Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
2.1 Vektörler Skaler nicelikler uygun bir birime sahip tek bir sayı ile verilebilir ve yönü yoktur. Vektörel bir niceliğin hem büyüklüğü hem de yönü vardır. Kütle, yoğunluk, elektrik yükü gibi fiziksel büyüklükler bir sayı ve birim ile ifade edilebilir. Ancak pek çok başka büyüklük için sayı ve birim yeterli değildir. Bu büyüklüklerin yönleri de çok önemlidir Vektörler hem sayısal hem de yön özelliklerine sahip fiziksel nicelikleri tanımlamakta kullanılır.
Uzaydaki yerleşim düzeneğini yapabilmek için koordinat sistemine gerek vardır. Eksenleri birbirine dik koordinat sistemine Kartezyen koordinat veya dik koordinat sistemi denir Bazen düzlemdeki bir noktayı, r ve Ɵ düzlem kutupsal koordinatları ile temsil etmek gerekebilir. r ; orijinden (x,y) Kartezyen koordinatlarına sahip noktaya olan uzaklık Ɵ ; çoğu zaman pozitif x ekseninden itibaren saat yönünün aksi yönünde ölçülen açıdır. x = rcosɵ y = rsinɵ tanɵ = y x r = x 2 + y 2
Alıştırma SORU: Bir noktanın xy düzlemindeki Kartezyen koordinatları, Sekil de ki gibi (x,y)= (-3.50, -2.50) m dir. Bu noktanın kutupsal koordinatlarını bulunuz. CEVAP: r = x 2 + y 2 = ( 3.5) 2 +( 2.5) 2 =4.30 m tanɵ = y 2.5 m = = 0.714 x 3.5 m Ɵ= 216 0 NOT: Ɵ nın koordinat sisteminin üçüncü çeyreğinde olduğunu bulmak için, x ve y nin işaretlerini kullanmalısınız.
2.2. Vektörlerin bazı özellikleri Vektör notasyonu, A veya A A nın büyüklüğü = A = A Eğer iki vektörün yönleri aynı ise bu iki vektör paraleldir. Eğer iki vektörün hem yönü hem de büyüklükleri aynı ise bu iki vektör eşittir. A vektörünün negatifi bu vektör ile aynı büyüklüğe sahiptir, fakat yönü terstir. P2 P4 A B =- A P1 P3
Vektörlerin toplanması Toplamın değişme özelliği vardır; R= A + B = B + A Toplamın birleşme özelliği vardır; R= A + B + C + D = A + B + C + D
Vektörlerin çıkarılması C= A B = A + ( B)
Alıştırma SORU: Bir otomobil, şekilde ki gibi kuzeye doğru 20,0 km ve sonra 60 0 kuzeybatı yönünde 35,0 km yol almaktadır. Otomobilin bileşke yer değiştirmesinin büyüklük ve yönünü bulunuz. CEVAP: R nin büyüklüğünü bulmak için, trigonometriden hatırlayacağınız üzere kosinüs teoremi kullanılabilir. Ɵ = 180 0 60 0 = 120 0 ve R 2 = A 2 + B 2 2ABcosƟ => R = A 2 + B 2 2ABcosƟ = (20) 2 +(35) 2 2 20 35 cos120 0 = 48.2 km R nin kuzey yönünden itibaren ölçülen yönü, sinüs teoreminden; Veya β=38.9 0 48.2 km dir sin β B = sin Ɵ R = sin β = B R sin Ɵ = 35 48.2 sin 1200 = 0.629 bulunur. Otomobilin bileşke yer değiştirmesi, 38. 9 0 kuzey batı yönünde
Bir vektörün bir skaler ile çarpılması.. Bir A vektörü, pozitif bir m skaler niceliğiyle çarpılırsa, ma çarpımı, A ile aynı yönde ve ma büyüklüğünde olan bir vektördür. Bir A vektörü, negatif bir m skaler niceliğiyle çarpılırsa, -ma vektörü, A ile zıt yönde ve ma büyüklüğünde olan bir vektördür. A X 2 = 2 A
Bir vektörün bileşenleri ve birim vektörler.. Bir vektör yön, büyüklük veya x ve y bileşenleri veya izdüşümleri verilerek ifade edilebilir. Bu izdüşümlere vektörün bileşenleri denir. A = A x + A y A x = A cosɵ A y = A sinɵ A = A x 2 + A y 2 ve Ɵ = tan 1 ( A y A x )
Birim vektörler Birim vektör, büyüklüğü 1 olan, boyutsuz bir vektördür. Birim vektörler verilen bir yönü belirtmede kullanılırlar, başka bir fiziksel anlamı yoktur. Sadece uzayda yönü belirlemede kullanılırlar, x, y ve z doğrultularını gösteren birim vektörler sırasıyla, i,j ve k harfleriyle gösterilirler. i = j = k =1
