Klsik lizdeki yrılm (Bisectio) yötemide ritmetik ortlm yklımı ile deklemi kökü yklık olrk esplırke çrpımsl lizde geometrik ortlm ile esplmıtır. b
20 3..2 Çrpımsl Newto Rpso Yötemi 3..4 Tım [Çrpımsl Tylor Açılımı]: f : + ve dım uzuluu olmk üzere. mertebede çrpımsl lmd türevleebile sürekli bir f foksiyou içi! k = 0 f x + = f x (3.5) bıtısı. mertebede çrpımsl Tylor çılımı deir. g( r ) = ve mertebede çrpımsl Tylor çılımı r = x + içi g foksiyouu r civrıd. ( )! g( r) = g( x + ) g( x ) g x... eklidedir. Burd ξ ( r, x ) içi = g( x )( g ( ξ )) buluur. Souç olrk t r x + olduud x + r x ( g ( x )) g ( x ) l = x (3.6) l ( ) itertif bıtısı elde edilir. (3.6) formülü çrpımsl Newto's Rpso yötemi olrk dldırılır. 3..3 Çrpımsl Cord Yötemi g b 0 içi g ( x ) g ( ) b b x x g x = l ( ) g ( b) l g ( ) + eklide yei bir rekürs bıtısı tımlbilir. ile (3.6) bıtısı düzelediide (3.7)
2 3..4 Çrpımsl Sect Yötemi ( ) g x içi g ( x ) g x x x blgıç deeri verildiide (3.6) bıtısı x x x = x l g x g ( x ) l g ( x ) ele lırk x 0 ve x gibi iki ( ) + (3.8) eklide düzeleir. Elde edile bu yei rekürs bıtısı çrpımsl Sect formülü deir. 3..5 Örek: [ 2,3 ] rlııd f ( x) ( x) ( x) = l si = 0 deklemii köküü çrpımsl lmd tımlı yötemlerle esplylım. Öcelikle g( x) = f ( x) + döüümü ile g( x) = l x si x + = (3.9) eklide çrpımsl bir deklem elde edilir. (3.9) deklemii tıml rlıkt köküü vrlıı icelemek içi ( g ) = ve l 2 0.24353798 elde edilir. Böylece ( ) l g 3 = 0.67664205 l g 2 l g 3 = 0.63575702 < 0 koulu slır ve verile rlıkt deklemi kökü vrdır. (3.9) çrpımsl deklemi, gelitirile (3.6), (3.7), (3.8) lgoritmlrı kullılrk çözülmütür. Tblo oluturulrk elde edile souçlr krıltırılmıtır. Hgi yötemi d z itersyo ile deklemi köküe ykltıı belirlemitir. Problemi çözümü içi, blgıç koulu x 0 = 2 olrk lımıtır.
22 Tblo. (3.9) Deklemii Kökü çi Syısl Souçlr Çrpımsl Newto Rpso Yötemi 2 2,208369586 2,29078968 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 Çrpımsl Cord Yötemi 2 2,26602877 2,22579588 2,2202535 2,2895444 2,2930394 2,290362 2,2907687 2,2907067 2,29076 2,290747 2,290749 2,290749 Çrpımsl Sect Yötemi 2 2,208369586 2,28557470 2,2905703 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 2,290749 Tblo.' de görüldüü gibi gelitirile yei yötemler yrdımıyl deklemi köküe yklık olrk ulılmktdır. Yötemleri itersyo syılrı birbiride frklı olmutur. Çrpımsl Newto Rpso yötemi e z itersyo syısı ile deklemi köküü esplmıtır. 3.2 Çrpımsl terpolsyo Yklımı terpolsyo, bir foksiyou tımlı olduu rlıktki ergi bir deerie krılık souç elde etme y d r deer esplm ilemi olrk tımlbilir. Klsik liz kullılrk tıml pek çok r deer esplm yötemi vrdır. Bu yötemlere ltertif olrk yei yötemler gelitirilebilir. Bu yei yklımlr özellikle üstel foksiyolr içi r deer esplmd etkili souçlr vermektedir. Üstel bir biçimde tımlmı olmsı, uygulmlrdki foksiyolrı pozitif deerli olmsıı gerektirdiide egtif deerli foksiyolrı kullılmmsı bu yei r deer esplm yötemlerii zyıf yöü olrk ifde edilebilir.
