Üçgen (Triangular) normlar: Üçgen normlar (t-norm) Schweizer ve Sklar tarafından öne sürülmüştür. Herhangi bir a [0,1] aralığı için t-norm T(a, 1) = a şeklinde tanımlanır ve aşağıdaki özellikleri sağlar; Smmetricit : T(, ) = T(, ), [0, 1] Associativit : T(, T(, z)) = T(T(, ), z),, z [0, 1] Monotonicit : T(, ) T(, ) ve One Ident : T(, 1) = [0, 1] Bulanık kümelerin kesişimi için kullanılan t-norm: 1.Minimum : min(a, b) = min{a, b} 2.Lukasiewicz : T(a, b) = ma(a + b - 1, 0) 3.Product : T(a, b) = a.b 4.Weak : T(a, b) = if ma(a, b) = 1 then min(a, b) else 0 5.Hamacher : T(a, b) = a.b / (a+b-a.b) µ (0, 1) 6.Dubois-Prade : T(a, b) = a.b / ma{a, b, α} 7.Yager : T(a, b) = 1- min{1, p [(1-a) p +(1-b) p ]} p > 0 Bütün t-norm lar argüman saısına göre genişletilebilir. Örnek: min(a 1, a 2,..., a n ) = min{a 1, a 2,..., a n } 1
Üçgen (Triangular) conormlar: Üçgen conormlar (t-conorm vea s-norm), herhangi bir a [0,1] aralığı için s-norm S(a, 0) = a şeklinde tanımlanır ve aşağıdaki özellikleri sağlar; Smmetricit : S(, ) = S(, ), [0, 1] Associativit : S(, S(, z)) = S(S(, ), z),, z [0, 1] Monotonicit : S(, ) S(, ) ve Zero Ident : S(, 0) = [0, 1] Bulanık kümelerin birleşimi için kullanılan t-conorm: Maksimum : ma(a, b) = ma{a, b} Lukasiewicz : S(a, b) = min(a + b, 1) Probabilistic : S(a, b) = a + b a.b Strong : S(a, b) = if min(a, b) = 0 then ma(a, b) else 1 Hamacher : S(a, b) = (a+b-2.a.b/(1-a.b)) Yager : S(a, b) = min{1, p a p +b p } p > 0 Bütün t-conorm lar argüman saısına göre genişletilebilir. Örnek: min(a 1, a 2,..., a n ) = min{a 1, a 2,..., a n } 2
Örnek (t-norm): A ve B evrensel küme X te tanımlanmış iki bulanık alt küme olsun. X= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } A= 0.0/ 1 + 0.3/ 2 + 0.6/ 3 + 1.0/ 4 + 0.6/ 5 + 0.3/ 6 + 0.0/ 7 B= 0.1/ 1 + 0.3/ 2 + 0.9/ 3 + 1.0/ 4 + 1.0/ 5 + 0.3/ 6 + 0.2/ 7 T(, ) = ma{+-1, 0} Lukasiewicz t-norm a göre (A B)(t) = ma{a(t)+b(t)-1, 0} t X aşağıdaki gibi elde edilir; A B = 0.0/ 1 + 0.0/ 2 + 0.5/ 3 + 1.0/ 4 + 0.6/ 5 + 0.0/ 6 + 0.0/ 7 Örnek (t-conorm): X= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } A= 0.0/ 1 + 0.3/ 2 + 0.6/ 3 + 1.0/ 4 + 0.6/ 5 + 0.3/ 6 + 0.0/ 7 B= 0.1/ 1 + 0.3/ 2 + 0.9/ 3 + 1.0/ 4 + 1.0/ 5 + 0.3/ 6 + 0.2/ 7 S(, ) = min{+, 1} Lukasiewicz t-conorm a göre (A B)(t) = min{a(t)+b(t), 1} t X aşağıdaki gibi elde edilir; A B = 0.1/ 1 + 0.6/ 2 + 1.0/ 3 + 1.0/ 4 + 1.0/ 5 + 0.6/ 6 + 0.2/ 7 3
Mean operatörleri: Eğer C operatörü, min{a, b} C(a, b) ma{a, b}, a, b [0, 1] Şeklinde tanımlanırsa compensator operator olarak adlandırılır. Tipik bir compensator operatör MEAN (a, b) = (a+b) /2 şeklinde tanımlanır. Bu şekilde tanımlanan bir operatör aşağıdaki özellikleri sağlar; Idempotenc : M(, ) = [0, 1] Commutativit : M(, ) = M(, ), [0, 1] Etremal conditions : M(0, 0) = 0, M(1, 1) = 1 Monotonicit : M(, ) M(, ), ve En sık kullanılan mean operatörleri: harmonik mean : 2.. / ( + ) geometrik mean :. aritmetrik mean : ( + ) / 2 dual geometrik mean : 1- (1-)(1-) dual harmonik mean : ( + 2) / (2 - ) genelleştirilmiş p-mean: (( p + p )/2) 1/p, p 1 4
Sistemler 5 tip bulanık kural tabanlı sistem ile modellenebilirler: 1. Giriş ve çıkış şartları saısal değer olarak verilir. Çıkış değeri girişine göre ugulanan R kuralı tarafından belirlenir. Birden fazla kural çıkışı için t-norm, t-conorm vea mean operatörleri kullanılabilir. Kural: if = 1 then = 1 3 2 1 1 2 3 2. Giriş şartları keskin kümelerde verilir. Çıkış şartları ise saısal değer olarak vea bir f() fonksionuna bağlı olarak verilir. Birden fazla kural çıkışı için t-norm, t-conorm vea mean operatörleri kullanılabilir. Kural: if 1min < < 1ma then = f 1 () if 1min < < 1ma then = 1 f2( ) f3( ) 3 2 f1( ) 1 1 2 3 1 2 3 5
3. Giriş şartları keskin kümelerde verilir. Çıkış şartları ise bulanık kümelerde verilir. Kural: if 1min < < 1ma then = BK i µ( ) B 3 B 1 B 2 1 2 3 4. Giriş şartları bulanık kümelerde verilir. Çıkış şartları ise doğrusal olmaan fonksionlarla verilir. Kural: if = BK i then = f i () f1( ) f3( ) f2( ) µ( ) 6
5. En genel ve en çok kullanılan modeldir. Giriş şartları ve çıkış şartları bulanık kümelerde verilir. Kural: if = A i then = B j µ ( ) R 2 R 3 R 1 µ ( ) Haftalık Ödev: Bulanık mantıkla apılmış bir makale bulup kullanılan t-norm, t-conorm vea mean operatörleri ile hangi bulanık giriş çıkış ilişkisinin kullanıldığını belirten ve elde edilen sonuçları içeren bir rapor hazırlaınız. İncelenen makalede kullanılan modelin seçilmesinin gerekçeleri, ugulamanın sonuçları anlatılacaktır. - İncelenen makale 2000 ılı ve sonrası basım olacaktır. - Makale Türkçe vea İngilizce olabilir. - Hazırlanan rapora makalenin tam metnide eklenecektir. - Hazırlanan rapor ve makalenin tamamı diğer öğrencilerin hepsine e-postala gönderilecektir. 7
Gelecek Hafta Bulanık Mantık Denetleiciler (Fuzz Logic Controllers) 8