A x bileşeninin ve i birim vektörünün çarpımı, x eksenine paralel, A x büyüklüğünde A x i vektörüdür. A y bileşeninin ve j birim vektörünün çarpımı, y eksenine paralel, A y büyüklüğünde A y j vektörüdür. xy düzleminde Kartezyen koordinatlar (x,y) olan bir nokta için, r yer vektörü; r = xi + yj
Geometrik method yeterli olmadığı zaman, vektörlerin toplanması için bileşenlerin tek tek toplanması gerekir (cebirsel yöntem), Örneğin, B vektörünün B x ve B y bileşenleri olsun, ve A x ve A y bileşenlerine sahip bir A vektörü ile toplama yapmak istersek; R = A + B = A x i + A y j + (B x i + B y j) veya R = A x + B x i + (A y + B y )j olur. R = R x i + R y j R x = A x + B x R y = A y + B y olduğundan olur. R nin büyüklüğü ve x ekseni ile yaptığı açı ise; R = R x 2 + R y 2 = (A x +B x ) 2 + (A y +B y ) 2 tanɵ = R y R x = A y + B y A x + B x
Bazen hareket, üç bileşene de sahip olabilir. O zaman yöntem, üç boyutlu vektörlere doğrudan uygulanabilir, A = A x i + A y j + A z k B = B x i + B y j + B z k A ve B vektörlerinin toplamı; R = A x + B x i + A y + B y j + A z + B z k R nin büyüklüğü ise; R = R x 2 + R y 2 + R z 2 = (A x +B x ) 2 + (A y +B y ) 2 + (A z +B z ) 2
Alıştırma SORU: Bir parçacık, d 1 = 15i + 30j + 12k cm, d 2 = 23i 14j 5k cm ve d 3 = 13i + 15j cm ile verilen ardışık üç yer değiştirmeye uğramaktadır. Parçacığın bileşke yer değiştirmesinin bileşenlerini ve büyüklüğünü bulunuz. CEVAP: R = d 1 + d 2 + d 3 = 15 + 23 13 i cm + 30 14 + 15 j cm + 12 5 + 0 k cm = 25i + 31j + 7k cm Bileşke yer değiştirme R x = 25 cm, R y = 31 cm ve R z = 7 cm R = R x 2 + R y 2 + R z 2 = (25 cm) 2 +(31 cm) 2 +(7 cm) 2 = 40 cm
Alıştırma SORU: Bir uçak, hava limanından kalkarak Şekilde gösterilen yolu almaktadır. Önce, 30 0 kuzey doğu yönünde 175 km uzakta bulunan A şehrine uçar. Sonra 20 0 kuzey-batı yönünde 153 km uzaktaki B şehrine, son olarak, batıya doğru 195 km uzaktaki C şehrine uçar. Başlangıç noktasına göre C şehrinin yerini bulunuz. CEVAP: a x = a cos 30 0 = (175 km ) 0.866 = 152 km a y = a sin 30 0 = (175 km ) 0.5 = 87.5 km b x = b cos 110 0 = (153 km ) 0.342 = 52.3 km b y = b sin 110 0 = (153 km ) 0.94 = 144 km c x = c cos 180 0 = (195 km ) 1 = 195 km c y = c sin 180 0 = (195km ) 0 = 0 R x = a x + b x + c x = 152 km 52.3km 195 km = 95.3 km R y = a y + b y + c y = 87.5 km + 144 km = 232 km R = ( 95.3i + 232j) = 95 2 + 232 2 = 251 km tan Ɵ = 232 95.3 = 22.30
3.1 Bir boyutlu hareket Klasik mekanikte bir hareketi incelerken ilk adım, hareketi oluşturan öğeleri göz ardı ederek hareketi uzay ve zaman cinsinden ifade etmektir. Klasik mekaniğin bu kısmına kinematik denir. Fizikte 3 çeşit hareketle ilgileniyoruz, ötelenme, dönme ve titreşim Ötelenme, yokuş aşağı inen bir arabanın hareketi Dönme, dünyanın kendi ekseni etrafında dönmesi Titreşim, ileriye geriye sallanan sarkacın hareketi İlk olarak Öteleme hareketine odaklanacağız, hareket eden cismi büyüklüğüne bakmaksızın bir parçacık olarak ele alacağız, parçacık terimi ile çok küçük, noktasal bir kütleyi anlayacağız. Örneğin, dünyanın güneş etrafındaki hareketini incelemek istersek, dünyayı bir parçacık olarak ele alırız, bu yaklaşımla dünyanın yörüngesi ile elde ettiğimiz verilerin, gerçek değerlerine çok yakın olduğunu buluruz. Yaklaşımı geçerli kılan şey, dünya ve güneşin yarıçaplarının, dünya yörünge yarıçapı ile kıyaslandığında çok küçük olmasıdır. Bir boyutlu hareket demek, cismin doğrusal hareket etmesi demektir.