23 3.2. Tım: Çrpımsl Lgrge iterpolsyo yklımı E ( x ) pozitif tımlı bir f foksiyouu ( x0, f ( x0 )),( x, f ( x )),...,( x, f ( x )) biçimideki ( + ) veri oktsı ile er bir k = 0,,..., deeri ve formülü içi L, k = x x i (3.0) i= 0 xk xi i k ( ( k )) k = 0 L, k ( x) E x = f x (3.) eklide tımlmıtır. Tıml bu yklım çrpımsl (üstel) Lgrge iterpolsyou deir. 3.2.2 Tım: 0,,... i = içi f f ( x ) i = olmk üzere i f = f f (3.2) / i+ i+ i eklide tıml opertöre çrpımsl geri bölüm opertörü deir. Tım 3.2.2. de fi ( fi ) f f f 2 i i 2 = =, ( fi ) i 3 ( 3) ( 2) fi ( fi 2) fi = =, 3 ( fi ) fi 3 C,0 C,2 C (, ) fi fi 2... fi + fi = fi = (3.3) C, C,3 C, f f... f k s = içi C ( k, s) olur. Burd, 0,,2,... i i 3 i = k! eklide tımlıdır. k s! s! ( ) (3.3) bıtısıı geel formu ise i =,2,... içi
24 eklide tımlıdır. ( k ) i k s= 0 ( ) s C ( k, s f ) f = (3.4) i s 3.2.3 Tım: dım uzuluu, xi xi f x E r olck biçimde tıml C ( r, ) ( 2) r = x x ike = + içi / + i C( r+,2 ) (,... C r+ ) E r = f f f f i i i i formülüe Newto geri bölüm iterpolsyou deir. Bu formül k = 0 ( + k, ) i C r k k E r = f eklide düzeleebilir. (3.4) bıtısı kullılrk t yklımı k C( r+ k, k ) s C k, s (3.5) E r f eklideki e geel li elde edilir. = i s k = 0 s= 0 3.2.4 Örek: x 0 = 0., x = 0.2, x 2 = 0.3, x 3 = 0.4, x 4 = 0.5 blgıç deerleri ve = 0. içi 4. mertebede çrpımsl Newto geri bölüm si x iterpolsyou kullılrk f ( x) = x foksiyou x = 0.5, x = 0.35 oktlrıdki yklım = 4 içi; 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 r + 0r + 35r + 50r + 24 r 9 r 26 r 24r r + 8r + 9r + 2r r 7 r 4r 8r r + 6r + r + 6r 24 6 4 6 24 3 = i i i 2 i 3 i 4 E r f f f f f eklide bir üstel yklım formülü olrk elde edilir. Bu formül ile x = 0.5 içi yklık deer esplcıd x x4 0.5 0.5 r = = = 3.5 0. lırk f ( 0.5) 0.753463363 bulumutur. Foksiyou o oktdki gerçek deeri ise f ( 0.5) = 0.7534565 olrk esplmıtır. x = 0.35 içi;
25 x x4 0.35 0.5 r = = =.5 0. lırk f ( 0.35) 0.69776237 bulumutur. Foksiyou o oktdki gerçek deeri de f ( 0.35) = 0.69768909 olrk esplmıtır. Çrpımsl lizde mutlk t ( x) ( x) ftm Ç. M. H = f yklık eklide tımlır. Bu tım göre x = 0.5 içi çrpımsl mutlk t ( 0.5) ( 0.5) ftm Ç. M. H = =.000427275 f yklık eklide esplır. Öte yd x = 0.35 içi çrpımsl mutlk t olrk esplır. ( 0.35) ( 0.35) ftm Ç. M. H = =.00005032 f yklık 3.3 Çrpımsl Adms Bsfort-Moulto Yötemleri Difersiyel liz mtemtiksel modellemei gerektirdii pek çok problemde kullılmktdır. Bilim ve müedislik lıd krılıl birçok problemi mtemtiksel modellemesi evrimsel bir tım dylıdır. Bu tür problemleri mtemtiksel modelleri difersiyel deklemler ile de ifde edilebilir. Problemleri bzılrı, mtemtiksel formülsyo içi klsik liz kvrmlrı kullıldııd d zor yklımlr içerebilir. Bu durumd ltertif kvrmlr itiyç duyulbilmektedir. Böylece çrpımsl liz kvrmlrı ile tıml çrpımsl difersiyel deklemleri kullımı d öem kzmktdır. So yıllrd ypıl bzı çlımlr d (Rız M. ve rkdlrı 2009; Aiszewsk D. 2007) çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümü içi gelitirile çrpımsl solu frk ve çrpımsl Ruge-Kutt
