DERS 0 Kapalı Türev, Değişim Oranları 0.. Kapalı Türev. Fonksiyon kavramının ele alınığı ikinci erste kapalı enklemlerin e fonksiyon tanımlayabileceğini görmüştük. F (, enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu ( y f () ) için y ' f '( ) türevi F (, enklemiben ele eilebilir y mi? Daha genel olarak, y f () enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu için F (, y enklemi sağlanıyorsa, y ' f '( ) türevi F (, enkleminen ele eilebilir mi? Aşağıa, örnekler üzerine e göreceğimiz gibi, bu sorunun yanıtı olumluur ve istenilen türev zincir kuralınan yararlanılarak bulunabilir. y ' yü bulmak için F (, enkleminin her iki yanının a türevi alınır:. ( F(, ) ( 0) Buraa, ( F(, ) türevi hesaplanırken y bağımlı eğişkenini içeren ifaelerin türevini bulmak için zincir kuralı kullanılır. Örneğin, y nin türevi, olarak hesaplanır. y ( y ) y yy' Bu şekile türev hesabına kapalı türev hesabı enir. Örnek. Eğer y f (), F(, + y enklemini sağlıyorsa, y y i bulalım. F (, enkleminin her iki yanının e göre türevini alalım. Verilen enklemin heriki yanının e göre türevi alınarak + y oluğunu görüyoruz. ( + y ) ( 0) + y y' y' y
Ders 0. 64 Örnek. y ve arasına y y bağıntısı bulunuğuna göre y y ' i bulalım. y y y ( y y ) + y y' ( y + y') ( y ) y' y y y y y y '. t Örnek. ve t, t e enklemini sağlaığına göre yi bulalım. t e t t ( t e ) (t (t + ) e + t ) e + t( e t t + t( e t ( ) ( t + )) t t t ( te + t e ) e t t e t t t te + t e t e + t t te t e t. Bazı maksimum minimum problemlerinin çözümüne kapalı türevleren yararlanılabilir. Örnek 4. Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t inci gününe ( 500 t + 500 birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın ürün üretmesi urumuna günlük gieri Gi( ) 5000 + ve günlük geliri Ge( ) maksimum oluğunu ve o gün kaç ürün üretiliğini belirleyiniz. 0 (0.00) YTL olarak tespit eilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün Çözüm. Kâr fonksiyonu K( ) Ge( ) Gi( ) 5000 + 8 (0.00)
Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 65 olup karın maksimum oluğu gün olmalıır. Kapalı türev ya a zincir kuralı ile ( K( )) ( K( )) 8 (0.00). Diğer yanan, ( 500t + 500 500 oluğunan, yukarıaki enklemen 8 500 (0.00)(500t + 500) 500 ve buraan t 7 ele eilir. O hale, maksimum kâr, ürünün piyasaya sürülmesinin 7 inci gününe gerçekleşir ve o gün 500 7 + 500 4000 ürün üretilir. 0.. Kapalı Denklemle Verilmiş Bir Eğrinin Teğetleri. F(, enkleminin grafiği üzleme bir eğriir. Bu eğri üzerine bir ( 0, y 0 ) noktası ( yani, F ( 0, y 0 ) olan bir ( 0, y 0 ) noktası) için o noktaaki teğetin eğimi, y nün ( 0, y 0 ) için eğeriir ve teğetin enklemi, y nün ( 0, y 0 ) için eğeri m olmak üzere ır. y m( + y 0 ) 0 y nün ( 0, y 0 ) için eğeri ile gösterilir. m y' ( y ) 0, 0 Örnek. y - y + + eğrisinin (, -) noktasınaki teğetinin enklemini bulalım. Önce, (, -) noktasının y - y + + enklemini sağlaığına ikkat einiz:
Ders 0. 66 ( ) + +. Teğet oğrusunun eğimini belirlemek için kapalı türevle y y ' i bulmalıyız. Böylece y y + + y' y yy' + y y ( y' ( y ) y'. m (, ) + y' (, -) noktasınaki teğet oğrusunun enklemi y ( ) + ( ) y olarak ele eilir. 4 Örnek. 5y 8 + enklemi ile verilen eğrinin (,) noktasınaki teğetinin eğimini bulalım. Söz konusu teğetin eğimi m y' (,) ir. Kapalı türevle Böylece, 5y 4 6 8 + 0yy' y'. 0y 5y 6 m y' (,) 5. Örnek. y + y + enklemi ile verilen eğrinin 4 teki teğet(ler)inin enklem(ler)ini yazalım. Önce bu eğri üzerine apsisi 4 olan nokta var ise o noktanın orinatı ne olacak ona bakalım. Verilen enkleme yerine 4 yerleştirilince y + 4y + ( y + )( y + ) y vya y.
Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 67 ele eilir. Demek ki verilen eğri üzerine apsisi 4 olan iki nokta bulunmaktaır: (4,-) ve (4,-). Teğetlerin eğimlerini belirlemek için kapalı türevle y ' yü bullalım. y + y + yy' + y + y' ( + y' y y' + y. y (4,-) noktasına eğim m y' ( 4, ), teğet enklemi y ( 4) y. 4 6 (4,-) noktasına eğim m y' ( 4, ), teğet enklemi y ( 4) y. 4 0.. Değişim Oranları. Günlük yaşama en çok karşılaşılan problemleren biri, her ikisi e zamana göre eğişen iki niceliğin birbirlerine göre eğişim oranlarını (artış veya azalış oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak, Bir işletme, gierineki artışın kârını ne orana etkileyeceğini bilmek ister. Bir yatırımcı, borsaaki artış oranı ile fert başına milli gelir arasınaki ilişkiyi bilmek isteyebilir. Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattığı otomobil sayısının ne orana üşeceğini bilmek ister. Yukarıaki örneklere benzer soruları içeren problemlere eğişim oranı problemleri enir. Değişik bir örnekle başlayalım. Örnek. Yanaki şekile görülüğü gibi, ik bir uvara ayalı 60 cm uzunluğuna bir merivenin yukarı ucu 0 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merivenin üst ucu yeren 40 cm yükseklikte iken aşağı ucu uvaran hangi hızla uzaklaşmaktaır? 60
Ders 0. 68 Bir eğişim oranı problemini çözmek için aşağıaki aımlar izlenebilir:. Yarımcı olacaksa bir şekil çizilir.. Bütün eğişkenler, bunlaran eğişim oranları verilenler ve eğişim oranları bulunacak olanlar belirlenir.. Verilen ve bulunacak olan tüm eğişim oranları türev olarak ifae eilir. 4. İkinci aıma belirlenen eğişkenlerin sağlaığı bir enklem yazılır. 5. Dörüncü aıma bulunan enkleme kapalı türev uygulanır ve türeve verilen eğerler yerleştirilir. 6. Ele eilen enklem çözülerek bilinmeyen eğişim oranı bulunur. Meriven probleminin çözümü. Merivenin üst ucunun yeren yüksekliği y, alt ucunun uvara uzaklığı ile gösterilsin. Merivenin üst ucu aşağıya oğru kayığınan, y azaklmaktaır. Dolayısıyla y 0 cm / sn 60 y ir. in eğişim oranı olan yi bulmak için, merivenin uzunluğunun 60 cm olması ve şekileki ik üçgen kullanılarak Pisagor Teoremi ile + y (60) enklemi ele eilir. Bu enklem yarımıyla, y 40 cm olunca 00 cm oluğu görülür. Diğer yanan, zamanı t ile gösterip yukarıaki enkleme t ye göre kapalı türev uygulanınca y + y y ele eilir. Bu enkleme 00, y 40, 0 yerleştirilince 480 00 ( 00) + ( 40)( 0) 48 cm / sn ele eilir. Merivenin alt ucu uvaran 48 cm/sn hızla uzaklaşmaktaır.
Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 69 Ekonomien örnekler verelim. Örnek. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için tespit eiliyor. Fiyatın talebe göre eğişim oranını bulalım. 6 5000 0 p kg talep olacağı Fiyat ve talep arasınaki bağıntıyı 6 5000 0 p (5000 0 p 6 ) biçimine yazalım ve kapalı türev uygulayalım: Buraan, 6 (5000 0 p ) ( 60 p ) 5 p. p (5000 0 p ) 5 60 p 6 5000 0 p 0 p 5 6 ele eilir. Örnek. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın güne urumuna sağlaığı gelir birim ürün üretmesi Ge( ) 50 50 YTL oluyor. Bu firma güne 75 birim ürün üretirken üretimini güne 5 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirineki günlük artış oranı ne olur? Çözüm. Zamanı t ile göstererek gelireki eğişim oranı ( Ge( )) 50 (50 50 ) 5 olur. Bu ifaee 75 ve 5 yerleştirilirse Ge 75 ( 50 ) 5 5 5 75 5 YTL/gün bulunur. Böylece görülür ki 75 iken gelir güne 75 YTL artmaktaır.