Yerdeğiştirme, hız ve sürat A -> B noktasına sağa doğru10 sn de gelsin. Araba B noktasından F noktasına hareket ederken konum değerleri azalmakta ve geriye doğru hareket etmektedir. Gerçekte, araba harekete başladıktan 30 sn sonra D başlangıç noktasına gelmektedir. Zaman ölçmesini durdurduğumuz F noktasına kadar araba 50 m sola hareket eder. Bu hareketin grafiksel gösterimine konum-zaman (x-t) grafiği denir. x = x f x i x f > x i ; pozitif x f < x i ; negatif
Bir parçacığın ortalama hızı (v x ), parçacığın yer değiştirmesi olan ( x) in, bu yer değiştirme süresi olan ( t) ye oranı olarak tanımlanır. v x = x t = L T = m s Ortalama hız, herhangi iki nokta arasına bir doğru çizerek geometrik olarakta yorumlanabilir. Yani; v x = x t = 52 m 30 m 10 s 0 = 2.2 m/s Ortalama Hız ve Ortalama sürat? Başladığı noktaya geri dönen bir koşucu için ortalama hız = 0 Skaler bir nicelik olan parçacığın ortalama sürati ise, alınan toplam yolun geçen toplam zamana oranı olarak verilir. ortalama sürat = toplam yol toplam zaman = m s (SI)
SORU: Şekilde verilen araba hareketi için A ve F noktaları arasındaki yerdeğiştirmeyi, ortalam hız ve ortalama sürati hesaplayınız. x = x f x i = 53 m 30 m = 83 m v x = x t = 52 m 30 m 50 s 0 = 1.7 m s Ortalama sürat; ortalama sürat = toplam yol toplam zaman = 22 m + 52 m + 53 m 50 = 2.7 m/s
Ani hız ve ivme A nok. İlk hız A-B Ort. hız Araba ile yaptığınız yolculukta, ortalama hızınızı bilmek istersiniz, ancak, durmakta olarak gördüğünüz trafik polisini gördüğünüz an, bilmek istediğiniz o an ki hızınızdır A-F Ort. hız Ani hız (v x ); x v x = lim = dx t 0 t dt Ani hız pozitif, negatif yada sıfır olabilir. Konum-zaman grafiğinin tepe noktasında, hem eğim hem de ani hız sıfırdır. Bundan sonra ani hız yerine hız ifadesini kullanacağız. Yani hız hesaplarken diferansiyel hesaplama yapılacak. Eğim; A nok. İlk hız
SORU: Bir parçacık x-ekseni boyunca hareket etmekte olup, x koordinatı x = 4t + 2t 2 ifadesine göre zamanla değişmektedir. Bu hareket için konum-zaman grafiği şekilde verilmiştir. Parçacığın, önce, hareketin birinci saniyesi için negatif x- doğrultusunda hareket ettiğini, t=1 s de aniden durduğunu ve sonra t>1 s için pozitif x-doğrultusunda geri döndüğüne dikkat ediniz. a)t=0 ile t=1s ve b) t=1 s ile t=3 s zaman aralıklarında parçacığın yerdeğiştirmesini bulunuz. c)t=0 ile t=1 s ve t=1 s ile t=3 s aralıklarındaki ortalama hız nedir? CEVAP: A->B arasında ki eğim -2 m/s ve yer değiştirme negatif B->D arasında ki eğim 4 m/s ve yer değiştirme pozitif.. a) 1. zaman aralığında t i = t A = 0 ve t f = t B = 1 s x A B = x f x i = [ 4 1 + 2 1) 2 [ 4 0 + 2 0) 2 = 2 m b) II. zaman aralığında t i = t B = 1 sn ve t f = t D = 3 s x B D = x f x i = [ 4 3 + 2 3) 2 [ 4 1 + 2 1) 2 = +8 m c) 1. zaman aralığında (A-B) t = t f t i = t B t A = 1 s v x = x 2 m = = 2 m t 1s s II. Zaman aralığında, t=2 s v x = x t = 8 m 2s = +4 m s