26 yötemleri ile çrpımsl lizi etkili souçlr verdiii göstermektedir. Çrpımsl solu frk yötemleri bir sıır deer problemii çözümü içi, çrpımsl Ruge-Kutt yötemleri ise blgıç deer problemlerii syısl çözümü içi gelitirilmitir. Çrpımsl Ruge-Kutt yötemleri tek dımlı yötemlerdir. Bu bölümde çrpımsl blgıç deer problemlerii syısl çözümü içi gelitirile çok dımlı lgoritmlr olrk t dldırıl çrpımsl Adms Bsfort-Moulto yötemleri tımlmıtır. 3.3. Çrpımsl Adms Bsfort Algoritmlrı (Suli E., Myers D.F., 2003; J.C.Butcer 2003)' e göre ıdki di çrpımsl difersiyel deklem içi çrpımsl Adms Bsfort lgoritmlrı gelitirilmitir. =,, y ( x ) y x f x y x = y (3.6) 0 0 (3.6) problemi çrpımsl blgıç deer problemi olrk t x, x + rlııd dldırılbilir. (3.6) deklemii er iki trfı [ i i ] itegre edilerek f ( x y) E ( r) olck ekilde, xi+ xi+ xi formud yzılbilir. Öte yd. Eer x = x i +, ise r =, 2. Eer x = xi, ise r = 0, 3. dx = dr dx = (, ) y x f x y r xi x x i = içi, bıtılrı elde edilir. Souç olrk 'i er deeri içi geelletirilmi syısl lgoritm ıdki gibi verilebilir: dr i+ = i. (3.7) 0 y y E r dx
27 Her bir = 0,, 2,3 içi, (3.7)'de (2.) itegrl formülü ve fi ( i, i ) oktlrı dylı (, ) = f x y, f = f ( x, y ), f f ( x, y ) i 2 =, f i 2 i 2 i 3 = f ( xi 3, yi 3 ) f x y 'i üstel E ( r ) yklımı kullılrk çrpımsl i i i Adms Bsfort lgoritmlrı sırsıyl. Eer = 0 ise p i i i y = + y f (3.8) Ayrıc bu çrpımsl Explicit Euler metodu olrk d dldırılır. 2. Eer = ise 3. Eer = 2 ise 4. Eer = 3 ise eklide elde edilir. p 3 2 i+ i i i y = y f f (3.9) p 23 6 5 2 i+ i i i i 2 y = y f f f (3.20) p 55 59 37 9 24 i+ i i i i 2 i 3 y = y f f f f (3.2) 3.3.2 Çrpımsl Adms Moulto Algoritmlrı (3.6) blgıç deer problemii çözümü içi çrpımsl lmd yei bir yötem gelitirilebilir. Buu içi, üstel Newto geri bölüm formülü, E ( r) f x, y ( x) olck ekilde f i + içi (3.4) formülü ve i+ / r = x x içi (3.5) deklemi tekrr düzeleerek tımlbilir. Ardıd (3.6) deklemii er iki trfı, (2.) ve (2.6) bıtılrı x, x + kplı rlııd çrpımsl lmd itegre edilirse kullılrk [ ] i i xi+ i, y + = y i xi ( f ( x y) ) elde edilir. Burd, fi 2 f ( xi 2, yi 2 ), fi f ( xi, yi ), fi f ( xi, yi ) p f = f x, y oktlrı dylı f ( x, y ) içi E i+ i+ i+ dx = = = ve r tımlmıtır.
28 x x Ayrıc i = 0,, 2,... içi r i + = ike;. Eer x = x i + ise r = 0 2. Eer x = xi ise r = 3. dx = dr olrk esplır. Souç olrk 0 dr i+ = i ( ) (3.22) y y E r buluur. Böylece tüm bu bıtılr kullılrk ıdki gibi çrpımsl Adms Moulto yötemleri. Eer = 0 ise c i+ i i+ y = y f (3.23) Bu yrıc çrpımsl Implicit Euler formülü olrk dldırılbilir. 2. Eer = ise 3. Eer = 2 ise 4. Eer = 3 ise eklide elde edilir. c 3 2 i+ i i i y = y f f (3.24) c 23 6 5 2 i+ i i i i 2 y = y f f f (3.25) c 55 59 37 9 24 i+ i i i i 2 i 3 y = y f f f f (3.26) 3.3.3 Çrpımsl Adms Yötemleri çi Ht Tmii (3.6) blgıç deer problemii syısl çözümü içi gelitirile çok dımlı çrpımsl yötemleri t tmii içi (3.5) çrpımsl E r ve Newto geri bölüm iterpolsyo formülü E ( r ) kullılbilir. E+ ( r) rsıdki deiim orı bu yötemleri E r içi kesme