Ders 0. 70 Örnek 4. Haftaa rayo üreten bir firmanın toplam gieri ve toplam geliri Gi() 5000 + Ge() 0 (0.00) YTL olarak veriliyor. Bu firma 000 rayo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 rayo artırmağa karar veriyor. Bu uruma firmanın gier, gelir ve kârına meyana gelecek eğişiklikleri bulunuz. Çözüm. 00 iken 500 olacaktır. Gierin zamana göre eğişimi ( Gi( )) Gi'( ), gelirin zamana göre eğişimi ve kâr fonksiyonu ( Ge( )) Ge'( ) 0 ( 0.00) K( ) Ge( ) Gi( ) 5000 + 8 (0.00) oluğunan kârın zamana göre eğişimi K '( ) 8 00 ( 0. ) olur. 00 iken ( 500 eğişim oranları, sırsıyla olacağını a anımsayarak), gier, gelir ve kâraki haftalık Gi '(000) 500 000, ( 0.00) 000 500 000 Ge '(000) 0 500, K ( 0.00) 000 500 000 '(000) 8 500 YTL olur. Diğer bir ifae ile, 000 rayo üretilmekte iken gier haftaa 000 YTL, gelir haftaa 000 YTL ve kâr haftaa 000 YTL artar.
Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 7 Örnek 5. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için talep eilen miktar ile gösterilirse, + 5p + 50 p 80000 enkleminin sağlanığı tespit eiliyor. a) Fiyat 0 YTL iken her ay YTL artırılırsa, talepteki eğişim oranı ne olur? b) Talep 50 kilogram iken aya 6 kilogram azalırsa fiyattaki eğişim oranı ne olur? Çözüm. Değişim zamana göre olmaktaır. t ye göre kapalı türev uygulayalım. + 5p + 50 p 80000 4 + 5 p + 5 p + 00 p p. a) p YTL olunca + 5(0) + 50(0) 80000 + 75 7500 p ve buraan 00 ele eilir. Ayrıca alınarak p p 4 + 5p + 5 + 00 p 400 + 50 + 500 + 00 0 700 550 7000 55 bulunur. Talepteki eğişim oranı 700 kg/ay ır. Talep aya 55 700 kg azalmaktaır. 55 b) 50 kilogram olunca (50) + 5 50 p + 50 p 80000 p + 5 p 700 ve buraan p ele eilir. Ayrıca, talep azalığınan, 6 alınarak p p p p 4 + 5 p + 5 + 00 p 4 50 ( 6) + 5 0 ( 6) + 5 50 + 00 0 p p 750 400 84 55 84 84 bulunur. Fiyattaki eğişim oranı YTL/ay ır. Fiyat aya YTL artmaktaır. 55 55
Ders 0. 7 Örnek 6. Bir ürün üzerine yeni üretime başlayan bir firma ilk ört ay, t-inci haftaa ( t + 400t + 75 ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla bağlantılı olarak, bir ürünün satış fiyatı a p 0 (0.00)( YTL olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gieri 5 000 YTL ve bir ürün için gieri YTL oluğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gier, gelir ve kâraki haftalık eğişim oranlarını bulunuz. Çözüm. Firma, haftaa ürün üretmesi urumuna haftalık gieri YTL ve haftalık geliri Gi() 5 000 + YTL olacaktır ve böylece haftalık kâr Ge()(0- (0.00) )) 0 - (0.00) K() Ge() - Gi() 0 (0.00) -(5 000 + ) 8 (0.00) - 5 000 YTL ir. Değişim oranlarına gelince ( t + 400t + 75 '( t + 400 '(5) 5 + 400 40 Gi Gi Gi ( 5000 + ( ' ( 40 80 Ge Ge 0 '( 0.00 ( '( Ge( 0( (0.00) ( 0 40 0.00 00 40 96 K( 8( (0.00) K 5000 K 8 ' ( 0.00 ( ' ( 8 40 0.00 00 40 476 5-inci hafta itibariyle '(5) 40 birim/hafta, Gi Ge 80, 96 K ve 476 YTL/hafta ır. Başka bir eyimle, gier 80 YTL/hafta, gelir 96 YTL/hafta ve kâr 476 YTL/hafta artmaktaır.