İvme... Bir parçacığın hızı zamana göre değişiyorsa, parçacık ivmeli hareket ediyor demektir. Bir parçacığın ortalama ivmesi, parçacığın hızındaki değişmenin, bu değişimin olduğu t zaman aralığı oranı olarak tanımlanabilir. a x = v x t = v xf v xi t f t i = m s 2 = L/T2 a x = dv x dt Bazı durumlardaa ortalama ivme değeri farklı zaman aralıklarında farklı değerlerde olabilir. Bu durumda ani ivme kavramını kullanırız. Ani ivme, ortalama ivmenin t sıfıra yaklaşırken limiti olarak tanımlanır. Veya, hızın zamana göre türevidir. v x a x = lim t 0 t = dv x dt
Bundan sonra ani ivme terimi yerine, sadece ivme terimini kullanıcaz; v x = dx dt ; a x = dv x dt = d dt dx dt = d2 x dt 2 Herhangi bir anda ki ivme, hız-zaman grafiğinin o andaki eğimi ile verilir. İvme, şekilde ki hızın pozitif x yönünde arttığı noktalarda pozitif değerlere sahiptir İvme, t A anında maximum değerini alır, tam bu noktada hız-zaman grafiğinin eğimi de maximumdur. t B anında ivme sıfırdır, bu noktada hız maximumdur. Hız, pozitif x yönünde azalmaya başladığında ivme negatif olur ve t C anında ivme en büyük negatif değerine ulaşır.
Alıştırma... SORU: x-ekseni boyunca hareket eden bir parçacığın hızı v x = 40 5t 2 m ifadesine göre s zamanla değişmektedir; a) t= 0 ve t=2 s zaman aralığındaki ortalama ivmeyi bulunuz. b) t=2 s deki ivmeyi bulunuz. CEVAP: t i = t A = 0 ve t f = t B = 2 s v xa = 40 5t A 2 m s = [40 5 0)2 m s v xb = 40 5t B 2 m s = [40 5 2)2 m s = +40 m/s = +20 m/s O halde t = t B t A = 2 s zaman aralığında ortalama ivme, a x = v x t = v xb v xa 20 40 m/s = = 10 m/s 2 t B t A 2 s
b) t=2 s deki ivme; t anında ki hız v xi = 40 5t 2 m s ile t + t anında ki hız, v xf = 40 5(t + t) 2 = 40 5t 2 10t t 5( t) 2 ile verilir. O nedenle, t zaman aralığında hızdaki değişim, v x = v xf v xi = [ 10t t 5( t) 2 ] m/s Bu ifadeyi t ye bölerek ve sonucun t sıfıra yaklaşırkenki limitini alarak, herhangi bir t zamanındaki ivmeyi; v a x = lim x t 0 t = lim t 0 10t 5 t = 10t m s 2 t=2 s de, a x = 10 2 m = 20 m/s2 s2 Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki ortalama ivme (-10 m/s 2 ), B deki ani ivmeyle (-20 m/s 2 ) kıyaslayarak yaptığımız şey, A yı B ye bağlayan doğrunun eğimini B deki eğimle kıyaslamaktır.
ÖDEV... Bir cisim x = 3t 2 2t + 3 denklemine göre x-ekseni boyunca hareket etmektedir, a) t=2 s ve t=3 s arasında cismin ortalama hızını hesaplayınız b) t=2 s ve t=3 s arasında cismin ani hızını hesaplayınız c) t= 2 s ve t=3 s arasında cismin ortalama ivmesini hesaplayınız d) t=2 s ve t=3 s anlarında cismin ani ivmesini hesaplayınız