29 tsıı verir. Böylece E ( r ) ve E ( r) problemii geelletirilmi çözüm formülleri ve + kullılrk blgıç deer dr p i+ = i ( + ) (3.27) 0 y y E r dr p i+ = i ( ) (3.28) 0 y y E r eklide ele lıbilir. D sor (3.27) deklemi (3.28) deklemie bölüerek C ( r+, + + f ) i 0 bıtısı yzılbilir. Burd d xi µ i xi+ içi ike ( ( ) ) ( i ) + C( r+, + ) dr + 0 ( ) i ( ( i )) + f = f µ + Ht E r f µ (3.29) eklideki geelletirilmi t formülü elde edilir. (Rız M. ve rk. 2009) ifde edildii gibi, (2.5) bıtısıd f ( x ) foksiyou pozitif olmsı gerektiide sistemi bsitletirilmesi içi f ( x) = exp( y ( x) ) vrsyımı ltıd (3.29) bıtısı tekrr düzeleirse ( ( ) ) Error E r exp y + ( µ i ) + C ( r +, + ) dr (3.30) 0 eklide geelletirilmi t formülü elde edilir. Burd t formülleri xi µ i xi + içi E ( E0 ) exp y ( µ i ) 2 5 2 xi µ i xi + içi E ( E ) exp y ( µ i ) 2 3 3 xi 2 µ i xi+ içi E ( E2 ) exp y ( µ i ) 8 dr (3.3) (3.32) (3.33)
30 x eklide esplır. 25 4 ( 4 µ x içi ) E E3 exp y ( µ i ) 720 i 3 i i+ (3.34) Çrpımsl Adms Bsfort lgoritmlrı içi ypıl t tmii E r içi çrpımsl Adms Moulto lgoritmlrıı bezer ekilde t tmileri deklemi 0 dr c yi+ = yi ( E+ ( r) ) 0 dr c yi+ = yi ( E ( r) ) deklemie bölüerek tımlbilir. Böylece xi µ i xi+ içi ( i ) ( ) ( f f ) ( µ ) + + i + = ike ( ( ) ) ( i ) Error E r f µ = exp içi formülü ve f ( x) y ( x) 0 + C( r+, + ) dr + 0 ( ) E E exp y + ( µ i ) + C ( r +, + ) dr (3.35) eklide geelletirilmi bir t formülü elde edilir. Böylece (3.35) bıtısı ile E içi t tmileri ıdki gibi ypılmı olur: xi µ i xi + içi E ( E0 ) exp y ( µ i ) 2 (3.36) 2 xi µ i xi + içi E ( E ) exp y ( µ i ) 2 (3.37) 3 xi 2 µ i xi+ içi E ( E2 ) exp y ( µ i ) 24 (3.38) 9 4 ( 4 xi 3 µ i xi + içi ) E E3 exp y ( µ i ) 720. (3.39)
3 Böylece çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümü içi çrpımsl Adms Bsfort-Moulto lgoritmlrı gelitirilmi ve bu yötemler içi t tmii ypılmıtır. 3.3. Örek: (Aiszewsk D. 2007)'de Volterr tipi Ruge-Kutt yötemlerii uygulmk içi çözüle Volterr tipi difersiyel deklemi y ( x) exp x π = y eklide ele llım. Bu deklemi litik çözümleride biri = l y x x x eklideki foksiyodur. (Rız M. 2009)' d verildii gibi Volterr tipi türevle çrpımsl türev rsıdki x = π y x y x bıtısı kullılrk y ( 0.) = 2,402585093 blgıç koulu içi y ( x) exp x = xy (3.40) eklide çrpımsl bir difersiyel deklem elde edilir. (3.40) blgıç deer problemi sırsıyl MAB-2 (ikici-mertebe "Multiplictive Adms Bsfort") yötemi, MAB-3 (üçücü-mertebe "Multiplictive Adms Bsfort") yötemi, MAB-4 (dördücü-mertebe "Multiplictive Adms Bsfort") yötemi, MAM-2 (ikici-mertebe "Multiplictive Adms Moulto") yötemi, MAM-3 (üçücü-mertebe "Multiplictive Adms Moulto") yötemi ve MAM-4 (dördücümertebe "Multiplictive Adms Moulto") yötemi kullılrk çözülmütür. Bu lgoritmlr kullılrk elde edile souçlr Tblo -2' de verilmi ve çrpımsl Ruge-Kutt yötemleri ile elde edile souçlr ve tm souçlrl krıltırılmıtır. Sırsıyl =0. ve =0.0 içi espl bıl t deerleri Tblo ve Tblo 2'de verilmitir.