Türevin Uygulamaları Değişim Oranları. 7 Problemler 0 y t. a) + ln y ye,? b) t ln e +,? p 4 c) p p + 500,? ç) ( 8,?. Her bir enklemen y yü ve verilen noktaaki teğetin eğimini bulunuz, sonra a teğet enklemini yazınız. a) - y + 4y, (-,) b) y e y, (,0) c) y y, (0,-) ç) y 5, (-,). İki tane motorlu kayık, biri kuzey iğeri e oğu yönüne olmak üzere aynı yeren, aynı ana hareket eiyorlar. Kuzeye gienin hızı, saatte 5 mil, oğuya gienin hızı ise saatte 0 mil oluğuna göre, hareketlerinen saat sonra kayıklar arasınaki uzaklığın (zamana göre) eğişim oranını bulunuz. 4. Durgun bir havuza atılan bir taş airesel algacıklar meyana getiriyor. Bu şekile oluşan bir algacığın yarıçapı saniyee 0.5 metre arttığına göre, algacığın yarıçapı 0 metre iken içine alığı alanın hangi hızla eğiştiğini bulunuz. 5. Dik bir uvara ayanmış olan 0 ft. uzunluğunaki bir merivenin alt ucu kayarak uvaran saniyee ft. hızla uzaklaşmağa başlıyor. Kayma evam eerken, merivenin alt ucu uvar ibine 6 ft. uzaklıkta oluğu ana, üst ucunun (aşağıya oğru) hangi hızla kayığını bulunuz. 6. 0 m. lik bir ireğin tepesine bulunan bir sokak lambası ile ayınlanan bir sokakta, 80 cm boyuna bir öğrenci saniyee 5 m. hızla lambanın bulunuğu irekten uzaklaşmaktaır. Öğrenci irekten 0 m. uzaktayken, gölgesinin ucunun ireğe olan uzaklığı hangi hızla eğişmekteir? 7. Bir nokta, y 4 eğrisinin üzerine hareket eiyor. Nokta (, 4) e iken - koorinatı (apsisi) saniyee birim azalıyor. y-koorinatının (orinatının) eğişim oranını bulunuz. 8. Bir su ısıtıcısınan yer halısına su sızmağa başlıyor ve halı üzerine airesel bir alan ıslanıyor. Islanan alan saniyee 50 cm arttığına göre, ıslanan alanın yarıçapı 0 cm. oluğu ana bu yarıçapın hangi orana eğiştiğini bulunuz.
Ders 0. 74 9. Bir firmanın ürettiği ürüne olan talep piyasaya sürülmesinin t inci gününe ( t + 00t + 76 birim olarak belirleniyor. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bu firmanın ürün üretmesi urumuna günlük gieri ve günlük geliri Gi( ) 5000 + Ge( ) 0 (0.00) YTL olarak tespit eilmiştir. Bu firmanın kârının hangi gün maksimum oluğunu ve o gün kaç ürün üretiliğini belirleyiniz. 0. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için eiliyor. Fiyatın talebe göre eğişim oranını bulunuz. 4 000 0 p kg talep olacağı tespit. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın güne birim ürün üretmesi urumuna sağlaığı gelir Ge( ) 00 00 YTL oluyor. Bu firma güne 00 birim ürün üretirken üretimini güne 8 birim artırmaya karar veriyor. Firmanın gelirineki günlük artış oranı ne olur?. Haftaa aet hesap makinesi üretip satan bir firmanın gier fonksiyonu ve fiyat fonksiyonu Gi() 8000 + 5, p() 4 ( / 4000), 0 500 YTL olarak veriliyor. Bu firma 000 hesap makinesi üretmekte iken, üretimini her hafta 50 hesap makinesi artırmağa karar veriyor. Bu uruma firmanın gier, gelir ve kârına meyana gelecek eğişiklikleri bulunuz.. Kilogramı p YTL en satılan bir ürün için talep eilen miktar ile gösterilirse, + p + 5 p 74500 enkleminin sağlanığı tespit eiliyor. a) Fiyat 0 YTL iken her ay YTL artırılırsa, talepteki eğişim oranı ne olur? b) Talep 50 kilogram iken aya 6 kilogram azalırsa, fiyattaki eğişim oranı ne olur?