32 Tblo =0. içi MR-K yötemleri ve MAB-M yötemlerii syısl souçlrıı krıltırılmsı x Tm çözüm Yötem Yklık çözüm Bıl t (%) 425.9956668083 49.942376339 MR-K2 45.5685869679.0425 MR-K3 420.5358872408 0.4603 MR-K4 420.2994798832 0.0853077 426.0 49.9455606537 MAB-2 49.862774937 0.09727 MAB-3 49.8008829906 0.034455 MAB-4 49.8239686466 0.0289542 MAM-2 420.94865 0.0593658 MAM-3 49.7499747 0.046574 MAM-4 49.8375502 0.025720 253.8243948 245.50773787 MR-K2 2.898755939.5668 MR-K3 249.3920729325 0.8045 MR-K4 247.2543523302 0.08408 253.2 245.525289633 MAB-2 245.4424305860 0.00386 MAB-3 245.38069562 0.006743 MAB-4 245.4036976062 0.005667 MAM-2 246.9323 0.033 MAM-3 245.2806 0.0425 MAM-4 245.428735 0.004500 0883.966582076 0873.90682998 MR-K2 0647.0966928 2.08577 MR-K3 0897.877352744 0.220488 MR-K4 0882.3906940 0.078067 0883.2 0873.905024405 MAB-2 0873.822622635 0.0007620 MAB-3 0873.7603467482 0.003305 MAB-4 0873.7834323984 0.0082 MAM-2 0875.5242 0.04782 MAM-3 0873.5628 0.00347 MAM-4 0873.82945 0.0006950
33 Tblo 2 =0.0 içi MR-K yötemleri ve MAB-M yötemlerii syısl souçlrıı krıltırılmsı x Tm çözüm Yötem Yklık çözüm Bıl t (%) 43.5900388582 425.5225627046 MR-K2 425.4766063982 0.008 MR-K3 425.5268708335 0.000243 MR-K4 425.526629083 0.000953934 43.59 425.5225239364 MAB-2 425.524298 0.00025738 MAB-3 425.595694 0.000694333 MAB-4 425.59788 0.000642953 MAM-2 425.5262424 0.000873867 MAM-3 425.593203 0.00075287 MAM-4 425.59839 0.000636873 285.09606504 277.3302305678 MR-K2 276.9765505746 0.062437 MR-K3 277.353008055 0.0004625 MR-K4 277.3508349009 0.00094632 285.02 277.33069739 MAB-2 277.329525 5.02576e-05 MAB-3 277.327666 0.00035679 MAB-4 277.327884 0.00025667 MAM-2 277.340408 0.000449552 MAM-3 277.32773 0.00058292 MAM-4 277.327932 0.0002342 0844.75065992 0834.8836332492 MR-K2 0832.54594033 0.025825 MR-K3 0835.00320594 0.0008445 MR-K4 0834.9859239692 0.000944087 0844.8 0834.88866904 MAB-2 0834.88753.00645e-05 MAB-3 0834.88567 2.7233e-05 MAB-4 0834.88597 2.44625e-05 MAM-2 0834.979 0.00023892 MAM-3 0834.8847 3.6233e-05 MAM-4 0834.88587 2.53037e-05
34 Bu çlımd çrpımsl difersiyel deklemleri syısl olrk çözmek içi çrpımsl Adms Bsfort-Moulto yötemleri gelitirilmi ve bir problem çözülerek d öce gelitirile yötemlerle krıltırılmıtır. Tblo ve Tblo 2'de verile bıl t deerlerie bkılrk gelitirile yötemi problemi tm çözümüe d ykı souçlr verdii görülmektedir. Bu yötemi vtjlı yöleride biri de ergi bir rlıkt yer l eit uzklıktki oktlrı çözümüe ulılmsıı slıyor olmsıdır. Çrpımsl Ruge-Kutt yötemleri eit bölmeledirilmi bir rlıktki deerler içi kullılmmktdır. Souç olrk, bilim ve müedislikte yer l problemleri gelitirile bu yötemlerle çözülebilecei söyleebilir. 3.3.4 Çrpımsl Mile Yötemi Çok dımlı bir yötemdir. Bu yötemi syısl lgoritmsı, x, x + rlııdki oktlr kullılrk elde edile k içi [ k ] çrpımsl Newto geri bölüm iterpolsyouu [ x, x ] itegrlii esplmsı ile elde edilir. Buu içi, x+ x rlııd itegre edilirse 3 + rlııdki = + olmk üzere (3.6) deklemi [ x, x ] + ( + ) ( 3 ) (, ) x x 3 dx 3 + y x = y x f x y x (3.4) x x bıtısı elde edilir. Öte yd r = içi;. x = x + ike r =, 2. x = x 3 ike r = 3, 3. dx =. dr souçlrı ulılır. Burd 2 ekilde (3.4) düzelediide = ve (, ) f x y x E r olck
35 4 2 2 3 + 3 2 2 = (, ) (, ) (, ) y x y x f x y f x y f x y formülü, burd d f = f ( x, y ) ve y ( x ) 2 2 3 + 3 2 4 = y olmk üzere y = y f f f (3.42) formülü elde edilir. Bu ekilde tıml yklım çrpımsl Mile yötemi deir. Bu yötemi ergi bir probleme uygulbilmesi içi dört blgıç koulu verilmelidir. Bu yüzde bir te blgıç koulu verile bir çrpımsl blgıç deer problemii syısl çözümüde gerekli ol dier üç koul çrpımsl Adms Bsfort-Moulto yötemleri ile esplbilir. Ardıd d bu dört koul içi çrpımsl Mile yötemi kullılrk itertif ilemlerle dier oktlrı deerlerie ulılır. 3.3.2 Örek: y 2 = blgıç koulu ltıd tıml y x = e y x eklideki çrpımsl difersiyel deklemi syısl çözümüü = 0. içi çrpımsl Mile yötemi ile esplylım. Mile yötemii kullılbilmesi içi 3 oktı d deerii bilimesi gerekmektedir. Bu oktlrı deerlerii esplmk içi de çrpımsl Euler yötemi kullılbilir. Burd blgıç deerleri y =, y = 0,90483748, y 2 = 0,82655996, y 3 = 0, 7609865 olrk 0 esplmıtır. Bu durumd çrpımsl Mile yötemi kullılbilir. Örek 3.3.2'deki deklemi litik çözümü y x = x. eklidedir. Yklık çözüm ile gerçek çözümler rsıd ypıl krıltırm içi Tblo 3 oluturulmutur.
36 Tblo 3. Çrpımsl Mile yötemi ve =0. içi syısl souçlr x Tm Çözüm Yklık Çözüm Bıl Ht (%) 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,000000000 0,909090909 0,833333333 0,769230769 0,7428574 0,666666667 0,625000000 0,588235294 0,555555556 0,52635789 0,500000000,000000000 0,90483748 0,82655996 0,760986500 0,76045320 0,66379049 0,62927027 0,589786 0,558078058 0,523626769 0,498908590 0,000000000 0,46788406 0,82896482,07755030 0,246344732 0,44242598 0,49675604,074996462 0,45405043 0,5093975 0,2828927 3.3.5 Çrpımsl Heu (Düzeltilmi Euler) Yötemi (3.6) çrpımsl difersiyel deklemii syısl çözümü içi gelitirile yei bir yötemdir. Çrpımsl Euler yötemii düzeltilmesi ile elde edilmektedir. Buu içi tek deikeli Tylor çılımı kullılrk çrpımsl Euler yötemi gelitirilmitir. Ardıd d bu yötem üzeride yei bir yklım tımlmıtır. lk olrk, x x = + ve + y x f x, y x = olmk üzere x civrıdki. mertebe çrpımsl Tylor çılımı kullılrk ıdki ilemleri rdıd çrpımsl Euler yötemi yeide tımlır. 2! 2!... ( + ) = ( ) y x y x y x y x! y x y x y x + ( ) y+ = y f x, y (3.43) Ardıd (3.43) formülü düzeltilerek çrpımsl difersiyel deklemleri syısl çözümü içi yei bir lgoritm gelitirilmitir.
37 Tylor çılımı y ( x ) foksiyouu eklidedir. Burd d x civrıd 2. mertebede çrpımsl ( + ) ( ) 2 2 y x y x y x y x 2 2 ( ) ( )( (, )) (, ) y x + y x f x y f x y (3.44) bıtısı verilebilir. Öte yd y y f ( x y ), + = ike; (, ) f x y ( +, + ) f x y (, ) f x y olrk lıdııd (3.44) bıtısı ( (, ) (, )) 2 y = y f x y f x y (3.45) + + + biçimide yei bir bıtıy döütürülür. Bu bıtıy çrpımsl düzeltilmi Euler formülü deir. Bu yötem ikici mertebede yötem olrk d bilimektedir. Bu edele er dımdki kesim tsı d üstel 3 mertebededir. Öyleyse kesim tsı içi, y + 'i Tylor çılımı eklide ve f ( x, y ) 2 ( 3) 2 3 2 6 y = + y y y y... (3.46) + + 'i çrpımsl Tylor çılımı d ( + + ) + 2 2 3 2 f x, y = y = y y y... (3.47) eklide ifde edilebilir. (3.46) ve (3.47) bıtılrı ile (3.45) bıtısı düzelediide 2 3 2 ( 2) 2 ( 3) 6 ( 2) ( 3) 2 y ( y ) ( y ) ( y )... = y( y )( y )( y ) ( y )... 2
38 formülü buluur. Burd d kesme tsıı vere formül eklide elde edilir. ( y ) 3 3 4 ( y ) 3 3 6 3.3.3 Örek: = 0., 0 x ( 3) ( 2) ( y ) f 3 3 2 2... =... =... (3.48), y ( 0) = ve y ( x) y x exp + + = y blgıç deer problemii çrpımsl Heu yötemi ile çözelim. Bu difersiyel deklemi bir litik çözümü (2.8) formülü ile x y ( x) = x + e olrk elde edilmitir. Gelitirile yötem ile espl gerçek deerlerle yklık deerler rsıdki mutlk t deerleri formülü ile esplmktdır. Mut. Ht = y y tm yklık ( xi ) ( x ) Tblo 4. Çrpımsl Heu yötemi ve =0. içi syısl souçlr i x Tm çözüm Yklık çözüm Mutlk Ht 0 0.0.000000000.000000000.000000000 0..0050252.00483748.00074260 2 0.2,0932802.08730753.00057347 3 0.3,042004420.0408822.0039680 4 0.4,072264027.070320046.008626 5 0.5,0933839.06530660.00253748 6 0.6,5254628.488636.003246826 7 0.7,20252087.96585304.003900084 8 0.8,254908722.249328964.004466204 9 0.9,33006960.306569660.00492687 0.0,375094262.36787944.005274456
39 3.3.6 Volterr Tipi Çrpımsl Heu Yötemi Çrpımsl lizi Volterr tipi olrk dldırıl bir dier özel lidir. Geometrik liz olrk ifde edile çrpımsl lizi yıd Volterr liz bigeometrik liz olrk d dldırılbilir. Bu bölümde Volterr tipi liz ile ilgili bzı temel kvrmlrı tımlrı verilmitir. Ardıd d Volterr tipi difersiyel deklemleri syısl çözümleri içi Volter tipi Euler ve Volterr tipi Heu yötemleri gelitirilmitir. 3.3.4 Tım: reel bir syı olmk üzere pozitif tımlı bir f foksiyou içi f π biçimide gösterile Volterr tipi türevi limit tımı f π ( x) ( ( + )) f ( x) f x = lim 0 (3.49) formülü ile verilebilir. Bu yei türev içi limit yklımı çrpımsl türevi limit gösterimii özel bir lidir. (3.49) bıtısı ıdki gibi düzeleirse f π ( x) ( ( + )) f ( x) f x f x = lim+ 0 π f x e xf ( x) ( ( + )) ( ( + )) x f x f x f x f x x f x f x f x = (3.50) elde edilir. Öte yd, Volterr tipi türev ile çrpımsl türev rsıdki xf x f x x ( ) π f x f x f x = e = e = f x bıtısı ele lırk çrpımsl türeve blı 2. mertebe Volterr türev, x π x (( ) ) π ππ π f ( x) = ( f ( x) ) = ( f ( x) ) = f x x x (3.5)
40 eklide ve (2.0) formülüde de x 2 ( ) ( ) f ( x) = f ( x) f x = f x f x ππ x x x (3.52) eklide elde edilir. 3.3.5 Teorem [Volterr Tipi Tylor Açılımı]: dım uzuluu ve f isteile mertebeye kdr Volterr tipi türevleebile sürekli bir foksiyo olmk üzere, çrpımsl lmd tıml Tylor çılımı düzeleerek Volterr tipi Tylor çılımı ( ( + )) ( ) 2 2 x x 2 f x f x f x f x... eklidedir ve burd d (3.5) ve (3.52) bıtılrı ile ( ( + )) ( π x ) ( π ) ππ 2 2 x 2 2x f x f x f x f x f x... formülü souç olrk t x π ( ) 2 2 2 2 ππ ( ) f x + f x f x f x... (3.53) eklideki formül elde edilir. imdi, Volterr tipi Euler ve Volterr tipi Heu yötemleri x x y x = y tımlbilir. Buu içi, + = ( + ) olmk üzere π blgıç koulu ltıd y ( x) f x, y ( x) 0 0 = eklideki Volterr tipi. mertebe difersiyel deklemi syısl çözümü içi Volterr tipi Euler yötemi, x civrıdki 2. mertebede (3.5) Tylor çılımı kullılrk ıdki ilemleri rdıd tımlmı olur. π ( ( + )) ( ) ( ) y x y x y x... y x y x f x y + =, ( ) y+ = y f x, y (3.54)
4 Ardıd bu formül düzeltilerek Volterr difersiyel deklemleri syısl çözümü içi yei bir lgoritm gelitirilmitir. y ( x ) foksiyouu x civrıdki 2. mertebe Tylor çılımı eklide ve burd d 2 2 2 2 π ( ( + )) ππ ( ) y x y x y x y x... 2 2 2 2 π ( ) ( )( ( )) ( ) y x + = y x f x, y f x, y... (3.55) eklide verilebilir. Öte yd y y f ( x y ) + = ike;, (, ) π f x y ( ( + ), + ) f ( x, y ) f x y olrk lıdııd (3.55) bıtısı ( ( )) 2,,, y = y f x y f x + + y f x y (3.56) biçimide yei bir bıtıy döütürülür. Bu bıtıy Volterr düzeltilmi Euler formülü deir. 3.3.6 Örek: 3.3. öreide çözüle problemi Volterr Heu yötemi kullrk çözelim. x 0 = 0. içi y ( x) exp x π = y Volterr difersiyel deklemii bir litik çözümü = l y x x x eklide esplmıtı. Bu problem, (3.56) formülü ile çözüldüüde bzı deerler içi ıdki tblolrd yer l souçlr elde edilmitir.
42 Tblo 5. Volterr Tipi Düzeltilmi Euler yötemi ve =0. içi syısl souçlr x Tm çözüm Yklık çözüm Mutlk Ht 0.3300 2.49754554 2.4373335 0.00602203 2.80244.776972485.790323656 0.03357 4.20429.55074894.8586268 0.30743736 59.33486 55.256608 55.945068 0.689846003 439.0928 433.008067 433.8252079 0.874088 252.783 245.64987 245.065958 0.583858865 098.00 088.76762 063.9682 24.7994534 Tblo 6. Volterr Tipi Düzeltilmi Euler yötemi ve =0.0 içi syısl souçlr x Tm çözüm Yklık çözüm Mutlk Ht 0.34785 2.38860059 2.3895745 0.00066434 2.803240.772463842.772932003 0.0004686 4.9202.53933802.5726784 0.033279828 58.88445 55.3877633 55.4776698 0.089404039 439.4587 433.373887 433.6079975 0.234808790 249.287 242.57032 242.5374 0.3564229 097.00 087.76533 088.4265 0.66084620 733.46 7320.25649 7320.25505 0.00444349 06737.4 06725.7745 06725.84 0.65606036
43 Tblo-2 icelediide gelitirile yötemler ile bımsız deikei çok büyük deerleri içi çok z syıd itertif ilem ypılrk oldukç ykı syısl souçlrı elde edildii görülmektedir. Bu edele çrpımsl lmd tımlmı syısl yötemleri di difersiyel deklemleri syısl çözümleri içi oldukç elverili bir uygulm lı sip olduu söyleebilir.
44
45 5. SONUÇ Bu tez çlımsıd çrpımsl lizi temel kvrmlrıı tımlrı ve bzı özellikleri verilmi, bilim ve müedislikte krılıl problemleri çözümleri içi yei lgoritmlr gelitirilmitir. Çrpımsl liz ve Volterr tipi çrpımsl lizi bzı mtemtiksel problemlerii çözümüde d koly ve etki souçlr verebilecei gösterilmi ve bu lizleri klsik lize göre d vtjlı olduu durumlr orty koulmutur. Bu tez çlımsıd yrıc, bzı mtemtiksel kvrmlrı çrpımsl liz ile Volterr tipi çrpımsl liz rsıd oluturduklrı bıtılr ele lırk yei syısl yklımlr orty koulmutur. Çrpımsl lizi bzı mtemtiksel problemleri çözümü içi kolylık sldıı dolyısıyl d çözüm içi vtjlı olduu vurgulmıtır. Buul birlikte bu lizi vtjlı olmdıı durumlr d vurgulmıtır. Foksiyolr pozitif tımlı olduud tım kümelerii geiletilmesi gerektii de ifde edilmitir. Tüm bu tım ve uygulmlr ile birlikte çrpımsl liz ve Volterr tipi çrpımsl lizi bilim ve müedislikteki kullımıı yygıltırılmsı gerektii söyleebilir.
46
47 KAYNAKLAR DZN Aiszewsk, D., 2007. Multiplictive Ruge-Kutt Metods. Nolier Dymics 50, 262-272. Bsirov, A.E., Misirli, E., Ozypici, A., 2008. Multiplictive clculus d its pplictios. Jourl of Mtemticl Alysis d Its Applictios 337, No., 36-48. Butcer, J.C., 2003. Numericl Metods for Ordiry Differetil Equtios. Wiley, Cicester, Egld. Cmpbel, Duff, 999. Multiplictive Clculus d Studet Projects, Primus, vol 9, issue 4. Eglerdt, J., Swrtout, J., Loewestie, C., 2009. A New Teoreticl Discrete Growt Distributio wit Verifictio for Microbil Couts i Wter. Risk Alysis Vol. 29, No. 6, 84-856. Grossm, M., Ktz, R., 972. No-Newtoi Clculus. Pigeo Cove Lee Press, Mss. Grossm, M., 983. Bigeometric Clculus. A System wit Scle-Free Derivtive. Arcimedes Foudtio, Rockport, Mss. Ksprzk, W., Lysik, B., Rybczuk, M., 2004. Dimesios, Ivrits Models d Frctls. Ukrii Society o Frcture Mecics, Spolom, Wroclw-Lviv, Pold.
48 Kicid, D., Ceey, W., 990. Numericl Alysis, Brooks / Cole Publisig Compy. Riz, M., Ozypici, A., Misirli, E., 2009. Multiplictive fiite differece Metods. Qurterly of Applied Mtemtics (bskıd). Rybczuk, M., Kedzi A., Zieliski, W., 200. Te cocepts of pysicl d frctiol dimesios 2. Te differetil clculus i dimesiol spces. Cos Solitos Frctls 2, 2537-2552. Stley, D., 999. A multiplictive clculus. Primus 9, No. 4, 30-326. Suli, E., Myers, D.F., 2003. A itroductio to umericl lysis. Cmbridge Uiversity Press, Cmbridge, Uited Kigdom. Volterr, V., Hostisky, B., 938. Opertios Ifiitesimles Lieres. Herm, Pris.
49 ÖZGEÇM 0.07.984 triide Mis ı Turgutlu ilçeside dodu. lköretimi ilk kdemesideki öreimii 995 yılıd Nmık Keml lköretim okulud, ort öreimii ise 998 yılıd Odokuz Myıs lköretim okulud tmmldı. Ayı yıl bldıı ortöretim kdemesideki öreimii dört yıl süreyle Niyzi Üzmez Ybcı Dil Aırlıklı Liseside sürdürdü. 2003 yılıd bldıı Selçuk Üiversitesi Eitim Fkültesi Mtemtik Bölümüdeki liss eitimii 2007 yılıd tmmldı. Liss eitimii rdıd yı yıl Ege Üiversitesi Mtemtik Bölümü Uygulmlı Mtemtik Abilim Dlıd Yüksek liss eitimi lmy k kzdı.